§4.2 几个常用的概率分布一、二项分布

设随机变量X~B(n,p) ：

.,2,1,0,)1()(

nkppCkXP knkk

n

注：从图形观察二项分布的取值情况function bi(n,p)for i=0:n y1(i+1)=nchoosek(n,i); y2(i+1)=p^i*(1-p)^(n-i);endy3=y1.*y2;plot(0:n,y3);

>> bi(8,1/3)

binornd(n,p,M,N) ：产生 M 行 N 列服从B(n,p) 分布的随机变量（ M 、 N 默认为 1 ）如：

>> binornd(8,1/3,1,6)ans = 5 4 1 1 3 5

如：

binopdf(X,n,p) ： n 次试验发生 X 次事件的概率

>> binopdf(3,8,1/3)

ans = 0.2731

>> binopdf(5,5000,0.001)

ans = 0.1756

如：

binocdf(X,n,p) ： n 次试验发生小于等 于 X 次事件的累积概率>> 1-binocdf(1,5000,0.001)

ans =

0.9596

例、一批元件有 400 件，已知它的次品率为 0.02 ，求其中至少有 5 件次品的概率。解：

>> 1-binocdf(4,400,0.02)

ans =

0.9027

次品数 X~B(400,0.02)

P(X>=5)= 1-p(X<=4)

binoinv(P,n,p) ： n 次试验以累积概率 P

发生的最小次数。 例、某证券营业部开有 1000 个资金账户， 每户资金 10 万元，设每日每个资金账户 到营业部提取 20% 现金的概率为 0.006 ， 问该 营业部每日至少要准备多少现金， 才能保证 95% 以上的概率满足客户的 提款需求？

>> 10*0.2*binoinv(0.95,1000,0.006)

解：

ans =

20

设每日到营业部提取资金的账户数为 X, 则 X~B(1000,0.006), 设需准备现金a 万元 .

P(10*20%*X<=a)>=95%, 即P(X<=a/2)>=95%

故至少需准备 20 万元 .

二、泊松分布设随机变量 X~𝑃(λ) ：

.,2,1,0!)(

k

ek

kXPk

function po(x)for i=0:10 y(i+1)=x^i*exp(-

x)/factorial(i);endplot(0:10,y)

注：从图形观察泊松分布的取值情况

1. poissrnd(lambda,M,N) 产生 M行 N 列服从𝑃 (λ) 分布的随机变量（ M 、 N 默认为 1 ）如： >> poissrnd(3,2,5)

ans = 3 4 5 3 4 2 3 1 3 7

2 、 poisspdf(X,lambda) n 次试验发生X 次事件的概率 .

例、一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，试求：

3 、 poisscdf(X,lambda) n 次试验发生小于等于 X 次事件的累积概率 .

（ 1 ）每分钟恰有 6 次呼唤的概率；（ 2 ）每分钟的呼唤次数不超过 10 次的概率 .

解： >> poisspdf(6,4)

ans =

0.1042

>> poisscdf(10,4)

ans =

0.9972

4 、 poissinv(P,lambda) n 次试验以累积概率 P 发生的最小次数 .例、夏季高峰时，个别用户会因超负荷、线路老化等问题发生断电事故。已知某城市每天发生的停电次数 X 服从参数为 0.7的泊松分布，现要求以 99% 的概率保证该城市在一天中停电次数尽可能的少，试求最小的停电次数？

解：>> poissinv(0.99,0.7)

ans =

3

故一天中停电不能超过 3 次。

三、均匀分布设随机变量 X~𝑈(𝑎,b) ：

else

bxaabxf

0

1)(

如：

1. unifrnd(a,b,M,N) 产生 M 行 N列服从𝑈 (𝑎,b) 分布的随机变量（ M 、 N 默认为 1 ）>> unifrnd(2,5,2,3)

ans = 3.4951 3.0212 2.6714 4.8792 3.7558 4.2538

2 、 unifpdf(X,a,b) 计算随机变量 X的 概率 .

>> unifpdf(2,1,6)如：ans = 0.2000

>> unifpdf(4,1,6)ans = 0.2000

3 、 unifcdf(X,a,b) 计算随机变量 X的 累积概率 .

4 、 unifinv(P,a,b) 计算累积概率为P 时的随机变量的值 .

例、设公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车通过，乘客在 10 分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间不超过 7 分钟的概率 .

解：

>> 1-unifcdf(3,0,10)

ans =

0.7000

设到达时间为 X, 等候时间为 Y,则 X~U(0,10)

P(Y<=7)=P(X>=3)=1-P(X<=3)

四、指数分布设随机变量 X~𝑒(𝜆) ：

elsexexf

x

00)(

其中𝜆 >0.

>> x=0:0.2:100;>> y=0.6*exp(-0.6*x);>> plot(x,y)

1 、 exprnd(1/lambda,M,N) 产 生 M

行 N 列服从𝑒 (𝜆) 分布的随机 变 量 （ M 、 N 默 认 为1 ）>> exprnd(2,2,3)如：

ans = 0.4098 4.1273 0.9166 0.1979 0.1812 4.6550

2 、 exppdf(X, 1/lambda) 计算随机 变量 X 的概率

如： >> exppdf(3,2)

ans =

0.1116

3 、 expcdf(X, 1/lambda) 计算随机 变量 X 的累积概率 .

4 、 expinv(P, 1/lambda) 计算累积 概率为 P 时的随机变量 X 的值 .

例、已知顾客在某银行窗口等候服务的时间 X 服从参数为 1/5 的指数分布， X 的计时单位为分钟。若等候时间超过 10 分钟，他就离开。设他在一个月内要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他因等候时间超过 10分钟没有得到服务而离开的次数，试求 Y的分布律以及概率 ).1( YP解： >> p=1-expcdf(10,5)

p = 0.1353

所以 Y 服从二项分布 B(5,0.1353)

.5,2,1,0),5()^1353.01(^1353.0

)(5

kkkC

kYPk

>> 1-binocdf(0,5,p)

ans =

0.5167

五、正态分布设随机变量

：.,

21)( 2

2

2)(

Rxexfx

function Normal(a,b)x=-6:15;y=1./(sqrt(2*pi*b)) .*exp(-(x-a).^2./(2*b));plot(x,y)

注：作图

>> Normal(4,9)

1 、 normrnd(mu,sigma,M,N) 产生M 行 N 列服从 分布的随机变量（ M 、 N 默认为 1 ）

>> normrnd(1,2,2,3)如：ans = -1.1781 2.1051 4.0884 1.0651 3.2012 1.1719

2 、 normpdf(X, mu,sigma) 计算随机 变量 X 的概率

>> normpdf(-1,1,2)如：ans =

0.1210

3 、 normcdf(X, mu,sigma) 计算随机 变量 X 的累积概率 .

4 、 normspec([a,b],mu,sigma) 绘出区间 [a,b] 在概率密度图上的分布 .

5 、 norminv(P, mu,sigma) 计算累积 概率为 P 时的随机变量 X 的值 .

>>

normcdf(89,90,0.5)

解：（ 1 ）ans =

0.02275

例：把温度调节器放入储存着某种液体的容器中，调节器的设定温度为 d 度。已知液体的温度 T 是随机变量，且。

(1) 若 d=90 度，求 的概率。(2) 若要求保持液体的温度至少为 80 度的概率

不小于 0.99 ，问 d 至少为多少度？

>> norminv(0.99,80,0.5)

ans =

81.1632

（ 2）

所以 d 至少为 81.163 度

例：已知试求 :

)6.10(),2.75( XPXP并分别作出它们的图形。解： )2.75( XP

>> normcdf(7.2,1,2)-normcdf(5,1,2)

ans = 0.0218

>> normspec([5,7.2],1,2)

)6.10( XP>> normcdf(1.6,1,2)-normcdf(0,1,2)

ans = 0.3094

2、厂产品不合格率为 0.03，现将产品装箱，若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少有 100个合格品，则每箱至少应装多少个产品？

练习作业1 、设指示灯在每次试验中闪亮的概率为 0.3 ， 当指示灯不少于 3 次闪亮时，报警器发出 信号。（ 1 ）进行 5 次独立试验，求报警器发出信号 的概率；（ 2 ）进行 7 次独立试验，求报警器发出信号 的概率 .

3 、某急救中心在间隔 t 的时间段中收到呼救的次数 X~𝑃(t/2) ，且与时间间隔的起点无关（时间以小时计），试求（ 1 ） 某天 12 ： 00 至 15 ： 00 之间没有 收到呼救的概率；（ 2 ） 某天 12 ： 00 至 17 ： 00 之间至少 收到 1 次呼救的概率；

4 、设每人每次打电话时间 T~E(0.5)( 单位：分钟 ) ，求 282 人次所打电话中有 2 次及以上超过 10 分钟的概率。5 、秒表的最小刻度值为百分之一秒 . 若计时精度取最近的刻度值，求使用该秒表计时产生的随机误差 X 的概率密度函数f(x), 并计算误差的绝对值不超过千分之二的概率。

6 、设试求 :

).13();127();9(

XPXPXP

7 、设试求 :

);3|(|)1( XP（ 2 ）、试确定常数 c, 使得

).()( cXPcXP