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7/29/2019 44144244 Flexion de Vigas

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FLEXION DE VIGAS

METODO DE INTEGRACION


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FLEXION DE VIGAS

Las vigas se deforman al momento de aplicarlescargas, por lo tanto su diseo se limita a queesa deformacin no sea perceptible y menos

que afecte el desempeo de la estructura.


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A B

A B

A B

Viga noFlexionada

VigaFlexionada Ligeramente

VigaconFlexinCrtica

Comportamiento de las vigas


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POR QUE NO SE DEBENDEFORMAR LAS VIGASEn el rea de la construccin es importante quelas vigas no se deformen por mltiples razones.

Una de las razones es que las vigas son las quesoportan las cargas de las losas, bien sea depiso o de entrepiso, lo que implica que ellas son

las responsables de trasladar las fuerzas hacialas fundaciones a travs de las columnas o lasvigas de riostra.

Si la vi a cede com romete el desem eo de


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HASTA DONDE PUEDENCEDER LA FLEXION ENLAS VIGASPieza general de mquina:ymax = 0.0005 - 0.003 plg/plg o mm/mm delongitud de viga

Precisin moderada:ymax = 0.00001 - 0.0005 plg/plg o mm/mm de

longitud de viga

Alta Precisin:

ymax = 0.0000001 - 0.00001 plg/plg o mm/mmde lon itud de vi a


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DEFINICION DETERMINOSPara poder determinar el comportamiento de las vigas se

necesita tener como base fundamental 5 elementosprimordiales:

Diagrama de carga o diagrama de cuerpo libre

Diagrama de esfuerzo cortante

Diagrama de momento flectorDiagrama de deflexin

Diagrama de pendiente


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DIAGRAMA DE CARGA ODIAGRAMA DE CUERPOLIBREEs el diagrama que se utiliza para determinarlas fuerzas externas que interactan en elsistema, cargas aplicadas y las reacciones en

los apoyos, as como los momentos aplicadosen puntos indicados.


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DIAGRAMA DEESFUERZO CORTANTEEs el diagrama que permite calcular losesfuerzos en cada seccin de la viga.


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DIAGRAMA DEMOMENTO FLECTOREs una curva, o diagrama de variacin delmomento flector con respecto a la longitud dela viga y las fuerzas aplicadas sobre ella a lo

largo del sistema. Aqu se incluyen losresultados calculados para contrarrestar elesfuerzo cortante debido a la flexin de la viga.


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DIAGRAMA DEDEFLEXIONEs un diagrama que tiene que ver directamentecon la deformacin de la viga. Esta grficamuestra el eje neutro de la viga con respecto a

la longitud de sta y su deformacin debido alas cargas a la que es sometida. La cantidad dedeflexin se llamara y.


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DIAGRAMA DEPENDIENTEEste diagrama no es ms que una lneatangente que se traza a cada punto de lagrafica de deflexin, esa tangente produce un

ngulo con la lnea horizontal y ese ngulo vavariando a lo largo de la viga. En el puntodonde la pendiente es cero define el punto demayor flexin de la viga.


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A BA B

A B

Pa b

Vigacon carga

Esfuerzocortante

Ra

Ra

Rb

-Rb

MomentoFlector

A BPendiente

A BDeflexion12

Haga clic para modificar el estilo de texto del patrnSegundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel


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RADIO DE CURVATURA

En la flexin de vigas el radio depende de lacurvatura de la viga, si la curvatura es muy pequeael radio es muy grande, y cuando la curvatura es

muy grande el radio es muy pequeo.

Es radio es un punto analtico a partir del punto demxima flexin de la viga. Ese radio es

completamente perpendicular a ese punto y a partirde ah se calcula el radio de curvatura.


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dy

dx

Radio de curvatura

Haga clic para modificar el estilo de texto del patrnSegundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel


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RELACION ENTRE

DEFLEXION YCURVATURA

Esto se toma a partir de un pequeo espacioinfinitesimal de la curvatura donde lasdistancias se hacen muy cortas y tienden a serlneas rectas, por lo tanto los diferencialespueden ser tomados como lneas rectas y armarun triangulo, en cuyo ngulo opuesto al ngulorecto determina el valor de la pendiente.


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c

Haga clic para modificar el estilo de texto del patrnSegundo nivel Tercer nivel

Cuarto nivel Quinto nivel


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RIGIDEZ DE UNA VIGA:

Se determina por el producto de E por I, dondeE es el modulo elstico del material de la vigae I es el momento de inercia de la viga con

respecto al eje neutro.


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PRINCIPIOS BASICOS PARA

DETERMINAR LA DEFLEXION EN VIGASCON EL METODO DE INTEGRACIONESSUCESIVASPara determinar la deformacin de la viga sedeben tomar en cuenta los siguientes

elementos:

s : longitud del segmento neutro

s : alargamiento de la lnea conforme la viga

se deformaR : radio de curvatura formado por la deflexinde la viga

d : angulo formado por la deflexin de la vigarespecto a los puntos de contraccin y los


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Por trigonometra se puede determinar lalongitud del arco o del segmento de arco queforma .

Como en el eje neutro no hay alteraciones:


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Entonces:

Resolviendo las dos ecuaciones se tiene:

Igualando los valores:


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Donde se puede definir al lado derecho de la segundadefinicin en el modulo unitario de :

Y sabiendo que:

Sabiendo que es el esfuerzo por flexion:


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Por consiguiente todo da:

De donde combinando con otra ecuacinqueda:

Y definiendo 1/R como la curvatura de la viga ydndole a (kappa) queda todo como:

Esta ecuacin indica ue la curvatura aumenta


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Tomando en cuenta que y es una funcin dex (y=f(x)) se puede determinar que la

curvatura viene dada por la funcin:

Al igualar las dos ecuaciones anteriores:

Determina que:


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UTILIZACION DEL

METODO

La integral expuesta determina el clculo de

momento para la viga en estudio.

Al resolver esta integral todo queda como:


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UTILIZACION DEL

METODOHabiendo determinado que dy/dx = que es la pendientede la curva de deflexin y al sustituir queda:

Esta ecuacin se puede integrar de nuevo y se obtiene:

Siendo y la deflexin de la viga.


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Ejemplo

Rb Rd

20K

30K

2K/pie

6pie 2pie

8pie3pie

A

B

C

D

Haga clic para modificar el estilo de texto del patrn

Segundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel


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Ejemplo

Rb=43K Rd=23K

20K

30K

2K/pie

6pie 2pie

8pie3pie

A

B

C

D

Haga clic para modificar el estilo de texto del patrn

Segundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel


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Ejemplo

Segn los datosobtenemos lasecuaciones de

esfuerzo paracada uno de lostramos

VAB = -20

VEC = -2x + 29

VCD = -2x -1

-20

0

-60

0

0

42

23

11

-19

-23

Rb Rd

20K

30K

2K/pie

6pie 2pie

8pie3pie

A

B

C

D

EsfuerzoCortante

Mom entoFlector


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Ejemplo

El momento flector para el tramo AB = VABdx + C

Evaluando entre 0 y 3: C= 0 sabiendo que Mab = 0 en x= 0

Ejemplo


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Ejemplo

Continuamos con el otro tramo:

Revisando en el diagrama de momento flectoren x=3 Mbc = -60 haciendo una sustitucin enla ecuacin y despejando C se obtiene C=-138

entonces la ecuacin queda:

Ejemplo


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Ejemplo

Para el ltimo tramo, Mcd

Verificando en el diagrama de Momento flectorpara x=9, Mcd=42, haciendo una sustitucin enla ecuacin y calculando C, C=132, queda la

ecuacin:

Ejemplo


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Ejemplo

AHORA SE VUELVEN A INTEGRAR LAECUACIONES PARA OBTENER LAS EXPRESIONESPARA EI

Ejemplo


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Ejemplo

AHORA SE VUELVEN A INTEGRAR LA

ECUACIONES PARA OBTENER LAS EXPRESIONESPARA EI

Ejemplo


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Ejemplo

AHORA SE VUELVEN A INTEGRAR LA

ECUACIONES PARA OBTENER LAS EXPRESIONESPARA EI

Ejemplo


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Ejemplo

AHORA SE VUELVE A INTEGRAR PARA OBTENER

LAS ECUACIONES DE yEI

Ejemplo


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Ejemplo

AHORA SE DEBEN DEFINIR LAS CONDICIONES DE

FRONTERA

1. En x=3 yabEI = 0

2. En x=3 ybcEI = 0

3. En x=11 ycdEI = 0

4. En x=9, yacEI = ycdEI (curva de deflexion continua en c)

5. En x=3, abEI = bcEI

6. En x=9, bcEI = cdEI

Rb=43K Rd=23K

20K

30K

2K/pie

6pie 2pie

8pie3pie

A

B

C

D


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Ejemplo

Aplicando en las ecuaciones 4,5,6,7,8,9

Quedan 6 ecuaciones con 6 incognitas pararesolver las incognitas C1,C2,C3,C4,C5,C6


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Ejemplo

Dando los valores:

C1=397/3

C2=4018/12

C3=5281/6

C4=-307

C5=-507.25

C6= 3137.75

Con estos valores se ueden escribir en las

Ejemplo


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Ejemplo

PARA CALCULAR LA PENDIENTE:

Ejemplo


41/42

Ejemplo

PARA CALCULAR LA DEFLEXION:


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A

A

B

B

E

E

F

F

C

C

D

D

Pendiente

Deflexion

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