4467657
DESCRIPTION
bgkjgkTRANSCRIPT
DR. IR. SUWARNODR. IR. SUWARNO
MEDAN ELEKTROMAGNETIK IMEDAN ELEKTROMAGNETIK I
EL 2090
Vektor & Sistem Koordinat
EL 2090
Vektor & Sistem Koordinat
STEI
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG2009
Vektor dan Skalar
• Besaran skalar : besaran yang cukup dinyatakan dengan besarnya saja
Mis: panjang, luas, suhu, ketinggian
• Besaran vektor : besaran yang tidak cukup dinyatakan dengan besarnya saja. Perlu informasi arah.
Mis: kecepatan, percepatan, gaya,
VektorVektor
Suatu vektor dinyatakan dengan besarnya dan arahnya
AaAA
AAaAA
A
Aa A
Vektor arah satuan
Electromagnetics
ElectrostaticsElectrostatic force• Proportional to the product of charges • Inversely as the square of the distance• In the direction of the line connects
between charges • Depending on the medium• Charges of same polarity : repulsive and
different polarity : attractive
4
1, aF 122
21 kR
QQk Coulomb’s law
Two charges of same polarity
Q1Q2
a21 a12
F1 F2
a
a
12221
2
12221
1
R
QQkF
R
QQkF
Charge densities
dl
dldq
lq
Line
ds
dsdq
sq
Surface
dv
dvdq
vq
Volume
l
s
v
l
0l
s
2
0s
v
3
0v
q
C/m lim
q
C/m lim
q
C/m lim
Czdzzdl
zIf
01,02Q
charge totalC/m, 2 1,0
0
21,0
0
1,0
0l
l
mCrxrdrdrds
r
If
rS
31,113/100 x 2 2)200(Q
C/m 2000,036r density Charge
3)rat C/m 6 andcenter at (0r h linear wit
03,0
0
303,0
0
2
0s
2s
2s
Electric Field intensity, E (Field Strength) V/m, kV/m, V/cm etc
R2122a
4a
4
FE
R
q
R
q
Q
E : force exerted on a positive charge introduced into the field per unit of positive charge
positive
Garis gaya dan medan E
Medan oleh muatan positif dan negatif
Intensitas medan oleh muatan titik
F=-0.15 N ax
Medan oleh muatan titik - Kartesian
Suatu muatan titik Q= 1 nC berada di (-0.5 , -1 , 2) di ruang bebas.
a. Tentukan besar intensitas medan E di titik sejauh 1 m dari muatan tsb.
b. Tentukan E di titik (0.9 , 1.2, -2.4)
CNaR
QE
oR
o
/ 94
10
4
9
2
a.
E a Q
QToQ T4 2 ( )
QT=QT - OQ=(0.9 - (-0.5)) ax + (1.2 - (-1)) ay + (-2.4 - (2)) az
=1.4 ax + 2.2 ay - 4.4 az
aa a a
a a a
QT
E x x
a
0.094a 0.148a 0.296a N / C
T
T
x y z
Qx y z
x y z
Q
QT
14 2 2 4 4
14 2 2 4 4
0 274 0 43 086
2616
10
41
3610 2616
2 2 2
9
9
. . .
( . ) ( . ) ( . )
. . .
.
.
b. E di (0.9 , 1.2 , -2.4)
Carilah gaya dan intensitas medan pada muatan Q1= 20 C di titik (0,1,2) m oleh muatan Q2=-300 C di (2,0,0) m.
(2,0,0)
(0,1,2)
Q2
Q1
x
y
z
N/C10.3Elistrik medan Intensitas
berlawananarah dengan N 6 gaya Jadi
N 6N)a4a2a4(
3/)a2aa2(
F
3/)a2aa2(
a2aa2R
51
21
21
3)36/10(410300.20x10
2141
21
21
1
1
29
66-
221
21
QF
zyx
zyxx
R
zyx
zyx
a
a
a
a
o
3
2
223
1
1121
3
2
223
1
11
)()(4
1EEE
)(
42
)(4
1
RR
RRq
RR
RRq
RR
RRqE
RR
RRqE
N
i i
ii
RR
RRqiSuperposis
13
)(4
1Emuatan n
Medan oleh banyak muatan
Muatan q1=2x10-5C dan q2=-4x10-5 C terletak di ruang bebas di (1,3,-1) dan (-3,1,-2). Tentukan E di
(3,1,-2).
V/m a2a4a108
10
10216
)a6(4
27
)aa2a2(2
41E
a2aa3R
a2aa3R
aa3aR
RR
)R(R
RR
)R(R4
1EEE
zyx
5
5xzyx
zyx
zyx2
zyx1
3
2
223
1
1121
o
o
o
x
Muatan Garis
ρa2
El
Suatu muatan garis terletak pada sumbu z dari z=-5 m sampai z=5 m. Kerapatan muatan 20 nC/m. tentukan E di (2,0,0) dalam Kartesian dan silinder.
V/m a167Esilinder koordinat Dalam
V/m a167a180E
kanmenghilang saling zkomponen maka 0z bidang terhadapsimetri Karena
dE
xx
5
5)z(4
dz 2
4
aa2
)4)(36/10(410 20.
2/32
2
zx29
-9
z
z
zdz
(2,0,0)
dQ=ldz
x
y
z
R
E -5
5
Bagaimana E di (2,0,0) bila muatan garis tersebar pada z= 5 sampai + tak hingga dan dari z= - tak hingga
sampai z=-5 dengan kerapatan 20 nC/m
Pada garis lurus yang ditentukan x=2 m dan y = -4 m tersebar muatan serbasama dengan kerapatan 20 nC/m. Tentukan E di (-2,-1,4)
V/m a2.43-57.6aE
a3-4a]a)41(2)a-(-2[z.arah Edan jarak komponen ada
tidakmaka zsejajar garis pada beradamuatan Karena
yx5
a34a-
5220.10
yxyx
yx
o
-9
Tentukan E di (2,2,2) akibat muatan garis sepanjang garis x=4 m dan y=3 m dengan kerapatan muatan 10 nC/m dan suatu muatan titik + 2 C di titik (0,0,0)
s
dydy sL
dE dEx
dEy
Z
X
Y
P
Komponen yang ada hanya Ex, karena Ey dan Ez saling menghilangkan
~
~
~
~
1
22
220
22o
tan2
2
2cos
2
dy
x
y
o
s
o
sx
yssx
yx
xdyE
yx
xd
yxdE
2 bidang muatan Kerapatan m
Cs
o
s
o
sxE
2E 0 x
2x
Na 2 o
sE
r gantung tidak ter E permukaan Muatan r
1 E garisMuatan
r
1 Etik Muatan ti
2
Muatan bidang tak hingga serbasama dengan kerapatan s berada pada bidang x= -1 dan bidang x =1. Tentukan E di sembarang tempat.
s x=1
1 xa
1x1- 0
-1 xa-
E
x
x
o
s
o
s
s x=-1
Garis Medan
Penggambaran garis medan listrik
D=k/ a
X
Y
A=K ax
Uniform
X
Y
B=Kx ay
Non-Uniform
Hukum Biot Savart Bila suatu kutub magnet dengan kekuatan m berada pada medan magnet dengan kerapatan flux B maka gaya yang dialami oleh kutub tersebut (F) adalah F = mB Ekspresi ini merupakan analogi pada medan listrik F = QE. Eksperimen Biot Savart menunjukkan bahwa gaya dF yang diakibatkan oleh dB yang berasal dari elemen
differensial Idseperti pada gambar 1.28 mempunyai ciri-ciri : a. sebanding dengan perkalian antara arus, differensial panjang dan elemen arus
dengan titik observasi b. berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara elemen arus dan titik observasi c. arah gaya normal terhadap bidang yang mengandung dI dan garis penghubung dI
dengan titik observasi. Secara matematis dinyatakan sebagai :
d mdm I d
roF B
4 2
sin
Dalam notasi vektor menjadi
d md md a
RoRF B
I x
4 2
dimana o/4 merupakan suatu konstanta
Vektor satuan pada arah garis penghubung antara dz dan adalah : aQP = a cos - az sin
= a a
r
z
rQPz
QP
dimana r zQP 2 2
. Medan magnet oleh elemen arus ini adalah :
dIdz x
ro z QP
QP
Ba a
4 2
Subtitusi aQP dan az x a = a dan az x az = 0 maka
dI dz
ro
QP
B a 4 3
Medan magnet total diperoleh dengan integrasi dari z = - sampai z = dan didapat :
BI dz
z
I z
z
BI
I
o
o
z
o
o
z4
4
2
2
2 2 3 2
2 2 2 1 2
( )
( )
/
/
Wb / m
atau
B a
2
Gaya Lorentz• Bila suatu muatan listrik Q bergerak pada medan
magnet B maka muatan akan mengalami gaya yang sebanding dengan Q, kecepatan V, rapat fluks magnetik B dan sudut antara V dan B. Arah gaya akan tegak lurus baik pada V maupun B. Secara matematis dinyatakan dengan :
F = Q v x B• Dengan demikian bila suatu muatan bergerak di dalam
ruangan dengan medan listrik dan medan magnet maka akan mengalami gaya
F = Q (E + v x B) Gaya Lorentz
Hk. Gauss
iterlingkupSQ dS.D
iterlingkupSQ dS.D
Flux Listrik
Muatan titik q di pusat bola
qRR
q
R
q
2
2
R2
4.4
ortogonal)permukaan karena( S.DdS.D
Gauss Integral
a4
D
Rradius pada GaussPermukaan
E
r
Mencari E dari muatan garis uniform
r
r
rr
2
00
a2
Eatau
a2
D
2
a.a
muatanD.dS
silinder Gausspermukaan Lihat
r
r
hrhD
hdzrdD
o
l
l
lr
lr
h
z
E
Medan Listrik oleh bola Bermuatan
Di luar bola
Di dalam bola
r) hadaplinier ter(medan a3
aE
3
44
ortogonalmedan Karena
.
rrUntuk
rr
32o
o
rE
rEr
QdSD
o
vr
vr
S
bolapusat diik muatan titoleh medan dengan Mirif
)r
1 hadaplinier ter(medan a
1
3aE
3
44
ortogonalmedan Karena
.
rrUntuk
2r2
3
r
32o
o
r
rE
rQEr
QdSD
o
ovr
vototr
S
E
rro
Silinder bermuatan
a 2
E 2
2
QD.dS
)(silinder dalam Di
2
S
o
o
v
o
vr
vor
E
LLE
v
o
a 2
E 2
2
QD.dS
)(silinder luar Di
22
2
S
o
o
ov
o
ovr
voor
E
LLE
E
Bola konduktif berongga dan muatan titik
konduktor
+Q Ri
Ro
konduktor dalampermukaan
di tersebar Q-muatan munculakan itu karenaOleh
0E
)rr (rkonduktor dalam diDaerah oi
r2o
o
a4
QE
ikmuatan titakibat medan sepertiBerlaku
)r (r berongga bolaluar diDaerah
r
r2o
i
a4
QE
ikmuatan titakibat medan sepertiBerlaku
)r (r berongga bola dalam diDaerah
r
konduktor
+Q Ri
Ro
r
E
ro
-Q
+Q
Profil E vs r
Muatan permukaan
Latihan 1
• Suatu silinder pejal panjang bermuatan dengan rapat v C/m3 berdiri tegak di sumbu Z. Tentukan intensitas medan listrik di dalam dan di luar silinder.
Latihan 2
• Diketahui distribusi muatan sebagai berikut
• Tentukan E di semua tempat
lain tempat di 0
4r 2 C/m
bolapusat di 3
oq
Hk Gauss utk Medan Magnet
S
0dS.B
Fluksi magnet yang keluar dari permukaan tertutup sama dengan nol
Atau
Fluksi masuk sama dengan keluar
Hk Faraday
SC dt
demf dS.Bdl.E
B keluar bidang kertas
tabBdt
d
tabBdydxtB
dydxtBdSB
tB
om
o
b
y
a
x
om
b
y
oS
a
x
m
o
sin-E.dlemf
emf Induksi
coscos
a.acos.
magnetik Fluksi
acosB
C
00
z
0
z
0
z
Hk Ampere
current)ent (displacempergeseran arus:dS.Ddt
d
konduksi arus:dS.J
dS.Ddt
ddS.Jarus Totaldl.
μ
B
S
S
SSC o
Rapat arus pergeseran JD= dD/dt
Medan Magnet oleh filemen arus
I Baρ
2B
2B I2 B
sehingga ortogonal) (saling
Zsbarah dldan angular berarah B
dlB
Ampere
I
I
IHkC o
B
Medan Magnet oleh arus terdistribusi uniform pada konduktor silinder
φo
φ2o
2o
2
22
2o
enc
C1
a2π
IμB
filamen arusdengan serupakonduktor luar Di
a2ππ
IμB
2ππ
IμB
a
I)(
πa
I2.
B
Idl.B
a)(silinder dalam Di
o
B
a
Pers Maxwell utk medan statik dalam bentuk integral
SC o
C
S
S
Id
Q
dS.Jl.B
0dl.E
0ds.B
ds.D
(Silinder) 1
zaz
Ta
Ta
TT
(bola) sin
11
aT
ra
T
ra
r
TT r
Gradient formula
)(Kartesian zyx az
Ta
y
Ta
x
TT
Gradient of a scalar function is conservative i.e. : 0 =dr .
From the figure :
0
ddddd
12
21 122
112
PP
PPPP
PP
)(
)(
Example
4 z-sin 2V 2.
6xy-10xz5xV 1.
:berikut Vskalar fungsi darigradien Tentukan
z
zz
z
yx
a-a cos2
a -z
4)a z-sin (2
4)a z-sin (21
4)a z-sin (2V 2.
(10x)a(-x)a10z)a(5
6)axy-10xz(5x
6)axy-10xz(5x6)axy-10xz(5xV 1.
:Jawab
zyx
z
yx
DIVERGENCE OF VECTOR FIELD
Vector F and flux
sink and source No
0F.dS
flux outwardflux inward
S
source As
0F.dS
flux outwardflux Inward
S
sink As
0F.dS
flux outwardflux Inward
S
Divergence of a vector F is defined as
z
F
y
F
x
FF Div zyx
If operator nabla is zyx az
ay
ax
then
z
F
y
F
x
F=
)aFaFaF(az
ay
ax
F
zyx
zzyyxxzyx
..
(Cylinder) 1)(1
z
FFFdivF z
(Sphere) sin
1)sin(
sin
1)(1 2
2
F
r
F
rr
rF
rdivF r
)(Cartesian F Divz
F
y
F
x
F zyx
Divergences for each coordinate systems
DIVERGENCE THEOREM
s v dvFdsF ...
EXAMPLE
A(1,1,1)at .A)A( Determine
a a axAGiven zyx2
xyyz
3.A A(1,1,1),At
z2x
)(z
)(y
)(x
A. 2
xyyzx
O(0,0,0)at .D Determine
a 2 cos2a sin D If z2
za
0.D O(0,0,0)At
4z 2sin-2sin
)2()cos2(1
)sin(1
.D
:Ans
22
zz
Gradient and divergence in electrostatics
Potential V Field ECharge density
Gradient Divergence
VE vE.D.
Integration
ExampleIn free space potential is expressed as V=2x2y+3z +100 V
Determine E and at A(1,1,1) m
30
00
zyx
zy2
x
C/m -4 A(1,1,1)At
y-4E..D.
V/m a 3a2a-4E , A(1,1,1)At
V/m a3a2a-4xyV-E b.
V 105 is A(1,1,1)at Potential a.:Ans
c
x
Potential in free space is independent on y and z and only a function of x and expressed graphically
below
0 2 4 6 8 x (m)
V (volt)
Determine
a. Electric field between x=0 and x = 8
b. Charge density
c. Total charge in a sphere with radius of 1 m centered at (6,6,6)
CURL OF A VECTOR FIELD
Curl indicates net circulation of a vectior field around closed contour( or about a point). For example water flow in a canal with non uniform velocity
If F is a vector as function of x, y and z then curl of F can be expressed as
Curl F = Curl Fx ax + Curl Fy ay + Curl Fz az
Curl meter for water flow in a canal
Curl V = 0 Curl V > 0 Curl V < 0
Z
Y
Y
Z
Curl releases a vertical force
Cylindrical zz2 a
F1F
1a
F
z
Fa
z
FF1curlF
)(
Spherical
aF
rF r
r
1 +
arF r
F
1
r
1 a
Fsin F
sin r
1 curlF
r
rr
sin
zxy
yzx
xyz a
yx
Fa
xz
Fa
zy
FcurlF
Cartesian
Curl in different coordinate systems
Illustration of divergence and Curl
Example
zyx
zyx
x
a -aaxA maka (0,0,0) titik Di
aax cos-aa
)e(y0ax) cos(y
///xA
:Jawab
x
zyx
e
dzyx
aaa
(0,0,0)at xA Determine)ae(yax)a cos(y A vector aGiven z
xx
zyx
zyx
x
a -aaxA , (0,0,0)At
aax cos-aa
)e(y0ax) cos(y
///xA
:Ans
x
zyx
e
dzyx
aaa
From chapter I for a conductor with radius of a and uniform current I
conductor outside and inside B of Curl Determine
a 2
Iμ
a 2
IμB
o
2o
a
aa
Ja
02
0
///
//
xB
conductor Inside
z2
2
a
I
a
Iz
aaao
o
z
0
02
0
///
//
xB
conductor Outside
Iz
aaa
o
z
STOKES THEOREM
Surface Integral relates with line integral as
S c d . F = ds . F x
AMPERE’s AND FARADAY’S LAWS IN THE FORM OF DIFFERENTIAL
Ampere’s Law
c S oSo
ds . E dt
d + ds . J = d .
B
Another approach is using Stokes theorem
s s so
oc
ods .
t
E + ds . J = ds .
B x = d .
B
Taking surface element of s
s t
+ s J = s B
x ox
xo
xE
And then
t
E + J =
B o
o
curl
For Faraday’s law
sc
dsBdt
ddE . .
Using Stokes theorem
sc s ds t
B ds . E x d E ..
c ss ds . t
B = ds . E x dE
.
And for surface element s s t
B - = s E x n
n
Ort
BxE
t
B- = E x
t
E + J = H =
B
O
oxx
0
xE
JB
xo
For static field then (dt) = 0 And therefore
t
x o
v
B- = E x
t
E + J = H =
B x
0B.
ρD.
O
Summary of Maxwell Equations in differential
forms
CONTINUITY EQUATION AND DISPLACEMENT CURRENT
Electric charge is conservative i.e. can not be created and can not be destroyed. The possibility is displacement of charges to form electric current. For a volume enclosed by a surface S with a charge density of v and a current density J
ρv
J
S
Net flux outward from closed surface S is equal with the decrease of charge in the volume enclosed by S
dvdt
ddsJ v vs .
Divergence of J . . x B
J o
In vector mathematics the divergence of a curl should be zero then
.J = 0
This is inconsistent with continuity equation. Maxwell introduced JD as
x B
J + J D o
t- =
J . - = J .
v
D
t = J . v
D
Then continuity equation is satisfied
or
This is displacement current introduced by Maxwell.
Thus Ampere‘s law can be expressed as
t
E + J =
B x o
tEε
DoJ
tEε
ottDov )Eε.(J.
tEε
DoJ
For steady current div J=0 because d/dt=0 then
current)for Law s(Kirchoff' 0I 0J.dS
0.J
S jj
conductor quasior insulator conduktor, is
medium whether determines J
J Ratio
EEJ , frequency angular For t
DEJJJ :medium ain Current
D
C
DC
j
ExampleIn a material with = 5S/m and relative permittivity of 1 electric field is expressed as E=250 sin 1010 t (V/m). Determine conduction current and displacement current. At which frequency the 2 currents are the same ?
GHz 89,9fat occurs which then JJ)(A/m )901022,1sin( 1022,1cos
)10sin250(Jdensity current nt Displaceme
)/( 10sin1250EJdensity current Conduction
:Ans
DC
21010
10D
210c
tt
ttt
DmAt
ro
sdielectricinsulator/ Good 01,0106,2 MHz, 1fAt
1,2 , S/m3x10 Plastic
conductor goodVery 10010 , MHz 1 fAt
, MS/m 58Copper
4
o8-
12
o
x
100 0,01 /insulatorconductor Quasi
sdielectric insulator/ Good 01,0 Insulator
conductor Good 100 , Conductor
120 . = = H
E
rr
r
Beberapa parameter gelombang yang perlu diketahui adalah