４．衛星測地学の基礎 ０．地表面（海、陸）、電離層のモニター １．地心座標系からみた地上観測点の決定 －宇宙空間における三角点（水準点）としての応用― ２．地球重力場の推定・・・衛星の運動からその原動力を知る （惑星） ３．地球回転変動の観測 全ての用途で衛星軌道(位置)が高精度に決定されている必要がある。 １９６０年代は 10~20mの精度だったが、現在は 1m~1cm（以下） 4.1 衛星軌道力学の基礎 2つの質点Mとmの運動

M:  𝑟! =𝐺𝑀𝑚𝑟! − 𝑟! ! 𝑟! − 𝑟!                        ①

m:  𝑟! = −𝐺𝑀𝑚𝑟! − 𝑟! ! 𝑟! − 𝑟!                    ②

M とmの重心の位置ベクトル 𝑟! =!!!!!!!!!!

Mからmの相対ベクトル 𝑟 = 𝑟! − 𝑟! とする ①＋②より、

𝑟! =𝑀𝑟! +𝑚𝑟!𝑀 +𝑚 = 0 →等速直線運動

②!− ①

!より

𝑟 = −𝐺(𝑀 +𝑚)

𝑟 ! ③

M>>mより

𝑟 = −𝐺𝑀𝑟 ! ③    

人工衛星の運動を記述 ③に左から𝑟をかけて外積をとると、

𝑟×𝑟 + 𝑟×𝐺𝑀𝑟! 𝑟 = 0

一方、!!"

𝑟×𝑟 = 𝑟×𝑟 + 𝑟×𝑟

したがって、!!"

𝑟×𝑣 = 0である。

ここで、 ℎ = 𝑟×𝑣 面積速度

とすると、これは𝑟と𝑣で張られる平面に直交するベクトル →単位質量あたりの角運動量 まとめると、

𝑑𝑑𝑡 ℎ = 0                  ℎは一定（角運動量保存）

衛星の運動が空間に固定された平面内で起きる。 時間 dtあたりの面積変化を dsとすると、

ds =12 𝑟×𝑣 𝑑𝑡

ここから、軌道の形を求める。軌道面は２次元なので、この面内で 極座標(r, θ)を設定する。

x = rsinθ,              y = rcosθ 時間で微分すると

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃!𝑐𝑜𝑠𝜃

となるので、運動方程式は、

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃!𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝐺𝑀𝑐𝑜𝑠𝜃𝑟!

𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 + 2𝑟𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃!𝑠𝑖𝑛𝜃 = −𝐺𝑀𝑠𝑖𝑛𝜃𝑟!

軌道面の x軸はどこに設定してもよい。その方向をθ = 0とする。

（𝜃、𝜃はゼロにできない）

𝑟 − 𝑟𝜃! = −𝐺𝑀𝑟!              ④

r𝜃 + 2𝑟𝜃 = 0 ⑤

④式で従属変数 rからu = !!へ、独立変数 tからθへ変更する

ℎは z成分のみ h = x𝑦 − 𝑥𝑦 = 𝑟!𝜃 ⑥

④式から 𝑑!𝑢𝑑𝜃! + 𝑢 =

𝐺𝑀ℎ! ④

!

u =1𝑟とする

𝑑𝑢𝑑𝑟 = −

1𝑟!                    ⑦

tからθへの変更には、⑥より

dt =𝑟!

ℎ 𝑑𝜃 ⑧

dudθ =

𝑑𝑢𝑑𝑟  

𝑑𝑟𝑑𝑡𝑑𝑡𝑑𝜃 = −

1𝑟! ∙ 𝑟 ∙

𝑟!

ℎ = −𝑟ℎ

𝑟 = −ℎ𝑑𝑑𝑡

𝑑𝑢𝑑𝜃 = −ℎ

𝑑𝜃𝑑𝑡

𝑑𝑑𝜃

𝑑𝑢𝑑𝜃 = −ℎ!𝑢!

𝑑!𝑢𝑑𝜃! ⑨

ここで、④’はu′ = u− !"!!とすると、

𝑑!𝑢′𝑑𝜃! + 𝑢′ = 0と同等

u′ = Acos θ−ω ただし、A,ωは実数

u =1𝑟 = A  cos 𝜃 − 𝜔 +

𝐺𝑀ℎ! ⑩

これは、楕円の方程式の極座標表現である。 楕円の式

𝜉!

𝑎! +𝜂!

𝑏! = 1 ⑪

Pの位置

ξ = ae+ rcosν,            η = rsinν これらを⑪へ代入すると、rに関する２次方程式になり、解くと、

r =𝑎(1− 𝑒!)1+ 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜈                  ⑫

θ−ω =ν

                                                                           A =𝑒

𝑎(1− 𝑒!)                   ⑬

h = GMa(1− 𝑒!)

ω：近地点引数、ν：真近点離角 a：軌道長半径 e：離心率 i：軌道傾斜角 Ω：昇交点経度 ω：近地点離角 M：平均近点離角 第３法則 楕円の面積 S=πab 公転周期を Pとする。 面積速度は

𝑑𝑠𝑑𝑡 =

12ℎ

よって、

S =𝑑𝑠𝑑𝑡

!

!𝑑𝑡 =

12ℎ𝑃

P =2𝜋𝑎𝑏ℎ =

2𝜋𝑎𝑏𝐺𝑀𝑎(1− 𝑒!)

b = a 1− 𝑒!より、𝑃 =2𝜋𝐺𝑀

𝑎!!

n = !!!

(公転の角速度)平均運動を用いると、

𝑛!𝑎! = 𝐺𝑀 ⑭ 4.2 摂動(Perturbation)を受けるとどうなるか？

𝑟 = −𝐺𝑀𝑟! 𝑟 + 𝑘

𝑘 = 地球の重力の平均 ― 有限の大きさ + (月、太陽から引力/潮汐力)

+(大気抵抗)＋(太陽放射)+地球放射 二体問題（ケプラー問題）：𝑘 = 0のとき ①３本の２階微分方程式→６個の積分定数（←軌道要素/ケプラー要素） ⇕ ６本の１階微分方程式

𝑑𝑎𝑑𝑡 =

𝑑𝑖𝑑𝑡 =

𝑑𝑒𝑑𝑡 =

𝑑𝛺𝑑𝑡 =

𝑑𝜔𝑑𝑡 = 0,                                

𝑑𝑀𝑑𝑡 = 𝑛     𝑛 =

𝐺𝑀𝑎!

𝑘 ≠ 0だけど小さいとき ６つの積分定数がゆっくりと時間変化する。 （定数変化法の考え方、微分方程式の解法） 参考 木下宙「天体と軌道の力学」 𝑘のうち最大の効果：地球の偏平度 𝐽! = −𝐶!"

𝑑𝑎𝑑𝑡 =

𝑑𝑒𝑑𝑡 =

𝑑𝑖𝑑𝑡 = 0

𝑑𝛺𝑑𝑡 = −𝐽!

3𝑛𝑅!!

2𝑎! 1− 𝑒! ! 𝑐𝑜𝑠𝑖 軌道面の歳差運動

𝑑𝜔𝑑𝑡 = −𝐽!

3𝑛𝑅!!

4𝑎! 1− 𝑒! ! 1− 5𝑐𝑜𝑠!𝑖 近点引数の歳差運動

𝑑𝑀𝑑𝑡 = 𝑛 + 𝐽!

3𝑛𝑅!!

4𝑎! 1− 𝑒!!!(3𝑐𝑜𝑠!𝑖 − 1)

Langrangeの惑星方程式 昇交点経度Ωは、 0<i<90 → 西向きに摂動 90<i<180 → 東向きに摂動。地球の自転・公転と同じ向き →Ωの移動の観測から、J2などが求まる。 ・なぜ、軌道面が歳差運動か？ 回転するコマの角運動量H 軌道面はHと直交する。そこに外力トルクLを与える コマをたたいた時の運動は

𝐿 = 𝑟×𝑓 →Hの向きも変化 人工衛星mに働く地球の重力ポテンシャルV(𝑟)によるトルク𝐿は

𝐿 = 𝑟×𝑚∇𝑉 ∇Vを、𝑟,𝜑, 𝜆を単位ベクトルとする球座標で表すと

∇V = 𝑟𝜕𝑉𝜕𝑟 + 𝜑

1𝑟𝜕𝑉𝜕𝜑 + 𝜆

1𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝜕𝑉𝜕𝜆

𝐿 = 𝑟×𝑚∇𝑉だから、第一項は𝐿に寄与しない

V 𝑟 =𝐺𝑀𝑟 1−

𝑅!𝑟

!

𝐽!𝑃! 𝑠𝑖𝑛𝜑

とすると、λには無関係だから、第三項は𝐿に寄与しない。よって、

𝐿 = 𝑟×𝜑1𝑟𝜕𝑉𝜕𝜑 = −𝜆

3𝐺𝑀𝑚𝑅!!

𝑟! 𝐽!𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑

𝜆方向へのトルク、公転の角運動量ℎ →コマとの類推で歳差運動となる。 4.3 いろんな人工衛星の軌道 4.3.1 太陽同期軌道 J2摂動による軌道面歳差を利用する。 GM=3.9686×105 km3/s2、 Re=6380km, J2=1.08×10-3

𝑑𝛺𝑑𝑡 = 0.9863  /day

ほぼ１年でΩが 2πになる。 メリット① 全地球をカバー ② 軌道面から見た太陽の方向が一定 →同じ緯度を年中同じ太陽時に通過 →太陽光の反射を利用しやすい 4.3.2 地球同期軌道（以下摂動は考えない）

n =2𝜋

23ℎ56𝑚4𝑠

より、a=42615kmとすれば、地球同期する。

① 静止衛星、e=i=0 たとえば、ひまわり 欠点）高緯度が見にくい ② ８の字衛星 e=0, i≠0 メリット：高緯度でも見える デメリット：片側半球が無駄 ③ 準天頂衛星―みちびき（日本版 GPS衛星）e≠0, i≠0 北半球に遠地点がくるように eを設定 →北半球側の滞在時間が長い →高い仰角（真上に近い）に見える