5.1 5.1 相交线相交线 (( 第第 22 课课时）时）

5.1.2 5.1.2 垂线垂线

安徽省无为县刘渡中心学校 丁浩勇

(1) 在木条 b 的转动过程中 , 什么量 也随之发生改变？

90°

问题 1 取两根木条 a 、 b ，将它们钉在一起，固定木

条 a ，转动木条 b ．

一、创设情境，导入新知

这种特殊位置关系，我们说 a 与 b 互相垂直 .

(2)∠ = 90º 时，木条 b 与 a 所成另外

三个角的度数是多少？

a 与 b 所成的角 也随之发生改变

如图， AB⊥CD ，垂足为Ｏ．

二、变换角度，认识垂直

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直 ,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 .

垂直的符号表示 .

垂直的图形 .

因为 ∠ AOC=90°，所以 AB ⊥CD ． 　

反之，因为 AB⊥CD ， 所以 ∠ AOC=90°．

垂直定义的推理形式 .

推理形式

问题 2 如何用符号语言表示垂直的定义呢？

问题 2 (2) 如何判定两条射线垂直？两条线段呢？ 两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．

实例

(3) 你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？

例 1. 如图，三条直线相交于点 O ．若 CO⊥AB ，∠ 1=56° ，则∠ 2 等于 ( 　　 ).

A.30° B.34° C.45° D.56°B

例题

(1) 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的 垂线能画出几条？

(2) 经过一点画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画

出几条？

三、动手操作，归纳性质

问题 3 如何用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线？

点与直线有几种位置关系？

操作

(1) 经过直线 l 上一点

画已知的垂线 .

(2) 经过直线 l 外一点

画已知的垂线 .

归纳

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

通过画图，你发现过一个点可以画几条直线与已知直线垂直？

垂线性质 1

1. 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线．

A BP

A

B

P

练习

2. 如图，在一张透明的纸上画一条直线 l ，在 l外任取一点 Q, 折出过点 Q 且与 l 垂直的直线．这样的直线能折出 ( 　　 ). 　 A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条

练习

B

问题 4 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何

挖掘能使渠道最短？

四、思考问题，再探性质

(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？

(2) 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相 连，比较一下它们的长短，你有什么发现？(3) 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？ 为什么？(4) 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？

探究

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短．

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

归纳

你能列举生活中类似的实例吗？

垂线性质 2

解决问题

回到问题 4

你知道水渠该怎么挖了吗？请你在教科书的图5.1-8 中画出来 .

如果图中的比例尺为 1:100000 ，水渠大约要挖多长？

如图， AC⊥BC，且 BC=5 ， AC=12 ， AB=13 ，则点 A到 BC的距离是 ________ ，点 B到 AC的距离是 _______ ，点 B到点 A的距离是 __________ ．

练习

125 13

1. 什么是垂直？垂直和相交有什么关系？我们是如何刻画两条直线垂直的位置关系的？

2. 垂线有哪些性质？

3. 本节课的学习，你在数学思想方法方面还有哪些收获？

五、归纳小结

教科书 习题 5.1 第 3 、 4 、 5 、 6 、7 题

六、布置作业

修改：夏晓华 ( 安徽省庐江县第三中学 )

初稿：丁浩勇 ( 安徽省无为县刘渡中心学校 )

审校：张永超 ( 安徽省合肥市教育局教研室 )