一、单调性的判别法

x

y

o

)(xfy

x

y

o

)(xfy

a b

A

B

0)( xf 0)( xf

定理

.],[)(

0)(),()2(],[

)(0)(),(1.

),(],[)(

上单调减少在那末函数，内如果在上单调增加；在

，那末函数内如果在）（导内可上连续，在在设函数

baxfy

xfbaba

xfyxfba

babaxfy

a b

B

A

第四节 函数单调性的判定法

证 ),,(, 21 baxx ,21 xx 且 应用拉氏定理 , 得

)())(()()( 211212 xxxxfxfxf

,012 xx

,0)(),( xfba 内，若在 ,0)( f则

).()( 12 xfxf .],[)( 上单调增加在 baxfy

,0)(),( xfba 内，若在 ,0)( f则

).()( 12 xfxf .],[)( 上单调减少在 baxfy

例 1 讨论函数 y=x-sinx 的单调性。解：∵ y=1-cosx0 ，∴ y=x-sinx 在 (- ， +) 上单调增加

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

10

12

几何上看：单调区间的分界点是使 f (x)=0 的点 .

注 : 区间内孤立点处导数为零或不存在 , 不影响函数在区间上的单调性 .

例 2

解

.)( 3 2的单调区间确定函数 xxf

).,(: D

)0(,3

2)(

3 x

xxf

.,0 导数不存在时当 x

时，当 0 x

,0)( xf 上单调增加；在 ),0[ 时，当 x0

,0)( xf 上单调减少；在 ]0,(

单调区间为 ，]0,( ).,0[

3 2xy

例 3

解

.)1

1(,0 的单调性函数时讨论 x

xyx

)(]1

1)

11[ln(

)1

1ln()1

1ln(xe

xxey x

xx

x

,0,0)

11ln(

x

xex 时其中

,0)1(

1)(,

1

1)

11ln()(

2

xxx

xxx又

0)(lim)(,)(,0

xxxxx

单调减少时

.)1

1(,0,0 单调增加时 x

xyyx

单调区间求法

问题 : 如例 1 ，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．

定义 : 若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间 .

导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．

讨论函数的单调性可以按以下步骤进行：

1 ）确定函数 f(x) 的定义域；

2 ）求 f (x) ，找出 f (x)=0 和 f (x) 不存在的点，

以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；

3 ）在各个区间上判别 f (x) 的符号，以此确定 f(x) 的单调性。

例 4

解.312

92)( 23

的单调区间确定函数

x

xxxf

).,(: D

12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx

得，解方程 0)( xf .2,1 21 xx

单调区间为 ，]1,( ，]2,1[ ).,2[

)1,( )2,1( ),2(

y

x

y↗ ↘ ↗

例 5 证明当 x>0 时， .6

sin3x

xx

证：令6

sin)(3x

xxxF

21cos)(

2xxxF 0])

2(sin)

2[(2

22sin2 22

22

xxxx

∴ F(x) 在 (0,+∞) 内单调上升，又 F(0)=0 ， F(x) 在 x=0 处连续，

利用单调性证明不等式

:,0)( 即 xF .6

sin,06

sin33 x

xxx

xx

例 6

证

.)1ln(2/,0 2 成立试证时当 xxxxx

),1ln()( xxxf 设 .1

)(xx

xf

则

,0)(),0(,),0[)( xfxf 可导，且在上连续在

上单调增加；在 ),0[ ,0)0( f

时，当 0 x ,0)1ln( xx ).1ln( xx 即

),1ln(2/)( 2 xxxxg 设 。