固体電子物性特論

固体電子物性特論

物質・材料系石橋隆幸

授業の内容• 物質の構造（２回）：　結晶構造、逆格子、格子振動とフォノンについて説明する。

• バンド構造（２回）　固体におけるバンド構造の基本的特徴、絶縁体、半導体、金属の特徴とバンド構造を説明する。

• 物質の性質（３回）　物質の基本的な性質である電気的性質、光学的性質、磁気的性質を説明する。

• 期末試験（１回）

【教科書】「応用物性」応用物理学会編、　　　　　　　佐藤勝昭編著、オーム社【成績の評価方法と評価項目】　演習問題30%および定期試験 (70%) により評価する。　授業項目の 60%以上の理解・習得を単位認定の基準とする。

【留意事項】　　理解困難な点、不明な点がある場合には、授業で質問すること。授業時間以外の質問は、随時受け付ける。

本日の内容

• 原子の結合と結晶構造• イオン結合• 共有結合• ファンデルワールス結合• 金属結合

• 逆格子と回折

イオン結合

• 代表的なイオン結晶アルカリ金属のハロゲン化物　　 NaCl, LiF, KI, KBrアルカリ土類カルコゲン化物　　 CaS, SrS Q

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∑Å

B

Na原子と Cl原子の周りに電子が集まっている。

Na+Cl-

閉殻構造

共有結合• 代表的な結晶• Si,Ge,ダイヤモンド , GaAs

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∑Å

B

原子と原子の間に電子密度の高い部分がある。電子は、二つの電子で共有することによって原子同士を結びつける手（ボンド）になっている。

共有結合

• CuInSe

IV

V

I

VI

III

IIISi, Geなど

GaAsなど

CuInSe2など

次世代の高効率太陽電池材料として実用化

ブラベー格子

ブラベー格子　 14種類結晶点群　 32種類空間群　 230種類

結晶格子の分類

結晶の格子と逆格子並進対称性

Na-Clの組が前後・上下・左右に規則的に繰り返される。

基本格子

€

r = n1a + n2b + n3c

は基本並進ベクトル

€

a, b, c

逆格子の重要性

• 回折現象X線回折、電子線回折、中性子線回折など

• 物性の考察電子構造運動量空間（ k空間）

周期構造による回折

レーザー光の回折の例

回折とは何でしょうか？二重スリットに光を入射させたときを

考えてみましょう。

スリット

スリット

二重スリットに光を入射すると

二つのスリットからの光は広がります。

そして、光は図のように初めとは

異なった方向へすすみます。

それでは、実際にみなさんに見せたいと思います。

図のように、ガラスの上に作られた金属のパターンに

レーザー光を照射してみます。

金属のパターン

レーザー

なにがおこるでしょうか？

レーザー光は、金属のパターンによって

いくつかの方向に分かれましたね。

レーザー

金属のパターン

結晶の格子と逆格子並進対称性

Na-Clの組が前後・上下・左右に規則的に繰り返される。

基本格子

€

r = n1a + n2b + n3c

は基本並進ベクトル

€

a, b, c

フーリエ解析

• なぜフーリエ解析か？–結晶は、電子密度 n(r) が周期的に配列–結晶の諸性質は電子密度のフーリエ係数に

直接結びついている

€

φ(r) = Cn exp(ing0r)n=−∞

+∞

∑

€

g0 =2π

a€

a

ただし

周期性　　を保証

€

a

€

Cn =1

aφ(r)exp(−ing0r)∫ dr

問題ここで問題です。回折の条件は次式

で与えられます。

dはパターンの周期、は光の波長、

θは角度、 nは整数です。

d=5m、 =500nmのとき、

θを求めなさい。

€

d sinθ = nλ

€

θ(rad) ≈nλ

dまたは

€

θ

€

d€

かいせつじょうけんじしきもんだい

しゅうき

あた

ひかりはちょう

かくどせいすう

もと

フーリエ解析

€

a

• 位置空間（ r）から、周波数空間（ g=ng0) へ

€

g(= ng0)

€

2π

a

€

4π

a

€

−2π

a

€

−4π

a

€

0€

r位置空間

周波数空間（逆格子空間）

逆格子

€

a* =2πb × c

a ⋅ b × c( ), b* =

2πc × a

b ⋅ c × a( ), c* =

2πa × b

c ⋅ a × b( )

逆格子の基本ベクトル

逆格子ベクトル

€

g = ha* + kb* + lc*

長さの逆数の次元をもつフーリエ空間のベクトル

逆格子の基本ベクトル

€

a* =2πb × c

a ⋅ b × c( )

€

a

€

c

€

b€

b × c

の方向で長さが

€

2π

a のベクトル

€

b × c

基本単位格子

€

b × c

a ⋅ b × c( )

逆格子（体心立方格子の場合）

• 実際に逆格子を求めてみよう！

キッテル、固体物理より

€

a1 =1

2a(−x + y + z)

a2 =1

2a(x − y + z)

a3 =1

2a(x + y − z)

€

x,y,z　　　　　は、立方体の稜に平行で互いに直行している単位ベクトル

€

V = a1 ⋅a2 × a3 =a3

2

基本単位格子の体積は

逆格子（体心立方格子の場合）

• 体心立方格子の逆格子は面心立方格子

QuickTime˛ Ç∆ êLí£ÉvÉçÉOÉâÉÄ

Ç™Ç±ÇÃÉsÉNÉ`ÉÉÇ å©ÇÈÇΩÇflÇ…ÇÕïKóvÇ≈Ç∑ÅB


€

a* =2π

a(y + z)

b* =2π

a(x + z)

c* =2π

a(x + y)

逆格子（面心立方格子の場合）

• 実際に逆格子を求めてみよう！


€

a1 =1

2a(y + z)

a2 =1

2a(x + z)

a3 =1

2a(x + y)

€

V = a1 ⋅a2 × a3 =a3

4

基本単位格子の体積は

逆格子（面心立方格子の場合）

• 体心立方格子の逆格子は面心立方格子

キッテル、固体物理より€

a* =2π

a(−x + y + z)

b* =2π

a(x − y + z)

c* =2π

a(x + y − z)



逆格子と回折• X線回折や電子線回折の測定は、逆格子点を計測している。

回折の条件



€

k − ′ k ( ) ⋅r = Δk ⋅r

€

expik ⋅r

€

expi k + Δk( ) ⋅r

= expik ⋅r ⋅expiΔk ⋅r

位相差

の位相が　　　だけずれると

とすると

€

Δk = g

€

Δk ⋅r

ここで、

€

expi k + Δk( ) ⋅r = exp ik ⋅r

任意の波

元の波と同じ位相！！強め合う。（回折条件）

回折の条件

€

Δk = g

k − ′ k = g

€

k = ′ k

逆格子空間に置ける回折条件

弾性散乱であるときなので、

€

k − g( )2

= ′ k 2 = k2

€

2g ⋅k = g2

€

g =2πn

d, k =

2π

λここで、　　　　　　　　　　　　　から

€

2d sinθ = nλが求まる。

€

′ k €

k

€

g

半径は

€

2π

λ

100keVの電子線

€

=0.37nm

逆格子は格子定数（数 nm）の逆数

Ewald 球は逆格子間隔より十分大きい

回折が起きる条件

Ewald による考察

k

k’

2θ

Ewald 球

k

試料

回折

XRD (θ-2θ) の場合

k

k’

2θ

Ewald 球

原点

scan

GeMn P

a

c

新物質MnGeP2の作製

K. Minami et al., JJAP 44 (2005) L265.



http://www.jeol.co.jp/science/em/denshisen.html

透過型電子顕微鏡

特長　回折パターン　原子像

反射高エネルギー電子線回折RHEED

電子線

特長　　結晶構造　　表面平坦性　　表面 10nm 程度の情報　　結晶成長中の観察　　

試料表面に対して数度の入射角



http://www.surf.nuqe.nagoya-u.ac.jp/ichimiya/gallery/RHEED_Si7x7.html



k

k’

2θ

Ewald 球

k

試料



点は Ewald 球と逆格子ロッドがぶつかったところ

回折

逆格子ロッド

表面の逆格子

バルク結晶の逆格子

表面バルク結晶の実格子

表面の原子間隔が大きくなると逆格子はロッド状にな

る


表面に凹凸がある

平坦

リング状にスポットが並ぶ原子レベルで平坦

まとめ• 原子の結合と結晶構造• 逆格子　　周期性持つ結晶はフーリエ空間で

取り扱うことができる。• 逆格子ベクトル　　逆格子は、逆格子ベクトルによって表現される

• 逆格子と回折　　 X線回折、電子線回折などの回折現象は逆格子点を計測している。

固体電子物性特論

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