机械波
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机械波. 引言. 机械波 ： 机械振动在弹性介质中传播. 电磁波 ： 变化电磁场在空间的传播. 他们具有波动的共同或相似的特性，如数学表达式，传播速度，振幅 ……. 一 机械波的几个基本概念. １、机械波的产生. 观察几种机械波： 横波，纵波. 当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个部分之间的弹性力间的相互作用，振动就由近及远的传播出去，可见. （１）机械波实质上是介质中大量质元参与的集体振动. （２）机械波产生的条件是波源和弹性介质. （３）沿波的传播方向各质元的相位依次落后 ，或者说沿波的传播方向上， 后一质元重复前一质元的运动状态. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
机械波
引言
机械波：机械振动在弹性介质中传播
电磁波：变化电磁场在空间的传播
他们具有波动的共同或相似的特性，如数学表达式，传播速度，振幅……
一 机械波的几个基本概念１、机械波的产生观察几种机械波：横波，纵波 当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个部分之间的弹性力间的相互作用，振动就由近及远的传播出去，可见（１）机械波实质上是介质中大量质元参与的集体振动（２）机械波产生的条件是波源和弹性介质
２、从波的产生，传播得到的波动过程特点 仔细观察一根拉紧的长绳 子上的横波沿绳子传播，可知（１）绳子上各质元在各自平衡位置往复振动，而质元不沿波的传播方向移动（２）波动是振动状态（相位）的传播（３）沿波的传播方向各质元的相位依次落后 ，或者说沿波的传播方向上，
后一质元重复前一质元的运动状态u
xt
３、描述波动的物理量
振动状态传播的速度或单位时间波传播的距离
（１）波长 ：沿波传播方向，两个相邻的相位差为 的振动质元间的距离
2
（２）波的周期 T 相位传播一个波长距离所需的时间．波的频率： 即单位时间内波传播的完整波的数目 T
v1
（３）波速（相速）u
和 的关系)(, T u
Tu
波传播速度 与介质性质有关u
（ａ）纵波与弹性介质的体积变化有关，而液体，气体只有体变弹性，故气体和液体只能传播与体积变化有关的纵波。
k
u （纵波）
式中ｋ为体积模量， 为介质密度。
设体积为Ｖ，压强为Ｐ的液体或气体，受外力压缩
VVVVV ，压强增加量 P
体积模量
VVP
k
有关系式V
VkP
)(k
u
（ｂ）固体中能产生切变、体变和长度变化等弹性形变，所以固体中既能传播横波又能传播纵波。
V VPP
PP V
PP
在固体中传播横波的速度
式中Ｇ为介质的切变模量，由下式给出G
u
物体在切向力Ｆ作用下，产生切变，引起切应变 ，若横截面为Ｓ
lr
lrsF
G
)(G
u
l
r
Fs
在固体中传播纵波的速度为
式中Ｅ为弹性模量E
u
长为 ，截面积Ｓ的固体，在外力作用下伸长
ll
llsF
E
)(E
u l
sF
l
４、波动中常见的几个物理名词（１）波线：波的传播方向上画的一些带有箭头的线。（２）波面：波在传播中，不同波线相位相同的点所连成的曲面。 （球面波，平面波，柱面波）（３）波阵面（波前）：某时刻波所到的各点连成曲面。（波前是波面的特例）
二、 平面简谐波的波函数（波动方程）1 、 平面简谐波 波源作简谐运动，介质中各点将依次作振幅相等的简谐运动而形成的平面 波。2 、 平面简谐波的波函数 ( 波动方程 )
描写平面简谐波在传播方向上任意 处的质点，在任意时刻 t 的位移 ，即函数形式
xy
)( txy ， 设一沿 ox 轴传播的简谐波，原点 o 处质点简谐运动方程 )cos(0 tAy
若波沿着正 ox 轴传播，速度为 u ，求平面简谐波的波函数
方法一：从运动学特征“推导”（建立）波函数波动传播的特征： 离开ｏ点距离为 的任一点ｐ，在 时刻的振动情况t
x
（１）与ｏ点以相同振幅Ａ和相同频率 作重复ｏ点的谐振运动
t（２）ｐ点在重复ｏ点的振动状态 , 但在时间上要比ｏ点滞后 即ｐ点在 时刻的振动与ｏ点在 时刻的振动状态相同
ux )(
u
xt
x
o p
因此 , 可以用ｏ点在
时刻的振动反映ｐ点在 时刻的振动
)(u
xt
t
])(cos[ u
xtAy p
该式即为沿 ox 轴正方向传播的平面简谐波的波动方程： ])(cos[
u
xtAy
波动方程的其它形式])(cos[
u
xtAy ])(2cos[
x
T
tAy
],)cos[( kxtAy2
k — 角波数
3 、讨论（１）若波沿着 ox 负轴方向传 播，则ｐ点的振动比（已知点） 原点ｏ超前 时间，即ｐ点ｔ时刻的振动状态与ｏ点 时刻的振动状态相同
u
x
)(u
xt
])(cos[ u
xtAy ])(2cos[
x
T
tA
（２）若已知的振动点不位于坐标原点ｏ , 是距ｏ为 的 Q ，且0x ]cos[ tAy
那么任一点ｐ的振动 ])[(cos u
rtAy p
即])(cos[ 0
u
xxtAy
x0x 0xxr
O PQ
（３）波函数的一般微分表达式设 )(cos
u
xtAy
)(cos22
2
u
xtA
t
y
)(cos
2
2
2
2
u
xt
uA
x
y
由此可得到平面波波函数的一般表达形式
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
可以证明，在三维空间传播的一切波动过程，有
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
y
uzyx
分别对 和 求二阶偏导数得xt
4 、波动方程（波函数）的物理意义
（请注意在波函数中有两个变量）
])(cos[ 0 u
xtAy
（ 1 ）若 给定（设 ）时 即只考察该处的质点，此时 仅仅是ｔ的函数，波动方程就表示距坐标原点 处质点在不同时刻的位移，也就是方程代表该质点的振动方程（如图）
y
x
0xx x
t
y
0xx
o
])(cos[ 0 u
xtAy
（ 2 ）若ｔ给定 ( 设 )时， 只是 的函数，此方程表示在给定时刻ｔ 波线上各点的位移，即该时刻的波形方程（如图）
0tt y t
x
y
o
0tt
x
y
tux
o
tt
u
（ 3 ）当 和 都变化时，方程就表示波线上各不同点在不同时刻的位移，即波形的传播（或相位的传播）如图
xt
例 1 、 已知平面简谐波波线上某一点的振动方程，写出其波动方程
求（１）以 A 点为坐标原点，写出波动方程
tAyA cos
设平面简谐波的波速 ，沿着 ox 轴正方向传播，在传播的路径上 A 点的振动方程为
u
x)(oA C D
p0r r
o xx
B
（ 3 ）某时刻波线上Ｃ和Ｄ两点间的相位差
（ 2 ）以距 Ａ点为 的Ｂ点为坐标原点，写出波动方程
0r
解： （ 1 ）由Ａ点的振动方程 及 ，可得以Ａ为坐标原点的波动方程u
tAyA cos
)(cosu
xtAyA
x)(oA C D
p0r r
o xx
B
所以，以 B 点为坐标原点的波动方程
（ 2 ）若以Ｂ点为坐标原点，首先写出Ｂ点的振动方程，因为 B 点的相位比 A 点的相位超前 ，得Ｂ点的振动方程 u
r0)cos( 0
u
rtAyB
])(cos[ 0
u
r
u
xtAy
x)(oA C D
p0r r
o xx
B
另一简单的方法是：在 ox 轴上任一点ｐ与已知振动点Ａ相距为ｒ，且 ，则得波动方程为
0rxr
)(cos)(cos 0
u
rxtA
u
rtAy
])(cos[)(cos 00
u
r
u
xtA
u
r
u
xtA
x)(oA C D
p0r r
o xx
B结果相同！
3 、波线上 C 点和 D 点的相位差取 A 为原点坐标
)(cosu
xtAy C
C
CDCD xx
u
xx
2)(
)(cosu
xtAy D
D
x)(oA C D
p0r r
o xx
B
解：由图上直接读出
m
mA
04.0
10.0
所以s
uT 01.0
例题 2 、已知平面简谐波的某一图形，写出波动方程（波函数） 设图示为平面简谐波在 时刻的波形图，求该波的波动方程。 已知波沿 ox 轴正方向传播，且
0t10.4 smu
5.4
)10( 2mx
5
10
5
10
o
)10( 2my
5.0
得坐标原点处的振动方程
波动方程
又ｔ＝０时，原点ｏ为什么？）， (005.0 00 vmy
则3
)3
cos(1.0 ty
]3
)04.001.0
(2cos[]3
)(2cos[
]3
)(cos[
xtA
x
T
tA
u
xtAy
5.4
)10( 2mx
5
10
5
10
o
)10( 2my
5.0
问题：若已知（１）任一时刻的波形图
（２）任一点振动图
（３）波形传播图
求波动方程（波函数）
（ 2 ）波动方程（ 3 ）离波源 10cm 处质点的振动方程
例题 3 频率 的平面纵波沿金属棒传播，棒的弹性模量 ，密度 ，已知波源的振幅 ， 求
kHz5.12
212109.1 mNE33106.7 mkg
mmA 1.0（ 1 ）取 ，波源的振动方程0
（ 4 ）离波源 20cm 和 30cm 两点处质点振动的相位差
解：先计算
（ 1 ）波源振动方程
sTmu
smE
u
5
13
1081
,40.0
100.5
t
ttAy
33
30
1025cos101.0
2cos101.0cos
)105
(1025cos101.0)(cos3
33
xt
u
xtAy
( ２ ) 波动方程（沿正 方向传播）x
)2
1025cos(101.0 33 ty
（ 3 ）离波源 10cm 处质点的振动方程 )1010( 2mx
（ 4） 2
2 12
xx
)10( 21 cmxx
三、波的能量1 、波动过程是能量传播的过程（以棒中传播的简谐纵波为例）
振动速度
当波传播到某质元 dm 时，该质点要振动具有动能 2
2
1dmvdWk
其中 dVdm
)(sinu
xtA
t
yv
)(sin2
1 222
u
xtAdVdWk
s
xx
dx
o
s
xy
o
dyy
由于介质中体积元 的形变而具有势能
dV
2)(2
1dykdWp
由前知其中 为棒的劲度系数k
dyldxlll
sF
E ,,对应
dx
dyEss
l
lEF
s
xx
dx
o
s
xy
o
dyy
比较 kdyF dx
Esk 所以
2))((2
1dy
dx
sEdWp
2)(2
1
x
yEdV
)(sin2
1
)(sin2
1
222
22
22
u
xtdVA
u
xt
uEdVA
s
xx
dx
o
s
xy
o
dyy
)(E
u
质元（总）能量
)(sin 222
u
xtdVA
dWdWdW pE
（ 1 ）能量密度 )(sin 222
u
xtA
dV
dWw
平均能量密度 22
2
1 Aw
（ 1 ）波动是能量传播的过程，质元的 dW ，在波动过程中从大 小 大，能量不断传递和获得。
讨论
（ 2 ）波动中动能和势能同相位（同时达到最大和最小），（振动中动能和势能相位差 ）
2
（ 3 ）波的能量正比于 )( 222 ，，A
x
y
oa
b
2、能流和能流密度 如何表述波动中能量的传递和流动呢？（大小，方向）（ 1 ）能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量 wusP
usAuswP 22
2
1
平均能流
单位：功率的单位Ｗ（在工程上指传播或发射的功率）
u
ut
（ 2 ）能流密度（波的强度） 单位面积的平均能流，即单位 时间垂直上述单位面积的平均 能流
uAuWs
PI 22
2
1 单位是 2mW
例如 声波的能流密度——声强人们听觉：声强和声频
由于引起人们听觉的声强的范围很大 ， 故采用声强级212 0.110 mWmW
2120
0
10),(lg mWIBI
ILI 通常
）dBI
ILI (lg10
0
四 、惠更斯原理（波传播过程中的另一特性）1 、原理：
其后的任意时刻这些子波的包络就是新的波前。
介质中波动传播到的各点都可以看作发射子波（球面波）的新波源
2 、原理的应用（ 1 ）确定某时刻波阵面（波前）和波的传播方向（波线）
（ 2 ）波的反射和折射
（ 3 ）波的衍射
3 、说明 （ 1 ）原理适用：机械波，电磁波以及均匀，非均匀介质。 （ 2 ）原理不足：各列波对空间各点振动的贡献多少？
五、 波的干涉： (波在传播过程中相遇时的特性）1 、波的叠加原理观察两列波相遇时的现象，得到如下结论（ 1 ）几列波相遇后，仍然保持它们各自原有的特性不变，按原方向继续前进（ 2 ）在相遇区域各点的振动，是几列波单独存在时在该点所引起的振动的叠加2 、 波的干涉——波相遇区的叠加现象 波的干涉现象——叠加现象中最基本，最重要的表现
两列频率相同，振动方向 平行，相位相同或相位差恒定 的波（相干波）相遇时，使某 些区域振动始终加强，而另一些区域振动始终减弱的现象3 、干涉条件的讨论设两列相干波的波源 和 其振动方程1s 2s
)cos( 111 tAys
)cos( 222 tAys
1s
2s
1r
2r
p
其形成的两列波在空间ｐ点相遇，则它们在ｐ点的振动方程
所以ｐ点处的合振动为（简谐运动）
)2
cos 1111
rtAy （
)2
cos 2222
rtAy （
)cos21 tAyyy （
cos2 212
22
1 AAAAA
12
12 2rr
合振幅最大 21 AAA
合振幅最小 21 AAA
当
krr
22 1212
210 ，，k
当
)12(2 1212
k
rr210 ，，k
可计算得 和 ，其中合振动振幅
A
如果 21 （常见）
21 AAA
21 AAA
（ 1 ） 不是上述值时，需计算求出合振动振幅Ａ
当 krr 12 210 ，，k
当2
)12(12
krr 210 ，，k
讨论：
（ 2 ）干涉现象是波动所独有的现象（ 3 ）非相干波相遇，不发生干涉现象 例题、两振幅相等相干波源于 A ， B 两点处，相距 30cm ， ，且Ｂ比Ａ的相位超前 ，求在 AB 连线上因干涉而静止的各点位置。（ 15—17 ）
1400100 smuHz，
xx
oA B
p
解：两波源激起的两列波的方程取图示坐标
)(2cos
xtAyA
])30
(2cos[
x
tAyB （为什么？）在某处（ ）相遇时相位差x
)(2])30
(2[
xt
xt
)1(2)302
2
kx
2,1,0 k
xx
oA B
p
因为 mu 0.4
021 AAA合振幅
kx 215讨论： （ 1 ）可直接由干涉条件求得上述结果，即
)12(2
k
rr ABAB
AB
xrxr AB ，30
解得 kx 215x
xoA B
p
mx 297531 ，，，即代入
)12(
3022 k
x－
（ 2 ）在 AB 连线之间，相干涉结果，某些质点静止不动，而另些质点振动始终加强—什么现象？六、 驻波1 、 什么是驻波？（观察驻波现象）
2 、驻波的形成： （观察） 两列振幅相等的相干波，在同一直线沿相反方向传播叠加而形成的一种特殊形式的干涉现象
波 “驻”，即没有波的移动和传播，只有（分段）振动
3 、现象分析（ 1 ）有波形，却无波形传播（无相位，能量传播）（ 2 ）各质点在分段上振动，但振幅不等（ 3 ）各分段上振动相位相同，相邻两分段的振动相位相反
4、 驻波方程—描述驻波的运动方程 从一特例导出，其它情况导出的方程形式略有不同
设两列反向传播的等振幅相干波方程
同方向振动，则
)2cos1 xtAy （
21 yyy
)2cos2 xtAy （
uu
o x
驻波方程 tx
Ay
2cos2cos2
说明： （ 1 ）各点 在作振幅 不等的简谐运动 （ 2 ）本方程是由两列波的波源都位于坐标原点，且在坐标原点时两波源的相位相等情况下导出的驻波方程表示式。
)(x x
A 2cos2
)2(cos t
5、 驻波的特性（ 1 ）波节 和波腹（振幅的特征）各点振动振幅不等，其中波节点 02cos2
x
A
)2,1,0(4
)12( kkx
波腹点 12cos2
xA
kx
2 )2,1,0(2
kkx
2)12(2
kx
相邻两波节（两波腹）间的距离为
相邻波节波腹间的距离
（ 2 ）无相位传播（相位特征）
2
x
4
x
（ 3 ）无能量传播，能量在波节和波腹附近之间互相转换
分段振动，各段以一个整体同步振动两邻分段的相位相反
从驻波实验知波在固定点反射处形成波节。
6 、相位突变 （半波损失 ）
2
在两种介质 的分界面上，若 （波从波疏介质入射到波密介质），则反射波在分界面上的相位突变 ，（相当于出现半个波长的波程差）
)( 2211 uu 和1122 uu
例、两端固定的弦线上形成驻波 由于弦线两端为波节，所以，应满足下列关系
对应不同频率有不同振动方式
2nnl
3,2,1n
或者说 )2
(2l
unn
lnn 3,2,1n
（基频，谐频）
l
如琴弦上的驻波
T
u
T
l
n
l
unn 22
——为弦线张力T
——为弦线的线密度
七 、多普勒效应1 、 现象：波源或观察者相对于介质运动，使观察者接受波的频率与波源的频率有所不同的现象称为多普勒效应2 、 几个概念（ 1 ）波源频率 ：波源单位时间内振动次数（单位时间内发出完整波的数目如 ）
u
（ 2 ）观察者接受的频率 观察者单位时间内接受到的振动次数（或完整的波数）
3 、几种情况（波源和观察者沿它们连线相对介质运动）
（ 3 ）波的频率 ：介质内质点单位时间内振动次数
b
bb
u
（ 1 ）波源观察者都静止不动 （ 波源频率）
（ 2 ）波源不动，观察者相对介质以 运动0v
s pu v 设波速为 ，图示情况
下，观察者接受的频率为u
u
vuvu
b
00
)( uu
bb
若 远离波源，则0v
u
vu 0
波源运动，介质中的波长发生变化，如图所示
（ 3 ）观察者不动，波源相对介质以 运动sv
b
tv0
uT
ss
ss
b
vuTvu
TvuTTv
)(
00
所以波的频率为
sbb vu
uu
即 svu
u
若 远离观察者，则sv
svu
u
（ 4 ）波源与观察者同时相对运动
svu
vu
0
tv0
uT
ss
解：分两步讨论
例题：声波源 静止不动，一移动物体 向着波源运动，求Ｐ点接受到的声频
,3400hz1340 smu
10 2.0 smv
0vp s
首先，物体作为接受体，则其接受的声频为
u
vu 0
然后，波从移动物体反射回来，此时物体作为新波源
hzvu
vu
vu
u
s
34040
0
讨论（ 1 ）可测定物体速度（ 2 ）观察者ｐ可听到拍频！
0vp s
v
''v