等差与等比数列

等差数列 等比数列

定义

通项公式

11

1

2

2(

nnn

nn

aaa

ndaa ）

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

qa

a

1

1

1

dnaan )1(1 11

nn qaa

等差数列 等比数列

等差中项

如果三个数 a、 A、 b成等差数列，则 A叫做a、 b的等差中项

如果三个数 a、 G、 b成等差数列，则 G叫做 a、b的等比中项

前 n项和

2

baA

abG

2

)1(2

)(

1

1

dnnna

aanS nn

1,1

)1(1,

1

1

qq

qaqa

S nn

等差数列 等比数列

主要性质

若 m+n=p+q

特别地 2n=p+q

若 m+n=p+q

特别地 2n=p+q

mnmn qaa dmnaa mn )(

qpnm aaaa qpnm aaaa

qpn aaa 2 qpn aaa 2

已知 a 、 b 、 c 成等差数列，求证： 3a ， 3b ， 3c 成等比数列思考： 如果改为如果将上例中的 3 改为 -3 结

论成立吗？请将上述命题进行推广。 数列 {an} 是等差数列， C 为正常数，

数列 为等比数列。 naC

是什么数列？，，判断： 27log9log3log 222

是什么数列？，，8

1log

4

1log

2

1log 222

类比等差数列中的结论，请你猜测一个正确的命题

为等差数列则数列且正常数

为为等比数列（若数列

}{log,1,

,),0

nc

nn

aC

CNnaa

• 例：等差数列 {an} 中， d 为公差，则 a1 ， a3 ， a5 ，┅ a2n-1┅ 是什么数列？ a2 ， a4 ， a6 ，┅ a2n ┅ 是什么数列？ a1 ， a4 ， a7 ，┅ a3n-2

┅ 是什么数列？•类比到等比数列，是否有相应的结

论？

等差等比数列的特征分析• 等差数列的通项公式可设为 an=an+b

• 等比数列中的通项公式可设为 an=ABn ，• 等差数列的前项和 Sn=an2+bn

• 等差数列的前项和 Sn=a-aqn

等差数列前 n项和特征分析• 例：已知数列 {an} 的前项和为 Sn=n2+ （ 3/

2 ） n （ 1 ）求它的通项公式，（ 2 ）求证：数列 {an} 是等差数列

• 例：已知数列 {an} 的前项和为 Sn=n2+ （ 3/2 ） n+2 （ 1 ）求它的通项公式，（ 2 ）判断 {an} 是等差数列吗？为什么？

等差数列的前 n 项和特征分析 一般地，如果一个数列的前 n 项和

为 Sn=an2+bn 那么这个数列一定是等差数列，且首项是 a+b ，公差为 2a 。如果一个数列的前 n 项和为 Sn=an2+bn+c （ c≠0 ），那么数列 {an} （ n=2 ，3 ，…）成等差数列

• 例 : 在等差数列 {an} 中 , 已知 a8=12,a1

0=8, 则数列从第几项开始是负数 ? 前多少项和最大 ?

• 第 15 项 ; 第 13 、 14 项和最大

• 例 : 在等差数列 {an} 中 , 若 a5+a11=3, 计算a8+a4+a12

• 例 : 已知等比数列 {an} 中 ,a2a8=16,a3a5a7=

• ±64

• 例 : 等比数列 {an} 中 ,a5a7=32,a3+a9=18, 求a10

• ±16√2, ± √2• 例 : 在等差数列 {an} 中 ,am=n,an=m, 求 am+

n

• 0

• 例：已知等差数列连续三项和为 21 ，三项平方和为 179 ，求这三项。

• 解： x-d+x+x+d=21 ， x=7 ， d=±4

• 3 ， 7 ， 11 or 11 ， 7 ， 3

例 : 在等差数列 {an} 中 ,a1,a3,a7 是等比数列的前三项 , 求该等比数列的公比解 :a3

2=a1a7,d(a1-2d)=0,d=0,a1=2d,q=1 or q=2

通项公式的求法• 利用 Sn-Sn-1

• 代换法 (构造法 )

• 逐差法 (逐积法 )

• 数学归纳法

求下列的通项公式 Nnaaaaa nnnn ,1,3,0,1 11中、数列

Nna

aaaaa

n

nnnn

,

21,2

1,0,2 11中、数列

Nnaaaa nnn ,23,1,3 11中、数列

)1224 111 naaaaa nnnn （，、

7

nn an

naa

1

315 11

，、

，、，、n

an

an

nn

135

34

24

例 :已知 a1=2,an+1=an+2(n-1),求 an的通项公式

• 例 : 在数列 {an} 中 ,a1=2,an+1=2(a1+a2+…+an) 求 an

2,34

1,22 n

na nn

2234

2232

22

2

2234

3232

122

2

11

121

211

112

111

anqaa

naaaaa

naaaa

aaaa

Sana

SSSSSS

nnn

nnnnn

nn

nn

nn

nnnnnnn

），（

项开始）从第（，）相减（

解二、），（

解一、

• 例：等差数列 {an} 中若 a2+a5+a12+a15=36 求 S16

• 144

• 例：等差数列 {an} 中若 a6=20 ，求 S11

• 220

• 点要 : 已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn,且 a2+a5+a20 为常数 , 则数列 {Sn} 中也为常数项的是第几项 ?

• S17

• {an} ， {bn} 均为等差数列，前 n 项和的比为（ 7n+2 ）：（ n+3 ）求 a7 ： b7

• 93/16

• 等差数列 {an} 中 ,a1=1, 前 n 项和 Sn 满足 S

2n/Sn= （ 4n+2 ） / （ n+1 ），求数列 {an}的通项公式。

• an=n

• 例： {an} 是公差为 1 的等差数列，如果a1+a2+a3+…+a98=137 ， a2+a4+a6+…+a9

6+a98=?

• 解： 93

• 类比到等比数列中，请你设计一个类似的问题

• 在正项等比数列 {an} 中，公比 q=2 ，且a1a2a3…a30=230 ，求 a3a6a9…a30

• 220

例 3 、已知等差数列的 S4=32 ， S8=56 ，求 S12

解： 一、求出 a1=35/4 ， d=-1/2 ， S12=72

解：二、 S4=32 ， S4， =24 ， S4

，， =16 ，S12=72

总结：Sk ， S2k ， S3k ，之间的关系例 4 、等比数列的 S4=-20 ， S8=-640 ，求 a

1 与 q