1.定义： an-an-1=d（ d 为常数）（ n≥2）

3.等差数列的通项变形公式：

an=am+ （ n-m ） ·d

2.等差数列的通项公式：

an=a1+(n-1)d

要

点

复

习 4.数列 {an} 为等差数列，则通项公式 an=pn+q (p、 q 是常数 ),反之亦然。

要

点

复

习

.

5

的等差中项与叫做那么构成等差数列使得

中间插入一个数与如果在两个数

ba

A，a A、、 、A，ba、

2

6

baA

，a A、、 、、

那么成等差数列如果

7. 性质 : 在等差数列 中， 为公差， 若 且

na d

Nqpnm ,,, qpnm

那么： qpnm aaaa

8. 推论 : 在等差数列中，与首末两项距离相

等的两项和等于首末两项的和，即

23121 nnn aaaaaa

na9. 数列 前 n 项和 :

nn aaaS 21

)1(

)2(

n

n

1

1

S

SSa nnn

10.性质：若数列 前 n项和为 ，则 na ns

n11.等差数列的前 项和公式 :

2

)( 1 nn

aanS

2

)1(1

dnnnaSn

或

两个公式都表明要求 必须已知 中三个

nS

nadan ,,, 1注意：

12. 性质 : Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列 .

物线的开口决定。抛孤立的点，它的最值由象是相应抛物线上一群

的图项和结论：等差数列的前2

)1(1

dnnnaSn n

联系 : an = a1+(n-1)d 的图象是相 应直线 上 一群孤立的点 . 它的最值又是怎样 ?

例 2. 在等差数列｛ an ｝中 ,a3=-13,a9=11, 求其前n 项和 Sn 的最小值 .

解法一、 ( 利用函数方法求解 )

解法二、 ( 利用等差数列的特点和性质求解 )

( 答案 : Sn=2n2-23n, 当 n=6时 ,Sn 取得最小值 -56.)

例 1. 己知数列 ｛ an ｝ 的前 n 项和 Sn=-n2-2n+1, 试判断数列｛ an ｝是不是等差数列 ? 思路 : Sn → an →an-an-1= 常数 ? 答案 : 是

例 3. 已知等差数列｛ an ｝的前 m 项和为 30 ，

前 2m 项和为 100 ，求它的前 3m 项的和。

解 : 在等差数列｛ an ｝中 ,有 :

Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列 .

所以 ,由 2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)得 :

S3m=210

( 方法 1) 解 : 设直角三角形三边长分别为： a,a+d,a+2d(a>0,d>0) ， 由勾股定理得： (a+2d)2=a2+(a+d)2, 即 a2-2ad-3d2=0 ，亦即 (a-3d)(a+d)=0 ， ∴a=3d(a=-d 舍去 ) ， ∴ 直角三角形三边长分别为 3d,4d,5d ， ∴ 它们的比为 3:4:5.

练习 : ( 一题多解 ) 已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边之比 .

方法 2. 设三边分别为： a-d,a,a+d(a>0,d>0), 由勾股定理得： (a-d)2+a2=(a+d)2 ， 即 a2-4ad=0, a=0(∴ 舍去 )或 a=4d. ∴ 三边为： 3d,4d,5d. a:b:c=3:4:5.∴

方法 3: 由题意可设三边为： a,b,c,且 a<b<c ，则

a2+b2=c2 -- ,① 2b=a+c -- .②

由①、②消去 a 得： 5b2-4bc=0 ，

即 b(5b-4c)=0,

∴b=0( 舍去 )或 b=4c/5,

∴a:b:c=3:4:5.

数列 的前 n 项和 Sn= + + + +

54

1

)1(

1

nn

21

1

32

1

43

1

,

)1(

1

nn

研究一下 , 能否找到求 Sn 的一个公式 . 你能对这个问题作一些推广吗 ?