等比数列

教学目标

知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；

过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

教学重点

等比数列的定义及通项公式

教学难点

灵活应用定义式及通项公式解决相关问题

情景展示（ 1）曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭 .”庄子

如果将“一尺之棰”视为一份，

则每日剩下的部分依次为：

如果将“一尺之棰”视为一份，

则每日剩下的部分依次为：

,16

1,

8

1,

4

1,

2

1……

2×1.05 ， 2×1.052 ， 2×1.053 ， 2×1.054 ， 2×1.055.

某人年初投资 2 万元，如果年收益是 5% ，那么按照复利， 5 年内各年末的本利和依次为：

情景展示（ 2）

某种汽车购买时的价格是 36万元，每年的折旧率是 10% ，求这辆车各年开始时的价格（单位：万元）。

36， 36×0.9， 36×0.92, 36×0.93,…

各年汽车的价格组成数列：

情景展示（ 3）

再看两个数列：

2 ， 4 ， 8 ， 16 ，……

1 1 1 1, , , , ;

2 4 8 16

它们的共同特点是：

从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，

等比数列的定义等比数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，

这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母 q (q≠0) 表示。

等比数列的定义

)2( nqa

a

n

n 1

2.

)1( n1n

n

aq

a 或

1. qa

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n 14

5

3

4

2

3

1

2

例 1 ： 指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由．

(3)

(1) １ ,1, 1, 1, 1;

(2) 0,1,2, 4,8;

1 1 1 11, , , , ,

2 4 8 16

思考：等比数列中(1) 公比 q 为什么不能等于０？首项 a1 能等于０吗？

(2) 公比 q=1 时是什么数列？

(3)q>0 数列各项的符号有什么特点？ q<0 呢？

)2(1

nqaa

n

n

或 )( *1 Nnqa

a

n

n

{a{ann}} 是等比数列是等比数列

(4){ } 是等比数列能与 an=an-1q (n≥2) 等价吗 ?na

例 1 ．已知数列 {an} 的通项公式为 an=3×2n ，

试问这个数列是等比数列吗？

解：因为当 n≥2 时，

11

3 22

3 2

nn

nn

a

a

所以数列 {an} 是等比数列。

等比数列的通项公式等比数列的通项公式 如果等比数列｛ an ｝的首项是 a1 ，公比是

q, 那么根据等比数列的定义得到当 n≥2 时：

qa

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n 14

5

3

4

2

3

1

2

11

nn qaa

等比数列的通项公式为等比数列的通项公式为

例 2 ．已知等比数列 {an} 的公比为 q ，第 m

项为 am ，试求其第 n 项。

解：由等比数列的通项公式可知 1

1n

na a q 11m

ma a q

两式相除得 n mn

m

aq

a

因此 n mn ma a q

等比中项 如果三个数 x ， G ， y 组成等比数列，则 G 叫做 x 和 y 的等比中项 .

如果 G 是 x 和 y 的等比中项，那么G y

x G

即 G2=xy ，

显然两个正数 ( 或两个负数 ) 的等比中项有两个，它们互为相反数，

一个正数和一个负数没有等比中项。

在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项 ( 有穷数列的末项除外 ) 都是它的前一项与后一项的等比中项。

等比数列的通项公式还可以写成

an=a1qn － 1 1 n naq cq

q

当 q 是不为 1 的正数时，它是一个非零常数与一个指数函数的乘积 .

等比数列的图象

（ 1 ）数列： 1 ， 2 ， 4 ， 8 ， 16 ，…

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

●●

●

●

●

12nna

例 3 ．已知等比数列 {an} 中， a5=20 ， a15=5 ，

求 a20.解：由 a15=a5q10 ，得 10 1

4q

所以 5 1

2q

因此 520 15

5

2a a q

或 520 15

5

2a a q

1. 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12

与 18 ，求它的第 1 项与第 2 项 .

练习：

1 2

16, 8

3a a

2 ．数列 1 ， 37 ， 314 ， 321 ，……中， 398

是这个数列的（ ）（ A ）第 13 项 （ B ）第 14 项 （ C ）第 15 项 （ D ）不在此数列中

C

3. 若数列 {an} 是等比数列，公比为 q ，则下

列命题中是真命题的是（ ）（ A ）若 q>1, 则 an+1>an

（ B ）若 0<q<1, 则 an+1<an

（ C ）若 q=1, 则 Sn+1=Sn

（ D ）若－ 1<q<0, 则nn aa 1

D

4 ．若 x, 2x+2, 3x+3 是一个等比数列的连续

三项，则 x 的值为（ ）

（ A ）－ 4 （ B ）－ 1

（ C ） 1 或 4 （ D ）－ 1 或－ 4

A

5 ．三个正数 a,b,c 成等比数列，且

a+b+c=62, lga+lgb+lgc=3,

则这三个正数为 . 50 ， 10 ， 2 或 2 ， 10 ，50

6 ．在正项数列 {an} 中， (an+3)2=an+1an+5, 且 a3=

2, a11=8, 则 a7= .4

给你一张足够大的纸，假设其厚度为 0.1毫米，那么当你把这张纸对折了 38次的时候，所达到的厚度有多少？

猜一猜：

把一张纸折叠 38次，你今晚可以沿着它爬到月球上去！

课后反思

1. 等比数列的概念和等比数列的通项公式 ;

2. 灵活应用等比数列定义，通项公式， 性质解决相关问题。