等比数列

答案

解析

标注 【知识点】 算法与框图 > 算法及其程序框图 > 程序框图

（5分）

开始

输入

输出

结束

是

否

A. B. C. D.

执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的结果是（ ）.1

C

由题意可得： ．

故选： ．

一、选择

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【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列前n 项和公式

【题型】 数列 > 等比数列 > 等比数列的性质问题 > 求等比数列的前n项和

答案

解析

标注 【知识点】 数列 > 等差数列 > 等差数列的性质及应用

（5分）

A. B. C. D.

已知数列 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与 的等差中项

为 ，则 （ ）．

2

C

∵ 与 的等差中项为 ，

∴ ，

又∵ 是等比数列， ，

∴ ，解得 ，

∴ .

答案

解析

（5分）已知公比为 的等比数列 中， ，则该数列

前 项的和 ．

3

设等比数列的首项为 ，公比 ，前 项和为 ．

由题知 ， ， ， ， ， ， 仍为等比数列，

其首项为 ，公比为 ，故其前 项的和为

，

二、填空

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标注 【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列的概念通项公式的意义

解得 ．

答案

解析

标注 【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列的性质及应用

（5分）等比数列 中， ，且 ，则 的值为 ．4

∵数列为等比数列，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

答案

解析

标注 【知识点】 数列 > 等差数列 > 等差数列的前n项和

（5分）已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前 项和，若 ， ， 成等比数

列，则 ．

5

借助等比中项及等差数列的通项公式求出等差数列的公差后，再利用等差数列的求和公式直

接求 ．

成等比数列， ，

．

．

．

（5分）已知 的三边长成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为 ．6

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答案

解析

标注 【知识点】 解三角形 > 余弦定理

依题意得， 的三边长分别为 ，

则最大边 所对的角的余弦值为： ．

答案

解析

标注 【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列的概念通项公式的意义

（5分）已知等比数列 为递增数列，且 ， ，则数列

．

7

根据条件求出首项 和公比 ，

再求通项公式由

或 ，

又数列 递增，所以 ， ，

所以数列 的通项公式为 ．

答案

解析

标注 【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列的概念通项公式的意义

（5分）等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 ＝ ．8

由 ，即 ，

即 ，即 ，

即 ，所以 ．

9

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答案

解析

标注 【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列前n 项和公式

（5分）设 成等比数列，且 ，记 ，

，则 ．

由题意 ，

则 ，

即 ， ，

，

所以 ．

答案

解析

标注 【知识点】 数列 > 等差数列 > 等差数列的概念通项公式

（5分）已知递增的等差数列 的首项 ，且 , , 成等比数列，则数列

的通项公式 ； .

10

1．

2．

设数列 的公差为 ，

因为 , , 成等比数列，

所以 ，即 ，

解得

或， （舍），

；

．

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答案

解析

标注 【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列前n 项和公式

【题型】 数列 > 等比数列 > 等比数列的性质问题 > 求等比数列的前n项和

（5分）某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂) ，要求此患者每天早、

晚间隔 小时各服一次药，每次一片，每片 毫克．假设该患者的肾脏每 小时从体内大约排

出这种药在其体内残留量的 ，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过 毫克时无明显

副作用．若该患者第一天上午 点第一次服药，则第二天上午 点服完药时，药在其体内的残留量

是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）．

11

1．

2．无

该患者第一天上午 点第一次服药，晚上 点第二次服药，第二天上午 点再次服药，

则该药在体内残留量为 ；

设该患者服用了 次药，

则药在其体内残留量总和为：

，

所以该患者坚持长期服用此药无明显副作用．

答案

解析

（5分）设等比数列 满足公比 ， ，且数列 中任意两项之积也是该数列的

一项．若 ，则 的所有可能取值之和为 ．

12

由题意， ，设该数列中的任意两项为 ， ，它们的积为 ，

则为 ，即 ， ，

∴ ，

故 必是 的正约数，

即 的可能取值为 ， ， ，

即 的可能取值为 ， ， ，

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标注 【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列的概念通项公式的意义

∴ 的所有可能取值的集合为 ，

∴ 的所有可能取值之和为 ．

答案

解析

（12分）已知 是等差数列， 是正项的等比数列，且 ， ， ．13

（5分）求 、 的通项公式．（1）

（7分）求数列 中满足 的各项的和．（2）

， ．（1）

．（2）

（1） ∵在等差数列 中，

，

，

，

又∵在等比数列 中，

，

∴ ．

（2） ∵ 即 ，

解出 ，

即 ， ， ， ，

即为求 ，

，

，

∴ ，

．

三、解答

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标注 【题型】 数列 > 等比数列 > 等比数列的性质问题 > 求等比数列的通项公式

【题型】 数列 > 等差数列 > 等差数列的性质问题 > 等差数列的前n项和计算

【知识点】 数列 > 等差数列 > 等差数列的概念通项公式

【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列的概念通项公式的意义

答案

解析

标注

（12分）设 为数列 的前 项和，已知 ， ．14

（5分）证明：数列 是等比数列．（1）

（7分）求数列 的通项公式，并判断 ， ， 是否成等差数列．（2）

证明见解析．（1）

，是等差数列，证明见解析．（2）

（1） ∵ ，

令 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

令 ，

∴ ，

∴ ，

∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．

（2） 由（ ）可得， ，

∴ ，

，

∴ ，

∴ ， ， 构成等差数列．

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【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列的概念通项公式的意义

【知识点】 数列 > 数列的概念 > 数列的前n项和

【题型】 数列 > 数列的概念 > 数列求和问题 > 分组法求和

【题型】 数列 > 等差数列 > 等差数列的判定与证明问题

【题型】 数列 > 等比数列 > 等比数列的判定与证明

答案

解析

标注 【题型】 数列 > 数列的概念 > 数列的函数特性问题 > 数列与不等式综合问题

【知识点】 数列 > 等比数列 > 等比数列前n 项和公式

【知识点】 数列 > 等差数列 > 等差数列的前n项和

（12分）在等差数列 中， ，其中前 项和为 ．等比数列 的各项均为正数，

，且 ， ．

15

（5分）求 与 ．（1）

（7分）设数列 的前 项和为 ，求使不等式 成立的最小正整数 的值．（2）

， ．（1）

．（2）

（1） 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，

，

，

解得： 或 （舍去），则 ．

∴ ， ．

（2） 由（ ）得： ，

，

恒成立等价于 ，即 ，则 ，

∴使得不等式 成立的最小正整数 的数值为 ．

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