应力状态和强度理论

应力状态和强度理论

平面应力状态的应力分析·主应力

平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应力而无切应力这种应力状态。

等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态。


一对横截面，两对纵截面

B

AB

PPMe

Me

横截面，周向面，直径面各一对

C

C

p

eM

W P

A


B

C

A

P

C

A

B

BC

CC

AA

应力状态和强度理论简单拉伸：横截面只有正应力

A

FN

斜截面F

F

FF

F p

20cos cosp 0sin sin 2

2p

单向应力状态


2sin

2cos

纯剪切应力状态

扭转：横截面只有切应力

单轴应力状态

斜截面

min

min

max

max


对于图所示受横力弯曲的梁，从其中 A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图

A

本节中的分析结果将表明 A点也处于平面应力状态。


平面应力状态最一般的表现形式如图所示，现先分析与

已知应力所在平面 xy 垂直的任意斜截面上的应力。

xyyx

n

e

f

x

y

z

x

y

z

xyyx


Ⅰ. 斜截面上的应力

图中所示垂直于 xy 平面的任意斜截面 ef 以它的外法线 n 与 x

轴的夹角 α 定义，且 α 角以自 x

轴逆时针转至外法线 n 为正。斜截面上图中所示的正应力

和切应力均为正值，即以拉

应力为正，以使其所作用的体

元有顺时针转动趋势者为正。

x

y

x

y

xyyx

n

xy

yx

x

y

e

f


图知，如果斜截面 ef的面积为 dA ，则体元左侧面的面积为 dA·cosα，而底面的面积为 dA·sina 。图示出了作用于体元诸面上的力。体元的平衡方程为

0sinsindcossind

coscosdsincosdd0

AA

AAAF

yy

xxn ，

0cossindsinsind

sincosdsincosdd0

AA

AAAF

yy

xxt ，

xy

yx

x

y

e

f


需要注意的是，图中所示单元体顶 ,底面上的切应力

y 按规定为负值，但在根据图 d中的体元列出上述平衡方

程时已考虑了它的实际指向，故方程中的 y 仅指其值。也

正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是 x=y 。由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以 2

为参变量的求斜截面上应力，的公式：

2sin2cos22 x

yxyx

2cos2sin2 x

yx

应力状态和强度理论二向应力状态具有如下性质：

1，相互垂直的截面上正应力之和为常量。

yx

2

2 ，相互垂直的截面上切应力等值反号。

2

2sin2cos22 x

yxyx

2cos2sin2 x

yx

The End

应力状态和强度理论斜截面上的应力

x

y

x

y

xyyx

n

xy

yx

x

y

e

f

平衡方程为

0sinsindcossind

coscosdsincosdd0

AA

AAAF

yy

xxn ，

0cossindsinsind

sincosdsincosdd0

AA

AAAF

yy

xxt ，

应力状态和强度理论应力圆

为便于求得，，也为了便于直观地了解平面应力状

态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆 )来表示。先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：

2

2

2

2

22 xyxyx

圆的方程。圆心： )0,2

( yx 半径： 2

2

2 xyx

2sin2cos22 x

yxyx

2cos2sin2 x

yx

应力状态和强度理论而这就是如图所示的一个圆——应力圆，它表明代表

α 斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。

O C

2yx

2

2

2 xyx

x

y

x

y

xyyx

n

e

f

应力状态和强度理论应力圆的作法：建立 -- 坐标系：

τ

Oσ

按规定比例量取：

1 xOB

x

y

x

y

xyyx

x

1B

2 yOB

y

2B

2 2 xB D

x

2D1 1 xB D

1D

x

与连线。与轴交点 C。作圆，得莫尔圆。1D 2D

C

代表 X 截面上应力。1 :D

( , )x x

2

E

任一截面上的应力可从 CD1 开始按方向转动 2 角得CE 。得 E 点坐标（，）

( , )


点面对应，

转向一致，

转角加倍

应力圆

单元体

点

面

坐标

应力

直径两端

垂直两面

2

x

y

x

y

xyyx

τ

Oσ

( , )x xy

( , )y yx

( , )

2

应力状态和强度理论主应力与主平面

根据图所示单元体上的应力所作应力圆 .

x

y

x

y

xyyx

n

e

f

圆周上 A1 和 A2 两点的横座

标分别代表该单元体的垂直于 x

y 平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值，它们的作用面相互垂直 (由 A1 和 A2 两点所

夹圆心角为 180˚ 可知 )，且这两个截面上均无切应力。x

y

1

2

xy

0

τ

Oσ

C 1A2A 02

( , )x x

应力状态和强度理论一点处切应力等于零的截面称为主平面，

主平面上的正应力称为主应力。

应力圆圆周上点 A1 和 A2 所

代表的就是主应力；但除此之外，图所示单元体上平行于 xy平面的面上也是没有切应力的，所以该截面也是主平面，只是其上的主应力为零。

x

y

x

y

xyyx

n

e

fx

y

10

τ

Oσ

C

x

B1

y

B2x

D1

2

E

F

02

1A

2A

1

2


2sin2cos22 x

yxyx

2cos2sin2 x

yx

应力表达式求正应力的极大值

0)(2cos22sin22

)( /

xyx

可见：正应力的极值点发生在切应力为零处。

即：对复杂的应力状态，当切应力为零时，正应力取极值。

yx

xy0

22tan

2

xy

2yxyx

minmax 22

应力状态和强度理论在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作 1 ，

2 ， 3 。图所示应力圆中标

出了 1 和 2 ，而 3=0 。

321 代数值

τ

Oσ

C

x

B1

y

B2x

D1

2

E

F

02

1A

2A

1

2

x

y

x

y

xyyx

n

e

f


当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下图

所示，可能是 1 ，也可能是 2或 3 ，这需要确定不等于

零的两个主应力的代数值后才能明确。

1

2

)0( 3

3

1

)0( 2

2

)0( 1

3


当空间应力状态的三个主应力 1 ，

2 ， 3 已知时 (图 a) ，与任何一个主平面垂直的那些斜截面 (即平行于该主平面上主应力的斜截面 )上的应力均可用应力圆显示。

(a)

应力状态和强度理论图中所示垂直于主应力 3 所在平面的斜截面，其上的应力与 3

无关，这类斜截面上应力的点必落在以 1 和 2 作出的应力圆上。

1 1

3

3

2

2

3

3

1

2

12


1

3 2

max

max

同理，显示与 2(或 1) 所在主平面垂直的那类斜截面上

应力的点必落在以 1 和 3(或 2 和 3) 作出的应力圆上。


1

3 2

max

max

研究证明，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面上应力的点 D必位于如图 c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。


31max 21

1

3 2

max

max

而最大切应力为

受力物体内一点处代数值最大的正应力 max 就是主应力 1

The End


例题 : 简支的焊接钢板梁及其上的荷载如图所示，梁的

横截面如图。试利用应力圆求集中荷载位置 C 的左侧横截

面上 a ， b 两点处的主应力。

270

120

15

a

b

250kNA

B

C

2m

1.6m9

应力状态和强度理论解：焊接钢板梁的腹板上在焊缝顶端 (图中点 f ) 处，弯曲应力和切应力都比较大，是校核强度时应加以考虑之点；在实际计算中为了方便，常近似地以腹板上与翼缘交

界处的 a 点代替 f 点。正因为如此，本例题中要求的

也是 a 点处主应力。梁的自重不计。

270

120

15

a

b

250kNA

B

C

2m

1.6m

f

应力状态和强度理论 1. 此梁的剪力图和弯矩图如图。危险截面为荷载作用位置 C 的左侧横截面。

250kNA

B

C

2m

1.6m

80kN m

M图

200kN

50kNSF 图

mkN80

kN200S

C

C

M

F

应力状态和强度理论2. 相关的截面几何性质为

46

333333

m1088

12

m10270m10111

12

m10300m10120

zI

36

3333*

m10256

m105.7m10135m1015m10120

zaS

270

120

15

9z

应力状态和强度理论3. 危险截面上 a点和 b点处的应力：

MPa7.122Pa107.122

m135.0m1088

mN1080

6

46

3

a

z

Ca y

I

M

MPa6.64Pa106.64

m109m1088

m10256N10200

6

346

363*S

dI

SF

z

zaCa

MPa4.136Pa104.136

m15.0m1088

mN1080

6

46

3

b

z

Cb y

I

M

0b

z

a

b

应力状态和强度理论4. 从危险截面上 a 点和 b 点处以包含与梁的横截面在内的三对相互垂直的截面取出单元体，其 x 和 y 面上的应力如图f和 h中所示。据此绘出应力圆。

y

xxx

x

x

y

y

(f)(h)


对于点 a

MPa27

0

MPa150

3

2

1

注意到图 f 所示单元体，其平行于 xy 平面的面为主平面（其上无切应力，相应的主应力为零，作应力圆 .

122.7x x

y

x

64.6x

x

y

y

122.7,( 64.6)

0, 6( )4.6

按作应力圆时的同一比例尺可量得

1A2A

应力圆上点所表示的是1A 1


对于点 b

0

0

MPa4.136

3

2

1

1 沿 x 方向。

y

x136.4x

x

(136.6,0)(0,0)

应力状态和强度理论应力与应变间的关系

前已讲到，最一般表现形式的空间应力状态有 6个独立的

应力分量： x , y , z , xy , yz , zx ；与之相应的有 6个独立的

应变分量： x , y , z , xy , yz , zx 。

应力状态和强度理论关于应力分量的正负已讲述；至于应变分量的正负为了与应力分量的正负相一致。

规定：线应变 x , y , z 以伸长变形为正，切应变 xy , yz ,

zx 以使单元体的直角∠ xoy , ∠yoz , ∠zox减小为正。

应力状态和强度理论Ⅰ. 各向同性材料的广义胡克定律

对于各向同性材料，它在任何方向上的弹性性质相同，也就是它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。因此，对于各向同性材料：

(1) 在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变；

(2) 在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变。


现在来导出一般空间应力状态(图 a) 下的广义胡克定律。因为在线弹性 ,小变形条件下可以应用叠加原理，故知 x 方向的线应变与正应力之间的关系为

zyxzyx

x EEEE

1

同理有，zxyy E

1 yxzz E

1


至于切应变与切应力的关系，则根据前面所述可知，切应变只与切应变平面内的切应力相关，因而有

GGGzx

zxyz

yzxy

xy

，，

应力状态和强度理论对于图所示的那种平面应力状态 (z ＝ 0 ， xz=τzx=0 ， yz

=zy=0) ，则胡克定律为

G

E

E

E

xyxy

yxz

xyy

yxx

1

1y

x

xyyx

各向同性材料的三个弹性常数 E ， G ，之间存在如下关系：

2 1

EG


当空间应力状态如下图所示以主应力表示时，广义胡克定律为

2133

3122

3211

1

1

1

E

E

E

式中， 1 ， 2 ， 3 分别为沿主应力 1 ， 2 ， 3 方向的线

应变。


对于各向同性材料由于主应力作用下，在任何两个主应力构成的平面内不发生切应变，因而主应力方向的线应变就是主应变── 一点处两个相互垂直方向间不发生切应变时该两个方向的线应变。

213

122

211

1

1

＋＝

＝

＝

E

E

E

在平面应力状态下，若 3 ＝ 0 ，则以主应力表示的胡

克定律为


xyzxyzzyxx CCCCCC 161514131211

xyzxyzzyxy CCCCCC 262524232221

xyzxyzzyxz CCCCCC 363534333231

xyzxyzzyxyz CCCCCC 464544434241

xyzxyzzyxzx CCCCCC 565554535251

xyzxyzzyxxy CCCCCC 666564636261

各向异性材料：正应力可能要引起切应变。切应力要引起正应变。从而在线弹性范围内且小变形的条件下，应力分量与应变分量之间的关系可表达为

应力状态和强度理论即是完全各向异性材料的广义胡克定律。式中的 Cij 为

弹性常数，其第一个下角标 i （＝ 1 ， 2 ，┅ ， 6 ）表示

它对应于应变分量 x ， y ， z ， yz ， zx ， xy 中的第几

个，例如 C24 表示 y 对应于 yz 的弹性常数。从式中可见，

完全各向异性的材料总共有 36个弹性常数。

利用功的互等定理很容易证明，上列弹性常数中存在

Cij=Cji 这一互等关系，也就是说，在上列一组式子中有 (36

－ 6)/2＝ 15对弹性常数是互等的。可见完全各向异性的材料只有 36 － 15 ＝ 21 个独立的弹性常数。

应力状态和强度理论各向同性材料的体应变

材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应变。

321

321332211 111

aaa

aaaaaaV

VV

取三个边长分别为 a1 ， a2 ， a3 的单

元体，它在受力而变形后边长分别

为 a1(1+1) ， a2(1+2) ， a3(1+3) ，

故体应变为


将上式展开并略去高阶微量 12 ， 23 ， 31 ， 123 ，

再利用各向同性材料的广义胡克定律得

321321

21 E

应力状态和强度理论对于以最一般形式表达的空间应力状态，由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于这个

平面内的二向等值拉压 (1 ＝，

3 ＝－， 2 ＝ 0 ），从而从上列

体应变公式中可见，它们引起的体应变为零。

可见，对于各向同性材料，在一般空间应力状态下的体应变也只与三个线应变之和有关，即

zyxzyx E 21

The End

应力状态和强度理论空间应力状态下的应变能密度

在“轴向拉伸和压缩”中已讲到，应变能密度是指物体产生弹性变形时单位体积内积蓄的应变能，并导出了单向拉伸或压缩应力状态下的应变能密度计算公式：

22

ε 222

1 E

Ev

在“扭转”中讲到了纯剪切这种平面应力状态下的应变能密度：

22

ε 222

1 G

Gv

在此基础上，讲述空间应力状态下的应变能密度。

应力状态和强度理论空间应力状态下，受力物体内一点处的三个主应力有

可能并非按同一比例由零增至各自的最后值，例如 1 先由

零增至最后的值，然后 2 由零增至最后的值，而 3 最后才

由零增至最后的值。

但从能量守恒定律可知，弹性体内的应变能和应变能密度不应与应力施加顺序有关而只取决于应力的最终值，因为否则按不同的加载和卸载顺序会在弹性体内累积应变能，而这就违反了能量守恒定律。


把由主应力和主应变表达的广义胡克定律代入

上式，经整理简化后得

13322123

22

21ε 2

2

1 E

v

为了便于分析，这里按一点处三个主应力按同一比例由零增至最后的值这种情况，即通常所称的比例加载或简单加载情形，来分析以主应力显示的空间应力状态下，各向同性材料在线弹性且小变形条件下的应变能密度。此时：

332211ε 2

1 v

应力状态和强度理论体积改变能密度和形状改变能密度

11 3

3

2

2

图所示单元体在主应力作用下不仅其体积会发生改变，而且其形状 (指单元体三个边长之比 )也会发生改变。这就表

明，单元体内的应变能密度 v 包含了体积改变能密度 vv 和形

状改变能密度 vd 两部分，即 v ＝ vv ＋ vd 。

应力状态和强度理论如果将图所示应力状态分解为图所示两种应力状态，则可见：

11

2

2

3

3mm

1 2 3

1( )

3m

m

m

m2 m

2 m

1 m 1 m 3 m

3 m

=

+


Ⅰ. 图所示三个主应力都等于平均应力 m ＝ (1+2+3)/3

的情况下，单元体只有体积改变而无形状改变，其应变能密度即是体积改变能密度，而形状改变能密度为零。

mm

1 2 3

1( )

3m

m

m

m11 3

3

2

2


Ⅱ. 图所示三个主应力分别为 1-m ， 2-m ， 3-m 的

情况下，三个主应力之和为零，单元体没有体积改变而只有形状改变，故该单元体的应变能密度就是形状改变能密度，而体积改变能密度为零。

11 3

3

2

2

2 m

2 m

1 m 1 m 3 m

3 m

应力状态和强度理论由以上分析可知： (1) 图 1 所示单元体的体积改变能密度就等于图 2所示单元体的应变能密度，故对图 1 所示单元体有

2 2 2 2 2 2V m m m m m m

1| 2

2bv vE

单元体

22m 1 2 3

3 1 2 1 2

2 6E E

11 3

3

2

2 1mm

1 2 3

1( )

3m

m

m

m 2


213

232

221

m1m3

m3m2m2m1

2m3

2m2

2m1εd

6

1

]}

[2

{2

1|

E

Evv c单元体

(2) 图 1所示单元体的形状改变能密度就等于图 3所示单元体的应变能密度，故对图 1所示单元体有

11 3

3

2

21

2 m

2 m

1 m 1 m 3 m

3 m

3

应力状态和强度理论强度理论

材料在单向应力状态下的强度 (塑性材料的屈服极限，脆性材料的强度极限 )总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定；材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度 ( 剪切强度 ) 可以通过例如圆筒的扭转试验来测定。但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下的强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合，所以不可能总是由试验加以测定。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强度破坏的力学因素的假设──强度理论，以便利用单向拉伸、压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材料的强度。


材料的强度破坏有两种类型；

工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为

Ⅰ. 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；

Ⅱ. 研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。

Ⅰ. 在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂；

Ⅱ. 产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。


(1) 最大拉应力理论 ( 第一强度理论 )

(2) 最大伸长线应变理论 ( 第二强度理论 )

(3) 最大切应力理论 ( 第三强度理论 ) (4) 形状改变能密度理论 ( 第四强度理论 )

第一类强度理论

第二类强度理论

应力状态和强度理论 (1) 最大拉应力理论 ( 第一强度理论 ) 受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应力作用面等现象的启迪，第一强度理论认为，在任何应力状态下，当一点处三个主应力

中的拉伸主应力 1 达到该材料在单轴拉伸试验或其它使

材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力 u 时就发生

断裂。可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为

u1

而相应的强度条件则是 1

其中， [] 为对应于脆性断裂的许用拉应力， [] ＝ u/n ，

而 n 为安全因数。

应力状态和强度理论 (2) 最大伸长线应变理论 ( 第二强度理论 ) 从大理石等材料单轴压缩时在伸长线应变最大的横向发生断裂 (断裂面沿施加压应力的方向，即所谓纵向 )来判断，第二强度理论认

为，在任何应力状态下，当一点处的最大伸长线应变 1达到

该材料在单轴拉伸试验、单轴压缩试验或其它试验中发生脆

性断裂时与断裂面垂直的极限伸长应变 u 时就会发生断裂。可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为

u1


如果 u 是由单轴压缩试验测定的 (例如对石料和混凝

土等非金属材料 ) ，那么 u ＝ ·u/E ；

如果 u 是在复杂应力状态的试验中测定的 (低碳钢在三

轴拉伸应力状态下才会未经屈服而发生脆性断裂 ) ，则 u

与试验中发生脆性断裂时的三个主应力均有联系。

对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变 u ，

如果是由单轴拉伸试验测定的 (例如对铸铁等脆性金属

材料 ) ，那么 u ＝ u/E ；


EE

u321

1

亦即 u321

而相应的强度条件为 321

按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂，而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。

如果 u 是在单轴拉伸而发生脆性断裂情况下测定的，

则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达：

The End


(3) 最大切应力理论 ( 第三强度理论 ) 低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现象，而滑移面又基本上是最大切应力的作用面 (45˚ 斜截面 )。据此，第三强度理论认为，在任

何应力状态下当一点处的最大切应力 max达到该材料在试验

中屈服时最大切应力的极限值 u 时就发生屈服。第三强度理论的屈服判据为

umax

对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限 s ，从而有 u ＝ s/2

的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写为

22s31

s31 即

强度理论及其相当应力


而相应的强度条件则为 31

从上列屈服判据和强度条件可见，这一强度理论没有考

虑复杂应力状态下的中间主应力 2 对材料发生屈服的影响；

因此它与试验结果会有一定误差 ( 但偏于安全 ) 。

(4) 形状改变能密度理论 ( 第四强度理论 ) 注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服，第四强度理论认为，在任何应力状态下材料发生屈服是由于一点处的

形状改变能密度 vd达到极限值 vdu 所致。

应力状态和强度理论于是，第四强度理论的屈服判据为

dud vv

对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限 s 的材料，注意到试

验中 1 ＝ s ， 2 ＝ 3 ＝ 0 ，而相应的形状改变能密度

的极限值为 2sdu 2

6

1

Ev

故屈服判据可写为

2s

213

232

221 2

61

61

EE


此式中， 1 ， 2 ， 3 是构成危险点处的三个主应力，相

应的强度条件则为

213

232

2212

1

这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。

s2

132

322

212

1

亦即

应力状态和强度理论(5) 强度理论的相当应力

上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式：

r

式中， r 是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一

个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件≤ [] 中的

拉应力，通常称 r 为相当应力。下表示出了前述四个强度

理论的相当应力表达式。


相当应力表达式强度理论名称及类型

第一类强度理论 (脆性断裂的理论 )

第二类强度理论 (塑性屈服的理论 )

第一强度理论── 最大拉应力理论第二强度理论── 最大伸长线应变理论

第三强度理论── 最大切应力理论

第四强度理论── 形状改变能密度理论

1r1

321r2

313r

2/12

13

232

221r4

]}

{21

{

四个强度理论的相当应力表达式

应力状态和强度理论各种强度理论的应用

前述各种强度理论是根据下列条件下材料强度破坏的情况作出的假设，它们也是应用这些强度理论的条件：常温 (室温 ) ，静荷载 (徐加荷载 ) ，材料接近于均匀 , 连续和各向同性。

需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应力状态有关。

应力状态和强度理论带尖锐环形深切槽的低碳钢试样，由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发生脆性断裂。对于像低碳钢一类的塑性材料，除了处于三向拉伸应力状态外，不会发生脆性断裂。


圆柱形大理石试样，在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效。


1, 无论塑性 ,脆性材料 . 三轴拉伸则发生脆性断裂

宜采用最大拉应力理论

3,塑性材料，除三轴拉伸外其它应力状态下均发生塑性的

屈服，

2,脆性材料 . 二轴拉伸宜采用最大拉应力理论

宜采用形状改变能理论

4, 无论塑性 ,脆性材料 . 三轴压缩 ,屈服失效

宜采用形状改变能理论

应力状态和强度理论纯剪切平面应力状态下许用应力的推算

纯剪切平面应力状态下

－，， 321 0

低碳钢一类的塑性材料，纯剪切和单轴拉伸应力状态下均发生塑性的屈服，故可用单轴拉伸许用应力 [] 按第三或第四强度理论推算许用切应力 [] 。按第三强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为

可见 5.02

－－ 2

亦即

应力状态和强度理论按第四强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为

可见 577.03

在大部分钢结构设计规范中就是按 []=0.577[] 然后取整数来确定低碳钢的许用切应力的。例如规定 [] ＝170 MPa ，而 [] ＝ 100 MPa 。

222 002

1

3

亦即


铸铁一类的脆性材料，纯剪切 (圆杆扭转 )和单向拉伸应力状态下均发生脆性断裂，故可用单轴拉伸许用应力 [t] 按

第一或第二强度理论推算许用切应力 [] 。按第一强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为

t

可见 t

应力状态和强度理论按第二强度理论，纯剪切应力状态下的强度条件为

t0

因铸铁的泊松比≈ 0.25 ，于是有

可见 t

t 8.025.1

t25.1

25.1t 亦即

应力状态和强度理论例题 : 试全面校核图所示焊接工字梁的强度，梁的自

重不计。已知：梁的横截面对于中性轴的惯性矩为 Iz = 88

×106 mm4 ；半个横截面对于中性轴的静矩为 S*z,max = 338×

103 mm3 ；梁的材料 Q235 钢的许用应力为 [] ＝ 170 MP

a ， [] ＝ 100 MPa 。

270

120

15

a

b

250kNA

B

C

2m

1.6m

f


解 : 1. 按正应力强度条件校核

此梁的弯矩图如图，最大弯矩为 Mmax ＝ 80 kN·m 。

梁的所有横截面上正应力的最大值在 C 截面上 ,下边缘处：

MPa4.136

m1088

m10150mN108046

33maxmax

max

zI

yM

它小于许用正应力 [] ，满足正应力强度条件。

80kNm

应力状态和强度理论2. 按切应力强度条件校核

此梁的剪力图如图，最大剪力为 FS,max=200 kN 。

梁的所有横截面上切应力的最大值在 AC段各横截面上的中性轴处：

MPa4.85

m109m1088

m10338N10200346

363*max,max,S

max

dI

SF

z

z

它小于许用切应力 [],满足切应力强度条件。

200kN

50kN

应力状态和强度理论 3. 按强度理论校核Mmax 和 FS,max 同时所在横截面上腹板与翼缘交界处的强度在 Mmax 和 FS,max 同时存在的横截面 C稍稍偏左的横截面上，该工字形截面腹板与翼缘交界点 a 处，正应力和切应力分别比较接近前面求得的 max 和 max ，且该点处于平面应力状态，故需利用强度理论对该点进行强度校核。

250kNA

B

C

2m

1.6m 270

120

15

a


MPa7.122m1088

m10135mN108046

33max

z

a

I

yM

MPa6.64

m109m1088

m10)5.7135(m1015m10120N10200346

3333

*,max,S

dI

SF

z

az

250kNA

B

C

2m

1.6m 270

120

15

a

应力状态和强度理论点 a 处的主应力为

MPa4.15022

22

1

02

MPa7.2722

22

3

由于梁的材料 Q235钢为塑性材料，故用第三或第四强

度理论校核 a 点的强度。

MPa1.178MPa7.27MPa4.15031r3

a


MPa166

MPa4.150MPa7.27MPa7.2700MPa4.1502

1

2

1

222

213

232

2214r

可见，按第三强度理论所得的相当应力 r3 ＝ 178.1 MPa

已略超过许用正应力 []=170 MPa ，但超过不到 5% ，在工程计算中允许的范围内。按第四强度理论所得相当应

力 r4 则小于许用正应力 [] ，满足强度要求。


图中所示的那种平面应力状态在工程上是常遇的，且相应的材料多为塑性材料；为避免在校核强度时需先求主应力的值等的麻烦，可如下得出可直接利用图示应力状态

下的和直接求 r3 和 r4 的公式。


代入相当应力表达式： 2

132

322

21r431r3 21 ，

即得 22r4

22r3 34 ，

22

3

2

22

1

22

0

22

＋－＝

将主应力计算公式：

The End

应力状态和强度理论

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