2

数理的なシステムとは？

実際の問題

日常の作業を簡略化するシステムエキスパートの知識の借り物のシステム

数理的モデル 最適化

意思決定者

ｼﾐｭﾚｰｼｮﾝ

トラックを１台増やしたら総費用はどう変わるんだろう ?

What If 分析

3

ロジスティクスシステムとは

原材料 調達物流生産

工場内物流 輸送 配送拠点 配送 需要地点

配送計画輸送計画

スケジューリング生産計画

施設配置計画

4

輸送問題

43

8

6

4

4

需要地点供給量 供給地点

10

20

30

需要量

15

25

20

Kantrovich & Koopmans (Novel Prize)Hitchcock 型輸送問題

5

輸送問題

43

8

6

4

4

需要地点供給量 供給地点

10

20

30

需要量

15

25

20

Kantrovich & Koopmans (Novel Prize)Hitchcock 型輸送問題

6

輸送問題

4t,10t,14t,19t 時間指定，配送順序， etc.

在庫費用

7

線形計画問題になるので数理計画ソフトウェアで求解可能

lp_solve (free), LINDO (2 万 -), EXPRESS-MP (30 万 -), NUOPT (40 万 -), etc. etc.

湾岸戦争での輸送作戦 石油会社等では日常業務に利用

輸送問題

8

成功（？）事例 (湾岸戦争 )ADANS: Aircraft Deployment Analysis System

350,000 の人員100,000 トンの荷物の最適輸送

OR/MS Today April 1991 pp. 36-45

9

成功事例

ＧＭ（ General Motors) 社（ 1987 年） Daganzo ら (Carifornia 大学 ,Berkeley)

手法：在庫費用＋輸送費用最小化の解析的手法

効果：年間 2,900,000$ の費用削減Franz Edelman Award (1987)Interfaces 17 (1987) pp. 26-47

10

General Motors

Kokomo

Milwaukee

Matamoros

GM 組立て工場

Delco Electronics

11

成功事例

シェブロン社 （１９８１年 ) Brown & Graves 手法：ネットワーク最適化 効果：物流関連費用の１３％削減

Management Science 27(1981) pp.55-70

12

成功事例

米国 Marshalls 社（１９８７年） Nickerson (Stanford), Powell (Princeton) ら

手法：パソコン上のロジスティクス計画ツール (ネットワークモデル )

効果：年間 250,000$ の費用削減Interfaces 17, No.4 (1987) pp. 16-26

13

施設配置問題

需要地点供給地点

14

施設配置問題

需要地点供給地点

15

施設配置問題

需要地点の重心！？Weber (1929)

16

施設配置問題

需要地点の重心！？Weber (1929)

17

施設配置問題

ロジスティクスネットワーク再編成Supply Chain Management

18

成功事例

米国 Hunt-Wesson 社（１９７５年） Geoffrion と Graves 手法： Benders の分解原理 (数理計画 )

– 数千の品種を 17個にグループ化， 14の工場， 45の配送センター，消費地も 121 個にグループ化

記念碑的な成功事例 Harvard Business Review, July-August (1976) pp. 92-99

19

成功事例

DEC （ Digital Equipment Corporation) （ 1995 年）

Global Supply Chain 再編成，どこで何を生産し，どこへ運ぶか ( 関税の考慮 )

手法：混合整数計画法 効果：年間 1億 $ の費用削減

Franz Edelman Award (1995)Interfaces 25 (1995) pp. 69-93

20

Digital Equipment Corporation

４．７％関税

７．７％関税

5.0 ％関税

DEC's Global Supply Chain Management

21

TL (Truckload) 輸送問題

空輸送

最小化

次の日の荷量が不確実 動的モデル

22

成功事例

North American Van Lines 社 （１９８８年） Powell(Princeton) ， Sheffi (MIT) ， Nickerson (St

anford) ら 手法：将来に対する不確実性を持った Truckload

輸送問題 : LOADMAP (Load Matching and Pricing；荷物の動的評価＋空輸送最小化システム )

効果：サービス向上 +年間 2.9 million$ の費用削減

Franz Edelman Award (1988) Interfaces 18 (1988) pp. 21-41

23

LTL (Less-Than-Truckload)輸送問題

行き先別に積み替えターミナル

中長距離便（トレーラー中心 )

地域内配送・収集( 小型トラック中心 )

24

成功事例

CN Express, Canadian & French 鉄道 , Canada Post Corporation (1989,1984,1986,1989 年 )

Roy & Cranic NETPLAN (Network Planning) による 　ＬＴＬ (Less-Than-Truckload) 輸送問題の準最適化

25

成功事例

モービルオイル社 ( １９９５年） Brown (Graves の弟子 ) ら 手法：ＬＴＬ (Less-Than-Truckload)＋幹線輸送問題 ; ルート生成法

効果：年間 １００万＄の削減Interfaces 25 (1995) 1-17

26

配送計画問題 (運搬経路問題 )

デポデポ

顧客顧客 (( 需要点需要点 ))

ルートルート

総費用最小化 ルート内の顧客需要量が積載容量以下

一日の稼働時間の上限を超えない

27

配送計画の歴史１

1950 年以前（経済からロジスティクスへ )– Kantrovitch, Koopmans の輸送モデル– Dantzig の線形計画

1950-60 (黎明期 )– Dantzig & Ramser のタンカースケジュール

– Dantzig Fulkerson, Johnson の巡回セールスマン問題

28

配送計画の歴史２ 1960-80（初期の近似解法)

– Clarke & Wright のセービング法– Gillet & Miller のスイープ法

1980-90 (近似解法の洗練と事例期 )– Fisher & Jaikumarの一般化割当法– 多くの事例研究 (地理的データーベースの普及 )

1990-現在 (メタ解法と事例の成熟期 )– タブーサーチの成功

29

配送計画の分類

輸送計画– 1 台の車が 1箇所を経由

トレーラー型配送計画– 2から 5箇所を経由

（標準型）配送計画– 6から 100箇所を巡回

巡回セールスマン型配送計画– 数百箇所を巡回

30

トレーラー型配送計画

工場・倉庫間 タンクローリ，トレーラ 飛行機の空路・人員スケジューリング

集合分割アプローチが有効！特徴：付加条件が付くほど )易しい

31

成功事例

モービルオイル社 （ 1987 年 ) Brown & Graves ら 軽油のタンクローリーによる輸送 手法：整数計画＋ヒューリスティック 効果：年間３００万＄の削減

1987 年度 Franz Edelman AwardInterfaces (1987) 17 pp.107-120

32

成功事例

Flying Tiger Line, Pacific Sothwest Airways, Continental Airlines, Helsinki City Transport （１９８１年）

Marsten ら 手法：航空貨物運搬スケジューリング問題に対する集合分割アプローチ

効果：年間 300,000$ の費用削減Networks 11 (1981) pp. 165-177

33

標準型配送計画

構築法– セービング法(Clarke & Wright 法 )

クラスター先・ルート後法– スイープ法(Gillet & Miller 法 )– 一般化割当法

メタ解法(ヒューリスティック)– ニューラルネット– 遺伝的アルゴリズム– シミュレーテッドアニーリング法

– 禁断探索法(タブーサーチ )

34

セービング法 (Clarke & Wright)

デポデポ デポデポ

＋ ＋

ー

IBMが VSP として売り出したため有名になった！

35

セービング法の解の例

２０台

総距離　１７０６

OR Lib. の 199顧客問題重量，稼動時間条件付き

弱点：横広がりのルートを形成

36

巡回セールスマン型配送計画

クラスター先・ルート後法– 地図 (領域 ) を分割し，それから巡回路を作る方法

ルート先・クラスター後法– 全ての顧客を通る巡回路を作成し，それからルートに分割する方法

難しいが厳密に解く必要性は減少する

37

巡回セールスマン問題

古典的な最適化問題 点数が増えると難しい

全ての点をちょうど一回経由全ての点をちょうど一回経由する最短経路を求める問題する最短経路を求める問題

38

巡回セールスマン問題

AberdeenAberdeen

EdinburghEdinburgh

LondonLondon

LiverpoolLiverpool

CardiffCardiff

DublinDublin

BelfastBelfast

39

巡回セールスマン問題

AberdeeAberdeennEdinburghEdinburgh

LondonLondon

LiverpoolLiverpool

CardiffCardiff

DublinDublin

BelfastBelfast

40

巡回セールスマン問題

応用–基盤配線，配送計画，スケジューリング，基盤穿孔，Ｘ線構造解析実験，タンパク質構造解析，ＤＮ A 並べ替え，ＶＬＳＩ設計 , etc.

問題集 (TSPLIB)あり．

41

巡回セールスマン問題(ATT48 in TSPLIB)

42

巡回セールスマン問題についてのより詳しい情報は．．．

オペレーションズリサーチ 1994 年 1,2,3月号 巡回セールスマン問題への招待巡回セールスマン問題への招待 1,2,31,2,3

巡回セールスマン問題への招待巡回セールスマン問題への招待（朝倉書店）

43クラスター先・ルート後法(スイープ法 : Gillet & Miller）

デポデポ

44

クラスター先・ルート後法（スイープ法）

デポデポ

45

スイープ法の弱点

稼動時間の上限や時間枠などの時間的要因を陽的には組み込めない– クラスター先・ルート後法の根本的弱点

細長いルートを形成しがち トラックの重量，容量条件がきついと解が極端に悪化

46クラスター先・ルート後法(一般化割当法 : Fisher & Jaikumar）

デポデポ

++-

Seed Point

47

クラスター先・ルート後法(一般化割当法）

重量，容量

重量，容量

重量，容量

制約付きの割当(一般化割当 )

48

クラスター先・ルート後法(一般化割当法）

デポデポ

49

一般化割当法の弱点と利点

弱点– 一般化割当問題自身が困難な問題である

利点– 現在では最強のクラスター先・ルート後法– 指定したトラックでの実行可能解を算出

METRO でも初期解生成に組み込んでおり，一般化割当はタブーサーチで解く !

50

一般化割当法の解の例

１８台総距離　　１４９２　時間の超過　２４３

51

ルート先・クラスター後法

デポデポ

52

ルート先・クラスター後法

デポデポ

53

Tabu Search (禁断探索法 )

人間の記憶過程にアナロジーを持つ． 別名

– 最急上昇・最緩下降法 (steepest ascent mildest descent method)

– 適応型記憶計画(adaptive memory programming)

同じ場所を巡回しないように，記憶を頼りに，常に最も高い方向 (下りの場合は最も勾配の緩やかな方向 )を目指す．

54

禁断探索法（タブーサーチ）の解

１８台総距離　１３６４

55

解法の比較 （ベンチマーク問題 : OR-Lib.)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.350

75

100

150

199

50

75

100

150

199

120

100

120

100

平均

顧客数

タブーサーチと

の相対誤差

セービングスイープ

56

標準ベンチマーク問題

OR-Lib. TSPLIB

OR-Lib. TSPLIB

配送計画ソフトの有効性の目安！

mail o.library@imperial.ac.uk (send info)ftp: elib.zib-berlin.de (130.73.108.11) pub/mp-data/tsp/http://www.zib-berlin.de/

入手法

57

成功事例

デュポン （１９８２年） Fisher ら 手法：一般化割当法 効果：配送費用の１５％削減

Interfaces (1982) 16 pp. 18-23

58

成功事例

Air Product & Chemical 社 　　　　（１９８３年）

Bell ら 手法：集合分割アプローチ 効果：配送費用の６から１０％削減

Interfaces (1983) 11 pp. 4-23

59

成功事例

コカコーラ他４件の清涼飲料水会社 （１９８７年）

Golden ら (Maryland 大学 ) 手法： 主に構築法 ROADNET (ROADNET Syste

ms Corp.100,000$-200,000$), TRUCKSTOPS (Booz,Allen & Hamilton), MICRO VEH PLAN

効果：配送費用の１０％削減Operations Research (1987) 35 pp. 6-17

60

ボランティアによる食事の配達　　（１９８３年）

Bartholdi & Platzman (Georgia Tec.) 手法：ルート先・クラスター後法 効果：配送費用の１３％削減 特徴：導入費用が安価

Interfaces (1983) 13 pp. 1-8

成功事例

61

成功事例

Suiker Unie (オランダ生協 )(1992 年 ) ORTEC Consultants 手法：時間枠付き配送計画問題に対する対話型スケジューリングシステム (SHORTREC Package)

効果：配送費用の７％削減Interfaces (1992) 22 pp. 4-14

62

成功事例

Southern California Gas Company (1988 年 )

Bodin ら (Maryland 大学 ) 手法：ガスの検針スケジューリング問題に対する枝巡回法 (SOCAL Package)

効果：年間 874,185$以上の削減Interfaces (1992) 22 pp. 22-30

63

成功事例

西アフリカの黒蠅駆除 (1992 年 ) Solomon ら (Northeastern 大学 ) 手法：ヘリコプターの巡回順決定に対する配送計画スケジューリング手法の適用

効果：年間 100,000$ の削減Interfaces (1992) 22 pp. 88-99

64

成功事例

ナイジェリア：モービル石油の油田巡回 (1992 年 )

Pulletblank (IBM, Thomas Watson研 ) 手法：先行順序を持つヘリコプターの巡回順決定に対する近似アプローチ

効果：年間 500,000$ の削減Interfaces (1992) 22 pp. 100-111

65

成功事例

スイスの食料品配送計画（ 1993 年） Semet & Taillard 手法：タブーサーチ 効果：現行法の一般化割当法に比べて１６％の費用削減

Ann. OR (1993) 41 pp. 421-451

タブーサーチの実装 Taillard, Gendreau, Glover, Kubo

66

実用化のための付加条件

時間枠指定 (何時から何時までに ) 積み込み・積み降ろしの考慮 帰り便 (Backhauling) の考慮 複数のデポ 在庫計画との融合 工程計画との融合 不確実性の考慮

67

METRO (MEta Truck Routing Optimizer)

顧客データ

地図データ

荷物データ

トラックデータ

ルートの構築

ルートの改善

ユーザーとの対話

メタ解法

最良解

制限時間

68

METRO を用いた事例

協力ゲームの理論を用いて顧客の費用分担を計算する機能

この機能を用いた事例– 某メーカー (収集と配送の同時考慮 )– 年間３億６千万円の削減– （現状の３４．４％削減）

69

METEO を用いた事例

トラック４種類重量，容量の同時考慮

70

まとめ

ロジスティクスネットワーク再編成 (Supply Chain Management) ： Easy!

Easy な割には多大な費用削減が可能 トレーラー型配送計画：数理計画手法を駆使すれば割と Easy!

（標準型）配送計画：バリエーションが多いため難しい ( しかも根本的に難しい !: NP-hard)

– 難しいがゆえに膨大な研究あり！

71

数理的ロジスティクスの今後

費用削減のためのツール実際問題に対する洞察より高度な意思決定支援

実務家 研究者