ＥＤＭの殻模型的導出

東京大学 理学東京大学 理学系研究科系研究科東京大学 理学東京大学 理学系研究科系研究科

東山東山 幸司幸司東山東山 幸司幸司

共同研究者　共同研究者　埼玉大理　埼玉大理　吉永尚孝吉永尚孝共同研究者　共同研究者　埼玉大理　埼玉大理　吉永尚孝吉永尚孝

　動機動機

　核子対模型　核子対模型

　Ｘｅ アイソトープの原子核構　Ｘｅ アイソトープの原子核構造造

　ＥＤＭの計算方法　　ＥＤＭの計算方法　

　まとめまとめ

Outline of my Outline of my talktalk

動機動機動機動機　　　　

　　　　

　　　　ＥＤＭの計算法は S. Oshima et al の研究で示されているので、それを適用することを考える。

129 Ｘｅ、 199 Ｈｇ 等の原子で、ＥＤＭ測定の実験が行われている。我々は核子対模型により 129 Ｘｅ の数値解析を行っているので、波動関数を準備するのは容易である。

ＥＤＭ（ Electric dipole moment ）の理論研究は、今まで平均場理論による計算が行われてきたが、殻模型的アプローチはない。

　　　　前回学会の武藤氏の講演に触発された。

核子対模型核子対模型核子対模型核子対模型殻模型のイメージ殻模型のイメージ

アクティブな核アクティブな核子子

アクティブな核アクティブな核子子

原子核原子核原子核原子核 殻模型計算殻模型計算殻模型計算殻模型計算

閉殻の内側の核子が上の状閉殻の内側の核子が上の状態に励起するためにはたく態に励起するためにはたくさんのエネルギーが必要でさんのエネルギーが必要である。ある。

閉殻の内側の核子が上の状閉殻の内側の核子が上の状態に励起するためにはたく態に励起するためにはたくさんのエネルギーが必要でさんのエネルギーが必要である。ある。

閉殻の内側の核子か閉殻の内側の核子からの励起は考慮しならの励起は考慮しない。い。

閉殻の内側の核子か閉殻の内側の核子からの励起は考慮しならの励起は考慮しない。い。

殻模型殻模型 ではすべての可能なではすべての可能な状態を用い数値計算を行う。状態を用い数値計算を行う。

中性子　　　　　陽子　中性子　　　　　陽子　中性子　　　　　陽子　中性子　　　　　陽子　

1d5/2

0g7/2

1d3/2

2s1/20h11/2

1d3/2

2s1/2

0h11/2

50

82

1d5/2

0g7/2

核子の単一粒子軌道核子の単一粒子軌道

質量数 130 領域の殻模型質量数 130 領域の殻模型

0s1/2

0p3/2

0p1/2

0d5/2

0d3/21s3/2

0f7/2

1p3/2

0f5/2

0i13/2

1p1/2

0g9/2

0g7/21d5/2

1d3/20h11/2

2s1/2

0h9/21f7/2

1f5/22p3/2

1p1/2

1g9/2

0i11/2 0j15/2

1g7/23s1/2

2d5/2

2d3/2

質量数質量数 130130 領域の原子核は状態数領域の原子核は状態数が莫大なものになり、数値解析不が莫大なものになり、数値解析不可能。可能。

核子数核子数 5050 ～～ 8282 の単一粒子軌道の単一粒子軌道

重い原子核では殻模型計算は不可能。重い原子核では殻模型計算は不可能。

殻模型空間に制限が必要殻模型空間に制限が必要

核子 閉殻の芯

ＳＳ 対対ＳＳ 対対 ＤＤ 対対ＤＤ 対対

合成した角運動量は 合成した角運動量は ００

合成した角運動量は 合成した角運動量は ２２

相互作用するボソン模型 （ＩＢＭ） などの結果から、集団相互作用するボソン模型 （ＩＢＭ） などの結果から、集団運動的な核子対が低エネルギー状態を支配することが知られ運動的な核子対が低エネルギー状態を支配することが知られている。ている。

ＳＳ 対、Ｄ対、Ｄ 対を複数個組み合わせることにより原子核を記述す対を複数個組み合わせることにより原子核を記述する。る。

ＳＳ 対、Ｄ対、Ｄ 対を複数個組み合わせることにより原子核を記述す対を複数個組み合わせることにより原子核を記述する。る。

核子対模型核子対模型

（例えば、（例えば、 132132 Ｂａ の状態数は Ｂａ の状態数は 20014518368 20014518368 ））

ＳＤ対の生成演算子ＳＤ対の生成演算子

原子核の状態原子核の状態( )

( )( )

s d s d

s d s d

In n n n

In n n n

S D I S D II

j S D I S D I

偶偶核偶偶核偶偶核偶偶核

核子対模型の詳細核子対模型の詳細

1 2

1 2

† †(2)1 2( )M j j M

j j

D A j j† †(0)0 ( )j

j

S A j j

1 1 2 2 1 2

1 2

( )†( ) † † † †1 2 1 1 2 2( ) ( | )

JJM j m j m j j M

m m

A j j j m j m JM c c c c （ 　　　　　　　　　　　　　）偶数系偶数系

† †( ) ( )s d s dn n n nS D S D I

† s d s dn n n njc S D I j S D I 奇数系奇数系

偶数系偶数系に１つ核子を加えに１つ核子を加えるる偶数系偶数系に１つ核子を加えに１つ核子を加えるる

奇核奇核奇核奇核

質量数質量数 130130 領域の原子核の研究領域の原子核の研究質量数質量数 130130 領域の原子核の研究領域の原子核の研究核図表核図表

ＺＺ

ＮＮ

N=8N=822

N=5N=500

Z=5Z=500 陽子陽子　　

　　 　 　→→

粒子粒子

陽子陽子　　　　 　 　→→

粒子粒子

中性子中性子 　　→→ 空空孔孔

中性子中性子 　　→→ 空空孔孔

中性子 　　　 　陽子　中性子 　　　 　陽子　中性子 　　　 　陽子　中性子 　　　 　陽子　

核子の単一粒子軌道核子の単一粒子軌道

単一粒子軌道単一粒子軌道

0s1/2

0p3/2

0p1/2

0d5/2

0d3/21s3/2

0f7/2

1p3/2

0f5/2

0i13/2

1p1/2

0g9/2

0g7/21d5/2

1d3/20h11/2

2s1/2

0h9/21f7/2

1f5/22p3/2

1p1/2

1g9/2

0i11/2 0j15/2

1g7/23s1/2

2d5/2

2d3/2

核子数核子数 5050 ～～ 8282 の単一粒子軌道の単一粒子軌道

d5/2

g7/2

d3/2

s1/2h11/2

d3/2

s1/2

h11/2

50

82

2.43404

1.65476

0.33158

0.2418

0.0

0.0

0.96202

2.7078

2.7927

2.99

d5/2

g7/2

中性子中性子 　　→→ 空空孔孔

中性子中性子 　　→→ 空空孔孔

陽子陽子　　　　 　 　→→

粒子粒子

陽子陽子　　　　 　 　→→

粒子粒子

130Pm

131Pm

132Pm

133Pm

134Pm

135Pm

136Pm

137Pm

138Pm

139Pm

140Pm

141Pm

131Nd

132Nd

133Nd

134Nd

135Nd

136Nd

137Nd

138Nd

139Nd

140Nd

141Nd

142Nd

130Pr 131Pr 132Pr 133Pr 134Pr 135Pr 136Pr 137Pr 138Pr 139Pr 140Pr 141Pr129Ce

130Ce

131Ce

132Ce

133Ce

134Ce

135Ce136Ce

137Ce

138Ce

139Ce

140Ce

128La 129La 130La 131La 132La 133La 134La 135La 136La 137La 138La 139La127Ba

128Ba

129Ba

130Ba

131Ba

132Ba

133Ba134Ba

135Ba

136Ba

137Ba

138Ba

126Cs 127Cs 128Cs 129Cs 130Cs131C

s132Cs 133Cs 134Cs 135Cs 136Cs 137Cs

125Xe

126Xe

127Xe

128Xe

129Xe

130Xe

131Xe132Xe

133Xe

134Xe

135Xe

136Xe

124 I 125 I 126 I 127 I 128 I 129 I 130 I 131 I 132 I 133 I 134 I 135 I

123Te 124Te 125Te 126Te 127Te128Te

129Te 130Te 131Te 132Te 133Te 134Te

122Sb 123Sb 124Sb 125Sb 126Sb127Sb

128Sb 129Sb 130Sb 131Sb 132Sb 133Sb

121Sn 122Sn 123Sn 124Sn 125Sn126Sn

127Sn 128Sn 129Sn 130Sn 131Sn 132Sn

核図表核図表 閉閉閉閉閉閉閉閉

偶偶核奇核

ハミルトニアンハミルトニアン

0

2

0.160 0.010

0.017 0.0005

0.075 0.0015

G N

G N

N

0

2

0.200 0.010 0.005

0.010 0.001

0.014 0.006

G N N

G N

N

二体相互作用の強さ二体相互作用の強さ

0.044 0.002N N

N

バレンス中性子バレンス中性子 (( 空孔空孔 )) のの数数バレンス陽子バレンス陽子 (( 粒子粒子 )) のの数数

†

,

†(0) (0) †(2) (2)0 2

,

: :

j jm jmjm

H c c

G P P G P P Q Q Q Q

対相関＋四重極相互作用対相関＋四重極相互作用

Phys. Rev. C Phys. Rev. C 6969, 054309 (2004)., 054309 (2004).Phys. Rev. C Phys. Rev. C 6969, 054309 (2004)., 054309 (2004).

Magnetic moment Electric moment

Nucleus J PTSM expt. PTSM expt.129Xe 1/2+ -0.367 -0.777976(8)

3/2+ +0.208 +0.58 -0.471 -0.41(4)

5/2+ +0.660 +0.112

9/2- -0.870 +0.434

11/2- -0.906 -0.8912223(4) +0.406 +0.64(2)131Xe 1/2+ -0.635

3/2+ +0.515 +0.6915(2) -0.248 -0.116(4)

5/2+ +0.545 -0.0112

9/2- -0.915 +0.620

11/2- -1.00 -0.994048(6) +0.558 +0.73(3)133Xe 1/2+ -1.09

3/2+ +0.868 +0.81340(7) +0.125 +0.42(5)

5/2+ +0.661 -0.0295

9/2- -0.974 +0.319

11/2- -1.05 -1.08247(15) +0.583 +0.77(3)

モーメントモーメント

偶偶核偶偶核偶偶核偶偶核

奇核奇核奇核奇核

００＋＋００＋＋

1/21/2 ＋＋1/21/2 ＋＋

ＥＤＭの計算方法ＥＤＭの計算方法ＥＤＭの計算方法ＥＤＭの計算方法

2 22 2 2

01 1 1

1 1

2 2 2 2

Z Z Z A A Zi i

NN i ji j i j i i j i ji j i j i j

e e eH V

m M

p P

R Rr R r r R R

3 3 31 1 1 1 1

31 1 1 1

i i iZ Z Z Z Z Ae i j e i j N i j

edmi j i j i i ji j i j i j

iA Z Z A ZN i j i i

e ext N ext i i exti j i i i ii j

e e eH

ee

d r R d r r d r R

r R r r r R

d R Rd E d E r R E

R R

11 1

2i z i z iN i p i nd d d

S. Oshima et alS. Oshima et al によるによる ＥＤＭＥＤＭ の導の導出出S. Oshima et alS. Oshima et al によるによる ＥＤＭＥＤＭ の導の導出出

arXiv:nucl-th/0412071 arXiv:nucl-th/0412071 arXiv:nucl-th/0412071 arXiv:nucl-th/0412071

ＥＤＭの摂動ハミルトニアンＥＤＭの摂動ハミルトニアン

原子ＥＤＭ原子ＥＤＭハミルトニアンハミルトニアン

ＥＤＭによる影響は非常に小さいので摂動で取り扱う。ＥＤＭによる影響は非常に小さいので摂動で取り扱う。ＥＤＭによる影響は非常に小さいので摂動で取り扱う。ＥＤＭによる影響は非常に小さいので摂動で取り扱う。

原子核のＥＤＭ原子核のＥＤＭ

ＥＤＭエネルギー（２次）ＥＤＭエネルギー（２次）

2( )( )(0) (0)

, 1, 0

( )( ) (0) (0)

3

111 1

4

eA

A e A e

eA

Annz

A e i i ext A en n in n

zAj i jnn z i z i

A e i p i n A ei j i j

eE

E E

d d

R E

R R

R R

　　　　従来行われて研究では原子核の有限性は考慮されていなかったが、これを考慮して計算を行う。

　　　　電子のＥＤＭの寄与は小さい。

3 3i j iR R Rここでここで と近似し、と近似し、 129129 Ｘｅ、Ｘｅ、 199199 Ｈｇ Ｈｇ

を計算。を計算。　近似無しにＥＤＭエネルギーの計算をす　近似無しにＥＤＭエネルギーの計算をする。る。

　近似無しにＥＤＭエネルギーの計算をす　近似無しにＥＤＭエネルギーの計算をする。る。

バレンス核子間に働く相互作用バレンス核子間に働く相互作用外場の寄与による摂動ハミルトニアン外場の寄与による摂動ハミルトニアン

, ,ext ext extext x y zE E EE

1

0

1

2ext ext ext

x y

ext extz

E E iE

E E

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

2 1

1 2

2 1

1 1 2 2

†1 1 2 2

1(1) †

1 1 2 21

12

1 1 2 21

(1)†1 12 12 2

4

3

2 11

3

1 1( 10 | )

2

i ext ext ext j m j mi j m j m

extj m j m

j m j m

j jext

j j

j m j m

j m j m c c

j m r E Y j m c c

jE n r n

j j c c

R E R E R E

2 2 1, 1

2

1 1 , 1

2 2 3, 1

2

1, 1

nn n

n n nn r n

nn n

n n n

２核子間の摂動ハミルトニアン２核子間の摂動ハミルトニアン (1)(1)

1 2 3 4

3 3

( , )† ( , )†1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 , 1 2 , 3 43; ;

z z

z

ii j

i j i i j

I T I TIM IM M T M T

j j j j IMTT

r

j n j n T j n j n T A j j A j jr

R R r

R R

r

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 43

( ) ( )3 3 4 4 1 1 2 2

3 3 4 4 1 1 2 2

12

2

; ;

; ;

; ;

( | )( | )

4 1( | )( | )

3

S S

IM IM

I IS S

NL n n S S

S SM M

j n j n T j n j n Tr

j j j j

M n NL n n M n NL n n

S M IM M IM

mLM m LM n nr

r

1

1

(1)2 11 ( |1 )( 010 | 0)

4 S S

mm M

mS M SMm m

バレンス核子間に働く相互作用バレンス核子間に働く相互作用

２核子間の摂動ハミルトニアン２核子間の摂動ハミルトニアン (2)(2)

1 2

1 2 1 2 1 2

11 12

( ) 11 1 2 2 1 2 2 22

1 1; 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

S T LIS

j j n n

j

j j j j S j

S I

2

1n n

r

(1)

1 ( 1 | )

3( 1 | ) 1

2 1

S S

S S

S M SM

S S

S S SM S M S S

SM S M S SS

1 1 2 2 3

1 2 3 4 1 2

1 3 1 2

1 2

1 1 2 2 1 2 3 4

2 2 2

1 3

1 2 1 3 4 2 1 3 2 4 2 4 1 1 1 2 2 2 3 4

1 2

1; 1 2 1 2 1 2 1 2 1

4

( 0 0 | 0)( 0 0 | 0)( 0 0 | 0)( 0 0 | 0)

n n k

k k k kn NLk k n

A AM n NL n n k k k k

A A

k k

k k k k k k k k L k k L f n k k f n k k

121

12 !! 2 2 1 !!

nnA

n n

1 123

1 1 1 21 1 1 2

1 1 1 2 1 1 2 1 31 2

!Γ 2

2 2 3! !Γ Γ

2 2

nmn n

f n k kn k k n k k

k

バレンス核子間に働く相互作用バレンス核子間に働く相互作用

　これにより、一応計算できることが分か　これにより、一応計算できることが分かる。る。

　これにより、一応計算できることが分か　これにより、一応計算できることが分かる。る。

今後の課題今後の課題今後の課題今後の課題本研究で示した方法は、 （閉殻の）コアからの影響を無視しているので、コアの影響をどのように取り入れるか検討する。

ＥＤＭを正確に計算するためには、より多くの単一粒子軌道を取り入れた計算が必要があるので、その枠組みを整備する。

　　　　

　　　　

精度良く波動関数を求めるため、相互作用を再考する。また、我々の枠組みに角運動量が４の集団運動核子対（Ｇ対）を入れた計算を行う。

　　　　

TransitionTransition

( 2; )T E e Q e Q Ｅ２ Ｅ２ transitiontransition

Ｍ１ Ｍ１ transitiontransition ,

3( 1; ) ( )

4N sT M g g g

j s

Transition の計算に用いた ParameterTransition の計算に用いた Parameter

Ｅ２ Ｅ２ transitiontransition

Ｍ１ Ｍ１ transitiontransition

e e

0.05g 2.68sg

(1 )e e

1.05g 3.91sg

我々の計算では、中性子については空孔を考えているので中性子の我々の計算では、中性子については空孔を考えているので中性子の有効電荷の符号はマイナスになる。有効電荷の符号はマイナスになる。

0.60 0.05( )N N