第六章第六章静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质

0E

§6-1 §6-1 导体的静电平衡性质 导体的静电平衡性质 6-1-1 导体的静电平衡条件金属导体特征：存在大量的自由电子

-F

E

- +E = 0E = 0

-

-

----

+

+

++++

静电感应： 在外电场影响下，导体表面不同部分出现正负电荷的现象。静电平衡： 导体内部和表面没有电荷的宏观定向运动。

E

感应电荷： 因静电感应而在导体两侧表面上出现的电荷。

静电平衡时导体中的电场特性：

（ 1 ）导体内部的电场强度处处为零。导体表面的电场强度垂直与导体的表面。

（ 2 ）导体内部和导体表面处处电势相等，整个导体是个等势体。

-F 0E

6-1-2 静电平衡时导体上的电荷分布

（ 1 ） 在静电平衡下，导体所带的电荷只能分布在导体的表面，导体内部没有净电荷。

iSqSE

0

1d

00 iqE

导体内部没有净电荷，电荷只能分布在导体表面。结论：

0E

S

（ 2 ） 处于静电平衡的导体，其表面上各点的电荷密度与表面邻近处场强的大小成正比。

高斯定理：

0

dd

S

SE

0

E

Sd

E

（ 3 ） 静电平衡下的孤立导体，其表面处电荷密度 与该表面曲率有关，曲率（ 1/R ）越大的地方电荷密度也越大，曲率越小的地方电荷密度也越小。

尖端放电：

-- +

+

++

+ + ++++

6-1-3 空腔导体

1 ．腔内无带电体

S iS

qSE0

1d

00 iqE

电荷分布在导体外表面，导体内部和内表面没净电荷。

结论：

2. 腔内有带电体

00 iqE

qq

在静电平衡下，电荷分布在导体内、外两个表面，其中内表面的电荷是空腔内带电体的感应电荷，与腔内带电体的电荷等量异号。

结论：

6-1-4 静电屏蔽

1. 空腔导体，腔内没有电荷

空腔导体起到屏蔽外电场的作用。

接地的空腔导体可以屏蔽内电场、外电场的影响。

一个接地的空腔导体可以隔离内外电场的影响。

静电屏蔽：

2. 空腔导体，腔内存在电荷+q

----

--

----

------

+q

----

--

----

------

++++

++

++++

++

++

++

例 1 有一外半径 R1 ，内半径为 R2 的金属球壳。在球壳中放一半径为 R3 的金属球，球壳和球均带有 10-8C的正电荷。问：（ 1 ）两球电荷分布；（ 2 ）球心的电势；（ 3 ）球壳电势。解：解：

03 E

（ r < R3 ）

20

2 π4 r

qE

（ R3 < R2 ）

（ 1 ）电荷 +q 分布在内球表面。

球壳内表面带电荷 -q 。

球壳外表面带电荷 2q 。

01 E （ R2 < R1 ） 20

0 π4

2

r

qE

（ r > R1 ）

R3R2

R1

（ 2 ）

3 2

3

1

2 100d

R R

R

R

R RO lEV

1

2

31

2

32

02

002 π4

d2

π4

ddd

R

R

RR

R

RO r

rq

r

rqrErEV

123010230

211

π4π4

211

π4 RRR

q

R

q

RR

q

（ 3 ）10

20

1 π4

2d

π4

21 R

qr

r

qV

R

BA

q1 q2

例 2 两块导体平板，面积为 S ，分别带电荷 q1 和 q2 ，两极板间距远小于平板的线度。求平板各表面的电荷密度。解：解：

电荷守恒： 243

121

qSS

qSS

由静电平衡条件，导体板内 E = 0

02222

02222

0

4

0

3

0

2

0

1B

0

4

0

3

0

2

0

1A

E

E

S

qq

221

41

S

qq

221

32

2 3 41

§6.2 §6.2 静电场中的电介质静电场中的电介质

分子中的正负电荷束缚得很紧，介质内部几乎没有自由电荷。

电介质的特点：电介质的特点：

电介质：

电阻率很大，导电能力很差的物质，即绝缘体。

（常温下电阻率大于 107 Ω·m ）

6-2-1 电介质的极化

两大类电介质分子结构：

分子的正、负电荷中心在无外场时重合，不存在固有分子电偶极矩。

1. 无极分子：

==

CH4

H2OHH

O

分子的正、负电荷中心在无外场时不重合，分子存在固有电偶极矩。

2. 有极分子：

==O

H

O

H

电偶极子

1. 无极分子的位移极化

±±

±±

±±

±±

±±

±± ±±

±±

±± ±±

±±

±± ±±

±±

±± 在外电场的作用下，介质表面产生电荷的现象称为电介质的极化。

由于极化，在介质表面产生的电荷称为极化电荷或称束缚电荷。

pp++-- F

F ++--

++--++--

++--++--++--

++--++--++--

++--++--++--E

2. 有极分子的转向极化

++--++--

++--

++--

++--++--

++--

++--

++--

++--

++--

++--

++--

++ --

++--

++--

++--++ --

++--

++--

++ --

++--

++ --

++--

无极分子在外场的作用下由于正负电荷发生偏移而产生的极化称为位移极化。

有极分子在外场中发生偏转而产生的极化称为转向极化。

0E

++

-

p

0E

F

F

0E

E

E

外电场： 0E

极化电荷产生的电场：E

介质内的电场： E

EEE

0

击穿：在强电场作用下电介质变成导体的现象。

空气的击穿电场强度约为： 1mmKV3

矿物油的击穿电场强度约为： 1mmKV15

云母的击穿电场强度约为： 1mmKV200~80

6-2-2 极化强度 电极化强度 是反映介质极化程度的物理量。P

0p

没极化：

0p

极化时：

++--

++ --++

--

++--

++--++ --++--

++-- ++ --++--

++ --

++--

++--++--++--

++--

++--++--

++--++--

++--

++--++--

++--

0E

电极化强度定义：V

pP i

实验表明： 对于各向同性的均匀电介质，其中任一点处的电极化强度与该点的总场强成正比。

EP

0e

e ：介质的极化率极化率 e 与电场强度 E 无关，取决于电介质的种类。

电极化强度与极化电荷的关系： 设在均匀电介质中截取一斜柱体，体积为 V 。

coslSV

iplSlq

V

pP i

ncos PP

cos

coslS

lS

L

P

P

S

d

结论： 均匀电介质表面产生的极化电荷面密度等于该处电极化强度沿表面外法线方向的投影。

cosP:2π

极化电荷带正电

极化电荷带负电:2π

ncos PP

PP

0 x

ne

电极化强度通过任意封闭曲面的通量：

SSS

SSPSP ddcosd

内）（S

iSqSP

d

6-2-3 有介质时的高斯定理

iSqSPE

d0

iiSqqSE

0

1d

iq 封闭曲面 S 所包围的自由电荷。

iq 封闭曲面 S 所包围的极化电荷。

SiS

SPqSE

d11

d00

定义电位移矢量： PED

0

介质中的高斯定理： 在静电场中，通过任意封闭曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。

iSqSD

d

注意：电位移矢量 是一个辅助量。描写电场的基本物理量是电场强度 。

D

E

2mC 单位：

介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理。

真空中： 0P

EPED

00 所以：

iSSqSESD

dd 0

iSqSE

0

1d

与 的关系D

E

EP

0e对于各向同性的电介质：

PED

0 EE

0e0 E

0e1

er 1 令 r ：相对介电常数

ED

r0

r0 令

ED ED 或

D

E

D

E

：介电常数

注： PED

0 是定义式，普遍成立。

ED

只适用于各向同性的均匀介质。

真空中：00ED

介质中： ED

r0

EE

r0

EE

r000

有介质时静电场的计算

1. 根据介质中的高斯定理计算出电位移矢量。

iSqSD

d

2. 根据电场强度与电位移矢量的关系计算场强。

D

E

§6.3 §6.3 电容和电容器电容和电容器6-3-1 孤立导体的电容

5mL

0

5mL

导体具有储存电荷的本领

电容：孤立导体所带电荷量 q

与其电势 V 的比值。单位：法拉

（ F= C·V-1

）pF10Fμ10F1 126

V

qC

孤立导体球

R

qV

0π4

1

孤立导体球的电容为：

电势：

R

R

qq

V

qC 0

0

π4

π4

1

孤立导体的电容仅取决于导体的几何形状和大小，与导体是否带电无关。

地球的电容： F104.61085.8π4π4 6120 RC

F1011.7 4

6-3-2 电容器 电容器： 一种储存电能的元件。由电介质隔开的两块任意形状导体组合而成。两导体称为电容器的极板。

电容器的符号：

电容器电容：极板电荷量 q 与极板间电势差 VAB 之比值。

ABV

qC

电容器的计算1. 平板电容器

dC

SC

1

d

+++++

-----

BA

-q+qE

S

r0

E

S

qddEdV

r0r0AB

电容：d

S

V

qC r 0

AB

r ：相对电容率

2. 球形电容器

20π4 r

qE

RA

RB

BAr02

r0AB

11

π4

d

π4

B

A RR

q

r

rqV

R

R

AB

BAr0

AB

π4

RR

RR

V

qC

AB RR 当 Ar0π4 RC （孤立导体球的电容）

d

S

d

RC r0

2Ar0π4 AAB RdRR 当

RARB

3. 圆柱形电容器

由高斯定理计算得：

lrrl

q

rE

1

π2π2 r0r0

B

A

d

2 r0AB

R

R r

r

l

qV

A

B

r0

ln2 R

R

l

q

A

B

r0

AB ln

π2

RR

l

V

qC

圆柱形电容器电容：

设极板间距为 d ， RB = RA +d

当 d<< RA 时AAA

A

A

B 1lnlnlnR

d

R

d

R

dR

R

R

d

lRC Ar02

d

Sr0 （ ）Aπ2 lRS

计算电容器电容的步骤：

1. 计算极板间的场强 E

B

AdlEV

2. 计算极板间的电势差

3. 由电容器电容定义计算 CV

qC

6-2-3 电容器的联结

qCCC

VVVVn

n

111

2121AB

1. 电容器的串联C1 C2 Cn

VAB

设各电容器带电量为 q

串联电容器的等效电容的倒数等于各电容的倒数之和。

结论：

,11 CqV ,22 CqV …

等效电容： C

1

nCCC

111

21

C

qV AB

2. 电容器的并联C1 C2 C3VAB

总电荷量 ：

AB2121 VCCCqqqq nn

等效电容： nCCCV

qC 21

AB

并联电容器的等效电容等于各电容器电容之和。

结论：

,AB11 VCq ,AB22 VCq …

例 3 自由电荷面密度为 0 的平行板电容器，其电容量为多少？极化电荷面密度为多少？

解： 由介质中的高斯定理

0D

r0

0

r0

DE

r0

0

d

EdV ABd

Sr0AB

0

V

SC

0

0D

0

00 E

EEE 0

00

0

r0

0

0

r

11

0

0

0E

E

d1

d2 r2r1

例 4 一平行板电容器，中间有两层厚度分别为 d1 和d2 的电介质，它们的相对介电常数分别为 r1 和 r2 ，极板面积为 S 。求电容。解： 0D

1r0

01

E

2r0

02

E

1211 dEdEV

V

SC

0

2r

2

1r

1

0

0

dd

2r

2

1r

1

0

dd

S

例 5 一平行板电容器充以两种不同的介质，每种介质各占一半体积。求其电容。

d

S

1r 2r

解：d

SC

21r0

1

d

SC

22r0

2

21 CCC 2r1r0

2

d

S

例 6 球形电容器由半径为 R1 的导体球和内半径为 R3

的导体球壳构成，其间有两层均匀电介质，分界面的半径为 R2 ，相对介电常数分别为 r1 和 r2 。求电容。

R1

R2

R3

r1

r2

解： qDrSDS

2π4d

2π4 r

qD

r0D

E

21r0

1 π4 r

qE

22r0

2 π4 r

qE

3

2

2

12

2r02

1r0 π4

d

π4

d R

R

R

R r

rq

r

rqV

3213r2r1r

2311r1232r

π4 RRR

RRRRRRq

2311r1232r

3212r1r0π4

RRRRRR

RRR

V

qC

§6.4 §6.4 静电场的能量静电场的能量6-4-1 点电荷系的电能

a b

r

功：r

qqW 21

0π4

1

静电能：

221

02e π4

1Vq

r

qqWW

112

01e π4

1Vq

r

qqW

2211e 2

1VqVqW 两个点电荷的相互作用能：

或

点电荷系统的相互作用能：

n

iiiVqW

1e 2

1

式中 Vi 表示除第 i 个点电荷以外的所有其他点电荷的电场在 qi 所在处的总电势。

连续分布带电体的电能：

q

qVW d2

1e

6-4-2 电容器的能量

qqC

qVW d1

dd AB -q +q

VAB

+ +dq

Q

C

Qqq

CW

0

2

2

1d

1

ABCVQ 因为

所以 AB2

AB

2

e 2

1

2

1

2

1QVCV

C

QW

6-4-3 电场的能量

电能储存在（定域在）电场中

d

SC

SdEW 2e 2

1

电容器体积： V = Sd

2ABe 2

1CVW EdV AB

以平板电容器为例：

电场的能量密度：单位体积电场所具有的能量

2e 2

1Ew

结论：电场的能量密度与电场强度的平方成正比

电场能的计算式：

VW dee w

注意：对于任意电场，上式普遍适用。

例 7 真空中一半径为 a ，带电荷量为 Q 的均匀球体的静电场能。

解法一：解法一：0

3

32

1

3π4

3π4π4

r

a

QrE

球内场强：3

01 π4 a

QrE

aQ

球外场强：2

02 π4 r

QE

a

a

rrErEV dd 21

3π4 3a

Q

3

2

02

03

0

3

π8π4

d

π4

d

a

r

Q

Q

r

rQ

a

rQrV

a

a

r

rra

r

a

Q

a

QVVW

adπ4

3

π83π42

1d

2

1 2

0 3

2

03e

ra

r

ar

a

Q ad

3

π16

30 3

22

30

2

a

QW

0

2

e π20

3

aQ

解法二：

a

aVEVEVW d

2

1d

2

1d 2

200

210ee w

a

arr

r

Qrr

r

Qdπ4

π42

1dπ4

π42

1 2

2

20

02

2

0 20

0

a

Q

a

Q

a

Q

0

2

0

2

0

2

π20

3

π8π40

例 8 空气平行板电容器，面积为 S ，间距为 d 。现在把一块厚度为 t 的铜板插入其中。（ 1 ）计算电容器的电容改变量；（ 2 ）电容器充电后断开电源，再抽出铜板需做多少功？

解：解：插入前： dSC 00

插入后： tdV 0

td

S

V

SC

0

S

tQ

C

Q

C

QWWA

0

22

0

2

0 222

)(0

tdd

StC

d t

例 9 球形电容器带电荷量 q ，内外半径分别为 R1

和 R2 ，极板间充满介电常数为 的电介质。计算电场的能量。

R1

R2

rdr解： 2π4 r

qD

2π4 r

qDE

rrV dπ4d 2

42

22

e π322

1

r

qE

w VW dd ee w

21

2

2

2

ee

11

π8d

π8d

2

1 RR

qr

r

qVW

R

R w

计算电容量：

C

q

RRRR

qW

2

12

21

2

e 2

1

π42

1

12

21π4

RR

RRC