ХарактеристикиХарактеристики

Периодично движениеПериодично движение - - всяко движение, което се всяко движение, което се

повтаря през равни повтаря през равни интервали от време. интервали от време.

Трептене Трептене - периодично - периодично

движение, при което тяло движение, при което тяло многократно се отклонява многократно се отклонява

от едно равновесно от едно равновесно положение. положение.

ХарактеристикиХарактеристики

Честота  на трептенето – Честота  на трептенето –

броят на трептенията за 1 s.броят на трептенията за 1 s.

Връзката между периода и честотата: Връзката между периода и честотата: v = 1/T [ Hz ]

N

tТ

Амплитуда на трептене А – максималното отклонение на тялото от

равновесното му положение.

Период на трептене Т – най-малкият интервал от време, в

началото и в края на който положението и скоростта на трептящото тяло са едни

и същи. Периодът се измерва в секунди [s].

Пружинно махалоПружинно махало

Ако пружинното махало не Ако пружинното махало не извършва никакви трептения, то се извършва никакви трептения, то се

намира в своето равновесно намира в своето равновесно положение. Когато свием или положение. Когато свием или

разтегнем тази пружина и разтегнем тази пружина и предметът закачен за нея, започват предметът закачен за нея, започват

хармонични трептения. Върху хармонични трептения. Върху топчето се упражнява сила, която топчето се упражнява сила, която

зависи от коефициента на зависи от коефициента на еластичност на пружината k и от еластичност на пружината k и от

отклонението на предмета x отклонението на предмета x спрямо равновесното положение:спрямо равновесното положение:

F=k|x|F=k|x|..

Уред, съставен от пружина закачена в единия си край за неподвижна повърхност, а в другия тяло с маса m .

Пренебрегваме силите на триене.

Пружинно махалоПружинно махало

Формулите за Т и Формулите за Т и νν изразяват периода и изразяват периода и честотата не само на пружинното махало, честотата не само на пружинното махало, но и на всяко друго хармонично трептене но и на всяко друго хармонично трептене на тяло с масана тяло с маса m m, което се извършва под , което се извършва под

действие на връщащата силадействие на връщащата сила F=kx F=kx. . Периода и честотата на хармоничните Периода и честотата на хармоничните

трептения не зависят от амплитудата. Те трептения не зависят от амплитудата. Те се определят само от масата m на се определят само от масата m на

теглилката и коефициента на еластичност теглилката и коефициента на еластичност k на пружината.k на пружината.

            .

Периодът на пружинното махало зависи от масата m на тялото окачено за пружината и

коефициентът на еластичност к:

Като се използва връзката между честота и период v=1/T, се изразява честотата на

пружинното махало

Връщаща силаВръщаща сила

За да трепти едно тяло, трябва да му действа За да трепти едно тяло, трябва да му действа насочена към равновесното  му положение насочена към равновесното  му положение връщаща силавръщаща сила. При трептене на пружинно . При трептене на пружинно

махало това е силата на еластичност, резултат от махало това е силата на еластичност, резултат от деформацията на пружината. В положение деформацията на пружината. В положение СС11

връщащата сила връщащата сила FF11 се поражда при разтегляне на се поражда при разтегляне на пружината, а в положение пружината, а в положение СС22 силата силата FF22 е резултат е резултат

от свиване на пружината. от свиване на пружината.

Хармонично трептенеХармонично трептене

Опитите показват, че големината на силата на еластичност Опитите показват, че големината на силата на еластичност FF е е правопропорционална на големината правопропорционална на големината ||xx|| на деформацията на на деформацията на

пружината: пружината: FF = = kk||xx||. Ето защо трептенията на пружинното махало са . Ето защо трептенията на пружинното махало са хармонични.хармонични.

Постоянната величина Постоянната величина kk се нарича коефициент на еластичност на се нарича коефициент на еластичност на пружината.Тъй като отклонението се измерва в метри, а силата – в пружината.Тъй като отклонението се измерва в метри, а силата – в

нютони, коефициентът на еластичност се измерва с нютон на метър.нютони, коефициентът на еластичност се измерва с нютон на метър.

Графика на положението на топчето на пружинно махало

върху оста Ох в зависимост от времето t. За начален е избран

моментът, в който топчето минава през т. О, движейки се

към т. Р2.

Трептене, при което графиката на отклонението от равновесното положение в зависимост от времето е синусоида, се нарича хармонично трептене. Трептенето е хармонично само когато големината на връщащата сила е правопропорционална на големината на отклонението от равновесното положение.

МатематичноМатематично махаломахало

Математично махало се нарича уред Математично махало се нарича уред съставен от лека и неразтеглива съставен от лека и неразтеглива

нишка с дължина l , която е закачена нишка с дължина l , която е закачена в единия си край за неподвижна в единия си край за неподвижна

повърхност, а в другия край топче.повърхност, а в другия край топче.

Масата на нишката трябва да бъде пренебрежимо малка спрямо масата на топчето. Когато радиусът на топчето е по

голям от дължината на нишката отново получаваме математично махало.

Математично махалоМатематично махало

В равновесно положение върху топчето действат силата на В равновесно положение върху топчето действат силата на тежест (G) и силата на опъване (N). Тези две сили се тежест (G) и силата на опъване (N). Тези две сили се

уравновесяват. Ако отклоним махалото от равновесното уравновесяват. Ако отклоним махалото от равновесното му положение и го пуснем,то започва да извършва му положение и го пуснем,то започва да извършва

хармонични трептения. хармонични трептения.

За да определим връщащата сила F използваме подобните триъгълници MLC и LFG.

От тях следва, че F/G=x/l, следователно F=(G.x)/l. Тъй като връщащата сила е в посока обратна на посоката на отклонението следва,

че: F=-(m.g.x)/l.

Математично махалоМатематично махало

Ако отклоним две махала с еднаква дължина на Ако отклоним две махала с еднаква дължина на нишката и с различни маси на различни ъгли от нишката и с различни маси на различни ъгли от равновесното им положение и ги пуснем равновесното им положение и ги пуснем едновременно, всеки път когато едното топче едновременно, всеки път когато едното топче мине през равновесното си положение другото мине през равновесното си положение другото топче също минава през своето. Периодът на топче също минава през своето. Периодът на Математичното махало не зависи нито от Математичното махало не зависи нито от отклонението, нито от масата на топчето. Той отклонението, нито от масата на топчето. Той зависи само от дължината на махалото и от зависи само от дължината на махалото и от земното ускорение.земното ускорение.

Като се използва връзката между честота и Като се използва връзката между честота и период период v=1/Tv=1/T, се изразява честотата на , се изразява честотата на математичното махало. Периода и честотата на математичното махало. Периода и честотата на хармоничните трептения не зависят от хармоничните трептения не зависят от амплитудата. Те се определят само от дължината амплитудата. Те се определят само от дължината на нишката на нишката ll и земното ускорение и земното ускорение gg..

Връщаща сила при Връщаща сила при

математично махаломатематично махало Във всеки момент на махалото действат две Във всеки момент на махалото действат две

сили – силата на тежестта сили – силата на тежестта GG и силата на и силата на опъване на нишката опъване на нишката NN. Може да се покаже, че:. Може да се покаже, че:

– – равнодействащата равнодействащата FF на тези сили е  на тези сили е  допирателна към траекторията и е допирателна към траекторията и е насочена насочена

към равновесното положение на махалотокъм равновесното положение на махалото, , т.е. тя играе роля на т.е. тя играе роля на връщаща сила.връщаща сила.

– – когато амплитудата на люлеене е малка когато амплитудата на люлеене е малка ( < 10°), големината на връщащата сила ( < 10°), големината на връщащата сила FF с с

голямо приближение е голямо приближение е пропорционална на пропорционална на отклонението.отклонението.

Изпълнението на тези две условия гарантира, че движението на махалото е хармонично трептене.

Период на трептене на Период на трептене на математично махаломатематично махало

Периодът Периодът ТТ на математичното махало не зависи от на математичното махало не зависи от масата на топчето, но зависи от дължината масата на топчето, но зависи от дължината l l на на

нишката, на която е окачено.нишката, на която е окачено.

Математични махала се използват и в много уреди за Математични махала се използват и в много уреди за точно определяне на земното ускорение. Това има точно определяне на земното ускорение. Това има важно приложно значение, защото стойността на важно приложно значение, защото стойността на

земното ускорение на дадено място е един от земното ускорение на дадено място е един от показателите за наличието на нефт и различни показателите за наличието на нефт и различни

полезни изкопаеми.полезни изкопаеми.

Преобразувания на енергията Преобразувания на енергията при хармонично трептенепри хармонично трептене

Когато тяло, издигнато над земната повърхност, пада, силата Когато тяло, издигнато над земната повърхност, пада, силата на тежестта извършва работа, а потенциалната енергия на на тежестта извършва работа, а потенциалната енергия на

тялото намалява. Когато освободим свита пружина, силата на тялото намалява. Когато освободим свита пружина, силата на еластичност, с която пружината действа на топчето, също еластичност, с която пружината действа на топчето, също

извършва работа. Следователно свитата пружина притежава извършва работа. Следователно свитата пружина притежава определена потенциална енергия определена потенциална енергия ЕЕпп. Приема се, че за . Приема се, че за

недеформирана пружина недеформирана пружина ЕЕп = 0п = 0, понеже тогава силата на , понеже тогава силата на еластичност е нула. Доказва се, че потенциалната енергия е по-еластичност е нула. Доказва се, че потенциалната енергия е по-

голяма, когато деформацията на пружината е по-голяма. голяма, когато деформацията на пружината е по-голяма. Следователно потенциалната енергия на пружинното махало е Следователно потенциалната енергия на пружинното махало е

максимална при максимално отклонение на  топчето.максимална при максимално отклонение на  топчето.

Преобразувания на енергията при Преобразувания на енергията при хармонично трептенехармонично трептене

Механичната енергия Емех на пружинното махало е сума от кинетичната енергия на топчето Ек и потенциалната енергия Еп на пружината.

Пренебрегваме силите на триене и съпротивлението. Емех = Ек + Еп

Ако топчето започва движението си от положение с максимално отклонение, то в началния момент Емех = Еп, тъй като там топчето е неподвижно и Ек = 0.

С приближаване към равновесното положение скоростта и Ек растат. Понеже Емех е постоянна, сега Еп намалява, т.е. част от началната потенциална енергия се е преобразувала в кинетична.

Преобразувания на енергията Преобразувания на енергията при хармонично трептенепри хармонично трептене

След един период След един период потенциалната енергия на и потенциалната енергия на и топчето приема първоначалната топчето приема първоначалната си стойност следователно си стойност следователно отклонението му от отклонението му от равновесното положение отново равновесното положение отново е е АА..

При преминаване през равновесното положение Еп = 0, а Ек = Емех.

С отдалечаване от равновесното положение започва обратен процес – Ек се преобразува в потенциална.

Когато топчето достигне другото крайно положение, описаният процес на преобразуване на енергиите се повтаря.

Незатихващи трептенияНезатихващи трептения

Незатихващи трептения - трептения, чиято амплитуда

не се променя с времето.

При всяко хармонично трептене законът за запазване на механичната енергия гарантира, че амплитудата на трептенето не се променя с

времето.

Затихващи трептенияЗатихващи трептения

Затихващи трептения - трептения, чиято

амплитуда намалява с времето.

В реални условия винаги действат сили на триене и на съпротивление. В този случай механичната енергия на махалото не се запазва, а

намалява, защото работата на тези сили преобразува част от нея във вътрешна енергия на околната среда. Затова след един период в

точката на максимално отклонение, където Ек = 0, механичната енергия, а заедно с нея и Еп, ще бъде по-малка, т.е. по-малко ще бъде и отклонението от равновесното положение.

Следователно в този случай амплитудата А на трептенията намалява.

Собствени трептенияСобствени трептения

Трептенията, дължащи се на вътрешни за една система сили, се наричат собствени, или свободни трептения. Честотите на собствените (свободните) трептения, се

наричат собствени честоти.

mg

Собствени трептения възникват след еднократно внасяне на енергия в системата. Например в пружинно

махало е необходимо да отместим топчето от равновесното му положение, увеличавайки

потенциалната енергия, или да го ударим, придавайки му скорост и

кинетична енергия.

Принудени трептенияПринудени трептения

Трептения, извършвани под Трептения, извършвани под въздействие на периодично въздействие на периодично

променяща се външна сила, се променяща се външна сила, се наричат наричат принуденипринудени трептения. трептения.

Честотата на принудените Честотата на принудените

трептения е равна на честотата трептения е равна на честотата на промените на силата, която ги на промените на силата, която ги

предизвиква.предизвиква.

РезонансРезонанс

0

Явлението, което настъпва при изравняване на честотата Ω на външната сила и честотата ω0 на собствените трептения

на системата и се изразява в рязко нарастване на амплитудата на принудените трептения, се нарича

резонанс.

Ω<ω0 Ω=ω0 Ω>ω0

Външна сила с честота :