1

格子の振動（古典論）

K: バネの強さ uj j番目の原子の変位

問１： j番目の原子に関する運動方程式を書け。

問２： uj=uexp[i(kaj-ωt)] を運動方程式に代入して、　　　　ωと kの関係式（分散関係と言う）を求めよ。　　　　またグラフに書け。　　

問３：周期的境界条件　 uj+N=uj が全ての jについて　　　成立するとき、 kはどのような値をとるか？

M a:バネの自然長

大文字の K

2

格子の振動（古典論）解答

ujK: バネの強さj番目の原子の変位

問１： j番目の原子に関する運動方程式

問２： uj=uexp[i(kaj-ωt)] を運動方程式に代入して、　　　　ωと kの関係式（分散関係と言う）を求めよ。　　　　　　

問３：周期的境界条件　 uj+N=uj が全ての jについて　　　成立するとき、 kはどのような値をとるか？

M

)()( 112

2

jjjjj uuKuuK

dt

udM

2sin

42

sin2)1(cos2)2(

22

22

ka

M

K

kaKkaKeeKM ikaika

aN

nk

nkaN

eikaN

2

2

,1

分散関係：ω(k) グラフは次のページ

3

格子の振動（古典論）続き

uj=uexp[i(kaj-ωt)] は隣の原子の位相が、 exp(ika) 変化している。したがって、 kaの値で意味があるのは、 -π<ka≦π の範囲。周期的境界条件より、 k=2πn/aN なので、 nで言うと、　　 -N/2 < n ≦ N/2 n=0, ± １、 ... ±(N/2 –1) , N/2 の合計 N個

π/a-π/a 0

ω

2sin2ka

M

K

k

-π/a<k≦π/a 　の範囲を「第１ブリルアンゾーン」と言う。

4

比熱の古典論

エネルギー等分配則　　１自由度当たり、 kT/2

N 個の原子なら、 3Nの自由度　　 U= 3NkT　　 C=dU/dT = 3Nk 温度に依らず、いつも一定の比熱？

しかし、低温で実験と合わない。

量子力学で考える必要がある。

振動子をボゾンとして扱う。

C

T

E

T0

0実験と合わない

5

同種粒子（区別がつかない粒子）：　　　ボゾンとフェルミオン

ボ ゾ ン (ボ ー ズ 粒 子 ) boson フ ェ ル ミ オ ン （ フ ェ ル ミ 粒 子 ） fermion １ つ の 準 位 に 粒 子 が 多 数 入 れ る 。 １ つ の 準 位 に 粒 子 は １ 個 だ け し か 入 れ な

い 。

例 ： フ ォ ト ン 、 偶 数 個 の フ ェ ル ミ オ ン の 系 は ボ ゾ ン 。

例 ： 電 子 、 陽 子 、 中 性 子 な ど 。 奇 数 個 の フ ェ ル ミ オ ン の 系 は 、 フ ェ ル ミオ ン

波 動 関 数 は 粒 子 の 入 れ 替 え に 対 し て 、 対 称 。 Ψ （ 2,1） =+Ψ (1,2)

波 動 関 数 は 、 粒 子 置 換 に 対 し て 、 反 対 称 Ψ （ 2,1） =-Ψ (1,2)

エ ネ ル ギ ー E の 状 態 数 エ ネ ル ギ ー E の 状 態 数

1

1)(

)( Ee

Ef1

1)(

)( Ee

Ef

0

0.5

1f(E)

0μ

EE

f(E)０から 1までの値をとる1よりも大きい値をとれる

6

比熱の量子論（アインシュタインの議論）

調和振動子のエネルギー準位：　　

はプランク定数

)2

1( nEn

n=0,1,2,...

問題 1．占有数 nの平均値

　　　　を求めよ。

問題２　前問の <n>の結果を使って、もし振動子が全て同じ振動数 ω0 を持つ場合の　　　　内部エネルギー から、　　　　比熱 Cを求めよ。 Uと Cの高温極限と低温極限を求めよ。　 Uと Cを温度 Tの関数としてグラフを書け。

0

0

)]21

(exp[

)]21

(exp[

n

n

n

nnn

nNU 03

β=1/kT

7

やっていること。

固体原子　　＋　　自由電子　　 -> 金属中の電子

格子と逆格子ブリルアンゾーン格子振動 比熱

Ψ=exp(ikx) の波

m

kEk 2

22

？＋

k0

E

8

復習：等比数列　（忘れている人もいたので）

証明：左辺を Sn(r) と置くと、

　　　　両辺引いて、

　　よって 証明は終わり。数学的帰納法でもよい。

ちなみに、そもそも因数分解の形をしている。

n=2 や 3だと見たことある形。　　

r

rrrr

nn

1

1...1 12

)1(

1)(

1)()1(

,...)(

,...1)(2

12

r

rrS

rrSr

rrrrrS

rrrrS

n

n

nn

nn

nn

nn rrrrr 1)1)(...1( 12

,1)1)(1(

,1)1)(1(2

32

rrr

rrrr

9

復習：等比級数

等比数列の和は前頁より

すると等比級数は、両辺で n→∞の極限をとり、 |r|<1なら、

もし |r|≧1なら、発散する。

r

rrrr

nn

1

1...1 12

rrrr n

1

1......1 2

10

他の級数

0n

nnx

方法その１．微分する。

　　 f=1/(1-x) 、 df/dx=1/(1-x)2 なので、　　　 g(x)=df/dx-f=x/(1-x)2

00

)(,)(n

n

n

n nxxgxxf

)()()1(01

1 xfxgxmnxdx

df

m

m

n

n

とおく。 g(x) を知りたい。

方法その２

よって、 xg(x)=1+g(x)-f(x), (1-x)g(x)=f(x)-1, g(x)=(f(x)-1)/(1-x).f(x)=1/(1-x) を代入して、 g(x)=x/(1-x)2

010

1 )1(1)1()(m

m

m

m

n

n xmxmnxxxg

11

比熱の量子論（アインシュタインの議論）

調和振動子のエネルギー準位：　　

はプランク定数

)2

1( nEn

n=0,1,2,...

問題 1．占有数 nの平均値

　　　　を求めよ。問題２　前問の <n>の結果を使って、もし振動子が全て同じ振動数 ω0 を持つ場合の　　　　内部エネルギー から、　　　　比熱 Cを求めよ。　　　　比熱 Cの高温極限と低温極限を求めよ。　

0

0

)]21

(exp[

])21

(exp[

n

n

n

nnn

nNU 03

1

1

en

β=1/kT