数学归纳法

1．数学归纳法原理2．数学归纳法证题步骤

3．例题分析

n

nn

n

an

anan

aaa

)1(

141

1}{

1

21

，都有自然数

的，且对于任意大于，中，数列

；、、①求 543 aaa

例 1 ：

71

2)12(

2

23

aa

a

131

4)14(

4

45

aa

a

101

3

)13(

3

34

a

aa

解：

na②求通项公式

分析：运用不完全归纳法，从特例中归纳出一般的结论，

形成猜想，再加以证明，这是数学研究的基本方法之一

下页

231

n

an

成立时，① 1213

11 1

an证明：

成立时，②假设23

1

k

akn k

k

kk ak

akakn

)1(

1 1时，由已知：则

2)1(31

123

1

231

231

)1(

21

kkk

k

kk

kk

ak

∴ 当 n=k+1时，也成立

都成立即对于任意的23

1,

n

aNn n

猜想：

2. 3. 4.

,42

)12(531,

n

n

nnn

b

naba …，其中已知数列例 2 ：

成立，使得是否存在唯一的自然数 nn ban

分析：这是一个存在型探索性问题，对 n 赋值后，比较几对 a与 b

的大小，可作出合理猜测，再用数学归纳法予以论证。 2)1()12(531 nnan …由解：、、、、均小于、、、解得 43214321 bbbbaaaa

364236 555 ba ，

26081

13264

6849

88

77

66

ba

ba

ba

下页

nn ban 时有当 6

nn ban 有时①当 ,6

kk bakn 有时②假设当 ,

421 11

k

kbkn 时，当

242 2 kk4)1(2 2 k

4)42(2 k

)6(,42)1( 2 nk k即

)66(06)2()242( 2222 kkkkkk ，而

]1)1[()2()242( 222 kkkk即

12

1 ]1)1[( kk akb由不等式的传递性得：

猜想：

nn ban 都有即对于任意的 ,6

证明：

1. 3. 4.

求证： 整除能被，对于任意的自然数 1331211 121 nnn

整除能被时，① 13312111 1211 n

整除能被时，②假设 1331211 121 kkkn

12212121122 12121211121111111211

1

kkkkkk

kn 时，当

整除能被13312133)1211(11 12121 kkk

整除都能被，所以对于任意的自然数 1331211 121 nnn

证明：

例 3 ：

1. 2. 4.

例 4 ：平面内有 n 条直线，其中任两条不平行，任三条不共点，证明这 n 条直线把平面分成： 个区域)2(

21

)( 2 nnnf

证明：① 当 n=1 时，一条直线把平面分成两个区域，，命题成立2)211(

21

)1( 2 f

② 假设当 n=k 时，命题成立，即分成个区域)2(

21

)( 2 kkkf

由已知， a 与其余 k 条直线都相交，被它们分成 k+1 段，每一段都把它所在的区域分成两个区域，这样就比 n=k 时多出了 k+1 个区域。

)1)2(21

)1( 2 Kkkkf （即： ]2)1()1[(21 2 kk

现在考虑 n=k+1 时的情况。取其中任意一条直线，记作a ，

所以对于任意的自然数 n ，原命题都成立。