几类不同增长的函数模型

例 1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报 40 元；

请问，你会选择哪种投资方案？

第一天回报 10 元，以后每天比前 一天多回报 10 元；

方案二：

第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番 .

方案三：

x设第 天所得回报为y元

)(40 Nxy方案一 可以用函数 进行描述

方案二 可以用函数 进行描述)(10 Nxxy

方案三 可以用函数 )(24.0 1 Nxy x

进行描述

x

天 方案一 方案二 方案三 y 元

增加量 元 y 元

增加量 元 y 元 增加量 元

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

…

30

40

40404040

4040404040

40

0000

00000

0

10

20304050

60708090100

300

10101010

1010101010

10

12.8

0.81.63.26.4

12.825.651.2102.4204.8

214748364.8

0.40.81.63.2

6.4

0.4

25.651.2102.4

107374182.4

… … … … … …

图 -1

我们看到，底为2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的

理解？

函数图象是分析问题的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连接

离散的点。

根据以上的分析，是否应作这样的选择：投资 5 天以下先方案一，投资 5~8 天先方案二，投资 8 天以上先方案三？

因此，投资 8 天以下( 不含 8 天 ) ，应选择第一种投资方案；投资 8~10 天，应选择第二种投资方案；投资11 天 ( 含 11 天 ) 以上，刚应选择第三种投资方案。

3-4-2表

( )回报 元 ( )回报 元 ( )回报 元1 40 10 0. 42 80 30 1. 23 120 60 2. 84 160 100 65 200 150 12. 46 240 210 25. 27 280 280 50. 88 320 360 1029 360 450 204. 410 400 550 409. 211 440 660 818. 812 480 780 163813 520 910 3276. 414 560 1050 6553. 215 600 1200 13106. 816 640 1360 2621417 680 1530 52428. 4

x（天） 方案二 方案三方案一

例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的方案 ：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励且奖金（单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25% ，现有三个奖励模型：

其中哪个模型能符合公司的要求？

xy

xy 25.0 1log7 xy xy 002.1

（ 1 ）奖金总数不超过 5 万元

（ 2 ）奖金不超过利润的 25%

满足的要求：

解： 借助计算机作出函数

的图象

,25.0,5 xyy xyxy 002.1,1log7

-20120011001000900800700600500400300200100

-40

-60

-80

-100

-120

-140

-160

-180

-200

-220

-240

-260

-280

-300

1 、四个变量 随变量 变化的数据如下表：43,21 ,, yyyy x

1.0051.01511.04611.14071.42952.31075

1551301058055305

337331758.294.4785

45053130200511305051305

302520151050x

1y

2y

3y

4y

51037.6 7102.1 81028.2

关于 x 呈指数型函数变化的变量是 。2y

x

2 、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果

某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒

发作时传播一次病毒，并感染其他 20 台未被感染病毒的

计算机。现有 10 台计算机被第 1 轮病毒感染，问被第 5轮

病毒感染的计算机有多少台？解：设第 轮感染病毒的计算机为 ，则由已知得后一轮感染病毒的计算机是前一轮的 20 倍，且 ，

n na

1 10a 4 45 10 20 160 10a