5.6 平面向量的数量积及运算律

物理意义下的“功”

θ

s

F 一个物体在力 F 的作用下产生的位移s, 那么力 F 所做的功应当怎样计算？

其中力 F 和位移 s 是向量， 是 F 与 s 的夹角，而功是数量 .

| || | cosW F S

5.6 平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积的定义

已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 ，我们把数量

叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a · b ，即cos|||| ba

cos|||| baba

规定：零向量与任意向量的数量积为 0 ，即 0 ．0a

5.6 平面向量的数量积及运算律

（ 1 ）两向量的数量积结果是一个数量，符号由夹角决定 .

（ 3 ） a · b 不能写成 a×b ， a×b 表示向量的另一种运算．

与以往运算法则的区别及注意点

（ 2 ） 一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合

而向量的加法和减法的结果还是一个向量 .

思考：对于两个非零向量 a与 b ，设其夹角为 θ ，那么︱ a︱ cosθ的几何意义如何？

a

θ bO

A

BA1

思考：对于两个非零向量 a与 b ，设其夹角为 θ ，︱ a︱cosθ 叫做向量 a在 b 方向上的投影 . 那么该投影一定是正数吗？向量 b在 a 方向上的投影是什么？

不一定；︱ b︱ cosθ.

|a|cosθ

思考：根据投影的概念，数量积a·b=︱ a|︱ b︱ cosθ 的几何意义如何？

数量积 a·b 等于 a 的模与 b在 a 方向上的投影︱ b︱cosθ 的乘积，或等于 b 的模与 a在 b 方向上的投影︱ a︱ cosθ 的乘积，

5.6 平面向量的数量积及运算律

两个非零向量的夹角

两个非零向量 aa 和 bb ，作 ， ，则

叫做向量 a a 和 bb 的夹角．aOA bOB AOB

)1800(

O A

B

a

b

O ABba

若 ， a 与 b 同 向0

O AB

b a

若 ， a 与 b 反向 180

O A

B

ab

若 ， a 与 b 垂直， 90ba 记作

①

② ③

数量积的性质

（ 1） e · a=a · e=| a | cos

（ 2） a⊥b a · b=0 ( 判断两向量垂直的依据 )

（ 3 ）当 a 与 b 同向时， a · b =| a | · | b |， 当 a 与 b 反向时 , a · b = −| a | · | b |.

特别地 ( 用于计算向量的模 )aaaaaa |||| 2或

（ 4 ）||||

cosbaba

（ 5） | a · b| ≤| a | · | b |

5.6 平面向量的数量积及运算律 设 a ,b 都是非零向量 , e 是与 b 方向相同的单位向量 ,

是 a与 e 的夹角 , 则

( 用于计算向量的夹角 )

5.6 平面向量的数量积及运算律

例题讲解

例 1 ．已知 |aa |=2, |b b |=3|=3 分别在下列条件下分别在下列条件下求 a ·ba ·b.

解： （ 1） a ·b =|a | |b |cosθ

（ 1） θ＝ 1350（ 2） a ∥b(3)a⊥b

23

=2×3×COS1350

5.6 平面向量的数量积及运算律

例题讲解

例 1 ．已知 |aa |=2, |b b |=3|=3 分别在下列条件下分别在下列条件下求 a ·ba ·b.

解：（ 2 ）当 a与 b 同向时， a ·ba ·b=2×3=6

（ 1） θ＝ 1350（ 2） a ∥b(3)a⊥b

当 a与 b 反向时， a ·ba ·b = － 2 × 3= － 6

（ 3 ） a ·b=a ·b=00

二　向量的夹角 (θ)

请判断，在下列各图中 AOB 是否为给出向量的夹角

(1)o

A

B

(4)

o

A

B

(3)o

A

B

(2)o

A

B

二　向量的夹角 (θ)

(1)o

A

B(4)

o

A

B

注意：1. 在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点．2.且 θ [∈ ０ , π]

二　向量的夹角 (θ)注意：

1. 在两向量的夹角的定义中，两向量必须是同起点．

3.当 θ ＝０时， a与 b 同向4.当 θ＝ π 时， a与 b 反向5.当 θ＝ π／ 2 时， a与 b 垂直，记作a b

2.且 θ [∈ ０ , π]

a b cos θa . b=

6.当 θ∈ ［０ ,π/2)时 , a . b ＞ ０当 θ (π/∈ ２ ,π ］时 , a . b ＜０，当 θ=π/2, a . b=0

例２已知在△ ABC 中， BC= ５， CA= ８，∠ C= ６００，求 BC . CA

AC

B

∵∠C= ６００

∴ 向量 BC与 CA 所成的角为１２００

D=5×8 x (-1/2)

= - 20

解：

∴ BC . CA= BC CA COS １２００

奎屯王新敞新疆

三、练习：三、练习：

的形状是，则中，）在（ ABCBCABABC 01 （ ）A 锐角三角形C 钝角三角形 D 不能确定

B 直角三角形

D

的形状是，则中，）在（ ABCBCABABC 02 （ ）C

A 锐角三角形 B 直角三角形

C 钝角三角形 D 不能确定

4 、数量积的运算律：⑴ 交换律： abba

⑵ 对数乘的结合律： )()()( bababa

⑶ 分配律： cbcacba )(

A1B1

A

B

OC

a b

c

a＋ bθ

θ1

θ2

4 、数量积的运算律：⑴ 交换律： abba

⑵ 对数乘的结合律： )()()( bababa

⑶ 分配律： cbcacba )(

注意：

数量积不满足结合律 )()(: cbacba 即

数量积不满足消去律 cbcaba 推不出即:

000 abba 或也推不出

练习.

判断正误

1 ．若 a =0 ，则对任一向量 b ，有 a · b = 0．2 ．若 a ≠0 ，则对任一非零向量 b , 有 a ·

b≠0．3. a · b= b · a

4．（ a · b ） · c = a · （ b · c ）

5 ．若 a≠0， a · b= b · c ，则 a= c.

6 ．对任意向量 a 有 22 || aa

√

×

×

×

√

5.6 平面向量的数量积及运算律

√

作业 :

1. 课本 P95 习题 A 2,3,7.B 1.

2. 练习 : 其余习题