第第四四章章

sect4-3 轴心受压构件的稳定一轴心受压构件的整体稳定

（一）轴压构件整体稳定的基本理论

1 轴心受压构件的失稳形式

理想的轴心受压构件 ( 杆件挺直荷载无偏心无初始应力无初弯曲无初偏心截面均匀等）的失稳形式分为

（ 1 ）弯曲失稳 --只发生弯曲变形截面只绕一个主轴旋转杆纵轴由直线变为曲线是双轴对称截面常见的失稳形式

（ 2 ）扭转失稳 --失稳时除杆件的支撑端外各截面均绕纵轴扭转是某些双轴对称截面可能发生的失稳形式

（ 3 ）弯扭失稳mdash单轴对称截面绕对称轴屈曲时杆件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转

2轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲l

N

N

F F F

N

N

N

N Ncr

Ncr

Ncr

NcrN

N Ncr

Ncr

A稳定平衡状态

B随遇平衡状态

C临界状态

下面推导临界力 Ncr

设 M 作用下引起的变形为 y1剪力作用下引起的变形为 y2总变形 y=y1+y2

由材料力学知

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

EIM

dx

yd

2

12

剪力 V 产生的轴线转角为

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

与截面形状有关的系数量材料弹性模量和剪变模

杆件截面积和惯性矩

GE

IA

0

1

22

yky

GAN

EI

Nk

cr

cr 则令

2

2

2

22

dx

MdGAdx

yd

因为

2

2

2

22

2

12

2

2

dx

MdGAEI

M

dx

yd

dx

yd

dx

yd

所以

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

EIM

dx

yd

2

12

2

2

2

2

dx

ydGA

Ny

EI

N

dx

yd

yNM

crcr

cr

得由于

01

y

EI

N

GA

Ny crcr

即

02 yky对于常系数线形二阶齐次方程其通解为 kxBkxAy cossin

kxAy

Byx

sin

000

从而得引入边界条件

0sin

0

klA

ylx 得再引入边界条件

条件舍去不符合杆件微弯的前提

解上式得0A

222

1

3210sin

lk

kln

nnklkl

即

得取）（

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

2

22

1l

GAN

EI

Nk

cr

cr

因

)34(

1

1

2

22

2

GAl

EIl

EIN

N

cr

cr

故临界力

)44(

1

1

2

22

2

GA

EA

E

A

N crcr

cr

临界应力

)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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sect4-3 轴心受压构件的稳定一轴心受压构件的整体稳定

（一）轴压构件整体稳定的基本理论

1 轴心受压构件的失稳形式

理想的轴心受压构件 ( 杆件挺直荷载无偏心无初始应力无初弯曲无初偏心截面均匀等）的失稳形式分为

（ 1 ）弯曲失稳 --只发生弯曲变形截面只绕一个主轴旋转杆纵轴由直线变为曲线是双轴对称截面常见的失稳形式

（ 2 ）扭转失稳 --失稳时除杆件的支撑端外各截面均绕纵轴扭转是某些双轴对称截面可能发生的失稳形式

（ 3 ）弯扭失稳mdash单轴对称截面绕对称轴屈曲时杆件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转

2轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲l

N

N

F F F

N

N

N

N Ncr

Ncr

Ncr

NcrN

N Ncr

Ncr

A稳定平衡状态

B随遇平衡状态

C临界状态

下面推导临界力 Ncr

设 M 作用下引起的变形为 y1剪力作用下引起的变形为 y2总变形 y=y1+y2

由材料力学知

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

EIM

dx

yd

2

12

剪力 V 产生的轴线转角为

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

与截面形状有关的系数量材料弹性模量和剪变模

杆件截面积和惯性矩

GE

IA

0

1

22

yky

GAN

EI

Nk

cr

cr 则令

2

2

2

22

dx

MdGAdx

yd

因为

2

2

2

22

2

12

2

2

dx

MdGAEI

M

dx

yd

dx

yd

dx

yd

所以

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

EIM

dx

yd

2

12

2

2

2

2

dx

ydGA

Ny

EI

N

dx

yd

yNM

crcr

cr

得由于

01

y

EI

N

GA

Ny crcr

即

02 yky对于常系数线形二阶齐次方程其通解为 kxBkxAy cossin

kxAy

Byx

sin

000

从而得引入边界条件

0sin

0

klA

ylx 得再引入边界条件

条件舍去不符合杆件微弯的前提

解上式得0A

222

1

3210sin

lk

kln

nnklkl

即

得取）（

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

2

22

1l

GAN

EI

Nk

cr

cr

因

)34(

1

1

2

22

2

GAl

EIl

EIN

N

cr

cr

故临界力

)44(

1

1

2

22

2

GA

EA

E

A

N crcr

cr

临界应力

)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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（ 1 ）弯曲失稳 --只发生弯曲变形截面只绕一个主轴旋转杆纵轴由直线变为曲线是双轴对称截面常见的失稳形式

（ 2 ）扭转失稳 --失稳时除杆件的支撑端外各截面均绕纵轴扭转是某些双轴对称截面可能发生的失稳形式

（ 3 ）弯扭失稳mdash单轴对称截面绕对称轴屈曲时杆件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转

2轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲l

N

N

F F F

N

N

N

N Ncr

Ncr

Ncr

NcrN

N Ncr

Ncr

A稳定平衡状态

B随遇平衡状态

C临界状态

下面推导临界力 Ncr

设 M 作用下引起的变形为 y1剪力作用下引起的变形为 y2总变形 y=y1+y2

由材料力学知

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

EIM

dx

yd

2

12

剪力 V 产生的轴线转角为

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

与截面形状有关的系数量材料弹性模量和剪变模

杆件截面积和惯性矩

GE

IA

0

1

22

yky

GAN

EI

Nk

cr

cr 则令

2

2

2

22

dx

MdGAdx

yd

因为

2

2

2

22

2

12

2

2

dx

MdGAEI

M

dx

yd

dx

yd

dx

yd

所以

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

EIM

dx

yd

2

12

2

2

2

2

dx

ydGA

Ny

EI

N

dx

yd

yNM

crcr

cr

得由于

01

y

EI

N

GA

Ny crcr

即

02 yky对于常系数线形二阶齐次方程其通解为 kxBkxAy cossin

kxAy

Byx

sin

000

从而得引入边界条件

0sin

0

klA

ylx 得再引入边界条件

条件舍去不符合杆件微弯的前提

解上式得0A

222

1

3210sin

lk

kln

nnklkl

即

得取）（

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

2

22

1l

GAN

EI

Nk

cr

cr

因

)34(

1

1

2

22

2

GAl

EIl

EIN

N

cr

cr

故临界力

)44(

1

1

2

22

2

GA

EA

E

A

N crcr

cr

临界应力

)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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（ 2 ）扭转失稳 --失稳时除杆件的支撑端外各截面均绕纵轴扭转是某些双轴对称截面可能发生的失稳形式

（ 3 ）弯扭失稳mdash单轴对称截面绕对称轴屈曲时杆件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转

2轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲l

N

N

F F F

N

N

N

N Ncr

Ncr

Ncr

NcrN

N Ncr

Ncr

A稳定平衡状态

B随遇平衡状态

C临界状态

下面推导临界力 Ncr

设 M 作用下引起的变形为 y1剪力作用下引起的变形为 y2总变形 y=y1+y2

由材料力学知

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

EIM

dx

yd

2

12

剪力 V 产生的轴线转角为

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

与截面形状有关的系数量材料弹性模量和剪变模

杆件截面积和惯性矩

GE

IA

0

1

22

yky

GAN

EI

Nk

cr

cr 则令

2

2

2

22

dx

MdGAdx

yd

因为

2

2

2

22

2

12

2

2

dx

MdGAEI

M

dx

yd

dx

yd

dx

yd

所以

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

EIM

dx

yd

2

12

2

2

2

2

dx

ydGA

Ny

EI

N

dx

yd

yNM

crcr

cr

得由于

01

y

EI

N

GA

Ny crcr

即

02 yky对于常系数线形二阶齐次方程其通解为 kxBkxAy cossin

kxAy

Byx

sin

000

从而得引入边界条件

0sin

0

klA

ylx 得再引入边界条件

条件舍去不符合杆件微弯的前提

解上式得0A

222

1

3210sin

lk

kln

nnklkl

即

得取）（

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

2

22

1l

GAN

EI

Nk

cr

cr

因

)34(

1

1

2

22

2

GAl

EIl

EIN

N

cr

cr

故临界力

)44(

1

1

2

22

2

GA

EA

E

A

N crcr

cr

临界应力

)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

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21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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（ 3 ）弯扭失稳mdash单轴对称截面绕对称轴屈曲时杆件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转

2轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲l

N

N

F F F

N

N

N

N Ncr

Ncr

Ncr

NcrN

N Ncr

Ncr

A稳定平衡状态

B随遇平衡状态

C临界状态

下面推导临界力 Ncr

设 M 作用下引起的变形为 y1剪力作用下引起的变形为 y2总变形 y=y1+y2

由材料力学知

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

EIM

dx

yd

2

12

剪力 V 产生的轴线转角为

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

与截面形状有关的系数量材料弹性模量和剪变模

杆件截面积和惯性矩

GE

IA

0

1

22

yky

GAN

EI

Nk

cr

cr 则令

2

2

2

22

dx

MdGAdx

yd

因为

2

2

2

22

2

12

2

2

dx

MdGAEI

M

dx

yd

dx

yd

dx

yd

所以

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

EIM

dx

yd

2

12

2

2

2

2

dx

ydGA

Ny

EI

N

dx

yd

yNM

crcr

cr

得由于

01

y

EI

N

GA

Ny crcr

即

02 yky对于常系数线形二阶齐次方程其通解为 kxBkxAy cossin

kxAy

Byx

sin

000

从而得引入边界条件

0sin

0

klA

ylx 得再引入边界条件

条件舍去不符合杆件微弯的前提

解上式得0A

222

1

3210sin

lk

kln

nnklkl

即

得取）（

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

2

22

1l

GAN

EI

Nk

cr

cr

因

)34(

1

1

2

22

2

GAl

EIl

EIN

N

cr

cr

故临界力

)44(

1

1

2

22

2

GA

EA

E

A

N crcr

cr

临界应力

)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

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fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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2轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲l

N

N

F F F

N

N

N

N Ncr

Ncr

Ncr

NcrN

N Ncr

Ncr

A稳定平衡状态

B随遇平衡状态

C临界状态

下面推导临界力 Ncr

设 M 作用下引起的变形为 y1剪力作用下引起的变形为 y2总变形 y=y1+y2

由材料力学知

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

EIM

dx

yd

2

12

剪力 V 产生的轴线转角为

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

与截面形状有关的系数量材料弹性模量和剪变模

杆件截面积和惯性矩

GE

IA

0

1

22

yky

GAN

EI

Nk

cr

cr 则令

2

2

2

22

dx

MdGAdx

yd

因为

2

2

2

22

2

12

2

2

dx

MdGAEI

M

dx

yd

dx

yd

dx

yd

所以

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

EIM

dx

yd

2

12

2

2

2

2

dx

ydGA

Ny

EI

N

dx

yd

yNM

crcr

cr

得由于

01

y

EI

N

GA

Ny crcr

即

02 yky对于常系数线形二阶齐次方程其通解为 kxBkxAy cossin

kxAy

Byx

sin

000

从而得引入边界条件

0sin

0

klA

ylx 得再引入边界条件

条件舍去不符合杆件微弯的前提

解上式得0A

222

1

3210sin

lk

kln

nnklkl

即

得取）（

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

2

22

1l

GAN

EI

Nk

cr

cr

因

)34(

1

1

2

22

2

GAl

EIl

EIN

N

cr

cr

故临界力

)44(

1

1

2

22

2

GA

EA

E

A

N crcr

cr

临界应力

)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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下面推导临界力 Ncr

设 M 作用下引起的变形为 y1剪力作用下引起的变形为 y2总变形 y=y1+y2

由材料力学知

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

EIM

dx

yd

2

12

剪力 V 产生的轴线转角为

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

与截面形状有关的系数量材料弹性模量和剪变模

杆件截面积和惯性矩

GE

IA

0

1

22

yky

GAN

EI

Nk

cr

cr 则令

2

2

2

22

dx

MdGAdx

yd

因为

2

2

2

22

2

12

2

2

dx

MdGAEI

M

dx

yd

dx

yd

dx

yd

所以

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

EIM

dx

yd

2

12

2

2

2

2

dx

ydGA

Ny

EI

N

dx

yd

yNM

crcr

cr

得由于

01

y

EI

N

GA

Ny crcr

即

02 yky对于常系数线形二阶齐次方程其通解为 kxBkxAy cossin

kxAy

Byx

sin

000

从而得引入边界条件

0sin

0

klA

ylx 得再引入边界条件

条件舍去不符合杆件微弯的前提

解上式得0A

222

1

3210sin

lk

kln

nnklkl

即

得取）（

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

2

22

1l

GAN

EI

Nk

cr

cr

因

)34(

1

1

2

22

2

GAl

EIl

EIN

N

cr

cr

故临界力

)44(

1

1

2

22

2

GA

EA

E

A

N crcr

cr

临界应力

)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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0

1

22

yky

GAN

EI

Nk

cr

cr 则令

2

2

2

22

dx

MdGAdx

yd

因为

2

2

2

22

2

12

2

2

dx

MdGAEI

M

dx

yd

dx

yd

dx

yd

所以

dxdM

GAV

GAdx

dy

2

EIM

dx

yd

2

12

2

2

2

2

dx

ydGA

Ny

EI

N

dx

yd

yNM

crcr

cr

得由于

01

y

EI

N

GA

Ny crcr

即

02 yky对于常系数线形二阶齐次方程其通解为 kxBkxAy cossin

kxAy

Byx

sin

000

从而得引入边界条件

0sin

0

klA

ylx 得再引入边界条件

条件舍去不符合杆件微弯的前提

解上式得0A

222

1

3210sin

lk

kln

nnklkl

即

得取）（

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

2

22

1l

GAN

EI

Nk

cr

cr

因

)34(

1

1

2

22

2

GAl

EIl

EIN

N

cr

cr

故临界力

)44(

1

1

2

22

2

GA

EA

E

A

N crcr

cr

临界应力

)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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02 yky对于常系数线形二阶齐次方程其通解为 kxBkxAy cossin

kxAy

Byx

sin

000

从而得引入边界条件

0sin

0

klA

ylx 得再引入边界条件

条件舍去不符合杆件微弯的前提

解上式得0A

222

1

3210sin

lk

kln

nnklkl

即

得取）（

Ncr

Ncr

l

yy1 y2

Ncr

Ncr

M=Ncry

x

2

22

1l

GAN

EI

Nk

cr

cr

因

)34(

1

1

2

22

2

GAl

EIl

EIN

N

cr

cr

故临界力

)44(

1

1

2

22

2

GA

EA

E

A

N crcr

cr

临界应力

)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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2

22

1l

GAN

EI

Nk

cr

cr

因

)34(

1

1

2

22

2

GAl

EIl

EIN

N

cr

cr

故临界力

)44(

1

1

2

22

2

GA

EA

E

A

N crcr

cr

临界应力

)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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)64(

)54(

2

2

2

2

2

2

E

EA

l

EIN

cr

cr

通常剪切变形的影响较小可忽略不计即得欧拉临界力和临界应力

上述推导过程中假定 E 为常量（材料满足虎克定律）所以 σcr 不应大于材料的比例极限 fp 即

Pp

pcr

fE

fE

2

2

或长细比

4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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4轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲

Ncrr

Ncrr

l

x

y

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

(1) 双模量理论 该理论认为轴压构件在微弯的中性平衡时截面平均应力 (σcr) 要叠加上弯曲应力弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量 Et 规律（分布图形为曲线）由于是微弯故其数值较σcr 小的多可近似取直线而弯曲受拉一侧应力发生退降 且应力退降遵循弹性规律又因为 EgtEt 且弯曲拉压应力平衡所以中和轴向受拉一侧移动

σ

ε

σcr

fp

0

E

1

dεdσ

dd

E t 历史上有两种理论来解决该问题即

当 σcr 大于 fp

后 σ-ε 曲线为非线性 σcr 难以确定

Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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Ncrr

Ncrr

l

x

y

令I1 为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩

yNyIEEI t 21

解此微分方程即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力

IIEEIEEl

IE

l

IEEIN

trr

rtrcr

21

2

2

221

2

)74(

折算模量

dσ

1

dσ

2

σcr

形心轴 中和轴

I2 为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩且忽略剪切变形的影响由内外弯矩平衡得

)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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)84(2

2

2

2

ttcr

ttcr

E

l

IEN

(2) 切线模量理论

Ncrr

Ncrr

l

x

y

σ

σcrt

中和轴

σ

假定 A 达到临界力 Ncrt 时杆件 挺直 B 杆微弯时 轴心力增加 N 其产生的平均压 应力与弯曲拉应力相等 所以应力应变全截面增加无退降区切线模量 Et 通用于全截面由于 N 较 Ncrt 小的多近似取Ncrt 作为临界力因此以 Et 替代弹性屈曲理论临界力公式中的 E 即得该理论的临界力和临界应力

（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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（二）初始缺陷对压杆稳定的影响

但试验结果却常位于蓝色虚线位置即试验值小于理论值这主要由于压杆初始缺陷的存在

如前所述如果将钢材视为理想的弹塑性材料则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为

σ

ε

fy

0

fy=fp 10

0

y

cr

f

yy fE

λ

欧拉临界曲线

初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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初始缺陷 几何缺陷 初弯曲初偏心等

力学缺陷 残余应力材料不均匀等

1 残余应力的影响（ 1 ）残余应力产生的原因及其分布

A 产生的原因 ①焊接时的不均匀加热和冷却如前所述 ②型钢热扎后的不均匀冷却 ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩 ④构件冷校正后产生的塑性变形

实测的残余应力分布较复杂而离散分析时常采用其简化分布图（计算简图）

+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

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轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

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轴屈曲时对

)104(122

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2

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2

2

2

2

kE

tb

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轴屈曲时对

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2

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或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

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σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

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01 )194(1 0

yE

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毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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+

+

-

0361fy

0805fy

(a)热扎工字钢

03fy

03fy

03fy

(b)热扎 H型钢

fy

(c)扎制边焊接

03fy

β1fy

(d)焰切边焊接

02fy

fy075fy

(e) 焊接

053fy

fy β2fy

β2fy

( f )热扎等边角钢

(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

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x

y

v

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x

y

e0

0

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)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

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x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

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仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

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lN

EIl

EIN

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kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

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0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

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4

220

0

220

4

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bb

tl

t

b

bltb

atl

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y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

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220

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y

yyyz

y

时当

时当

y

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b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

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202

220

42

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bb

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时当

时当

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

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)304(

560

41

2201

101

101

bb

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y

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时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

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u

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u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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(2)残余应力影响下短柱的 σ-ε 曲线

以热扎 H型钢短柱为例03fy

03fy

03fy

03fy

σrc=03fy

σ=07fy

fy

（ A ）

07fyltσltfy

fy

（ B ）

σ=fy

fy

（ C ）

显然 由于残余应力的存在导致比例极限 fp 降为

余应力截面中绝对值最大的残

rc

rcyp ff

σ=NA

ε0

fy

fp

σrc

fy-σrcA

BC

(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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(3)仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力

I

IEI

I

l

EI

l

EIN e

cree

cr 2

2

2

2

2

2

根据前述压杆屈曲理论当 或 时可采用欧拉公式计算临界应力

pp fE rcyp ffAN

当 或 时截面出现塑性区由切线模量理论知柱屈曲时 截面不出现卸载区塑性区应力不变而变形增加 微弯时截面的弹性区抵抗弯矩因此 用截面弹性区的惯性矩 Ie 代替全截面惯性矩 I 即得柱的临界应力

rcyp ffAN pp fE

仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

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I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

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轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

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或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

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2

2

2

2

2

2

kE

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I

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xx

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kE

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I

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轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

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σ1

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kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

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y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

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2

2

2

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2

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或

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f

λn

欧拉临界曲线

10

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σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

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N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

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0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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仍以忽略腹板的热扎 H型钢柱为例推求临界应力

th

tkbb

x x

y

当 σgtfp=fy-σrc 时截面出现塑性区应力分布如图

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

柱屈曲可能的弯曲形式有两种沿强轴（ x 轴）和沿弱轴（ y 轴）因此临界应力为

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

y

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

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I

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xx

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轴屈曲时对

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2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

a c

arsquo crsquo

brsquo

σ1

σrt

bσrc

rtrcrtrc

kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

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I

IE

xx

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轴屈曲时对

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2

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tb

kbtE

I

IE

yy

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轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

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)214(022

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EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

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N

NN(e 0+ y)

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EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

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仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

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EIl

EIN

EIN

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1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

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公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

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②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

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y

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)254(142

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lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

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I

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0

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(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

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（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

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tl

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时当

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B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

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（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

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101

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时近似取当

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b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

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（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

显然残余应力对弱轴的影响要大于对强轴的影响（ klt1 ）

th

tkbb

x x

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)94(42

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2

2

2

2

2

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kE

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I

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轴屈曲时对

为消掉参数 k 有以下补充方程由 abc∽arsquobrsquocrsquo 得

fy

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kbkb

11 即

由力的平衡可得截面平均应力

E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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E

f

fE

y

y

n

纵坐标是临界应力与屈服强度的比值 横坐标是相对长细比 ( 正则化长细比 )

联合求解式 4-9和 4-11即得σcrx(λx)

联合求解式 4-10和 4-11即得σcry(λy) 可将其画成无量纲曲线 ( 柱子曲线 ) 如下

)94(42

4)(22

2

2

2

2

2

2

2

kE

tbh

hkbtE

I

IE

xx

xxx

ex

xcrx

轴屈曲时对

)104(122

12)(2 32

2

3

3

2

2

2

2

kE

tb

kbtE

I

IE

yy

yyy

ey

ycry

轴屈曲时对

)114(2

2

5022)(

2

kf

bt

kkbtbtf

rtrcy

rtrcycrycrx

或

10

0

y

cr

f

λn

欧拉临界曲线

10

σcrx

σcry σE

仅考虑残余应力的柱子曲线

假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

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WvN

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0

yE

E fWA

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01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

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x

y

v

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x

y

e0

0

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)214(022

2

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EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

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x

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x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

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A

B

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仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

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lN

EIl

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kEINk

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1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

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iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

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(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

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（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

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时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

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时当

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（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

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1

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

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560

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2201

101

101

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（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

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1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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假定两端铰支压杆的初弯曲曲线为2 初弯曲的影响

1000

)124(sin

0

0

00

lv

vl

xvy

规范规定长度中点最大初始挠度式中

N

N

l2

l2

v0

y0

v1

y

x

y

vy0 y

N

NM=N(y 0+ y)

x

y

令 N 作用下的挠度的增加值为 y 由力矩平衡得

0yyNyEI

将式 5-12 代入上式 得

另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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另外 由前述推导可知 N 作用下的挠度的增加值为 y 也呈正弦曲线分布

)134(0sin0

l

xvyNyEI

挠度长度中点所增加的最大式中

1

1 )144(sin

vl

xvy

上式求二阶导数

)154(sin2

2

1 l

x

lvy

将式 4-14和 4-15代入式 4-13整理得

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

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01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

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Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

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如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

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0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

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0

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4

0

bb

tl

t

b

bltb

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b

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yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

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bb

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y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

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42

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202

220

42

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bb

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y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

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b

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a

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y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

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b

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uuu

uz

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4

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)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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求解上式因 sin(πxl) ne0所以

NN

Nvv

lEINvvNNv

E

EE

01

22011 0

因此

式中

杆长中点总挠度为

)184(1

10

00

01

E

E

NNv

vNN

Nvvvv

根据上式可得理想无限弹性体的压力mdash挠度曲线具有以下特点① v 随 N 非线形增加 当 N 趋于 NE 时 v 趋于无穷 ② 相同 N 作用下 v 随 v0 的增大而增加 ③ 初弯曲的存在使压杆承载力低于欧拉临界力 NE

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

)174(0sin 012

2

1

vvN

l

EIv

l

x

实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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实际压杆并非无限弹性体当 N 达到某值时在 N和 N∙v 的共同作用下截面边缘开始屈服 (A 或 Arsquo 点 ) 进入弹塑性阶段其压力 --挠度曲线如虚线所示

05

10

0 v

v0=3mmv 0=1mm

v0=0ENN

A

BBrsquo

Arsquo

对于仅考虑初弯曲的轴心压杆截面边缘开始屈服的条件为

最后在 N 未达到 NE 时失去承载能力 B 或 Brsquo点为其极限承载力

yE

E fNN

N

W

vN

AN

WvN

AN

0

yE

E fWA

vAN

01 )194(1 0

yE

E f

毛截面抵抗矩

初弯曲率式中

W

WAv000

解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

2

12

00

Ey

EyEycr f

ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

ilWAl

WA

v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

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A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

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lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

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)254(142

1 2

1

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2 )264(725

yx

tz

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lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

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0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

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4

220

0

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4

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bb

tl

t

b

bltb

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b

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yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

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0

220

4

0

bb

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yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

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42

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y

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时当

时当

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

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bb

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y

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时近似取当

y

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（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

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)314(45

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)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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解式 5-19其有效根即为以截面边缘屈服为准则的临界应力

上式称为柏利 (Perry)公式

)194(1 0

yE

E f

)204(

2

1

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12

00

Ey

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ff

杆件长细比截面回转半径截面核心距式中

ili

AW

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v

10001

1000100000

如果取 v0=l1000（验收规范规定）则

由于不同的截面及不同的对称轴 iρ 不同因此初弯曲对其临界力的影响也不相同

对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

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λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

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微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

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)214(022

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EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

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x

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)224(12

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EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

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仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

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2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

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EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

tl

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b

bltb

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b

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yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

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bb

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bltb

atl

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y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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对于焊接工字型截面轴心压杆当 时对 x 轴（强轴） iρasymp116对 y 轴（弱轴） iρasymp210

xx

y

y

10000

lv

10

0

y

cr

f

λ

欧拉临界曲线

对 x 轴

仅考虑初弯曲的柱子曲线

对 y 轴

微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

l2

x

y

v

e0

x

y

e0

0

00 eyNyEI

)214(022

2

ekyky

EINk 得引入

解微分方程即得

1

2sec0

kley

e0 y

N

NN(e 0+ y)

x

y0

x

)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

B

BrsquoArsquo

仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

2

2

2

lN

EIl

EIN

EIN

kEINk

EE

1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

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0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

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bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

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y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

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220

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bb

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y

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时当

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（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

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42

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bb

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时当

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b2 b2

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

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y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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微弯状态下建立微分方程3 初偏心的影响

N

N

l2

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x

y

v

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)214(022

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解微分方程即得

1

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)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

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仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

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EIl

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1

2sec0

kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

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EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

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)254(142

1 2

1

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构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

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I

I

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0

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(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

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（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

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bb

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B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

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)284(4750

1

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（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

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bb

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时当

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b2 b2

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

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bb

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时近似取当

y

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（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

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uuu

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)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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)224(12

sec0max

EN

Neyv

所以压杆长度中点（ x=l2）最大挠度 v

其压力mdash挠度曲线如图 曲线的特点与初弯曲压杆相同只不过曲线过圆点可以认为初偏心与初弯曲的影响类似但其影响程度不同初偏心的影响随杆长的增大而减小初弯曲对中等长细比杆件影响较大

10

0 v

e0=3mme 0=1mm

e0=0ENN

A

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仅考虑初偏心轴心压杆的压力mdash挠度曲线2

2

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EIN

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1

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kley

实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

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EI

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2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

0

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

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bb

tl

t

b

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atl

b

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y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

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bb

tl

t

b

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atl

b

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y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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实际压杆并非全部铰支对于任意支承情况的压杆其临界力为

（三）杆端约束对压杆整体稳定的影响

下表计算长度系数取值如

杆件计算长度式中

lll

l

EI

l

EIN cr

00

20

2

2

2

对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值详见有关章节

1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

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)254(142

1 2

1

2220

20

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222

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220

2 )264(725

yx

tz

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lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

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0

0

0

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(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

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4

220

0

220

4

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bb

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b

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y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

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)284(4750

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（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

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y

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时当

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y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

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y

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y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

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atl

b

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220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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1 实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法一般有 （ 1 ）屈服准则以理想压杆为模型弹性段以欧拉临界力为基础弹塑性段以切线模量为基础用安全系数考虑初始缺陷的不 利影响

（ 2 ）边缘屈服准则以有初弯曲和初偏心的压杆为模型以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限

（ 3 ）最大强度准则以有初始缺陷的压杆为模 型考虑截面的塑性发展以最终破坏的最大荷载为其极限承载力

（ 4 ）经验公式以试验数据为依据

（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算

2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

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)254(142

1 2

1

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2 )264(725

yx

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lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

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0

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(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

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（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

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)274(850

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时当

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B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

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)284(4750

1

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y

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（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

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)294(091

1

480

42

2202

202

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42

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bb

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时当

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

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)304(

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101

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bb

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时近似取当

y

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b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

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690

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1

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（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

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2 实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力 σcr是按最大强度

准则并通过数值分析确定的 由于各种缺陷对不同截面不同对称轴的影响不同所以 σcr-λ曲线（柱子曲线）呈相当宽的带状分布为减小误差以及简化计算规范在试验的基础上给出了四条曲线（四类截面）并引入了稳定系数

)234( y

cr

f

3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

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222

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2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

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I

I

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0

0

0

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(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

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B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

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C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

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115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

220

42

202

bb

tl

t

b

bltb

atl

b

bltb

yyz

y

yyyz

y

时当

时当

y

y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

560

)304(

560

41

2201

101

101

bb

tl

t

b

bltb

a

bltb

yyz

y

yyz

y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

uuuz

u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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3 实际轴心受压构件的整体稳定计算 轴心受压构件不发生整体失稳的条件为截面应力不大于临界应力并考虑抗力分项系数 γR后即为

表得到类和构件长细比查稳定系数可按截面分

即

)244(fA

N

ff

fA

N

R

y

y

cr

R

cr

公式使用说明 （ 1 ）截面分类见教材表 5-3 第 121 页

（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

zyzyzyyz ie

222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

220

4

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bb

tl

t

b

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y

yyyz

y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

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bb

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y

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时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

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42

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bb

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时当

时当

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y

b2 b2

b1

（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

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)304(

560

41

2201

101

101

bb

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b

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a

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y

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y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

bltb

uuu

uz

u

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u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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（ 2 ）构件长细比的确定①截面为双轴对称或极对称构件

xx

y

y

yoyyxoxx ilil 对于双轴对称十字形截面为了防止扭转屈曲尚应满足

悬伸板件宽厚比

或

tb

tbyx 075

②截面为单轴对称构件

xx

y

y

xoxx ilx 轴绕非对称轴绕对称轴 y 轴屈曲时一般为弯扭屈曲其临界力低于弯曲屈曲所以计算时以换算长细比 λyz

代替 λy 计算公式如下

xx

y

y

bt

)254(142

1 2

1

2220

20

22222

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222

020

220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

i

Ae

0

0

0

0)

(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

540

4

220

0

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4

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bb

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b

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y

时当

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B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

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0

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bb

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y

时当

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y

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b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

42

2202

202

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42

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bb

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时当

时当

y

y

b2 b2

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

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)304(

560

41

2201

101

101

bb

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b

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a

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y

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y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

bltb

atl

b

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uuu

uz

u

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u

00

0

220

4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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)254(142

1 2

1

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zyzyzyyz ie

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220

2 )264(725

yx

tz

iiei

lIIAi

构件取或两端嵌固完全约束的

翘曲对两端铰接端部可自由扭转屈曲的计算长度

面近似取十字形截面和角形截双角钢组合

轧制双板焊接形截面毛截面扇性惯性矩对

毛截面抗扭惯性矩扭转屈曲的换算长细比

径截面对剪心的极回转半

毛截面面积距离截面形心至剪切中心的式中

y

tz

ll

l

I

I

I

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0

0

0

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(T

③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

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4

220

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bb

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t

b

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y

时当

时当

B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

193

580

)284(4750

1

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时当

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y

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b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

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42

2202

202

220

42

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时当

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

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)304(

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41

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101

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（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

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)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

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③单角钢截面和双角钢组合 T 形截面可采取以下简 化计算公式 y

y

tb

（ a ）

A 等边单角钢截面图（ a ）

)274(513

1784

540

)274(850

1

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220

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B 等边双角钢截面图（ b ）

)284(618

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（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

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42

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

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101

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（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

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当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

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)314(250

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（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

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B 等边双角钢截面图（ b ）

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)284(4750

1

580

4

220

0

220

4

0

bb

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t

b

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y

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时当

时当

y

y

b b

（ b ）

C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

115

480

)294(091

1

480

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2202

202

220

42

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时当

时当

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

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560

41

2201

101

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a

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y

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y

时当

时近似取当

y

y

b2

b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

uil

bt

b

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b

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00

0

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4

0

)314(45

690

)314(250

1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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C 长肢相并的不等边角钢截面 图（ C ）

)294(417

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)294(091

1

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时当

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（ C ）

D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

173

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101

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时当

时近似取当

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y

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b1 b1

（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

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0

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)314(45

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)314(250

1

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（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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D 短肢相并的不等边角钢截面 图（ D ）

)304(752

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)304(

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2201

101

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时当

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（ D ）

④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

时当

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)314(45

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1

690

（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

y0

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④单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的任意轴失稳时应按弯扭屈曲计算其稳定性

u u

b

当计算等边角钢构件绕平行轴（ u 轴 ) 稳定时可按下式计算换算长细比并按 b类截面确定 值

轴的长细比构件对式中

时当

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)314(45

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)314(250

1

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（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

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（ 3 ）其他注意事项

1 无任何对称轴且又非极对称的截面（单面连接的不等边角钢除外）不宜用作轴心受压构件

2 单面连接的单角钢轴心受压构件考虑强度折减系数后可不考虑弯扭效应的影响

3 格构式截面中的槽形截面分肢计算其绕对称轴（ y 轴）的稳定性时不考虑扭转效应直接用 λy查稳定系数

y

y

xx

实轴

虚轴

单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

x 0y0

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单角钢的单面连接时强度设计值的折减系数1 按轴心受力计算强度和连接乘以系数 085 2 按轴心受压计算稳定性 等边角钢乘以系数 06+00015λ且不大于 10 短边相连的不等边角钢乘以系数 05+00025λ

且不大于 10 长边相连的不等边角钢乘以系数 070 3 对中间无联系的单角钢压杆 按最小回转半径计算 λ 当 λlt 20 时取 λ=20 x x

x 0

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