第三讲　专题　电磁感应的综合应用

一、电磁感应中的电路问题

1．内电路和外电路

(1) 切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于

．

(2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的 ，其余部分

是 ．

2．电源电动势和路端电压

(1)电动势： E＝ 或 E＝ n .

(2)电源正、负极：用 确定．

(3)路端电压： U＝ E－ Ir＝ IR.

电源

内阻

外电路

Blv

右手定则或楞次定律

ΔΦΔt

二、电磁感应图象问题

图象类型

(1) 磁感应强度 B 、磁通量 Φ 、感应电动势 E 和感应电流 I

随 变化的图象，即 B － t 图象、 Φ － t 图象、 E － t 图象和 I － t 图象．(2) 对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势 E 和感应电流 I 随 变化的图象，即 E

－ x 图象和 I － x 图象

问题类型

(1)由给定的 过程判断或画出正确的图象(2)由给定的有关图象分析 过程，求解相应的物理量(3) 利用给出的图象判断或画出新的图象

应用知识左手定则、安培定则、右手定则、 、 、欧姆定律、牛顿定律、函数图象知识等

时间 t

位移 x

电磁感应电磁感应

楞次定律法拉第电磁感应定律

2．安培力的方向判断

先用 定则确定感应电流方向，再用 定则确定安培力方

向．

三、感应电流在磁场中所受的安培力

1．安培力的大小

由感应电动势E＝ ，感应电流I＝ ER 和安培力公式F＝ 得

F＝B2l2vR .

Blv BIl

右手 左手

四、电磁感应中的能量转化

1．导体切割磁感线或磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，

这个过程中是机械能或其他形式的能转化为 ．具有感应电流的导

体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为 或

．因此，电磁感应过程中总是伴随着能量转化发生．

2．电流做功产生的热量用焦耳定律计算，公式为 Q＝ .

电能

机械能

内能

I2Rt

一、电磁感应中的动力学问题分析

1．两种状态处理

(1) ——导体处于平衡态 静止或匀速直线运动状态．

处理方法：根据平衡条件合外力等于零列式分析．

(2) ——导体处于非平衡态 加速度不为零．

处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．

2．电磁感应问题中两大研究对象及其相互制约关系

二、电磁感应与力学综合问题中的运动的动态分析和能量转化的特

点

1．运动的动态分析

2．能量转化特点

3．电能求解思路主要有三种

(1)利用克服安培力求解：电磁感应中产生的电能等于

克服安培力所做的功．

(2)利用能量守恒求解：其他形式的能的减少量等于产

生的电能．

(3)利用电路特征来求解：通过电路中所产生的电能来

计算．

4．安培力在两种不同情况下的作用

情况

类型具体描述 安培力做功 能量转化

电磁

阻尼

当磁场不动，导体做切割磁感线

的运动时，导体所受的安培力与

导体运动方向相反

对导体做负功，

即导体克服安培

力做功，是导体

运动的阻力

机械能→

电能→内

能 (焦耳

热 )

电磁

驱动

当导体开始时静止，磁场 (磁体 )

运动时，由于导体相对磁场向相

反方向做切割磁感线的运动而产

生感应电流，进而受到安培力作

用，方向与导体运动方向相同

对导体做正功，

是导体运动的动

力

电能→机

械能

在利用能量的转化和守恒解决电磁感应问题时，要分析安培力的做

功情况，安培力在导体运动过程中是做正功还是做负功，进而判断安培

力是动力还是阻力．另外，参与能量转化的形式要考虑周全，要准确判

断哪些能量增加、哪些能量减少．

1． (2010·广东理综 )如下图所示，平行导轨间有一矩形的匀强磁

场区域．细金属棒 PQ沿导轨从MN处匀速运动到M′N′的过程中，棒

上感应电动势 E随时间 t变化的图示．可能正确的是 ( )

解析：　在金属棒 PQ进入磁场区域之前或出磁场后，棒上均不会

产生感应电动势， D 项错误．在磁场中运动时，感应电动势 E＝ Blv ，

与时间无关，保持不变，故 A 选项正确．

答案：　 A

2.如右图所示，两光滑平行金属导轨间距为 L，直导线 MN垂直

跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处于垂直于纸面向里的匀强

磁场中，磁感应强度为 B.电容器的电容为 C，除电阻 R外，导轨和导

线的电阻均不计．现给导线MN一初速度，使导线MN向右运动，当电

路稳定后，MN以速度 v向右做匀速运动时 ( )

A．电容器两端的电压为零

B．电阻两端的电压为 BLv

C．电容器所带电荷量为 CBLv

D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为B2L2vR

答案：　 C

3.如右图所示，一导体圆环位于纸面内， O为圆心．环内两个圆

心角为 90°的扇形区域内分别有匀强磁场，两磁场磁感应强度的大小相

等，方向相反且均与纸面垂直．导体杆 OM可绕 O转动， M端通过滑

动触点与圆环良好接触．在圆心和圆环间连有电阻 R.杆 OM以匀角速度

ω逆时针转动， t＝ 0时恰好在图示位置．规定从 a到 b流经电阻 R的

电流方向为正，圆环和导体杆的电阻忽略不计，则杆从 t＝ 0开始转动

一周的过程中，电流随 ωt变化的图象是 ( )

解析： 根据E＝12BωL

2和I＝ER可知，导体切割磁感线产生的感应

电流的大小是恒定的．根据右手定则，可知C正确．

答案：　 C

4.如右图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻 R，

质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒

与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面

垂直，棒在竖直向上的恒力 F作用下加速上升的一段时间内，力 F做的

功与安培力做的功的代数和等于 ( )

A ．棒的机械能增加量

B．棒的动能增加量

C ．棒的重力势能增加量

D．电阻 R上放出的热量

解析：　对金属棒受力分析可知，设金属棒重为 G 、上升高度 h ，

则根据能量守恒可得： Fh－W 安＝ Gh＋ ΔE，即拉力及安培力所做的

功的代数和等于金属棒机械能的增加量，选项 A 正确．

答案：　 A

5.如右图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、 PQ竖直放置，

一个磁感应强度 B＝ 0.50 T的匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端

M与 P间连接阻值为 R＝ 0.30 Ω的电阻，长为 L＝ 0.40 m、电阻为 r

＝ 0.20 Ω的金属棒 ab紧贴在导轨上．现使金属棒 ab由静止开始下滑，

通过传感器记录金属棒 ab下滑的距离，其下滑距离与时间的关系如下表

所示，导轨电阻不计． (g＝ 10 m/s2)求：

时间 t(s) 0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70

下滑距离x(m)

0 0.10 0.30 0.70 1.20 1.70 2.20 2.70

(1)在前 0.4 s的时间内，金属棒 ab电动势的平均值；

(2)金属棒的质量；

(3)在前 0.7 s的时间内，电阻 R上产生的热量．

解析： (1)E＝ΔΦΔt＝

BLxΔt ＝0.6 V.

(2)从表格中数据可知，0.3 s后棒做匀速运动速度v＝ΔxΔt＝5 m/s

由mg－F＝0；F＝BIL；I＝E

R＋r；E＝BLv；

解得m＝0.04 kg.

(3)棒在下滑过程中，有重力和安培力做功，克服安培力做的功等

于回路的焦耳热．则：

mgx－Q＝12mv

2－0

QR＝R

R＋rQ

解得Q＝0.348 J.

答案：　 (1)0.6 V 　 (2)0.04 kg 　 (3)0.348 J

如右图所示，半径为 R的导线环对心、匀速穿过半径也为 R的

匀强磁场区域，关于导线环中的感应电流随时间的变化关系，下列图象

中 (以逆时针方向的电流为正 )最符合实际的是 ( )

解析：　本题考查法拉第电磁感应定律、楞次定律及考生对图象的

分析能力．由 E＝ BLv 可得，当线圈进入磁场时，有效切割长度在变大，

产生的感应电动势变大，由作图可知，增量越来越小．这时由楞次定律

可得，电流的方向和规定的正方向相同．当线圈出磁场时，有效切割长

度变小，变化量越来越大，这时由楞次定律可得，电流的方向与规定的

正方向相反．综上所述， C 项正确， A 、 B 、 D 项错误．

答案：　 C

解决图象问题的一般步骤

(1) 明确图象的种类，即是 B － t 图还是 Φ － t 图，或者 E － t 图、

I－ t图等．

(2) 分析电磁感应的具体过程．

(3) 用右手定则或楞次定律确定方向对应关系．

(4) 结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律等规律写出函

数关系式．

(5) 根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等．

(6) 判断图象 ( 或画图象或应用图象解决问题 ) ．

1－ 1：在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金

属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如下图甲所示，当磁场的磁感

应强度 B随时间 t如图乙变化时，图中正确表示线圈中感应电动势 E变

化的是 ( )

解析： 由法拉第电磁感应定律得，感应电动势E＝nΔΦΔt ＝n

ΔBΔt S.

由题图乙可知，0～1 s内的感应电动势E1最大，且E1＝2E3,1 s～3 s内E2

＝0.由楞次定律可判断，0～1 s内磁感应强度B增大，感应电流的磁场

与原磁场反向，故感应电流的方向为正方向，A正确．

答案：　 A

1. 如右图所示，平行于 y 轴的导体

棒以速度 v向右匀速直线运动，经过半径

为 R、磁感应强度为 B的圆形匀强磁场

区域，导体棒中的感应电动势 E与导体棒

位置 x关系的图象是 ( )

解析：　在 x ＝ R 左侧，设导体棒与圆的交点和圆心的连线与 x

轴正方向成 θ 角，则导体棒切割有效长度 L ＝ 2Rsin θ ，电动势与有效

长度成正比，故在 x＝ R左侧，电动势与 x的关系为正弦图象关系，由

对称性可知在 x＝ R右侧与左侧的图象对称．

答案：　 A

3.(2011·成都模拟 )如右图所示，电阻 R＝ 1 Ω、半径 r1＝ 0.2 m

的单匝圆形导线框 P内有一个与 P共面的圆形磁场区域 Q， P、 Q的

圆心相同， Q的半径 r2＝ 0.1 m． t＝ 0时刻， Q内存在着垂直于圆面

向里的磁场，磁感应强度 B随时间 t变化的关系是 B＝ 2－ t(T)．若规

定逆时针方向为电流的正方向，则线框 P中感应电流 I随时间 t变化的

关系 图象应该是图中的 ( )

解析： 由B＝2－t知，

ΔB

Δt ＝1 T/s，且磁感应强度减小，由楞次

定律得P内电流沿顺时针方向，为负值，故A、D错误；又由欧姆定律

得I＝ER＝

ΔBΔt S

R ＝

ΔBΔt ·πr2

2

R ＝0.01π (A)，故B错，C对．

答案：　 C

4 ． (2011· 扬州模拟 ) 如图甲所示，光滑导轨水平放置在与水平方向夹角 60° 斜向下的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度 B 随时间的变化规律如图乙所示 ( 规定斜向下为正方向 ) ，导体棒 ab 垂直导轨放置，除电阻 R的阻值外，其余电阻不计，导体棒 ab 在水平外力作用下始终处于静止状态．规定 a→b 的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力的正方向，则在 0 ～ t 时间内，能正确反映流过导体棒 ab 的电流 i 和导体棒 ab 所受水平外力 F 随时间 t 变化的图象是 ( 　　 )D

课时作业

如右图所示，MN和 PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间

距 l为 0.40 m，电阻不计，导轨所在平面与磁感应强度 B为 0.50 T的匀

强磁场垂直．质量 m为 6.0×10 － 3 kg，电阻为 1.0 Ω的金属杆 ab始终垂

直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值

为 3.0 Ω的电阻 R1.当杆 ab达到稳定状态时以速率为 v匀速下滑，整个

电路消耗的电功率 P为 0.27 W，重力加速度取 10 m/s2，

试求速率 v和滑动变阻器接入电路部分的阻值 R2.

解析： 由能量守恒，有mgv＝P

代入数据解得v＝4.5 m/s

又E＝Blv

设电阻R1与R2的并联电阻为R外，ab棒的电阻为r，有

1R1＋

1R2＝

1R外

I＝E

R外＋r，P＝IE

代入数据解得R2＝6.0 Ω.

答案：　 4.5 m/s 　 6.0 Ω

解决电磁感应电路问题的基本步骤

(1)“ 源” 的分析：用法拉第电磁感应定律算出 E的大小用楞次定律

或右手定则确定感应电动势的方向：感应电流方向是电源内部电流的方

向．从而确定电源正负极，明确内阻 r.

(2)“ 路” 的分析根据“ 等效电源” 和电路中其他各元件的连接方

式画出等效电路．

(3)根据 E＝BLv或 E＝nΔΦΔt结合闭合电路欧姆定律，串并联电路知

2－1：(2011·福州模拟)如右图所示，粗细均匀的、电阻为r的金属

圆环，放在图示的匀强磁场中，磁感应强度为B，圆环直径为L.长为

L，电阻为r2 的金属棒ab放在圆环上，以速度v0向左匀速运动，当ab棒

运动到图示虚线位置时，金属棒两端电势差为( )

A．0 B．BLv0

C.12BLv0 D.

13BLv0

答案：　 D

5．如下图所示，两足够长平行光滑光滑的金属导轨MN、 PQ相距为

L，导轨平面与水平面夹角 α＝ 30°，导轨电阻不计．磁感应强度为 B

的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为 L的金属棒 ab垂直于MN、 PQ放

置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒 ab的质量为 m、电阻为

R.两金属导轨的上端连接右端电路，灯泡的电阻 RL＝ 4R，定值电阻 R1

＝ 2R，电阻箱电阻调至 R2＝ 12R，重力加速度为 g，现将金属棒 ab

由静止释放，试求：

(1)金属棒 ab下滑的最大速度为多少？

(2)当金属棒 ab下滑距离为 s0时速度恰达到最大，求金属棒 ab由

静止开始下滑 2s0的过程中，整个电路产生的热量；

(3)R2为何值时，其消耗的功率最大？消耗的最大功率为多少？

解析： (1)当金属棒ab匀速下滑时速度最大，设最大速度为vmax，

达到最大时则有：

mgsin α＝F安

F安＝BIL

I＝BLvmax

R总

其中R总＝6R

所以mgsin α＝B2L2vmax

R总

解得最大速度vmax＝3mgRB2L2

(2)由能量守恒可知，放出的电热：

Q＝mg·2s0sin α－12mvmax

2

代入(1)中的vmax值，

可得：Q＝mgs0－9m3g2R2

2B4L4

(3)R2上消耗的功率P＝U2

R2

其中U＝IR并＝BLvR并3R＋R并

R并＝4RR2

4R＋R2

又 mgsin α＝B2L2v

3R＋R并

解以上方程组可得：P＝m2g2sin2αB2L2 ·

16R2R2

4R＋R22

＝m2g2sin2αB2L2 ·

16R2

16R2

R2＋8R＋R2

当 R2＝RL＝4R时，R2消耗的功率最大

最大功率 Pmax＝m2g2R4B2L2

答案： (1)3mgRB2L2 (2)mgs0－

9m3g2R2

3B4L4 (3)m2g2R4B2L2

(2010·四川理综 )如右图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在

一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒 a、 b垂直于导轨静止放置，且与

导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面．现用一平行于导轨的恒力

F作用在 a的中点，使其向上运动．若 b始终保持静止，则它所受摩擦

力可能 ( )

A．变为 0 B．先减小后不变

C．等于 F D．先增大再减小

解析： 金属棒a向上运动时，金属棒所受安培力为：F安＝BIl＝

B2l2vR .此时对金属棒a受力分析如图甲．由牛顿第二定律得：

F－μmgcos θ－mgsin θ－B2l2vR ＝ma.所以随着速度v的增加，金属

棒a的加速度逐渐减小，直至为零后金属棒a做匀速运动，

因而安培力将先增大后保持不变．对于金属棒 b受力分析如图乙，

由平衡条件： F 安＋ Ff＝ mgsin θ，因而随着安培力的变化摩擦力 Ff将

先减小后保持不变， B 项正确， D 项错误；当金属棒 a匀速运动时，由

上式可知 b所受摩擦力可能为零，但一定小于拉力 F， A 项正确， C 项

错误．

答案：　 AB

解决电磁感应中动力学问题的基本思路

(1) 用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小

和方向．

(2) 应用闭合电路欧姆定律求出电路中的感应电流的大小．

(3) 分析研究导体受力情况，特别要注意安培力方向的确定．

(4) 列出动力学方程或平衡方程求解．

3－ 1：如下图所示，电阻不计的平行金属导轨 MN和 OP放置在

水平面内．MO间接有阻值为 R＝ 3 Ω的电阻．导轨相距 d＝ 1 m，其

间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度 B＝ 0.5 T．质量为 m＝ 0.1 kg，

电阻为 r＝ 1 Ω的导体棒 CD垂直于导轨放置，并接触良好．用平行于

MN的恒力 F＝ 1 N向右拉动 CD.CD受摩擦阻力 Ff恒为 0.5 N．求：

(1)CD运动的最大速度是多少？

(2)当 CD到最大速度后，电阻 R消耗的电功率是多少？

(3)当 CD的速度为最大速度的一半时， CD的加速度是多少？

解析： (1)设CD棒运动速度为v，则：

导体棒产生的感应电动势为：E＝Bdv①

据全电路欧姆定律有：I＝E

R＋r②

则安培力为：F0＝BdI③

据题意分析：当v最大时，有：F－F0－Ff＝0④

联立①②③④得：vm＝F－FfR＋r

B2d2 ＝8 m/s.⑤

(2)CD速度最大时同理有：Em＝Bdvm⑥

Im＝Em

R＋r⑦

而PRm＝Im2·R⑧

联立⑤⑥⑦得：PRm＝B2d2vm

2RR＋r2 ＝3 W．⑨

(3)当CD速度为12vm时有：E′ ＝Bdvm/2⑩

I＝E′R＋r

⑪

F′ ＝BId⑫

据牛顿第二定律有：F－F′ －Ff＝ma⑬

联立⑩⑪⑫⑬得：a＝2.5 m/s2.

答案：　 (1)8 m/s 　 (2)3 W 　 (3)2.5 m/s2

2.如右图所示，在水平面内固定着 U形光

滑金属导轨，轨道间距为 50 cm，金属导体棒 a

b质量为 0.1 kg，电阻为 0.2 Ω，横放在导轨上，

电阻 R的阻值是 0.8 Ω(导轨其余部分电阻不计 )．

现加上竖直向下的磁感应强度为 0.2 T的匀强磁场．用水平向右的

恒力 F＝ 0.1 N拉动 ab，使其从静止开始运动，则 ( )

A．导体棒 ab开始运动后，电阻 R中的电流方向是从 P流向M

B．导体棒 ab运动的最大速度为 10 m/s

C．导体棒 ab开始运动后， a、 b两点的电势差逐渐增加到 1 V后

保持不变

D．导体棒 ab开始运动后任一时刻， F的功率总等于导体棒 ab和

电阻 R的发热功率之和

解析： 由右手定则可判断电阻R中的感应电流方向是从M流向

P，A错；当金属导体棒受力平衡时，其速度将达到最大值，由F＝

BIL，I＝Em

R总＝BLvm

R总可得F＝

B2L2vm

R总，代入数据解得vm＝10 m/s，B对；

电动势最大值Em＝1 V，a、b两点的电势差为路端电压，最大值小于1

V，C错；在达到最大速度以前，F所做的功一部分转化为内能，另一

部分转化为导体棒的动能，D错．

答案：　 B

4． (2010·安徽卷 )如右图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂

直纸面向里的匀强磁场，两个边长相等的单匝闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ，

分别用相同材料，不同粗细的导线绕制 (Ⅰ为细导线 )．两线圈在距磁

场上界面 h高处由静止开始自由下落，再进入磁场，最后落到地面．运

动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界．

设线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度大小分别为 v1、 v2，在磁场中运动时产生的

热量分别为 Q1、 Q2.不计空气阻力，则 ( )

A． v1<v2， Q1<Q2

B． v1＝ v2， Q1＝ Q2

C． v1<v2， Q1>Q2

D． v1＝ v2， Q1<Q2

解析： 两线圈在未进入磁场时，都做自由落体运动，从距磁场

上界面h高处下落，由动能定理知两线圈在进入磁场时的速度相同，设

为v，线圈Ⅰ所受安培阻力F1′ ＝BI1L＝B2L2vR1

，而R1＝ρ电4LS1，S1＝

m1

ρ·4L，故F1′ ＝B2L2vm1

16ρ电ρL2＝B2vm1

16ρ电ρ，所以此时刻a1＝

m1g－F′ 1

m1＝g－

B2v16ρ电ρ

，同理可得a2＝g－B2v

16ρ电ρ与线圈的质量无关，即两线圈进入磁场

时的加速度相同，当两线圈进入磁场后虽加速度发生变化，但两者加

速度是同步变化的，速度也同步变化，因此落地时速度相等即v1＝v2；

又由于线圈Ⅱ质量大，机械能损失多，所以产生的热量也多，即

Q2>Q1，故D项正确．

答案：　 D

(21分 )如下图所示，两根正对的平行金属直轨道 MN、 M′N′

位于同一水平面上，两轨道之间的距离 l＝ 0.50 m，轨道的 MM′端接

一阻值 R＝ 0.40 Ω的定值电阻， NN′端与两条位于竖直面内的半圆形

光滑金属轨道 NP、 N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为 R0＝ 0.50

m．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度 B＝ 0.64 T的匀强磁场中，

磁场区域的宽度 d＝ 0.80 m，且其右边界与 NN′重合．现有一质量 m

＝ 0.20 kg、电阻 r＝ 0.10 Ω的导体杆 ab静止在距磁场的左边界 x＝ 2.

0 m处．在与杆垂直的水平恒力 F＝ 2.0 N的作用下 ab杆开始运动，当

运动至磁场的左边界时撤去 F，结果导体杆 ab恰好能以最小速度通过

半圆形轨道的最高点 PP′.

已知导体杆 ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，

导体杆 ab与直轨道之间的动摩擦因数 μ＝ 0.10，轨道的电阻可忽略不

计， g取 10 m/s2，求：

(1)导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向．

(2)导体杆穿过磁场的过程中通过电阻 R上的电荷量．

(3)导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热．

【规范解答】 解：(1)设导体杆运动至磁场左边界时速度为v1，

根据动能定理得：(F－μmg)x＝12mv1

2(3分)

代入数据得：v1＝6 m/s(1分)

导体杆刚进入磁场时：E＝Blv1(1分)

此时通过杆上的电流大小I＝E

R＋r＝3.84 A(1分)

根据右手定则可知，电流方向由b向a(1分)

(2)设导体杆在磁场中运动的时间为t，产生的感应电动势的平均值

为E平均，则由法拉第电磁感应定律得：

E平均＝ΔΦt ＝

Bldt (1分)

通过电阻R的感应电流的平均值I平均＝E平均/(R＋r)(1分)

通过电阻R的电荷量q＝I平均t＝0.512 C．(2分)

另解： C512.0

rR

Bld

rR

ΔΦq

(3)设导体杆离开磁场时的速度大小为v2，运动到圆轨道最高点的

速度为v3，因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高点，根据牛顿第二定

律，导体杆在轨道最高点时有mg＝mv32/R0(2分)

对于导体杆从NN′ 运动至PP′ 的过程，根据机械能守恒定律有

12mv2

2＝12mv3

2＋2mgR0，(3分)

解得v2＝5.0 m/s(1分)

导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能

ΔE＝12mv1

2－12mv2

2＝1.1 J(2分)

此过程中电路中产生的焦耳热为Q＝ΔE－μmgd＝0.94 J．(2分)

答案：　 (1)3.84 A ， b→a 　 (2)0.512 C 　 (3)0.94 J

分析电磁感应现象中能量问题的一般步骤

(1) 在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将

产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源．

(2) 分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了

相互转化．

(3) 根据能量守恒列方程分析求解．

4－ 1：如下图所示， AB、 CD为两个平行的水平光滑金属导轨，

处在方向竖直向下、磁感应强度为 B的匀强磁场中 . AB、 CD的间距为

L，左右两端均接有阻值为 R的电阻．质量为 m长为 L且不计电阻的导

体棒MN放在导轨上，与导轨接触良好，并与轻质弹簧组成弹簧振动系

统．开始时，弹簧处于自然长度，导体棒MN具有水平向左的初速度 v0，

经过一段时间，导体棒MN第一次运动到最右端，这一过程中 AC间的

电阻 R上产生的焦耳热为 Q，则 ( )

A．初始时刻导体棒所受的安培力大小为2B2L2v0

R

B．从初始时刻至导体棒第一次到达最左端的过程中，整个回路产

生的焦耳热为2Q3

C．当导体棒第一次到达最右端时，弹簧具有的弹性势能为12 mv0

2

－2Q

D．当导体棒再次回到初始位置时，A、C间电阻R的热功率为

B2L2v02

R

解析： 初始时刻由E＝BLv0、I＝2ER 及F＝BIL可解得F＝

2B2L2v0

R ，A正确；由于导体棒往复运动过程中机械能逐渐转化为焦耳

热，故从开始到第一次到达最左端过程中产生的焦耳热Q′ 大于从左端

运动到平衡位置产生的焦耳热，即Q′ >13 × 2Q，B错误；由能量守恒可

知C正确；当导体棒再次回到平衡位置时，其速度v<v0，A、C间电阻

的实际热功率为P＝B2L2v2

R ，故D错误．

答案：　 AC

工具工具 栏目导引栏目导引必考部分 选修 3-2 第九章 电磁感应

2. 一质量为 m 、电阻为 r 的金属杆 ab ，以一定的初速度 v0 从一光滑平行金属导轨底端向上滑行，导轨平面与水平面成 30°角，两导轨上端用一电阻 R 相连，如右图所示，磁场垂直斜面向上，导轨的电阻不计，金属杆向上滑行到某一高度之后又返回到底端时的速度大小为 v ， ( 　　 )

A ．向上滑行的时间小于向下滑行的时间B ．在向上滑行时电阻 R 上产生的热量大于向下滑行时电

阻 R 上产生的热量C ．向上滑行时与向下滑行时通过电阻 R 的电荷量相等D ．金属杆从开始上滑至返回出发点，电阻 R 上产生的热

量为 m(v02 － v2)

ABC

2

1

课时作业

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练规范、练技能、练速度

1. 如右图所示，匀强磁场的磁感应强度为 B ，方向竖直向下，在磁场中有一个边长为 L 的正方形刚性金属框， ab 边的质量为 m ，电阻为 R ，其他三边的质量和电阻均不计． cd 边上装有固定的水平轴，将金属框自水平位置由静止释放，第一次转到竖直位置时， ab 边的速度为 v ，不计一切摩擦，重力加速度为 g ，则在这个过程中，下列说法正确的是 ( 　　 )A ．通过 ab 边的电流方向为 a→bB ． ab 边经过最低点时的速度 v ＝C ． a 、 b 两点间的电压逐渐变大D ．金属框中产生的焦耳热为 mgL － mv2

2gL

2

1

D

3. 矩形线圈 abcd ，长 ab ＝ 20 cm ，宽 bc ＝ 10 cm ，匝数 n ＝ 200 ，线圈回路总电阻 R ＝ 5 Ω. 整个线圈平面内均有垂直于线圈平面的匀强磁场穿过．若匀强磁场的磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律如右图所示，则 ( 　　 )

A ．线圈回路中感应电动势随时间均匀变化B ．线圈回路中产生的感应电流为 0.4 AC ．当 t ＝ 0.3 s 时，线圈的 ab 边所受的安培力大小为 0.016

ND ．在 1 min 内线圈回路产生的焦耳热为 48 J

BD

5. 如右图所示，光滑金属导轨 AC 、 AD 固定在水平面内，并处在方向竖直向下、大小为 B 的匀强磁场中．有一质量为 m 的导体棒以初速度 v0 从某位置开始在导轨上水平向右运动，最终恰好静止在 A 点．在运动过程中，导体棒与导轨始终构成等边三角形回路，且通过 A 点的总电荷量为 Q. 已知导体棒与导轨间的接触电阻阻值为 R ，其余电阻不计，则 ( 　　 )

A ．该过程中导体棒做匀减速运动B ．该过程中接触电阻产生的热量为 mv0

2

C ．开始运动时，导体棒与导轨所构成回路的面积为D ．当导体棒的速度为 v0 时，回路中感应电流大小为初始时的

一半

C

8

1

B

QR

2

1

6. 如右图所示，两竖直放置的平行光滑导轨相距 0.2 m ，其电阻不计，处于水平向里的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为 0.5 T ，导体棒 ab 与 cd 的电阻均为 0.1 Ω ，质量均为 0.01 kg. 现用竖直向上的力拉 ab 棒，使之匀速向上运动，此时 cd 棒恰好静止，已知棒与导轨始终接触良好，导轨足够长， g 取 10 m/s2 ，则 ( 　　 )

A ． ab 棒向上运动的速度为 2 m/sB ． ab 棒受到的拉力大小为 0.2 NC ．在 2 s 时间内，拉力做功为 0.4 JD ．在 2 s 时间内， ab 棒上产生的焦耳热为 0.4 J

AB

7. 如右图所示，在光滑水平面上方，有两个磁感应强度大小均为 B 、方向相反的水平匀强磁场，如图所示， PQ 为两个磁场的边界，磁场范围足够大．一个边长为 a ，质量为 m ，电阻为 R 的正方形金属线框垂直磁场方向，以速度 v 从图示位置向右运动，当线框中心线 AB 运动到与 PQ 重合时，线框的速度为 ，

则 ( 　　 )

A ．此时线框中的电功率为 4B2a2v2/RB ．此时线框的加速度为 4B2a2v/(mR)C ．此过程通过线框截面的电荷量为 Ba2

/RD ．此过程回路产生的电能为 0.75mv2

C 2

v

8 ． (2010· 江苏单科 ) 如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为 L ，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直．一质量为 m 、有效电阻为 R 的导体棒在距磁场上边界 h 处静止释放．导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为 I. 整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻．求：

(1) 磁感应强度的大小 B ；(2) 电流稳定后，导体棒运动速度的大小 v ；(3) 流经电流表电流的最大值 Im.

解析：　 (1) 电流稳定后，导体棒做匀速运动　 BIL ＝ mg①

解得　 B ＝ . ②(2) 感应电动势　 E ＝ BLv③感应电流　 I ＝ ④由②③④式解得　 v ＝ .

IL

mg

R

E

mgRI 2

(3) 由题意知，导体棒刚进入磁场时的速度最大，设为 vm

机械能守恒　 mvm2 ＝ mgh

感应电动势的最大值　 Em ＝ BLvm

感应电流的最大值　 Im ＝解得　 Im ＝ .

2

1

R

Em

IR

ghmg 2

9. 如右图所示，两根相同的劲度系数为 k 的金属轻弹簧用两根等长的绝缘线悬挂在水平天花板上，弹簧的上端通过导线与阻值为 R 的电阻相连，弹簧的下端接一质量为 m 、长度为 L 、电阻为 r 的金属棒，金属棒始终处于宽度为 d 的垂直纸面向里磁感应强度为 B 的匀强磁场中．开始时弹簧处于原长．金属棒从静止释放，其下降高度为 h 时达到了最大速度．已知弹簧始终在弹性限度内，且当弹簧的形变量为 x 时，它的弹性势能为 kx2 ，不计空气阻力和其他电阻，求：

(1) 金属棒的最大速度是多少？(2) 这一过程中 R消耗的电能是多少？

2

1

10 ．如图所示，在距离水平地面 h ＝ 0.8 m 的虚线的上方，有一个方向垂直于纸面水平向内的匀强磁场．正方形线框 abcd 的边长 l ＝ 0.2 m ，质量 m ＝ 0.1 kg ，电阻 R ＝ 0.08 Ω. 一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连线框，另一端连一质量 M ＝ 0.2 kg 的物体 A. 开始时线框的 cd 在地面上，各段绳都处于伸直状态，从如图所示的位置由静止释放物体 A ，一段时间后线框进入磁场运动，已知线框的 ab 边刚进入磁场时线框恰好做匀速运动．当线框的 cd 边进入磁场时物体 A 恰好落地，同时将轻绳剪断，线框继续上升一段时间后开始下落，最后落至地面．整个过程线框没有转动，线框平面始终处于纸面内， g 取 10 m/s2. 求：(1) 匀强磁场的磁感应强度 B?(2) 线框从开始运动到最高点，用了多长时间？(3) 线框落地时的速度多大？