70 の法則 - kansai uafujioka/talk/181110.pdfx y y=logax 1 a 1 15/27 70 の法則 藤岡敦 内容...
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70 の法則
藤岡敦
内容
序
指数関数
対数関数
始めの方程式へ
ネピアの数
テイラーの定理
70の法則
藤岡敦
関西大学システム理工学部数学科
２０１８年１１月１０日（土）セミナー「関大の研究を体験する」
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内容
1 序
2 指数関数
3 対数関数
4 始めの方程式へ
5 ネピアの数
6 テイラーの定理
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ネピアの数
テイラーの定理
70の法則とは
70の法則X 円の元金があるこれを年利 r %で複利運用する
=⇒ およそ 70
r年後に 2倍になる
◦ r があまり大きいと成り立たないr ≦ 10程度がよい
◦ 72の法則ともいう約数の個数は 70よりも 72の方が多い
70の約数: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 7072の約数: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
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ネピアの数
テイラーの定理
r = 10の場合
r =10の場合に確かめてみる◦ 70の法則を用いない計算1年後: 元金 X 円, 利息 X × 10
100円
=⇒ 合計(X + X × 10
100
)= 1.1× X 円
よって複利運用すると元金は 1年で 1.1倍になる2年後: 1.1× 1.1 = 1.21倍3年後: 1.21× 1.1 = 1.331 ≒ 1.33倍 (小数第 3位を四捨五入)
4年後: 1.33× 1.1 ≒ 1.46倍, 5年後: 1.46× 1.1 ≒ 1.61倍6年後: 1.61× 1.1 ≒ 1.77倍, 7年後: 1.77× 1.1 ≒ 1.95倍8年後: 1.95× 1.1 ≒ 2.15倍
◦ 70の法則を用いた計算:70
10= 7年後
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テイラーの定理
r = 7の場合
r =7の場合に確かめてみる◦ 70の法則を用いない計算1年後: 元金 X 円, 利息 X × 7
100円
複利運用すると元金は 1年で 1.07倍になる2年後: 1.07× 1.07 ≒ 1.14倍, 3年後: 1.14× 1.07 ≒ 1.22倍4年後: 1.22× 1.07 ≒ 1.31倍, 5年後: 1.31× 1.07 ≒ 1.40倍6年後: 1.40× 1.07 ≒ 1.50倍, 7年後: 1.50× 1.07 ≒ 1.61倍8年後: 1.61× 1.07 ≒ 1.72倍, 9年後: 1.72× 1.07 ≒ 1.84倍10年後: 1.84× 1.07 ≒ 1.97倍11年後: 1.97× 1.07 ≒ 2.11倍
◦ 70の法則を用いた計算:70
7= 10年後
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テイラーの定理
一般の rの場合
一般の r の場合を考える1年後: 元金 X 円, 利息 X × r
100円
複利運用すると元金は 1年で(1 +
r
100
)倍になる
2年後:(1 +
r
100
)(1 +
r
100
)=
(1 +
r
100
)2倍
これを続けていくと元金は n年で(1 +
r
100
)n倍になる
このとき最初の 2倍になるとすると(1 +
r
100
)n= 2
nについての方程式とみなす指数関数, 対数関数を用いて解く
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テイラーの定理
指数関数の定義自然数乗と指数法則
a: 1と異なる正の定数指数関数: 実数 x に対して実数 ax を対応させる
x が自然数の場合から一般化していく◦ 自然数乗: n = 1, 2, 3, . . . とする
aを n回掛けたものを anと表す
a1 = a, a2 = a× a, a3 = a× a× a, . . .
指数法則m, n = 1, 2, 3, . . . とすると
am+n = aman, (am)n = amn
が成り立つ
指数法則が成り立つように一般化していく7 / 27
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指数関数の定義整数乗から実数乗へ
◦ 整数乗: さらに
a0 = 1, an =1
a−n(n = −1,−2,−3, . . . )
と定める◦ 有理数乗: m = 1, 2, 3, . . . , n = 0,±1,±2,±3, . . . とする
m乗すると anになる正の数を anm と表す
◦ 実数乗: x を実数とするx から ax への対応が「連続」になるように定める
指数法則任意の実数 x , y に対して
ax+y = axay , (ax)y = axy
が成り立つ8 / 27
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テイラーの定理
指数関数のグラフ0 < a < 1のとき
0 < a < 1のとき y = ax のグラフは右下がり (単調減少)
Ox
y
y = ax
1
1
a
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テイラーの定理
指数関数のグラフa > 1のとき
a > 1のとき y = ax のグラフは右上がり (単調増加)
Ox
y y = ax
1
1
a
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テイラーの定理
対数関数 (logarithmic function) の定義
a: 1と異なる正の定数x : 正の実数x は実数 y を用いて x = ay と表すことができるこのとき y = loga x と表すx から loga x への対応を aを
てい
底とする対数関数という
対数法則任意の正の実数 x , y に対して
loga(xy) = loga x + loga y , loga xy = y loga x
が成り立つ
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対数法則の証明第 1式
x = au, y = av と表しておくと
u = loga x , v = loga y
また
xy = auav
= au+v (∵指数法則)
すなわちxy = au+v
よってu + v = loga(xy)
したがってloga(xy) = loga x + loga y
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対数法則の証明第 2式
x = au と表しておくと
u = loga x
また
xy = (au)y
= auy (∵指数法則)
すなわちxy = ayu
よってyu = loga x
y
したがってloga x
y = y loga x
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テイラーの定理
対数関数のグラフ0 < a < 1のとき
0 < a < 1のとき y = loga x のグラフは単調減少
Ox
y
y = logax
1a
1
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テイラーの定理
対数関数のグラフa > 1のとき
a > 1のとき y = loga x のグラフは単調増加
Ox
y
y = logax
1 a
1
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テイラーの定理
70の法則の証明途中まで（その１）
始めに戻るX 円の元金を年利 r %で複利運用するn年後に元金が倍になるとするこのとき (
1 +r
100
)n= 2
これを nについて解くaを 1と異なる正の定数とする上の方程式の両辺に対して aを底とする対数をとる:
loga
(1 +
r
100
)n= loga 2
左辺を変形する
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70の法則の証明途中まで（その２）
ここで
loga
(1 +
r
100
)n= loga
(1 +
r
100
) 100r
rn100
= loga
{(1 +
r
100
) 100r
} rn100
(∵指数法則 : axy = (ax)y )
=rn
100loga
(1 +
r
100
) 100r
(∵対数法則 : loga xy = y loga x)
よってrn
100loga
(1 +
r
100
) 100r= loga 2
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70の法則の証明途中まで（その３）
x =r
100とおくと
loga
(1 +
r
100
) 100r= loga (1 + x)
1x
x =r
100が 0に「十分」近い場合を考える
x = 1: (1 + 1)1 = 2, x = 15 :
(1 + 1
5
)5 ≒ 2.488
x = 110 :
(1 + 1
10
)10 ≒ 2.594, x = 1100 :
(1 + 1
100
)100 ≒ 2.705
x = 11000 :
(1 + 1
1000
)1000 ≒ 2.717
x = 110000 :
(1 + 1
10000
)10000 ≒ 2.718
x = 1100000 :
(1 + 1
100000
)100000 ≒ 2.718
x を 0に十分近づけると (1 + x)1x はある値に限りなく近づく
aをその値として選ぶ18 / 27
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ネピアの数の定義
定理x : 0と異なる実数x を 0に十分近づける=⇒ (1 + x)
1x はある実数 eに限りなく近づく:
limx→0
(1 + x)1x = e (ネピアの数)
= 2.718281828459045 . . .
◦ 高校で学ぶ定義指数関数 y = ax のグラフを考える必ず点 (0, 1)を通る点 (0, 1)において接線を引く接線の傾きが 1になる aを eと定める
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テイラーの定理
70の法則の証明続き
eを底とする対数を考える (自然対数)loge の eは省略する始めの方程式は
rn
100log
(1 +
r
100
) 100r= log 2
と同値r
100が 0に十分近いとき
rn
100log e ≒ log 2
log e = 1だからn ≒ 100 log 2
r
log 2の値を求める20 / 27
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テイラーの定理
テイラーの定理とは
log 2の値の求め方: 「テイラーの定理」を用いる
テイラーの定理: 関数を多項式で近似する「微分可能な」関数に対して成り立つ「平均値の定理」の一般化
平均値の定理: 「平均の変化率」を「瞬間の変化率」で表す
Ox
y
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テイラーの定理
指数関数 exの場合
n = 1, 2, 3 . . . とするex に対するテイラーの定理:
ex ≒ 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!
ただしn! = 1× 2× 3× · · · × n (nの階乗)
x = 1とおくと eの近似値が得られるn = 1: e ≒ 2, n = 2: e ≒ 2.5, n = 3: e ≒ 2.667n = 4: e ≒ 2.708, n = 5: e ≒ 2.717, n = 6: e ≒ 2.718n = 7: e ≒ 2.718
nを大きくすると近似が良くなる
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テイラーの定理
log 2の近似値その 1
n = 1, 2, 3 . . . とするlog(1 + x)に対するテイラーの定理:
log(1 + x) ≒ x − x2
2+
x3
3− · · ·+ (−1)n+1 x
n
n
ただし−1 < x ≦ 1
x = 1とおくと log 2の近似値が得られるn = 1: log 2 ≒ 1, n = 5: log 2 ≒ 0.5n = 10: log 2 ≒ 0.646, n = 100: log 2 ≒ 0.688n = 200: log 2 ≒ 0.691, n = 300: log 2 ≒ 0.691n = 400: log 2 ≒ 0.692, n = 500: log 2 ≒ 0.692n = 600: log 2 ≒ 0.692, n = 700: log 2 ≒ 0.692n = 800: log 2 ≒ 0.693, n = 900: log 2 ≒ 0.693
収束はかなり悪い23 / 27
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テイラーの定理
log 2の近似値その 2
log 2の近似値を求めるには次を用いる方がよい
log1 + x
1− xに対するテイラーの定理:
log1 + x
1− x≒ 2
(x +
x3
3+
x5
5+ · · ·+ x2n+1
2n + 1
)ただし
−1 < x < 1
x = 13 とおくと log 2の近似値が得られる
n = 1: log 2 ≒ 0.691, n = 2: log 2 ≒ 0.693
収束はかなり良い
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テイラーの定理
70の法則の証明
◦ 元金 X 円を年利 r %で複利運用◦ 元金が n年で 2倍になるとすると(
1 +r
100
)n= 2
◦ 指数法則, 対数法則を用いると
rn
100log
(1 +
r
100
) 100r= log 2
◦ r
100≒ 0とすると
rn
100≒ log 2
◦ log 2 ≒ 0.693よりn ≒ 70
r
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テイラーの定理
年利が大きいときの注意
方程式 (1 +
r
100
)n= 2
を nについて解くと
n =r log 2
log(1 +
r
100
) 1
r
C =r log 2
log(1 +
r
100
) とおくr = 0.1: C ≒ 69.3, r = 1: C ≒ 69.7, r = 2: C ≒ 70.0r = 3: C ≒ 70.3, r = 4: C ≒ 70.7, r = 5: C ≒ 71.0r = 10: C ≒ 72.7, r = 20: C ≒ 76.0, r = 30: C ≒ 79.3
r が大きくなると「70の法則」はあてはまらなくなる26 / 27
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テイラーの定理
「40の法則」
宿題X 円の元金があるこれを年利 r %で複利運用する元金が 1.5倍になるのはおよそ何年後か
答え
およそ 40
r年後
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