9 - 1

9. Merenje otpornosti

Merenje električne otpornosti jedna je od najčešćih aktivnosti merenja u oblasti elektrotehnike.

Električna otpornost mnogih materijala i struktura može se učiniti osetljiva na promene nekih

neelektričnih veličina, poput sile, temperature, pritiska itd., pa se merenjem električne otpornosti

određuju brojne vrednosti tih drugih veličina električnim putem.

Električna otpornosti je pasivno svojstvo nekog električnog elementa i ne poseduje snagu neophodnu za

izvršenje rada/oslobađanje energije neophodnih za obavljanje merenja. Zbog toga se prilikom merenja

otpornosti moraju koristiti dodatni elementi u mernom kolu poput izvora električne struje ili napona,

dok se dobijanje same merene veličine najčešće ostvaruje indirektnim putem, preko merenja električnog

napona i/ili jačine električne struje.

9.1. U/I metoda

Ovo je jedna od najjednostavnijih metoda merenja otpornosti koja se oslanja na definicioni izraz za

električnu otpornost, odnosno Omov zakon:

I

UR (9.1)

Na osnovu ovog izraza sledi da se merenjem napona i struje, te deljenjem dobijenih vrednosti može

izračunati nepoznata otpornost R. Principijelna šema merenja pomoću idealnih instrumenata bila bi kao

na slici 9.1.

Slika 9.1. U/I metoda

Ako se zanemare unutrašnje otpornosti ampermetra i voltmetra, apsolutna greška merenja je

UI

G

I

GG

IU

R 2 (9.2)

Gde su GU i GI greške očitavanja voltmetra i ampermetra. Kod analognih instrumenata oni zavise od

klase tačnosti, dok kod digitalnih oni predstavljaju polovinu najmanje značajne cifre na displeju

instrumenta. Ukoliko se u obzir uzmu realne karakteristike voltmetra i ampermetra, tada nije svejedno

na koji način će se instrumenti priključiti u kolo sa nepoznatim otpornikom. Dve moguće varijante šema

za merenje date su slikama 9.2.a) i 9.2.b).

Slika 9.2. Dve varijante U/I metode koje daju različite rezultate merenja

R

A

V

a) V

A

R

rV

rA

V

A

rV

rA

R

b)

9. Merenje otpornosti

9 – 2

U varijanti a) unutrašnja otpornost ampermetra rA stvara pad napona koji ne utiče ne pokazivanje

voltmetra, ali otpornost voltmetra rV „krade“ struju od otpornika i utiče ne to da ampermetar pokazuje

zbir struja kroz nepoznati otpornik i voltmetar. Zbog toga će izračunata vrednost otpornosti biti:

Rr

Rr

U

U

I

UR v

v

V

V

A

Va

m ||

||

) (9.3)

Dakle, šema a) meriće otpornost paralelne veze nepoznatog otpornika i unutrašnje otpornosti voltmetra.

Međutim, ovo je sistematska greška koja se može otkloniti ukoliko je sa dovoljnom tačnošću poznata

unutrašnja otpornost voltmetra rV, pa će se greška merenja ponovo svesti na 9.2.

U varijanti b), unutrašnja otpornost voltmetra neće uticati na tačnost merenja struje, jer će ampermetar

meriti baš struju kroz otpornik R. Međutim unutrašnja otpornost ampermetra će uticati na to da voltmetar

pokazuje ukupan pad napona na rednoj vezi rA i R:

RrI

RrI

I

UR A

A

AA

A

Vb

m

) (9.4)

Dakle, šema b) meriće otpornost redne veze nepoznatog otpornika i unutrašnje otpornosti ampermetra.

Ovo je ponovo sistematska greška koja se može otkloniti ukoliko je sa dovoljnom tačnošću poznata

unutrašnja otpornost ampermetra rA i greška merenja će se ponovo svesti na 9.2.

Po pravilu je kod analognih instrumenata mnogo bolje poznata unutrašnja otpornost voltmetra nego

ampermetra, dok je kod digitalnih instrumenata unutrašnja otpornost voltmetra toliko velika da se njen

uticaj može zanemariti. Zato se, za merenje nepoznate otpornosti U/I metodom, u praksi češće koristi

način povezivanja kao u varijanti a).

9.2. Voltmetarske (ampermetarske) metode

Ponekad za merenje električne otpornosti nisu na raspolaganju dva tipa instrumenta, već samo jedan,

npr. samo voltmetar ili samo ampermetar. Osim toga, za pojedine tipove otpornosti određena vrsta

instrumenta može biti povoljnija za merenje. Tako je npr. za merenje izuzetno velikih otpornosti

kritičnija unutrašnja otpornost voltmetra nego ampermetra, pa bi metode koje koriste samo ampermetre

bile od većeg značaja nego U/I metoda. Slično, kod merenja veoma malih otpornost, idealno bi bilo

imati na raspolaganju metodu koja rezultat merenja izvod isključivo na osnovu pokazivanja nekog

voltmetra. Postoji više varijanti metoda koje koriste samo jedan tip instrumenta radi određivanja

nepoznate otpornosti. Ovde će, bez gubitka na opštosti, biti prikazane samo voltmetarske metode,

odnosno metode koje se zasnivaju isključivo na upotrebi voltmetra.

9.1.1. Metoda poređenja

Ova metoda izvodi se u dve faze prikazane na slici 9.3. U prvoj fazi voltmetar se priključuje na nepoznati

otpornik R i očita se otklon α1. Zatim se pristupa merenju na poznatom referentnom otporniku Q i očita

novo skretanje voltmetra α2. Ako se zanemare unutrašnja otpornost voltmetra i naponskog izvora, tada

se može smatrati da je struja kroz R i Q ista, pa je otklon voltmetra proporcionalan otpornosti na koju je

priključen u svakoj od faza merenja. Odatle je:

2

1

QR (9.5)

9. Merenje otpornosti

9 – 3

Slika 9.3. Merenje voltmetarskom metodom pomoću poznatog otpornika

Veliki otpornik P koji je mnogo veći od R i Q, ima za zadatak da struju u kolu učini nezavisnom od

otpornosti:

constP

E

QRP

EI

(9.6)

Izrazi 9.5 i 9.6 su, naravno, samo približni. Ako se u obzir uzme unutrašnja otpornost voltmetra RV, tada

će u prvoj fazi merenja skretanje voltmetra biti:

VVVV rRIkUk ||11 (9.7)

a u drugoj fazi:

VVVV rQIkUk ||22 (9.8)

Deljenjem izraza 9.7 i 9.8 i sređivanjem po R, dobija se da je:

122

1

Vr

QQR (9.9)

Dakle, metod je pogodan za merenje otpornosti znatno manjih od unutrašnje otpornosti voltmetra koji

je na raspolaganju.

9.1.2. Metoda zamene

Ovo je verovatno najjednostavniji metod merenja otpornosti pomoću samo jednog instrumenta i, za

razliku od prethodne metode, podesna je za merenje velikih otpornosti. Instrument koji će biti

upotrebljen je ampermetar sa posebnim zaštitnim šant-otpornikom S. I ova metoda se izvodi u dve faze

prikazane na slici 9.4.

Slika 9.4. Metod zamene

Označimo sa

rV

R Q

P

V

E

V rV

R Q

P

E

R Q E

rE

A

rA

S

p

a b

9. Merenje otpornosti

9 – 4

Sr

SrP

A

A

(9.10)

paralelnu vezu unutrašnje otpornosti ampermetra rA i šanta S. Neka je unutrašnja otpornost naponskog

izvora rE i neka je Q poznat otpornik. Kada je preklopnik p u položaju a, pokazivanje instrumenta će

biti:

PRr

E

Sr

SkI

Sr

Sk

EA

Aa

A

A

1 (9.11)

Kada se preklopnik p prebaci u položaj b, dobiće se skretanje

PQr

E

Sr

SkI

Sr

Sk

EA

Ab

A

A

2 (9.12)

Deljenjem izraza 9.11 i 9.12 dobija se da je

PRr

PQr

E

E

2

1

(9.13)

Odatle je

11

1

2

1

2

1

2

PrQR E (9.14)

Pretpostavimo sada da je poznati otpornik Q zapravo klizni otpornik koji može moenjati svoju vrednost.

Tada drugu fazu možemo sprovesti tako da menjamo otpornost Q sve dok ampermetar ne pokaže isti

otklon kao i u prvoj fazi. Tada će α1 = α2 I izraz 9.14 će se svesti na:

1

2

QR (9.15)

Dugim rečima, unutrašnje otpornosti izvora i ampermetra neće uticati na grešku merenja. Ukoliko je

otpornik Q fiksan i otkloni u etapama a i b su različiti, tada je poželjno da otpornosti R i Q budu što

veće, kako bi rE i P bili zanemarivi u odnosu na njih.

9.3. Ommetri

Izvor napajanja i jedan instrument (npr. voltmetar) mogu se iskoristiti da se napravi pokazni instrument

za direktno očitavanje otpornosti – ommetar. Postoji više konstrukcija ommetara, a ovde ćemo razmotriti

najjedostavniji, tzv. redni ommetar. Izgled pojednostavljene šeme rednog ommetra dat je na slici 9.5.

Slika 9.5. Pojednostavljena šema rednog ommetra

E

rV

R

ommetar

V

9. Merenje otpornosti

9 – 5

U njegovoj osnovi nalaze se izvor napajanja E (baterija) i redno vezan realan voltmetar, unutrašnje

otpornosti rV.

Kada su krajevi ommetra otvoreni (R → ∞), u kolu instrumenta nema struje i voltmetar će pokazivati

nula volti. Kada se na ommetar priključi neka otpornost, napon izvora E će se razdeliti na nepoznatoj

otpornosti R i unutrašnjoj otpornosti voltmetra, pa će napon na voltmetru biti

Rr

rEU

V

V

(9.16)

Kada se ulazi ommetra kratko spoje (R = 0 Ω), voltmetar će imati maksimalan otklon Umax. Kao skala

ommetra koristi se izmenjena skala voltmetra, tako što se nula voltmetra zameni vrednošću ∞, a

maksimalna vrednost Umax, na skali se zameni nulom (slika 9.6). Zato u neopterećenom stanju,

instrument uvek pokazuje ∞.

Slika 9.6. Skala ommetra

Pojedini podeoci na ommetru su nelinearno raspodeljeni, jer treba da na ograničenom luku kazaljke

razdele „beskonačno“ velik opseg. U stvarnosti, merenje izuzetno velikih otpornosti pomoću ommetra

nije pogodno jer je greška instrumenta u tom delu skale velika, a osetljivost mala. Osetljivost se dobija

iz izraza 9.16 kao

2Rr

rE

Rr

rE

RR

UO

V

V

V

VR

(9.17)

Najveća brojna vrednost osetljivosti se dobija za R = 0 Ω, a najmanja za R → ∞ i iznosi

Ω

V 0ROR (9.18)

Pored nulte osetljivost za velike otpornosti, osnovni problem ovako konstruisanog ommetra jeste greška

merenja koja se javlja ukoliko napon izvora E nije stabilan Ako je u pitanju instrument koji radi na

baterije, onda će vremenom napon te baterije opadati. Samim tim će instrument imati sve manji otklon

za istu vrednost merene otpornosti R, a u slučaju kratkog spoja na ulazu neće moći „dobaciti“ do nultog

podeoka. Da bi se ovaj problem prevazišao, obično se sa voltmetrom redno vezuje potenciometar P,

pomoću koga se podešava „nula“ instrumenta, kao na slici 9.7. Ovo podešavanje se obavlja ručno.

Ω

300

9. Merenje otpornosti

9 – 6

Slika 9.7. Redni ommetar sa potenciometrom za podešavanje nule

Pri maksimalno napunjenoj bateriji, potenciometar P se podesi na maksimalnu vrednost Pmax. Pre svakog

merenja, proveri se otklon instrumenta pri kratkom spoju, čime se proverava ispražnjenost baterije. Ako

kazaljka ne pokaže nulu, otpornost potenciometra P se polako smanjuje (sve do kratkog spoja), čime se

podiže napon na voltmetru i kazaljka tera da napravi veći otklon.

Da bi pri kratkom spoju na ulazu, voltmetar uvek davao isti maksimalan otklon Umax, čak i kada napon

E opadne za neko dozvoljeno ΔE, mora važiti jednakost

EEPr

rEE

Pr

rEU

V

V

V

V

0

minmax

max (9.19)

Odatle sledi da je za dozvoljeni pad napona baterije od ΔE, potreban potenciometar dometa

EE

ErP V

max (9.20)

Npr. za voltmetar unutrašnje otpornosti 10 kΩ i bateriju od 1,5 V, kojoj se dozvoljava da joj napon

opadne za 0,2 V, dobija se da je potreban potenciometar od približno 1,5 kΩ.

Prisustvo potenciometra P unosi grešku u merenje otpornosti R, ali je ta greška manja nego kada bi se

koristio ommetar koji nije „nulovan“. Ovo je najlakše pokazati na brojnom primeru.

Primer 1

Rednim ommetrom sa ugrađenim voltmetrom unutrašnje otpornosti 10 kΩ, kao na slici 9.5, meri se

nepoznata otpornost od 500 Ω. Instrument se napaja baterijom od 9 V. Instrument nema potenciometar

za „nulovanje“. Kolika će se otpornost izmeriti ako napon baterije padne na 8,8 V?

Rešenje

Kada je baterija napunjena, otpornosti od 500 Ω odgovara napon na voltmetru od

V 571,8Ω 500kΩ 10

kΩ 10V 9

Rr

rEU

V

V (9.21)

Međutim, kada napon baterije padne na 8,8 V, napon na voltmetru će biti

V 381,8Ω 500kΩ 10

kΩ 10V 8,8*

Rr

rEEU

V

V (9.22)

Kako je skala ommetra baždarena za napon E, naponu U* odgovara očitavanje otpornosti od

E rV

R

ommetar

V

P

9. Merenje otpornosti

9 – 7

Ω 64,7381V ,3818

V 9kΩ 101*

U

ErR V (9.23)

Relativna greška ovog merenja je, dakle 47,7 %.

□

Primer 2

Rednim ommetrom sa ugrađenim voltmetrom unutrašnje otpornosti 10 kΩ, kao na slici 9.7, meri se

nepoznata otpornost od 500 Ω. Instrument se napaja baterijom od 9 V. Instrument poseduje

potenciometar za podešavanje nule. Kolika će se otpornost izmeriti, ako napon baterije padne na

najmanju dozvoljenu vrednost od 8,8 V, ali se pre merenja obavi „nulovanje“?

Rešenje

Iz 9.20 sledi da je maksimalna vrednost potenciometra P, za koju je obavljeno baždarenje skale i koja

je podešena kada je baterija puna

27,227

V 8,8

V 2,0k 10max

EE

ErP V (9.24)

Zato će pri priključenju otpornosti od 500 Ω, napon na voltmetru biti

V 390,8Ω 500Ω 27,227kΩ 10

kΩ 10V 9

max

RPr

rEU

V

V (9.25)

Kada napon baterije padne na 8,8 V, potenciometar P će biti kratkospojen (zbog nulovanja) i napon na

voltmetru će biti

V 381,8Ω 500kΩ 10

kΩ 10V 8,8*

Rr

rEEU

V

V (9.26)

Dakle, dobija se identična vrednost kao i u prethodnom slučaju. Jedina razlika je u tome što su sada oba

ova otklona bliska. S obzirom da je skala ommetra baždarena za napon E i Pmax, naponu U* odgovaraće

očitavanje otpornosti od

Ω 37,511 27,2271V ,3818

V 9kΩ 101 max

*

P

U

ErR V (9.27)

Relativna greška ovog merenja je 2,3 %.

□

Zbog potrebe za nulovanjem, ommetri koji rade na baterije ne smatraju se naročito tačnim

instrumentima, posebno za merenje većih otpornosti. Da bi im se donekle popravile osobine i smanjila

greška, ommetri se često konstruišu tako da imaju više opsega, kao što je ilustrovano na slici 9.8.

Biračem opsega (npr. rotacionim preklopnikom) nepoznata otpornost R priključuje se paralelno sa

jednim od izabranih predotpornika. Što je otpornost R veća, to je treba vezati u paralelu sa manjim

otpornikom, kako bi kazaljka instrumenta imala veći otklon i kako bi merenje bilo tačnije. Za dovoljno

malu otpornost R, bira se položaj preklopnika na kome je predotpornik izostavljen.

9. Merenje otpornosti

9 – 8

Slika 9.8. Detaljna šema rednog ommetra sa više opsega i potenciometrom za nulovanje.

Ovde se mora voditi računa o tome da otpornici R1, R2 do Rn budu tako dimenzionirani da, za svaki

postojeći opseg, instrument može koristiti istu skalu izbaždarenu u opsegu od 0 Ω do ∞. Potenciometrom

P je dovoljno obaviti jedno nulovanje za najveći merni opseg, kako bi se kompenzovala greška usled

slabljenja baterije.

9.4. Merenje velikih otpornosti

Kada je potrebno meriti veoma velike otpornosti (reda MΩ, GΩ ili čak TΩ), teško je konstruisati

instrumente koji bi bili dovoljno osetljivi. Sa jedne strane, voltmetri koji bi se koristili, imali bi mnogo

veću unutrašnju otpornost od one koja se meri. A sa druge strane, kroz tako velike otpornosti prolaze

male struje, pa bi upotrebljeni ampermetri morali biti izuzetno osetljivi (npr. nA ili pA), što znači da bi

bili skupi. Zato se pri merenju velikih otpornosti, kao što je recimo otpornost izolacije, moraju koristiti

drugačiji pristupi.

9.4.1. Merenje otpornosti preko impulsnog odziva RC kola

Ukoliko je otpornost koja se meri takva da ima malu parazitnu kapacitivnost i indukivnost, tada se može

pribeći sledećem triku. Na red sa otpornikom se veže velik kondenzator poznate kapacitivnosti, a na

krajeve ovakvog sistema se dovede izvor napona odskočne pobude (npr. jednosmerni izvor sa veoma

brzim prekidačem). Ovo je ilustrovano na slici 9.8.

Slika 9.8. RC kolo za merenje nepoznate otpornosti R

Napon na krajevima kondenzatora, koji ne može naglo promeniti svoju vrednost, imaće eksponencijalan

odziv, pri čemu će brzina rasta napona na kondenzatoru zavisiti od proizvoda otpornosti i kapacitivnosti

τ = RC, poznatim pod nazivom vremenska konstanta. Izraz za porast napona na kondenzatoru je:

RC

t

C eUtu 10 (9.28)

Izgled ovog napona skiciran je na slici 9.9.

rV

R

E

ommetar

…

P

V

preklopnik

R2 R1 Rn

R

+

u0(t)

uC(t) U0

C 0 V

9. Merenje otpornosti

9 – 9

Slika 9.9. Odziv RC kola na impulsnu pobudu

Nakon proticanja vremena t = τ, napon na kondenzatoru će dostići 63,2 % svoje asimptotske vrednosti

U0. Merenjem ovog vremena moguće je odrediti nepoznatu otpornost R:

C

R

(9.29)

Greška ovog merenja biće

2C

G

C

GG

C

R (9.30)

Kako je merenje vremenskih intervala moguće obaviti sa veoma velikom tačnošću, sledi da će greška

ove metode u najvećoj meri zavisiti od tačnosti poznavanja kapacitivnosti kondenzatora C.

9.4.2. Merenje velikih otpornosti pomoću naponskog razdelnika

Veliku otpornost često prati i značajna parazitna kapacitivnost. Takav slučaj je posebno izražen kada se

mere otpornosti izolacije na sistemima značajnih dimenzija, na primer, otpornost izolacije veoma dugih

kablova. Parazitna kapacitivnost povećava ukupnu vremensku konstantu kola jer se vezuje paralelno sa

poznatom kapacitivnošću kondenzatora C. Pri tome je, najčešće, tu parazitnu kapacitivnost nemoguće

odrediti ili izmeriti, pa ona samim tim unosi neprihvatljivo veliku slučajnu grešku u merenje.

U takvim situacijama se, za merenje otpornosti primenjuje naponski razdelnik. Iako njegova tačnost nije

preterano velika, otpornosti koje se mere naponskim razdelnikom su reda gigaoma ili teraoma, pa je

obično dovoljno samo proceniti njihov red veličine (recimo kod provere ispravnosti izolacije), dok

tačnost merenja nije od velikog značaja.

Metoda naponskog razdelnika je, u osnovi, modifikovana U/I metoda. Principska uprošćena šema data

je na slici 9.10.

Slika 9.10. Merenje otpornosti izolacije naponskim razdelnikom

uC

U0

t 0

63,2 % U0

τ

U0

RX

R0 Um

CX

9. Merenje otpornosti

9 – 10

Napon Um, sa naponskog razdelnika je:

0

00

RR

RUU

X

m

(9.31)

Gde je RX nepoznata otpornost koja se meri, a R0 poznata referentna otpornost. Nepoznata otpornost se

može naći kao količnik U0 i Um pomnožen konstantom:

10

0

m

XU

URR (9.32)

Unutrašnja otpornost voltmetra koji se koristi za merenje napona Um je kritična, pa se ovde mogu

upotrebljavati isključivo digitalni voltmetri sa velikom ulaznom otpornošću operacionih pojačavača sa

FET kolima. Važno je napomenuti da, u slučajevima kada se meri otpornost izolacije, rezultat merenja

zavisi i od primenjenog mernog napona. Generalno, sa povećanjem mernog napona rezultat merenja

otpornosti izolacije pada sve dok merni napon dostigne probojni napon za dati materijal izolacije.

Ako se uzme u obzir da otpornost RX prati parazitna kapacitivnost CX treba voditi računa da će naponu

Um trebati vremena da dostigne svoju asimptotsku vrednost.

t

m eUU 1 (9.33)

Vremenska konstanta ovog kola XXCR uzrokovaće da se na konačno očitavanje rezultata mora

čekati određeno vreme (bar 5τ intervala). Na početku prelaznog režima kondenzator se puni velikom

strujom koja produžava da teče i kroz otpornik R0, stvarajući na njemu veći pad napona. S obzirom na

obrnutu srazmernost, to prouzrokuje merenje niže vrednosti otpornosti izolacije, sve dok se parazitna

kapacitivnost CX u potpunosti ne napuni. Ovo je predstavljeno na slici 9.11.

Slika 9.11. Eksponencijalan rast napona na razdelniku

9.5. Mostne metode

Merni mostovi su električna kola koja omogućuju neposredno poređenje poznatih i nepoznatih veličina

koristeći indikator koji se dovodi na nulu ručnim ili automatskim podešavanjem poznatih veličina.

Merne metode koje koriste merne mostove se nazivaju mostne metode.

Um

U∞

t 0

9. Merenje otpornosti

9 – 11

Osnovni merni most je Vitstonov most (Wheatstone). Na slici 9.12 je predstavljen osnovni oblik

jednosmernog Vitstonovog mosta1).

Slika 9.12. Jednosmerni Vitstonov most

Četiri različita otpornika spojena su u četiri "grane" mosta. Na jednu dijagonalu mosta (AB) dovodi se

jednosmerni napon E, a u drugu, tzv. mernu dijagonalu (CD) povezan je osetljiv instrument (indikator

nule). Ovaj instrument mora biti dovoljno imati dovoljan otklon za male promene otpornosti u mostu

kako bi ova metoda merenja imala odgovarajuću tačnost.

Napon na mernoj dijagonali, u kojoj se nalazi indikator nule, u funkciji vrednosti četiri otpornika

izračunava se kao

))(( 4231

4132

RRRR

RRRREUG

(9.34)

9.5.1. Uravnoteženi jednosmerni mostovi

Očigledno je da se, za određene vrednosti otpornosti u granama mosta, izraz 9.34 može učiniti jednak

nuli. Tada su i napon i struja merne dijagonale mosta jednaki nuli, a za most se kaže da je u ravnoteži.

U tom slučaju nema pada napona na instrumentu pa je napon napajanja jednako razdeljen na otpornicima

R1 i R2, kao i na otprnicima R3 i R4. Na taj način se uslov ravnoteže mosta svodi na relaciju 9.37.

3241 RRRR (9.35)

Kao indikator nule u uravnoteženom mostu može se koristiti instrument skromnih mogućnosti s obzirom

da njegova unutrašnja otpornost i druga konstrukciona ograničenja ne utiču bitno na proces merenja.

Osim toga, uravnotežen most ima mnoge prednosti u merenjima, kao što je, recimo, činjenica da uslov

ravnoteže mosta ne zavisi od napona napajanja, odnosno da most ostaje u ravnoteži i ako se za napajanje

koriste baterije ili akumulatorski izvori čija struja i napon vremenom slabe. Zbog ovih osobina mostne

metode sa uravnoteženim mostovima spadaju u najtačnije metode za određivanje nepoznatih otpornosti.

1) Interesantno je spomenuti da Vitstonov most nije pronašao Čarls Vitston (Charles Wheatstone) po kome on danas

nosi naziv, već Hanter Kristi (Hunter Christie) 1843. Vitston je na svojim predavanjima i u radovima koje je

objavljivao i sam pripisivao zasluge Kristiju. Međutim, Vitston je ovo kolo proslavio i učinio poznatim širim

naučnim krugovima, pa su ga svi počeli zvati Vitstonov most. Sam Vitston je ovo kolo zvao "diferencijalno merilo

otpornosti". Vitston je, takođe, zaslužan za način prikazivanja mosta u vidu romboidnog razmeštaja četiri

otpornika, baterije i galvanometra, za šta je inspiraciju dobio gledajući ornamente na svom plavom kineskom

porcelanu iz koga je pio čaj dok je razmišljao o nauci.

B

A

D C

E

R3

R4

UG

R1 R2

9. Merenje otpornosti

9 – 12

Najjednostavnija realizacija uravnoteženog jednosmernog Vitstonovog mosta dobija se kada su svi

otpornici u granama mosta jednaki.

RRRRR 4321 (9.36)

9.5.2. Neuravnoteženi jednosmerni mostovi

Uravnotežavanje mosta podrazumeva tri stvari. Kao prvo, u most se mora vezati bar jedan promenljiv

element pomoću koga će se most dovesti u ravnotežu, nakon što se u njega veže neka nepoznata

otpornost. Kao drugo, dovođenje mosta u ravnotežu zahteva intervenciju nad promenljivim elementom,

često u više koraka. I konačno, uravnotežavanje mosta je očigledno vremenski zahtevno. Kada

ubacivanje promenljivih elemenata nije opcija (npr. otpornici su mikrometarskih dimenzija), kada

intervencija nije moguća (npr. merenja u objektima udaljenim više stotina metara) ili se vrednosti

otpornosti moraju očitavati u realnom vremenu (nema vremena za uravnotežavanje), tada se koriste tzv.

neuravnoteženi mostovi, kod kojih ni napon ni struja merne dijagonale nisu jednaki nuli.

Ukoliko samo jedna od otpornosti iz mosta odstupi od vrednosti koja obezbeđuje ravnotežu i promeni

se za malu vrednost ΔR, napon na mernoj dijagonali, dat relacijom 9.34 može se iskoristiti za

određivanje ovog odstupanja. Osnovni preduslov je da se u mernoj dijagonali ne nalazi bilo kakav nul-

indikator, već veoma osetljiv voltmetar. Primera radi, neka je R1 = R3 = R4 = R, i neka je

RRR 2 (9.37)

Na slici 9.13 prikazan je odgovarajući neuravnotežen Vitstonov most.

Slika 9.13. Merenje relativne promene otpornosti pomoću neuravnoteženog Vitstonovog mosta

Zavisnost napona merne dijagonale od promene otpornosti ΔR može se izraziti kao u 9.38.

2

4 RR

REUG

(9.38)

Ukoliko je ispunjen uslov da je promena mnogo manja od ukupne vrednosti otpornosti

(ΔR << R), izraz 9.38 može se pojednostaviti i svesti na 9.39.

R

REUG

4 (9.39)

B

A

D

E

R

R

C

UG

R R + ΔR

V

9. Merenje otpornosti

9 – 13

Ovo se može interpretirati i na sledeći način: ako se želi meriti otpornost R sa greškom manjom od ±ΔR,

onda odgovarajuća promena otpornosti R za ΔR mora izazvati jasno uočljivu promenu indikatora u

okolini ravnotežnog stanja, tj. mora se postići zadovoljavajuća osetljivost mosta.

Jedan od glavnih prednosti neuravnoteženih mostova jeste velika brzina rada. Prilikom uravnotežavanja

potrebno je dosta vremena za ručno podešavanje elemenata u mostu dok instrument u mernoj dijagonali

ne pokaže nulu. Kod neuravnoteženih mostova rezultat se očitava trenutno i direktno sa postojećeg

indikatora, bez dodatnih intervencija merača. Time se znatno ubrzava postupak merenja i prave velike

uštede, posebno kod masovnih merenja. Sama izvedba neuravnoteženog mosta je jednostavnija, jer

nema uravnotežavajućih (promenljivih) elemenata, ali je potreban složeniji i kvalitetniji indikator nule

nego kod uravnoteženog mosta. Neuravnoteženi merni mostovi moraju imati kvalitetne indikatore nule

(za voltmetarske indikatore poželjno je da im je otpornost što veća, a za strujne što manja) i stabilne

izvore napajanja, jer na osnovu 9.41 sledi da vrednost napona napajanja E utiče na očitavanje rezultata.

Možda najveći nedostatak neuravnoteženih mostova jeste njihova podložnost brojnim uticajnim

veličinama. Ta podložnost se tipično karakteriše parametrima koji se zovu osetljivost i selektivnost

mosta. Osetljivost predstavlja odnos promene struje ili napona merne dijagonale i promene neke fizičke

veličine. Tako je npr. osetljivost mosta, sa voltmetrom u mernoj dijagonali, u odnosu na promenu

otpornosti R definisana izrazom 9.40 i ima jedinicu V/Ω ili, češće, mV/Ω.

Ω

mV

R

UO G

R (9.40)

Pri iskazivanju osetljivosti nikada se ne skraćuju jedinice, iako bi formalno gledano, u gornjem primeru

volt po omu bio isto što i amper. Kada se u mernoj dijagonali kao detektor nule koristi galvanometar,

tada je osetljivost na promenu otpornosti u nekoj grani data sa 9.41.

Ω

μA

R

IO G

R (9.41)

Na sličan način izraz 9.42 definiše osetljivost mosta u odnosu na promenu napona napajanja, a izraz

9.43 na promenu temperature okoline.

V

mV

E

UO G

E (9.42)

C

UO G mV

(9.43)

Osetljivost mosta na male promene otpornosti u granama ima najveću vrednost u okolini ravnoteže

mosta i nultog položaja indikatora. Istovremeno, u okolini ravnoteže most je najmanje osetljiv na

promene napona napajanja, temperaturu okoline, kao i na dejstvo brojnih drugih uticajnih veličina.

Selektivnost mosta definisana je kao količnik osetljivosti na neku željenu promenu i osetljivosti na neku

uticajnu veličinu. Npr. selektivnost mosta za merenje otpornosti u odnosu na temperaturu okoline bila

bi definisana kao

CU

R

U

O

OS

G

G

RR

/1

/1 /

(9.44)

9. Merenje otpornosti

9 – 14

Kada most ima visoku selektivnost, znači da dobro reaguje na promene parametra koji se želi meriti, a

da istovremeno slabo reaguje na neželjene, parazitne veličine.

S obzirom da osetljivost i selektivnost mosta slabe kako se udaljavamo od ravnoteže, za velika

odstupanja gubi se na tačnosti merenja, pa su neuravnoteženi mostovi, generalno manje tačni od

uravnoteženih. Srećom, napredak tehnologije omogućava sve bolje indikatore, tako da danas mnogi

uređaji koriste upravo neuravnotežene mostove, koji tako obezbeđuju povoljan odnos (kompromis)

između trajanja merenja, cene i tačnosti.