เซต

3.1 บทน ำ

เซต หมายถง กลมของสงของททราบไดแนนอนวาสงใดอยในกลม และสงใดไมอยในกลม

ตวอยำง เชตของนกศกษาในหองเรยนน

เราเรยกสงทอยในเซตวา “สมาชก” ( Element) ใชสญลกษณ ∈ แทนเปนสมาชกของ และ ∉ แทน

ไมเปนสมาชกของ

การเขยนเซต เซตมวธการเขยน 2 แบบ คอ

1. แบบแจกแจงสมำชก เขยนสมาชกทกตวของเซตลงในเครองหมาย วงเลบปกกาและใชเครองหมายจลภาค ( , ) คนระหวางสมาชกแตละตว กรณสมาชกมมาก ๆ จะใชสญลกษณ “…” แทนสมาชกตวอนๆ ตวอยำงเชน

A เปนเซตของจ านวนคบวกทนอยกวา 100 จะเขยน A = { 2 , 4 , 6 , … , 98 } B เปนเซตของจ านวนเตมค จะเขยน B = {…, -5 , -3 , -1 ,1 , 3 , 5 , … }

2. แบบบอกเงอนไขของสมำชกในเซต เขยนเซตแบบบอกเงอนไขของสมาชกในเซต ประกอบดวย

วงเลบปกกา และใชตวแปรแทนสมาชกของเซต โดยบรรยายคณสมบตของสมาชกไวหลงเครองหมาย ” | ” ( โดยท ) ตวอยำงเชน A เปนเซตของตวประกอบของ 6 จะเขยน A = {x | x เปนตวประกอบของ 6 }

B เปนเซตของวนในหนงสปดาห จะเขยน B = { x | x เปนวนในหนงสปดาห }

3.2 นยำมของเซต

3.2.1 เซตทเทากน บทนยำม เซต A เทากบเซต B กตอเมอ เซตทงสองเซตมสมาชกเหมอนกน นนคอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B และสมาชกทกตวของเซต B เปนสมาชกของเซต A

เซต A เทากบเซต B เขยนแทนดวย A = B

เซต A ไมเทากบเซต B เขยนแทนดวย A ≠ B แสดงวามสมาชกอยางนอยหนงตวของเซต A ทไมใชสมาชกของเซต B หรอ มสมาชกอยางนอยหนงตวของเซต B ทไมใชสมาชกของเซต A

3.2.2 เอกภพสมพทธ บทนยำม เอกภพสมพทธ (U) คอเซตทก าหนดขนโดยมขอตกลงวา จะไมกลาวถงสงใด

นอกเหนอไปจากสมาชกของเซตทก าหนดขนน

สญลกษณทนยมใชแทนเซตของจ านวน

+ แทนเซตของจ านวนเตมบวก หรอ

+ = { 1 , 2 , 3 , 4 , … }

- แทนเซตของจ านวนเตมลบ หรอ

- = { -1 , -2 , -3 , -4 , … }

0 แทนเซตของจ านวนเตมศนย หรอ

0 = { 0 }

หรอ แทนเซตของจ านวนเตม หรอ = { 0 , -1 , 1 , -2 , 2 , … } หรอ

= { … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … }

แทนเซตของจ านวนนบ หรอ = { 1 , 2 , 3 , … } นนคอ +

=

แทนเซตของจ านวนเฉพาะทเปนบวก หรอ = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , … } Q เปนเซตของจ านวนตรรกยะ

Q เปนเซตของจ านวนอตรรกยะ R เปนเซตของจ านวนจรง

3.2.3 เซตก าจด ( Finite Set) คอ เซตซงมจ านวนสมาชกเทากบจ านวนเตมบวกใด ๆ หรอศนย จ านวนสมาชกของเซตจ ากด A เขยนแทนดวย n(A) หรอ |A| |A| วดจากจ านวนสมาชกทแตกตางกนในเซต A ตวอยำง || = 0 , |{1,2,3}| = 3, |{a, b}| = 2, |{1,2,3},{4,5}}| = 2 3.2.4 เซตอนนต ( Infinite Set) คอเซตทไมใชเซตจ ากด เซตวำง ( Empty Set or null set) คอ เซตจ ากดทไมมสมาชกหรอจ านวนสมาชกเปนศนย แทน

ดวย { } หรอ

3.2.5 เซตทเทยบเทากน (Equivalent sets)

บทนยำม เซต A และ เซต B เปนเซตทเทยบเทากน กตอเมอ เซต A และ เซต B มจ านวนสมาชกเทากน ตวอยำง A = { 1 , 2 , 3 } ; B = { a , b , c } เซต A และเซต B เปนเซตทเทยบเทากน เขยนแทน

ดวย A ↔ B

3.2.6 สบเซต (Subsets) บทนยำม เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B

เซต A เปนสบเซตของเซต B เขยนแทนดวย A B เซต A ไมเปนสบเซตของเซต B ถามสมาชกอยางนอยหนงตวของเซต A ทไมเปนสมาชกของเซต B

เขยนแทนดวย A B

หมำยเหต A เปนสบเซตแทของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของเซต A เปนสมาชกของเซต B แต

เซต A เซต B

3.2.7 ซปเปอรเซต (Super Sets)

บทนยำม เซต A เปนซปเปอรเซตของเซต B กตอเมอ ทกสมาชกของเซต B เปนสมาชกของเซต A

เขยนแทนดวย A B และ B A

หมำยเหต

1. เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเอง ถา A เปนเซตใด ๆ แลว A ⊂ A 2. เซตวางเปนสบเซตของเซตทกเซต

ถา A เปนเซตใด ๆ แลว ⊂ A 3. A ⊂ B และ B ⊂ A กตอเมอ A = B 4. เรยกสบเซตทก ๆ สบเซตนอกจากเซตของตวเอง วาสบเซตแท

3.2.8 เพาเวอรเซต ( Power sets)

เพาเวอรเซต คอ เซตของสบเซตท งหมดของ A เมอ A เปนเซตจ ากด เพาเวอรเซตของ A เขยนแทน

ดวย P(A)

สมบตของเพำเวอรเซต

ให A , B เปนเซตใด ๆ

1. ∅ P(A)

2. A P(A)

3. ถา A เปนเซตจ ากดและ n(A) = k แลว P(A) เปนเซตจ ากดและ n(P(A)) = 2k

4. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B)

5. ถา P(A) ⊂ P(B) แลว A ⊂ B

6. P(AB) = P(A) P(B)

7. P(A) P(B) ⊂ P(A B)

หมำยเหต ∀S: |P(S)| > |S|, e.g. |P(ℕ)| > |ℕ|

3.3 แผนภำพของเวนน –ออยเลอร ( Venn – Euler Diagrams )

แผนภาพของเวนน –ออยเลอร นยมแทนเอกภพสมพทธ U ดวยรปสเหลยมผนผา และใชรปปดใดๆ

แทนเซตซงเปนสบเซตของเอกภพสมพทธน น

ตวอยำง

รปท 1.1 แผนภาพของเวนน –ออยเลอรทแสดงเซต A และ เซต B ไมมสมาชกรวมกน เซต A และ เซต B ไมมสมาชกรวมกนเลย ซงเรยกวา Disjoint set

3.4 กำรด ำเนนกำรบนเซต

3.4.1 ยเนยน ( Union ) ยเนยนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A B คอ เซตทประกอบดวย

สมาชกซงเปนสมาชกของ A หรอของ B หรอ ของทงสองเซต

เขยน A B แบบบอกเงอนไขดงน

A B = { x ∈ U | x ∈ A หรอ x ∈ B หรอ x เปนสมาชกของทงสองเซต } ตวอยางแผนภาพของยเนยน เชน

รปท 1.2 แผนภาพของเวนน –ออยเลอรทแสดงเซต A B

การด าเนนการ ยเนยน ของเซต n เซตใดๆ สามารถเขยน ในรป

n

n AAAA ...211

ตวอยำง

ก าหนดให }...,2,1,{ iiiAi

จงหา An

1

วธท ำ

3.4.2 อนเตอรเซกชน (Intersection) อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A B คอเซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของเซต A และเซต B

เขยน A B แบบบอกเงอนไข ดงน

A B = { x ∈ U | x ∈ A และ x ∈ B }

รปท 1.3 แผนภาพของเวนน –ออยเลอรทแสดงเซต A B

การด าเนนการ อนเตอรเซกชน ของเซต n เซตใดๆ สามารถเขยน ในรป

n

n AAAA ...211

ตวอยำง

ก าหนดให }...,2,1,{ iiiAi

จงหา An

1

3.4.3 คอมพลเมนต (Complement) คอมพลเมนตของเซต A เขยนแทนดวย A′ คอ เซตทประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของ U แตไมเปนสมาชกของ A

เขยน A แบบบอกเงอนไข ดงน A′ = { x ∈ U | x ∉ A } ตวอยำง แผนภาพของคอมพลเมนต

รปท 1.4 แผนภาพของเวนน –ออยเลอรทแสดงเซต A′ (บรเวณแรงเงา)

3.4.4 ผลตาง (Difference or relative complement) ผลตางของเซต A กบเซต B เขยนแทนดวย

A B คอ เซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A ซงไมเปนสมาชกของเซต B ผลตางของเซต A กบเซต B เขยนแทนดวย A - B เขยน แบบบอกเงอนไข ดงน

A B = {x U | x A และ x B}

ตวอยำง

แผนภาพของผลตาง

รปท 1.5 แผนภาพของเวนน –ออยเลอรทแสดงเซต A B

3.5 สมบตทส ำคญของเซต

ก าหนดให A, B, C เปนเซตใดๆ

3.5.1 A B = B A (Commutative Law) 3.5.2 A B = B A (Commutative Law) 3.5.3 A (B C) = (A B) C (Associative Law) 3.5.4 A (B C ) = (A B) C (Associative Law) 3.5.5 A (B C) = (A B) (A C) (Distributive Law) 3.5.6 A (B C) = (A B) (A C) (Distributive Law) 3.5.7 (A B) = A B (De Morgan’s Law) 3.5.8 (AB) = A B (De Morgan Law) 3.5.9 (A) = A 3.5.10 U = 3.5.11 = U 3.5.12 A – B = A B 3.5.13 A – (B C) = (A – B) (A - C) 3.5.14 A – (B C) = (A - B) (A - C)

3.5.15 ถา A B = แลว A – B = A

3.6 การพสจนทางเซต

การพสจยการเทากนของเซต สามารถแสดงได 3 วธ 3.6.1 การแสดงวาเซตทงสองเปนสบเซตของกนและกน 3.6.2 การแสดงโดยแจกแจงการเปนสมาชกโดยใชตาราง 3.6.3 การแสดงโดยใชคณสมบตของเซต

3.6.1 การแสดงวาเซตทงสองเปนสบเซตของกนและกน ตวอยำง จงแสดงการพสจนวา A (B C) = (A B ) (A C) วธท ำ กรณท 1 จะแสดงวา A (B C) (A B ) (A C) ให x A (B C) จะไดวา x A และ x (B C)

นนคอ x A และ x B หรอ x C กรณ 1.1 x A และ x B จะไดวา x (A B ) นนคอ x (A B ) (A C) กรณ 1.2 x A และ x C จะไดวา x (A C ) นนคอ x (A B ) (A C)

ดงน น A (B C) (A B ) (A C) กรณท 2 จะแสดงวา (A B ) (A C) A (B C)

ให x (A B ) (A C) x (A B ) หรอ x (A C)

x A และ x B หรอ x A และ x C

x A และ x B หรอ x C x A (B C)

ดงน น (A B ) (A C) A (B C) จำก กรณท 1 และ กรณท 2 สรปไดวา A (B C) = (A B ) (A C)

3.6.2 การแสดงโดยแจกแจงการเปนสมาชกโดยใชตาราง ตวอยำง จงแสดงการพสจนวา A (B C) = (A B ) (A C) A B C B C A (B C) A B A C (A B ) (A C) 1 1 1 1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0 3.6.3 การแสดงโดยใชคณสมบตของเซต A (B C) = (A B ) (A C) จากคนสมบต Distributive Law ตวอยำงโจทยและกำรแกปญหำ

หมายเหต สตรทควรรเกยวกบเซต

1. n(A B) = n(A) n(B) เมอ A, B เปน disjoint set 2. n(A B) = n(A) n(B) n(AB) เมอ A, B มสมาชกรวมกน 3. n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) n(AB)n(AC)n(BC)+n(ABC) 4. n(A B) = n(A) n(A B) 5. n(B A) = n(B) n(AB) 6. n(A) = n(U) n(A)

ตวอยำง

ผส ารวจประชามต ไดสอบถามผมสทธออกสยง 35 คน พบวา 14 คนสนบสนนผสมครคนท 1 และ

26 คนสนบสนนผสมครคนท 2 จะมกเสยงทสนบสนนผสมครทงสองคน

วธท ำ

n(A B) = n(A) n(B) n(AB)

35 = 14 26 n(AB)

n(AB) = 40 35 = 5

ดงน น เสยงทสนบสนนผสมครทงสองคน = 5 คน

ตวอยำง

ก าหนดให n(U) = 32, n(A) = 15, n(B) = 18 และ n(A B) = 2 จงหา n(A B)

วธท ำ

n(U) = n(A B) + n(A B) = n(A) n(B) n(AB) + n(A B)

32 = n(A B) + 2 = 15 + 18 n(AB) + 2

32 = 15 + 18 n(AB) + 2

n(AB) = 15 + 18 + 2 32 = 3

ดงน น n(AB) = 3