เซต (sets) - ครูมหาเทพ › 2014 › 09 › math.pdf ·...

เซต (Sets)

เซตเซต เปนคํ าท่ีไมไดใหนิยาม (Undefined Term) เรามักใชเซตแทนสิ่งท่ีอยูรวมกัน ซ่ึงหมายถึงกลุมของส่ิงตางๆ

ท่ีเราสามารถกํ าหนดสมาชิกไดชัดเจน (Well - defined)การเขียนเซต1. เขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form) เปนการเขียนเซตโดยบรรจุสมาชิกท้ังหมดของเซตลงในวงเล็บ

ปกกา และระหวางสมาชิกแตละตัวคั่นดวยเครื่องหมายจุลภาค ( , )(หมายเหตุ : ถาเซตมีจํ านวนสมาชิกมากมาย เราใช "..." แทนสมาชิกท่ีเหลือ)2. เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set builder form)มีหลักการ คือ แทนสมาชิกของเซตดวยตัวแปรแลวกํ าหนดเง่ือนไขเก่ียวกับตัวแปรนั้น เพ่ือแสดงวามีส่ิงใดบางท่ี

เปนสมาชิกของเซตวิธีเขียนเซตโดยวิธีนี้ คือ เขียนตัวแปรและสิ่งท่ีกํ าหนดเง่ือนไขเก่ียวกับตัวแปรลงในวงเล็บปกกาและคั่นตัวแปร

กับส่ิงท่ีกํ าหนดเง่ือนไขเก่ียวกับตัวแปรดวยเครื่องหมาย " | " หรือ " : "3. การเขียนเซตดวยวิธีอื่นๆ เชน แบบบรรยาย, แบบใชแผนภาพเวนน, แบบชวง เปนตน

แผนภาพเวนน-ออยเลอร เปนแผนภาพที่ใชเขียนแทนเซต ซ่ึงแทนเอกภพสัมพัทธ U ดวยส่ีเหล่ียมผืนผา และแทนเซต A, B, ... ดวยรูปวงกลม หรือวงรี หรือรูปปดอื่นๆ ดังรูป

1, 2, 3 abc

A B U

4, 5C

รูปวงรี แทนเซต A โดยท่ี A = {1, 2, 3}รูปวงกลม แทนเซต B โดยท่ี B = {a, b, c}รูปสามเหลี่ยม แทนเซต C โดยท่ี C = {4, 5}

ซ่ึงในเรื่องของแผนภาพนี้เรายังทํ าไปประยุกตใชในเรื่องการกระทํ าระหวางเซต ซ่ึงแสดงดวยแผนภาพจะทํ าใหดูเขาใจงายขึ้น

เซตที่ควรรูจัก1. เซตจํ ากัด (Finite Set) หมายถึง เซตท่ีมีจํ านวนสมาชิกจํ ากัด (มีจํ านวนสมาชิกเทากับจํ านวนเต็มบวกหรือ

ศูนย)2. เซตอนันต (Infinite Set) หมายถึง เซตท่ีมีจํ านวนสมาชิกไมจํ ากัด และเปนเซตซ่ึงไมใชเซตจํ ากัด3. เซตวาง (Empty Set) หมายถึง เซตท่ีไมมีสมาชิกและเขียนแทนดวยสัญลักษณ φ หรือ { } เซตวางถือวา

เปนเซตจํ ากัดและเปนเซตที่มีจํ านวนสมาชิกเทากับ 04. เซตท่ีเทากัน เซต A เทากับเซต B ก็ตอเมื่อเซตทั้งสองมีจํ านวนสมาชิกเทากัน และสมาชิกทุกตัวเหมือนกัน

เขียนแทนดวยสัญลักษณ "A = B" หรืออาจกลาววาเซต A เทากับเซต B ก็ตอเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A5. เซตเทียบเทา เซตสองเซตใดๆ จะเทียบเทากัน ก็ตอเมือ่เซตทัง้สองมจี ํานวนสมาชิกเทากัน แตสมาชิกไมจํ าเปน

ตองเหมือนกัน หรือจะเหมือนกันก็ไดเขียนแทนดวย A ∼ B6. เซตท่ีไมเทากัน เซต A ไมเทากับเซต B ก็ตอเมื่อมีสมาชิกของเซต A อยางนอย 1 ตัว ท่ีไมเปนสมาชิกของ

เซต B หรือมีสมาชิกของเซต B อยางนอย 1 ตัว ท่ีไมเปนสมาชิกของเซต A เขียนแทนดวยสัญลักษณ A ≠ B

สับเซต (Subset) และเพาเวอรเซต (Power Set)ให A และ B เปนเซตใดๆ จะไดวา1. เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมือ่ทุกสมาชิกของเซต A เปนสมาชิกของเซต B เขียนแทนดวย "A ⊂ B"2. เซต A ไมเปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อมีสมาชิกอยางนอย 1 ตัว ของเซต A ท่ีไมเปนสมาชิกของเซต B

เขียนแทนดวยสัญลักษณ "A ⊄ B"3. เซต A เปนสับเซตแท (Proper Subset) ของเซต B ก็ตอเมื่อ A เปนสับเซตของ B แต A ≠ B และใช

สัญลักษณ "⊂" แทนท้ังสับเซตแทและสับเซตไมแท4. เพาเวอรเซต (Power Set) ของเซต A คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของเซต A เขียนแทนดวยสัญลักษณ

"P(A)" ดังนั้น P(A) = {x | x ⊂ A}

สมบัติของสับเซต1. ถา A เปนเซตใดๆ แลว A ⊂ A [เซตทุกเซตเปนสับเซตของตัวเอง]2. ถา A เปนเซตใดๆ แลว φ ⊂ A [เซตวางเปนสับเซตของทุกเซต]3. ถา A ⊂ B และ B ⊂ C แลว A ⊂ C4. ถา A เปนเซตจํ ากัดใดๆ ท่ีมีสมาชิก n ตัว แลว สรุปไดวา

4.1 จํ านวนสับเซตทั้งหมดของเซต A = 2n เซต4.2 จํ านวนสับเซตแทท้ังหมดของเซต A = 2n - 1 เซต4.3 จํ านวนสับเซตที่มีสมาชิกอยางนอย 1 ตัว = 2n - 1 เซต4.4 จํ านวนสับเซตที่มีสมาชิกอยางนอย 2 ตัว = 2n - n - 14.5 จํ านวนสับเซตที่มีสมาชิกเพียง 2 ตัว = n(n 1)

2 - เซต

4.6 จํ านวนสับเซตที่มีสมาชิกเพียง r ตัว = Cn, r = n!(n r)!r! - เซต

สมบัติของเพาเวอรเซตให A เปนเซตใดๆ เพาเวอรเซตของเซต A เขียนแทนดวย P(A) และมีสมบัติดังนี้1. P(A) ≠ φ สํ าหรับทุกๆ เซต A [P(A) จะตองมีสมาชิกอยางนอย 1 ตัว เสมอ]2. φ ∈ P(A) และ φ ⊂ P(A) สํ าหรับทุกๆ เซต A3. A ∈ P(A) เสมอ4. ถา A เปนเซตใดๆ ท่ีมีสมาชิก n ตัว จํ านวนสมาชิกของ P(A) = 2n เซต5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B)6. P(A)IP(B) = P(AIB)7. P(A)UP(B) ⊂ P(AUB)8. ถา A เปนเซตอนันตแลว P(A) เปนเซตอนันตขอสังเกต1. A ⊂ (AUB) และ B ⊂ (AUB)2. (AIB) ⊂ A และ (AIB) ⊂ B3. ถา A ⊂ B แลว AUB = B4. ถา A ⊂ B แลว AIB = A

การดํ าเนินการบนเซต (Operation on set)ให A และ B เปนเซตใดๆ และ U เปนเอกภพสัมพัทธซ่ึงกํ าหนดดังแผนภาพตอไปนี้

A B

UJoint

A U

Disjoint

B

AB

UInclude

A B

UEqual

1. ยูเนียน (Union)ยูเนียนของเซต A และเซต B คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิกซ่ึงเปนสมาชิกของเซต A หรือของเซต B หรือ

ของท้ังสองเซต เขียนแทนดวยสัญลักษณ "AUB"ดังนั้น AUB = {x ∈ U | x ∈ A หรือ x ∈ B หรือ x ∈ A และ B}บริเวณที่แรเงาในแผนภาพ คือ AUB

��

��A B

U��

��

��

A

U

B

��A

U

B

��A B

U

2. อินเตอรเซกชัน (Intersection)อินเตอรเซกชันของ A และ B คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิกซ่ึงเปนสมาชิกของท้ังเซต A และเซต B เขียน

แทนดวยสัญลักษณ "AIB"ดังนั้น AIB = {x ∈ U | x ∈ A และ x ∈ B}

A B

U��

A

U

B

��

AB

U ��A B

Uบริเวณที่แรเงาในแผนภาพ คือ AIB

3. ผลตาง (Difference)ผลตางระหวางเซต A และ เซต B หรือคอมพลีเมนตของ B เมื่อเทียบกับ A คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิก

ซ่ึงเปนสมาชิกของเซต A แตไมเปนสมาชิกของเซต B เขียนแทนดวยสัญลักษณ "A - B"ดังนั้น A - B = {x ∈ U | x ∈ A และ x ∉ B}บริเวณที่แรเงาในแผนภาพ คือ A - B

A B

U��

��

A

U

B

��

A

U

B

A B

U

4. คอมพลีเมนต (Complement)คอมพลีเมนตของเซต A เมื่อเทียบกับ U เขียนแทนดวย A′ หรือ U - A หมายถึง เซตท่ีประกอบดวย

สมาชิกซ่ึงเปนสมาชิกของ U แตไมเปนสมาชิกของ Aดังนั้น A = {x ∈ U | x ∉ A}

A

UA′

A B

U

U)B (A ′

A B

UU )B (A ′

กฎทางพีชคณิตของเซต (Laws of the Algebra of Sets)ให A, B, C เปนเซตใดๆ

กฎทางพีชคณิตของเซต Union Intersection1. Idempotent Laws

2. กฎการเปลี่ยนกลุมได (Associative Laws)3. กฎการสลับท่ี (Commutative Laws)4. กฎการกระจาย (Distributive Laws)5. กฎเอกลักษณ (Identity Laws)6. Complement Laws7. De Morgan's Laws

AUA = AAUφ = AAUU = U(AUB)UC = AU (BUC)

AUB = BUAAU (BIC) = (AUB)I (AUC)AUφ = AAUA′ = U(AUB)′ = A′IB′

AIA = AAIφ = φAIU = A(AIB)IC = AI (BIC)

AIB = BIAAI (BUC) = (AIB)U (AIC)AIU = AAIA′ = φ(AIB)′ = A′UB′

การหาจํ านวนสมาชิกของเซตกํ าหนดให U เปนเอกภพสัมพัทธ A, B และ C เปนเซตจํ ากัด ซ่ึงตางก็เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U1. ถา A และ B เปนเซตจํ ากัด และ AIB = φ แลว n(AUB) = n(A) + n(B)2. ถา A และ B เปนเซตจํ ากัดใดๆ และ AIB ≠ φ แลว n(AUB) = n(A) + n(B) - n(AIB)3. ถา A, B และ C เปนเซตจํ ากัดใดๆ และ AIBIC ≠ 0 แลว

n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AIB) - n(AIC) - n(BIC) + n(AIBIC)ถา AIB = φ แลว ถา AIB ≠ φ แลว

��

B

A

��

U �� BA

��

U��

n(AUB) = n(A) + n(B) n(AUB) = n(A) + n(B) - n(AIB)

4. ถา A, B และ C เปนเซตจํ ากัดใดๆ แลวn(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AIB) - n(AIC) - n(BIC) + n(AIBIC)พิจารณาดังรูป

A C

B UUC

BA

(A B C)I I n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C)U U

5. ถา A เปนเซตจํ ากัดใดๆ แลว n(A′) = n(U) - n(A) ดังรูป

UA A′

บริเวณที่แรเงาคือจํานวนสมาชิกของเซตของ )An( ′

แนวขอสอบ

1. ขอใดถูกตอง1) {0, 1, 2, 3, 4} ⊂ {จํ านวนจริง}2) ถา A ⊂ B แลว เซต A มีจํ านวนสมาชิกนอยกวาเซต B3) ถา A เปนเซตจํ ากัดใดๆ แลว จะมีเซต A ท่ีทํ าให n(P(A)) = 154) ถา A เปนเซตจํ ากัด และ n(P(P(A))) = 256 แลว n(A) = 3

2. กํ าหนด <a, b> = {{a}, {a, b}} เมื่อ a, b เปนสมาชิกใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ U ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) <a, b>I<b, a> = {a, b} 2) <a, b>I {a} ≠ φ3) <a, b>I {{a}} = {{a}} 4) <a, b> = <b, a>

3. ถา AUB มีจํ านวนสมาชิก 7 ตัว และ AIB มีจํ านวนสมาชกิ 3 ตัว ถา A และ B มจี ํานวนสมาชิกเทากัน จงหาวาA - B มีสมาชิกก่ีตัว1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

4. กํ าหนด Im คือ เซตคํ าตอบของจํ านวนนับ m ตัวแรก กลาวคือ Im = {1, 2, 3, ... , m} ขอใดตอไปนี้ไมถูกตอง1) (I1U I4)I I5 ≠ I4I I5 2) (I99 - I100)UA = A เมื่อ A เปนเซตใดๆ3) P(I10 - I7) มีจํ านวนสมาชิก 8 ตัว 4) n(I3 - I5) ≠ n(I3) - n(I5)

5. เซต E ในขอใดตอไปนี้ท่ีแตละสมาชิกของ E ลวนแตเปนสับเซตของ E1) E = เซตของจํ านวนจริง 2) E = {φ, {φ}, {{φ}}, ...}3) E = {0, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ...} 4) E = {{1, 2, 3, ...}, {2, 3, 4, ...}, {3, 4, 5, ...}, ...}

6. กํ าหนดให A = {a, 1, b, 2, c, 3}, B = {a, b} จะมีเซต E ซ่ึง E ⊂ A และ EIB ≠ φ ก่ีเซต 1) 16 2) 32 3) 48 4) 647. กํ าหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และ B = {1, 2, 3} ให E เปนเซตใดๆ ท่ี B ⊂ E ⊂ A จะมีเซต E

ดังกลาวก่ีเซต1) 16 2) 32 3) 35 4) 48

8. กํ าหนด A = {x | x เปนอักษรในคํ าวา "BRAND'S SUMMER CAMP"}B = {y | y เปนอักษรในคํ าวา "SUPERMAN"}

ถา C เปนเซตใดๆ ซ่ึง C ⊂ A และ CIB ≠ φ จํ านวนเซต C ดังกลาวมีก่ีเซต1) 2040 2) 1016 3) 512 4) 256

9. กํ าหนด A = {1, 2, 3, ... , n, ...}B = {10, 11, 12, ... , n + 9, ...}

ถา C เปนเซตใดๆ ซ่ึง C ⊂ A และ CIB = φ จะมีเซต C ดังกลาวก่ีเซต1) 256 2) 512 3) 1023 4) 1024

10. ให A, B และ C เปนเซตโดยที่ AIB ⊂ BIC ถา n(A) = 25, n(C) = 23, n(BIC) = 7, n(AIC) = 10และ n(AUBUC) = 49 แลว n(B) เทากับขอใด1) 11 2) 16 3) 17 4) 18

11. ถา A = {φ, 0, 1, {0, 1}} และ B = {φ, {φ}, {0, {0, 1}}, {0, {1}}} แลว เซต P(A) - B มีจ ํานวนสมาชกิเทาใด1) 13 2) 14 3) 15 4) 16

12. ถา A = {1, 2, 3, 4, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} แลว (A - B)U (B - A) มีสมาชิกก่ีตัว1) 5 2) 6 3) 7 4) 8

13. จากการสํ ารวจสีตาและสีผมของนักเรียนนานาชาติ จํ านวน 100 คน ทราบวามีผูท่ีมีตาสีฟา 40 คน ตาสีนํ้ าตาล30 คน ผูท่ีมีผมสีทอง 20 คน และผมสีแดง 50 คน อยากทราบวาคนท่ีมีผมสีทองและตาสีฟามีก่ีคน ถาคนท่ีผมสีทองหรือตาสีฟามี 55 คน1) 5 2) 10 3) 15 4) 20

14. ออดทุกตัวเปนอึ่ง มีครึ่งหนึ่งของอางท่ีเปนอึ่ง มีครึ่งหนึ่งของอึ่งท่ีเปนออด ท้ังหมดมีอางอยู 30 ตัว และมีออดอยู20 ตัว อางทุกตัวไมเปนออด อยากทราบวามีอึ่งก่ีตัวท่ีไมเปนออดหรืออาง1) 5 2) 10 3) 15 4) 20

15. ให A, B และ C เปนเซตมีจํ านวนสมาชิกเทากับ 25, 14 และ 18 ตามลํ าดับ ถา AIB, AIC, BIC และAIBIC มีจ ํานวนสมาชกิเทากับ 6, 8, 10 และ 2 ตามลํ าดบั แลวจ ํานวนสมาชกิของเซต (AIC) - B, B - (AUC)และ (AUB) - C ตามลํ าดับคือขอใดตอไปนี้1) 6, 0, 17 2) 6, 1, 26 3) 4, 1, 21 4) 4, 0, 17

16. ระหวางท่ีไปพักตากอากาศชายทะเลแหงหนึ่งมีฝนตก 13 วัน ถาฝนตกตอนเชา ตอนบายอากาศแจมใส แตถาวันไหนฝนตกตอนบาย ตอนเชาอากาศจะแจมใสมากอน ถาหากระหวางท่ีพักตากอากาศอยูนัน้มีอากาศแจมใสตอนเชา11 วัน และตอนบายอากาศแจมใส 12 วัน จงหาวาในการไปพักตากอากาศครั้งนี้มีก่ีวัน1) 15 2) 18 3) 20 4) 28

17. ในการแขงขันโบวล่ิงชิงแชมปโลกท่ีประเทศฝรั่งเศสมีผูเขาแขงขัน 50 คน ปรากฏวา 40 คน ถนัดมือขวา7 คน โยนลูกโคง และไดแตมเฉล่ียเกิน 200 แตม9 คน ถนัดมือขวา และไดแตมเฉล่ียเกิน 200 แตม11 คน ถนัดมือขวา และโยนลูกโคง24 คน ถนัดมือขวา ไมโยนลูกโคงและไดแตมเฉล่ียไมเกิน 200 แตม5 คน ถนัดมือซาย และโยนลูกโคง5 คน ถนัดมือซาย และไดแตมเฉล่ียเกิน 200 แตม

จํ านวนผูแขงขันท่ีถนัดมือซายไมโยนลูกโคงและไดแตมเฉล่ียไมเกิน 200 แตมมีก่ีคน1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

18. จากการสํ ารวจนักเรียนท่ีเรียน "BRAND'S SUMMER CAMP" กลุมหนึ่งพบวามี 20 คน ไมเคยไปเที่ยวนํ้ าตกสาริกามี 16 คน ไมเคยไปเที่ยวนํ้ าตกพริ้วมี 12 คน ไมเคยไปเที่ยวนํ้ าตกนางรองมี 10 คน ไมเคยไปเที่ยวนํ้ าตกสาริกาและนํ้ าตกพริ้วมี 7 คน ไมเคยไปเที่ยวนํ้ าตกสาริกาและนํ้ าตกนางรองมี 5 คน ไมเคยไปเที่ยวนํ้ าตกพริ้วและนํ้ าตกนางรองมี 2 คน ไมเคยไปเที่ยวท้ัง 3 แหง

จงหาวานักเรียนกลุมนี้มีก่ีคน (ไมมีนักเรียนคนใดเคยไปเที่ยวท้ัง 3 แหง)1) 20 2) 25 3) 26 4) 28

19. ในการสํ ารวจนักทองเท่ียวชาวมาเลเซียและชาวสิงคโปรท่ีมาเท่ียวเชียงใหมในชวงสงกรานตไดขอมูลดังนี้

ประเภทของนักทองเที่ยว จํ านวนคนเพศชายเพศหญิงชาวสิงคโปรชาวสิงคโปรท่ีเปนชายขับรถยนตเขามาเองชายท่ีขับรถยนตเขามาเองชาวสิงคโปรท่ีขับรถยนตเขามาเองชายชาวสิงคโปรท่ีขับรถยนตเขามาเอง

600500300200 50 30 25 15

จํ านวนของชาวมาเลเซียท่ีไมไดขับรถยนตเขามาเองมีก่ีคน1) 775 2) 490 3) 390 4) 385

20. ในการแขงขันบาสเกตบอลแหงเอเชียครั้งหนึ่ง ปรากฏวามีประเทศที่เขารวมการแขงขันครั้งนั้น 8 ประเทศ คือไทย จีน เกาหลีใต มาเลเซีย ศรีลังกา ฟลิปปนส สิงคโปร และอินโดนีเซีย ในนัดเปดสนามมีการแขงขัน 4 คูหนังสือพิมพ 3 ฉบับ ใหการวิจารณวากอนการแขงขัน ดังนี้

หนังสือพิมพไทยรัฐ วิจารณวา ทีมท่ีจะชนะในนัดแรก คือ ไทย เกาหลีใต มาเลเซีย และจีนหนังสือพิมพเดลินิวส วิจารณวา ทีมท่ีจะชนะในนัดแรก คือ เกาหลีใต จีน ศรีลังกา และสิงคโปรหนังสือพิมพบานเมือง วิจารณวา ทีมท่ีจะชนะในนัดแรก คือ มาเลเซีย สิงคโปร อินโดนีเซีย และจีน

จงหาวาการแขงขันนัดแรกนี้ จะมีการจับคูการแขงขันกันอยางไร

ประเทศ

หนังสือพิมพไทย จีน เกาหลีใต มาเลเซีย ศรีลังกา ฟลิปปนส สิงคโปร อินโดนีเซีย

ไทยรัฐเดลินิวสบานเมือง

1) ไทยแขงกับจีน เกาหลีใตแขงกับสิงคโปร มาเลเซียแขงกับศรีลังกา อินโดนีเซียแขงกับฟลิปปนส2) จีนแขงกับฟลิปปนส ไทยแขงกับศรีลังกา เกาหลีใตแขงกับอินโดนีเซีย มาเลเซียแขงกับสิงคโปร3) จีนแขงกับฟลิปปนส ไทยแขงกับสิงคโปร ศรีลังกาแขงกับมาเลเซีย เกาหลีใตแขงกับอินโดนีเซีย4) ไทยแขงกับอินโดนีเซีย มาเลเซียแขงกับสิงคโปร เกาหลีใตแขงกับศรีลังกา จีนแขงกับฟลิปปนส

เฉลย

1. 4) 2. 3) 3. 2) 4. 1) 5. 2) 6. 3) 7. 1) 8. 1) 9. 2) 10. 3)11. 1) 12. 1) 13. 1) 14. 1) 15. 1) 16. 2) 17. 3) 18. 4) 19. 1) 20. 3)

แนวขอสอบเขามหาวิทยาลัย

1. ให A, B, C เปนชวงซ่ึง A = [2, 6], B = [3, 7], C = [4, 9] และเอกภพสัมพัทธ U = [2, 10] แลว [(A – C)′ – B] คือชวงในขอใดตอไปนี้

1) (7, 10] 2) (9, 10] 3) [2, 3)U (7, 10] 4) [2, 3)U (9, 10]2. กํ าหนดให R เปนเซตของจํ านวนจริง

ถา A = {x ∈ R | 3 x + – x ≤ 1}และ B = {x ∈ R | | x – 2 | > 7} แลวขอใดตอไปนี้ถูก1) A = (0, ∞) 2) B′ = (-5, 9) 3) A – B′ = (9, ∞) 4) B′ – A = (-5, -1)

3. สํ าหรับเซต X ใดๆ ให n(X) หมายถึงจํ านวนสมาชิกของ X ให U เปนเอกภพสัมพัทธ ซ่ึง n(U) = 10 และ A, B, C เปนสับเซตของ U ซ่ึง [AU BU C] = U ถา n(A) = n(B) = n(C) = 5 และ n(AI B) = n(AI C) = n(BI C) = 2 แลว ขอใดตอไปนี้ถูก1) n[A – (BI C)] = 3 2) n[(A – B)I C] = 33) n[(AU B) – C] = 2 4) n[A – (BU C)] = 2

4. กํ าหนดให A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 4} และ P(x) แทนเพาเวอรเซตของเซต x พิจารณาขอความตอไปนี้ก. {1, 2} ∈ P(AIB) ข. P(A - B) = P(A) - P(B)

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

5. ในการสอบถามความเห็นของผูชมรายการขาวของสถานีโทรทัศน 2 ชอง คือ ชอง A และชอง B โดยใหตอบวาชอบหรือไมชอบอยางใดอยางหนึ่ง ถามีผูตอบวาชอบชอง A 60 เปอรเซ็นต ชอบชอง B 55 เปอรเซ็นต และชอบท้ังสองชอง 40 เปอรเซ็นต แลวผูท่ีไมชอบรายการขาวของทั้งสองชองคิดเปนเปอรเซ็นตเทากับขอใดตอไปนี้1) 15 2) 20 3) 25 4) 30

6. ให A, B และ C เปนเซตที่กํ าหนดในแผนภาพตามรูป

2 3 71

64 58 9

A B

C

ขัอใดตอไปนี้ถูกตอง1) A - (BIC) = {1, 2} 2) (AUB) - C = {1, 2, 7}3) AI (BUC) = {3, 4, 6} 4) (C - B)I (A - B) = {6}

7. กํ าหนดเซต A, B, C ดังนี้ A = {4, 5, 6, 7}, B = {4, 6, 8}, C = {3, 6, 9}พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. (6, 6) เปนสมาชิกของ [(AIB) × C] และ A × (BIC)ข. (5, 9) เปนสมาชิกของ [(A - B) × C] หรือ A × (B - C)


เก็งขอสอบเรื่องเซต8. สํ าหรับเซต x ใดๆ ให | x | แทนจํ านวนสมาชิกของ x ให A, B, C เปนเซตซ่ึง | AUBUC | = 100 และกํ าหนด

สมบัติดังแผนภาพ

20

2322 11

9

A B

C

ถา | A | - | B | = 6 แลว | (BUC) - A | มีคาเทาใด1) 28 2) 29 3) 30 4) 31

9. ถา A = {φ, 0, 1, {0}, {0, 1}} และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของเซต A แลว [P(A) - A] มีสมาชิกก่ีตัว1) 28 2) 29 3) 30 4) 31

10. ถาสับเซตแทท้ังหมดของเซต x คือ φ, {{1}}, {2} และเซต y = {1, {2}} แลว xIy คือขอใดตอไปนี้1) φ 2) {1} 3) {2} 4) {1, 2}

11. กํ าหนดใหเอกภพสัมพัทธคือเซต U = {1, 2, 3, 4, 5} และ A, B, C เปนเซตจํ ากัดซ่ึงมีเง่ือนไขวาn(A) = n(B) = n(C) = 3 และ n(AIB) = n(BIC) = n(AIC) = 2

ถา AUBUC = U แลวขอใดตอไปนี้ผิด1) n(AUB) = 4 2) n(AU (BIC)) = 33) n(AI (BUC)) = 2 4) n(AIBIC) = 1

12. ในการสอบแขงขันชิงทุนการศึกษาของมหาวิทยาลัยแหงหนึ่งมีผูเขาสอบแขงขัน 100 คน ผูเขาสอบตองสอบ 2 วิชาคือ คณิตศาสตรและภาษาอังกฤษ โดยมหาวิทยาลัยกํ าหนดไววาผูท่ีจะไดรับทุนตองสอบผานท้ัง 2 วิชา ซ่ึงปรากฏผลวาผูท่ีสอบตกวิชาคณิตศาสตรมี 60 คน สอบตกวิชาภาษาอังกฤษมี 46 คน และสอบตกทั้ง 2 วิชามี 10 คนดังนั้นผูมีสิทธิรับทุนมีก่ีคน1) 2 2) 4 3) 5 4) 10

13. ให U เปนเอกภพสัมพัทธ A และ B เปนสับเซตของ Uกํ าหนดนิยาม A B = (A - B)U (B - A)ถา A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 4, 5} และ C = {1, 2, 4, 6, 7} แลว (A B) C เทากับเซตในขอใด1) {4, 5, 6} 2) {5, 6, 7} 3) {1, 4, 5, 6} 4) {1, 5, 6, 7}

14. ให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5} และ C = {S | S ⊂ A และ SIB ≠ φ} ดังนั้นจํ านวนสมาชิกท้ังหมดของเซต C เทากับเทาใด1) 16 2) 24 3) 48 4) 63

15. หมูบานแหงหนึ่งมีครอบครัวท้ังหมด 800 ครอบครัว ประกอบอาชีพคาขายอยางเดียว 10 ครอบครัว นอกนั้นทํ าสวนเงาะ มังคุด และทุเรียน จากการสํ ารวจเฉพาะชาวสวน พบวามีครอบครัวท่ีปลูกผลไมต้ังแต 2 ชนิดขึ้นไป110 ครอบครัว ปลูกเงาะและมังคุด 70 ครอบครัว ปลูกเงาะและทุเรียน 60 ครอบครัว ปลูกมังคุดและทุเรียน50 ครอบครัว ไมปลูกมังคุดเลย 290 ครอบครัว จงหาวามีก่ีครอบครัวท่ีปลูกแตมังคุดเพียงอยางเดียวเทานั้น1) 315 2) 350 3) 405 4) 415

16. กํ าหนด U เปนเอกภพสัมพัทธ และ A, B, C เปนเซตใดๆ โดยท่ี n(U) = 44, n(A) = 16, n(B) = 19, n(C) = 16,n(AIB) = 7, n(BIC) = 6, n(AIC) = 5 และ n[(AUBUC)′] = 9, n[(AUB) - C] มคีาเทากับเทาใด

17. กํ าหนดให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {4, 5, 6, 7} ถาตองการสรางเซต C โดยท่ี (A - B) ⊂ C และ C ⊂ (AUB)แลว จะไดจํ านวนเซต C ดังกลาวท้ังหมดเทากับก่ีเซต

18. ให A, B และ C เปนเซตจํ ากัด ซ่ึงกํ าหนดโดย AIB = {0, 1, 2, 3} AUB = {0, 1, 2, 3, 4, 5} AIC = {0, 1} BIC = {0, 1, 5} AUC = {0, 1, 2, 3, 5}

เซตของ (BUC) - A มีคาตรงกับเซตใด19. จากการสํ ารวจการประกอบอาชีพการทํ านา ทํ าไร และทํ าสวน ของชาวบานหมูบานหนึ่ง ซ่ึงมีอยู 100 ครอบครัว

ปรากฏวามี 41 ครอบครัวไมไดประกอบอาชีพท้ังสามอาชีพนี้ มี 10 ครอบครัวท่ีประกอบอาชีพท้ังสามอาชีพ และมี 32 ครอบครัวท่ีประกอบอาชีพอยางนอยสองอยางในสามอาชีพนี้ จํ านวนครอบครัวท่ีประกอบอาชีพเพียงอยางเดียวในสามอาชีพนี้มีจํ านวนก่ีคน

20. จากการส ํารวจผูชมการถายทอดการแขงขนักีฬาเอเชี่ยนเกมสประเภทฟตุบอล บาสเกตบอล และวอลเลยบอล จํ านวน 200 คน พบวาผูท่ีชอบดูฟุตบอลมี 130 คน ผูท่ีชอบดูบาสเกตบอลมี 100 คน ผูท่ีชอบดูวอลเลยบอลมี 110 คนผูท่ีชอบดูฟุตบอลและบาสเกตบอลมี 60 คน ผูท่ีชอบดูบาสเกตบอลและวอลเลยบอลมี 55 คน ผูท่ีชอบดูฟุตบอลและวอลเลยบอลมี 45 คน จํ านวนผูท่ีชอบดูกีฬาท้ังสามประเภทเทากับก่ีคน

เฉลย

1. 1) 2. 3) 3. 4) 4. 2) 5. 3) 6. 3) 7. 2) 8. 3) 9. 2) 10. 1)11. 4) 12. 2) 13. 4) 14. 3) 15. 4) 16. 19 17. 16 18. {4, 5} 19. 27 20. 20

ระบบจํ านวนจริง

จํานวนจริง (R)

จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ

จํานวนเต็ม (I) จํานวนท่ีอยูในรูปของเศษสวน abเม่ือ a I, b I, b 0 และ ไมเปนจํานวนเต็มab

จํานวนเต็มบวก I+ จํานวนเต็มศูนย จํานวนเต็มลบ I-

∈ ∈ ≠

1. ลักษณะโครงสรางของระบบจํ านวนจริงจากแผนภาพในวิชาคณิตศาสตรไมวาแขนงใด ตัวเลขเปนองคประกอบหนึ่งในการศึกษาวิชาคณิตศาสตรแขนงนั้นๆ เสมอ

ดังนั้นส่ิงท่ีเราตองศึกษาก็คือความเขาใจเก่ียวกับตัวเลข เซตของตัวเลขท่ีสํ าคัญๆ ไดแก1.1 เซตของจํ านวนเต็ม นิยมใช I แทนสัญลักษณของเซตดังกลาว ประกอบดวย

1) เซตของจํ านวนนับ หรือเซตของจํ านวนธรรมชาติ หรือเซตของจํ านวนเต็มบวก คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิก 1, 2, 3, 4, ... และ เรานยิมใชสัญลักษณ N หรอื I+ แทนเซตดงักลาว นั่นคือ N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}

2) เซตของจํ านวนเต็มลบ คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชกิ -1, -2, -3, -4, ... และเรานิยมใชสัญลักษณI- แทนเซตดังกลาว นั่นคือ I- = {-1, -2, -3, -4, ...}

3) เซตของศูนย คือ เซตท่ีมี 0 เปนสมาชิกเพียงตัวเดียว นั่นคือ {0}1.2 เซตของเศษสวนที่ไมใชจํ านวนเต็ม ไดแก เซตท่ีมีสมาชิกเปนเศษสวน โดยมีเง่ือนไขวาเศษตองเปน

จํ านวนเต็ม สวนตองเปนจํ านวนเต็มท่ีไมเทากับศูนย และไมสามารถตัดทอนใหเหลือสวนเปน 1 ได ไมสามารถเขียนเปนจํ านวนเต็มได ซ่ึงตัวอยางของสมาชิกในเซตนี้ ไดแก 5

4 ,87 ,5

4,87 ,5

1 ,32 -- เปนตน

1.3 เซตของจํ านวนตรรกยะ ไดแก เซตของจํ านวนท่ีสามารถทํ าเปนเศษสวนได นิยมใช Q แทนสัญลักษณของเซตดังกลาว ดังนั้น Q =

≠∈∈ 0q และI q I,p qp

1.4 เซตของจํ านวนอตรรกยะ ไดแก เซตของจํ านวนท่ีเขียนไดในรูปทศนิยมไมซ้ํ าตัวอยางของจํ านวนอตรรกยะ เชน 2 , 3 , π, 0.1537...

1.5 เซตของจํ านวนจริง คือ เซตท่ีเกิดจากการยูเนยีนกันของเซตของจ ํานวนตรรกยะกบัเซตของจํ านวนอตรรกยะจากลักษณะของเซตของจํ านวนตางๆ สามารถแสดงเปนโครงสรางไดดังนี้

สรุปเซตที่ควรทราบเพิ่มเติม1. เซตของจํ านวนคู

จํ านวนคู คือ จํ านวนเต็มท่ีมี 2 เปนตัวประกอบ หรือกลาวอีกนัยหนึ่งไดวาคือจํ านวนเต็มท่ี 2 หารลงตัวดังนั้นถาให E เปนเซตของจํ านวนคู E = {... , -4, -2, 0, 2, 4, ...} และสามารถเขียนเซต E ในลักษณะเซตแบบบอกเง่ือนไขไดดังนี้ E = {2n | n ∈ I}

2. เซตของจํ านวนคี่จํ านวนคี่ คือ จํ านวนเต็มท่ีไมใชจํ านวนเต็มคู หรือกลาวอีกนัยหนึ่งไดวา จํ านวนคี่คือจํ านวนเต็มท่ีหารดวย 2

แลวเหลือเศษ 1นั่นคือ ถาให O เปนเซตของจํ านวนคี่ O = I - E

= {... , -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...}= {2n - 1 | n ∈ I}

หรือ O = {2n + 1 | n ∈ I}3. เซตของจํ านวนเฉพาะบวก

จํ านวนเฉพาะบวก คือ จํ านวนเต็มบวกที่ไมใช 1 และไมใชจํ านวนเต็มอื่น ซ่ึงจํ านวนใดหารลงตัว นอกจาก 1และตัวของมันเอง จํ านวนเหลานี้ ไดแก 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 เปนตน

4. เซตของจํ านวนเฉพาะจํ านวนเฉพาะ คือ จํ านวนเต็มท่ีไมใช 1 หรือ -1 ซ่ึงไมมีจํ านวนใดหารลงตัวนอกจาก 1, -1 และตัวมันเอง

กับจํ านวนตรงขามเทานั้นท่ีหารลงตัว เชน -3, -2, 2, 3, 5 เปนตน

2. คุณสมบัติพ้ืนฐานของการบวกและการคูณของจํ านวนจริงA1 คุณสมบัติปด (Closure property)

ถา a และ b เปนจํ านวนจริงแลว a + b และ ab เปนจํ านวนจริงA2 คุณสมบัติการสลับท่ี (Commutative property)

ถา a และ b เปนจํ านวนจริงแลว a + b = b + a และ ab = baA3 คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุมได (Associative property)

ถา a, b และ c เปนจํ านวนจริงแลว (a + b) + c = a + (b + c) และ (ab)c = a(bc)A4 คุณสมบัติการมีเอกลักษณของการบวกและการคูณ

- จะมีจํ านวนจริงจํ านวนหนึ่ง คือ 0 ซ่ึง a + 0 = 0 + a = a โดยท่ี a เปนจํ านวนจริงใดๆ เรียก 0 วาเอกลักษณของการบวก

- จะมีจํ านวนจริงจํ านวนหนึ่ง คือ 1 ซ่ึง a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a โดยท่ี a เปนจํ านวนจริงใดๆ เรียก 1 วาเอกลักษณของการคูณ

A5 คุณสมบัติการมีอินเวอรส (Existence of inverse)- ถา a เปนจํ านวนจริงใดๆ จะมีจํ านวนจริง -a ซ่ึงทํ าให a + (-a) = (-a) + a = 0 และเรียก -a วา

เปนอินเวอรสสํ าหรับการบวกของ a - ถา a เปนจํ านวนจริงใดๆ และ a ≠ 0 จะมีจํ านวนจริง a-1 ท่ีทํ าให a ⋅ a-1 = a-1 ⋅ a = 1 และเรียก

a-1 วา เปนอินเวอรสสํ าหรับการคูณของ a

3. อสมการการแกอสมการ มีขั้นตอนวิธีดังนี้1. จัดอสมการใหอยูในรูปของการแยกตัวประกอบใหเปนแตละวงเล็บคูณกัน โดยคาทางดานขวามือเทากับศูนย2. จัดตัวประกอบแตละวงเล็บใหตัวแปรอยูหนา คาคงที่อยูหลัง หรือสรุปงายๆ ใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเปน

จํ านวนบวก3. หาคาตัวแปรจากแตละวงเล็บท่ีทํ าใหเทากับศูนย คาท่ีไดเรียกวา คาวิกฤต4. นํ าคาท่ีหาไดจากขอ 3 มาเขียนลงบนเสนจํ านวนซ่ึงทํ าใหเสนจํ านวนถูกแบงเปนชวงๆ5. ในแตละชวงเขียนเครื่องหมายสลับกันตามลํ าดับ โดยทางดานขวามือสุดเปนจํ านวนบวก ถัดมาเปนลบสลับ

กันไป6. พิจารณาคํ าตอบดังนี้

6.1 ถาอสมการอยูในรูปท่ีมากกวาศูนย เซตคํ าตอบจะตองหมายถึง ชวงที่เปนบวกในแตละชวง โดยการนํ ามายูเนียนกัน

6.2 ถาอสมการอยูในรูปท่ีนอยกวาศูนย เซตคํ าตอบจะตองหมายถึง ชวงที่เปนลบในแตละชวง แลวนํ ามายูเนียนกัน

ขอควรระวังในเรื่องการแกอสมการ1. การคูณหรือหารดวยจํ านวนลบ จะตองเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการใหเปนตรงขามกับเครื่องหมายเดิม2. ในกรณีท่ีตองการทํ าสวนใหหมดไปโดยการเอา ค.ร.น. คูณตลอด จะตองแนใจกอนวาตัวท่ีน ําไปคณูตลอดนั้น

เปนจํ านวนบวกหรือลบ แตในกรณีท่ีไมแนใจก็ใหนํ ามายกกํ าลังสองกอน แลวจึงนํ าไปคูณตลอด และไมตองเปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการตัวอยาง จงหาคํ าตอบจากอสมการ (x - a1)(x - a2)(x - a3) > 0 ; [a1 < a2 < a3]แนวคิด นํ ามาเขียนบนเสนจํ านวนได ดังรูป

- ++-a1 a2 a3

เซตคํ าตอบ คือ {x ∈ R | a1 < x < a2 หรือ x > a3} เมื่อ a1 < a2 < a3

ตัวอยาง จงหาเซตคํ าตอบจากอสมการ (x 5)(x + 3)(x 2)(x + 1)

- - ≥ 0แนวคิด พิจารณาจากอสมการ x + 1 ≠ 0, x ≠ -1 และคา x แตละคาท่ีทํ าใหแตละวงเล็บเทากับ 0 คือ

x = -1, -3, 2, 5 ซ่ึงนํ าไปเขียนบนเสนจํ านวนแลวแบงชวงพรอมท้ังใสเครื่องหมายบวกลบสลับกัน แลวพิจารณาชวงที่เปนบวก

+ + +- --1 -3 2 5

ดังนั้นเซตคํ าตอบ คือ (-∞, -1)U [-3, 2]U [5, ∞)การแกอสมการและสมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ (รากที่สอง) มีขั้นตอนดังนี้1. หาเอกภพสัมพัทธกอน2. ยกกํ าลังสองทั้ง 2 ขาง เพ่ือทํ าใหเครื่องหมายกรณฑหมดไปโดยพิจารณาดังนี้ ถา 0 ≤ a ≤ b แลว a2 ≤ b2

3. ใชการพิจารณาโดยแบงเปนกรณี4. นํ าคํ าตอบที่ไดจากการแกสมการและอสมการไปตรวจสอบในสมการเดิม

ตัวอยาง ผลบวกของจํ านวนเต็มท่ีไมเปนคํ าตอบของอสมการ 2x 3x 22 - - ≥ x 2x 32

- - มีคาเทาใด

แนวคิด 2x 3x 22 - - ≥ x 2x 32

- - และ 2x2 - 3x - 2 ≥ 0 และ x2 - 2x - 3 ≥ 02x2 - 3x - 2 ≥ x2 - 2x - 3 และ (2x + 1)(x - 2) ≥ 0 และ (x - 3)(x + 1) ≥ 0x2 - x + 1 ≥ 0 และ (2x + 1)(x - 2) ≥ 0 และ (x - 3)(x + 1) ≥ 0

x2 - x + 14 + 34 ≥ 0 และ -+ +21

2- และ -+ +

3-1

221 x

- + 34 และ

∞ 21 , -- U [2, ∞) และ (-∞, -1]U [3, ∞)

x ∈ R

-1 12- 0 2 3

��

��

RI (-∞, -1]U [3, ∞)จํ านวนเต็มท่ีไมเปนคํ าตอบ คือ 0, 1, 2ผลบวกของจํ านวนเต็มท่ีไมเปนคํ าตอบของอสมการ คือ 0 + 1 + 2 = 3

4. คาสัมบูรณของจํ านวนจริง4.1 นิยาม เมื่อ x เปนจํ านวนจริงใดๆ คาสัมบูรณของ x เขียนแทนดวย | x | กํ าหนดดังนี้

| x | =

0< xเมื่อ x0 = xเมื่อ 00 > xเมื่อ x

-หรือ | x | =

≤

≥

0 xเมื่อ x0 xเมื่อ x

-

4.2 ขอควรสนใจเพิ่มเติม1. | x | > x ก็ตอเมื่อ x < 02. | x | > -x ก็ตอเมื่อ x > 0

4.3 คุณสมบัติท่ีควรทราบให a เปนจํ านวนจริงบวกใดๆ1. | x | < a หมายถึง -a < x < a2. | x | ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a3. | x | > a หมายถึง x > a หรือ x < -a4. | x | ≥ a หมายถึง x ≥ a หรือ x ≤ -a

4.4 กฎเกณฑท่ีควรทราบ1. สมการ

1. | x | = | y | ก็ตอเมื่อ x = y หรือ x = -y2. | x | = | -x |3. | x2

| = | x |2 = x2

4. | x2 | = | y2

| ก็ตอเมื่อ | x | = | y |5. | xy | = | x || y |

6. xy = | |

| |xy , y ≠ 0

7. | x + y | = | x | + | y | ก็ตอเมื่อ xy ≥ 08. | x - y | = | x | + | y | ก็ตอเมื่อ xy ≤ 09. x2 = | x |

2. อสมการ1. x2 < y2 ก็ตอเมื่อ | x | < | y |2. | x + y | ≤ | x | + | y |3. | x | - | y | ≤ | x - y |4. | y | - | x | ≤ | x - y |5. -| x | ≤ x ≤ | x |

1. ขอความใดตอไปนี้ถูกตอง1) ถา a เปนจํ านวนตรรกยะ และ b เปนจํ านวนอตรรกยะแลว ab เปนจํ านวนอตรรกยะ2) ถา a ≠ 0 เปนจํ านวนตรรกยะ และ b เปนจํ านวนอตรรกยะแลว ab เปนจํ านวนตรรกยะ3) มีจํ านวนอตรรกยะ a, b ซ่ึง a ≠ -b และ a + b เปนจํ านวนตรรกยะ4) ถา a, b เปนจํ านวนตรรกยะบวกแลว ab เปนจํ านวนตรรกยะ

2. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ถา a เปนจํ านวนจริง และ n เปนจํ านวนเต็มบวก แลว aa

nn = 1

2) ถา a และ b เปนจํ านวนจริง ซ่ึง a > b แลว | a - b | = | a | - | b |

3) ถา a และ b เปนจํ านวนจริง ซ่ึง a2 + b2 > (a + b)2 แลว ab < 04) ถา a, b และ c เปนจํ านวนจริง ซ่ึง a bc

3. ให x, y และ z เปนจํ านวนเต็มบวกทีม่คีาเรยีงติดกันจากนอยไปมาก ถา y เปนจ ํานวนเต็มบวกทีม่คีานอยสุดท่ีทํ าใหx + y + z

3 เปนจํ านวนเต็มบวกแลว y มีคาเทาใด1) 7 2) 8 3) 9 4) 10

4. ให a, b และ c เปนจํ านวนจริงบวก คาของ a + b + c + 1a + 1b + 1c มีคาต่ํ าสุดเทากับเทาใด1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

5. ให a1, a2, a3, ... , an เปนจํ านวนจริงบวกโดยที่ a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ a4 ⋅ ... ⋅ an = 44n

คาของ (1 + a1)(1 + a2)(1 + a3) ... (1 + an) มีคาตรงกับขอใด1) [0, 1] 2) (1, 2) 3) [2, ∞) 4) (-∞, ∞)

6. ขอความใดตอไปนี้ไมถูกตอง1) อินเวอรสการบวกของ xy 1

x - คือ 1x - y

2) อินเวอรสการคูณของ -3 - 2 คือ 2 37

-

3) ถา x, y ∈ R และ x * y = 3x + 2y9

แลว 7 * 3 = 34) ถา a, b ∈ R+U {0} และ a ∆ b = ab แลวเอกลักษณของระบบคือ 1

7. อินเวอรสการคูณของ (1 + 3 )2 มีลักษณะอยางไร1) เปนจํ านวนตรรกยะที่มากกวา 0.15 2) เปนจํ า.นวนตรรกยะที่นอยกวา -13) เปนจํ านวนอตรรกยะบวกที่นอยกวา 0.2 4) เปนจํ านวนอตรรกยะที่อยูระหวาง 0.2 และ 0.5

8. จํ านวนเต็มบวกจํ านวนหนึ่งมี 4 ตํ าแหนง หารดวย 72 ลงตัว ตัวเลขหลักรอยและหลักสิบ คือ 5 และ 7 ตามลํ าดับถา a เปนตัวเลขหลักพัน และ b เปนตัวเลขหลักหนวย แลว a + b มีคาเทาใด1) 11 2) 13 3) 15 4) 17

9. ให N เปนจํ านวนเต็มบวกที่มีคานอยสุด ซ่ึง N2 , N3 , N4 , N5 , N6 , N7 และ N8 ตางก็เปนจํ านวนเต็มถา N = am ⋅ bn ⋅ cp ⋅ dq โดยท่ี a, b, c และ d เปนจํ านวนเฉพาะที่เปนบวก แลว m + n + p + q มีคาเทาใด1) 5 2) 6 3) 7 4) 8

10. เซตคํ าตอบของอสมการ x (x + 4)(x 5)x + 7

2 2

- ≥ 0 คือขอใด1) (-∞, -7)U (5, ∞) 2) (-∞, -7)U (5, ∞)U {0}3) (-∞, -7)U [5, ∞) 4) (-∞, -7)U [5, ∞)U {0}

11. ถา a เปนจํ านวนเต็มบวกที่มีคานอยสุดของอสมการ 2x + 103x + 5

≤ 1 และ b เปนคํ าตอบที่เปนจํ านวนเต็มลบที่มี

คามากสุดของอสมการ 3xx + 2 ≤ 2 แลว a + b มีคาเทากับเทาใด

1) 1 2) 2 3) 3 4) 412. คาของ x ท่ีสอดคลองกับอสมการ 3 1 xx 1| |

-- < -x คือขอใด

1) x < 1 2) x > 3 หรือ x < 1 3) -3 < x < 1 4) x < -313. ในการดัดลวดท่ียาว 28 นิ้ว ใหเปนรูปส่ีเหล่ียมผืนผาซ่ึงมีเสนทแยงมุมส้ันกวา 10 นิ้ว ถาให x แทนความยาวของ

ดานท่ีส้ันกวาของรูปส่ีเหล่ียมผืนผาดังกลาว คา x เทากับเทาใด1) 6 < x < 7 2) 6 < x < 8 3) 7 < x < 8 4) 7 < x < 8.5

14. คา x จากสมการ (| x - 1 | - 4)(| x - 2 | - 3) = 0 คือขอใด1) R - {-3, -1, 5} 2) {-3, -1, 5} 3) (-3, -1)U (5, ∞) 4) [-3, -1]U {5}

15. ถา A เปนเซตคํ าตอบของอสมการ (x 4)(x 2)(x + 3)1 x 3

| |- -

- - ≥ 0 แลว A′ คือเซตใด1) (-∞, -3) 2) [-3, ∞) 3) (-∞, 2)U (4, ∞) 4) (-3, ∞)

16. คา x จากสมการ | x2 - 8x + 15 | > x2 - 8x + 15 มีคาตรงกับขอใด1) (-∞, 3)U (5, ∞) 2) (-∞, 3]U [5, ∞) 3) (3, 5) 4) [3, 5]

17. สํ าหรับจํ านวนจริง x, y ใดๆ จะได | x + y | ≤ | x | + | y | จงหาวาจํ านวนเต็มบวก M ท่ีนอยท่ีสุดซ่ึงทํ าให | x3 - 2x2 + 3x - 4 | ≤ M สํ าหรับทุกๆ x ∈ [-3, 2] คือขอใด1) 4 2) 14 3) 42 4) 58

18. คา x ท่ีทํ าให | (x2 + 4x + 9) + (2x - 3) | = | x2 + 4x + 9 | + | 2x - 3 | เปนจริงคือคา x ในขอใด1) x < 32 2) 0 ≤ x ≤ 32 3) x ≥ 32 4) - 32 ≤ x ≤ 32

19. ให x และ y เปนจํ านวนเต็มบวก ซ่ึง 80 < x < 200 และ x = pq เมื่อ p และ q เปนจํ านวนเฉพาะ ซ่ึง p ≠ qถา x และ y เปนจํ านวนเฉพาะสัมพัทธและ ค.ร.น. ของ x, y เทากับ 15015 แลวผลบวกของคา y ท้ังหมดท่ีสอดคลองกับเง่ือนไขท้ังหมดท่ีกํ าหนดใหเทากับเทาใด1) 250 2) 270 3) 275 4) 295

20. ให A และ B เปนจ ํานวนเต็มบวกโดยที ่A หารดวย 7 เหลือเศษ 3 และ B หารดวย 7 เหลือเศษ 5 ดงันัน้ 3A + 2Bหารดวย 7 จะเหลือเศษเทาใด1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

21. ให a, b, c เปนจํ านวนเต็มบวก ถา 7 หาร a เหลือเศษ 2, 7 หาร b เหลือเศษ 3 และ 7 หาร c เหลือเศษ 5 แลว7 หาร a(b + c) เหลือเศษเทาใด

22. ให a, b และ c เปนจ ํานวนเต็ม ถา c เปน ห.ร.ม. ของ 26 และ 118 และ c = a(26) + b(118) และ a + b = -7แลว b + c มีคาเทาใด

23. ให a เปนจํ านวนเต็มบวกที่นอยท่ีสุด ซ่ึงมีสมบัติดังตอไปนี้a หารดวย 7 เหลือเศษ 5a หารดวย 9 เหลือเศษ 7a หารดวย 12 เหลือเศษ 10

จํ านวนเต็มบวก a ดังกลาวมีคาเทาใด24. ให A = {x | | x - 3 | < 5} และ B = {x | x + 7 < | x + 1 |} คาขอบเขตบนนอยสุดของ A - B มีคาเทาใด25. ให x, y แทนจํ านวนจริงใดๆ โดยท่ี x = 7 + 5 2

3 และ y = 7 5 2 3 - คาของ x4 + y4 มีคาเทาใด

เฉลย

1. 3) 2. 3) 3. 3) 4. 4) 5. 3) 6. 4) 7. 3) 8. 4) 9. 2) 10. 4)11. 4) 12. 1) 13. 1) 14. 2) 15. 2) 16. 3) 17. 4) 18. 3) 19. 2) 20. 1)21. 2) 22. 4) 23. 250 24. 2) 25. 34

ตัวอยางขอสอบเขามหาวิทยาลัย

1. ให b, c เปนจํ านวนเต็ม ถารากของสมการ 3x2 + bx + c = 0 เปนจํ านวนเต็มบวก โดยท่ีผลตางของรากเทากับ 1และผลคูณของรากเทากับ 2 แลว | b + c | เทากับเทาใด

2. ให A = {x | | x - 4 | ≤ 2x} และ B = [-10, 10] ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) AUB = (-10, ∞) 2) AIB =

10 ,34 3) A - B = (10, ∞) 4) B - A =

34 4, -

3. ให a เปนจํ านวนเต็มบวก ซ่ึง 3 | a และ 5 | a ถา ห.ร.ม. ของ a และ 7 เทากับ 1 แลว ห.ร.ม. ของ a และ 105เทากับขอใดตอไปนี้1) 5 2) 15 3) 35 4) 105

4. กํ าหนดใหเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํ านวนเต็ม ถา A = {x | | x - 3 | < 2} และ B = {x | (1 + x)(3 - x) ≤ 0}แลว AIB′ คือขอใดตอไปนี้1) {2} 2) {2, 3} 3) {3, 4} 4) {4}

5. ให A เปนเซตคํ าตอบของสมการ || 4x - 1 | + 3| = 10 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) A ⊂ -1, 72 2) A ⊂ [-2, 2] 3) A ⊂ -3, 32 4) A ⊂ [-4, 0]

6. ถา a, b, q1, q2 เปนจํ านวนเต็มบวก ซ่ึง a = bq1 + 231 และ b = 231q2 + 126 แลว ห.ร.ม. ของ a, b เทากับเทาใด

7. กํ าหนดให A =

2=1+2x+x1+ 2xxx 22 - - ถา AI [-5, 5] = [a, b] แลว a + b

เทากับขอใดตอไปนี้1) -6 2) -3 3) 3 4) 6

8. ให A เปนเซตของจํ านวนของอสมการ 1x + 1| |

- 1x 3| | - ≤ 0 ถา B = [-20, 20] แลว B - A เทากับเซตใด

ตอไปนี้1) [-20, 1) 2) (-1, 20] 3) [-20, 1)U {3} 4) (1, 20)U {-1}

เก็งขอสอบ9. กํ าหนดให x, y และ z เปนจํ านวนเต็มคี่ท่ีเรียงตอกันโดยท่ี x < y < z ถาผลบวกของ x, y และ z นอยกวา

57 แลว สํ าหรับคาของ x มากท่ีสุดซ่ึงทํ าใหผลบวกของจํ านวนท้ังสามดังกลาวมีคามากท่ีสุดคือขอใด1) 13 2) 15 3) 17 4) 19

10. กํ าหนดให I เปนเซตของจํ านวนเต็ม และ * เปนโอเปอเรชันท่ีกํ าหนดโดย a * b = a + b + 2 เมื่อ a, b ∈ Iจํ านวนใดเปนอินเวอรสของ 4 ภายใตโอเปอเรชัน *1) -2 2) -4 3) -6 4) -8

11. ถาตองการใหขอความ "ถา a ∈ A แลว จะมี a-1 ∈ A ซ่ึง aa-1 = 1" เปนจริง เซต A ควรจะเปนเซตใดตอไปนี้1) A = เซตของจํ านวนตรรกยะ 2) A = เซตของจํ านวนตรรกยะบวก3) A = เซตของจํ านวนเต็มบวก 4) A = เซตของจํ านวนจริง

12. กํ าหนดให A = {x | x = 2m, m เปนจ ํานวนเต็ม} และการกระท ําบน A คอื การคณูของจํ านวนจรงิ ขอใดตอไปนี้ผิด1) A มีสมบัติปดภายใตการคูณ 2) 1 เปนเอกลักษณใน A3) มีสมาชิกบางตัวของ A ท่ีไมมีอินเวอรสใน A 4) อินเวอรสของ 2 ภายใตการกระทํ าคือ 12

13. กํ าหนดให A แทนเซตของจํ านวนจริงท่ีไมเทากับศูนย และ a, b ∈ A ถานิยาม a * b ดังนี้ a * b = a bab2 2

-

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) A สอดคลองกับคุณสมบัติปดของ * 2) A สอดคลองกับสมบัติสลับท่ีของ *3) a * b ∈ A ก็ตอเมื่อ | a | ≠ | b | 4) A สอดคลองกับคุณสมบัติเปล่ียนกลุมไดของ *

14. เซตคํ าตอบของอสมการ x 1x 2

-- ≤ x + 2x + 1

เปนสับเซตของชวงในขอใด

1) (-1, 1]U [0, 2) 2) [-2, 4)I (-3, 1] 3) (-∞, 0]U [1, ∞) 4) (-∞, 1]I [-2, ∞)15. ขอใดคือคํ าตอบของอสมการ x 2x 6

x 2x 822

- -- - ≤ x x 10

x x 1222

- -- -

1) (-∞, -3)U (-2, 4) 2) (-∞, -3)U [-2, 4] 3) (-3, -2)U (4, ∞) 4) [-3, -2]U (4, ∞)16. กํ าหนด A เปนเซตคํ าตอบของอสมการ x3 - 3x - 2 < 0

B เปนเซตคํ าตอบของอสมการ (x + 2)(x - 3)3 < 0ถา a เปนคาขอบเขตบนนอยสุดของ AIB แลว a3 + 1 มีคาเทาใด1) -7 2) 0 3) 1 4) 9

17. ให R คือ เซตของจํ านวนจริง เซตคํ าตอบของอสมการ xx 1

42

- ≥ x2 + 1 คือขอใดตอไปนี้1) R 2) R - {-1, 1} 3) (-1, 1) 4) (-∞, -1)U (1, ∞)

18. กํ าหนดให a = 12 3 - , b = 1

2 + 3

, 3 = 1.732 คาของ 7a2 + 11ab - 7b2 เทากับเทาใด

(คํ าตอบใหใชทศนิยม 2 ตํ าแหนง)19. กํ าหนดให a, b และ c เปนจํ านวนเต็มบวกใดๆ จงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ถา a | b และ b | c แลว a | c ข. ถา a | b แลว ห.ร.ม. ของ a กับ b คือ aขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

20. ถา [a, b] เปนคํ าตอบของอสมการ x + 7 ≥ | x - 5 | แลว a + b มีคาเทาใด1) 9 2) 11 3) 17 4) 19

21. ให m และ n เปนจํ านวนเต็มบวก ถา 5 หาร m เหลือเศษ 4 และ 5 หาร n เหลือเศษ 2 แลว 5 หาร (m + n)เหลือเศษเทาใด1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

22. ผลบวกกํ าลังสองของจํ านวนเต็มลบ ซ่ึงเปนคํ าตอบของสมการ| (x2 + 2x - 15) + (2x - 3) | = | x2 + 2x - 15 | + | 2x - 3 | มีคาเทาใด1) 15 2) 20 3) 55 4) 225

23. เซตคํ าตอบของอสมการ | || |x 1 2x 2 4

- -- - < 1 คือขอใด

1) (-6, 2) 2) (-6, -2) 3) (-2, 6) 4) (2, 6)24. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

1) ถา a เปนจํ านวนจริง และ n เปนจํ านวนเต็มบวกแลว aann = 1

2) ถา a เปนจํ านวนจริงใดๆ แลว a2 > a3) ถา a และ b เปนจํ านวนจริง ซ่ึง a2 + b2 > (a + b)2 แลว ab < 04) ถา a, b และ c เปนจํ านวนจริง ซ่ึง a bc

25. เซตคํ าตอบของอสมการ x 2x + 3 + x 1x 4

- -- ≥ x 2x + 3

- + x 1x 4

-- เทากับเทาใด

เฉลย

1. 3) 2. 4) 3. 2) 4. 1) 5. 2) 6. 21 7. 1) 8. 1) 9. 2) 10. 4)11. 3) 12. 3) 13. 3) 14. 1) 15. 1) 16. 4) 17. 2) 18. 107.99 19. 1)20. 2) 21. 1) 22. 3) 23. 3) 24. 3) 25. (-∞, -3)U [1, 2]U (4, ∞)

ความสัมพันธ-ฟงกชัน

1. คูอันดับ (Ordered Pair)คือ การจับคูกันระหวางของ 2 ส่ิง คูอันดับแตละคูอันดับประกอบดวยสมาชิก 2 ตัว คือ สมาชิกตัวหนาและ

สมาชิกตัวหลัง โดยท่ัวไปนิยมแทนเปนคูอันดับ (a, b) หรือ (x, y) เมื่อ a และ x เปนสมาชิกตัวหนา สวน b และ yเปนสมาชิกตัวหลัง

การเทากันของคูอันดับ และการไมเทากันของคูอันดับนิยาม (a, b) = (c, d) ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d

(a, b) ≠ (c, d) ก็ตอเมื่อ a ≠ c หรือ b ≠ d

ตัวอยางท่ี 1 กํ าหนด x, y ∈ R ถา (3x - y, 2x + y) = (y + 4, x - 7) แลวคูอันดับ

x2y xy, เทากับคูอันดับใด

ตอบ (10, 5)ตัวอยางท่ี 2 ถา (4x - 1, y) = (3y - 2, x - 2) แลว (x + y, x - y) มีคาตรงกับคูอันดับใด

ตอบ (-16, 2)

2. ผลคูณคารทีเซียน (Cartesian Product)ถา A และ B เปนเซตใดๆ ผลคูณคารทีเซียนของ A และ B เขียนแทนดวย A × B ซ่ึงหมายถึงเซตที่มีสมาชิก

เปนคูอันดับ หรือหมายถึงเซตวาง ถาเซต A หรือเซต B เซตใดเซตหนึ่งเปนเซตวางหรือท้ังสองเซตเปนเซตวางนั่นคือ สามารถนิยามไดดังนี้ A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B}

B × A = {(x, y) | x ∈ B และ y ∈ A}ตัวอยาง ให A = {1, 2, 3} และ B = {4, 6}

จะไดวา A × B = {(1, 4), (1, 6), (2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6)}B × A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}

ขอสังเกต1. ถา A มีสมาชิก m ตัว และ B มสีมาชกิ n ตัว แลว A × B จะมีสมาชกิ mn ตัว ซ่ึงเทากับสมาชกิของ B × A2. ถา A = φ หรือ B = φ จะไดวา A × B = B × A = φ3. A × B ไมจํ าเปนเทากับ B × A4. A × B = B × A ก็ตอเมื่อ A = B หรือ A = φ หรือ B = φ5. ถา A × B = A × C แลว B ไมจํ าเปนจะตองเทากับ C6. ถา A × B = A × C และ A ≠ φ แลว B = C7. A × (BIC) = (A × B)I(A × C)8. A × (BUC) = (A × B)U(A × C)9. A × (B - C) = (A × B) - (A × C)

3. ความสัมพันธ (Relations)ในทางคณิตศาสตร เรานํ าส่ิงของ 2 ส่ิงท่ีเก่ียวของกันมาเขียนเปนคูอันดับโดยบงบอกกฎเกณฑ หรือลักษณะที่

เก่ียวของไว เชน 10 มากกวา 2 จะเขียนเปนคูอันดับ (10, 2) โดยกฎเกณฑท่ีส่ิง 2 ส่ิง เก่ียวของกัน คือ "มากกวา"ก เปนนองชาย ข จะเขียนเปนคูอันดับ (ก, ข) โดยกฎเกณฑท่ีส่ิง 2 ส่ิง เก่ียวของกัน คือ "เปนนองชาย" เราสามารถนิยามความสัมพันธไดดังนี้

นิยาม ให A และ B เปนเซต r เปนความสัมพันธจาก A ไป B ก็ตอเมื่อ r เปนสับเซตของ A × B

ตัวอยาง A = {0, 1, 2, 3, 4}B = {2, 4, 6, 8, 10}r1 = {(x, y) ∈ A × B | y = x2 + 1}r1 = {(1, 2), (3, 10)}r2 = {(x, y) ∈ A × B | y = x - 1}r2 = {(3, 2)}r3 = {(x, y) ∈ A × B | y = x3 }r3 = φ

ขอสังเกต1. φ เปนความสัมพันธจาก A ไป B เพราะ φ เปนสับเซตของ A × B2. สมาชิกของความสัมพันธเปนคูอันดับ ยกเวนความสัมพันธท่ีเปนเซตวางจะไมมีคูอันดับ3. ความสัมพันธในเซต A หมายถึง ความสัมพันธท่ีเปนสับเซตของ A × A4. ถา A มีสมาชิก m ตัว และ B มีสมาชิก n ตัว A × B จะมีสมาชิก mn ตัว ดังนั้นสับเซตของ A × B จะมี

2mn สับเซต แต r เปนสับเซตของ A × B นั่นคือ จะมีความสัมพันธจาก A ไป B ท่ีตางกัน 2mn ความสัมพันธ

4. โดเมนและเรนจของความสัมพันธโดเมนของความสัมพันธ r คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของทุกคูอันดับท่ีอยูใน r และเขียนดวยสัญลักษณ Dr

โดยท่ี Dr = {x | (x, y) ∈ r}เรนจของความสัมพันธ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคูอันดับท่ีอยูใน r และเขียนดวยสัญลักษณ Rr

โดยท่ี Rr = {y | (x, y) ∈ r}การหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ r1. ถาความสัมพันธ r อยูในรูปเซตของคูอันดับ โดยเขียนเปนเซตแบบแจกแจงสมาชิก มีหลักในการพิจารณา

คาโดเมนและเรนจ ดังนี้Dr คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของทุกคูอันดับ ซ่ึงอยูในความสัมพันธ rRr คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคูอันดับ ซ่ึงอยูในความสัมพันธ r

2. ถาความสัมพันธ r อยูในรูปสมการ จะตองจัดสมการใหอยูในรูปของ y = f(x) แลวพิจารณาคา xคา x ใดๆ ท่ีทํ าใหสมการหรือความสัมพันธเปนจริงตามเง่ือนไขท่ีกํ าหนด ก็คือ คาของโดเมนของความสัมพันธ r

ท่ีตองการ และคา x ใดๆ ท่ีทํ าใหสมการหรือความสัมพันธไมเปนจริงก็คือคา x ท่ีตองยกเวน ซ่ึงคา x ท่ีตองยกเวนมีหลักการในการพิจารณา ดังนี้

2.1 คา x ท่ีแทนคาแลวทํ าใหสวนเปนศูนย2.2 คา x ท่ีแทนคาแลวทํ าใหจํ านวนท่ีอยูในเครื่องหมายราก หรือกรณฑท่ีเปนเลขคูเปนคาติดลบ2.3 คา x ท่ีไมสอดคลองกับสมการ หรือขอกํ าหนด

การหาคา Rr จะตองจัดสมการใหอยูในรูปของ x = f(y) แลวพิจารณาคา y แตตองคํ านึงถึงคา y จากสมการเดิมดวย

3. ถาความสัมพันธ r อยูในรูปกราฟ มีหลักในการพิจารณาคาโดเมน คือ Project จุดตางๆ ของกราฟลงบนแกน x ถาจะพิจารณาคาเรนจ ก็ให Project จุดตางๆ ของกราฟลงบนแกน y

การหา Dr และ Rr นอกจากจะมีหลักเกณฑท่ัวไปดังท่ีกลาวแลว ยังมีหลักเกณฑยอยๆ ซ่ึงขึ้นอยูกับตัวโจทยอีกมากมายหลายหลักเกณฑ ซ่ึงนักเรียนควรจะไดหาประสบการณเพ่ิมเติมโดยการทํ าโจทยใหมากขึ้น จะขอยกตัวอยางหลักเกณฑบางหลักเกณฑ เชน

1) ถาเงื่อนไขของสมการความสัมพันธอยูในรูปเศษสวน ใชหลักเกณฑวา สวน ≠ 0

ตัวอยาง r =

4x2=y )y,x( 2 -

จะเห็นวา y จะหาไดเมื่อ x2 - 4 ≠ 0x ≠ ± 2

ดังนั้น Dr = R - {-2, 2}หาคาเรนจพิจารณาดังนี้

x2 - 4 = 2yx2 = 4 + 2yx2 = 4y + 2

y

x2 ≥ 0 เสมอดังนั้น 4y + 2

y ≥ 0

2y + 1y ≥ 0

y ≤ - 12 หรือ y > 0Rr =

∞ 21 , -- U (0, ∞)

2) ถาเงื่อนไขของสมการความสัมพันธอยูในรูป r =

++= d cx b ax y y)(x,

จะไดวา Dr = R -

dd-cRr = R -

dac

= R -

ในสวน xิข์องสัมประสิทธในเศษ xิข์องสัมประสิทธ

ตัวอยาง กํ าหนด r =

= 7 2x 5 3x y y)(x, --

จะไดวา Dr = R -

27

Rr = R -

23

3) ถาเงื่อนไขของสมการความสมัพันธอยูในรปู (จํ านวนจริงใดๆ)2 ใชหลักเกณฑวา (จ ํานวนจรงิใดๆ)2 ≥ 0 เสมอ ตัวอยาง r = {(x, y) | (x - 1)2 = y - 3}

จากสมการจะไดวา x เปนจํ านวนจริงใดๆ ดังนั้น Dr = Rจาก (x - 1)2 = y - 3แต (x - 1)2 ≥ 0ดังนั้น y - 3 ≥ 0

y ≥ 3นั่นคือ Rr = [3, ∞)

4) ถาเงื่อนไขของสมการความสัมพันธอยูในรูปคาสัมบูรณของจํ านวนจริงใดๆ ใชหลักเกณฑวา | จํ านวนจริงใดๆ | ≥ 0 เสมอ

ตัวอยาง r = {(x, y) | y + 5 = | 2x - 1 |}จาก y + 5 = | 2x - 1 |

| 2x - 1 | ≥ 0 จะได Dr = Rดังนั้น y + 5 ≥ 0

y ≥ -5นั่นคือ Rr = [-5, ∞)

Dr = RRr = [-5, ∞)

5) ถาเงือ่นไขของสมการความสมัพันธอยูในรปูรากคูของจ ํานวนจรงิใดๆ ใชหลักเกณฑวา รากคูของจ ํานวนจริงใดๆจะหาคาไดเมื่อจํ านวนจริงตัวนั้นตองมากกวาหรือเทากับศูนยเสมอตัวอยาง r = {(x, y) | y = x 12

- }y จะหาไดเมื่อ x2 - 1 ≥ 0 (x - 1)(x + 1) ≥ 0ดังนั้น x ∈ (-∞, -1]U[1, ∞)นั่นคือ Dr = (-∞, -1]U[1, ∞)พิจารณาคาเรนจ y2 = x2 - 1 , y ≥ 0

x2 = y2 + 1y ∈ R แต y ≥ 0

Rr = [0, ∞)6) ถาเงื่อนไขของสมการความสัมพันธไมสามารถจัด y ในรูป x หรือจัด x ในรูป y ได ใหทํ าเปนกํ าลังสอง

สมบูรณ หรือจัดใหอยูในรูป ax2 + bx + c = 0ตัวอยาง r =

3 2x x1=y )y,x(

2 - -หา Dr โดยใชหลักเกณฑวา สวน ≠ 0

x2 - 2x - 3 ≠ 0 (x - 3)(x + 1) ≠ 0

x ≠ 3, -1ดังนั้น Dr = R - {-1, 3}

การหาคาเรนจจะตองจัด x ในเทอม y ซ่ึงการจัดสามารถจัดโดยวิธีทํ าใหเปนกํ าลังสองสมบูรณจาก y = 1

x 2x 32 - -

x2 - 2x - 3 = 1y x2 - 2x + 1 - 3 = 1y + 1

(x - 1)2 = 1y + 1 + 3

(x - 1)2 = 1 + 4yy

แต (x - 1)2 ≥ 0 เสมอดังนั้น 1 + 4y

y ≥ 0

แลวนํ ามาหาคํ าตอบโดยการเขียนเสนจํ านวน + - +01

4-

ดังนั้น จะได Rr =

∞ 41 , -- U(0, ∞)

5. กราฟของความสัมพันธกราฟมี 3 ชนิด คือ1. กราฟจุด2. กราฟเสน เปนกราฟที่เง่ือนไขของความสัมพันธเปนเครื่องหมาย = และ (x, y) ∈ R × R3. กราฟพ้ืนท่ี เปนกราฟทีเ่ง่ือนไขของความสมัพันธเปนเครือ่งหมาย <, ≤, >, ≥ การวาดกราฟแบบนีม้วีธิกีาร คือ

1) กอนท่ีจะเขียนกราฟของอสมการ จะตองเขียนกราฟของสมการกอน2) ถามีเครื่องหมาย " = " ในอสมการ สวนท่ีเปนกราฟของสมการจะเปนเสนทึบ แตถาไมมเีครือ่งหมาย " = "

ในอสมการ สวนท่ีเปนกราฟของสมการจะเปนเสนประ3) ถาเง่ือนไขของกราฟความสัมพันธเปนเครื่องหมาย > ก็ใหแรเงาเหนือเสนกราฟของสมการ จะไดพ้ืนท่ี

ของกราฟอสมการที่ตองการ4) ถาเง่ือนไขของกราฟความสัมพันธเปนเครื่องหมาย < ก็ใหแรเงาใตเสนกราฟของสมการ จะไดพ้ืนท่ีของ

กราฟของอสมการที่ตองการตัวอยาง จงเขียนกราฟของ y ≥ x2 และ x2 + y2 ≤ 1

0

y = x 2

y

x- 1x + y = 1 2 2

��

1-

1

6. อินเวอรสของความสัมพันธ rคือ ความสัมพันธท่ีเกิดจากการสลับท่ีระหวางสมาชิกตัวหนาและสมาชิกตัวหลังในแตละคูอันดับท่ีเปนสมาชิกของ

ความสัมพันธ rถา r เปนความสัมพันธจาก A ไป B แลวอินเวอรสของ r เขียนแทนดวย r-1 และจะไดวา r-1 จะเปนความ

สัมพันธจาก B ไป A นั่นคือ จะไดวาr = {(x, y) ∈ A × B | x ∈ A และ y ∈ B}

r-1 = {(y, x) ∈ B × A | x ∈ B และ y ∈ A}ขอสังเกต1. Dr-1 = Rr และ Rr-1 = Dr2. กราฟของ r และ r-1 จะสมมาตรกันตามเสนตรง y = x

ฟงกชัน

1. ความหมายของฟงกชันฟงกชัน คือ ความสัมพันธไมมีสมาชิกตัวหนาของสองคูอันดับใดๆ เหมือนกัน แตสมาชิกตัวหลังตางกันหรืออาจ

กลาวไดอีกแบบหนึ่งวา

ความสัมพันธ r จะเปนฟงกชัน ก็ตอเมื่อ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z

ถากํ าหนดให r = {(x, y) ∈ A × B | P(x, y)} เมื่อ P(x, y) คือ เง่ือนไขของความสัมพันธระหวาง x กับ yในการตรวจสอบวาความสัมพันธ r ดังกลาวเปนฟงกชันหรือไม สามารถตรวจสอบได

ให f เปนความสัมพันธ จะเรียก f วา เปนฟงกชัน เมื่อแตละสมาชิกในโดเมนมีความสัมพันธกับสมาชิกในเรนจไดเพียงสมาชิกเดียวเทานั้น

พิจารณาฟงกชันจากแผนภาพf : A → 11- B

abc

12345

A B เปนฟงกชันจาก A ไป B ชนิด 1-1 ซ่ึง Df = A, Rf ⊂ B ซ่ึงฟงกชันท่ีมีลักษณะเชนนี้เราเรียกวา "ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B" เขียนแทนดวยf : A → 11- B

f : A B

abc

123

A BDf = A และ Rf = B ฟงกชนัในลักษณะดงักลาวนีเ้ราเรยีกวา "ฟงกชนัหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B" เขียนแทนดวย f : A 1 1

ทั่วถึง- B

f : A B

abc

123

A B เปนฟงกชันท่ีเกิดจากสมาชกิตัวหนาหลายตวัไปจบัคูกับสมาชกิตัวหลงัเพียง 1 ตัวหรือเรียกอีกอยางหนึ่งวาเปนฟงกชันแบบ many-to-one จาก A ไป B

การตรวจสอบความสัมพันธวาเปนฟงกชันหรือไม1. ถาความสัมพันธท่ีกํ าหนดใหเปนกราฟ วิธีการตรวจสอบ คือ ลากเสนตรงใหขนานกับแกน y ถามีเสนตรง

เสนใดเสนหนึ่ง ตัดกราฟเกิน 1 จุด แสดงวาความสัมพันธนั้นไมเปนฟงกชัน2. ใชวิธีการคาดคะเน เม่ือกํ าหนดความสัมพันธในรูปสมการ โดยการพิจารณาจากตัวแปร y ถาเปนตัวแปร y

อยูในรูปท่ีมีเลขชี้กํ าลังเปนจํ านวนเต็มคูหรืออยูในรูปคาสัมบูรณ ใหพิจารณาไวกอนวาความสัมพันธนั้นไมควรเปนฟงกชัน เชน

y2 = 4x ไมเปนฟงกชัน เพราะวาเมื่อกํ าหนด x = 1 จะไดวา y = 2 หรือ y = -2| y | = x ไมเปนฟงกชัน เพราะวาถากํ าหนด x = 1 จะไดวา y = 1 หรือ y = -1

ซ่ึงจากสมการทั้งสองจะเห็นไดวา คา x เพียงคาเดียวแตทํ าใหเกิดคา y ได 2 คา ความสัมพันธในลักษณะนี้จะไมเปนฟงกชัน

3. ตรวจสอบโดยใชหลักท่ีวา กํ าหนดคูอันดับ 2 คูใดๆ ท่ีตัวหนาซํ้ ากัน แตตัวหลังตางกัน ถาสรุปไดวาตัวหลังเทากันความสัมพันธนี้เปนฟงกชัน ดังนี้ ให (a, b) ∈ r และ (a, c) ∈ r ถา b = c ก็สรุปไดวาเปนฟงกชัน ซ่ึงวิธีนี้ควรมีการฝกใหมากๆ

นิยาม ถา f เปนฟงกชันจาก A ไป B เขียนแทนดวย f : A B หมายถึง ฟงกชัน f ท่ีมีโดเมนเทากับ A และมีเรนจเปนสับเซตของ B

โดยท่ัวๆ ไป เมื่อกลาววา f เปนฟงกชัน จะหมายถึงวา f เปนฟงกชันจากสับเซตของ R ไป R ซ่ึงไมมีเง่ือนไขใดๆเพ่ิมเติมขอสังเกต ฟงกชัน f จะเรียกวา เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ก็ตอเมื่อสมาชิกในเรนจแตละตัวมีความสัมพันธกับโดเมนเพียงตัวเดียวเทานั้น หรือกลาวอีกอยางหนึ่งวา ไมมีสมาชิกในโดเมน 2 สมาชิกหรือมากกวาไปมีความสัมพันธกับสมาชิกในเรนจสมาชิกเดียวกัน ดังนี้

*ฟงกชนัหนึง่ตอหน่ึงจาก A ไป B เขยีนแทนดวย f : 1 1ไป- B หมายถึง ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งท่ีมี Df = A

และ Rf ⊂ B

*ฟงกชันหนึ่งตอหน่ึงจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนดวย f : 1 1ทั่วถึง- B หมายถึง ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งท่ีมี

Df = A และ Rf = Bการตรวจสอบวาฟงกชันเปนฟงกชันแบบหนึ่งตอหนึ่งหรือไม

วิธีการตรวจสอบคลายคลึงกับการตรวจสอบวาเปนฟงกชันหรือไม ซ่ึงมีหลักดังนี้1. ถาสามารถเขียนกราฟของฟงกชันได ตรวจสอบโดยลากเสนใหขนานกับแกน x ถาเสนตรงที่ขนานกับแกน x

ตัดกราฟเกิน 1 จุด แสดงวาฟงกชันนั้นไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง2. ใชวิธีการคาดคะเน จากการพิจารณาตวัแปร x วาอยูในรูปท่ีมีเลขชีกํ้ าลังเปนจ ํานวนเต็มคูหรือไม หรือตัวแปร x

อยูในรูปคาสัมบูรณหรือไม ถาอยูในลักษณะดังกลาว ฟงกชันนั้นไมควรเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง คือ ควรเปนฟงกชันแบบ many-to-one

3. ตรวจสอบโดยใชหลักท่ีวา กํ าหนดคูอันดับ 2 คูใดๆ ท่ีตัวหลังเหมือนกัน แตตัวหนาตางกัน ถาสรุปไดวาตัวหนาก็ตองเหมือนกันแลวฟงกชันดังกลาวควรเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจํ านวนฟงกชันจาก A ไป B

n(A) แทน จํ านวนสมาชิกของเซต An(B) แทน จํ านวนสมาชิกของเซต Bถาตองการหาจํ านวนฟงกชันท่ีตางๆ กัน เราสรุปไดดังนี้1. จํ านวนฟงกชันจาก A ไป B เทากับ n(B)n(A)

2. จํ านวนฟงกชันจาก B ไป A เทากับ n(A)n(B)

3. จํ านวนฟงกชันจาก A ไป A เทากับ n(A)n(A)

2. ฟงกชันชนิดตางๆ1. ฟงกชันคงตัว (Constant function)

ฟงกชันคงตัว คือ ฟงกชันท่ีอยูในรูป

f(x) = c เมื่อ c เปนจํ านวนจริง

กราฟของฟงกชันคงตัว จะเปนเสนตรงที่ขนานกับแกน x และกราฟจะทับกับแกน x เมื่อ c = 02. ฟงกชันเชิงเสน (Linear function)

ฟงกชันเชิงเสน คือ ฟงกชันท่ีอยูในรูป

f(x) = ax + b เมื่อ a และ b เปนจํ านวนจริง

กราฟของฟงกชันเชิงเสน จะเปนเสนตรงที่ไมขนานกับแกน y มีความชัน = a และระยะตัดแกน y = b3. ฟงกชันกํ าลังสอง (Quadratic function)

ฟงกชันกํ าลังสอง คือ ฟงกชันท่ีอยูในรูป

f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํ านวนจริงใดๆ และ a ≠ 0

กราฟของฟงกชันกํ าลังสองเปนรูปพาราโบลา จะมีลักษณะหงายขึ้น ถา a > 0 จะมีลักษณะควํ่ าลงถา a < 0และจุดยอดของพาราโบลาจะอยูท่ี x = - b2a , y = 4ac b4a

2-

ดังนั้น จุดยอด คือ

4a

b 4ac ,2ab 2--

4. ฟงกชันพหุนาม (Polynomial function)ฟงกชันพหุนาม คือ ฟงกชันท่ีอยูในรูป

f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0เมื่อ a0, a1, a2, ... , an เปนคาคงตัว และ n เปนจํ านวนเต็มท่ีมีคามากกวาหรือเทากับศูนย

กราฟของฟงกชันเชิงเสน จะเปนเสนตรงที่ไมขนานกับแกน y มีความชัน = a และระยะตัดแกน y = b

5. ฟงกชันตรรกยะ (Rational function)ฟงกชันตรรกยะ คือ ฟงกชันท่ีอยูในรูปของ

f(x) = g(x)h(x) โดยท่ี g และ h เปนฟงกชันพหุนาม และ h(x) ≠ 0

6. ฟงกชันคาสัมบูรณ (Absolute value function)ฟงกชันคาสัมบูรณ คือ ฟงกชันท่ีมีเครื่องหมายคาสัมบูรณปรากฏอยู

7. ฟงกชันขั้นบันได (Step function)ฟงกชันขั้นบันได คือ ฟงกชันท่ีมีคาคงตัวเปนชวงๆ ลักษณะกราฟของฟงกชันนี้เหมือนกับขั้นบันได

8. ฟงกชันท่ีเปนคาบ (Period function)ฟงกชัน f จะเปนฟงกชันท่ีเปนคาบ ถามีจํ านวนจริงบวก k ซ่ึงทํ าให

f(x + k) = f(x) สํ าหรับทุกๆ x ท่ีอยูในโดเมนของ f

ถา k เปนจํ านวนจริงบวกที่นอยท่ีสุดท่ีทํ าใหขอความขางตนเปนจริง เราเรียก k วา คาบของฟงกชัน f9. ฟงกชันคู และฟงกชันค่ี (Even function and Odd function)

เราจะเรียก f วาเปนฟงกชันคู ก็ตอเมื่อ f(-x) = f(x)เราจะเรียก f วาเปนฟงกชันคี่ ก็ตอเมื่อ f(-x) = -f(x)

ฟงกชันเพิ่มและฟงกชันลดถา x มีคามากขึ้น และคา y หรือ f(x) ก็มีคามากขึ้นดวย เราจะเรียกฟงกชันในลักษณะนี้วา เปนฟงกชันเพิ่มถา x มีคามากขึ้น แตคา y หรือ f(x) มีคาลดลง เราจะเรียกฟงกชันในลักษณะนี้วา เปนฟงกชันลด

3. ฟงกชันคอมโพสิท (Composit function)ให f และ g เปนฟงกชันโดยท่ี RfIDg ≠ φ ฟงกชันคอมโพสิทของ f และ g ซ่ึงเขียนแทนดวยสัญลักษณ gof

คือ ฟงกชันท่ีมีเง่ือนไข ดังนี้สํ าหรับทุกๆ คาของ x ซ่ึงอยูในโดเมนของ f และ f(x) อยูในโดเมนของ g

(gof)(x) = g(f(x))ขอควรทราบ1. จะมี gof ไดก็ตอเมื่อ RfIDg ≠ φ2. gof ไมจํ าเปนจะตองเทากับ fog3. Dgof = Df เมื่อ Rf ⊂ Dg4. gof เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง เมื่อ f และ g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

5. ถา f : A 1 1ทั่วถึง- B และ g : B 1 1

ทั่วถึง- C จะไดวา gof : A 1 1

ทั่วถึง- C

4. อินเวอรสความสัมพันธและอินเวอรสฟงกชันถา r เปนความสัมพันธจาก A ไป B แลว อินเวอรสของ r เขียนแทนดวย r-1 จะเปนความสัมพันธจาก B ไป A

นั่นคือถา r = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B}

r-1 = {(y, x) ∈ B × A | (x, y) ∈ r}ขอสังเกต1. ถา r ⊂ A × B แลว r-1 ⊂ B × A2. Dr = Rr-1 และ Rr = Dr-1

ขอควรสนใจ1. ถา f เปนฟงกชันแลว f

-1 จะเปนฟงกชันก็ตอเมื่อ f เปนฟงกชันแบบ 1-12. ถา f เปนฟงกชันแบบ 1-1 แลว f

-1 จะเปนฟงกชันแบบ 1-1 ดวย3. ถาอินเวอรสของ f เปนฟงกชัน จะเรียก f

-1 วา อินเวอรสฟงกชัน4. ถา y = f(x) และ f เปนฟงกชัน 1-1 แลว x = f

-1(y)5. fof

-1 ไมจํ าเปนจะตองเทากับ f -1of แต (fof

-1)(x) = x และ (f -1of)(x) = x

5. พีชคณิตของฟงกชันให f และ g เปนฟงกชันในเซตของจํ านวนจริง จะได1. f + g = {(x, y) ∈ R × R | y = f(x) + g(x)} โดยท่ี Df+g = DfIDg

2. f - g = {(x, y) ∈ R × R | y = f(x) - g(x)} โดยท่ี Df-g = DfIDg

3. f ⋅ g = {(x, y) ∈ R × R | y = f(x) ⋅ g(x)} โดยท่ี Df.g = DfIDg

4. fg =

×∈ g(x)

f(x)=yR R y)(x, โดยท่ี Df / g = DfIDg ยกเวนคา x ท่ีทํ าให g(x) = 0

ตัวอยางเสริม1. กํ าหนด A = {1, 3, 4}, B = {1, 2, 5} ความสัมพันธในขอใดมีสมาชิกมากสุด

1) {(x, y) ∈ A × B | y ≠ x} 2) {(x, y) ∈ A × B | y = x}3) {(x, y) ∈ A × B | y > x} 4) {(x, y) ∈ A × B | y = x }

2. ให r = {(x, y) ∈ R × R | x 1 - + y + 1 = 2} โดเมนและเรนจของความสัมพันธ r ตรงกับขอใด1) Dr = [0, 5], Rr = [0, 3] 2) Dr = [1, 5], Rr = [0, 3]3) Dr = [1, 5], Rr = [-1, 3] 4) Dr = [0, 5], Rr = [-1, 3]

3. กราฟของความสัมพันธ r = {(x, y) ∈ R × R | x ≥ 1 และ x + y ≥ 2} ตรงกับรูปในขอใด

1)

y

x2

12

��

1

2)

y

x2

��

1

21

3)

y

x21

21��

��

4)

y

x-2

21

-1��

4. กํ าหนดให r1 = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 1}

r2 =

×∈ 11 + x

1= yR Ry) (x, 2 -

A = Dr1 และ B = Rr2 ดังนั้น A - B คือขอใด1) [0, 1]U {1} 2) (0, 1]U {-1} 3) (0, 1] 4) {-1}

เฉลย

1. 1) 2. 3) 3. 1) 4. 3)


1. ให A = {0, 1, 2, (1, 2), (3, 2)} และ B = (A × A) - A จํ านวนสมาชิกของ B เทากับเทาใด1) 24 2) 25 3) 26 4) 27

2. ให R แทนเซตของจํ านวนจริง และ f = {(x, y) ∈ R × R | y = | x | - x} เรนจของ f คือขอใดตอไปนี้1) (-∞, ∞) 2) (-∞, 0] 3) [0, ∞) 4) {0}

3. กํ าหนดจุด A(-2, 0) และ B(4, -2) และ r = {(x, y) | (x, y) คือจุด C ท่ีทํ าให AC ต้ังฉากกับ BC}พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. โดเมนของ r = [1 - 10 , 1 + 10 ]ข. โดเมนของ r = เรนจของ r


4. ให I+ เปนเซตของจํ านวนเต็ม กํ าหนดให f : I+ → I+ โดย f(n) =

nn2 ถา n เปนจํานวนเต็มคู

ถา n เปนจํานวนเต็มค่ีพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ข. f เปนฟงกชันท่ัวถึงขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

5. กํ าหนดให f(x) = 5x + 1x 2

- ถา a เปนจํ านวนจริง ซ่ึง a ≠ 4 แลว f -1(a + 1) คือขอใดตอไปนี้

1) 2a + 1a 4

- 2) 2a 1a 4

-- 3) 2a + 3a 4

- 4) 2a 3a 4

--

6. ใหความสัมพันธ r =

+×∈ x

1 x=yR Ry)(x, เมื่อ R เปนเซตของจํ านวนจริง เรนจของ r คือขอใดตอไปนี้1) R - {1} 2) R - {-1, 1} 3) (-∞, -1]U (1, ∞) 4) (-∞, -1]U [0, ∞)

7. กํ าหนดกราฟของความสัมพันธ r บนแกน x, y ดังภาพy

x

กราฟของ r-1 คือขอใดตอไปนี้

1)y

x2)

y

x

3)y

x4)

y

x

8. กํ าหนดให R เปนเซตของจํ านวนจริง ขอใดตอไปนี้คือ โดเมนของ f -1 เมื่อ f(x) = 1 + 1x

1) {x ∈ R | x ≠ 1} 2) {x ∈ R | x ≠ -1} 3) {x ∈ R | x ≠ 0} 4) {x ∈ R | x ≠ 0, 1}9. ให x เปนจํ านวนจริงใดๆ f, g และ h เปนฟงกชัน โดยท่ี f(x) = 2x - 1, h(x) = 2x2 - 2x + 1 และ

(fog)(x) = h(x) แลว g(3) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 1 2) 3 3) 5 4) 7

10. ให x เปนจํ านวนจริงใดๆ และ f เปนฟงกชัน ซ่ึง f(x) =

≤≤

2 > x, 8 5x x2 x0 , x

0 < x, 4 3x

2

2

--

-

ถา x เปนจํ านวนจริงท่ีทํ าให f(x) = 6 แลว x42 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 10.25 2) 11.25 3) 12.25 4) 14.2511. กํ าหนดให f(x) = 2x แลว f(x + 3)

f(x 1)

- มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) f(2) 2) f(3) 3) f(4) 4) f(5)

12. กํ าหนดให r = {(x, y) ∈ B × B | | x - y | หารดวย 3 ลงตัว}โดยท่ี B = {2, 3, 4, 5, 6} จํ านวนสมาชิกของเซต r เทากับขอใดตอไปนี้1) 2 ตัว 2) 4 ตัว 3) 5 ตัว 4) 9 ตัว

13. วงกลมรัศมี r หนวย และมีพ้ืนท่ี A ตารางหนวย กราฟของความสัมพันธระหวาง r และ A คือขอใดตอไปนี้A

r

1) A

r

2)

A

r

3) A

r

4)

14. ถา f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)} และ f -1og = {(1, 3), (3, 1), (4, 4)} แลว g คือ ฟงกชันในขอใดตอไปนี้

1) {(a, 3), (c, 1), (d, 4)} 2) {(1, c), (3, a), (4, d)}3) {(1, 1), (3, 3), (4, 4)} 4) {(a, c), (c, a), (d, d)}

15. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. f(x) = x2 เมื่อ x < -2 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

ข. g(x) =

≤≤

<

+

+

0 x 2 เมื่อ 2 x 2 xเมื่อ 2) (x

--- เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง


16. กํ าหนดให R แทนเซตของจํ านวนจริง และ R+ แทนเซตของจํ านวนจริงบวก ให r = {(x, y) | yx2 = 1} ขอใดตอไปนี้คือเรนจของ r1) R- 2) R-U{0} 3) R - {0} 4) R+

17. กราฟท่ีกํ าหนดใหเปนกราฟของความสัมพันธในขอใดตอไปนี้

(0, 1)

(1, 0)x

y

( 1, 0)-(0, 1)-

1) {(x, y) ∈ R × R | | x + y | = 1} 2) {(x, y) ∈ R × R | | x | + | y | = 1}3) {(x, y) ∈ R × R | | x - y | = 1} 4) {(x, y) ∈ R × R | | x | - | y | = 1}

18. กํ าหนดให r = {(x, y) ∈ R × R | y = 9 x2- } พิจารณาขอความตอไปนี้ก. Df = {x | -3 ≤ x ≤ 3} ข. Rf = {x | 0 ≤ x}


19. ให A = {0, 1, 2} จงพิจารณาขอความตอไปนี้ก. {(x, y) ∈ A × A | y = x2 - 2x + 1} เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งข. {(x, y) ∈ A × A | x - 2y + 3 = 0} เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง


20. ถา f(x) = 2x - 5 และ (fog)(x) = -4x + 13 แลว g(1.3) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 6.0 2) 6.2 3) 6.4 4) 6.8

21. ให f(x) = 3x - 1 และ g(x) = (x - 1)3 คาของ 2f -1(2) + 3g-1(1) คือขอใดตอไปนี้

1) 7 2) 8 3) 10 4) หาคาไมได

22. เรนจของความสัมพันธ

×∈ 5 x

2 + x=yR R y)(x, - คือขอใดตอไปนี้1) {y ∈ R | y ≠ 5} 2) {y ∈ R | y ≠ -2}3) {y ∈ R | y ≠ 1} 4) {y ∈ R | y ≠ -5}

23. ฟงกชัน f กํ าหนดโดย f(x) =

≥

0< xเมื่อ x 0x มื่อเ x

--

1)

0

y

x

2) y

0 x

3)

0

y

x

4) y

0 x

24. กํ าหนด f(x) = x 1 - , g(x) = x2 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) (gof)(x) = x - 1 2) (gof)(x) = x 12

-3) (fog)(x) = x - 1 4) (fog)(x) = x2 - 1

25. ถา f(x) = x3 + 1 แลว [(f-1of )of -1](9) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 2 2) 3 3) 9 4) 1026. กํ าหนดให P = {-1, 1, 2, 3, 4}

Q = {-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6}และความสัมพันธ r = {(x, y) ∈ P × Q | 2x - y = 0} ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) Dr - Rr = {-1, 1, 3, 4} 2) Rr - Dr = {-2, 6}3) Q - Rr = {-6, 0} 4) P - Dr = {4}

27. กํ าหนดให A = {x | x2 - 2x - 3 = 0}B = {x | x(x - 1)(x - 2) = 0)}

ขอใดตอไปนี้เปนฟงกชันจาก A ไป B1) {(3, 0), (-1, 1)} 2) {(3, 2), (1, -1)}3) {(-3, 1), (1, 2), (1, 0)} 4) {(-3, 1), (1, 2), (-3, 0)}

28. ถา f : R → R เปนฟงกชัน ซ่ึง f(0) = 2, f(1) = 3 และ f(x + 2) = 2f(x) - f(x + 1) ทุกๆ x ∈ R แลว f(3)เทากับขอใดตอไปนี้1) -3 2) 5 3) 7 4) 13

29. ถา f(x) = | x + 2 |, g(x) = x + 4x + 4x + 2

2

| | , h(x) =

≥

2< xเมื่อ 2 x2 xเมื่อ 2 + x

- ---

แลวขอใดถูกตอง

1) f = g และ f = h 2) f ≠ g และ f = h3) f = g และ f ≠ h 4) f ≠ g และ f ≠ h

30. ฟงกชัน f ในขอใดตอไปนี้มีคุณสมบัติวา f(x) = f(-x)1) f(x) = x2 - 2x + 4 2) f(x) = | x - 4 |3) f(x) = x2 - 1 4) f(x) = x3 + 2

เฉลย

1. 1) 2. 3) 3. 3) 4. 2) 5. 3) 6. 1) 7. 3) 8. 1) 9. 4) 10. 3)11. 3) 12. 4) 13. 4) 14. 2) 15. 2) 16. 4) 17. 2) 18. 2) 19. 3) 20. 3)21. 2) 22. 3) 23. 4) 24. 1) 25. 1) 26. 4) 27. 1) 28. 2) 29. 2) 30. 3)


1. กํ าหนดให A = {p, q, r} และ B = {a, b, c, d} ฟงกชันจาก A ไป B ชนิดหนึง่ตอหนึง่มท้ัีงหมดเปนจ ํานวนเทาใด2. กํ าหนดให A = [-4, 4] และ B = [0, 4] พิจารณาความสัมพันธ

r1 = {(x, y) ∈ A × A | x2 + y2 = 16} และ r2 = {(x, y) ∈ B × B | x2 + y2 = 16}ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ท้ัง r1 และ r2 เปนฟงกชัน 2) r1 เปนฟงกชัน แต r2 ไมเปนฟงกชัน3) r1 ไมเปนฟงกชัน แต r2 เปนฟงกชัน 4) ท้ัง r1 และ r2 ไมเปนฟงกชัน

3. กํ าหนดความสัมพันธ r1 = {(x, y) ∈ R × R | y ≥ x2} และ r2 = {(x, y) ∈ R × R | y ≤ x + 2} และD = โดเมนของ r1I r2 R = เรนจของ r1I r2 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) D = [-1, 2], R = [0, 4] 2) D = [-2, 2], R = [0, 4]3) D = [-1, 2], R = [0, 2] 4) D = [-2, 2], R = [0, 2]

4. กํ าหนดให f(x) = 2x + 3 และ g(x) = 2x ถา h เปนฟงกชันอินเวอรสของ f แลว ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) (goh)(x) = x + 3, (hog)(x) = x - 32 2) (goh)(x) = x - 32 , (hog)(x) = x - 33) (goh)(x) = x - 3, (hog)(x) = x + 32 4) (goh)(x) = x - 3, (hog)(x) = x - 32

5. ถา g =

3) (2, 3), (1, ,21 3, -- และ (fog)(x) = 1 x

x

22

- , x ≠ 0 แลว f(-3) เทากับขอใดตอไปนี้

1) - 89 2) - 34 3) 0 4) 36. ให A = {x ∈ R | x ≥ 0} กํ าหนดความสัมพันธ r1 และ r2 ดังนี้

r1 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ A และ 2x + 4y ≤ 15}และ r2 = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ A และ x + 3y ≤ 12}ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) r1 ⊂ r2 2) r2 ⊂ r1 3) r1 = r2 4) r1I r2 = φ

7. กํ าหนดความสัมพันธ r =

×∈ 2x91=yR Ry)(x,

-และ I แทนเซตของจํ านวนเต็ม ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) Dr = [-3, 3] 2) Rr =

∞ ,31

3) Dr-1I I มีสมาชิก 7 ตัว 4) Rr-1I I มีสมาชิก 5 ตัว8. กํ าหนดให f(x) = 3x - 4 และ (fog)(x) = x + 1 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

1) g-1(x) = x 53 - 2) g-1(x) = x + 53

3) g-1(x) = 3x + 5 4) g-1(x) = 3x - 59. กํ าหนดฟงกชัน f และ g ดังนี้

f(x) = x3 - 1

g(x) =

≤

0> xเมื่อ 3x 0 xเมื่อ 1 +2x

-

ถา (f -1og)(1) = a และ (gof

-1)(-1) = b แลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) a = 1, b = 1 2) a = 1, b = -13) a = -1, b = 1 4) a = -1, b = -1

10. กํ าหนดให f = {(-1, 1), (0, 3), (3, 6), (4, 5)} และ gof = {(-1, 3), (0, 7), (3, 13), (4, 11)} แลว g เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้1) {(x, y) | y = x + 2} 2) {(x, y) | y = 2x + 1}3) {(x, y) | y = 4x - 1} 4) {(x, y) | y = 5x - 2}

11. กํ าหนดใหความสัมพันธ r =

×∈ 22 x 9

4x=yR Ry)(x, -

-

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. โดเมนของ r คือ (-∞, -3)U (3, ∞)ข. เรนจของ r คือ (-∞, -1)U

∞ ,94 -

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

12. กํ าหนดให f(x) = 1x และ g(x) = x 1x - ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) (fog)(2) = -2 2) (f

-1og-1)(2) = -13) (f + g)(2) = -1 4) (f

-1 + g-1)(2) = -213. ถา f และ g เปนฟงกชัน ซ่ึง f

-1(x) = x + 43 และ (fog)(x) = 3x2 + 2 แลว f(x) + g(x) เทากับขอใดตอไปนี้1) x2 + 3x - 2 2) x2 - 3x + 2 3) x2 + 3x 4) x2 - 3x

14. กํ าหนดให f(x) =

≥

1< xเมื่อ 1)(x1 xเมื่อ 1 x

2

3

--

-

และ g(x) = x 1 3 - คาของ (g-1of

-1)(1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) -1 2) 0 3) 1 4) 3

15. กํ าหนดความสัมพันธ r = {(x, y) ∈ R × R | y = x| x |} อินเวอรสของความสัมพันธ r คือขอใด

1) r-1 =

≥×∈

0< x, x0 x, x

=yR Ry)(x,

-

2) r-1 =

≥×∈

0< x, x0 x, x

=yR Ry)(x,

--

3) r-1 =

≥×∈

0< x, x0 x, x

=yR Ry)(x,

--

4) r-1 =

≥×∈

0< x, x0 x, x

=yR Ry)(x,

---

16. กํ าหนด f และ g เปนฟงกชัน โดยท่ี f ⊂ R × R, g ⊂ R × R ซ่ึง (gof)(x) = -g(x) - 2x , f(x) และ g(x) = x2

ถา | 2x + 1 | ≤ 9 แลว f(x) มีคาอยูในชวงใด1) [-5, 4] 2) [-5, 5] 3) [-4, 5] 4) [4, 5]

17. ให f เปนฟงกชัน และ f ⊂ N × N กํ าหนดโดยก f(2) = 4 ข. f(3) = 6ค. f(m ⋅ n) = f(m) ⋅ f(n) ง. ถา m < n แลว f(m) < f(n)

ดังนั้น ถา 4 หาร f(5) ลงตัวแลว f(5) มีคาเทาใด1) 16 2) 20 3) 24 4) 28


≥

2000< x, 23)+f(xf2000 x, 17 x

)( -

คาของ f(2532) - f(1989) มีคาเปนเทาใด

1) 350 2) 351 3) 530 4) 53119. ให R เปนเซตของจํ านวนจริง f : R → R และ g : R → R กํ าหนดโดย f(x) = a2x+1 และ g(x) = bx + 5

ถา (fog-1)(-2) = 27 และ (f ⋅ g)(0) = 15 แลว 3f(-1) - 4g(2) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) -35 2) -33 3) 37 4) 39

20. กํ าหนด f(x) = x + 32 เมื่อ x ∈ R, g(x) = | x | เมื่อ x ∈ R ถา x = 3 คาของ (f g)(x) (f g)(2)x 2

1o 1o

| |- --

- เทากับขอใด1) 12 2) 1 3) 2 4) 6

21. ให N แทนเซตของจํ านวนเต็มบวก และ f : N × N → N ซ่ึงกํ าหนดโดย f(1, n) = n + 1 และf(m + 1, n) = f(m, n) × n คาของ f(3, 2) มีคาเทากับเทาใด

22. กํ าหนด f(x) = axn + b, f(2) = 17, f(4) = 77 และ f(8) = 377 คาของ a3 + b3 มีคาเทากับเทาใด

23. กํ าหนดนิยาม fa(n) = n(n - 1)(n - 2) ... (n - a) เมือ่ a, n เปนจ ํานวนเต็มบวกและ a < n ดังนั้น f1

(34)f(35)f

23

เทากับเทาใด24. กํ าหนด f(x) = x2 + 4x และ A = {x ∈ R | f(f(x)) = f(x)} ดังนั้นจํ านวนสมาชิกของ P(A) เทากับเทาใด25. กํ าหนด f(x) = a sin x + bx cos x + x2 และ f(3) = 5 ดังนั้น f(-3) เทากับเทาใด

เฉลย

1. 24 2. 3) 3. 1) 4. 4) 5. 2) 6. 1) 7. 4) 8. 4) 9. 3) 10. 2)11. 4) 12. 2) 13. 1) 14. 4) 15. 2) 16. 3) 17. 2) 18. 4) 19. 3) 20. 3)21. 12 22. 35 23. 1190 24. 16 25. 13

พ้ืนฐานเรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย

1. โพรเจกชัน (Projection)1.1 โพรเจกชันของจุดบนเสนตรง

โพรเจกชันของจุด P บนเสนตรง l คือ จุด P′ ซ่ึงเกิดจากเสนตรงจากจุด P มาต้ังฉากกับเสนตรง l

P

P

′ l

1.2 โพรเจกชันของจุดบนแกน x และแกน y

0

y

x

P(x, y)

โพรเจกชันของจุด P(x, y) ใดๆ บนแกน x คือ จุด P′(x, 0)โพรเจกชันของจุด P(x, y) ใดๆ บนแกน y คือ จุด P′(0, y)เชน โพรเจกชันของจุด (3, 7) บนแกน x คือ จุด (3, 0)โพรเจกชันของจุด (4, 5) บนแกน y คือ จุด (0, 5)

1.3 โพรเจกชันของสวนของเสนตรง AB บนเสนตรง lถา AB เปนสวนของเสนตรง และ l เปนเสนตรงที่กํ าหนดให โพรเจกชันของสวนของเสนตรง AB บนเสนตรง l คือ สวนของเสนตรง A′B′ โดยท่ี A′ และ B′ เปนโพรเจกชนัของจดุ A และ B บนเสนตรง lตามลํ าดับ

A B

AB

′ ′l A B

A B

′ ′l

1.4 โพรเจกชันของจุด P(x, y) บนเสนตรง y = xให P′ เปนโพรเจกชันของจุด P(x1, y1) บนเสนตรง y = x คือ จุด P′

2 x+ y ,2

y+ x 1111

y = x

x

y

++

2 x y ,2

y x 1111

) y,P(x 11

P′

1.5 โพรเจกชันของจุด P(x, y) บนเสนตรง y = -xให P′ เปนโพรเจกชันของจุด P(x1, y1) บนเสนตรง y = -x คือ จุด P′

2 x+ y ,2

y+ x 1111

y = x-

x

y

0

) y,P(x 11

P2 x y ,2

y x 1111 ′

--

1.6 โพรเจกชันของจุด P(x, y) บนเสนตรงใดๆวิธีทํ า1. หาสมการเสนตรงที่ผานจุด P(x, y) และต้ังฉากกับเสนตรงที่โจทยกํ าหนด2. แกสมการเสนตรงที่โจทยกํ าหนดและเสนตรงในขอ 1 เพ่ือหาจุดตัดของเสนตรงทั้งสองเสน3. โพรเจกชันของ P(x, y) บนเสนตรงที่กํ าหนด คือ จุดตัดในขอ 2

2. การหาระยะหางระหวางจุด 2 จุดถา P และ Q เปนจุด 2 จุดใดๆ ระยะหางระหวางจุด P และ Q เขียนแทนดวย | PQ |

2.1 ถา P และ Q เปนจุดท่ีอยูในแนวที่ขนานกับแกน xP = (x1, y), Q = (x2, y) แลว

| PQ | = | x1 - x2 | = | x2 - x1 |

2.2 ถา P และ Q เปนจุดท่ีอยูในแนวที่ขนานกับแกน yP = (x, y1), Q = (x, y2) แลว

| PQ | = | y1 - y2 | = | y2 - y1 |

2.3 ถา P(x1, y1) และ Q(x2, y2) เปนจุดใดๆ 2 จุด บนระนาบ

| PQ | = (x x ) + (y y )1 22

1 22

- -

3. จุดก่ึงกลางระหวางจุด 2 จุดให A(x1, y1) และ B(x2, y2) เปนจุดปลายของสวนของเสนตรง

จุดก่ึงกลางของสวนของเสนตรง AB คือ

++

2 y y ,2

x x 2121

4. จุดแบงของสวนของเสนตรงออกเปนอัตราสวน m : nจุดแบงภายใน

A(x , y )

B(x , y )P

1 1

2 2

mn

ให A(x1, y1) และ B(x2, y2) เปนจุดปลายของสวนของเสนตรง AB ท่ีมี P เปนจุดแบงภายใน

ท่ีทํ าให | AP | : | PB | = m : n แลว จุด P คือ

++

++

n mny my ,n m

nx mx 1212

5. การหาพ้ืนท่ีของรูปหลายเหลี่ยมวิธีทํ า1. นํ าจุดยอดของรูปเหลี่ยมมาเขียนเรียงในแนวตั้งในทิศทวนเข็มนาฬิกา2. ปดทายดวยจุดยอดแรก3. พ้ืนท่ีของรูปเหลี่ยมจะเทากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของผลคูณทแยงลง ลบดวยผลบวกของผลคูณทแยงขึ้น

B(x , y )2 2

x

y

A(x , y )1 1

B(x , y )3 3

พ้ืนท่ีของสามเหลี่ยม ABC = 12

xxxx

1

2

3

1

yyyy

1

2

3

1

= 12 | (x1y2 + x2y3 + x3y1) - (x2y1 + x3y2 + x1y3) |

6. ขอควรรูเก่ียวกับสามเหลี่ยมเมื่อทราบจุดยอด

��Q

P

R

y

x

) y,A(x 11

) y,C(x 33) y,C(x 33

++++

3 y y y , 3

x x xM 321321

6.1 จุดท่ีเสนมัธยฐานตัดกันคือ M

3

y+ y+ y ,3 x+ x+ x 321321

6.2 พ้ืนท่ี ∆ PQR = 14 ของพ้ืนท่ี ∆ ABC

7. ความชันของเสนตรงให l เปนเสนตรงที่ผานจุด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) โดยท่ี x1 ≠ x2 ความชันของเสนตรง l คือ mโดยท่ี m = y y

x x1 21 2

-- หรือ y y

x x2 12 1

-- , x1 ≠ x2

ถา l 1 มีความชันเทากับ m1 และ l 2 มีความชันเทากับ m2 โดยท่ี m1 และ m2 ไมเทากับ 0 แลวจะไดวา1. ถา l 1 ขนานกับ l 2 แลว m1 = m22. ถา l 1 ต้ังฉากกับ l 2 แลว m1 × m2 = -1

8. สมการเสนตรงในรูปแบบตางๆ8.1 จุด-ความชัน

ใหเสนตรงผานจุด (x1, y1) และมีความชัน = mสมการเสนตรง คือ y - y1 = m(x - x1)

8.2 จุด-จุดใหเสนตรงผานจุด 2 จุด คือ P1(x1, y1) และ P2(x2, y2)

สมการเสนตรง คือ y - y1 = y yx x1 21 2

-- (x - x1)

หรือ y - y2 = y yx x1 21 2

-- (x - x2)

เมื่อ x1 ≠ x2

8.3 ความชัน-จุดตัดแกน yใหเสนตรงมีความชัน = m และตัดแกน y ท่ีจุด (0, c)

สมการเสนตรง คือ y = mx + c

8.4 ระยะตัดแกน x และระยะตัดแกน yใหเสนตรงมีระยะตัดแกน x = a และระยะตัดแกน y = bนั่นคือ ตัดแกน x ท่ีจุด (a, 0) และตัดแกน y ท่ีจุด (0, b)

สมการเสนตรง คือ xa + yb = 1

8.5 สมการเสนตรงในรูปท่ัวไปใหสมการเสนตรงที่อยูในรูปท่ัวไป คือ Ax + By + C1 = 0 จะไดวาเสนตรงที่ต้ังฉากกับเสนตรงนี้ คือBx - Ay + C2 = 0

9. ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรงกํ าหนดเสนตรง คือ Ax + By + C = 0 และ P1(x1, y1) เปนจุดภายนอกเสนตรง ถา d เปนระยะหางระหวางจุดกับเสนตรงจะไดวา

d = | | Ax + By + CA + B1 1

2 2

10. ระยะหางระหวางเสนขนานใหเสนตรง 2 เสน ขนานกันมีสมการ คือ Ax + By + C1 = 0 และ Ax + By + C2 = 0ถา d เปนระยะหางระหวางเสนขนานท้ัง 2 จะไดวา

d = | |C CA + B1 22 2

-

วงกลม (Circle)

P(x, y)

C(h, k) x

y

จุด C(h, k) เปนจุดคงท่ี เรียกวา จุดศูนยกลาง| CP | = ระยะทางคงที่ เรียกวา รัศมีวงกลม คือ เซตของจุดทุกจุดซ่ึงหางจากจุดคงท่ีจุดหนึ่งเปนระยะทางคงตัว จุดคงท่ี เรียกวา จุดศูนยกลาง

ระยะคงที่ เรียกวา รัศมี

รูปแบบสมการวงกลม จุดศูนยกลาง รัศมีx2 + y2 = r2(x - h)2 + (y - k)2 = r2x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

(0, 0)(h, k)

2E ,2D --

rr

D + E 4F2

2 2 -

ขอสังเกต1. ถา D2 + E2 - 4F = 0 กราฟท่ีไดจะเปนจุดวงกลม2. ถา D2 + E2 - 4F > 0 กราฟท่ีไดจึงเปนวงกลม3. ถา D2 + E2 - 4F < 0 จะไมเกิดกราฟในระบบจํ านวนจริงขอสํ าคัญในเรื่องวงกลม ถาตองการหาสมการวงกลม จะตองทราบ1. จุดศูนยกลาง2. รัศมีการหาจุดศูนยกลาง อาจหาไดดังนี้- กํ าหนดโดยตรง เชน ใหจุดศูนยกลาง คือ C(h, k)- กํ าหนดจุดศูนยกลาง คือ จุดท่ีเสนตรงตัดกัน- กํ าหนดจุดศูนยกลาง โดยใหมีความสัมพันธกับกราฟอื่นๆ

การหาความยาวรัศมี อาจหาไดดังนี้- โจทยอาจกํ าหนดความยาวของเสนรอบวงมาให (2πr)- กํ าหนดความยาวระหวางจุด 2 จุด หาไดจากสูตร |

P1P2

| = (x x ) + (y y )1 22

1 22

- -- กํ าหนดจุดศูนยกลาง (h, k) และเสนสัมผัส Ax + By + C = 0รัศมี คือ ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรง ซ่ึงหาไดจาก d = | | Ax + By + C

A + B1 1

2 2

ดังนั้น r = | | Ah + Bk+ CA + B

2 2

- อื่นๆ ซ่ึงขึ้นอยูกับลักษณะโจทยในแตละขอความยาวของเสนสัมผัสให |

PQ

| เปนความยาวของเสนสัมผัสท่ีลากจากจุด P มาสัมผัสวงกลมที่จุด Q

1. ถาสมการวงกลม คือ x2 + y2 = r2 แลว | PQ | = x + y r12

12 2

- ดังรูป

P(x , y )1 1

Q

2. ถาสมการวงกลม คือ (x - h)2 + (y - k)2 = r2 แลว | PQ | = (x h) + (y k) r12

12 2

- - - ดังรูป

P(x , y )1 1

Q

C(h, k)

3. ถาสมการวงกลม คือ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 แลว | PQ | = x + y + Dx + Ey + F2 2 ดังรูป

Q

) y,P(x 11

2E ,2DD --

พาราโบลา (Parabola)

นิยามพาราโบลา คือ เซตของจุดบนพ้ืนระนาบซึ่งมีระยะหางจากจุดคงท่ี เทากับระยะที่หางจากเสนตรงคงที่

x = -c เสนลาตัสเรกตัม

F x

y

P(x, y)D

เสนไดเรกตริกซ

จุดคงที่ คือ จุดโฟกัส (Focus)เสนตรงที่คงที่ คือ เสนไดเรกตริกซเสนลาตัสเรกตัม (Latus rectum) คือ เสนตรงที่ลากผานจุด Focus และต้ังฉากกับแกนของรูปแกนของรูปหรือแกนสมมาตร คือ เสนตรงที่ลากผานจุดยอดและผานจุด Focusคอรดของพาราโบลา คือ เสนตรงที่ลากเชื่อมจุด 2 จุด ท่ีตางกันของพาราโบลาและคอรดท่ีลากผานจุด Focus

เรียกวา Focul และคอรดท่ีผานจุด Focus และต้ังฉากกับแกนของรูปดวย เรียกวา ลาตัสเรกตัม (Latus rectum)ขอสังเกต

จากสมการ จะตองมตัีวแปรตวัใดตัวหนึง่อยูในรปูกํ าลังสอง และอกีตัวหนึง่ยกกํ าลังหนึง่ และอยูท่ีเทอมท่ีบวกลบกันกราฟท่ีไดจึงจะเปนกราฟพาราโบลา

รูปแบบของพาราโบลาที่มีจุดศูนยกลางที่จุด (0, 0)

F(0, c)( 2c, c)-

V (0, 0) x

y

x = 4cy2

(2c, c)

(c, 2c)

F(0, c)

-

V(c, 2c)

x

y

x = c-y = 4cx2

พาราโบลาซ่ึงมีจุดยอดท่ีจุด (0, 0) พาราโบลาซ่ึงมีจุดยอดท่ีจุด (0, 0)และแกนของรูปทับแกน y และแกนของรูปทับแกน x

สรุป

x2 = 4cy รูปสมการ y2 = 4cx v(0, 0) F(0, c) y = -c | 4c | รูปหงาย (เปดบน) รูปควํ่ า (เปดลาง) (-2c, c), (2c, c)

จุดยอด จุด Focus สมการเสนไดเรกตริกซ ความยาวเสนลาตัสเรกตัม ถา c > 0 ถา c < 0 จุดปลายเสนลาตัสเรกตัม

V(0, 0) F(c, 0) x = -c | 4c | รูปตะแคงขวา (เปดขวา) รูปตะแคงซาย (เปดซาย) (c, 2c), (c, -2c)

วงรี (Ellipse)

นิยามวงรี คือ เซตของจุดท้ังหมดซ่ึงผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ จุดหนึ่งในเซตไปยังจุดคงท่ี 2 จุด มีคาคงตัว

m1′

′V

m2′ m2′B

V

Bp(x, y) m1

F′ F

สวนประกอบของวงรีF, F′ เปนจุดคงท่ี เรียกวา FocusV, V′ เปนเสนตรงที่ผานจุด Focus และมีจุดปลายทั้งสองเปนจุดยอด เรียกวา แกนเอกB, B′ เปนเสนตรงที่ผานจุดศูนยกลางและต้ังฉากกับแกนเอก โดยมีจุดปลายทั้งสองอยูบนวงรี เรียกวา แกนโทm1m2, ′ ′m m1 2 เปนเสนตรงที่ผานจุด Focus และต้ังฉากกับแกนของรูป เรียกวา เสนลาตัสเรกตัม

วงรีท่ีมีจุดศูนยกลางท่ีจุด (0, 0)

′

F′ FB

V V

y

x

B

′ ′

y

xF

V

B

V

′

′B

F

สรุปxa + y

b22

22 = 1 รูปสมการ y

a + xb

22

22 = 1

(0, 0) V(a, 0), V′(-a, 0) F(c, 0), F′(-c, 0) | 2a | | 2b | B(0, b), B′(0, -b) 2b

a2

| |

จุดศูนยกลาง จุดยอด จุด Focus ความยาวแกนเอก ความยาวแกนโท จุดปลายแกนโท ความยาวลาตัสเรกตัม ขอควรจํ า b2 = a2 - c2

(0, 0) V(0, a), V′(0, -a) F(0, c), F′(0, -c) | 2a | | 2b | B(b, 0), B′(-b, 0) 2b

a2

| |

ไฮเพอรโบลา (Hyperbola)

นิยามไฮเพอรโบลา คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบ ซ่ึงผลตางของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงท่ีสองจุด

มีคาคงตัวไฮเพอรโบลาที่มีจุดศูนยกลางท่ีจุด (0, 0)

V (-a, 0)F (-c, 0)

V(a, 0)F(c, 0)

B (0, -b)

B(0, b)

เสนกํากับ (Asymptote)

′

y

x

′

′

B(0, b)

F(0, c)

F (0, -c)

V(0, a)x

y

′

B (-b, 0)′

V (0, -a)′

สรุป

22

22

by

ax - = 1 รูปสมการ 2

222

bx

ay - = 1

(0, 0) V(a, 0), V′(-a, 0) F(c, 0), F′(-c, 0) B(0, b), B′(0, -b) | 2a | | 2b |

2ba2

| | y = ± ba x

จุดศูนยกลาง จุดยอด จุดโฟกัส จุดปลายแกนสังยุค ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุค ความยาวของเสนลาตัสเรกตัม

สมการของเสนกํ ากับ (Asymptote) ขอควรจํ า b2 = c2 - a2

(0, 0) V(0, a), V′(0, -a) F(0, c), F′(0, -c) B(b, 0), B′(-b, 0) | 2a | | 2b |

2ba2

| | y = ± ab x

การพิจารณากราฟจากสมการ1. ถาสมการอยูในเทอมของ x, y บวกหรือลบกัน เทากับคาใดคาหนึ่ง หรือสมการมีตัวแปร x หรือ y เพียง

ตัวใดตัวหนึ่งเทากับคาคงที่ กราฟท่ีไดจะเปนสมการเสนตรง ตัวอยางสมการ เชน Ax + By + C = 0 เปนเสนตรงในรูปท่ัวไป

y = b เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน xx = a เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน y

2. ถาสมการอยูในเทอมของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งยกกํ าลังสองเพียงตัวเดียว และอีกตัวหนึ่งยกกํ าลังหนึ่ง กราฟท่ีไดจะเปนกราฟพาราโบลา ซ่ึงสามารถแยกพิจารณาไดดังนี้

1. ถาเปนเทอมของ x ยกกํ าลังสอง กราฟท่ีไดจะเปนกราฟที่มีลักษณะเปนรูปควํ่ าหรือหงายเทานั้น ท้ังนี้ขึ้นอยูกับการจดัรปูสมการแลวพิจารณาคาคงที ่เชน จดัสมการเปน x2 = 4Cy หรอื (x - h)2 + 4C(y - k)จะพิจารณาทีค่าของ C ถา C > 0 กราฟจะเปนรปูหงาย แตถา C < 0 กราฟจะเปนรปูควํ ่า หรอืจดัสมการเปน y = ax2 + bx + c ก็ใหพิจารณาที่ a ถา a > 0 รูปกราฟก็เปนรูปหงาย แตถา a < 0 รูปกราฟจะเปนรูปควํ่ า

2. ถาเปนเทอมของ y ยกกํ าลังสอง กราฟท่ีไดจะเปนรูปตะแคง แลวพิจารณาคาคงที่เชนเดียวกันกับการพิจารณาเทอมของ x2 กลาวคือ ถาคาคงที่ซ่ึงอาจจะเปนตัว a หรือ c มากกวา 0 กราฟก็จะตะแคงทางดานขวา แตถา a หรือ c นอยกวา 0 กราฟจะตะแคงดานซาย

3. ถาสมการอยูในเทอมของ x2, y2 บวกกัน โดยท่ีสัมประสิทธิ์ของ x2 และ y2 เทากัน กราฟท่ีไดจะมีลักษณะเปนวงกลม ซ่ึงมรีปูสมการ เชน x2 + y2 + Cx + Dy + F = 0 แตตองพิจารณาเงื่อนไขเพ่ิมเติม

4. ถาสมการอยูในเทอมของ x2, y2 บวกกัน โดยท่ีสัมประสิทธิ์ของ x2, y2 ไมเทากัน กราฟท่ีไดจะเปนวงรี5. ถาสมการอยูในเทอมของ x2, y2 ลบกัน โดยท่ีสัมประสิทธิ์ของ x2 และ y2 จะเทากันหรือไมก็ได กราฟ

ท่ีไดจะเปนไฮเพอรโบลา6. ถาสมการอยูในเทอมของ x, y คูณกันแลว เทากับคาคงที่คาใดคาหนึ่งจะเปนบวกหรือลบก็ได กราฟท่ีได

จะเปนกราฟไฮเพอรโบลาแบบแกนมุมฉาก การพิจารณากราฟในแตละลักษณะนั้น จะมีขอปลีกยอยเพ่ิมเติมอกี ซ่ึงจะกลาวถึงในแตละเรื่องอีกครั้งหนึ่ง

ตัวอยางการพิจารณากราฟจากสมการสมการที่ควรสนใจ1. x2 = y2 กราฟท่ีไดจะเปนกราฟเสนตรง 2 เสน ซ่ึงมีสมการดังนี้ คือ x + y และ y = -x กราฟเสนตรง

ท้ังสองนี้จะตัดกันท่ีจุด (0, 0)2. x2 - y2 = x + y กราฟท่ีไดจะเปนกราฟเสนตรง 2 เสน ซ่ึงมีสมการเปน x + y = 0 และ x - y - 1 = 0

โดยท่ีเสนท้ังสองจะตัดกันท่ีจุด

21 ,21 -

3. x2 - y2 = x - y กราฟท่ีไดจะเปนกราฟเสนตรง 2 เสน คือ x + y = 0 และ x + y - 1 = 0 โดยท่ีเสนท้ังสองตัดกันท่ีจุด

21 ,21

4. x4 + 4x2y2 + 4y4 = 25 เปนกราฟวงรี 1 วง โดยมีแกน x เปนแกนหลัก และสามารถจัดสมการใหมไดเปนดังนี้

จัดสมการใหมไดดังนี้ (x2 + 2y2)2 = 25x52 + 2y

52

= 1x2 + 2y2 = ±5

แตคาลบใชไมไดดังนั้น x2 + 2y2 = 5

5. x4 - 4x2y2 + 4y4 = 100 กราฟท่ีไดจะเปนไฮเพอรโบลา 2 รูปจัดสมการใหมไดดังนี้ (x2 - 2y2)2 = 100

x2 - 2y2 = ±10แยกสมการ x2 - 2y2 = 10 และ 2y2 - x2 = 10

6. y4 - 4y2x + 4x2 = 64 กราฟท่ีไดเปนกราฟพาราโบลา ซ่ึงเปนรูปตะแคง 2 รูปจัดสมการใหมไดดังนี้ (y2 - 2x)2 = 64

y2 - 2x = ±8


1. เสนตรง x - 2ay + 1 = 0 ต้ังฉากกับเสนตรงที่ผานจุด P(1, -5) และจุด Q(-1, 3) คา a คือขอใด1) -4 2) -2 3) 2 4) 4

2. เสนตรงที่ผานจุด (2, 4) และมีระยะตัดแกน x เปนครึ่งหนึ่งของระยะตัดแกน y จะมีความชันและระยะตัดแกน yตรงกับขอใด1) -2 และ 4 2) -2 และ 8 3) 2 และ 4 4) 2 และ 8

3. กํ าหนดให ABC เปนสามเหล่ียมหนาจั่ว ซ่ึงมี AB เปนฐาน ถาพิกัดของจุด A, B และ C เปน (-4, 2), (4, -6)และ (x, 5) ตามลํ าดับ x มีคาเทากับขอใด1) 3.0 2) 3.1 3) 7.0 4) 8.1

4. เสนตรงที่ผานจุด (-3, 4) จะต้ังฉากกับเสนตรง 4x - 2y - 1 = 0 ท่ีจุดในขอใด1) (1.0, 2.0) 2) (1.1, 1.8) 3) (1.2, 1.8) 4) (1.2, 1.9)

5. ให P เปนจุดก่ึงกลางของสวนของเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุด A(2, 3) และ B(4, -5) ถาเสนตรง L ผานจุด P และขนานกับแกน x สมการแสดงกราฟของเสนตรง L คือขอใด1) x = 3 2) y = -1 3) x = -1 4) y = 4

6. จงหาจุดบนแกน x ซ่ึงมีระยะหางจากจุด (4, 5) และ (3, -2) เปนระยะทางเทากัน1) (7, 0) 2) (-7, 0) 3) (14, 0) 4) (-14, 0)

7. โพรเจกชันของจุดซ่ึงเกิดจากเสนตรง 3x - 2y + 4 = 0 และเสนตรง 4x + 2y + 3 = 0 ตัดกันบนเสนตรงy = -x คือจุดในขอใด1)

23 ,23 - 2)

41 ,41 - 3)

43 ,43 - 4)

43 ,43 -

8. กํ าหนดรูปสามเหลี่ยม ABC โดยมีจุด A(-5, 0), B(9, 0) และ C(-3, 6) เปนจดุยอด พ้ืนท่ีของรปูสามเหล่ียมรูปนี้เปนเทาใด1) 45 ตารางหนวย 2) 44 ตารางหนวย 3) 43 ตารางหนวย 4) 42 ตารางหนวย

9. รูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสซ่ึงมีจุดปลายของเสนทแยงมุมเสนหนึ่ง คือ P(-1, -2) และ R(2, -6) รูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสมีพ้ืนท่ีเทาใด1) 25 ตารางหนวย 2) 12.5 ตารางหนวย 3) 6.25 ตารางหนวย 4) ขอมูลไมเพียงพอ

10. จากรูป พ้ืนท่ีสวนท่ีแรเงาเทากับเทาใด

��

(-1, 0) (1, 0)

(0, )-

y

x

22

22,( )2

1) 34π + 1 ตารางหนวย 2) π + 34 ตารางหนวย3) π + 1 ตารางหนวย 4) 2π + 1 ตารางหนวย

11. ความยาวของคอรดท่ีไดจากการตัดกันของพาราโบลา y2 = 5 + x กับเสนตรง x + y = 1 มีคาเทากับก่ีหนวย1) 5 3 หนวย 2) 4 7 หนวย 3) 5 2 หนวย 4) 3 2 หนวย

12. กํ าหนดจุด A(-4, 3) จงหาสมการของเสนตรงที่ผานจุด A และหางจากจุด (0, 0) เปนระยะ 3 หนวย1) x = -4 และ 7x + 24y - 440 = 0 2) x = -4 และ 7x - 24y + 100 = 03) y = 3 และ 24x + 7y - 75 = 0 4) y = 3 และ 24x + 7y + 75 = 0

13. จงหาสมการเสนตรงซึง่สัมผสักับวงกลมทีม่จีดุศนูยกลางท่ี (-1, -2) และรศัมยีาวเทากับ 5 หนวย เมื่อเสนสัมผัสมีความชันเทากับ 121) x - 2y + 2 = 0 และ x - 2y - 8 = 0 2) x + 2y - 2 = 0 และ x + 2y - 8 = 03) x - 2y - 2 = 0 และ x - 2y + 8 = 0 4) x + 2y - 2 = 0 และ x + 2y + 8 = 0

14. กํ าหนดจุด P(-1, 3) เปนจุดบนวงกลมที่มีสมการเปน x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 สมการของเสนตรงซ่ึงสัมผัสวงกลมที่จุด P คือสมการในขอใด

1) 3x - 4y + 15 = 0 2) 4x + 3y - 5 = 03) 3x + 4y - 9 = 0 4) 4x - 3y + 13 = 0

15. ระยะหางระหวางจดุศนูยกลางของวงกลม x2 + 2x + y2 - 8y - 25 = 0 กับเสนตรง 5x + 12y - 4 = 0 เทากับก่ีหนวย1) 2 2) 3 3) 4 4) 5

16. สมการวงกลม ซ่ึงมีจุดศูนยกลางที่ C(2, 3) และสัมผัสเสนตรง 3x - 4y - 9 = 0 คือ สมการในขอใด

1) x2 + y2 + 4x + 6y + 4 = 0 2) x2 + y2 - 4x + 6y + 4 = 03) x2 - y2 + 4x - 6y + 4 = 0 4) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0

17. ถา k1 และ k2 เปนความยาวที่ส้ันท่ีสุดและยาวที่สุดตามลํ าดับ โดยวัดตามแนวเสนตรงจากจุด A(10, 7) ไปยังจุดบนเสนรอบวงของวงกลม ซ่ึงมีสมการเปน x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 แลว | k1 + k2

| เทากับเทาใด

1) 5 หนวย 2) 10 หนวย 3) 15 หนวย 4) 20 หนวย18. กํ าหนดจุด C(3, -1) เปนจุดศูนยกลางของวงกลม ซ่ึงมเีสนตรง 3x - 2y + 15 = 0 ตัดกับวงกลมที่จุด A และ B

ตามลํ าดับ ถาสวนของเสนตรง AB ยาว 8 หนวย สมการของวงกลมคือขอใด

C

1) x2 + y2 - 6x + 2y - 78 = 0 2) x2 + y2 - 6x + 2y - 68 = 03) x2 + y2 - 6x + 2y - 58 = 0 4) x2 + y2 - 6x + 2y + 78 = 0

19. วงกลมผานจุด (1, -2) และจุด (4, 3) และมีจุดศูนยกลางอยูบนแกน y มีรัศมีตรงกับขอใด1) 5 2) 15 3) 17 4) 34

20. สมการ y2 = -12x มีจุดโฟกัส สมการไดเรกตริกซ และแกนสมมาตร ตรงกับขอใด1) (0, -3), y = 3, x = 0 2) (0, 3), y = -3, y = 03) (3, 0), x = -3, x = 0 4) (-3, 0), x = 3, y = 0

21. ให P เปนโฟกัสของพาราโบลา {(x, y) ∈ R × R | y2 = 12x} ถาวงรีมีจุดศูนยกลางอยูท่ี (0, 0) มีโฟกัสจุดหนึ่งอยูท่ี (0, 7 ) และวงรีนี้ผานจุด P แลวสมการของวงรีคือขอใด1) 9x2 + 16y2 = 144 2) 16x2 + 9y2 = 1443) 2x2 + 9y2 = 18 4) 9x2 + 4y2 = 36

22. ความยาวของคอรดท่ีผาน Focus ของพาราโบลา y2 = 8x และขนานกับเสนตรง y = 2 12 + x เทากับเทาใด1) 7 2 หนวย 2) 8 หนวย 3) 9 หนวย 4) 10 2 หนวย

23. ถา A เปนจุดโฟกัสของพาราโบลา y = -x2 และ B และ C เปนจุดบนเสนไดเรกตริกซของพาราโบลานี้ ซ่ึงทํ าใหสามเหลี่ยม ABC เปนสามเหล่ียมดานเทา แลวพ้ืนท่ีของสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้

1) 348 2) 3

16 3) 2 33 4) 3

324. สมการของวงรีซ่ึงมีโฟกัสท่ีจุด (± 3 , 0) และมีแกนเอกเปนเสนตรงที่เชื่อมระหวางจุดยอดของไฮเพอรโบลา

3x2 - 4y2 = 36 คือขอใดตอไปนี้

1) x92 + y

122

= 1 2) x122 + y

252

= 1 3) x122 + y

92

= 1 4) x252 + y

122

= 125. ประตูทางเขาสวนสัตวมีลักษณะโคงเปนรูปครึ่งวงรีตามแนวนอนดังรูป และตรงกลางประตูมีเสาอยูตนหนึ่ง

ปลายเสาเสมอโคงประตู ณ จุดท่ีหางจากเสาออกไปขางละ 25 ฟุต ติดหลอดไฟไวขางละดวงบนโคงประตู โดยท่ีหลอดไฟอยูสูงจากพ้ืน 20 2 ฟุต ความสูงของเสาที่อยูตรงกลางประตูจะสูงก่ีฟุต

015 ′52 ′

220 ′

1) 25 2) 30 3) 40 4) 5026. ถาวงรีมีสมการเปน 4x2 + y2 - 4 = 0 แลวขอใดตอไปนี้ผิด

1) จุดยอดของวงรีอยูท่ี (0, ±2)2) ผลบวกของความยาวของแกนเอกและความยาวของแกนโทของวงรีเปน 63) ความยาวของแกนเอกของวงรีเปนสองเทาของความยาวของแกนโท4) วงรีมีโฟกัสท่ีจุด (0, ± 3 ) และความยาวของแกนเอกเปน 2

27. ให H เปนไฮเพอรโบลาท่ีมีสมการเปน 16x2 - 49y2 + 784 = 0 ขอใดตอไปนี้ผิด1) ถาลากเสนผานจุดยอดของ H ใหขนานกับแกนสังยุค และลากเสนตรงผานจดุปลายของแกนสงัยุค ใหขนานกับ

แกนตามขวาง จะไดรูปส่ีเหล่ียมผืนผาท่ีมีเสนทแยงมุมท้ังสองตัดกันท่ีจุดกํ าเนิดแลวเสนตรงทแยงมุมเสนหนึ่งจะเปนสวนหนึ่งของเสนตรง 4y = 7x

2) ส่ีเหล่ียมผืนผาในขอ 1) มีพ้ืนท่ี 112 ตารางหนวย3) วงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูท่ี (0, 0) และผานโฟกัสท้ังสองของ H มีพ้ืนท่ี 65π ตารางหนวย4) H ไมใชไฮเพอรโบลามุมฉาก (Rectangular hyperbola)

28. ขอใดคือสมการของกราฟไฮเพอรโบลาท่ีมีแกนตามขวางยาวเทากับ 6 และโฟกัสจุดหนึ่งอยูท่ี (0, 4)

1) 7y2 = 9x2 + 63 2) x9y16

2 2 - = 1 3) y

9 x82 2- = 1 4) 8x2 = 9y2 + 72

29. ให P และ Q เปนโพรเจกชันของจุด (2, -4) และจุด (-2, 4) บนแกน y ตามลํ าดับ ถากราฟของไฮเพอรโบลามีจุด P และ Q เปนจุดยอดและผานจุด (-3, 5) แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบนกราฟของไฮเพอรโบลานี้1) (1, 17 ) 2) (2, 2 3 ) 3) (3, 27 ) 4) (4, 2 15 )

30. วงกลมมีจุดศูนยกลางที่ (-3, 6) และผานจุด (1, 3) จะตัดแกน x หรือแกน y ท่ีจุดในขอใดตอไปนี้1) (0, 2) และ (0, 10) 2) (2, 0) และ (10, 0)3) (2, 0) และ (-8, 10) 4) (0, 2) และ (0, -8)

31. ถาพาราโบลามีจุดยอดท่ีจุด (0, 0) และมเีสนไดเรกตรกิซซ่ึงขนานกับแกน y และสัมผัสวงกลม x2 - 8x + y2 = 20แลว สมการของพาราโบลา คือสมการในขอใดตอไปนี้1) y2 = 8x และ y2 = 40x 2) y2 = -8x และ y2 = 40x3) y2 = 8x และ y2 = -40x 4) y2 = -8x และ y2 = -40x

32. ความยาวของเสนสัมผัส PQ ท่ีลากจากจุด P(3, 4) มาสัมผัสวงกลม x2 + y2 + 2x - 2y - 7 = 0 ท่ีจุด Qยาวก่ีหนวย1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

33. ให (x, y) เปนจุดใดๆ บนเสนโคงเสนหนึ่ง ถาจุด (x, y) อยูหางจากเสนตรง x = -2 เปน 2 เทาของระยะหางระหวางจุด (x, y) กับจุด (2, 0) สมการของเสนโคงนั้นคือขอใด1) y2 = 8x 2) 3x2 - 4y2 - 12x + 12 = 03) 4x2 + 4y2 - 17x + 14 = 0 4) 3x2 + 4y2 - 20x + 12 = 0

34. พ้ืนท่ีท่ีเกิดจากการซอนกันของกราฟวงกลม x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 และ x2 + y2 - 6x - 2y + 6 = 0เปนก่ีตารางหนวย

��

y

x

A

B

C1 C2

1) 83π - 2 3 2) 43π - 33) 43π 4) ขอมูลท่ีกํ าหนดใหไมเพียงพอหาพ้ืนท่ีไมได

35. ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา A เปนจุดยอดหนึ่งของไฮเพอรโบลา x2 - y2 = a2 จุด B และ C อยูบนไฮเพอรโบลาอีกซีกหนึ่ง พ้ืนท่ีสามเหลี่ยม ABC เทากับเทาใด1) 3 a2 2) 3 3 a2 3) 3a

22

4) 3 3a2

2

เฉลย

1. 3) 2. 2) 3. 3) 4. 4) 5. 4) 6. 3) 7. 2) 8. 4) 9. 2) 10. 1)11. 3) 12. 4) 13. 1) 14. 1) 15. 2) 16. 4) 17. 4) 18. 3) 19. 3) 20. 4)21. 2) 22. 3) 23. 1) 24. 3) 25. 2) 26. 4) 27. 1) 28. 1) 29. 1) 30. 1)31. 3) 32. 1) 33. 4) 34. 1) 35. 2)


1. กํ าหนดให A เปนจุดยอดของกราฟพาราโบลา y2 = 12x ซ่ึงเสนไดเรกตริกซตัดแกน x ท่ีจุด B และให C เปนจุดบนเสนไดเรกตริกซท่ีทํ าใหพ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยมเทากับ 9 ตารางหนวย ในรูปสามเหลี่ยม ABC จะไดวา cot Cมีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 18 2) 12 3) 2 4) 8

2. สมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุด (-2, 3) และสัมผัสกับเสนตรง 2x + 3y - 4 = 0 คือสมการในขอใดตอไปนี้1) (x - 2)2 + (y + 3)2 = 113 2) (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25133) (x + 2)2 + (y - 3)2 = 113 4) (x + 2)2 + (y - 3)2 = 2513

3. ให P(a, b) เปนจุดบนวงรี x92 + y

252

= 1 ซ่ึงอยูในควอดรันตท่ีหนึ่ง ถา C เปนจุดศูนยกลางของวงรีโดยท่ีเสนตรง PC ทํ ามุม 30° กับแกนเอกของวงรี แลวคาของ a2 + b2 คือขอใดตอไปนี้1) 2259 2) 22513 3) 22525 4) 22534

4. ให A และ B เปนจุดโฟกัสท้ังสองของไฮเพอรโบลา 16x2 - 9y2 = 144 และ C คือ จุด (-2, 3) พ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับก่ีตารางหนวย

5. กํ าหนดให ∆ ABC มี ABC$ = 30° และ ACB$ = 45° ถาให BC เปนฐาน แลว ∆ ABC จะมีสวนสูงเทากับ2 หนวย พ้ืนท่ีของ ∆ ABC มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตารางหนวย)

1) 1 + 33 2) 1 + 2 3

3 3) 3 4) 1 + 36. กํ าหนดใหพาราโบลามีจุดยอดท่ีจุดกํ าเนิด และจุดโฟกัสอยูบนแกน x ถาจุดตัดจุดหนึ่งของพาราโบลานี้กับเสนตรง

x + 3y + 10 = 0 คือ จุด (2, -4) แลวระยะทางจากเสนตรงนีถึ้งจดุโฟกสัของพาราโบลา มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 4 หนวย 2) 6 หนวย 3) 10

10 หนวย 4) 1210 หนวย

7. สมการของวงกลมซึ่งมีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุด (2, 0) และผานจุดยอดท้ังสองของวงรี 16x2 + 10y2 = 160 คือสมการในขอใดตอไปนี้1) x2 + y2 + 4x - 12 = 0 2) x2 + y2 - 4x - 12 = 03) x2 + y2 + 4x - 16 = 0 4) x2 + y2 - 4x - 16 = 0

8. กํ าหนดให A และ B เปนจุด (-5, 4) และ (3, 2) ตามลํ าดับ ถาเสนตรงซึ่งแบงครึ่งและต้ังฉากกับสวนของเสนตรง AB ตัดแกน y ท่ีจุด (0, b) แลว b มีคาเทาใด

9. กํ าหนดใหเสนตรงที่ผานจุด A(a, 5) และ B(1, 2) ขนานกับเสนตรงที่ผานจุด C(2, 8) และ D(-2, 4) วงกลมท่ีลากผานจุด A และมีจุดศูนยกลางที่จุด (0, 2) ตัดแกน y ท่ีจุดในขอใดตอไปนี้1) (0, -3) และ (0, 7) 2) (0, -5) และ (0, 5)3) (0, -7) และ (0, 3) 4) (0, 2 + 13 ) และ (0, 2 - 13 )

10. กํ าหนดวงรี x102 + y

92

= 1 ถาไฮเพอรโบลามีจุดยอดท้ังสองจุดอยูท่ีโฟกัสของวงรี และมีความยาวแกนสังยุคเทากับความยาวแกนโทของวงรี แลวสมการของไฮเพอรโบลาคือขอใดตอไปนี้

1) x12 - y

102

= 1 2) x92 - y

12

= 1 3) x102 - y

12

= 1 4) x12 - y

92

= 1

เก็งขอสอบ11. ประตูโคงเปนรูปครึ่งวงรี กวาง 40 ฟุต และสูง 15 ฟุต ท่ีจุดก่ึงกลางประตู (ดังรูป) ความสูงของประตูท่ีจุดหางจาก

จุดก่ึงกลางประตู 12 ฟุต คือขอใดตอไปนี้

′40

15′

1) 11.25 ฟุต 2) 12 ฟุต 3) 12.76 ฟุต 4) 13 ฟุต12. ให (h, k) เปนจุดศูนยกลางของวงกลมรัศมี 20 หนวย ถา (1, 4), (4, 1) เปนจุดบนวงกลมนี้แลว คาของ hk

คือขอใดตอไปนี้1) 12 2) 1 3) 32 4) 2

13. กํ าหนดใหเสาไฟฟาแรงสูงสองตน มีตํ าแหนงในระบบพิกัดฉากเปน (1, 0) และ (-1, 8) ตามลํ าดับ สมชายยืนอยูในตํ าแหนงพิกัด (3, 5) ระยะที่สมชายยืนอยูหางจากเสนตรงที่ผานเสาไฟฟาท้ังสอง คือขอใดตอไปนี้1) 13

17 หนวย 2) 2117 หนวย 3) 13 หนวย 4) 21 หนวย

14. เสนตรงผานจุด (2, -1) และต้ังฉากกับเสนตรง 3x - y = 4 ตัดแกน y มีจุดๆ หนึ่ง จุดนั้น y มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) - 15 2) - 14 3) - 13 4) - 12

15. ให C เปนจุดยอดของวงรี x252 + y

162

= 1 สมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูท่ี C ผานจุด (0, 0) คือขอใดตอไปนี้1) x2 + 10x + y2 = 0 2) x2 - 10x + y2 = 253) x2 + y2 + 10y = 0 4) x2 + y2 - 10y = 25

16. ให C เปนจุดก่ึงกลางของเสนตรง AE ; B และ D เปนจุดอีก 2 จุด บนเสนตรง AE โดยท่ี AB = BC และCD = DE แลว AD จะยาวเปนก่ีเทาของ AC1) 1 เทาของ AC 2) 1.5 เทาของ AC 3) 2 เทาของ AC 4) 2.5 เทาของ AC

17. ถาลากเสนตรงจากจุด A(-3, -4) ไปยังจุด B(3, 4) ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ความยาวของเสนตรง AB เทากับ 5 หนวย 2) เสนตรง AB ขนานกับแกน x3) เสนตรง AB ผานจุดกํ าเนิด 4) เสนตรง AB ต้ังฉากกับเสนตรง 4y - 3x = 0

18. ถาพ้ืนท่ีของวงกลมทีม่จีดุศนูยกลางอยูท่ีจดุ (0, 0) มคีาเทากับ 25π ตารางหนวยแลว วงกลมวงนี้จะไมผานจุดในขอใดตอไปนี้1) (-5, 0) 2) (5, 0) 3) (0, 5) 4) (5, 5)

19. พาราโบลาที่มีจุดยอดอยูท่ีจุดกํ าเนิด และมีเสนตรง y = 4 เปนไดเรกตริกซ จะผานจุดในขอใดตอไปนี้1) (4, -1) 2)

41 4, - 3)

41 4, 4) (4, 1)

20. ถาตองการใหกราฟของ y = x2 - 5x + k สัมผัสกับแกน x คาของ k มีคาเทากับเทาใด21. จุดยอดของสมการไฮเพอรโบลา 4x2 - 8x - 9y2 = 32 คือขอใดตอไปนี้

1) (0, -2) และ (0, 2) 2) (0, -2) และ (0, 4)3) (-2, 0) และ (4, 0) 4) (-3, 0) และ (3, 0)

22. จากรูป ABC เปนสะพานซ่ึงมีลักษณะเปนเสนตรง PVQ เปนสายเคเบิล ซ่ึงมีลักษณะโคงเปนพาราโบลาโดยมีV เปนจุดยอด PA = 100 ฟุต, VB = 25 ฟุต, AB = 700 ฟุต, BC = 900 ฟุต QC มีความยาวตรงกับขอใด

P

V

Q

A B C

1) 125 ฟุต 2) 130 ฟุต 3) 730049 ฟุต 4) 830049 ฟุต23. ขอใดตอไปนี้ตรงกับเซตของจุด (x, y) ท่ีอยูบนวงรีซ่ึงมีจุดศูนยกลางที่จุดกํ าเนิด มีแกนเอกยาว 8 หนวย และ

แกนโทยาว 2 หนวย1) {(x, y) | x2 + 16y2 = 16} 2) {(x, y) | x2 + 16y2 = 64}3) {(x, y) | x2 - 16y2 = 16} 4) {(x, y) | x2 - 16y2 = 64}

24. วงรีวงหนึ่งมีสมการเปน 9x2 + 4y2 = 36 วงกลมซ่ึงมีจุดศูนยกลางรวมกับวงรี และมีรัศมีเทากับความยาวครึ่งแกนโทของวงรี มีสมการเปนขอใดตอไปนี้1) x2 + y2 = 2 2) x2 + y2 = 3 3) x2 + y2 = 4 4) x2 + y2 = 9

25. สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูท่ี (0, 0) ไดเรกตริกซเปนเสนตรง x = 3 คือขอใดตอไปนี้1) y2 = 4x 2) y2 = -4x 3) y2 = 12x 4) y2 = -12x

26. จงหาสวนตัดบนแกน y ของเสนตรงที่เชื่อมจุด A(5, 2) และ B(-3, 0)27. จุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา 9y2 - 16x2 = 144 คือขอใดตอไปนี้

1) (0, -5) และ (0, 5) 2) (0, - 7 ) และ (0, 7 )3) (-5, 0) และ (5, 0) 4) (- 7 , 0) และ ( 7 , 0)

28. ถา A และ B เปนจุดท่ีวงกลม x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0 ตัดกับแกน y แลว ขอใดตอไปนี้คือระยะทางจากA ไป B1) 2 3 2) 4 3 3) 6 4) 8

29. สมการวงรีท่ีมีจุดยอดอยูท่ี (0, -5) และ (0, 5) จุดโฟกัสท้ังสองหางกัน 8 หนวย คือขอใดตอไปนี้1) 9x2 + 25y2 = 225 2) 25x2 + 9y2 = 2253) 16x2 + 25y2 = 400 4) 25x2 + 16y2 = 400

30. ขอใดตอไปนี้ คือ สมการวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูท่ีจดุโฟกสัของพาราโบลา y2 = 8x และรัศมีของวงกลมเทากับระยะทางจากจุดโฟกัสถึงจุดยอดของพาราโบลา1) x2 + y2 - 4x = 0 2) x2 + y2 + 4x = 03) x2 + y2 - 4x = 0 4) x2 + y2 + 4y = 0

31. พิจารณาสามเหลี่ยม ABC โดยท่ีเราทราบวาดาน AB เปนสวนหนึ่งของเสนตรง 3x - y = 1 ดาน BC เปนสวนหนึ่งของเสนตรง x = 2 และดาน AC เปนสวนหนึ่งของเสนตรง y = 8 อยากทราบวาพ้ืนท่ีของสามเหลี่ยมABC เทากับเทาใด

32. สมการเสนตรงที่ขนานกับเสนตรง x - 3y - 11 = 0 และผานจุดตัดของเสนตรง x - 5y - 9 = 0 กับเสนตรง3x + 5y - 7 = 0 คือขอใดตอไปนี้1) x - 3y + 1 = 0 2) x - 3y - 1 = 0 3) x - 3y + 7 = 0 4) x - 3y - 7 = 0

33. กํ าหนดใหสมการวงรีคือ 9x2 + 4y2 = 36 ขอใดตอไปนี้ผิด1) ความยาวแกนเอก = 6 2) ความยาวแกนโท = 43) โฟกัสอยูท่ี (0, ± 13 ) 4) จุดยอดอยูท่ี (0, ± 3)

34. ไฮเพอรโบลาท่ีมีจุดยอดอยูท่ีจุดโฟกัสของวงรี x25 + y16

2 2 = 1 และมีแกนสังยุคยาวเทากับแกนโทของวงรีนี้

มีสมการเปนขอใดตอไปนี้

1) x16y9

2 2 - = 1 2) x9

y16

2 2 - = 1 3) y

9 x162 2

- = 1 4) y16 x92 2

- = 135. ให C คือวงกลมที่ผานจุดกํ าเนิด และตัดแกน x ท่ีจุด (4, 0) ตัดแกน y ท่ีจุด (0, -2) สมการวงกลมที่มี

จุดศูนยกลางรวมกับวงกลม C และมีรัศมีเทากับ 3 คือขอใดตอไปนี้1) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 9 2) (x + 2)2 + (y - 1)2 = 93) (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 4) (x + 1)2 + (y - 2)2 = 9

โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004 _______________________________ คณิตศาสตร 2 (67)

36. จากรูปC

y

x0A(-3, 0)B(0, 1.5)

สวนของเสนตรง AB มีความชัน 12สวนของเสนตรง AC ยาวก่ีหนวย

37. สมการเสนตรงซึ่งสัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่ (-1, -2) และรัศมียาว 5 หนวย ถาเสนสัมผัสมีความชันเปน 12 แลว สมการเสนสัมผัส คือ เสนตรงที่มีสมการเปนอยางไร

1) x - 2y + 2 = 0 และ x - 2y - 8 = 0 2) x - 2y - 2 = 0 และ x - 2y + 8 = 03) x - 2y + 2 = 0 และ x - 2y + 8 = 0 4) x - 2y - 2 = 0 และ x - 2y - 10 = 0

38. โตะสนุกเกอรทํ าเปนรปูวงรมีสีมการเปน 12x2 + 16y2 - 192 = 0 ตองวางลูกบิลเลียดในแนวตั้งฉากกับแกนหลักดังรูป

A

BF1 F2

F1 และ F2 เปนจุดโฟกัสของวงรี ถาตองแทงลูกบิลเลียดไปตามแนวศรชี้โดยผานจุด F1 กระทบขอบโตะท่ีจุด Aและลูกบิลเลียดกระเดงผานจุด F2 ไปกระทบขอบโตะท่ีจุด B พิกัดของจุด B ตรงกับขอใด

1)

79 ,726 - 2)

726 ,79 - 3) (-2, 3) 4) (2, 3)

คณิตศาสตร 2 (68) ______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2004

39. โลกและดาวหางโคจรเขาหากัน โดยสมการท่ีมีกราฟเปนไฮเพอรโบลา ซ่ึงมีความยาวของแกนสังยุคเทากับ 8 ปแสงโฟกัสท้ังสองหางกัน 16 ปแสง ระยะที่โลกและดาวหางโคจรใกลกันท่ีสุดมีระยะเทากับขอใด

เสนทางโคจรของดาวหาง

เสนทางโคจรของโลกy

x

1) 2 3 ปแสง 2) 34 ปแสง 3) 8 3 ปแสง 4) 316 ปแสง40. ดาวหางดวงหนึ่งมีทิศทางของการเคลื่อนท่ีเปนรูปพาราโบลา โดยมีดวงอาทิตยเปนโฟกัส ในขณะที่ดาวหางอยูหาง

จากดวงอาทิตย 40 ลานไมล เสนตรงที่ลากผานดวงอาทิตยและดาวหางทํ ามุม 60 องศากับแกนของพาราโบลาดังรูป จงหาระยะทาง (หนวยเปนลานไมล) ระหวางดาวหางกับดวงอาทิตย ขณะท่ีดาวหางโคจรอยูใกลดวงอาทิตย มากท่ีสุด

y

xF40ดาวหาง

ดวงอาทิตย

(หมายเหตุ : จุดบนพาราโบลาที่ใกลโฟกัสมากท่ีสุดคือ จุดยอด)

เฉลย

1. 3) 2. 3) 3. 2) 4. 15 5. 4) 6. 4) 7. 4) 8. 7 9. 1) 10. 4)11. 2) 12. 2) 13. 1) 14. 3) 15. 1) 16. 2) 17. 3) 18. 4) 19. 3) 20. 2)21. 1) 22. 3) 23. 2) 24. 2) 25. 2) 26. 34 27. 2) 28. 2) 29. 3) 30. 4)31. 1) 32. 1) 33. 3) 34. 2) 35. 2) 36. 7.5 37. 1) 38. 1) 39. 3) 40. 10

เก็งขอสอบและขอสอบตุลาคม 2546 เน้ือหาระดับ ม.4

1. ถา A = {a, b, {c}, {a}, {a, b}, {b, c}}และ P(A) เปนเพาเวอรเซตของ A แลว จํ านวนสมาชิกของ [P(A)I A] เทากับเทาใด1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

2. ให A, B, C เปนเซต ดังนี้A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}B =

∈= A yเมื่อ y1 1 xx -

C =

∈+= A yเมื่อ 1 y 1 xx

ขอใดตอไปนี้ถูก1) BU C =

76 , 6

5 , 54 , 4

3 , 32 , 2

1 2) BI C =

65 , 5

4 , 43 , 3

2 , 21

3) B – C =

76 4) C – B = {0}

3. ถา a เปนจํ านวนเต็มบวกซ่ึง x – a หาร x2 – x – 17 เหลือเศษ 3 แลว x + a2 หาร x2 + ax จะเหลือเศษเทากับเทาใด1) 5 2) 25 3) 336 4) 750

4. กํ าหนดให r =

+

+=2 3x x12 4 3x y y), (x 2

--

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. Dr =

≥ 3

4 xx

ข. Rr = {y | y ≥ 0}ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

5. ถาเซตคํ าตอบของอสมการ 2 ≤ x - x ≤ 6 คือเซต [a, b] แลว a + b เทากับคาในขอใดตอไปนี้1) 9 2) 10 3) 12 4) 13

6. ให A เปนเซตคํ าตอบของอสมการ 2x|1 x| - ≤ 1 และ R เปนเซตของจํ านวนจริง R - A คือเซตในขอใดตอไปนี้

1) [0, 32 ] 2) [0, 3

2 ) 3) [0, 31 ] 4) [0, 3

1 )

7. กํ าหนดฟงกชัน f และ g ดังนี้ให f(x)

≥<

+

+

1 x, 2 x1 x, 1 2x

3 และ g(x) = x2 - x - 2

ถา (f-1ogof)(-2) = a และ (f-1ofog)(-2) = b แลวขอใดตอไปนี้ถูก1) a = 4, b = 2 2) a = 2, b = 2 3) a = 4, b = 4 4) a = 2, b = 4

8. ถา g(x) = 2x และ (fog)(x) = x2 – 1 แลว คาของ (g-1of)(10) เทากับเทาใด1) 12 2) 11 3) 10 4) 9

9. กํ าหนดฟงกชัน f และ g ดังนี้f(2x - 1) = 4x – a , a > 0

และ g-1(x) = 1 x +ถา (fog)(a) = a2 + 20

แลว f(a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 6 2) 7 3) 10 4) 17

10. กํ าหนดจุด A(a, 5), B(b, -1) โดยท่ีความชันของ AB เทากับ 76- ให C เปนจุดก่ึงกลาง AB และ C อยูบน

เสนตรง y = 4x สมการวงกลมที่มี AB เปนเสนผานศูนยกลางคือสมการในขอใดตอไปนี้1) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 85 2) 4(x - 1)2 + 4(y - 2)2 = 853) (2x - 1)2 + 4(y - 2)2 = 85 4) (x - 2

1 )2 + (y - 2)2 = 85

11. ให k เปนระยะระหวางจุดศูนยกลางและโฟกัสของวงรี E ซ่ึงมีสมการเปน 4x2

+ 9y2

= 1 ถาไฮเพอรโบลา H มีโฟกัสท่ีจุดยอดของ E และความยาวแกนตามขวางเทากับ 2a ความยาวแกนสังยุคเทากับ 2b โดยท่ี a > b และ ab = 2k แลวสมการของ H คือขอใดตอไปนี้

1) 6y2

- 3x2

= 1 2) 3y2

- 6x2

= 1 3) 4y2

- 5x2

= 1 4) 5y2

- 4x2

= 112. กํ าหนดพาราโบลา P มีสมการ x2 = -12y ถาวงรีมีโฟกัสท่ีจุด (-3 3 , 0) และ (3 3 , 0) ผานจุดโฟกัสของ P

และตัดเสนตรง x = 3 3 ท่ีจุด A, B แลว AB ยาวเทากับก่ีหนวย1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

13. กํ าหนด A, B เปนเซตซ่ึง n(A) = a, n(B) = b ถา n[(A - B)U (B - A)] = 7 และ n(A × B) = 40แลว n({C | C ⊆ AU B และ n(C) ≤ 2}) เทากับเทาใด1) 56 2) 52 3) 50 4) 48

14. กํ าหนด a > 0 และ f (x) = ax2 , x ≥ 0 ; g(x) = x3 ถา (f -1og)(4) = 2 แลว

(64)g(64)f

11

--

มีคาเทาใด

1) 1 2) 21 3) 4

1 4) 61

15. กํ าหนดให f (x) = x3 + kx2 + mx + 4 เมื่อ k และ m เปนคาคงตัว ถา x - 2 เปนตัวประกอบตัวหนึ่งของf(x) และเมื่อนํ า x + 1 ไปหาร f (x) ไดเศษเหลือ 3 แลวคาสัมบูรณของ k + m เทากับเทาใด1) 2 2) 3 3) 4 4) 6

16. กํ าหนด f, g เปนฟงกชันซ่ึง Df = [0, ∞) โดยท่ี f -1(x) = x2 , x ≥ 0 และ g-1(x) = (f (x))2 + 1 , x ≥ 0

ถา a > 0 และ f (a) + g(a) = 19 แลว f -1(a) + g-1(a) มีคาเทาใด

1) 273 2) 274 3) 513 4) 51417. ให a, b, c เปนจํ านวนเต็มบวก ซ่ึง abc = 11 ถา f (x) = (x – a)(x – b)(x – c) แลว ขอใดตอไปนี้เปนจริง

1) f (0) = –11 , f(11) = 0 2) f (0) = 11 , f(11) = 03) f (0) = –11 , f(–11) = 0 4) f (0) = 11 , f(–11) = 0

18. กํ าหนดฟงกชัน f และ g ดังนี้

f (x) =

ตรรกยะเปนจํานวนอ xเมื่อ 1รรกยะเปนจํานวนต xเมื่อ 1

-

และ g(x) = | x + 1 | แลว {(f of )( 2 ), (f og)( 2 ), (gof )(–2), (gog)(–2)} คือเซตในขอใดตอไปนี้1) {-1, 0, 2} 2) {-1, 1, 2} 3) {-1, 2} 4) {1, 2}

19. กํ าหนดให A และ B เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลา 3x2 – y2 = 3 ถา P เปนจุดใดๆ บนวงรีท่ีมีโฟกัสท่ีจุด A, B และ AP + BP = 8 แลวสมการของวงรีคือขอใดตอไปนี้1) 4x2 + 3y2 = 24 2) 4x2 + 3y2 = 483) 3x2 + 4y2 = 24 4) 3x2 + 4y2 = 48

20. ให A เปนโฟกสัของพาราโบลา x2 – 8y = 0 และ B คอืจดุ (–4, 10) ถา C เปนจดุบน AB โดยท่ี AC : CB = 1 : 3 แลวสมการวงกลมที่มี C เปนจุดศูนยกลางและผานจุด A คือสมการในขอใดตอไปนี้1) x2 + y2 – 2x + 8y + 12 = 0 2) x2 + y2 + 2x – 8y + 12 = 03) x2 + y2 – 6x + 16y + 28 = 0 4) x2 + y2 + 6x – 16y + 28 = 0

เฉลย

1. 3) 2. -) 3. 4) 4. 4) 5. 4) 6. 4) 7. 4) 8. 1) 9. 2) 10. 4)11. 4) 12. 3) 13. 1) 14. 2) 15. 3) 16. 1) 17. 1) 18. 2) 19. 4) 20. 2)

วิเคราะหขอสอบ

เพ่ือเปนการเตรียมความพรอมในการสอบ นักเรียนควรจะเริ่มจากการทราบถึงลักษณะของขอสอบและสัดสวนของจํ านวนขอสอบในแตละเรื่อง โดยเนื้อหาของ ม.5 นั้น จะออกขอสอบคิดเปนคะแนนประมาณ 30% ของคะแนนสอบท้ังหมด โดยมีเนื้อหาท้ังหมด 5 เรื่อง สามารถแยกตามเนื้อหาไดดังนี้

ตุลาคม 2545 มีนาคม 2546 ตุลาคม 2546เนื้อหา อัตนัย

(2 คะแนน)ปรนัย

(3 คะแนน)อัตนัย


(3 คะแนน)อัตนัย


(3 คะแนน)ตรรกศาสตร - 3 - 3 - 3ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลและฟงกชันลอการิทึม - 3 1 2 - 2

ตรีโกณมิติ 1 1 - 2 - 2เมตริกซและดีเทอรมินันต 1 1 1 1 1 1สถิติ (คากลางของขอมูล) - 1 - 1 - 1

รวมเปนคะแนน 31 คะแนน 31 คะแนน 28 คะแนน

ลักษณะขอสอบ ขอสอบสวนมากเนนการนํ าความรูมาแกปญหา ดังนั้นนักเรียนจะตองเริ่มจากการทบทวนสูตรและทํ าความเขาใจกับทฤษฎตีางๆ ใหชดัเจน หลังจากนัน้ใหหมัน่ฝกฝนทํ าโจทยใหเยอะๆ แลวนกัเรียนจะพบวาขอสอบนั้นไมไดยากอยางท่ีคิด

ตรรกศาสตรเบื้องตน

1. ประพจนประพจน คือ ประโยคบอกเลาหรือประโยคปฏิเสธท่ีเปนจริงหรือเท็จอยางใดอยางหนึ่งเทานั้น โดยจริงและเท็จ

คือคาความจริงของประพจนตัวอยางของประพจน เชน

3 + 5 = 8 (มีคาความจริงเปนจริง)2 เปนจํ านวนเต็มคี่ (มีคาความจริงเปนเท็จ)ดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวันตก (มีคาความจริงเปนเท็จ)

ประโยคที่ไมอยูในรูปของประโยคบอกเลาหรือปฏิเสธจะไมเปนประพจน เชน ประโยคคํ า.ถาม ประโยคคํ าส่ังคํ าขอรอง คํ าออนวอน คํ าอุทาน หรือประโยคเปด เปนตน

2. การเชื่อมประพจน และการหาคาความจริงของประพจนท่ีมีตัว-เช่ือมแบบตางๆ1. นิเสธของประพจนท่ีกํ าหนดให ถา p เปนประพจนท่ีกํ าหนดให นิเสธของประพจน p คือ ประพจนท่ีมีคา

ความจริงตรงกันขามกับประพจน p เขียนแทนดวยสัญลักษณ "∼p" ซ่ึงมีคาความจริงดังตารางคาความจริงตอไปนี้

p ∼pTF

FT

2. การเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม "และ" กํ าหนด "p และ q" เปนประพจนใหมท่ีเกิดจากการนํ าประพจน p และ q มาเชื่อมดวยคํ าวา "และ" เขียนแทนดวยสัญลักษณ "p ∧ q" ซ่ึงมีคาความจริงดังตารางคาความจริงตอไปนี้

p q p ∧ qT T TTFF

FTF

FFF

3. การเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม "หรือ" กํ าหนด "p หรือ q" เปนประพจนใหมท่ีเกิดจากการนํ าประพจน p และ q มาเชื่อมดวยคํ าวา "หรือ" เขียนแทนดวยสัญลักษณ "p ∨ q" ซ่ึงมีคาความจริงดังตารางคาความจริงตอไปนี้

p q p ∨ qTTF

TFT

TTT

F F F

4. การเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม "ถา...แลว..." กํ าหนด "ถา p แลว q" เปนประพจนใหมท่ีเกิดจากการนํ าประพจน p และ q มาเชื่อมดวยคํ าวา "ถา...แลว..." เขียนแทนดวยสัญลักษณ "p → q" ซ่ึงมีคาความจริงดังตารางคาความจริงดังนี้

p q p → qT T TT F FFF

TF

TT

5. การเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม "...ก็ตอเม่ือ..." กํ าหนด "p ก็ตอเมื่อ q" เปนประพจนใหมท่ีเกิดจากการนํ าประพจน p และ q มาเชื่อมดวยคํ าวา "...ก็ตอเมื่อ..." เขียนแทนดวยสัญลักษณ "p ↔ q" ซ่ึงมีคาความจริงดังตารางคาความจริงตอไปนี้

p q p ↔ qT T TTF

FT

FF

F F T

ขอตกลงเพิ่มเติม1. ตัวเชื่อม "และ" อาจเขียนในรูปท่ีมีความหมายเดียวกัน เชน แต2. ตัวเชื่อม "ถา...แลว" อาจเขียนในรูปท่ีมีความหมายเดียวกัน เชน ถา...ดังนั้น, ถา...จะได... หรือบางครั้งก็ใช

ถา...3. ถาประพจนหนึ่งเกิดจากประพจนยอยหลายประพจน เพ่ือท่ีจะไมตองเขียนวงเล็บมากครั้งเกินไป จะยอมรับ

กันวาสัญลักษณ ↔ เปนตัวเชื่อมท่ีคลุมมากท่ีสุด

→ เปนตัวเชื่อมท่ีคลุมรองลงมา∧, ∨ เปนตัวเชื่อมท่ีคลุมนอยกวา →∼ เปนตัวเชื่อมท่ีคลุมนอยท่ีสุด

เชน ∼p ∨ q หมายถึง (∼p) ∨ qp → q ∨ r หมายถึง p → (q ∨ r)p → q ↔ r หมายถึง (p → q) ↔ r

3. การสรางตารางคาความจริงจํ านวนกรณีท่ีพิจารณา = 2n กรณี

4. รูปแบบของประพจนท่ีสมมูลและเปนนิเสธกันประพจน p และ q จะสมมูลกันเมื่อประพจนท้ังสองมีคาความจริงเหมือนกันทุกกรณี โดยสามารถเขียนแทน

ประพจน p และ q ท่ีสมมูลกันดวย p ≡ qประพจนท่ีสมมูลกันท่ีสํ าคัญชุดท่ี 1 ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q

∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q* ชุดท่ี 2 p → q ≡ 1. ∼p ∨ q

2. ∼q → ∼p∼(p → q) ≡ p ∧ ∼q

ชุดท่ี 3 p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)∼(p ↔ q) ≡ 1. ∼p ↔ q

2. p ↔ ∼qชุดท่ี 4 p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)ชุดท่ี 5 p ∨ ∼p ≡ T

p ∧ ∼p ≡ Fชุดท่ี 6 p ∨ p ≡ P

p ∧ p ≡ P

ชุดท่ี 7 สรุปไมไดวามีคาความจริงเปน T หรือ F แตสามารถบอกไดวามีคาความจริงเหมือนตัวใด เชนp ∧ q , p → q , p → QT T F

q q ∼p

5. ประโยคเปดประโยคเปด คือ ประโยคบอกเลาหรือประโยคปฏิเสธท่ีมีตัวแปร แตยังไมเปนประพจน และสามารถทํ าใหเปน

ประพจนไดโดยการแทนตัวแปรนั้นดวยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธท่ีกํ าหนดให หรือเติมตัวบงปริมาณหนาประโยคนั้นเชน

- "x + 3 = 0" เปนประโยคเปด มี "x" เปนตัวแปร- "2x + 3" ไมเปนประโยคเปด เพราะเมื่อแทน "x" ดวยจํ านวนจริงใดๆ แลวไมเปนประพจน- "∃x [x2 < 0]" ไมเปนประโยคเปด แตเปนประพจน

6. ตัวบงปริมาณตัวบงปริมาณ มี 2 ชนิด คือ1. ∀x แทนคํ าวา "สํ าหรับ x ทุกตัว", "สํ าหรับ x ใดๆ", "สํ าหรับ x แตละตัว" โดยเรียก ∀x วาตัวบงปริมาณ

"ท้ังหมด"2. ∃x แทนคํ าวา "สํ าหรับ x บางตัว", "มี x อยางนอยหนึ่งตัวท่ี..." โดยเรียก ∃x วาตัวบงปรมิาณ

"มีอยางนอยหนึ่งตัว"

7. คาความจริงของประโยคที่มีตัวบงปริมาณสํ าหรับการพิจารณาคาความจรงิของประโยคทีม่ีตัวบงปริมาณ จะพิจารณาแตละสวนของประโยคที่มีตัวบงปริมาณ

คือ1. พิจารณาตัวบงปริมาณ2. พิจารณาประโยคเปด3. พิจารณาเอกภพสัมพัทธการพิจารณาคาความจริงของประโยคที่มีตัวบงปริมาณ1. ∀x [P(x)]

- มีคาความจริงเปน T ก็ตอเมื่อ แทนคา x ทุกตัวใน P(x) แลวไดประพจนท่ีมีคาความจริงท้ังหมด- มีคาความจริงเปน F ก็ตอเมื่อ มีคา x อยางนอยหนึ่งตัวท่ีแทนใน P(x) แลวไดประพจนท่ีมีคาความจริง

เปนเท็จ2. ∃x [P(x)]

- มีคาความจริงเปน T ก็ตอเมื่อ มีคา x อยางนอยหนึ่งตัวท่ีแทนใน P(x) แลวไดประพจนท่ีมีคาความจริงเปนจริง

- มีคาความจริงเปน F ก็ตอเมื่อ แทนคา x ทุกตัวใน P(x) แลวไดประพจนท่ีมีคาความจริงเปนเท็จท้ังหมด

8. สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบงปริมาณรูปแบบการสมมูลกันของประโยคที่มีตัวบงปริมาณ มีลักษณะเดียวกับการสมมูลของประพจน เชน

∀x [P(x) → Q(x)] ≡ ∀x [∼P(x) ∨ Q(x)]∀x [P(x) → Q(x)] ≡ ∀x [∼Q(x) → ∼P(x)]

นิเสธของประโยคที่มีตัวบงปริมาณ1. ∼∀x [P(x)] ≡ ∃x [∼P(x)]2. ∼∃x [P(x)] ≡ ∀x [∼P(x)]

ตัวอยางขอสอบ

1. กํ าหนดให A แทนประพจน (p ∧ q) → (r → s)และ B แทนประพจน ((p ∨ r) → s) → qถาประพจน p → (q → (r ∨ s)) มคีาความจรงิเปนเท็จแลว คาความจรงิของประพจน A, B ในขอใดตอไปนี้ถูก1) A เปนจริง และ B เปนจริง 2) A เปนจริง และ B เปนเท็จ3) A เปนเท็จ และ B เปนจริง 4) A เปนเท็จ และ B เปนเท็จ

2. ประพจน (p → r) ∧ (q → r) สมมูลกับประพจนในขอใดตอไปนี้1) (∼p ∧ ∼q) ∨ r 2) (∼p ∨ ∼q) ∧ r 3) (p ∧ q) → r 4) (p → q) → r

3. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ประพจน p ∧ (q ∧ ∼r) เปนนิเสธของประพจน p → (∼q ∨ r)ข. กํ าหนดเอกภพสัมพัทธ U = (0, 3)

ประพจน ∀x[2x2 - 5x ≤ 0] มีคาความจริงเปนจริงขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

4. ให p, q, r เปนประพจน ซ่ึงทํ าใหประพจน (p → q) → (∼p → ∼r) มีคาความจริงเปนเท็จประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง1) q ∨ (p ∧ r) 2) (p ∨ q) ∧ r 3) q ∧ (p ∨ r) 4) (p ∧ q) ∨ r

5. ให p และ q เปนประพจนประพจนในขอใดตอไปนี้ไมสมมูลกับประพจน [∼(p ∧ q)] → [p ∧ ∼q]1) (p ∧ q) ∨ (p ∧ ∼q) 2) p ∧ (q ∨ ∼q)3) p ∨ ∼q 4) p

6. ชวงในขอใดตอไปนี้เปนเอกภพสัมพัทธท่ีทํ าใหขอความ ∃x[x2 – 2x ≤ 8] และ ∀x[x3 – 9x ≠ 0] มีคาความจริงเปนจริง1) (-3, -2) 2) (-3, 0) 3) (0, 4) 4) (-2, 3)

7. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถา q มีคาความจริงเปนเท็จแลว ประพจน p → (q → r) มีคาความจริงเปนจริงข. นิเสธของประพจน (p → q) → r คือ (∼p ∧ ∼r) ∨ (∼r ∧ q)

ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

8. ให p, q และ r เปนประพจนท่ีกํ าหนดดังนี้p แทน 0 เปนจํ านวนเต็มคูq แทน จํ านวนเฉพาะทุกจํ านวนเปนจํ านวนเต็มคี่r แทน มีจํ านวนอตรรกยะ a บางจํ านวน ซ่ึง a2 เปนจํ านวนตรรกยะ

ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ1) (∼(p ∧ q)) ∨ r 2) (p ∧ r) ∧ (∼q) 3) r → (p ∧ q) 4) q → (p ∧ r)

9. ใหเอกภพสัมพัทธคือ เซตของจํ านวนจริงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ประพจน ∀x [x6 - 2x3 ≥ -1] มีคาความจริงเปนเท็จข. ประพจน ∃x [logx2 (logx x4) = -1] มีคาความจริงเปนจริง


10. ให p, q เปนประพจน ถา [(p → q) → (p ∨ ∼q)] มีคาความจริงเปนเท็จแลว ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ1) ∼p ∨ q 2) ∼p ∧ q 3) p ↔ q 4) ∼p → q

11. กํ าหนดให p, q, r, s, t เปนประพจน ซ่ึงประพจน (p ∧ q) → r มีคาความจริงเปนเท็จถา A แทนประพจน [s → (t → q)] ↔ (r ∧ p) แลวขอใดตอไปนี้เปนขอสรุปท่ีถูกตอง1) A มีคาความจริงเปนจริง2) A มีคาความจริงเปนเท็จ3) หาคาความจริงของ A ไมไดเพราะไมทราบคาความจริงของ s4) หาคาความจริงของ A ไมไดเพราะไมทราบคาความจริงของ t

12. ให R เปนเซตของจํ านวนจริง และเอกภพสัมพัทธ U = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1} ขอใดตอไปนีม้คีาความจริงเปนเท็จ1) ∃x [x2 = x] 2) ∀x [x2 ≤ x]3) ∃x

>∧> 2

1 x 21 x 2 4) ∀x [x2 - 2x + 2 < 0]

13. ให p และ q เปนประพจน ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ∼(p ↔ q) สมมูลกับ ∼p ↔ ∼q 2) ∼(p ↔ q) สมมูลกับ p ↔ ∼q3) p → q สมมูลกับ p ∧ ∼q 4) p → q สมมูลกับ p ∨ ∼q

14. กํ าหนดให p, p → q และ p → (∼q ∨ r) เปนประพจนท่ีมีคาความจริงเปนจริง ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง1) q ∧ (∼r → p) 2) r → (∼p ∨ ∼q) 3) ∼p ∧ (q ∨ r) 4) (∼p ∧ q) ∨ (∼r)

15. กํ าหนดเอกภพสัมพัทธ U = {-2, -1, 0, 1, 2} และ P(x) แทน x เปนจํ านวนคู Q(x) แทน x2 < 4พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ∀x [∼P(x) → Q(x)] มีคาความจริงเปนจริงข. ∃x [P(x) ∧ Q(x)] มีคาความจริงเปนจริง


16. พิจารณาประพจนตอไปนี้ก. p → pข. p ∨ (∼q)ค. p → (p ∧ q)

ขอใดตอไปนี้เปนจริง1) ก. สมมูลกับ ค. 2) ข. สมมูลกับ ค.3) ก. สมมูลกับ ข. 4) ไมมีขอความใดสมมูลกันเลย

17. ถาประพจน p → q และประพจน p ↔ (∼q) มีคาความจริงเปนจริงท้ังคู แลวประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ1) p → (p ∨ q) 2) q → (p ∨ q) 3) p → (p ∧ q) 4) q → (p ∧ q)

18. กํ าหนดให ∼p → q, ∼p ∨ r, ∼r เปนประพจนท่ีมีคาความจริงเปนจริง ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง1) p → q 2) q ↔ r 3) p ∨ r 4) p ∧ ∼q

19. นิเสธของประพจน (p → q) → r คือขอใดตอไปนี้1) (p ∧ ∼q) ∧ ∼r 2) (p ∨ ∼q) ∨ ∼r 3) (∼p ∨ q) ∧ ∼r 4) (p ∧ ∼q) ∨ ∼r

20. ให p, q และ r เปนประพจนท่ีกํ าหนดใหดังนี้p แทน 0 ไมเปนจํ านวนเต็มคู และไมเปนจํ านวนเต็มคี่q แทน ถา a2 ≤ b2 แลว | a | ≤ | b |r แทน ถา a และ b เปนจํ านวนอตรรกยะ แลว a + b เปนจํ านวนอตรรกยะ

พิจารณาคาความจริงของประพจนตอไปนี้ก. [p ∧ (∼q)] ∨ r ข. (p → q) → r

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. จริง และ ข. จริง 2) ก. จริง และ ข. เท็จ3) ก. เท็จ และ ข. จริง 4) ก. เท็จ และ ข. เท็จ

21. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. p → (q → r) สมมูลกับ ∼(p ∧ q) ∨ rข. p → (q → r) สมมูลกับ (∼p ∧ q) → r


22. ให p แทนขอความ "ถาฝนไมตกหรือคุณแมไมอยูบานแลว แดงจะเลนฟุตบอล"พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ขอความ "ถาแดงไมเลนฟุตบอลแลว ฝนตกและคุณแมอยูบาน" มีคาความจริงตรงกับขอความ pข. นิเสธของขอความ p คือ ฝนไมตกหรือคุณแมไมอยูบาน แตแดงไมเลนฟุตบอล


23. ใหเอกภพสัมพัทธคือ {-1, 0, 1} พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ∀x [-x2 = x] มีคาความจริงเปนจริงข. ∃x [x = 2x] มีคาความจริงเปนจริง


24. ขอความ "ถาปนี้สมชายไปทํ างานทุกวัน แลวปหนาเขาจะไดรับเงินเดือนเพ่ิม 10%" สมมูลกับขอความในขอใดตอไปนี้1) ปนี้สมชายไปทํ างานทุกวัน และปหนาเขาไดรับเงินเดือนเพ่ิม 10%2) ถาปนี้สมชายไมไปทํ างานอยางนอย 1 วัน แลวปหนาเขาจะไมไดรับเงินเดือนเพ่ิม 10%3) ถาปหนาสมชายไมไดรับเงินเดือนเพ่ิม 10% แลว แสดงวาปนี้เขาไมไปทํ างานอยางนอย 1 วัน4) ปนี้สมชายไมไปทํ างานอยางนอย 1 วัน และปหนาเขาจะไมไดรับเงินเดือนเพ่ิม 10%

25. กํ าหนดเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํ านวนจริง ขอใดตอไปนี้เปนจริง1) ∃x [x = x + 1] 2) ∀x [x2 > 0] 3) ∀x [x = x + 0] 4) ∃x [x2 + 1 = 0]

26. นิเสธของขอความ "ถาสมศรีไมอานหนังสือแลว สมศรีสอบไมผาน" คือขอใดตอไปนี้1) สมศรีอานหนังสือ และสมศรีสอบผาน 2) สมศรีอานหนังสือ หรือสมศรีสอบผาน3) สมศรีไมอานหนังสือ และสมศรีสอบผาน 4) สมศรีไมอานหนังสือ หรือสมศรีสอบผาน

เฉลย

1. 1) 2. 1) 3. 2) 4. 4) 5. 3) 6. 2) 7. 1) 8. 3) 9. 3) 10. 3)11. 2) 12. 4) 13. 2) 14. 1) 15. 1) 16. 1) 17. 4) 18. 1) 19. 3) 20. 4)21. 2) 22. 1) 23. 3) 24. 3) 25. 3) 26. 3)

แบบทดสอบ

1. กํ าหนดให p, q, r เปนประพจนท่ีมีคาความจริงเปนจริง เท็จ และเท็จ ตามลํ าดับ ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเหมือนกับประพนจ (p → ∼q) ∨ (r ∧ ∼p)1) (∼r → p) ∧ (q ∨ r) 2) (q ∧ ∼r) ↔ (∼p → ∼q)3) (∼p ∨ r) → (q ∧ ∼r) 4) (p → q) ∨ (∼r ↔ q)

2. ให p แทน "32 เปนจํ านวนคู" q แทน "π เปนจํ านวนอตรรกยะ" และ r เปนประพจนใดๆพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ประพจน p ∧ (q → r) มีคาความจริงเปนจริงข. ประพจน ∼(r ∨ ∼p) ↔ q มีคาความจริงเปนเท็จ


3. กํ าหนดให p ∨ q, p → r และ ∼r เปนขอความท่ีมคีาความจรงิเปนจรงิแลว ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ1) [∼(p ∧ q)] ∨ (∼p ∧ r) 2) (p ∨ r) ∨ (q ∧ ∼p)3) [∼p ∧ (p → r)] → q 4) [q ∧ (r → p)] → p

4. ถาคาความจริงของ (p → q) → (p → (q ∧ r)) เปนเท็จ แลวประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง1) (p ∧ q) ∧ r 2) (p ∧ ∼q) ∧ ∼r 3) ∼(p ∧ q) ∨ r 4) (p ∧ ∼q) ∨ ∼r

5. ให p, q และ r เปนประพจนใดๆ ถาคาความจริงของ (p ∧ q) → (∼q ∨ r) เปนเท็จ แลวคาความจริงของ[(∼p ∨ r) ∧ q] ↔ r จะเหมือนกับคาความจริงของประพจนใดตอไปนี้1) p ∧ r 2) p ∨ r 3) p → r 4) p ↔ r

6. ให p, q, r, s และ t เปนประพจน ถาประพจน (p ∧ q) → (r ∨ s) มีคาความจรงิเปนเท็จแลว ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ1) (p ∧ r) ↔ (s ∧ t) 2) (p ∧ s) → (q ∨ t)3) (p ∧ s) ∨ (r ∧ t) 4) (r → p) ∧ (s → t)

7. กํ าหนดให p, q, r เปนประพจนถาประพจน p → (q ∧ r) มีคาความจริงเปนเท็จ และ (p ∨ q) ↔ r มีคาความจริงเปนจริง แลวพิจารณาคาความจริงของประพจนตอไปนี้

ก. (p ↔ q) ↔ ∼r ข. p ↔ (q ∨ ∼r)ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. จริง และ ข. จริง 2) ก. จริง และ ข. เท็จ3) ก. เท็จ และ ข. จริง 4) ก. เท็จ และ ข. เท็จ

8. ให p และ q เปนประพจน ขอใดตอไปนี้สมมูลกับ (p ∧ ∼q) → p1) q → (p → ∼q) 2) ∼p ∧ (q ∨ ∼p)3) (p ∧ ∼q) → p 4) (∼p ∧ q) ∨ ∼q

9. นิเสธของขอความ "ถา a ≠ b แลว a b" ตรงกับขอใด1) a ≠ b และ a ≥ b และ a ≤ b 2) a ≠ b แลว a b3) a = b และ a > b และ a b

10. นิเสธของ ∼(p → q) ∧ p คือประพจนใด1) p ↔ q 2) (p ∨ q) ∧ (∼q)3) (p → q) ∧ (∼q) 4) ∼p ∨ q

11. ขอความคูใดไมสมมูลกัน1) (∼p ∨ ∼q) → p และ ∼p → (p ∧ q) 2) ∼p → (q → p) และ ∼p ∨ q3) ∼(p → q) และ p ∧ ∼q 4) p ↔ q และ (∼p ∨ q) ∧ (∼p → ∼q)

12. ถาเอกภพสัมพัทธคือเซตจํ านวนเต็ม แลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ∃x [x2 ≤ 0 หรือ x2 + 1 = 0] มีคาความจริงเปนจริง2) ∃x [x + 4 = 0 และ x - 2 = -6] มีคาความจริงเปนเท็จ3) ∀x [x2 > 0] มีคาความจริงเปนจริง4) ∀x [ถา x < 3 แลว x < 5] มีคาความจริงเปนเท็จ

13. เอกภพสัมพัทธในขอใดตอไปนี้ทํ าใหประพจน ∀x [x2 + 2x - 3 < 0] มีคาความจริงเปนจริง1) (-∞, -3) 2) (-2, 1) 3) (0, 10) 4) (1, ∞)

14. ประโยค ∀x[ | 2x + 5 | ≤ 2] จะมีคาความจริงเปนจริง เมื่อเอกภพสัมพัทธเปนเซตในขอใด1) {x | -7 ≤ x ≤ -3} 2) {x | 1.5 ≤ x ≤ 3.5}3) {x | -2 ≤ x ≤ 2} 4) {x | -3.5 ≤ x ≤ -1.5}

15. ขอความใดไมใชนิเสธของ ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)]1) ∀x [∼P(x) ∨ Q(x)] 2) ∀x [P(x) → Q(x)]3) ∀x [∼Q(x) → ∼P(x)] 4) ∀x [P(x) ∨ ∼Q(x)]

เฉลย 1. 3) 2. 3) 3. 4) 4. 4) 5. 2) 6. 3) 7. 2) 8. 2) 9. 1) 10. 4)11. 2) 12. 1) 13. 4) 14. 4) 15. 4)

ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล และฟงกชันลอการิทึม

1. เลขยกกํ าลังบทนิยาม ถา a เปนจํ านวนจริง และ n เปนจํ านวนจริง จะเรียก an วาเลขยกกํ าลัง โดยมี a เปนฐาน และ

n เปนเลขชี้กํ าลังสมบัติของเลขยกกํ าลังเมื่อ a, b เปนจํ านวนจริงท่ีไมเปน 0 และ m, n เปนจํ านวนจริงใดๆ1. am ⋅ an = am+n 5.

nba

= aa

nn

2. aamn = am-n 6. a-n = 1

an

3. (am)n = amn 7.n

ba-

=

nba

4. (a ⋅ b)n = an ⋅ bn 8. a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0

2. กรณฑเมื่อ a เปนจํ านวนจริง n เปนจํ านวนเต็มท่ีมากกวา 1 และ a มีรากที่ n แลว a1/n = an อานวา กรณฑท่ี

n ของ aสํ าหรบัจ ํานวนเต็ม n ท่ีมากกวา 1 a และ x เปนจ ํานวนจรงิ แลว "a เปนรากท่ี n ของ x ก็ตอเมื่อ an = x"ในกรณีท่ี n เปนจํ านวนคู เราสามารถแยกเปนกรณียอยในการพิจารณาไดดังนี้

- กรณีท่ี x = 0 รากที่ n ของ x คือ 0 สามารถเขียนแทนดวย 0n

- กรณีท่ี x < 0 จะไมมีจํ านวนจริงเปนรากท่ี n ของ x- กรณีท่ี x > 0 รากที่ n ของ x จะมีสองจํ านวน เปนจํ านวนบวกและจํ านวนลบ

สํ าหรับรากที่เปนบวกเขียนแทนดวย xn สํ าหรับรากที่เปนลบเขียนแทนดวย - xn

- สํ าหรับกรณีรากที่สองเปนจํ านวนบวก เราจะนิยมเขียนแทนดวย x มากกวา x2

ในกรณีท่ี n เปนจํ านวนคี่ เราสามารถแยกเปนกรณียอยในการพิจารณาไดดังนี้- กรณีท่ี x = 0 รากที่ n ของ x คือ 0 สามารถเขียนแทนดวย 0n

- กรณีท่ี x < 0 รากที่ n ของ x จะมีจํ านวนเดียว จึงเปนจํ านวนลบ เขียนแทนดวย xn

- กรณีท่ี x > 0 รากที่ n ของ x จะมีจํ านวนเดียว จึงเปนจํ านวนบวก เขียนแทนดวย xn

ตัวอยาง รากที่สองของ 9 คือ 3 กับ -3รากที่สามของ 27 คือ 3รากที่สองของ -4 คือ ไมมีรากที่สามของ -8 คือ -2

คุณสมบัติท่ีนาสนใจเกี่ยวกับกรณฑ1. ถา a เปนจํ านวนจริงท่ีทํ าให an เปนจํ านวนจริง แลว ( a)n n = a2. ถา a ∈ R และ n ∈ I+ โดยท่ี n ≥ 2 แลว

ann = a เมื่อ n เปนจํ านวนเต็มคี่

ann = | a | เมื่อ n เปนจํ านวนเต็มคู3. ถา a และ b มีรากที่ n แลว an ⋅ bn = abn

4. ถา a และ b มีรากที่ n และ b ≠ 0 แลว ab

nn = ab

n

5. anm = amn

6. am/n = amn

3. การบวก ลบ คูณ หาร จํ านวนท่ีอยูในรูปเครื่องหมายกรณฑการบวก ลบ คูณ หาร จํ านวนที่อยูในเครื่องหมายกรณฑ สามารถทํ าไดเหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร

จํ านวนท่ีอยูในรูปเลขยกกํ าลังตัวอยางท่ี 1 จงหาคาของ 3 2 + 50 + 32วิธีทํ า 3 2 + 50 + 32 = 3 2 + 25 2 × + 16 2 ×

= 3 2 + 5 2 + 4 2= 12 2

ตัวอยางท่ี 2 จงทํ า 82 2 ใหสวนอยูในรูปไมติดกรณฑ

วิธีทํ า 82 2 = 8

2 2 × 22

= 8 24

= 2 2

ตัวอยางท่ี 3 จงทํ า 3 + 23 2

- ใหสวนอยูในรูปไมติดกรณฑ

วิธีทํ า 3 + 23 2

- = 3 + 23 2

- × 3 + 23 + 2

= 3 + 3 2 + 3 2 + 23 2

- = 5 + 2 6

4. การหารากท่ีสองของจํ านวนท่ีอยูในรูป x ± 2 yถา a, b ∈ R+ ซ่ึง x = a + b และ y = ab แลว1. รากที่สองของ x + 2 y คือ ±( a + b )2. รากที่สองของ x - 2 y คือ ±( a - b )3. x + 2 y = a + b4. x 2 y - = a - b เมื่อ a > b

5. การแกสมการของจํ านวนท่ีอยูภายใตเครื่องหมายกรณฑหลักการท่ัวไป1. จัดกรณฑใหอยูขางใดขางหนึ่งของสมการ ตัวแปรและตัวเลขท่ีไมติดกรณฑจัดใหอยูอีกขางหนึ่งของสมการ

ในกรณีท่ีมีกรณฑมากกวา 1 กรณฑ ควรจัดใหมีกรณฑท้ังสองขาง2. ยกกํ าลังเพ่ือใหกรณฑหมด3. แกสมการตามปกติ

*4. ตรวจคํ าตอบที่ไดวาทํ าใหสมการเปนจริงหรือไมตัวอยางท่ี 4 จงแกสมการ x + 9 + 11 = xวิธีทํ า x + 9 + 11 = x

x + 9 = x - 11ยกกํ าลังสองทั้ง 2 ขาง x + 9 = x2 - 22x + 121

x2 - 23x + 112 = 0(x - 16)(x - 7) = 0

x = 16, 7ตรวจคํ าตอบ x = 16 ; 16 + 9 + 11 = 16

16 = 16x = 7 ; 7 + 9 + 11 = 7

15 ≠ 7∴ คํ าตอบของสมการ คือ x = 16

ตัวอยางท่ี 5 จงแกสมการ x + 3 - 2 x - = 1วิธีทํ า x + 3 - 2 x - = 1

x + 3 = 1 + 2 x -ยกกํ าลังสองทั้ง 2 ขาง x + 3 = 1 + 2 2 x - + 2 - x

2x = 2 2 x -x = 2 x -

ยกกํ าลังสองทั้ง 2 ขาง x2 = 2 - xx2 + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0x = -2, 1

ตรวจคํ าตอบ x = -2 ; -2 + 3 - 2 ( 2) - - = 1-1 ≠ 1

x = 1 ; 1 + 3 - 2 1 - = 11 = 1

∴ คํ าตอบของสมการ คือ x = 1ตัวอยางท่ี 6 จงแกสมการ 2x 1

3 - = x + 1 6

วิธีทํ า 2x 1 3 - = x + 1

6

ยกกํ าลังหกท้ัง 2 ขาง (2x - 1)2 = x + 14x2 - 4x + 1 = x + 1

4x2 - 5x = 0x(4x - 5) = 0

x = 0, 54ตรวจคํ าตอบ x = 0 ; 2(0) 1

3 - = 0 + 1 6

-1 ≠ 1

x = 54 ; 3 1452 -

= 54 + 1

6

323 = 323

∴ คํ าตอบของสมการ คือ x = 54ตัวอยางท่ี 7 จงแกสมการ 2 x + 1 - 5 x + 1

4 + 3 = 0วิธีทํ า ให a = x + 1

4 ; 2a2 - 5a + 3 = 0(2a - 3)(a - 1) = 0

a = 32 , 1a = 32 หรือ a = 1

x + 1 4 = 32 หรือ x + 1

4 = 1ยกกํ าลังส่ีท้ัง 2 ขาง ; x + 1 = 8116 ยกกํ าลังส่ีท้ัง 2 ขาง ; x + 1 = 1

x = 6516 x = 0

ตรวจคํ าตอบ 6516 + 1 4 = 32 ตรวจคํ าตอบ 0 + 1

4 = 1 32 = 32 1 = 1

∴ คํ าตอบของสมการ คือ 6516 , 0

6. ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล

บทนิยาม ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ f = {(x, y) ∈ R × R | y = ax , a > 0 และ a ≠ 1}

จากความหมายตามบทนิยาม เราสามารถแยกคา a (ฐาน) พิจารณาได 2 กรณี คือ 0 < a < 1 และ a > 1 ซ่ึงแตละกรณีจะทํ าใหลักษณะกราฟของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลแตกตางกัน เราจึงศึกษารายละเอียดลักษณะของกราฟดังกลาวในแตละกรณีตอไปนี้

กรณีท่ี 0 < a < 1 กรณีท่ี a > 1

0 x(0, 1)

y

เปนฟงกชันลด แสดงวา ax1 > ax2 ก็ตอเมื่อ x1 < x2 ax1 < ax2 ก็ตอเมื่อ x1 > x2

0 x(0, 1)

y

เปนฟงกชันเพ่ิม แสดงวา ax1 > ax2 ก็ตอเมื่อ x1 > x2 ax1 < ax2 ก็ตอเมื่อ x1 < x2

จากการพิจารณากราฟทั้งสองพบวา x มีคาเปนไปไดท้ังจํ านวนจริงบวก ลบ หรอืศนูย แต ax เปนไดเฉพาะจํ านวนจริงบวกเทานั้น จึงสรุปไดวาโดเมนของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ R และเรนจของฟงกชันนี้ คือ R+

นอกจากนี้กราฟท้ังสองตัดแกน y ท่ีจุด (0, 1) เสมอ เนื่องจาก a0 = 1จากกราฟแสดงวาฟงกชันเอกซโพเนนเชยีลเปนฟงกชนัหนึง่ตอหนึง่ จงึสรปุไดวา x1 = x2 ก็ตอเมื่อ a

x1 = ax2

7. การแกสมการเอกซโพเนนเชียลหลักการท่ัวไป1. ถาโจทยมี 2 พจน ใหจัดพจนแตละพจนไวคนละขางของสมการ ทํ าฐานของเลขยกกํ าลังใหเทากันแลวเทียบ

เลขชี้กํ าลัง2. ถาโจทยมีมากกวา 2 พจน ใหจัดขางใดขางหนึ่งของสมการใหเทากับศูนย แยกตัวประกอบ แลวพิจารณาคา

ของตัวแปร

ตัวอยางท่ี 8 จงแกสมการ 1x

23-

=

3278

-

วิธีทํ า1x

23-

=

3278

-

1x23

-

=

3332

-

1x23

-

=

932

-

1x23

-

=

923

∴ x - 1 = 9x = 10

ตัวอยางท่ี 9 จงแกสมการ 188-4x = (54 2 )3x-2

วิธีทํ า 188-4x = (54 2 )3x-2

[(3 2 )2]8-4x = [(3 2 )3]3x-2

(3 2 )16-8x = (3 2 )9x-6

16 - 8x = 9x - 6x = 2217

ตัวอยางท่ี 10 จงแกสมการ 22x+2 - 9 ⋅ 2x = -2วิธีทํ า 22x+2 - 9 ⋅ 2x = -2

22x ⋅ 22 - 9 ⋅ 2x + 2 = 04 ⋅ 22x - 9 ⋅ 2x + 2 = 0

ให 2x = a ; 4a2 - 9a + 2 = 0(4a - 1)(a - 2) = 0

a = 14 หรือ a = 2นั่นคือ 2x = 14 2x = 2

2x = 2-2 x = 1x = -2

ตัวอยางท่ี 11 จงแกสมการ 9 ⋅ 4x - 12 ⋅ 6x + 4 ⋅ 9x = 0วิธีทํ า 9 ⋅ 4x - 12 ⋅ 6x + 4 ⋅ 9x = 0

9 ⋅ 22x - 12 ⋅ 2x⋅ 3x + 4 ⋅ 32x = 0ให 2x = a, 3x = b

9a2 - 12ab + 4b2 = 0(3a - 2b)(3a - 2b) = 0

3a - 2b = 03a = 2b32 = ba

นั่นคือ 32 = 32xx

32 =x

23

x = 1

8. การแกอสมการเอกซโพเนนเชียลหลักการท่ัวไปในการแกอสมการเอกซโพเนนเชียลนั้นจะตองใชความรูเก่ียวกับฟงกชันลดและฟงกชันเพ่ิมมาชวย

ในการแกอสมการคือ1. ถา a > 1 แลว ax > ay ก็ตอเมื่อ x > y

ax < ay ก็ตอเมื่อ x < y2. ถา 0 < a < 1 แลว ax > ay ก็ตอเมื่อ x < y

ax < ay ก็ตอเมื่อ x > y

ตัวอยางท่ี 12 จงแกอสมการ 4 3x2x

21+

-

< 9 x

21+

วิธีทํ า4 3x2x

21+

-

<9 x

21+

x2 - 3x + 4 > x + 9x2 - 4x - 5 > 0

(x - 5)(x + 1) > 0

-1- ++

5∴ คํ าตอบของอสมการคือ (-∞, -1)U (5, ∞)

9. ฟงกชันลอการิทึมเนื่องจากฟงกชันเอกซโพเนนเชียล f = {(x, y) ∈ R × R | y = ax , a > 0 และ a ≠ 1} เปนฟงกชัน

หนึ่งตอหนึ่งจาก R ไปทั่วถึง R+ ดังนั้นอินเวอรสของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลจึงเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก R+ ไป Rคือ f

-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = ay , a > 0 และ a ≠ 1}ในทางคณติศาสตรเราสามารถเขยีน x = ay ในรปูของ y = f(x) ไดโดยกํ าหนดให y = logax ซ่ึงเราอาน logax วา

"ลอการิทึมเอกซฐานเอ" หรือ "ล็อกเอกซฐานเอ" ดังนั้นเราสามารถเขียนอินเวอรสของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลไดเปนf -1 = {(x, y) ∈ R+ × R | y = logax , a > 0 และ a ≠ 1} ซ่ึงเรากํ าหนดใหอนิเวอรสของฟงกชนัเอกซโพเนนเชียลนี้คือ ฟงกชันลอการิทึมนั่นเอง

ในทํ านองเดียวกับฟงกชันเอกซโพเนนเชียล เราสามารถแยกคา a (ฐาน) พิจารณาได 2 กรณี คือ 0 < a < 1และ a > 1 ซ่ึงแตละกรณีจะทํ าใหลักษณะกราฟของฟงกชันเอกซโพเนนเชยีลแตกตางกัน เราจงึศกึษารายละเอียดลักษณะของกราฟดังกลาวในแตละกรณีตอไปนี้

กรณีท่ี 0 < a < 1 กรณีท่ี a > 1

0 x

y

(1, 0)

มีลักษณะเปนฟงกชันลด แสดงวา x1 > x2 ก็ตอเมื่อ loga x1 < loga x2 หรือ x1 < x2 ก็ตอเมื่อ loga x1 > loga x2

0 x

y

(1, 0)

มีลักษณะเปนฟงกชันเพ่ิม แสดงวา x1 > x2 ก็ตอเมื่อ loga x1 > loga x2 หรือ x1 < x2 ก็ตอเมื่อ loga x1 < loga x2

จากการพิจารณากราฟทั้งสองพบวา loga x มีคาเปนไปไดท้ังจํ านวนจริงบวก ลบ หรือศูนย แต x เปนไดเฉพาะจํ านวนจริงบวกเทานั้น จึงสรุปไดวาโดเมนของฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ R+ และเรนจของฟงกชันนี้ คือ R

นอกจากนี้กราฟท้ังสองตัดแกน x ท่ีจุด (1, 0) เสมอ เนื่องจาก loga 1 = 0จากกราฟแสดงวาฟงกชันลอการิทึมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จึงสรุปไดวา x1 = x2 ก็ตอเมื่อ loga x1 = loga x2

10. คุณสมบัติของลอการิทึมกํ าหนดให M, N เปนจํ านวนจริงบวก, a > 0 และ a ≠ 11. loga MN = loga M + loga N2. loga

NM = loga M - loga N

3. loga Mn = n loga M4. logan M = 1n loga M5. loga a = 16. loga 1 = 0

*7. ln x = loge x *8. log 2 + log 5 = 1

คุณสมบัติการเปลี่ยนฐานลอการิทึม1. alogb c = clogb a

2. logN M = log Mlog Na

a = log Mlog N

3. logx a = 1log xa

ตัวอยางท่ี 13 จงหาคาของ log1/4 164 + 4log4 3

วิธีทํ า log1/4 164 + 4log4 3 = log4-1 4-3 + 3log4 4

= --31 log4 4 + 31

= 3 + 3 = 6ตัวอยางท่ี 14 จงหาคาของ log10 28 - log1/10 325 + log1/100 91วิธีทํ า log10 28 - log1/10 325 + log1/100 91 = log10 28 - log10-1 325 + log10-2 91

= log10 28 + log10 325 - 12 log10 91= log10 28 + log10 325 - log10 91

= log10

×91

325 28

= log10 10 = 1

11. การแกสมการลอการิทึมการแกสมการลอการิทึม คือ การแกสมการท่ีมีตัวไมทราบคา (ตัวแปร) เก่ียวของกับลอการิทึม คือ ตัวแปรอาจ

ประกอบอยูในจํ านวนของ log หรือฐานของ logหลักการท่ัวไป1. แปลงรปูสมการใหเปนสมการท่ีม ีlog เทอมเดยีว แลวเปลีย่นรปูลอการทึิมใหเปนรปูเลขยกก ําลัง โดยใชสมบัติ

loga x = y ↔ x = ay

2. ใชสมบัติการเปนฟงกชัน 1-1 คือ สํ าหรับจํ านวนจริงบวก x1, x2 ทุกตัว เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1 แลวloga x1 = loga x2 ↔ x1 = x2 *3. ส่ิงท่ีสํ าคัญ ตองตรวจสอบคํ าตอบที่ไดวาทํ าใหสมการเปนจริง และ loga x หาคาไดตามนิยามหรือไม

loga x หาคาไดเมื่อ x > 0, a > 0 และ a ≠ 1

ตัวอยางท่ี 15 จงแกสมการ log7 (x2 + 7x + 19) - log7 (x + 4) = 1วิธีทํ า log7 (x2 + 7x + 19) - log7 (x + 4) = 1

จะได log7

4 + x

19 + 7x + x2 = 1

ดังนั้น x + 7x + 19x + 42

= 71

x2 + 7x + 19 = 7(x + 4)x2 + 7x + 19 = 7x + 28

x2 - 9 = 0(x - 3)(x + 3) = 0

x = 3, -3ตรวจคํ าตอบแลว เซตคํ าตอบของสมการคือ {3, -3}

ตัวอยางท่ี 16 จงแกสมการ log3 x + 6 logx 3 = 5วิธีทํ า log3 x + 6 logx 3 = 5

จะได log3 x + 6log x3 = 5ให log3 x = a a + 6a = 5

a2 + 6 = 5aa2 - 5a + 6 = 0

(a - 3)(a - 2) = 0a = 3 หรือ a = 2

นั่นคือ log3 x = 3 log3 x = 2x = 33 x = 32

x = 27 x = 9ตรวจคํ าตอบแลว เซตคํ าตอบของสมการคือ {9, 27}

12. การแกอสมการลอการิทึมหลักการท่ัวไปในการแกอสมการลอการิทึมนั้นจะตองใชความรูเก่ียวกับฟงกชันลดและฟงกชันเพ่ิมมาชวยในการ

แกอสมการคือ1. ถา a > 1 แลว loga x > loga y ก็ตอเมื่อ x > y

loga x < loga y ก็ตอเมื่อ x < y2. ถา 0 < a < 1 แลว loga x > loga y ก็ตอเมื่อ x < y

loga x < loga y ก็ตอเมื่อ x > y* การแกอสมการจะตองตรวจค ําตอบที่ไดวา loga x เปนไปตามบทนิยามคือ x > 0, a > 0 และ a ≠ 1 หรือไม

ตัวอยางท่ี 17 จงแกอสมการ log8 (x + 2) + log8 (x + 9) < 1วิธีทํ า log8 (x + 2) + log8 (x + 9) < 1

จะได log8 (x + 2)(x + 9) < log8 8ดังนั้น (x + 2)(x + 9) < 8 (เปนฟงกชันเพ่ิม)

x2 + 11x + 18 < 8x2 + 11x + 10 < 0(x + 10)(x + 1) < 0

-10 -1- ++

แตเนื่องจาก x + 2 > 0 และ x + 9 > 0x > -2 x > -9

-10 -9 -2 -1∴ คํ าตอบของอสมการคือ (-2, -1)


1. ให a เปนคํ าตอบของสมการ 2x - 15 = 16 ⋅ 2-x

log3 (3a – 2) + 31log (5a2 + 10) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) -3 2) -2 3) 2 4) 32. พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ∀x

=+ 2x x 4x 4x x 2234 -- เมื่อเอกภพสัมพัทธคือ [-10, 10

1 ]ข. ∀x [logx 2x < 0] เมื่อเอกภพสัมพัทธคือ (0, 1)


3. ถากราฟของ y = log4 (x – 2)2 + log2 (x + 4) log1/2 x ผานจุด (a, 2) แลว a มีคาเทากับเทาใด

4. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถา f(x) = 4-x และ g(x) = log2 x แลว (fog)(x) = 2x

1

ข. h(x) = log1/2

x1 เปนฟงกชันเพ่ิมบน (0, ∞)


5. ให A เปนเซตคํ าตอบของสมการ 22x+1 – 32(2x-1) + 1 = 0และ B เปนเซตคํ าตอบของสมการ log4 (x + 1) + log4 (x – 2) = 1 ขอใดตอไปนี้ถูก1) A ⊂ B 2) B ⊂ A3) AI B เปนเซตวาง 4) A และ B มีจํ านวนสมาชิกเทากัน

6. ให a เปนคํ าตอบของสมการ x 3 - = x - 1และ b = 1

8 7 - - 17 6 - + 1

6 5 - - 15 4 - + 1

4 3 - - 13 2 -

(a)b2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 2 2) 4 3) 16 4) 32

7. ถา log4 (2 log3 (1 + log2 a)) = 12 , เมื่อ a เปนจํ านวนจริง และ 22x-a = a2 + 3a + 4 แลว x เทากับขอใดตอไปนี้1) 2 2) 2.5 3) 4 4) 4.5

8. ให S เปนเซตคํ าตอบของสมการ 2 (log4 x)3 - (log4 x)2 + log4

2x1 + 1 = 0 ผลบวกของสมาชิกท้ังหมด

ใน S มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 2 2) 4 3) 5.75 4) 6.25

9. คา x ท่ีสอดคลองกับสมการ 2 (ln 10)(log | x - 2 |) = ln (x2 + 1) มีคาเทากับเทาใด10. ถา a คือคํ าตอบของสมการ 103x = 100ex2 ln 10 แลว log4 a + log4 (3 - a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 0 2) 12 3) 1 4) 3211. ถา f(x) = 32x และ g(x) = log9 (3x), x > 0 แลว (gof)(x) + (fog)(x) เทากับขอใดตอไปนี้

1) 4x 2) 4x + 12 3) 3x + 1 4) 2x + 312. กํ าหนดให log 2 = 0.301, log 3 = 0.477 ถา x เปนคํ าตอบของสมการ 10(2x+1) = 610 แลว x มีคาเทาใด13. ถา x เปนคํ าตอบของสมการ 9x+1 = 729(31-2x) แลว log4 (x - 1) + log4 (4x - 3) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) - 32 2) - 12 3) 12 4) 3214. ถา logy x + logx y = 2 และ x2 - y = 20 แลว log2 (2x + 2y) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 5 2) 6 3) 8 4) 10

15. ให n เปนจํ านวนเต็มบวก ถา log2 3 ⋅ log3 4 ⋅ log4 5 ... log(n+1)(n + 2) = 7 แลว n มีคาเทากับเทาใด16. กํ าหนดให f(x) = ex และ g(x) = 3x คาของ x ท่ีทํ าให (fog)(x) = (gof)(x) คือขอใดตอไปนี้

1) ln

31 2) ln 3 3) ln 3 4) 2 ln 3

17. ถา a และ b เปนคํ าตอบของสมการ 33x = 103 - 3-3x แลว log (| a | + | b |) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) log 2 + log 3 3) log 2 - log 3 3) (log 2)(log 3) 4) log 2

log 318. ให A เปนเซตคํ าตอบของสมการ ( 1 + log 27 x ) log3 x + 1 = 0 จํ านวนสมาชิกของ A มีคาเทากับขอใด

ตอไปนี้1) 0 2) 1 3) 2 4) 3

19. ถา a เปนผลบวกของคํ าตอบของสมการ 22x+1 - 17(2x) = -8 แลว loga (8) เทากับขอใดตอไปนี้1) -3 2) -1 3) 1 4) 3

20. คํ าตอบของสมการ x x3 3 - 31 x x23

= 32 มีคาเทากับเทาใด21. กํ าหนดกราฟของสมการ y = 10x พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. มีจุดตัดแกน y หนึ่งจุด ข. เมื่อ x มีคาเปนลบ y มีคาเปนลบดวยขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

22. คาของ log3 (log2 (log5 625)) คือขอใดตอไปนี้1) log2 3 2) 1log 23 3) log 3

log 2 4) log 2log 3

23. ถา log6 (x - 8) + log6 (x + 8) = 2 แลว x + 1.25 มีคาเทากับเทาใด24. พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. (cos 1)2 < (cos 1)3 ข. 2sin π/6 < 2sin π/3

ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

25. ผลบวกของคํ าตอบของสมการ xlog x = 104 มีคาเทาใด26. พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. log (6) < log 2 + log 3 ข. 16 log2 16 + 16 log 4 = 1ขอใดตอไปนี้ถูก1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

27. 2 2 + 2 312 + 8 32

- มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) -5 - 2 6 2) -5 + 2 6 3) 5 - 2 6 4) 5 + 2 6

28. ถา yx

31-

= 81 และ 2x = 12 แลว y มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) -5 2) -3 3) 3 4) 529. กํ าหนดให log 2 = 0.301 แลว -10 log

51 มีคาเทากับเทาใด

เฉลย

1. 2) 2. 3) 3. 4 4. 1) 5. 3) 6. 3) 7. 4) 8. 4) 9. 0.75 10. 2)11. 2) 12. 3.39 13. 2) 14. 2) 15. 126 16. 2) 17. 2) 18. 2) 19. 4) 20. 6421. 2) 22. 4) 23. 11.25 24. 3) 25. 100.01 26. 4) 27. 4) 28 3) 29. 6.99


1. 11 + 2

+ 12 + 3

+ 13 + 4

+ ... + 18 + 9

เทากับเทาใด

2. ถา log3 (x - 24) = 4 - log3 x แลวผลบวกของคํ าตอบทั้งหมดของสมการมีคาเทาใด3. ใหชวงปด (a, b) เปนเซตคํ าตอบของอสมการ log (3x + 4) > log (x - 1) + 1 แลว a + b มีคาเทาใด4. กํ าหนดให A เปนเซตคํ าตอบของอสมการ log4 log3 log2 (x2 + 2x) ≤ 0 จํ านวนเต็มท่ีเปนสมาชิกของ A

มีท้ังหมดก่ีจํ านวน5. จงหาผลบวกของเซตคํ าตอบของสมการ x + 2 = 7 x - - 3

1) -5 2) -2 3) 5 4) 76. ถา 27x+y = 36 และ 23x+y = 1 แลวคาของ 3x+1 + 3y-1 คือขอใดตอไปนี้

1) 2 2) 4 3) 6 4) 107. เซตคํ าตอบของสมการ (3x - 3)2 = 3x - 3 คือสับเซตของเซตในขอใด

1) [3, 4] 2) [-4, -3] 3) [1, 2) 4) (2, 3]8. เซตคํ าตอบของสมการ 4 ⋅ 32x + 9 ⋅ 22x = 13 ⋅ 6x เปนสับเซตในขอใดตอไปนี้

1) [-4, 0] 2) [-3, 1] 3) [-2, 2] 4) [1, 3]9. กํ าหนดให log 2 = a และ log 3 = b คาของ log 45 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 1 + b - 2a 2) 1 + a - 2b 3) 1 - a + 2b 4) 1 - b + 2a

10. ถา A และ B เปนเซตคํ าตอบของสมการ (1) และ (2) ตามลํ าดับดังนี้log (x - 2) + log (x + 2) - log 5 = 0 ...(1)

(log3 4)(log4 5)(log5 x) = 1 ...(2)ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) A = B 2) AIB = φ3) A เปนสับเซตแทของ B 4) B เปนสับเซตแทของ A

11. คาของ 2x + 1 จากสมการ log (x - 2) = log x - log 2 ตรงกับขอใด1) 5 2) 7 3) 9 4) 11

12. กํ าหนดให a, b เปนคํ าตอบของสมการ log3 x + 6 logx 3 = 5 โดยท่ี a < bถา A = {x ∈ I+ | x ∈ [a, b] และ 3 | x} เมื่อ I+ เปนเซตของจํ านวนเต็มบวกแลว A มีจํ านวนสมาชิกเทากับเทาใด1) 6 2) 7 3) 8 4) 19

13. เซตคํ าตอบของอสมการ log3 (2x2 + x) > 0 ตรงกับเซตใด1) (-∞, -1)U (0, ∞) 2) (-∞, -1)U

∞ ,21

3)

∞ 21 , -- U (0, ∞) 4)

∞ 21 , -- U

∞ ,21

14. เซตคํ าตอบของอสมการ log1/2 x ≤ log1/2 x2 คือเซตในขอใดตอไปนี้1) (0, 1] 2) [0, 1] 3) [1, ∞) 4) (-∞, 0)I [1, ∞)

15. ถา x, y สอดคลองกับระบบสมการ9log3 x + 4log2 y = 16log3 x - log1/3 y = 2 - log3 2

แลว | x + y | มีคาเทากับขอใด1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

เฉลย

1. 2 2. 27 3. 3 4. 4 5. 2) 6. 4) 7. 3) 8. 3) 9. 3) 10. 1)11. 3) 12. 2) 13. 2) 14. 1) 15. 3)

ตรีโกณมิติ

1. ตรีโกณมิติกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากB

CA

c a

bθ

a2 + b2 = c2

จากรูปสามเหลี่ยม ABC จะพบวาsin θ = ac cosec θ = 1

sin θ = cacos θ = bc sec θ = 1

cos θ = cbtan θ = ab cot θ = 1

tan θ = ba

2. คาของฟงกชันตรีโกณมิติของมุมขนาดตางๆองศา

ฟงกชัน 0 = 0° π6 = 30° π4 = 45° π3 = 60° π2 = 90°

sin 0 122

23

2 1cos 1 3

22

212 0

tan 0 13 1 3 หาคาไมได

3. วงกลม 1 หนวยนิยาม วงกลม 1 หนวย หมายถึง วงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่จุด (0, 0) และรัศมี 1 หนวย

y

xsin ALL

tan cos

(0, 1)

(1, 0)

(0, -1)

(-1, 0)θ

32π

π2

0, 2 ππ

P(x, y)

สิ่งท่ีควรรูจากวงกลม 1 หนวย1. คา θ เปนความยาวสวนโคง ซ่ึงรองรับมุมท่ีจุดศูนยกลางที่มีขนาด θ เรเดียน2. จุด P(x, y) ซ่ึงเปนจุดบนวงกลม กํ าหนดคาตรีโกณมิติไดดังนี้ คือ x = cos θ และ y = sin θ3. จากขอ 2 ทํ าใหเราสามารถหาคาตรีโกณมิติของมุมตางๆ ไดดังนี้

θ = 0 จะได cos θ = 1 และ sin θ = 0θ = π2 จะได cos θ = 0 และ sin θ = 1θ = π จะได cos θ = -1 และ sin θ = 0θ = 32π จะได cos θ = 0 และ sin θ = -1

4. ใน จตุภาคท่ี 1 เปนบวกทุกคาตรีโกณมิติจตุภาคท่ี 2 คา sin θ และ cosec θ เปนบวกเทานั้นจตุภาคท่ี 3 คา tan θ และ cot θ เปนบวกเทานั้นจตุภาคท่ี 4 คา cos θ และ sec θ เปนบวกเทานั้น

4. สรุปการหาคาของฟงกชันตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคตางๆกรณีท่ีจุดมุมมีคาเปนบวก (หมุนทวนเข็มนาฬิกา)

32π

π2

0, 2 ππsin ALL

tan cos

กรณีท่ีจุดมุมมีคาเปนลบ (หมุนตามเข็มนาฬิกา)

- 32π

0, 2 - π-π

-π2

sin ALL

tan cos

วิธีทํ า 1. ใหดูวาตกจตุภาคใด2. ใหพิจารณาดูวาฟงกชันตรีโกณมิตินั้นมีคาเปน + หรือ - ในจตุภาคนั้น3. ใหดูวาจุดมุมท่ีใชนั้นเปนแนวนอน (0, π, 2π, 3π, ...) หรือแนวต้ัง

πππ ... ,25 ,23 ,2

ถาเปน แนวนอน → ใชฟงกชันเดิมแนวต้ัง → กลับเปน co-funtion

sin θ → cos θ (cosin θ)sec θ → cosec θtan θ → cot θ (cotan θ)

4. อานฟงกชันตาม θ ท่ีโจทยกํ าหนดเชน sin

3Q3

ππ + = -sin π3 = 3

2cos (2π - θ)Q4 = +cos θ

sin 2Q6 2

ππ + = +cos π6 = 3

2

cos 3Q

23

θπ - = -sin θ

sin 2Q3

ππ-- = +sin π3 = 3

2

cos 4Q6 2

ππ +- = +sin π6 = 12 เปนตน

ส่ิงท่ีควรจํ าcos (-θ) = cos θsin (-θ) = -sin θ

ตัวอยางท่ี 1 จงหาคาของ 3 sin 625π - 3 tan 4

13π + 2 cos 319π

วิธีทํ า3 sin 6

25π - 3 tan 413π + 2 cos 3

19π = 3 sin

ππ + 6 4 - 3 tan

ππ + 4 3 + 2 cos

ππ + 3 6

= 3 sin 6π - 3 tan 4

π + 2 cos 3π

=

213 - 3(1) +

212

= - 21

ตัวอยางท่ี 2 จงหาคาของ cos 300° + sin 450° + tan 495°วิธีทํ า cos 300° + sin 450° + tan 495° = cos (360° - 60°) + sin 450° + tan (540° - 45°)

= cos 60° + sin 450° - tan 45°= 2

1 + 1 – 1= 2

1

(หมายเหตุ ; 450° เปนจุดมุมซ่ึงสามารถอานคาไดเลย)

ตัวอยางท่ี 3 จงหาคาของ sin (180° + A) + cos (270° - A) + sin (A - 90°) + cos (-A - 270°)วิธีทํ า จากโจทยสามารถจัดรูปใหมไดดังนี้sin (180° + A) + cos (270° - A) + sin (-90° + A) + cos (-270° - A) = sin A - sin A - cos A + cos A

= 0

5. สมการเอกลักษณที่แสดงความสัมพันธระหวางฟงกชันตรีโกณมิติsin2 θ + cos2 θ = 1tan2 θ + 1 = sec2 θ เมื่อ cos θ ≠ 0 (เกิดจากการนํ า cos2 θ หารตลอด)1 + cot2 θ = cosec2 θ เมื่อ sin θ ≠ 0 (เกิดจากการนํ า sin2 θ หารตลอด)

6. กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติฟงกชันตรีโกณมิติเปนฟงกชันระยะคาบระยะคาบ หมายถึง ชวงสั้นท่ีสุดท่ีกราฟจะซํ้ ารูปเดิมแอมพลิจูด คือ คาครึ่งหนึ่งของผลตางระหวางคาสูงสุดและคาต่ํ าสุดของฟงกชันกราฟของฟงกชันไซนsine = {(x, y) ∈ R × R | y = sin x}

y = sin x เมื่อเขียนกราฟจะไดกราฟท่ีเปนกราฟตอเนื่อง

x

y

y = sin x1

-1

-2π 2π-π π-32π -π2 π2 32π0

ลักษณะกราฟฟงกชันไซน จะประกอบดวยสวนที่สํ าคัญ ดังนี้1. โดเมนของฟงกชันไซน คือ เซตของจํ านวนจริง2. เรนจของฟงกชันไซน คือ ชวง [-1, 1] นั่นคือ -1 ≤ sin x ≤ 13. ฟงกชันไซนไมใชฟงกชัน 1-1 แตถาเราคิดเฉพาะภายในชวง -π2 ถึง π2 ฟงกชันไซนภายในชวงนี้ก็จะเปน

ฟงกชัน 1-1

กราฟของฟงกชันโคไซนcosine = {(x, y) ∈ R × R | y = cos x}

y = cos x เมื่อเขียนกราฟจะไดกราฟท่ีเปนกราฟตอเนื่อง

x

y

y = cos x1

-1

-2π 2π-π π-32π -π2 π2 32π

0

ลักษณะกราฟฟงกชันโคไซน จะประกอบดวยสวนที่สํ าคัญ ดังนี้1. โดเมนของฟงกชันโคไซน คือ เซตของจํ านวนจริง2. เรนจของฟงกชันโคไซน คือ ชวง [-1, 1] นั่นคือ -1 ≤ cos x ≤ 13. ฟงกชันโคไซนไมใชฟงกชัน 1-1 แตถาเราคิดเฉพาะภายในชวง 0 ถึง π ฟงกชันโคไซนภายในชวงนี้เปน

ฟงกชัน 1-1


1. ให 0 < θ < 2π ถา 9 cot2 θ = 18 cosec θ - 14 แลว sin θ + cos θ + tan θ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 1541 2) 15

43 3) 2041 4) 20

43

2. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. sin θ + sin ( 2

π + θ) + sin (π + θ) + sin ( 23π + θ) = 0

ข. tan x < cot x เมื่อ 0 < x < 4π


3. ถา xsin 1 1- + xsin 1

1+ = 8 โดยท่ี π < x < 23π แลว sin x + cos 2x + tan 3x มีคาเทากับขอใด

ตอไปนี้1) 2

1 3 - 2) 21 3 + 3) 2

1 3 -- 4) 21 3 +-

4. คาของ θ ในชวงใดตอไปนี้ ทํ าให sec θ - cos θ ≤ 01)

π32 0, 2)

ππ 45 ,2 3)

ππ 35 , 4)

ππ 2 ,23

5. ถา 9 sin3 θ + 18 sin2 θ - sin θ = 2 แลว 2 tan2 θ มีคาเทากับเทาใด6. ให x เปนจํ านวนจริง ซ่ึง 0 ≤ x ≤ 2π ชวงที่ทํ าให sec x - tan x > 0 และ sec x + tan x > 0 คือชวงใน

ขอใดตอไปนี้1) (0, π) 2)

ππ

23 ,2

3)

π

2 0, U

ππ 2

3 , 4)

π

2 0, U

ππ 2 ,23


ππ

π≤

<<<

x2 เมื่อ xcosec2x0 เมื่อ xsin

และ g(x) =

ππ

π≤

<<<

x2 เมื่อ xtan2x0 เมื่อ xcos

เมื่อพิจารณา f และ g บนชวง (0, π) ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) f เทานั้นท่ีเปนฟงกชันเพ่ิม 2) g เทานั้นท่ีเปนฟงกชันลด3) f และ g เปนฟงกชันเพ่ิมท้ังคู 4) f และ g เปนฟงกชันลดท้ังคู

8. คาของ 4 sin 73 sec 76 + tan 34 cosec 32

tan 74 1

π π π π

π - เทากับขอใดตอไปนี้

1) -52 2) -32 3) 32 4) 529. ถา sin θ = - 12 และ cos θ < 0 แลว tan θ - sec θ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 13 2) 2

3 3) 33 4) 5

310. กํ าหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC มี ABC$ = 30° และ ACB$ = 45° ถาให BC เปนฐานแลว ∆ ABC จะมีสวนสูง

เทากับ 2 หนวย พ้ืนท่ีของรูปสามเหลี่ยม ABC มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ตารางหนวย)

1) 1 + 33 2) 1 + 2 3

3 3) 3 4) 1 + 311. กํ าหนดให y1 = sin x และ y2 = cos x เมื่อ x ∈ [0, 2π] ชวงในขอใดตอไปนี้ท่ีทํ าให y1 < 0 และ y2 < 0

ตลอดชวง1)

ππ 43 ,4 2)

ππ 45 ,43 3)

ππ 23 ,45 4)

ππ 47 ,23

12. ผลบวกของคํ าตอบของสมการ 2 cos θ + 1 = sec θ เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π คือขอใดตอไปนี้1) π3 2) 23π 3) π 4) 43π

13. ถา ABC เปนสามเหล่ียมมุมฉาก ซ่ึงมี A เปนมุมฉาก และ tan B = 34 แลว คาของ sec C cot B cosec Aคือขอใดตอไปนี้1) 0 2) 920 3) 45 4) 209

14. กํ าหนด T เปนจุดบน PQ ของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส PQRS ดังรูป ถา TQ มีความยาว 2 หนวย และมุม RTQเทากับ 60° แลวพ้ืนท่ีของส่ีเหล่ียม PQRS เทากับขอใดตอไปนี้

S R

P QT2

60o

1) 2 3 ตารางหนวย 2) 2 33 ตารางหนวย 3) 12 ตารางหนวย 4) 8 ตารางหนวย

15. ให Q(0, 0) เปนจุดศูนยกลางของวงกลม ซ่ึงมีรัศมี a หนวย l เปนเสนตรงที่ลากผานจุด Q และทํ ามุมกับแกน xเปนมุม θ ในทิศทางบวก จุดท่ี l ตัดกับวงกลม คือขอใดตอไปนี้1) (cos θ, sin θ) กับ (-cos θ, -sin θ) 2) (a cos θ, a sin θ) กับ (-a cos θ, -a sin θ)3) (sin θ, cos θ) กับ (-sin θ, -cos θ) 4) (a sin θ, a cos θ) กับ (-a sin θ, -a cos θ)

16. กํ าหนดรูปสามเหลี่ยม ABD ซ่ึงมีมุม ABD = 30°, มุม ADB = 60° ดังรูป และดาน AC ต้ังฉากกับดาน BDโดยท่ี BC ยาว 12 หนวย พ้ืนท่ีของสามเหลี่ยม ABD คือขอใดตอไปนี้

60o30o

A

B C D

1) 16 3 ตารางหนวย 2) 21 3 ตารางหนวย3) 28 3 ตารางหนวย 4) 32 3 ตารางหนวย

17. ให sin

π+ 3 2x = -cos π6 , 0 ≤ x < π ถา π = 3.14 แลว x มีคาเทากับเทาใด โดยกํ าหนดคาของฟงกชัน

sin

θπ + 2 = cos θ, sin

θπ 2 - = cos θ

cos

θπ + 2 = -sin θ, cos

θπ 2 - = sin θ

18. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. 3 sin θ > 2 cos θ เมื่อ 32π ≤ θ ≤ 2πข. sin θ = cos θ เมื่อ θ = 54π

19. กํ าหนดให cot θ = 2 และ sin θ < 0 แลว cos θ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 2

5 2) -25 3) 25 4) -25

20. กํ าหนดให ABC เปนสามเหล่ียมหนาจั่ว โดยท่ีมุม ACB = 120° และดาน AC = BC ดังรูป

120 o

A

C Bลากเสนจาก A มาต้ังฉากกับดาน BC ท่ีตอออกไปที่จุด D ถา AD ยาว 3 หนวย แลวความยาวของเสนรอบรูปของสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้1) 32 + 3 3 2) 6 + 3 3 3) 32 + 4 3 4) 6 + 4 3

เฉลย

1. 4) 2. 1) 3. 3) 4. 2) 5. 0.25 6. 4) 7. 1) 8. 3) 9. 3) 10. 4)11. 3) 12. 4) 13. 4) 14. 3) 15. 2) 16. 4) 17. 1.57 18. 3) 19. 2) 20. 4)


1. ถา 4 tan θ = 3 คาของ 5 sin 3 cos ( )6 cos 3 sin

θ π θθ θ

- -- เทากับเทาใด

2. กํ าหนดให 0 ≤ θ ≤ π2 จงหาคาของ sec θ เมื่อ θ สอดคลองกับสมการ 2 tan2 θ - sec θ = 1

3. คาของ cos 76π

ππ

38 sin 2 3

5 sin - เทากับเทาใด

1) - 94 2) - 34 3) 34 4) 944.

πππππ

3+2 sin3 sec32 sin -- มีคาอยูในชวงใด

1) (-2, -0.5) 2) [-0.5, 0) 3) [0, 0.5) 4) [0.5, 2)

5. คาของ 2 sin ( 330 ) + tan ( 405 )cot 225

2- -o o

o ตรงกับขอใด1) 0 2) -2 3) - 3 - 1 4) 3 - 1

6. คาของ sin 210° tan 225° + cos 300° cot 315° เทากับเทาใด1) 2 2) 1 3) 0 4) -1

7. ถา 1sin + 1 θ - 1

sin 1 θ- = 4 เมื่อ 0 < θ < π2 แลว sin θ sec (θ - π) มีคาเทากับเทาใด1) -2 2) -1 3) 1 4) 2

8. ถา sin (2π - θ) - sin(π - θ) = 1 แลวขอใดตอไปนี้คือคาของ cos2 θ1) 14 2) 12 3) 34 4) 1

9. กํ าหนดให sin x = 513 และ cos x = - 1213 คา sin (x - π) + cos (x - π) คือขอใดตอไปนี้1) - 1713 2) 713 3) - 713 4) 1713

10. คาของ θ ซ่ึงทํ าให sin θ + cos θ ≤ 0 จะอยูในชวงใด1) [0, π] 2)

ππ 23 ,2 3)

ππ 47 ,43 4) [π, 2π]

11. ถา θ เปนจํ านวนจริงใดๆ แลว (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ)2 มีคาตรงกับขอใด1) 1 sin

cos - θ

θ 2) 1 + sin cos

θθ 3) 1 cos

sin - θ

θ 4) 1 + cos sin

θθ

12. (sin + cos 1tan sin cos

θ θθ θ θ

)2 -- มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 2 cot2 θ 2) 2 cot θ 3) 2 cos2 θ sec2 θ 4) 2 cos θ cosec θ13. ถา cosec θ + cot θ = 53 แลว sin θ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 3034 2) 1534 3) 2530 4) 153014. กํ าหนดให AOC เปนสามเหล่ียมมุมฉากดังรูป โดยท่ีมุม AOC = 60° และดาน AC ยาว 8 หนวย ถา B เปนจุด

บนสวนของเสนตรง AC โดยท่ีเสนตรง BO แบงครึ่งมุม AOC แลวขอใดตอไปนี้เปนความยาวของเสนตรง BC

1) 22) 43) 834) 163

15. จากรูปกํ าหนดใหมุม ABC = 45° มุม ACB = 120° ดาน BC ยาว 40 หนวย ดาน AD ต้ังฉากกับดาน BDขอใดตอไปนี้เปนความยาวของดาน AD

1) 20(3 + 3 ) หนวย2) 20(1 + 3 ) หนวย3) 20(3 - 3 ) หนวย4) 20(1 - 3 ) หนวย

C

A O60o

8

A

DCB40

45o 120o

เฉลย

1. 1.8 2. 1.5 3. 4) 4. 4) 5. 1) 6. 4) 7. 2) 8. 3) 9. 3) 10. 3)11. 2) 12. 1) 13. 1) 14. 4) 15. 1)

เมตริกซ

1. สัญลักษณของเมตริกซเมตริกซ คือ ชุดของตัวเลขท่ีเปนจํ านวนเชิงซอนหรือจํ านวนจริงใดๆ ท่ีจัดเรียงกันอยูเปนลักษณะรูปส่ีเหล่ียม-

ผืนผา และถูกปดลอมดวย [ ] หรือ ( )

A =

mnm2m1

2n22211n1211

a a a

a ... a aa ... a a

MMM

หลัก 1 หลัก 2 หลัก n...

แถว 1แถว 2

แถว mM

2. เมตริกซชนิดตางๆ ท่ีควรรู

1. เมตริกซจัตุรัส คือ เมตริกซท่ีจํ านวนแถวเทากับจํ านวนหลัก เชน

9 8 7 6 5 4 3 2 1

, 4 3 2 1

สํ าหรับเมตริกซจัตุรัส เราจะเรียกสมาชิกในแนวเสนทแยงมุมจากซายลงมาขวาลางวาเปนเสนทแยงมุมหลัก2. เมตริกซเอกลักษณ คือ เมตริกซท่ีสมาชิกทุกตัวบนเสนทแยงมุมหลักของเมตริกซจัตุรัสเปน 1 สวนสมาชิก

ท่ีเหลือเปน 0 เขียนแทนดวย I เชน I2×2 =

1 00 1

, I3×3 =

1 0 00 1 00 0 1

3. ทรานสโพสของเมตริกซ (At)ทรานสโพสของเมตริกซ A คือ เมตริกซท่ีเกิดจากการสลับสมาชิกระหวางแถวและหลักของเมตริกซ เชน

A =

6 5 43 2 1

→ At =

6 35 24 1

4. การเทากันของเมตริกซบทนิยาม ถา A = [aij]m×n และ B = [bij]m×nA = B ก็ตอเมื่อ aij = bij ทุกๆ คาของ i และ jจากบทนิยามสามารถสรุปไดวา เมตริกซ 2 เมตริกซเทากันไดจะตองประกอบดวยเง่ือนไข 2 เง่ือนไข คือ1. เมตริกซท้ังสองจะตองมีมิติท่ีเทากัน2. สมาชิกในตํ าแหนงเดียวกันจะตองเทากัน

เชน

4 32 1

=

4 4+y2+ x1

∴ x + 2 = 2 ⇒ x = 0y + 4 = 3 ⇒ y = -1

5. การบวกและการลบเมตริกซบทนิยาม ถา A = [aij]m×n และ B = [bij]m×nจะไดวา ถา A + B = [cij]m×n โดยท่ี cij = aij + bij

A - B = [cij]m×n โดยท่ี cij = aij - bijจากบทนิยามสามารถสรุปไดวา เมตริกซ 2 เมตริกซ จะบวกหรือลบก็ไดจะตองประกอบดวยเง่ือนไข 2 เง่ือนไข

คือ1. เมตริกซท้ังสองจะตองมีมิติเทากัน2. สมาชิกท่ีเปนผลลัพธนั้นเกิดจากการนํ าสมาชิกในเมตริกซ A และ B มาบวกหรือลบกัน แตตองเปนสมาชิกท่ี

อยูในตํ าแหนงเดียวกันท้ังหมด เชน

4 32 1

+

1 32 0

-

=

5 60 1

สมบัติเกี่ยวกับการบวกเมตริกซถา A, B และ C เปน m × n เมตริกซ จะไดวา1. A + B เปน m × n เมตริกซ (ปดสํ าหรับการบวก)2. (A + B) + C = A + (B + C) (เปล่ียนกลุมได)3. A + 0 = A = 0 + A (เอกลักษณการบวก)4. A + (-A) = 0 (อินเวอรสการบวก)5. A + B = B + A (สลับท่ีการบวก)

6. การคูณเมตริกซดวยจํ านวนจริงบทนิยาม ถา A = [aij]m×n และ C เปนจํ านวนจริงใดๆ จะไดวา cA = [caij]m×nจากบทนิยามจะเห็นวา การนํ าจํ านวนจริงคูณกับเมตริกซ ก็คือการนํ าจํ านวนจริงคูณกับสมาชิกของเมตริกซทุกตัว

นั่นเอง เชน A =

4 32 1

, 2A =

8 64 2

, -A =

4 32 1

----

7. การคูณเมตริกซดวยเมตริกซเมตริกซสองเมตริกซจะคูณกันไดก็ตอเมื่อ จํ านวนหลักของตัวต้ังจะตองเทากับจํ านวนแถวของเมตริกซตัวคูณ

เชน

เทากัน4 3 3 2 B A ×× ⋅

เชน

4 32 1

5 2 3 1-

=

++++

(4)(5) (3)(3) (4)(2) 1)(3)((2)(5) (1)(3) (2)(2) 1)(1)(

--

=

29 513 3

สมบัติเกี่ยวกับการคูณเมตริกซดวยเมตริกซ1. AB เปนเมตริกซ เมื่อ A และ B คูณกันได (ปดการคูณ)2. (AB)C = A(BC) (เปล่ียนกลุมได)3. A(B + C) = AB + AC

(B + C)A = BA + CA (การแจกแจง)4. AI = A = IA (เอกลักษณ)5. AA-1 = A-1 A = I (อินเวอรส)6. AB ไมจํ าเปนตองเทากับ BAขอสังเกตสมบัติบางประการที่สํ าคัญในการบวกเมตริกซ การคูณเมตริกซดวยจํ านวนจริง และการคูณเมตริกซดวยเมตริกซ

1. (At)t = A2. (cA)t = (cAt)3. (A ± B)t = At ± Bt

4. ถา A + B = A + C จะได B = C5. (AB)t = Bt At

6. ถา AB = 0 ไมจํ าเปนท่ี A = 0 หรือ B = 07. ถา AB = AC ไมจํ าเปนท่ี B = C8. A2 = AA, A3 = A2 A, ...

8. อินเวอรสการคูณ

A =

d cba

จะได A-1 = 1ad bc -

d cb d

--

เชน A =

4 32 1

A-1 = 1(1)(4) (2)(3) -

1 32 4

--

= 12-

1 32 4

--

=

21

23

1 2 -

-

หมายเหตุ1. เมตริกซจัตุรัสท่ีมี ad - bc = 0 จะไมมีอินเวอรสการคูณ เรียกเมตริกซลักษณะเชนนี้วา เมตริกซเอกฐาน

(Singular Matrix)2. เมตริกซจัตุรัสท่ีมี ad - bc ≠ 0 จะมีอินเวอรสการคณู เรยีกเมตรกิซลักษณะเชนนีว้า เมตริกซไมเอกฐาน

(Non-Singular Matrix)สมบัติของอินเวอรสการคูณ1. (AB)-1 = B-1 A-1

2. (A-1)-1 = A3. A-1 = IA4. AB = AC = I แลว B = C = A-1

5. (At)-1 = (A-1)t6. (Am)-1 = (A-1)m

9. ดีเทอรมินันต (det)1. เมตริกซ 1 × 1

A = [a] แลว det A = a2. เมตริกซ 2 × 2

A =

d cba

และ det A = a b c d

+

-

= ad - bc

3. เมตริกซ 3 × 3

A =

i h gf e dc ba

และ det A = a b c d e f g h i

+

-a bd eg h

+ +

- -

สมบัติของดีเทอรมินันตท่ีสํ าคัญ1. det (At) = det A2. det (AB) = det A ⋅ det B3. det (An) = (det A)n

4. det (A-1) = 1det A5. det (cA) = cn det A6. det (I) = 1

10. การแกระบบสมการกํ าหนดให a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2เขียนในรูปเมตริกซได

2211

b ab a

yx

=

21

cc

↓ ↓ ↓A X B

วิธีท่ี 1 หาไดจาก X = A-1Bหมายเหตุ1. ถา A เปนเมตริกซเอกฐาน (det = 0) ระบบสมการนี้จะมีคํ าตอบเพียงคํ าตอบเดียว2. ถา A เปนเมตริกซไมเอกฐาน (det ≠ 0) แลวระบบสมการนี้จะมีคํ าตอบจํ านวนมากมายไมจํ ากัด หรือระบบ

สมการไมมีคํ าตอบวิธีท่ี 2 ใชกฎคราเมอร

x =

c bc b

A

1 12 2| | y =

a ca c

A

1 12 2| | เมื่อ | A | ≠ 0

วิธีท่ี 3 แกระบบสมการเชิงเสน 2 ตัวแปร ธรรมดา


1. กํ าหนดเมตริกซ A =

x 11 x

--

ถา a, b เปนคํ าตอบของสมการ det (2A2) + (1 - x2)3 det (A-1) = 45

โดย a > b แลว 2a – b มีคาเทากับเทาใด

2. ให x เปนจํ านวนจริงบวก และ A เปนเมตริกซ โดยท่ี A =

+

+

x 1 1 1 x 1

ถา det

2A 21 = 16 แลว det[8A-1 + 2At] มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 40 2) 42 3) 80 4) 823. กํ าหนดเมตริกซ A, B ดังนี้

A =

4 23 1

- , B =

+x 3 2

1 1 x- โดยท่ี x เปนจํ านวนจริง

ผลบวกของ x ท้ังหมดท่ีทํ าให det

B101 = det [(A2)–1] มีคาเทากับเทาใด

4. ให A และ B เปนเมตริกซ ซ่ึง A =

a 12 0 -

, a เปนจํ านวนจริงบวก ถา BA = A-1 และ det (4B – I) = 0

แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 1 2) 2 3) 3 4) 4


2 23

1 1 -

- และ B =

1 12 1

- แลว det [5(A-1 + Bt)] มีคาเทากับเทาใด

6. ให A, B และ C เปนเมตริกซมิติ 2 × 2 และ I เปนเมตริกซเอกลักษณมิติ 2 × 2 ถา det A = det B = 3และ det

BCA21 BA tt - = -27 แลว det (C - 2I) เทากับขอใดตอไปนี้

1) -6 2) 6 3) -12 4) 12


5 56 1

- และ B =

9 33 5

- แลว det [3(At + B)-1] เทากับขอใดตอไปนี้

1) 0.5 2) 1 3) 1.5 4) 3

8. ถา A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {-2, -1, 1, 2}

ถา S =

×∈ a b

b+2 bBAb) (a,3

เปนเมตริกซเอกฐาน

S เปนสับเซตของขอใดตอไปนี้1) {(1, -1), (1, -2), (1, 2), (3, 1)} 2) {(1, -2), (1, 2), (3, 1), (3, 2)}3) {(1, -1), (1, -2), (3, 1), (3, 2)} 4) {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1)}


1 00 2

- และ B =

d cba

โดยท่ี a, b, c, d เปนจํ านวนจริง ถา A + B = AB แลว

det

B21 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) - 14 2) - 12 3) 14 4) 12


4 32 1

และ B =

b 01a

โดยท่ี a, b เปนจํ านวนจริง ซ่ึง a > b ถา det (AB-1) = 25 และ

a + b = 4 แลว det (A + Bt) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) -10 2) -7 3) 7 4) 10

11. ให A, B แทนเมตรกิซ และ x, y เปนจ ํานวนจรงิ ซ่ึงทํ าให det (A) =

x y2 3

= 10 และ det (B) =

x 3y 5

-- = 7

แลว x + y มีคาเทากับกับขอใดตอไปนี้1) -115 2) -105 3) 27 4) 45

12. ให A =

0 12 1

- , B =

0 12 3

และ C =

d cba

เมื่อ a, b, c, d เปนจ ํานวนจริง ถา ACt = B แลว ขอใด

ตอไปนี้เปนจริง1) det (C) = -1 โดยท่ี a2 + c2 = 1 2) det (C) = -1 โดยท่ี a2 + c2 = 23) det (C) = 1 โดยท่ี a2 + c2 = 1 4) det (C) = 1 โดยท่ี a2 + c2 = 2


1 21 x

- โดยท่ี x เปนจํ านวนจริง ถา det (A-1) = 12 แลว 4A-1 คือเมตริกซในขอใดตอไปนี้

1)

0 22 2

-2)

0 42 2

-3)

2 22 0 -

4)

2 42 0 -

14. ถา A =

x 10 x

- โดยท่ี x เปนจํ านวนจริง และ det (A + At) = -9 แลว det (2A-1) เทากับขอใดตอไปนี้

1) -2 2) -1 3) 1 4) 2

15. กํ าหนดให

d cba

1 01 1

=

1 32 1

- แลว a + b + c + d มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

16. ถา A + I =

0 12 2

- เมื่อ I เปนเมตริกซเอกลักษณแลว สมาชิกของ A-1 ท่ีอยูในแถวที่หนึ่งหลักท่ีสองคือ

ขอใดตอไปนี้1) -1 2) -2 3) 2 4) 0


x 3y 1 = -1 และ

y x3 5

-- = 3 คาของ x + y + 2.45 เทากับเทาใด

18. ให A, B และ C เปนเมตริกซซ่ึงมิใชเอกฐานมิติ 2 × 2 พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถา det (B - C) = 0 แลว det B = det Cข. ถา det (A-1B) = det C แลว det B = det (AC)


19. ให a และ b เปนจํ านวนจริง และเมตริกซ A =

b 1a 0

ถา A-1 =

0 41 6

แลว คาของ a + b2 เทากับเทาใด

20. ถา A เปน 2 × 2 เมตริกซ ซ่ึงมิใชเอกฐาน และถา

40 3020 60

A =

5 00 5

แลว A-1 คือเมตริกซในขอใด

ตอไปนี้

1)

4 32 6

2)

6 12

18 9

--

3)

8 6 4 12

4)

8 30

20 12

21. ถา A =

θ

θ cos 1

1 tan - และ B =

θ sin 1

1 1 -- แลว det (AB) คือขอใดตอไปนี้

1) sin2 θ 2) cos2 θ 3) 2 cos θ 4) 2 sin θ22. กํ าหนดระบบสมการ

x y2 3- = 3

x 3y 0.5 = 7

x - y มีคาเทากับเทาใด

เฉลย

1. 6 2. 3) 3. 2 4. 3) 5. 250 6. 3) 7. 3) 8. 1) 9. 3) 10. 4)11. 1) 12. 1) 13. 2) 14. 1) 15. 3) 16. 2) 17. 1.45 18. 3) 19. 2.5 20. 3)21. 2) 22. 4.25


1. ให A, B และ C เปนเมตริกซขนาด n × n ขอความใดตอไปนี้เปนจริงเสมอ1) (A - B)(A + B) = A2 - B2 2) ถา AB = AC แลว B = C3) ถา AB = 0 แลว A = 0 หรือ B = 0 4) ((At)t)t = At


4 0 33 1 22 1 1

- 1A2A3A

และ B =

333231232221131211

b b bb b bb b b 1B

2B3B

B เปนเมตริกซท่ีไดจาก A โดยการดํ าเนินการดังนี้ B1 = A1 และ B2 = A2 - 2A1 , B3 = A3 - 3A1คาของ b23 + b33 เทากับจํ านวนในขอใดตอไปนี้1) -3 2) -1 3) 1 4) 3


θθθθ

1 00 1=I ,cossin

sincos

- และ B = A2 + (A-1)2 + 2I ดังนั้น (A-1)2 B มีคาตรงกับ

ขอใดตอไปนี้1) 2I 2) 4I 3) 4A 4) 8A


1 3

3 121=A --

- ถา B เปนเมตริกซ 2 × 2 ท่ีสอดคลองสมการ BA-1 = At แลว B คือ

เมตริกซในขอใดตอไปนี้

1)

0 1

1 0 2)

0 1

1 0 -

- 3)

1 0

0 1 4)

1 1

1 1

--

5. กํ าหนด A =

6 13 1 , X =

d cba และ B =

3 60 5 ถา AX = B แลวคาของ

a bc d เทากับเทาใด

1) -5 2) -3 3) 3 4) 5


= 1 00 1 I , 5 2

7 3=A x เปนสเกลาร ถา C = A-1 - xI และ det (C) = 0 แลว x มคีาเทากับ

ขอใดตอไปนี้1) 13 2) 15 3) 4 15 ± 4) ± 60

7. ถา A =

1 3

1 1

-- แลว det (-2A3At(A + At)) เทากับขอใดตอไปนี้

1) 768 2) -768 3) 384 4) -3848. ถา A =

x 10 x

- โดยท่ี x เปนจํ านวนจริง และ det (A + At) = -13 แลว det (3A-1) เทากับเทาใด1) -4 2) -3 3) -2 4) -1


1 31 x

- โดยท่ี x เปนจํ านวนจริง ถา det (A-1) = 15 แลว 2A-1 คือเมตริกซในขอใด

1) 25

3 2 1 1- 2) 25

2 3 1 1- 3) 25

3 21 1

- 4) 25

2 31 1 -


1 23 1

- และ B =

2 1 y4

- ถา det (AB + B) = 84 แลว y มีคาเทาใด

1) 5 2) 6 3) 7 4) 8

11. ให f(x) = det

1 1 x2 1 01 x x2 -

ถาชวง [a, b] เปนเซตคํ าตอบของอสมการ f(x) ≥ -2 แลว | a - b | คือ

ขอใด1) 13 2) 23 3) 43 4) 53

12. ถา A, B และ C เปนเมตริกซมิติ 3 × 3 ถา det (A) = -3 และ AtB - 2AtCt = -3A-1 แลว det (2C - Bt)เทากับขอใดตอไปนี้1) -3 2) -1 3) 1 4) 3

13. ถา A =

0 21a

- และ B เปนเมตริกซซ่ึง BA = A-1 และ 2B - 2A-1 + I = 0 แลวเมตริกซ B ตรงกับขอใด

1) 12

1 21 1

-- 2) 12 - -1 1 3) 12

1 12 1

-- 4) 12

1 12 1

--

14. จากระบบสมการ 3x - y - 5 = 02x + y - 3z = 4x + 3z - 1 = 0

สามารถเขียนเปนเมตริกซของสัมประสิทธิ์ ตัวแปร และคาคงตัวไดตรงกับเมตริกซในขอใด

1)

0 1 3 14 3 1 20 5 1 3

----

2)

1 3 0 14 3 1 25 0 1 3

--

--3)

1 3 0 14 3 1 25 0 1 3

--

--4)

1 3 0 14 3 1 25 0 1 3

--

15. ถาเมตริกซของสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x, y, z และคาคงตัวของระบบสมการเชิงเสนระบบหนึ่งเขียนเปน

5 5 0 0 7 1 0 6 0 1 1 4

---

คาสัมบูรณของ x เทากับเทาใด

เฉลย

1. 4) 2. 1) 3. 2) 4. 3) 5. 4) 6. 3) 7. 2) 8. 2) 9. 4) 10. 2)11. 4) 12. 4) 13. 1) 14. 4) 15. 1

สถิติ

1. ความหมายสถิติ หมายถึง ตัวเลขท่ีใชแทนขอเท็จจรงิ หรอืขอมลูท่ีเปล่ียนแปลงหรอืแปรเปลีย่นไป แตตองเปนตัวเลขรวบยอด

ซ่ึงประมวลมาไดจากขอมูลเบ้ืองตนโดยการวิเคราะหคํ านวณสถิติ หมายถึง ศาสตรซ่ึงเปนท้ังวิทยาศาสตรและศิลปะท่ีเก่ียวของกับระเบียบวิธีทางสถิติ ดังนี้1. การเก็บรวบรวมขอมูล2. การนํ าเสนอขอมูล3. การวิเคราะหขอมูล4. การตีความหมายขอมูลขอมูลสถิติ หรือขอมูล หมายถึง ขอเท็จจริงท่ีเปนตัวเลขหรือไมเปนตัวเลขซ่ึงเก่ียวกับเรื่องหนึ่งเรื่องใดที่เราสนใจ

ศึกษา

2. ประเภทของขอมูล1. ขอมูลปฐมภูมิ ไดแก การสํ ารวจ การสัมภาษณ การสังเกต การใชแบบสอบถาม การทดลอง2. ขอมูลทุติยภูมิ ไดแก ทะเบียนประวัติ รายงานตางๆ บทความ

3. การจํ าแนกขอมูล1. ขอมูลเชิงคุณภาพ2. ขอมูลเชิงปริมาณ3. ขอมูลตามกาลเวลา4. ขอมูลตามสภาพภูมิศาสตร

4. การนํ าเสนอขอมูล1. การนํ าเสนอขอมูลอยางไมเปนแบบแผน ไดแก

ก. รูปบทความข. รูปบทความกึ่งตาราง

2. การนํ าเสนออยางเปนแบบแผนก. ตารางข. แผนภูมิ แผนภาพค. กราฟ นิยมใชกับขอมูลในรูปในอนุกรมเวลา

5. การวิเคราะหขอมูลการวิเคราะหขอมูล คือ การแยกขอมูลท่ีไดมาเปนตัวเลขจากการเก็บรวบรวมขอมูลใหเปนระเบียบ รวมถึงการหา

คาสถิติตางๆ

6. สัญลักษณของผลรวม (Σ ซิกมา)

xii=1

N∑ = x1 + x2 + x3 + ... + xN

1. ci=1

N∑ = Nc

2. cxii=1

N∑ = c xii=1

N∑

3. (x + y )i ii=1

N∑ = x + yii=1

Nii=1

N∑ ∑

4. (x y )i ii=1

N-∑ = x yii=1

Nii=1

N∑ ∑-

7. ตารางแจกแจงความถี่แบบเปนอันตรภาคชั้นความถี่ คือ ตัวเลขท่ีแสดงจํ านวนขอมูลในแตละชวงคะแนน

ขอบลาง = คะแนนนอยท่ีสุดของช้ันน้ัน + คะแนนมากทีสุ่ดในช้ันท่ีคะแนนต่ํากวา 1 ช้ัน2

ขอบบน = คะแนนมากทีสุ่ดของช้ันน้ัน + คะแนนนอยท่ีสุดในช้ันท่ีคะแนนสูงกวา 1 ช้ัน2

ความกวาง = ขอบบน - ขอบลาง

จุดก่ึงกลางของอันตรภาคชั้น = ขอบลาง + ขอบบน2 = คะแนนสูงสุด + คะแนนต่ําสุด

2

ความถ่ีสัมพัทธ = ความถ่ีของอันตรภาคช้ันน้ันความถ่ีท้ังหมด

รอยละของความถ่ีสัมพัทธ = ความถ่ีสัมพัทธ × 100

ความถ่ีสะสมสัมพัทธ = ความถ่ีสะสมของอันตรภาคช้ันน้ันความถ่ีท้ังหมด

รอยละของความถ่ีสะสมสัมพัทธ = ความถ่ีสะสมสัมพัทธ × 100

8. การวัดคากลางคากลางของขอมูล คือ ตัวแทนของขอมูลท้ังหมดท่ีสามารถจะไปใชในการวิเคราะหI. คาเฉลี่ยเลขคณิต (X)

วิธีทํ า

1. ขอมูลไมแจกแจงความถี่ X = ΣXN i

ตัวอยาง จงหา X ของ 2, 3, 3, 3, 4, 8, 10, 15วิธีทํ า X = 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 8 + 10 + 158

= 488 = 6

2. ขอมูลท่ีแจกแจงความถี่ X = ΣΣ( f X )

fi ii

ตัวอยาง กํ าหนดขอมูลใหตามตารางแจกแจงความถี่

อันตรภาคชั้น ความถี่สะสม20-2930-3940-4950-5960-6970-79

82030445260

วิธีทํ า เนื่องจากโจทยใหความถ่ีสะสมมา ดังนั้นจะตองเริ่มจากการหาความถ่ีใหไดกอน

อันตรภาคชั้น ความถี่ (f) จุดก่ึงกลางชั้น (Xi) fXi20-2930-3940-4950-5960-6970-79

812101488

24.534.544.555.565.575.5

196414445777524604

Σf = 60 ΣfXi = 2960

X = ffXiΣΣ

= 602960

= 49.33

3. คุณสมบัติของคาเฉล่ียเลขคณิต * 1. Σ(Xi - a)2 มีคานอยท่ีสุด เมื่อ a = X* 2. Σ(Xi - a) = 0 เมื่อ a = X

3. ΣXi = NX4. คาเฉล่ียเลขคณิตถวงนํ้ าหนัก

X = X w + X w + ... +X ww +w + ... +w1 1 2 2 n n

1 2 n

* 5. คาเฉล่ียเลขคณิตรวม Xรวม = X N + X N + ... + X N

N +N + ... +N1 1 2 2 n n1 2 n

II. มัธยฐาน (Med)มัธยฐาน คือ คาของขอมูลท่ีมีตํ าแหนงอยูก่ึงกลางระหวางขอมูลท้ังหมด เมื่อไดเรียงขอมูลจากนอยไปหามาก


1. ขอมูลไมแจกแจงความถี่ 1. เรียงลํ าดับขอมูลจากนอยไปมาก2. หาตํ าแหนงมัธยฐาน = N+ 12

3. หาคามัธยฐาน คือ ขอมูลท่ีมีตํ าแหนงตามขอ 2ตัวอยาง จงหามัธยฐานของ 2, 3, 3, 3, 4, 8, 10, 15วิธีทํ า 1. เรียงขอมูล 2, 3, 3, 3, 4, 8, 10, 15

2. หาตํ าแหนง 8 + 12 = 4.53. 2, 3, 3, 3, 4, 8, 10, 15

∴ มัธยฐาน 3 + 42 = 3.5

2. ขอมูลท่ีแจกแจงความถี่ 1. หาความถี่สะสมจากนอยไปมาก2. หาตํ าแหนงมัธยฐาน = N23. หาคามัธยฐานโดยวิธีเทียบสัดสวน หรือใชสูตร

มัธยฐาน = L + Ifm f L- Σตําแหนง

L คือ ขอบลางของชั้นท่ีมีมัธยฐานอยูI คือ ความกวางของชั้นท่ีมีมัธยฐานอยูfm คือ ความถ่ีของชั้นท่ีมีมัธยฐานอยูΣfL คือ ความถ่ีสะสมของชั้นกอนหนามัธยฐาน

ตัวอยาง กํ าหนดขอมูลใหตามตารางแจกแจงความถี่


82030445260

วิธีทํ า เนื่องจากโจทยใหความถ่ีสะสมมา ดังนั้นจะตองเริ่มจากการหาความถี่ใหไดกอน

อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม20-2930-3940-4950-5960-6970-79

812101488

82030445260

มัธยฐานตกชั้นนี้

1. หาความถี่สะสม2. หาตํ าแหนงมัธยฐาน = N2 = 602 = 30

3. ใชสูตร มัธยฐาน = L + If m

f L- Σตําแหนง= 39.5 + 1010 [30 - 20]= 49.5

หมายเหตุ ถาตํ าแหนงท่ีหาไดตกพอดีกับความถ่ีสะสมชั้นใดสามารถตอบขอบบนของชั้นนั้นไดเลย

3. คุณสมบัติของมัธยฐาน Σ| Xi - b | มีคานอยสุด เมื่อ b = มัธยฐาน

4. โจทยลักษณะอื่นๆ ตัวอยาง อายุของเด็กกลุมหนึ่งมีการแจกแจงดังนี้อายุ (ป) จํ านวนเด็ก

1-34-67-9

10-12

3a64

ถามัธยฐานของอายุของเด็กกลุมนี้เทากับ 7 ป แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 3 2) 4 3) 5 4) 6วิธีทํ า เนื่องจากโจทยกํ าหนดมัธยฐานอายุของเด็กเทากับ 7 ป

แสดงวามัธยฐานตองตกอยูในอันตรภาคชั้น 7-9

อายุ (ป) จํ านวนชั้น ความถี่สะสม1-34-67-9

10-12

3a64

33 + a9 + a13 + a

1. หาความถี่สะสม2. หาตํ าแหนงมัธยฐาน = N2 = 13 + a2

3. ใชสูตร มัธยฐาน = L + If m

f L- Σตําแหนง

7 = 6.5 + 36 13 + a2 (3 + a) -

0.5 = 12

2a) + 2(3 a + 13 -

1 =

+ 2 2a 6 a 13 --

2 = 7 - aa = 5

III.ฐานนิยม (Mo) คือ คาของขอมูลท่ีมีความถ่ีสูงสุดวิธีทํ า

1. ขอมูลไมแจกแจงความถี่ ฐานนิยม คอื ขอมลูตัวท่ีซ้ํ ากันมากทีสุ่ด ซ่ึงอาจมหีลายคาหรือไมมีเลยก็ไดตัวอยาง จงหาฐานนิยมของ 2, 3, 3, 3, 4, 8, 10, 15วิธีทํ า 3 เปนขอมูลท่ีมีความถ่ีสูงสุด

∴ ฐานนิยม = 32. ขอมูลท่ีแจกแจงความถี่

ฐานนิยม = L + I

211d + d

d

L เปนขอบลางของชั้นท่ีมีฐานนิยมอยูd1, d2 เปนผลตางของความถ่ีของชัน้ท่ีฐานนยิมอยูกับชั้นท่ีมีคะแนนต่ํ าและสูงกวา 1 ชั้น ตามลํ าดับ

ตัวอยาง


82030445260

วิธีทํ า เนื่องจากโจทยใหความถ่ีสะสมมา ดังนั้นจะตองเริ่มจากการหาความถ่ีใหไดกอน

อันตรภาคชั้น ความถี่20-2930-3940-4950-5960-6970-79

812101488

d1 = 14 - 10 = 4 ฐานนิยมตกชั้นนี้

d2 = 14 - 8 = 6

ฐานนิยม = L + I

221d + d

d

= 49.5 + 10

+ 6 4 4

= 53.5IV. คากึ่งกลางพิสัย (Mid-range)คาก่ึงกลางพิสัย คือ คาท่ีไดจากการนํ าขอมูลท่ีมีคามากท่ีสุดและนอยท่ีสุดมาหาคาเฉล่ียเลขคณิต


1. ขอมูลไมแจกแจงความถี่ ก่ึงกลางพิสัย = คาสูงสุด + คาต่ําสุด2

ตัวอยาง จงหาคาก่ึงกลางพิสัยของ 2, 3, 3, 3, 4, 8, 10, 15

วิธีทํ า คาสูงสุด + คาต่ําสุด2 = 15 + 22

= 8.5

2. ขอมูลท่ีแจกแจงความถี่

ก่ึงกลางพิสัย = ขอบบนของอันตรภาคช้ันมากสุด + ขอบลางของอันตรภาคช้ันนอยสุด2

หลักเกณฑในการใชคากลางชนิดตางๆ1. คาเฉล่ียเลขคณิตเหมาะที่จะนํ ามาใชเปนคากลางของขอมูล เมื่อขอมูลนั้นๆ ไมมีคาใดคาหนึ่งหรือหลายๆ คา

ซ่ึงสูงหรือต่ํ ากวาคาอื่นๆ อยางผิดปกติ2. คามัธยฐานเหมาะที่จะนํ ามาใชเปนคากลางของขอมูล เมื่อขอมูลนั้นๆ มีคาใดคาหนึ่งหรือหลายๆ คา ซ่ึงสูง

หรือต่ํ ากวาคาอื่นๆ อยางผิดปกติ หรือตองการทราบวาคาท่ีเปนไปไดคาใดของขอมูลนั้นซ่ึงมีจํ านวนคาสังเกตที่มากกวาและนอยกวาคานี้อยูประมาณเทาๆ กัน

3. คาฐานนิยมเหมาะที่จะนํ ามาใชเปนคากลางของขอมูล เมื่อขอมูลนั้นเปนขอมูลท่ีเปนคามาตรฐาน เชน ขนาดของรองเทา ขนาดของยางรถยนต

ขอสังเกตที่สํ าคัญในการใชคากลาง1. คาเฉล่ียเลขคณิตเปนคากลางที่ไดจากการนํ าทุกๆ คาของขอมูลมาเฉล่ีย แตมัธยฐานและฐานนิยมเปนเพียง

คากลางที่ใชตํ าแหนงท่ีของขอมูลบางคาเทานั้น2. ถาในจํ านวนขอมูลท้ังหมดมีขอมูลบางคาท่ีมีคาสูงกวาหรือต่ํ ากวาขอมูลอื่นๆ มาก จะมีผลกระทบกระเทือน

ตอการหาคากลางโดยใชคาเฉล่ียเลขคณิต แตไมมีผลกระทบกระเทือนตอการหาคากลางโดยใชมัธยฐานหรือฐานนิยม *3. ถาการแจกแจงความถี่ของขอมูลประกอบดวยอันตรภาคชั้นท่ีมีชวงเปดอาจเปนชั้นต่ํ าสุดหรือชั้นสูงสุดชั้นใด

ชั้นหนึ่งหรือท้ังสองชั้น การหาคากลางโดยใชคาเฉล่ียเลขคณิตไมสามารถหาได แตสามารถหามัธยฐานหรือฐานนิยมได4. การแจกแจงความถี่ของขอมูลท่ีมีความกวางของแตละอันตรภาคชั้นไมเทากัน อาจมีผลทํ าใหคากลางที่หาโดย

ใชคาเฉล่ียเลขคณิตหรือฐานนิยมคลาดเคล่ือนไปจากที่ควรจะเปนไดบาง แตไมมีผลกระทบกระเทือนตอการหามัธยฐาน5. ในกรณีท่ีขอมูลเปนขอมูลคุณภาพ จะสามารถหาคากลางไดเฉพาะฐานนิยมเทานั้น แตไมสามารถหาคาเฉล่ีย-

เลขคณิตหรือมัธยฐาน


1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน ม.4 ท้ังหมดของโรงเรียนแหงหนึ่ง ปรากฏผลดังนี้มัธยฐานของคะแนนสอบทั้งหมดเทากับ 53.5 ซ่ึงอยูในชวงคะแนน 50–59มีนักเรียนท่ีสอบไดต่ํ ากวา 49.5 คะแนนอยู 70 คนมีนักเรียนท่ีสอบไดต่ํ ากวา 59.5 คะแนนอยู 85 คน

จํ านวนนักเรียน ม.4 ท้ังหมดนี้ เทากับขอใดตอไปนี้1) 150 2) 152 3) 156 4) 158

2. ให x1, x2, … , x10 เปนขอมูล 10 จํ านวนดังนี้ 2, 4, 6, 7, a, b, 12, 12, 12, 19 โดยท่ี a, b เปนจํ านวนจริงซ่ึง a ≠ b ถาฐานนิยมของขอมูลชุดนี้เทากับ b และคาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับ 9.5 แลว

∑=

10

1ii || c x - มีคานอยท่ีสุด เมื่อ c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) 9.0 2) 9.5 3) 10.0 4) 10.5

3. ขอมูลชุดหนึ่งมี 10 จํ านวน เมื่อเรียงขอมูลจากคานอยท่ีสุดไปหาคามากท่ีสุด ไดคาของขอมูลในตํ าแหนงท่ี 6 เปน55 และคํ านวณคาเฉล่ียเลขคณิตไดเทากับ 60 คามัธยฐานเทากับ 50ตอมาพบวามกีารบันทึกขอมลูผดิพลาด โดยท่ีคาของขอมลูในตํ าแหนงท่ี 6 ท่ีแทจรงิเปน 60 ถาแกขอมูลใหถูกตองแลวผลตางระหวางคาเฉล่ียเลขคณิตและคามัธยฐานของขอมูลชุดนี้ท่ีถูกตอง มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 5 2) 7 3) 8 4) 10

4. กํ าหนดตารางแจกแจงความถี่ของขอมูลชุดหนึ่งดังนี้

ชวงคะแนน ความถี่นอยกวาหรือเทากับ 4

5-910-1415-1920-24

26122010

ให X = คาเฉล่ียเลขคณิต และ Med = มัธยฐานของขอมูลขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) หาคา X ไมได และ Med = 15.75 2) หาคา X ไมได และ Med = 15.353) X = 15 และ Med = 15.75 4) X = 15 และ Med = 15.35

5. ขอมูลชุดหนึ่งเรียงจากนอยไปมากเปนดังนี้ 98, 100, 101, 104, a, 109, 110, 111, bถาพิสัยและคาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับ 14 และ 106 ตามลํ าดับ แลวมัธยฐานของขอมูลนี้เทากับขอใดตอไปนี้1) 107.5 2) 108 3) 108.5 4) 109

6. เมื่อนํ าอายุของเด็กกลุมหนึ่งจํ านวน 24 คน มาสรางตารางการแจกแจงความถี่สะสมไดดังนี้

อันตรภาคชั้น ความถี่สะสม2-56-9

10-1314-17

4141824

ถาคาฐานนิยมของขอมูลเทากับ a และความถ่ีอันตรภาคชั้นท่ีมีฐานนิยมอยูเทากับ b แลว ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) a = 7.5, b = 10 2) a = 7.5, b = 14 3) a = 9.5, b = 10 4) a = 9.5, b = 14

7. ให a เปนจํ านวนจริงท่ีทํ าให (X a)i2

i=1

8-∑ มีคาต่ํ าสุดสํ าหรับขอมูล 2 2 6 12 12 20 16 10

แลวมัธยฐานของขอมูล 5 a 2a 6 3 7 15 16เทากับขอใดตอไปนี้1) 8.5 2) 8 3) 7.5 4) 7

8. ในการสอบครั้งหนึ่งมีผูเขาสอบ 3 คน ปรากฏวาคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ 67มัธยฐานเทากับ 65และพิสัยเทากับ 16

ผูท่ีสอบไดคะแนนสูงสุดไดคะแนนเทาใด9. สมศรีซ้ือเงาะ 5 กิโลกรัม ราคากิโลกรมัละ 15 บาท มังคุด 6 กิโลกรัม ราคากิโลกรมัละ 20 บาท ทุเรียน 9 กิโลกรัม

ราคากิโลกรัมละ 25 บาท สมศรีซ้ือผลไมโดยเฉลี่ยกิโลกรัมละเทากับขอใดตอไปนี้1) 21 บาท 2) 22 บาท 3) 23 บาท 4) 24 บาท

10. ให X เปนคาเฉล่ียเลขคณิตของเกรดเฉลี่ยสะสม ต้ังแต ม.4 ถึง ม.6 ของสมศักดิ์ สมศรี และสมสวย ดังตาราง

ชื่อ หนวยกิตท่ีเรียน เกรดเฉลี่ยสะสมสมศักดิ์สมศรีสมสวย

124125121

2.50-

3.00

ให X = 2.60 แลว สมศรีมีเกรดเฉล่ียสะสมเทากับขอใดตอไปนี้1) 2.21 2) 2.31 3) 2.41 4) 2.61

เฉลย

1. 2) 2. 4) 3. 3) 4. 1) 5. 4) 6. 1) 7. 1) 8. 76 9. 1) 10. 2)


1. กํ าหนดให X1, X2, ... , X10 มีคาเปน 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามลํ าดับ โดยท่ี a < 15ถาพิสัยของขอมูลชุดนี้เทากับ 12

b เปนจํ านวนจริงท่ีทํ าให (X b)i2

i=1

10 -∑ มีคานอยท่ีสุด

และ c เปนจํ านวนจริงท่ีทํ าให X c| |ii=1

10 -∑ มีคานอยท่ีสุด

แลว a + b + c มีคาเทาใด2. ในการทํ าคะแนนสอบของนักเรียน 40 คน ครั้งหนึ่งครูประจํ าชั้นคิดคาเฉล่ียเลขคณิตได 35 คะแนน ตอมาตรวจ

พบวาบวกคะแนนของนักเรียน 2 คน ผิดไปคือนอยไป 3 คะแนน และ 5 คะแนน คาเฉล่ียเลขคณิตท่ีถูกตองของนักเรียน 40 คน เทากับเทาใด1) 31 2) 35.2 3) 39 4) 42

3. นักเรียนกลุมหนึ่งมีอายุ 14, 15, 15, 14, 13, 16 และ 17 ป อีก 7 ปขางหนาอายุเฉล่ียของนักเรียนกลุมนี้เทากับก่ีป1) 14.9 2) 16.9 3) 20.9 4) 21.9

4. คาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียน 10 คน เทากับ 72 คะแนน ถาคะแนนของนักเรียน 8 คน เปนดังนี้39, 46, 54, 70, 83, 86, 93 และ 99 คะแนน สวนคะแนนของนักเรียน 2 คน ครูทํ าหาย แตปรากฏวานักเรียน2 คนนี้มีคะแนนตางกัน 4 คะแนน ดังนั้นมัธยฐานของคะแนนสอบของนักเรียน 10 คนนี้เทากับเทาใด1) 69.0 2) 72.5 3) 75.0 4) 76.5

5. ถา θ1 และ θ2 เปนคาท่ีทํ าให ∑ θ7

1=i21i )(X - และ | |Xi 2i=1

7-θ∑ มีคาต่ํ าสุดสํ าหรับขอมูลตอไปนี้ 2, 4, 6, 7,

12, 12, 13 แลวคา θ1 และ θ2 ตรงกับขอใดตอไปนี้1) θ1 = 8, θ2 = 12 2) θ1 = 7, θ2 = 8 3) θ1 = 8, θ2 = 7 4) θ1 = 12, θ2 = 7

6. กํ าหนดขอมูล 2 ชุด คือชุดท่ี 1 a 6 5 3 3ชุดท่ี 2 1 4 4 4 b

คา a เปนเทาใดจึงจะทํ าใหคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับฐานนิยมของชุดท่ี 21) 2.5 2) 3.0 3) 3.5 4) 4.0

7. บริษัทแหงหนึ่งจํ าแนกลูกจางเปน 2 กลุม คือคนงานและพนักงาน โดยท่ีคนงานมีคาจางรายวันเฉล่ีย 120 บาทตอคน พนักงานมีคาจางรายวันเฉล่ีย 440 บาทตอคน ถาจํ านวนคนงานเปน 3 เทาของจํ านวนพนักงานแลวลูกจางของบริษัทนี้มีคาจางรายวันเฉล่ียตอคนเทากับก่ีบาท1) 200 2) 266 3) 288 4) 360

8. คาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่งเปน 43 คะแนน ถาคิดคาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนชายและหญิงแยกกันจะไดเปน 45 และ 40 คะแนน ตามลํ าดบัแลว อตัราสวนระหวางจํ านวนนักเรียนชายและนักเรียนหญิงคือขอใดตอไปนี้1) 2 : 3 2) 2 : 5 3) 3 : 2 4) 3 : 5

9. นักเรียนชั้นหนึ่งเปนนักเรียนชาย 60 คน นักเรียนหญิง 40 คน คํ านวณอายุเฉล่ียของนักเรียนชายได 15.2 ปอายุเฉล่ียของนักเรียนหญิงได 14.5 ป แตนักเรียน 2 คน บอกอายุเกินไป 1 ป อีก 2 คน บอกอายุต่ํ าไป 2 ป อายุเฉล่ียท่ีแทจริงของนักเรียนชั้นนี้เปนก่ีป1) 14.56 2) 14.60 3) 14.64 4) 14.94

10. ครูสอนคณิตศาสตรไดรายงานผลการสอบยอยของนักเรียน 3 กลุมดังนี้

กลุมท่ี 1 กลุมท่ี 2 กลุมท่ี 3คะแนนเฉลี่ย 15 12 13จํ านวนนักเรียน 10 8 x

ถาคะแนนเฉล่ียของวิชาคณิตศาสตรเทากับ 13.4 จํ านวนนักเรียนกลุมท่ี 3 (x) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 8 2) 10 3) 12 4) 14

11. จากขอมูลในตารางตอไปนี้

จํ านวนวันท่ีหยุด จํ านวนนักเรียน0-23-56-89-1112-14

81210010

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) มัธยฐานนอยกวาฐานนิยม 2) คาเฉล่ียเลขคณิตนอยกวามัธยฐาน3) มัธยฐานมากกวาฐานนิยม 4) ฐานนิยมมากกวาคาเฉล่ียเลขคณิต

12. ตารางคาใชจายรายวันของนักเรียน 50 คน เปนดังนี้

อันตรภาคชั้น ความถี่40-4950-5960-6970-7980-8990-99

13712864

มัธยฐานเทากับเทาใด1) 63.67 2) 64.18 3) 64.50 4) 65.06

13. ตารางขางลางนี้แสดงความถี่ และความถ่ีสะสมบางอยางของคะแนนของนักเรียน 200 คน

คะแนนสอบ ความถี่ ความถี่สะสม⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

75-79 40 15270-74 50 11265-69 26 62⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

จงหามัธยฐานของขอมูลชุดนี้

14. ถาตารางแจกแจงความถี่ของขอมูลชุดหนึ่ง ซ่ึงมีความกวางแตละอันตรภาคชั้นเทากันเปนดังตอไปนี้

ชั้นท่ี จุดก่ึงกลางของอันตรภาคชั้น ความถี่สะสม12345

...

...

...2530

816364050

ให X เปนคาเฉล่ียเลขคณิต และ Med เปนมัธยฐานของขอมูล ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) X = 19 และ Med = 19.75 2) X = 19 และ Med = 17.53) X = 20 และ Med = 19.75 4) X = 20 และ Med = 17.5

15 ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 5, 4, 3, 1, 6, 5, 3, 7, 5, 8, 9, X จงหาคา X ท่ีทํ าใหขอมูลชุดนี้มีคาเฉล่ียเลขคณิตมัธยฐาน และฐานนิยม เทากัน

เฉลย

1. 19 2. 2) 3. 4) 4. 3) 5. 3) 6. 2) 7. 1) 8. 3) 9. 4) 10. 3)11. 3) 12. 1) 13. 73.3 14. 3) 15. 4

แบบทดสอบเพื่อเตรียมความพรอมกอนสอบจริง

คํ าแนะนํ า1. แบบทดสอบมีท้ังหมด 2 ชุด โดยในแตละชุดมี 10 ขอ (เนื้อหาเฉพาะสวนของ ม.5) ขอละ 3 คะแนน รวมเปน

คะแนนเต็มในแตละชุด 30 คะแนน2. ใชเวลาทํ าชุดละ 40 นาที3. กอนท่ีนักเรียนจะทํ าแบบทดสอบทั้ง 2 ชุดนี้ ขอใหนักเรียนทบทวนเนื้อหาของคณิตศาสตร 2 ในสวนของ ม.5

ท้ังหมดกอน แลวนักเรียนจึงลองมาทํ าและจับเวลาเหมือนกับการสอบจริง

ชุดท่ี 11. ถา p, q, r เปนประพจนโดยท่ี ∼p ∨ q และ (p → q) → r มีคาความจริงเปนจริงท้ังคู

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. p → (∼r → q) มีคาความจริงเปนจริงข. (q ∧ ∼r) → p มีคาความจริงเปนจริง


2. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. p → (q ∧ r) สมมูลกับ (∼p ∨ q) ∧ (∼p ∨ r)ข. นิเสธของขอความ ∃x [P(x) ∧ ∼Q(x)] สมมูลกับ ∀x [∼Q(x) → ∼P(x)]


3. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํ านวนเต็มบวก ประพจน ∃x [5x = -5x] มีคาความจริงเปนจริงข. กํ าหนดเอกภพสัมพัทธ U =

21 0, U [4, 6) ประพจน ∃x [2x2 - 11x + 12 ≤ 0] มีคาความจริงเปนจริง


4. ถา yxx

24+

= 8 และ 5yyx

39 +

= 243, x และ y เปนจํ านวนจริง แลว xy เทากับเทาใด

1) 512 2) 4 3) 6 4) 12

5. ถา a เปนคํ าตอบของสมการ x2log

169

⋅

1 x2log2764

-

= 4

3 แลว (log2 a)3 มีคาเทากับขอใด1) 1 2) 2 3) 6 4) 8

6. ถา cos A = 53 และ π < A < 2π แลว tan A + cosec (-A) เทากับขอใด

1) - 1231 2) - 12

1 3) 1231 4) 12

1

7. กํ าหนดให sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A สํ าหรบัทุกคาของ A และ B แลว oo

oo

15 sin 15 cos15 sin 15 cos 33

++

มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 0 2) 4

1 3) 21 4) 4

3

8. กํ าหนดให a และ b เปนจํ านวนจริง และ A =

ba 0 1 ถา A2 = A-1 แลว a2 + b2 เทากับขอใดตอไปนี้

1) 0 2) 1 3) 41 4) 16

1


2 34 1

--

, B =

y4 x2

- และ C =

7 15 1

ถา det

AB21- = det (C-1) แลวคาของ

2x + y เทากับขอใด1) 10

1 2) 81 3) 6

1 4) 41

10. จากตารางแจกแจงความถี่ ขอใดตอไปนี้ผิด

อันตรภาคชั้น ความถี่35-39 940-44 1245-49 1050-54 15

55 ขึ้นไป 4รวม 50

1) ความถ่ีสะสมสัมพัทธของอันตรภาคชั้น 45-49 คือ 0.622) คาเฉล่ียเลขคณิตหาคาไมได3) ฐานนิยมคือ 524) มัธยฐานคือ 46.5

เฉลย

1. 1) 2. 1) 3. 3) 4. 2) 5. 4) 6. 2) 7. 4) 8. 2) 9. 1) 10. 3)

ชุดท่ี 21. กํ าหนดให p, q, r และ s เปนประพจน โดยท่ี q และ r ตางมีคาความจริงเปนเท็จ

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. [p ∨ (q → r)] ∧ (∼q) มีคาความจริงเปนจริงข. (p → ∼q) ↔ (r → s) มีคาความจริงเปนจริง


2. ขอความตอไปนี้ขอใดถูก1) p ↔ ∼q ≡ (p ∨ ∼q) ∧ (∼p ∨ q)2) ถา (p ∧ q) → p มีคาความจริงเปนจริง และ p มีคาความจริงเปนเท็จ แลวสรุปไดวา q มีคาความจริง

เปนเท็จ3) นิเสธของ ∃x [P(x) ∨ ∼Q(x)] คือ ∀x [P(x) ∨ ∼Q(x)]4) ∼q ∨ (p ∧ q) ≡ ∼p → ∼q

3. กํ าหนดใหเอกภพสัมพัทธ U = {x ∈ I | x ≥ 0} ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ1) ∃x [x3 = 3x] 2) ∀x [|x| = x]3) ∀x [3x + 1 > 2] 4) ∃x

> x x2 .

4. กํ าหนดให A เปนเซตคํ าตอบของสมการ logx 28 + logx 325 - logx 91 = log xB เปนเซตคํ าตอบของสมการ log2 x + 4 logx 2 = 5

AU B จะมีสมาชิกก่ีตัว1) 2 2) 3 3) 4 4) 5

5. กํ าหนดให log7 3 = a จงเขียน log7 63 - log21 3 ในรูปของ a

1) 1 a 1 3a 3a2

+-- 2) 1 a

1 2a 2a2+

++ 3) 3a2 + 3a + 1 4) 2a2 - 2a - 1

6. ooo

ooo

330 tan 180 sec 300 sin405 tan 210 cos 150 sin

⋅⋅+- มีคาเทากับขอใด

1) 3 + 3 2) - 3 - 3 3) 3 - 3 4) - 3 + 3

7. ถา θ ∈

ππ 23 , และ 6 cos2 θ + sin θ = 5 แลว (cos θ + tan θ)2 มคีาเทากับขอใด

1) 2725 2) 72

49 3) 7264 4) 72

81

8. กํ าหนดให A และ B เปนเมตริกซขนาด 2 × 2

ถา A + B =

2 32 2 และ A - B =

0 12 0

- และ C = A + 2B แลว C-1 คือเมตริกซในขอใด

1)

3 25 3

-- 2)

3 2 5 3

-- 3)

3 52 3

-- 4)

3 5 2 3

--


a 1 1 a

-- เมื่อ a ∈ R ถา det (2A2) + (1 - a)3 det (A-1)t = 45 แลวผลบวกของ a

ท่ีเปนไปไดท้ังหมดมีคาเทากับขอใด1) 0 2) 2 3) 4 4) 6

10. คะแนนการสอบวิชาคณิตศาสตร 2 ของนักเรียน 12 คน เปนดังนี้ 60, 65, 54, 50, 55, 50, 60, 60, 55, 65,52, 58 ให xi เปนคะแนนของนักเรียนคนท่ี i และ a เปนจํ านวนจริงใดๆพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ∑=

12

1i2

i a) (x - มีคานอยท่ีสุด เมื่อ a = 57

ข. ∑=

12

1i i a x -| | มีคานอยท่ีสุด เมื่อ a = 56.5


เฉลย

1. 1) 2. 4) 3. 3) 4. 3) 5. 2) 6. 2) 7. 1) 8. 4) 9. 3) 10. 1)

วิเคราะหขอสอบคัดเลือกเขามหาวิทยาลัยวิชาคณิตศาสตร 2 ม.6

ขอสอบวิชาคณิตศาสตร 2 มี 2 ตอน

ตอนที่ ลักษณะขอสอบ จํ านวนขอ คะแนน/ขอ คะแนนรวม1 อัตนัย (เติมคํ าตอบ) 8 2 162 ปรนัย (เลือกคํ าตอบ) 28 3 84

รวม 36 100

การสอบครั้งท่ีแลว ขอสอบใหนํ้ าหนักเนื้อหาในระดับชั้น ม.6 ประมาณ 37.5% โจทยบางขอตองใชความรูหลายเรื่องประกอบกันในการแกปญหา การแกโจทยสวนมากจะตองทํ าเปนหลายขั้นตอน เนื้อหาขอสอบเฉพาะในระดับชั้น ม.6จํ าแนกเปนเรื่องตางๆ ไดดังนี้

จํ านวนขอสอบ (ขอ)เน้ือหา ตอนที่ 1 ตอนที่ 2 รวม (ขอ) [คะแนน]

1. แคลคูลัส2. วิธีเรียงสับเปลี่ยน, วิธีจัดหมู, ความนาจะเปน3. การวัดตํ าแหนง, การวัดการกระจาย, เลขดัชนี

111

43

3.5

5 [14]4 [11]

4.5 [12.5]รวม 3 10.5 13.5 [37.5]

ประเด็นที่ออกขอสอบ

แคลคูลัส- ลิมิตและความตอเนื่อง (การหาลิมิตของฟงกชัน ลิมิตดานซายและลิมิตดานขวา การตรวจสอบความตอเนื่อง

และเง่ือนไขของความตอเนื่อง)- อนุพันธของฟงกชัน (การหาอนุพันธ การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟงกชัน และการหาความชันของเสนโคง

หรือเสนสัมผัสของเสนโคงท่ีกํ าหนดให)- คาสูงสุดและคาต่ํ า .สุดของฟงกชัน- การหาปฏิยานุพันธ (การอินทิเกรต)- การหาฟงกชันเมื่อกํ าหนดอนุพันธของฟงกชันและเงื่อนไขเพิ่มเติมบางอยาง

วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู- หลักมูลฐานของการนับ (กฎการคูณและกฎการบวก)- วิธีเรียงสับเปลี่ยน (วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเสนตรงและแบบวงกลมของสิ่งตางๆ ท้ังกรณีท่ีแตกตางกันทุกส่ิง และ

กรณีท่ีมีบางสิ่งเหมือนกัน มักมีเง่ือนไขอื่นๆ เพ่ิมเติม ซ่ึงตองหายุทธวิธีท่ีจะดํ าเนินการตามเง่ือนไขท่ีกํ าหนด อาจตองใชกฎคอมพลีเมนต)- วิธีจัดหมู (วิธีจัดหมูหรือวิธีเลือกส่ิงของตางๆ ตามเง่ือนไขท่ีกํ าหนด ซ่ึงตองหายุทธวิธีท่ีจะดํ าเนินการตามเง่ือนไข

ท่ีกํ าหนดเชนเดียวกับเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยน)ความนาจะเปน- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎของความนาจะเปน (กฎการบวกและกฎคอมพลีเมนตของความนาจะเปน

การแกโจทยบางขออาจจะทํ าไดงายย่ิงขึ้นเมื่อเขียนแผนภาพของเวนน-ออยเลอรแทนเหตุการณตางๆ)- การหาความนาจะเปนโดยใชเทคนิคการนับ (การแกโจทยจะตองนับจํ านวนวิธีเกิดเหตุการณท่ีสนใจและจํ านวน

วิธีเกิดผลลัพธตางๆ ท้ังหมดท่ีเปนไปไดโดยใชเทคนิคการนับ)

การวัดตํ าแหนงและการกระจาย- การวัดตํ าแหนง (การคํ านวณและแปลความหมายมาตรวัดตํ าแหนงตางๆ ไดแก เปอรเซ็นไทล เดไซล ควอไทล

และโดยเฉพาะอยางย่ิงคามาตรฐาน)- การวัดการกระจาย (การคํ านวณมาตรวัดการกระจาย โดยเฉพาะคาเบ่ียงเบนมาตรฐานและสมัประสิทธิ์การแปรผัน

รวมท้ังการนํ าไปใช ปญหาเกี่ยวกับสมบัติของคาเบ่ียงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน)เลขดัชนี

- การคํ านวณและแปลความหมายดัชนีราคา- การคํ านวณรายไดท่ีแทจริงและการนํ าไปใช

เตรียมสอบเรงดวน คณิตศาสตร 2 ม.6

สวนนี้จะเสนอประเด็นและเทคนิคการทํ าขอสอบเอนทรานซ คณิตศาสตร 2 ม.6 สํ าหรับผูท่ีมีพ้ืนฐานความรูแมนยํ าพอสมควรแลว และมีเวลานอย ในการเตรียมตัวสอบ ส่ิงสํ าคัญท่ีสุดหลังจากเขาใจเนื้อหาตางๆ อยางดีแลว คือฝกแกปญหาดวยตนเอง การฝกแกปญหาโจทยขอสอบเกา เปนประสบการณท่ีนํ าไปสูความสํ าเร็จไดอยางดี

ลิมิตและความตอเน่ือง1. การหาลิมิตของ f(x) ในบางกรณีอาจตองแปลง f(x) ใหอยูในรูปท่ีสามารถหาลิมิตโดยวิธีแทนคา

ตัวอยางท่ี 1 จงหา

→ ++ 9 x

6 3 x 1 lim23x --

แนะนํ า เขียน 3 x1+ +

9 x6

2 - ในรูปแบบอยางงายได 3 x

1-

ตอบ - 9 1

ตัวอยางท่ี 2 จงหา 2 3 x1x lim 4

1x

- -

+→

แนะนํ า ขั้นแรกเขียน 2 3 x1 x2-

-+

ใหมโดยคูณท้ังตัวเศษและตัวสวนดวย 2 3 x ++ เพ่ือใหตัวเศษอยูใน

รูปแบบตรรกยะ แลวทอนเศษสวนใหอยูในรูปแบบอยางงายตอบ 8

ตัวอยางท่ี 3 จงหา 1 y

3 y4 y lim21y

-- +

→

แนะนํ า ทอน 1 y

3 y4 y2 -

- + โดยใชวิธีตัดตัวประกอบรวม

ตอบ - 21

ตัวอยางท่ี 4 จงหา 1 x1 x lim 3

1x

--

→

แนะนํ า เขียน 3 x - 1 = 31x - 1 ในรูปแบบ ?1 x -

เขียน x - 1 = 21x - 1 ในรูปแบบ ?1 x -

จะได 1 x1 x3

-- = ... =

21x + 1x + x + 13232

ตอบ 32

2. ฟงกชันจะมีลิมิต เมื่อ x → a ก็ตอเมื่อ ฟงกชันมีท้ังลิมิตจากดานซาย (x → a-) และลิมิตจากดานขวา(x → a+)

ตัวอยางท่ี 5 จงหา f(x)lim3x -→

เมื่อ f(x) = |3 x|3 x

++

แนะนํ า หาลิมิตของ f(x) เมื่อ x → -3- และเมื่อ x → -3+

ลิมิตทางซายเทากับลิมิตทางขวาหรือไม ถาเทากันจึงจะมีลิมิตตอบ ไมมีลิมิต

ตัวอยางท่ี 6 กํ าหนดให f(x) =

+

≤

0> x, x x 2 x 2

0 x, 2 x x

1 x

22

----

-

จงหา f(x)lim0x +→

แนะนํ า เมื่อ x → 0+, f(x) = xx 2 x 2 --+

ตอบ 21

3. ฟงกชัน f ตอเนื่องท่ี x = a ถา lim f(x)x a→

= f(a)

4. ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันตอเนื่อง และหาลิมิตได โดยวิธีแทนคา

→f(a)=f(x) lim

ax

5. ฟงกชันตรรกยะ

พหุนามพหุนาม ไมตอเนื่องท่ีจุด x ซ่ึงทํ าใหตัวหารเทากับศูนย

ตัวอยางท่ี 7 ฟงกชัน f(x) = 2 x4 x2

-- ไมตอเนื่องท่ีจุดใด

แนะนํ า ฟงกชันตรรกยะไมตอเนื่องท่ีจุดซ่ึงทํ าใหตัวสวนเทากับ 0ตอบ x = 2

6. ฟงกชันท่ีกํ าหนดคาของ f(x) ขึ้นอยูกับวา x อยูบนชวงใด อาจไมตอเนื่องท่ีจุดแบงชวงของคาของ x หรืออาจไมตอเนื่องท่ีบางจุดภายในชวงก็ได

ตัวอยางท่ี 8 ฟงกชัน f(x) =

+

≥

<

4 x, x64 x, 2 x

6 x x2

2

-

--

ฟงกชัน f ไมตอเนื่องท่ีจุดใดแนะนํ า ฟงกชันตรรกยะไมตอเนื่องท่ีจุดซ่ึงตัวสวนเทากับ 0

ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันตอเนื่องฟงกชันท่ีนิยามเปนชวงๆ อาจไมตอเนื่องท่ีจุดแบงชวง

ตอบ x = 2, 4

7. ฟงกชันท่ีไมตอเนื่องท่ีจุด a บางกรณีแกไขใหตอเนื่องได ถาฟงกชันมีลิมิตท่ี x = a วิธีแกไข คือกํ าหนดคาของ f(a) ใหเทากับ lim f(x)

x a→y

fL

xa0 f ไมตอเนื่องท่ี x = a lim f(x)

x a→ = L

[กราฟของ f มีชองวางท่ี x = a]

yfL

a0 x

กํ าหนดเพ่ิมเติมวา f(a) = L = lim f(x)x a→

จะทํ าให f ตอเนื่องท่ี x = a [ชองวางท่ี x = a ถูกเติมเต็ม]

ตัวอยางท่ี 9 กํ าหนดให f(x) =

>

<

0 x, 1 2x0= x, k 0x , x 2

-เมื่อ k เปนคาคงตัวมีคาของ k ท่ีทํ าให f เปนฟงกชันตอเนื่องหรือไม

แนะนํ า ฟงกชัน f อาจไมตอเนื่องท่ี x = 0 ลองตรวจสอบดูวาจะแกไขใหตอเนื่องไดหรือไมตอบ ไมมีตัวอยางท่ี 10 กํ าหนดให f(x) =

≥<

++

1 x, b |2x|1 x, ax x

3--

ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องแลว a + b เทากับเทาใดแนะนํ า หาคาของ a + b ไดจากเง่ือนไขของความตอเนื่องของ fตอบ -3

อนุพันธ8. สูตรสํ าหรับหาอนุพันธมีหลายสูตร ควรจํ าใหแมน ในบางกรณีอาจตองแปลงฟงกชันใหอยูในรูปแบบที่ตรงกับ

สูตร1. ddx (คาคงตัว) = 02. ถา y = x จะได dy

dx = dxdx = 13. ถา y = kf(x) เมื่อ k เปนคาคงตัว จะได dy

dx = kf′(x)4. ถา y = xn เมื่อ n เปนคาคงตัวใดๆ แลว dy

dx = nxn-1

5. ถา y = f(x) + g(x) แลว dydx = f′(x) + g′(x)

6. ถา y = f(x) - g(x) แลว dydx = f′(x) - g′(x)

7. ถา y = f(x) ⋅ g(x) แลว dydx = f(x)g′(x) + g(x)f′(x)

8. ถา y = f(x)g(x) แลว

dydx = 2[g(x)]

(x)gf(x) (x)fg(x) ′′ -

9. ถา y = [f(x)]n เมื่อ n เปนคาคงตัวใดๆ แลว dydx = n[f(x)]n-1f′(x)

10. กฎลูกโซ ถา y = (fog)(x) = f(g(x)) แลว dydx = f′(g(x))g′(x)

หรือ ถา y = f(u) และ u = g(x) แลว dydx = dy

du ⋅ dudx

ตัวอยางท่ี 11 กํ าหนดให f(x) = e-3 + 3x1 จงหา f′(1)

แนะนํ า e-3 เปนคาคงตัว และ 3x1 = 3

1 21x-

ใชสูตร dxd (คาคงตัว) = 0 และ dx

d (xn) = nxn-1

ตอบ - 321

ตัวอยางท่ี 12 กํ าหนดให f(x) = 3 2 x x + จงหา f′(1)แนะนํ า ใชกฎลูกโซตอบ 3 46

5

ตัวอยางท่ี 13 กํ า.หนดให f(x) = x5 และ h(x) = (fog)(x)ถา g(2) = -1 และ g′(2) = 12 แลว จงหา h′(2)

แนะนํ า ใชกฎลูกโซ ถา h(x) = (fog)(x) และ h′(x) = f′(g(x)) ⋅ g′(x)ตอบ 60ตัวอยางท่ี 14 กํ าหนดให f(x) = (5x3 – 4x)4 g(x)

ถา g เปนฟงกชันท่ีหาอนุพันธได และ g(1) = 4 และ g′(1) = -4 จงหา f′(1)แนะนํ า หา f′(x) โดยใชสูตรผลคูณและกฎลูกโซแลวแทนคา x = 1, g(x) = 4 และ g′(1) = 4ตอบ 87

9. f′(x) มีความหมายในเชิงเรขาคณิตเปนความชัน (ของเสนสัมผัส) ของเสนโคง y = f(x) ท่ีจุด x ใดๆ

ตัวอยางท่ี 15 จงหาสมการของเสนต้ังฉากกับเสนสัมผัสของเสนโคง f(x) = 4 xx+ ท่ีจุดในควอดรันตท่ีส่ีซ่ึง f(x) = x

แนะนํ า หาจุดสัมผัสโดยแกสมการ f(x) = x จะได (-3, -3) เปนจุดสัมผัสเสนต้ังฉากท่ีตองการหามีความชัน m = - 3)(f

1-′

ตอบ x + 4y + 15 = 0

10. ฟงกชัน f มีคาเพ่ิมขึ้นบนชวงที่ f′(x) > 0 และมีคาลดลงบนชวงที่ f′(x) < 011. ให a เปนคาวิกฤติของฟงกชันตอเนื่อง f จะได f(a) เปนคาสูงสุดสัมพัทธ ถา f″(a) < 0 และ f(a) เปน

คาต่ํ าสุดสัมพัทธ ถา f″(a) > 0

ตัวอยางท่ี 16 กํ าหนดให f(x) = 4x4

+ x3 - 2x2 - 12จงหาชวงที่ฟงกชัน f มีคาเพ่ิมขึ้นและคาต่ํ าสุดสัมพัทธ

แนะนํ า ฟงกชัน f มีคาเพ่ิมขึ้นบนชวงที่ f′(x) > 0สํ าหรับฟงกชันตอเนื่อง f ซ่ึงมีคาวิกฤติ x0 จะได f(x0) เปนคาต่ํ าสุดสัมพัทธ ถา f″(x0) > 0

ตอบ ฟงกชัน f มีคาเพ่ิมขึ้นบนชวง (-4, 0) และ (1, ∞) คาต่ํ าสุดสัมพัทธของ f คือ f(-4) = -44 และ f(1) = -12.75

ปฏิยานุพันธ12. การหาปฏยิานพัุนธ ∫f(x)dx โดยใชสูตรตางๆ ในบางกรณีตองเขียน f(x) ใหมใหอยูในรูปแบบที่จะใชสูตรได

1. ∫kdf = kx + C เมื่อ k เปนคาคงตัว2. ∫xndx = 1 + n

x 1+n + C , n ≠ -1

3. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx เมื่อ k เปนคาคงตัว4. ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx5. ∫[f(x) - g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx

ขอควรระวัง (1) ∫f(x)g(x)dx ≠ (∫f(x)dx)(∫g(x)dx)(2) ∫ f (x)

g(x) dx ≠ g(x)dxf(x)dx∫∫

ตัวอยางท่ี 17 จงหาคาของ ∫

3 23

x5 x1

- dx

แนะนํ า เขียน 3x1 - 5 3 2 x ใหมในรูปผลตางของ xn แลวอินทิเกรตโดยใชสูตร

∫xndx = 1 + nx 1+n + C , n ≠ -1

ตอบ - 22x1 - 3 3 5 x + C

ตัวอยางท่ี 18 จงหาคาของ ∫ dxxx2 + 5

4 3

แนะนํ า เขียน xx2 + 5 4 3

ใหมในรูปผลบวกของ xn

ตอบ 10 x + 58 x 4 x + C

13. ปฏิยานุพันธกับอนุพันธมีความสัมพันธกันf(x) = ∫ ′(x)dxf

f (x)f(x)

หาอนุพันธ

หาปฏิยานุพันธ

′

ตัวอยางท่ี 19 ถา f′(x) = 3x2 + 2 และกราฟของ f ผานจุด (0, 1) แลว จงหา f(1)แนะนํ า f(x) = ∫f′(x)dxตอบ 4

วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู14. การแกปญหาเกี่ยวกับการนับจํ านวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนหรือวิธีจัดหมูภายใตเง่ือนไขท่ีกํ าหนด ความสํ าเร็จ

ขึ้นอยูกับวาเรามียุทธวิธีท่ีจะใชแกปญหา นอกเหนือจากการใชสูตรตางๆ ซ่ึงตองจํ าไดและใชไดถูกตอง1. กฎการคูณ ถาตองการทํ างาน 2 อยาง โดยท่ีงานอยางแรกทํ าได n1 วิธี และในแตละวิธีท่ีทํ างาน

อยางแรกนี้มีวิธีท่ีจะทํ างานอยางท่ีสองได n2 วิธี จํ านวนวิธีท่ีจะเลือกทํ างานท้ังสองอยางเทากับ n1n2 วิธี2. กฎการบวก ถาตองการทํ างานอยางใดอยางหนึ่งใน 2 อยาง โดยท่ีงานอยางแรกทํ าได n1 วิธี และ

งานอยางท่ีสองทํ าได n2 วิธี แตกตางจากวิธีตางๆ ท่ีทํ างานอยางแรก แลวจํ านวนวิธีทํ างานอยางแรกหรืออยางท่ีสองอยางใดอยางหนึ่งเทากับ n1 + n2 วิธี

3. วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเสนตรงของสิ่งของที่แตกตางกันท้ังหมด3.1 จํ านวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n ส่ิง ซ่ึงแตกตางกันท้ังหมดโดยใชทีละ r ส่ิง ไมซํ้ ากัน

เทากับ Pn, r = r)! (nn! - วิธี เมื่อ 0 ≤ r ≤ n ในกรณีท่ี r = n จะได Pn, n = n!

3.2 จํ านวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n ส่ิง ซ่ึงแตกตางกันท้ังหมดโดยใชทีละ r ส่ิง ซํ้ ากันไดเทากับ Pn, r = nr วิธี

4. วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเสนตรงของสิ่งของซึ่งมีบางสิ่งซํ้ ากันถามีส่ิงของจํ านวน n ส่ิง ในจํ านวนนี้มีบางสิ่งซ้ํ ากัน สมมติวาส่ิงท่ีซ้ํ ากันมี k พวก พวกท่ี 1 มี n1 ส่ิง

ซ้ํ ากัน, พวกท่ี 2 มี n2 ส่ิงซ้ํ ากัน, ... , พวกท่ี k มี nk ส่ิงซ้ํ ากัน แลวจํ านวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของทั้ง n ส่ิงเทากับ n!n !n ! ... n !1 2 k

วิธี

5. วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมของสิ่งของที่แตกตางกันท้ังหมดจํ านวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมของสิ่งของ n ส่ิง ซ่ึงแตกตางกันท้ังหมด โดยใชทุกส่ิงเทากับ

(n - 1)! วิธี เมื่อมองไดดานเดียว แตถามองไดสองดาน (พลิกกลับไดเชนเดียวกับวิธีรอยพวงมาลัย) จํ านวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนจะลดลงครึ่งหนึ่งเหลือ (n 1)!

2 - วิธี

6. วิธีจัดหมูของสิ่งของที่แตกตางกันท้ังหมด ถามีส่ิงของแตกตางกันท้ังหมด n ส่ิง6.1 จํ านวนวิธีจัดหมูหรือวิธีเลือกส่ิงของ r ส่ิงไมซ้ํ า.กัน (ไมคืนท่ี) เทากับ

Cn, r =

rn

= r)! (nr!n!

- วิธี

6.2 จํ านวนวิธีจดัหมูหรอืวธิเีลือกส่ิงของอยางนอย 1 ส่ิงไมซ้ํ ากัน (ไมคืนท่ี) หรือไมเลือกเลย เทากับCn, 0 + Cn, 1 + Cn, 2 + ... + Cn, n = 2n วิธี

ซ่ึงก็คือ จํ านวนสับเซตทั้งหมดของเซตที่มีสมาชิก n ตัว6.3 จํ านวนวิธีจัดหมูหรือวิธีเลือกส่ิงของอยางนอย 1 ส่ิงไมซ้ํ ากัน (ไมคืนท่ี) เทากับ

Cn, 1 + Cn, 2 + ... + Cn, n = 2n - 1 วิธี6.4 จํ านวนวิธีจัดหมูหรือวิธีเลือกส่ิงของ r ส่ิงซ้ํ ากันได (คืนท่ี) เทากับ

+r

1 r n - = 1)! (nr!1)! r (n

--+ วิธี

ตัวอยางท่ี 20 ชาย 4 คน และหญิง 5 คน นั่งเรียงกันเปนแถวเดียวไดท้ังหมดก่ีวิธีโดยชายไมนั่งติดกันแนะนํ า จัดหญิง 5 คน นั่งเรียงกันเปนแถวเดยีวกอน แลวจงึจดัชาย 4 คน นั่งแทรกในตํ าแหนงท่ีมีเครื่องหมาย ×

ดังแสดงในแผนภาพ× ญ × ญ × ญ × ญ × ญ ×

ตอบ 120 × 360 = 43200 วิธีตัวอยางท่ี 21 ชาย 4 คน และหญิง 5 คน นั่งลอมวงไดท้ังหมดก่ีวิธีโดยชายไมนั่งติดกันแนะนํ า จัดหญิงนั่งลอมวงกอนแลวจึงจัดชายนั่งแทรกระหวางหญิงตอบ 24 × 120 = 2880 วิธีตัวอยางท่ี 22 มีตนกุหลาบ 3 กระถาง ตนมะลิ 2 กระถาง ตนแกวและตนดาวเรืองอยางละกระถาง จะมีวิธีเรียง

กระถางตนไมท้ัง 7 กระถางเปนแถวเดียวไดท้ังหมดก่ีวิธีโดยใหตนแกวและตนดาวเรืองอยูติดกันแนะนํ า นํ าตนแกวออกมากอน จัดเรียงตนไม 6 กระถางไดท้ังหมดก่ีวิธี สํ าหรับแตละวิธีท่ีจัดไดสามารถแทรก

ตนดาวเรืองไวขางตนแกวได 2 วิธีตอบ 120 วิธีตัวอยางท่ี 23 กํ าหนดให A = {a, b, c, d, e} และ B = {m, n}

สามารถสรางฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B ไดท้ังหมดก่ีฟงกชันแนะนํ า เรนจของฟงกชันตองเทากับ Bตอบ 30ตัวอยางท่ี 24 มีตนแบบตุกตาอยู 4 แบบแตกตางกัน มีวิธีเลือกทํ าตุกตา 7 ตัวจากแบบที่มีอยูไดท้ังหมดก่ีวิธีแนะนํ า ใชสูตรในขอ 6.4ตอบ 120 วิธีตัวอยางท่ี 25 มีตนแบบตุกตาอยู 4 แบบแตกตางกัน มีวิธีเลือกทํ าตุกตา 4 ตัวจากแบบที่มีอยูไดท้ังหมดก่ีวิธีโดยใหมี

แบบที่ซ้ํ ากันบางแนะนํ า ใชสูตรในขอ 6.4 อยาลืมหักจํ านวนวิธีท่ีตุกตาไมซ้ํ าแบบออกจากจํ านวนวิธีท่ีเปนไปไดท้ังหมดตอบ 34 วิธี

15. การแกปญหาเกี่ยวกับการนับจํ านวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนหรือวิธีจัดหมูตามเง่ือนไขท่ีกํ าหนด อาจใชยุทธวิธี หักจํ านวนวิธีท้ังหมดท่ีไมสอดคลองกับเง่ือนไขท่ีกํ าหนดออกจากจํ านวนวิธีท้ังหมดท่ีเปนไปได

ตัวอยางท่ี 26 ในการชุมนุมของพ่ีนองฝาแฝด 10 คู มีการเลือกคน 4 คนโดยสุมจากฝาแฝด 10 คูนี้เพ่ือรวมเลนเกม อยางหนึ่ง จงหาจํ านวนวิธีท้ังหมดท่ีไดพ่ีนองฝาแฝดอยางนอยหนึ่งคู

แนะนํ า จํ านวนวิธีท่ีไดพ่ีนองฝาแฝดอยางนอย 1 คูเทากับจํ านวนวิธีเลือกคน 4 คนจาก 20 คนโดยไมมีเง่ือนไขใดๆ ลบดวยจํ านวนวิธีท่ีไมมีพ่ีนองฝาแฝดเลยในจํ านวน 4 คนท่ีเลือกได

ตอบ 1485 วิธี

ความนาจะเปน16. ในการแกปญหาเกี่ยวกับความนาจะเปน กฎท่ีใชบอยๆ ไดแก

1. P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AIB)2. P(A) = 1 - P(A′)3. (AUB)′ = A′IB′ และ (AIB)′ = A′UB′โดยเฉพาะกฎขอ 2 เราใชเมื่อรูสึกวา เหตุการณ A ซับซอนกวาเหตุการณ A′

ตัวอยางท่ี 27 ภารดรเขารวมการแขงขันเทนนิส 2 รายการในเดือนหนา โดยมีโอกาสชนะ 0.8 และ 0.7 ตามลํ าดับ ถาโอกาสท่ีภารดรจะแพท้ังสองรายการเทากับ 0.06 จงหาโอกาสที่ภารดรจะชนะทั้งสองรายการ

แนะนํ า โอกาสท่ีจะชนะอยางนอย 1 รายการเทากับ 1 ลบดวยโอกาสที่จะแพท้ังสองรายการตอบ 0.56ตัวอยางท่ี 28 มีสมโอ 8 ผล ในจํ านวนนี้เปนสมโอกลายพันธุ 4 ผล เลือกซ้ือโดยสุม 3 ผล จงหาความนาจะเปนท่ีจะ

ไดสมโอกลายพันธุ 1 หรือ 2 ผลแนะนํ า ให A และ B แทนเหตุการณท่ีเลือกไดสมกลายพันธุ 1 ผล และ 2 ผล ตามลํ าดับ

A และ B ไมเกิดรวมกัน ดังนั้น P(AUB) = P(A) + P(B)ตอบ 7

6

ตัวอยางท่ี 29 ในการเลือกคน 5 คน จากพ่ีนอง 8 คู จงหาความนาจะเปนท่ีจะไดพ่ีนอง 2 คูใน 5 คนท่ีเลือกแนะนํ า จํ านวนวิธีท่ีเลือกไดพ่ีนอง 2 คูใน 5 คนท่ีเลือกได เทากับจํ านวนวิธีเลือกพ่ีนอง 2 คูจาก 8 คูคูณดวย

จํ านวนวิธีเลือกอีก 1 คนจาก 12 คนท่ีเหลือตอบ 13

1

ตัวอยางท่ี 30 ชาย 3 คนและหญงิ 4 คน นัง่ลอมวงโดยสุม ใน 7 คนนี้มีสมศักดิ์และยุพาอยูดวย จงหาความนาจะเปนท่ีสมศักดิ์ไมไดนั่งติดกับยุพา

แนะนํ า P(สมศักดิ์ไมไดนั่งติดกับยุพา) = 1 - P(สัมศักดิ์นั่งติดกับยุพา)ตอบ 3

2

การวัดการกระจาย17. การแปลงขอมูลโดยเพ่ิมขึ้น (บวก) หรือลดลง (ลบ) เทากันทุกคา ขอมูลท่ีไดมีการกระจายเทาเดิม

ถา yi = xi + k , i = 1, 2, ... , n เมื่อ k เปนคาคงตัวแลว พิสัยของ y = พิสัยของ x

คาเบ่ียงเบนเฉล่ียของ y = คาเบ่ียงเบนเฉล่ียของ xคาเบ่ียงเบนควอไทลของ y = คาเบ่ียงเบนควอไทลของ xคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของ y = คาเบ่ียงเบนมาตรฐานของ x

18. ถาคูณทุกคาของขอมูลชุดหนึ่งดวยคาคงตัวท่ีไมเทากับ ±1 ขอมูลท่ีไดจะมีการกระจายเปลี่ยนแปลงจากเดิมถา yi = kxi , i = 1, 2, ... , n เมื่อ k ≠ ±1 เปนคาคงตัวแลว คาเบ่ียงเบนมาตรฐานของ y = | k | ⋅ คาเบ่ียงเบนมาตรฐานของ xและ ความแปรปรวนของ y = k2 ⋅ ความแปรปรวนของ x

ตัวอยางท่ี 31 ในชวงสอบเอนทรานซ 4 วัน วัดอุณหภูมิเวลาเท่ียงของแตละวันแลวคํ านวณอุณหภูมิเฉล่ีย (คาเฉล่ียเลขคณิต) ได 86 องศาฟาหเรนไฮต และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานได 4.5 องศาฟาหเรนไฮต ถาวัดอุณหภูมิเปนองศาเซลเซียสจะไดอุณหภูมิเฉล่ียและคาเบ่ียงเบนมาตรฐานกี่องศาเซลเซียส

แนะนํ า C = 95 (F - 32) เมื่อ C และ F แทนอุณหภูมิวัดเปนองศาเซลเซียสและองศาฟาหเรนไฮต ตามลํ าดับ

ตอบ 30 และ 2.5 องศาเซลเซียส ตามลํ าดับ

19. การใชสูตรของความแปรปรวนรวม s2 = 21

222211n n

sn sn++ มีเง่ือนไขวา คาเฉล่ียของขอมูลท้ังสองกลุมตอง

เทากัน

ตัวอยางท่ี 32 ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 2 หองไดผลดังนี้

หอง คาเฉลี่ยเลขคณิต ความแปรปรวน จํ านวนนักเรียน12

5348

91196

2030

ถาคิดคะแนนของทั้ง 2 หองรวมกัน จะไดความแปรปรวนเทากับเทาใดแนะนํ า ให x แทนคะแนนเฉลี่ยของนักเรียน 2 หองรวมกัน

ให ∑ 2x แทนผลบวกของกํ าลังสองของคะแนนของนักเรียนท้ัง 2 หอง

สามารถคํ านวณความแปรปรวนของคะแนนของ 2 หองรวมกันโดยใชสูตร nxn x s

222 ∑=

-

ตอบ 160

20. การเปรียบเทียบการกระจายของขอมูล 2 ชุด (หรือมากกวา 2 ชุด) ซ่ึงมีคากลางแตกตางกันชัดเจน ตองใชมาตรวัดการกระจายสัมพัทธ ซ่ึงมีอยูหลายตัว ท่ีนิยมใชมากท่ีสุดคือ สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

ตัวอยางท่ี 33 ชั่งนํ้ าหนักเด็กชาย 10 คน และเด็กหญิง 15 คน พบวานํ้ าหนักเฉล่ียของเด็กชายและเด็กหญิงเทากับ40 กิโลกรัมท้ัง 2 กลุม นํ้ าหนักของเด็กชายมีความแปรปรวน 9 (กิโลกรัม)2 และเมื่อคํ านวณความ

แปรปรวนของนํ้ าหนักเด็กชายและเด็กหญิงรวมกันท้ัง 25 คน พบวาความแปรปรวนเทากับ 6 จงหา สัมประสิทธิ์การแปรผันของนํ้ าหนักของเด็กหญิง

แนะนํ า หาความแปรปรวนของนํ้ าหนักของเด็กหญิงจากสูตร s2 = 21

222211n n

sn sn++

ตอบ 0.05 หรือ 5%

คามาตรฐาน21. การบอกตํ าแหนงของบางคาท่ีสนใจในขอมูลชุดหนึ่งๆ อาจใชเปอรเซ็นไทล (ควอไทลหรือเดไซล) หรือ

คามาตรฐาน โดยเฉพาะอยางย่ิงคามาตรฐานสามารถใชในกรณีท่ีทราบเพียงคาเฉล่ียเลขคณิตและคาเบ่ียงเบนมาตรฐาน

ตัวอยางท่ี 34 ในการสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนกลุมหนึ่ง พบวาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ 0.25 นายสินสอบได 40 คะแนน คํ านวณเปนคะแนนมาตรฐานได 0 ถานายสรรพสอบได 70 คะแนน คํ านวณเปนคะแนนมาตรฐานไดเทาใดแนะนํ า คาเฉล่ียเลขคณิต คํ านวณเปนคามาตรฐานได 0ตอบ 3

เลขดัชนี22. เลขดัชนีใชบอกวาตัวแปรที่สนใจ เชน x ซ่ึงมีคาเปน xn ในเวลา n มีคาเปลี่ยนแปลง (เพ่ิมขึ้นหรือลดลง)

ก่ีเปอรเซ็นต จากคาเดิม xo ในเวลา o ท่ีใชเปนฐานของการเปรียบเทียบเลขดัชนีของตัวแปร x ในเวลา n เทียบกับเวลา o = x

xno × 100

ตัวอยางท่ี 35 เมื่อใชป พ.ศ. 2540 เปนปฐาน ดัชนีราคาหลอดประหยัดไฟชนิดหนึ่งต้ังแตป พ.ศ. 2540 ถึง พ.ศ. 2545เปนดังนี้

ป พ.ศ. 2540 2541 2542 2543 2544 2545ดัชนีราคา 100 110 105 90 95 85

ถาในป พ.ศ. 2543 หลอดไฟชนิดนี้ราคา 135 บาท แลวในป พ.ศ. 2545 หลอดไฟชนิดนี้ราคาประมาณก่ีบาท

แนะนํ า ให P40, P43 และ P45 แทนราคาของหลอดไฟชนดินี้ในป พ.ศ. 2540, 2543 และ 2545 ตามลํ าดับจะไดวา

4043

PP × 100 = 90 ...(1)

4045

PP × 100 = 85 ...(2)

แทนคา P43 = 135 แลวแกสมการ (1) และ (2) เพ่ือหาคาของ P45ตอบ 127.50 บาท

23. การเปรยีบเทียบรายไดซ่ึงเปลีย่นแปลงไปวาแทจรงิแลวรายไดเพ่ิมขึน้หรอืลดลง ตองเปรยีบเทียบจากรายไดท่ีแทจริง ไมใชรายไดท่ีเปนตัวเงิน

รายไดท่ีแทจริงของปท่ีสนใจเทียบกับปฐาน = รายไดทีเ่ปนตวัเงนิของปน้ันดัชนีราคาผูบรโิภคของปน้ันเทยีบกบัปฐาน

× 100

ตัวอยางท่ี 36 ในป พ.ศ 2545 นาย ก ทํ างานท่ีเชียงใหมไดเงินเดือน 19,200 บาท นาย ข ทํ างานท่ีสงขลาไดเงินเดือน20,000 บาท ถาดัชนีราคาผูบริโภคในป พ.ศ. 2545 (พ.ศ. 2540 = 100) ของคนในจังหวัดเชียงใหมและสงขลาเทากับ 96 และ 103 ตามลํ าดับ ถาตองการใหรายไดท่ีแทจริง (จากเงินเดือน) ของนาย ก และนาย ข เทากันแลว นาย ข ควรไดเงินเดือนเพ่ิมขึ้นหรือลดลงเทาใด

แนะนํ า ให x แทนเงินเดือนของนาย ข ซ่ึงเมื่อคํ านวณเปนรายไดท่ีแทจริงแลวเทากับรายไดท่ีแทจริงของนาย ขหาคาของ x จากสมการ

รายไดท่ีแทจริงของนาย ข = รายไดท่ีแทจริงของนาย กตอบ นาย ข ควรไดเงินเดือนเพ่ิมขึ้น 600 บาท

แนวขอสอบชุดที่ 1


≠

3= x, k 3 x, 6 + 5xx

47+x

22

- -

ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องท่ี x = 3 แลว k มีคาเทาใด (ตอบ 0.75)2. ให f และ g เปนฟงกชันท่ีสามารถหาอนุพันธได ซ่ึง g(x) = 1 + x

f(x)2

ถา f′(3) = 1 และ g′(3) = - 12 แลว f(3) มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 10)3. จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะสรางจํ านวนท่ีมี 3 หลัก โดยแตละหลักมีตัวเลขซ้ํ ากันไดจากตัวเลขขางตน

และจํ านวนเหลานี้หารลงตัวดวย 5 ไดท้ังหมดก่ีจํ านวน (ตอบ 60)4. ชางกอสรางกลุมหนึ่งมี 10 คน ประกอบดวยชางปูน 6 คน และชางไม 4 คน ถาตองการเลือกชาง 7 คน จากชาง

กลุมนี้ ความนาจะเปนท่ีจะไดชางปูน 4 คน และชางไม 3 คน เทากับเทาใด (ตอบ 0.50)5. ถา f เปนฟงกชันตอเนื่อง ซ่ึง f(4) = -4 และ h

4 + h) + f(4lim0h→

= 4 แลว ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง

g(x) = x2 + 4 x + f(x) ท่ีจุด (4, 20) เทากับขอใดตอไปนี้1) 5 *2) 13 3) 16 4) 20

6. กํ าหนดให f(x) = (2x + a)5, เมื่อ a เปนจํ านวนจริง และ g(x) = f′(x) ถา g′(0) = -80 แลว g′(a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

*1) -2160 2) -540 3) 540 4) 2160

7. กํ าหนดให f และ F เปนฟงกชันท่ีมีอนุพันธสํ าหรับทุก x โดย f′(x) = 3x2 + 1 และ F′(x) = 4f(x)ถา f(1) = 0 แลว F(a) - F(0) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) a4 + 2a2 - 2a 2) a4 + 2a2 + 2a *3) a4 - 2a2 - 8a 4) a4 + 2a2 + 8a

8. มีเทปเพลงทั้งหมด 7 ตลับ เปนเทปเพลงไทยสากลเหมือนกัน 3 ตลับ เพลงไทยลูกทุงเหมือนกัน 2 ตลับเพลงภาษาอังกฤษ 1 ตลับ และเพลงภาษาญี่ปุน 1 ตลับ จํ านวนวิธีการจัดเรียงเทปทั้งหมดบนชั้นเดียวกัน โดยใหเทปเพลงภาษาอังกฤษและภาษาญี่ปุนติดกันเสมอ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 60 *2) 120 3) 240 4) 720

9. คนกลุมหนึ่งมี 10 คน โดยมีนายมานะและนายวิริยะรวมอยูดวย ในการเลือกตัวแทน 3 คน จากคนกลุมนี้ความนาจะเปนท่ีนายมานะไดรบัเลือกแตนายวริยิะไมไดรับเลือก หรือนายมานะและนายวิริยะไดรับเลือกท้ังคูเทากับขอใดตอไปนี้1) 310 *2) 215 3) 715 4) 1130

10. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 2 หอง ไดผลดังนี้

หอง คาเฉลี่ยเลขคณิต (xi)ผลรวมของคะแนนกํ าลังสอง

∑n

1=i21x จํ านวนนักเรียน (n)

หองท่ี 1หองท่ี 2

5348

50,80075,000

2030

ให x = คาเฉล่ียเลขคณิต และ S = สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชานี้ของนักเรียนท้ังสองหองรวมกัน ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

*1) x = 50, S = 4 2) x = 50, S = 5 3) x = 50, S = 4 4) x = 50, S = 511. จากขอมูลอายุของคน 9 คน ปรากฏวาผลบวกของอายุเทากับ 117 ป และความแปรปรวนของอายุเทากับ 36

ถาคามาตรฐานของอายุชายคนหนึ่งในกลุมนี้เทากับ 1.5 แลวเขาจะมีอายุเทากับขอใดตอไปนี้1) 16 ป 2) 18 ป 3) 20 ป *4) 22 ป

12. เมื่อกํ าหนดใหป พ.ศ. 2539 เปนปฐาน ดัชนีราคาสินคาชนิดหนึ่งต้ังแตป พ.ศ. 2540-2543 เปนดังนี้

ป พ.ศ. 2540 2541 2542 2543ดัชนีราคา 120 110 90 130

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถาซ้ือสินคาชนิดนี้ในป พ.ศ. 2542 ราคา 225 บาท เราจะตองใชเงิน 325 บาท เพ่ือซ้ือสินคาชนิดเดียวกัน

ในป พ.ศ. 2543ข. ในป พ.ศ. 2543 สินคาชนิดนี้จะมีราคาเพ่ิมขึ้นรอยละ 10 จากป พ.ศ. 2540

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ก. ถูก และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด


1. กํ าหนดให A = {p, q, r} และ B = {a, b, c, d} ฟงกชันจาก A ไป B ชนิดหน่ึงตอหน่ึงมีท้ังหมดเปนจํ านวนเทาใด (ตอบ 24)

2. ถา g(x) = x+ 1x2 เมื่อ x ≠ -1 แลว g′(4) เทากับเทาใด (ตอบ 0.96)

3.

→ x2 14 x

10lim 22x-

- มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 1.25)

4. มีหนังสือคณิตศาสตรเหมือนกัน 2 เลม หนังสือเคมีเหมือนกัน 2 เลม หนังสือฟสิกส 1 เลม และหนังสือชีววิทยา1 เลม จํ านวนวิธีจัดเรียงหนังสือ 6 เลมนี้บนชั้นเดียวกัน โดยท่ีหนังสือฟสิกสอยูติดกับหนังสือชีววิทยาเสมอเทากับเทาใด (ตอบ 60)

5. โรงงานแหงหนึ่งมีคนงาน 120 คน ในเดือนมกราคม พ.ศ. 2543 โรงงานจางคนงานในอตัราเฉลี่ยคนละ 6,000 บาทถาในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2543 คาจางคนงานของโรงงานนี้เพ่ิมขึ้นอีก 144,000 บาท แลวดัชนีคาจางคนงานของโรงงานนี้ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2543 เมื่อเทียบกับเดือนมกราคม พ.ศ. 2543 มีคาเทาใด (ตอบ 120)

6. ในการสอบครั้งหนึ่ง ก ไดคะแนน 30 คะแนน มีผูไดคะแนนนอยกวา ก อยูประมาณ 3 ใน 4 ของผูเขาสอบท้ังหมด ถาสัมประสิทธิ์ของสวนเบ่ียงเบนควอไทลของคะแนนสอบนี้เทากับ 0.20 แลว ควอไทลท่ี 1 ของคะแนน สอบนี้มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 20)

7. กํ าหนดให f เปนฟงกชัน ซ่ึง f(3) = 2 และ f′(3) = 3 ถา g(x) = x2f(x) แลว g′(3) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 27 2) 31 3) 33 *4) 39

8. สมการของเสนตรงที่มีความชันเทากับ 7 และสัมผัสกับเสนโคง y = 3x2 + x คือขอใดตอไปนี้1) 7x - y + 5 = 0 2) 7x - y - 5 = 0 3) 7x - y + 3 = 0 *4) 7x - y - 3 = 0

9. กํ าหนดให g และ h เปนฟงกชัน โดยท่ี h′(x) = 20x3 + 6x และ g′(x) = h(x) ถา h(1) = -1 และ g(0) = -1แลว g(2) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 40 2) 23 *3) 21 4) 15

10. มีเฟองฟา 6 กระถางตางๆ กัน และโกศล 5 กระถางตางๆ กัน ตองการจัดเฟองฟา 2 กระถาง และโกศล3 กระถาง มาเรียงเปนวงกลม จํ านวนวิธีของการจัดเรียงเทากับขอใดตอไปนี้

*1) 3600 2) 5400 3) 12400 4) 1800011. กลองใบหนึ่งบรรจหุลอดไฟสแีดง 6 หลอด ซ่ึงเปนหลอดสี 4 หลอด และหลอดไฟสีนํ้ าเงิน 4 หลอด ซ่ึงเปน

หลอดดี 2 หลอด ในการสุมหยิบหลอดไฟครั้งละ 1 หลอด 2 ครั้ง แบบไมใสคืน ความนาจะเปนท่ีจะไดหลอดไฟสีเดียวกัน และเปนหลอดดีท้ังสองครั้ง มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

*1) 745 2) 1245 3) 1445 4) 2445

12. มีมะมวง 10 ผล ในจํ านวนนี้เปนมะมวงเปรี้ยว 2 ผล สุมหยิบมะมวง 3 ผล ความนาจะเปนท่ีจะไดมะมวงเปรี้ยวอยางนอย 1 ผล เทากับขอใดตอไปนี้1) 715 *2) 815 3) 1115 4) 1215

13. กํ าหนดขอมูลสถิติ 2 ชุด ดังนี้ชุดท่ี 1 มีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ 6 และมีสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 12ชุดท่ี 2 มีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ 10 และมีสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 18

ถาเปรียบเทียบการกระจายของขอมูลท้ังสองชุดแลว ขอใดตอไปนี้ถูก1) ขอมูลชุดท่ีหนึ่งกระจายนอยกวาชุดท่ีสอง

*2) ขอมูลชุดท่ีสองกระจายนอยกวาชุดท่ีหนึ่ง3) ขอมูลท้ังสองชุดมีการกระจายเทากัน4) ส่ิงท่ีกํ าหนดใหไมเพียงพอท่ีจะเปรียบเทียบกับการกระจายของขอมูลท้ังสองชุดได

14. ในปการศึกษา 2542 นักเรียนมัธยมศึกษาชั้นปท่ี 4 หองหนึ่งของโรงเรียนแหงหนึ่งมีจํ านวน 40 คน มีอายุเฉล่ีย15 ป และความแปรปรวนของอายุเทากับ 0.36 อีก 2 ปขางหนา ในปการศึกษา 2544 ถานักเรียนท้ัง 40 คนนี้ยังคงเรียนอยูหองเดียวกัน จงพิจาราณาขอความตอไปนี้

ก. ในปการศึกษา 2544 อายุเฉล่ียของนักเรียนเทากับ 17 ปข. ในปการศึกษา 2544 ความแปรปรวนของอายุเทากับ 0.36

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง *1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

15. ในการคัดเลือกนักกีฬาว่ิง 100 เมตร ครั้งหนึ่ง มีผูสมัครจํ านวนมาก เวลาท่ีผูเขารับการคัดเลือกใชในการวิ่งมีคาเฉล่ียเลขคณติและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 15.6 และ 1.44 วนิาที ตามลํ าดบั ถาคดัเลือกผูท่ีมีคามาตรฐานของเวลาที่วิ่งไมเกิน -1.5 ไวฝกซอม คนสุดทายท่ีไดรับการคัดเลือกใชเวลาวิ่งเทากับขอใดตอไปนี้1) 11.75 วินาที 2) 12.9 วินาที 3) 13.8 วินาที *4) 13.44 วินาที


1. กํ าหนดให f(x) = x2 + 5x + 2 และ g(x) = 23 x - ถา h = fog แลว h′(5) เทากับเทาใด (ตอบ 3.50)

2. กํ าหนดให f(x) = ax4 + bx2 - 5x โดยท่ี a, b เปนคาคงตัว ถา f′(-5) = -15 แลว f′(5) มีคาเทาใด(ตอบ 5.00)

3. ในป พ.ศ. 2538 นายแดงไดเงินเดือน เดือนละ 18,000 บาท ในป พ.ศ. 2542 นายแดงไดเงินเดือน เดือนละ26,000 บาท ถาดัชนีราคาผูบริโภคในป พ.ศ. 2542 เทียบกับป พ.ศ. 2538 เทากับ 130 แลวเงินเดือนท่ีแทจริงของนายแดงในป พ.ศ. 2542 เทียบกับป พ.ศ. 2538 เพ่ิมขึ้นจากเงินเดือนในป พ.ศ. 2538 เทาใด (ตอบ 2000.00)

4. ถา f(x) = 1x - 14 และ g(x) = 4 x1 - คาของ lim f(x) g(x)

x 4 [ ]

→⋅ เทากับขอใดตอไปนี้

*1) - 116 2) 0 3) 116 4) หาคาไมได

5. สมมติวา f เปนฟงกชันท่ีสามารถหาอนุพันธไดสํ าหรับทุกๆ x ∈ R ถา f(2) = 4 และ y = (x2 - 3x + 2)f(x)แลว dy

dx ท่ี x = 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 0 *2) 4 3) 8 4) หาคาไมได

6. เสนตรงที่สัมผัสเสนโคง y = 3x - 13x3 ท่ี x = 1 มีสมการตรงกับขอใดตอไปนี้

1) y - 83 = 2(x - 1) 2) y - 103 = 2(x - 1) *3) y - 83 = -2(x - 1) 4) y - 103 = -2(x - 1)

7. ถา g(x) = ddx (x3 - x2 + 5) และ h(x) = ddx ( x ) แลว ∫[g(x) ⋅ h(x)]dx คือขอใดตอไปนี้ *1) 35 x5/2 - 23 x3/2 + C 2) x5/2 - x3/2 + C

3) 34 x3/2 - 34 x1/2 + C 4) 32 x3/2 - x1/2 + C8. ในการประชุมตัวแทนนักเรียนชั้นหนึ่งซ่ึงมี 4 หอง โดยท่ีมีตัวแทนหองละ 3 คน 2 หอง และมีตัวแทนหองละ

2 คน 2 หอง จํ านวนวิธีจัดใหผูเขาประชุมนั่งรอบโตะกลมโดยที่ผูอยูหองเดียวกันนั่งติดกัน เทากับขอใดตอไปนี้1) 144 2) 288 3) 432 *4) 864

9. แบงของ 7 ชิ้น ท่ีแตกตางกันใหแกคน 3 คน โดยท่ีแตละคนไดอยางนอย 2 ชิ้น จํ านวนวิธีการแบงของดังกลาวมีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 210 2) 420 *3) 630 4) 1260

10. ในการเลือกประธาน รองประธาน และเลขานุการอยางละ 1 คน จากผูสมัคร 10 คน ซ่ึงเปนชาย 6 คน และหญิง4 คน ความนาจะเปนท่ีจะไดประธานเปนชายและเลขานุการเปนหญิงเทากับขอใดตอไปนี้

*1) 415 2) 315 3) 25 4) 1511. กลองใบหนึ่งมีลูกอมชนิดหนึ่ง 10 เม็ด โดยเปนลูกอมรสสม 3 เม็ด ถาสุมหยิบลูกอมมา 2 เม็ด ความนาจะเปน

ท่ีจะไดลูกอมรสสมอยางนอย 1 เม็ด เทากับขอใดตอไปนี้1) 115 2) 215 3) 715 *4) 815

12. ถาขอมูลชุดท่ีหนึ่ง คือ x1, x2, x3, ... , x10 มีคาเฉล่ียเลขคณิตและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากับ 10 และ 2ตามลํ าดับ แลวขอมูลชุดท่ี 2 คือ x

21 , x22 , x

23 , ... , x210 มีคาเฉล่ียเลขคณิตและความแปรปรวน (ตามลํ าดับ)

เทากับขอใดตอไปนี้1) 5, 2 2) 10, 2 *3) 5, 1 4) 10, 1

13. ในการสอบของนักเรียน 52 คน ไดสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับ 0.3 ถานักเรียนท่ีสอบได 70 คะแนนคิดเปนคะแนนมาตรฐานไดเทากับ 1 แลว ผลรวมของคะแนนของนักเรียนท้ัง 52 คน เทากับขอใดตอไปนี้1) 3000 คะแนน *2) 2800 คะแนน 3) 2600 คะแนน 4) 2500 คะแนน

14. มีไพอยู 2 ใบ ใบหนึ่งเปนสีแดงทั้งสองดาน อีกใบหนึ่งเปนสีแดงดานหนึ่ง และสีนํ้ าเงินดานหนึ่ง หลับตาเลือกไพใบหนึ่งวางควํ่ าลงบนโตะ เมื่อลืมตาพบวาดานบนของไพบนโตะเปนสีแดง ความนาจะเปนท่ีดานลางจะเปนสีแดงดวยเทากับเทาใด1) 14 2) 13 3) 12 *4) 23

15. กํ าหนดขอมูล {2, 5, 6, 8, 10} พิจารณาขอความตอไปนี้ก. | X 6|ii=1

5-∑ < | X X|ii=1

5-∑ ข. (X 6)i

2i=1

5-∑ < (X X)i

2i=1

5-∑




≥ 0 x, 1 0< x, x-

และ g(x) =

≥ 0 x, x 0< x, x

-

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. f(x) ไมตอเนื่องท่ี x = 0 ข. g(x) ไมตอเนื่องท่ี x = 0


2. อุณหภูมิเปนองศาเซลเซียสของตูแชเย็น 10 ตู ในโรงงานอุตสาหกรรมแหงหนึ่งเทากับ 3.0, 4.2, -1.1, 0.3, -2.0,0.1, -0.6, 2.1, -0.2 และ 0.0 สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของอุณหภูมิของตูแชเย็นนี้เทากับ 1.83 องศาเซลเซียสขอใดตอไปนี้เปนคาของสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของอุณหภูมิของตูแชเย็นในโรงงานนี้1) 31.55% 2) 31.69% *3) 315.5% 4) 316.9%

3. กํ าหนดให f(x) = 2x3 - 3x2 โดยท่ี 0 ≤ x ≤ 3 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง *1) f(x) เปนฟงกชันท่ีมีคาลดลงในชวง (0, 1) และเปนฟงกชันท่ีมีคาเพ่ิมขึ้นในชวง (1, 3)

2) f(x) เปนฟงกชันท่ีมีคาเพ่ิมขึ้นในชวง (0, 1) และเปนฟงกชันท่ีมีคาลดลงในชวง (1, 3)3) f(x) เปนฟงกชันท่ีมีคาลดลงตลอด4) f(x) เปนฟงกชันท่ีมีคาเพ่ิมขึ้นตลอด

4. เสนตรงเสนหนึ่งสัมผัสวงกลม x2 + y2 = 100 ท่ีจุด x = 6 และ y > 0 สมการเสนสัมผัสเสนนี้คือขอใดตอไปนี้1) 4x + 3y = 48 2) y - 8 = 34 (x - 6)3) y - 10 = - 43 (x - 6) *4) y - 8 = - 34 (x - 6)

5. h 2h h + 2lim 2

2h - -

→ เทากับขอใดตอไปนี้

*1) 3 2) 2 3) 0 4) ∞

6. กํ าหนดใหกราฟของ y = x4 + ax3 + bx2 มีเสนสัมผัสขนานกับแกน x ท่ีจุด x = -2, 0, 1 แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) - 53 2) 53 3) 83 *4) - 83

7. ถาเสนโคง y = x2 + ax + b และเสนโคง y = cx - x2 สัมผัสกันท่ีจุด (1, 0) แลวคาของ b คือขอใดตอไปนี้1) 4 2) 3 *3) 2 4) 1

8. ถา f′(x) = 52 x3/2 - 32 x1/2 + 1 แลวสมการของเสนโคง y = f(x) คือขอใดตอไปนี้ *1) f(x) = x5/2 - x3/2 + x + 2 2) f(x) = 52 x5/2 - 32 x3/2 + x + 2

3) f(x) = 52 x5/2 - 32 x3/2 + 2 4) f(x) = x5/2 - x3/2 + 2

9. กํ าหนด F(x) = ∫ 2x1) + 1)(x (4x - dx เซตคํ าตอบของ F′(x) < 0 คือขอใดตอไปนี้

1) {x | x < -1} 2)

41>xx

3)

41<x<1x - *4)

41<x<0 หรือ0<x<1x -

10. หางสรรพสินคาแหงหนึ่งตองการออกบัตรสมนาคุณแกลูกคาโดยมีหมายเลขต้ังแต 00001 ถึง 10000 และหมายเลขบัตรจะไดรับรางวัลตองเปนหมายเลขท่ีมีตัวเลขในตํ าแหนงท่ี 3 เปนเลข 5 และมีตัวเลขในตํ าแหนงสุดทายเปนเลขคี่ จํ านวนบัตรที่ลูกคาจะไดรับรางวัลคือขอใดตอไปนี้1) 324 2) 450 3) 499 *4) 500

11. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรมีการแจกแจงแบบปกติ มีคะแนนเฉล่ีย 60 คะแนน และสวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน10 คะแนน คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษมีการแจกแจงแบบปกติ มีคะแนนเฉล่ีย 70 คะแนน และสวนเบ่ียงเบน มาตรฐาน 15 คะแนน ถานาย ก มีคะแนนมาตรฐานของผลสอบสองวิชานี้เทากันและสอบวิชาคณิตศาสตรได72 คะแนน แลวคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนาย ก เทากับขอใดตอไปนี้1) 82 คะแนน 2) 84 คะแนน 3) 86 คะแนน *4) 88 คะแนน

12. กํ าหนดใหวันหมายถึง วันอาทิตย วันจันทร วันอังคาร วันพุธ วันพฤหัส วันศุกร และวันเสาร ความนาจะเปนท่ีคน2 คน จะเกิดวันตางกันมีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 149 2) 17 3) 649 *4) 67

13. ถากราฟของสมการเสนตรง y = f(x) ผานจุด (0, 0) และจุด (4, 6) แลวคาของ ∫ 40 f(x)dx เทากับเทาใด

(ตอบ 12)14. ในป พ.ศ. 2542 สบูราคากอนละ 12.25 บาท ถาดัชนีราคาสบูในป พ.ศ. 2542 เทียบกับป พ.ศ. 2541 เทากับ

140% แลวราคาสบูในป พ.ศ. 2541 มีคาเทากับก่ีบาท (ตอบ 8.75 บาท)

15. คะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงความถี่สะสมดังตารางตอไปนี้

ชวงคะแนน ความถี่สะสม1-56-1011-1516-2021-25

37151820

ถาสุมนักเรียนมา 1 คน ความนาจะเปนท่ีนักเรียนคนนี้จะไดคะแนนอยูในชวง 11-15 คะแนน เทากับเทาใด(ตอบ 0.40)


1. ดัชนีราคาเนื้อไกสด ในป พ.ศ. 2541 คาดวาสูงกวาป พ.ศ. 2540 อยู 20 เปอรเซ็นต ผูประกอบอาหารสํ าเร็จรูปกํ าหนดวิธีต้ังราคาขายใหเปน 2 เทาของราคาเนื้อไกสด ถาราคาเนื้อไกสด ในป พ.ศ. 2540 เทากับ 40 บาทตอกิโลกรัม ผูประกอบอาหารสํ าเร็จรูปจะต้ังราคาขายเนื้อไกปรุงแลวสํ าหรับป พ.ศ. 2541 เทากับขอใดตอไปนี้1) 70 บาทตอกิโลกรัม 2) 80 บาทตอกิโลกรัม *3) 96 บาทตอกิโลกรัม 4) 100 บาทตอกิโลกรัม

2. กํ าหนดให k(x) = 3x2 - 1 + f(x) ถา f′(2) = -1 แลว k′(2) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 10 *2) 11 3) 12 4) 13


≤

≤

2x<0 เมื่อ 2 2> x หรือ0 xเมื่อ 2 x

2xx2 - -

f เปนฟงกชันไมตอเนื่องท่ี x เมื่อ x สอดคลองกับขอใดตอไปนี้1) x < 0 *2) x = 0 3) 0 < x < 2 4) x = 2

4. อักษรภาษาอังกฤษ 5 ตัว แตกตางกัน ประกอบดวยพยัญชนะ 2 ตัว และสระ 3 ตัว นํ ามาจัดเรียงโดยไมใหพยัญชนะอยูติดกัน และสระอยูติดกัน จํ านวนวิธีการจัดเทากับขอใดตอไปนี้1) 8 2) 10 3) 11 *4) 12

5. สมการของเสนสัมผัสเสนโคง y = x + 2x ท่ีจุด (1, 3) คือขอใดตอไปนี้ *1) y = -x + 4 2) y = x + 2 3) y = 2x + 1 4) y = 5 - 2x

6. กํ าหนดให A เปนเหตุการณในแซมเปลสเปซ S ถา 2P(A) = 3P(A′) แลว P(A) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 0.3 2) 0.4 3) 0.5 *4) 0.6

7. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรครั้งหนึ่ง มีนักเรียนเขาสอบจํ านวน 20 คน ผลการสอบดังตาราง

คะแนน ความถี่5-1011-1516-20

3134

ความนาจะเปนท่ีนักเรียนคนหนึ่งจะไดคะแนนไมต่ํ ากวา 16 คะแนน คือขอใดตอไปนี้1) 13 2) 14 *3) 15 4) 113

8. เงินเดือนคนงานของโรงงานแหงหนึ่ง เฉล่ียตอคนมีคาเทากับ 6,000 บาทตอเดือน สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของเงินเดือนเทากับ 12 เปอรเซ็นต สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของเงินเดือนของคนงานมีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 600 บาท 2) 650 บาท 3) 700 บาท *4) 720 บาท

9. หลอดไฟฟาหลอดหนึ่งจากโรงงาน มีอายุการใชงาน 1020 ชั่วโมง คามาตรฐาน z = 2 ถาคาเฉล่ียอายุการใชงานของหลอดไฟฟาเทากับ 796.88 ชั่วโมง แลวสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของอายุการใชงานของหลอดไฟฟาท่ีผลิตจากโรงงานนี้มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 111.56)


0> x, 2.25+2x0= x, 1.60< x, 1.53x

-

จงหาคาของ lim f(x)x 0+→

(ตอบ 2.25)


1. โรงงานผลิตเครื่องโทรทัศนแหงหนึ่ง สามารถผลิตได 20 เครื่องตอวัน สมมติวา เครื่องโทรทัศนท่ีผลิตไดในวันหนึ่งมีเครื่องชํ ารุด 10 เปอรเซ็นต ถาหยิบเครื่องโทรทัศน 3 เครื่องโดยการสุม จํ านวนวิธีท่ีจะไมไดเครื่องท่ีชํ ารุดเทากับขอใดตอไปนี้

*1) 816 วิธี 2) 646 วิธี 3) 464 วิธี 4) 326 วิธี2. จากการขนสงเครื่องดับเพลิง 200 เครื่อง จากโรงงานไปยังรานขายเครื่องดับเพลิง ทํ าใหเครื่องดับเพลิงชํ ารุด

4 เครือ่ง ผูจดัการรานสุมตัวอยางเครือ่งดบัเพลงิ 20 เครือ่ง เพ่ือตรวจสอบ แซมเปลสเปซของจํ านวนเครื่องดับเพลิงท่ีชํ ารุดคือขอใดตอไปนี้1) {0, 1, 2} *2) {0, 1, 2, 3, 4} 3) {0, 1, 2, 3, ... , 10} 4) {0, 1, 2, 3, ... , 20}

1> xเมื่อ 5x2 3x

1< xเมื่อ x1 2

2

- --

ขอใดตอไปนี้ผิด1) lim f(x)

x 1→ - = 0 2) lim f(x)

x 1+→ = -4 3) lim f(x)

x 1→- = 0 *4) lim f(x)

x 1→ = 0

4. ถา f′(x) = g(x) และ g′(x) = h(x) แลวขอใดตอไปนี้ผิด1) ∫g(x)d(x) = f(x) + c 2) ∫h(x)d(x) = f′(x) + c

* 3) ∫g′(x)d(x) = h(x) + c 4) ∫f″(x)d(x) = f′(x) + c


0> xเมื่อ 2xx0< xเมื่อ 2x+x

22

-

f′

21 - มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

1) -3 2) 0 *3) 1 4) 26. กํ าหนดให ความนาจะเปนท่ีหลอดไฟฟาในหองนํ้ าเสียเทากับ 0.2 ความนาจะเปนท่ีหลอดไฟฟาในหองครัวเสีย

เทากับ 0.1 ความนาจะเปนท่ีหลอดไฟฟาในหองนํ้ าหรือหองครัวเสียเทากับ 0.25 แลว ความนาจะเปนท่ีหลอดไฟฟาในหองนํ้ าและหองครัวเสียพรอมกัน เทากับขอใดตอไปนี้

*1) 0.05 2) 0.1 3) 0.3 4) 0.757. มีคุกก้ี 3 ย่ีหอ ย่ีหอ ก มี 5 กระปอง ย่ีหอ ข มี 3 กระปอง และย่ีหอ ค มี 2 กระปอง โดยท่ีคุกก้ีย่ีหอเดียวกัน

ไมแตกตางกัน จํ านวนวิธีแจกคุกก้ีใหคน 10 คน คนละหนึ่งกระปองเทากับขอใดตอไปนี้1) 144 วิธี 2) 252 วิธี 3) 1440 วิธี *4) 2520 วิธี

8. ดัชนีราคายาสีฟน ป พ.ศ. 2534 และป พ.ศ. 2535 เทียบกับป พ.ศ. 2529 เทากับ 160 เปอรเซ็นต และ176 เปอรเซ็นต ตามลํ าดับ ถาในป พ.ศ. 2535 ราคายาสีฟนหลอดละ 22 บาท ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ยาสีฟนในป พ.ศ. 2535 ราคาแพงกวายาสีฟนในป พ.ศ. 2534 หลอดละ 5.50 บาท

* 2) ยาสีฟนในป พ.ศ. 2529 ราคาถูกกวายาสีฟนในป พ.ศ. 2535 หลอดละ 9.50 บาท3) ยาสีฟนในป พ.ศ. 2534 ราคาหลอดละ 19.50 บาท4) ยาสีฟนในป พ.ศ. 2529 ราคาหลอดละ 12 บาท

9. นักเรียน 100 คน ไดเขาสอบแขงขันเพ่ือศึกษาตอท่ีสถาบันการศึกษาแหงหนึ่ง คาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้เทากับ 500 คะแนน สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเทากับ 100 คะแนน นาย ก และนาย ขไดคะแนนมาตรฐานรวมกันเทากับ 2 นาย ก และนาย ข ไดคะแนนสอบรวมกันเทากับขอใดตอไปนี้

*1) 1200 2) 1250 3) 1300 4) 1350

10. ตารางตอไปนี้ เปนตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร นักเรียน 100 คน

คะแนน ความถี่20-2930-3940-4950-5960-6970-7980-8990-99

2913203015101

จงหาเปอรเซ็นไทลท่ี 80 ของคะแนนของนักเรียน (ตอบ 73.50)



≥

≤

3 xเมื่อ 23x3<x1 เมื่อ 5+2x

1<x เมื่อ 3x

2

--

-

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง *1) f ตอเนื่องท่ี x = -1 แตไมตอเนื่องท่ี x = 3 2) f ตอเนื่องท่ี x = -1 และ x = 3

3) f ไมตอเนื่องท่ี x = -1 แตตอเนื่องท่ี x = 3 4) f ไมตอเนื่องท่ี x = -1 และ x = 32. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

1) ddx ( 2 + x ) = d 2dx + d x

dx2) ddx (2x + 1)4 = 4(2x + 1)3

3) ddx (x - 1)(2x + 1) = ddx (x - 1) ⋅ ddx (2x + 1)

*4)

3x6

dxd = 6 ddx (x-3/2)

3. คาของ x1 xx1 + x

lim0x -→

เทากับขอใดตอไปนี้

1) 0 2) 1 * 3) -1 4) หาคาไมได

4. กํ าหนดให f(x) = -12 x แลว ∫ f(x)dx เทากับขอใดตอไปนี้

*1) - x + c 2) x + c 3) 1x + c 4) -1

x + c

5. กํ าหนดให f(x) = 2x + 12cx โดยท่ี c > 0 ถา f(x) มีคาสูงสุดท่ี x = - 32 แลว c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ *1) 19 2) 13 3) 3 4) 9

6. ตารางตอไปนี้เปนตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 100 คน

คะแนน ความถี่20-2930-3940-4950-5960-6970-7980-8990-99

291320301871

คะแนนสอบที่มีจํ านวนนักเรียน 5 เปอรเซ็นตสอบไดสูงกวาคะแนนนี้ คือคะแนนในขอใดตอไปนี้1) 83.29 คะแนน *2) 83.79 คะแนน 3) 84.29 คะแนน 4) 84.79 คะแนน

7. ในการเลือกทํ าแบบฝกหัด 8 ขอ จากท้ังหมด 10 ขอ ถาตองการเลือกทํ าขอคู 4 ขอ จํ านวนวิธีเลือกทํ าแบบฝกหัดจะเทากับขอใดตอไปนี้1) 10 วิธี *2) 25 วิธี 3) 35 วิธี 4) 45 วิธี

8. ป พ.ศ. 2529 นาย ก และนาย ข ไดรับเงินเดือนเทากัน คือ เดือนละ 6,500 บาท ป พ.ศ. 2534 นาย กไปทํ างานท่ีภาคเหนือ และนาย ข ไปทํ างานท่ีภาคใต ถาบริษัทจายเงินเดือนตามดัชนีราคาผูบริโภค โดยดัชนีราคาผูบริโภค พ.ศ. 2534 (พ.ศ. 2529 = 100) ท่ีภาคเหนือเทากับ 121.4 และท่ีภาคใตเทากับ 124.7ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

*1) ป พ.ศ. 2534 บริษัทตองจายเงินเดือนใหนาย ก และนาย ข เพ่ิมขึ้นรวมเปน 23.05 เปอรเซ็นต เมื่อเปรียบเทียบกับป พ.ศ. 2529

2) ป พ.ศ. 2534 นาย ก ไดรับเงินเดือนนอยกวานาย ข เดือนละ 200 บาท3) ป พ.ศ. 2534 บริษัทจายเงินเดือนใหนาย ก และนาย ข รวมเปนเงิน 16,211 บาทตอเดือน4) ป พ.ศ. 2534 บริษัทจายเงินเดือนใหนาย ก และนาย ข เพ่ิมขึ้นเทากัน จากป พ.ศ. 2529

9. อุณหภูมิหองทํ างาน 4 หอง เมื่อวันจันทรต้ังอุณหภูมิไวท่ี 27°C, 26°C, 25°C และ 24°C ไดปรับอุณหภูมิใหต่ํ าลง 3°C ทุกหองในวันอังคาร ขอใดตอไปนี้ผิด1) สวนเบ่ียงเบนเฉล่ียของอุณหภูมิหองในวันจันทรเทากับวันอังคารมีคาเทากับ 1°C2) สัมประสิทธิ์ของพิสัยของอุณหภูมิหองในวันจันทรมีคาตางจากวันอังคาร3) คาเฉล่ียเลขคณิตของอุณหภูมิหองในวันจันทรสูงกวาวันอังคารอยู 3°C

*4) สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของอุณหภูมิหองในวันจันทรมีคาต่ํ ากวาวันอังคาร

10. สมมติวา g เปนฟงกชนัท่ีสามารถหาอนพัุนธได ถา g(3) = 2, g′(3) = 3 และ y = g(x)3xx 23 - แลว dy

dx ท่ี x = 3มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 4.50)


1. กํ าหนดให y = f(x) เปนสมการเสนโคงท่ีมีความชัน ณ จุด (x, y) ใดๆ เปน 3 x - 2x แลว f(4) - f(0)

เทากับเทาใด (ตอบ 8.00)

2. กํ าหนดให f(x) = 3x2 + 2 และ g(x) = x แลว (fg)′(1) +

gf′ (1) มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 12.00)

3. มีธงแบบตางๆ 6 ผืน เปนสีขาว 2 ผืน สีแดง 2 ผืน นอกนั้นเปนสีเขียวและฟา นํ าธงทั้งหมดมาประดับรอบวงเวียน โดยธงสีเดียวกันตองไมอยูติดกัน จํ านวนวิธีจัดธงดังกลาวมีก่ีวิธี (ตอบ 96.00)

4. ถาผลการสอบของนักเรียนหองหนึ่งเปนดังนี้

วิชา คาเฉลี่ยเลขคณิต สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานภาษาไทยภาษาอังกฤษ

6559

1510

เด็กชายวิทยเปนนักเรียนหองนี้ท่ีเรียนวิชาภาษาไทยไดดีเทากับวิชาภาษาอังกฤษ ถาในการสอบครั้งนี้เด็กชายวิทย สอบวิชาภาษาไทยได 80 คะแนน แลวเขาสอบวิชาภาษาอังกฤษไดคะแนนเทากับเทาใด (ตอบ 69.00)

5. กํ าหนดฟงกชัน f(x) =

≤ 9 x, kx3

9 > x, x 39 x

2 -

--

โดยท่ี k เปนจํ านวนจริงถา f เปนฟงกชันตอเนื่อง แลว f(27k) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 4 *2) 2 3) -2 4) -4

6. ถา x, y เปนจ ํานวนจรงิบวก ซ่ึง x + y = 10 และ xy2 มคีามากท่ีสุด แลวคาของ x, y อยูในชวงตามขอใดตอไปนี้1) x ∈ (0, 2) และ y ∈ (7, 9) 2) x ∈ (1, 3) และ y ∈ (6, 8)

*3) x ∈ (2, 4) และ y ∈ (5, 7) 4) x ∈ (3, 5) และ y ∈ (4, 6)7. กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 15 ลูก โดยท่ีลูกบอลแตละลูกมีหมายเลขกํ ากับอยูหนึ่งหมายเลข เปนเลข 1 ถึง 15

สุมหยิบลูกบอลมา 2 ลูก โดยหยิบทีละลูกแบบไมใสคืน จํ านวนวิธีท่ีหยิบไดลูกบอลลูกแรกมีหมายเลขซ่ึงหารดวย3 ลงตัว และลูกบอลลูกท่ีสองมีหมายเลขซ่ึงหารดวย 5 ลงตัว เทากับขอใดตอไปนี้1) 7 2) 8 *3) 14 4) 15

8. มีตนไม 6 กระถาง เปนกุหลาบตางๆ กัน 3 กระถาง และเปนตนไมอืน่ๆ ตางกันอีก 3 กระถาง ความนาจะเปนท่ีจะจัดเรียงกระถางตนไมท้ังหมดเปนแถวเดียวกันโดยไมมีกระถางกุหลาบอยูติดกันเลย มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

*1) 51 2) 15

1 3) 201 4) 30

1

9. สมชายมีเส้ือ 5 ตัว เปนสีขาว 3 ตัว สีฟา 2 ตัว มกีางเกง 4 ตัว เปนสีขาว 1 ตัว และสีเทา 3 ตัว ถาสมชายแตงตัวออกจากบานโดยไมเจาะจงแลว ความนาจะเปนท่ีเขาสวมเส้ือและกางเกงสีตางกันเทากับขอใดตอไปนี้1) 34 2) 45 3) 910 *4) 1720

10. สมมติตารางดัชนีราคาผูบริโภค ดังนี้ป พ.ศ. 2542 2543 2544ดัชนี 100 98 98

ถาพนักงานคนหนึ่งมีรายไดเดือนละ 12,000 บาท ในป พ.ศ. 2542 และไดเงินเดือนขึ้นปละ 5% เขาจะมีรายไดท่ีแทจริงตอเดือนในป พ.ศ. 2544 เมื่อเทียบกับป พ.ศ. 2542 เทากับขอใดตอไปนี้1) 12,970.59 2) 13,230.00 3) 13,469.39 *4) 13,500.00

11. ในการพิจารณาการกระจายของขอมูลแสดงปริมาณนํ้ านม (ลิตรตอวัน) ของแมวัวจํ านวน 50 ตัว พบวาสวนเบ่ียงเบนควอไทลเทากับ 4.5 และสัมประสิทธิ์ของสวนเบ่ียงเบนควอไทลเทากับ 30% คาของควอไทลท่ีหนึ่งและควอไทลท่ีสามเทากับขอใดตอไปนี้ ตามลํ าดับ1) 3.5 และ 12.5 2) 5.5 และ 14.5 *3) 10.5 และ 19.5 4) 12.5 และ 21.5

12. ขอมูลตอไปนี้คือคะแนนการสอบครั้งหนึ่งของนักเรียนหองหนึ่ง จํ านวน 40 คน

นักเรียนชาย นักเรียนหญิงจํ านวน (คน) 22 18คาเฉลี่ยเลขคณิต 18 11คาความแปรปรวน 9 4

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนของนักเรียนชายมากกวาของนักเรียนหญิงข. คะแนนการสอบของนักเรียนท้ังหองมีคาเฉล่ียเลขคณิตและความแปรปรวนเทากับ 14.85 และ 6.75

ตามลํ าดับขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด


1. กํ าหนดให f(x) = (x2 + 2)2 และ g(x) = lim f(x + h) f(x)hh 0

→

- แลว g′(1) มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 20.00)

2. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 20 ลูก ซ่ึงมีหมายเลขกํ ากับลูกละหนึ่งหมายเลขทุกลูกต้ังแตเลข 1-20 จํ านวนวิธีท่ีจะหยิบลูกบอล 2 ลูก แบบสุม เพ่ือใหไดลูกบอลท่ีมีหมายเลขซ่ึงหารดวย 4 หรือ 5 ลงตัวท้ังสองลูก เทากับเทาใด(ตอบ 28.00)

3. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 2 กลุม ปรากฏวาไดคะแนนเฉล่ีย (X ) เทากัน แตความแปรปรวน (S2)ตางกัน

ถานักเรียนกลุมท่ีหน่ึงมี 15 คน ได X = 45, S2 = 20และนักเรียนกลุมท่ีสองได Xii=1

n∑ = 450 และ Xi

2i=1

n∑ = 20500

โดยท่ี Xi แทนคะแนนของนักเรียนคนท่ี i, i = 1, 2, ... , nแลวความแปรปรวนรวมของคะแนนของทั้งสองกลุมเทากับเทาใด (ตอบ 22.00)

4. ให a เปนจํ านวนจริงบวก ซ่ึงทํ าใหฟงกชัน f ท่ีกํ าหนดโดย f(x) =

≤

2 x, 3)x +(5a 2 x, xa > 22

เปนฟงกชันตอเนื่อง ณ จุด x = 2f(a) + f(-a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 27 2) 54 3) 81 *4) 135

5. ให f และ g เปนฟงกชันซ่ึง g(x) = 3x2 - xf(x) และ f ′(x) = x-1/2 + 1 ถา g′(1) = 5 แลว f(9) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 8 *2) 11 3) 15 4) 20

6. กํ าหนดฟงกชัน f(x) = 2| x + 1 | และ g(x) = x2 + 2x + 3พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ถา f และ g มีคาต่ํ าสุดสัมพัทธท่ี x = a และ x = b ตามลํ าดับ แลว a = bข. คาต่ํ าสุดสัมพัทธของฟงกชัน (f + g) เทากับ 2

ขอใดตอไปนี้ถูก *1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด

3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด7. กํ าหนดให f(x) = x

2x + 3

, g(x) = 2x + 3 ถา F(x) = (fog-1)(x) แลว ∫F(x)dx คือขอใดตอไปนี้

*1) x x3 - 3 x + c 2) x x

2 + 23 x + c

3) x x2 - 23 x + c 4) 43 x x + 3x + c

8. ในการเลือกหัวหนา รองหัวหนา และเลขานุการ จากพนักงานกลุมหนึ่งซ่ึงเปนชาย 10 คน และหญิง 3 คนถาจํ านวนวิธีการเลือกสามตํ าแหนงนี้จากพนักงานท้ังหมดเทากับ M วิธี และจํ านวนวิธีการเลือกโดยที่ท้ังสามตํ าแหนงนี้เปนชายท้ังหมด หรือเปนหญิงท้ังหมดเทากับ N วิธี แลว M - N มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 495 *2) 990 3) 1704 4) 1710

9. สมมติวามีถนน 4 สาย เชื่อมอํ าเภอ A กับอํ าเภอ B และมีถนน 5 สายเชือ่มอ ําเภอ B กับอ ําเภอ C ความนาจะเปนท่ีชายคนหนึ่งจะเดินทางจากอํ าเภอ A ผานอํ าเภอ B ไปอํ าเภอ C และเดินทางกลับจากอํ าเภอ C ผานอํ าเภอ B ไปอํ าเภอ A โดยไมซ้ํ าเสนทางเดิมท้ังในการเดินทางจากอํ าเภอ C ไปอํ าเภอ B และอํ าเภอ B ไปอํ าเภอ A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 0.2 2) 0.4 *3) 0.6 4) 0.8

10. ทอดลูกเตา 2 ลูกสองครั้ง ความนาจะเปนท่ีจะไดแตมรวมเปน 7 ในครั้งแรก และไดแตมรวมเปน 10 ในครั้งท่ีสองเทากับขอใดตอไปนี้

*1) 172 2) 1108 3) 1144 4) 121611. บริษัทแหงหนึ่งจํ าหนายสินคา 3 ชนิด ในป พ.ศ. 2543 และ พ.ศ. 2544 ดังราคาตอไปนี้

ราคาตอหนวย (บาท)รายการสินคา

พ.ศ. 2543 พ.ศ. 2544โทรทัศนตูเย็น

เครื่องซักผา

15,00012,00020,000

a12,00025,000

ถาดัชนีราคาอยางงายแบบใชคาเฉล่ียราคาสัมพัทธของ พ.ศ. 2544 โดยใช พ.ศ. 2543 เปนฐาน เทากับ 105%แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

*1) 13,500 2) 14,250 3) 15,000 4) 15,75012. ขอมูลชุดหนึ่งมี 11 จํ านวน เรียงจากนอยไปหามากไดดังนี้

117 154 195 211 225 248 281 314 a 348 397ถาสัมประสิทธิ์สวนเบ่ียงเบนควอไทล = 0.25 และสวนเบ่ียงเบนควอไทล = b แลว ขอใดตอไปนี้ถูก1) a = 325, b = 70 *2) a = 325, b = 653) a = 335, b = 70 4) a = 335, b = 65

13. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่งไดคาความแปรปรวนเทากับ 9 ถานายคณิตเปนนักเรียนในหองนี้และสอบได 53 คะแนน คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 1 แลว สัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบครั้งนี้มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ใชทศนิยม 2 ตํ าแหนง)1) 0.02 *2) 0.06 3) 0.07 4) 0.18


1. มีกลองใบหนึ่งบรรจุดินสอ 4 แทง สีตางกันหมด ถาหยิบดินสอจากกลองนี้ 4 ครั้ง ครั้งละ 1 แทง โดยหยิบแลวใสคืน จํ านวนวิธีท่ีจะหยิบไดดินสอสีเดียวกันอยางนอย 2 ครั้ง เทากับเทาใด (ตอบ 34.00)

2. ถา f(x) = 1 x1 x2

-+ และ a เปนจํ านวนจริง ซ่ึง f(a) = a แลว ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ท่ีจุด

x = a เทากับเทาใด (ตอบ 0.50)3. นักเรียนมัธยมศึกษาปท่ี 5 สองหองทํ าขอสอบวิชาคณิตศาสตรฉบับเดียวกัน ปรากฏผลดังนี้

จํ านวนนักเรียนชวงคะแนนหอง ก หอง ข

1-1011-2021-3031-4041-50

391855

4142075

รวม 40 50

นักเรียนคนหนึ่งในหอง ก สอบไดคะแนนเทากับเปอรเซ็นไทลท่ี 75 ของหอง ก ถาเทียบกับหอง ข คะแนนของเขาจะเทากับเปอรเซ็นไทลท่ีเทาใดของหอง ข (ตอบ 76.00)

4. กํ าหนดฟงกชัน

f(x) =

≥<<

≤

+

1 x, x 81 x 0 ,a 2x x

0 x, 8 x2

--

-

เมื่อ a เปนจํ านวนจริง ถา f ตอเนื่องท่ี x = 1 ขอใดตอไปนี้ถูก1) a = 8 และ f ตอเนื่องท่ี x = 0 *2) a = 8 และ f ไมตอเนื่องท่ี x = 03) a = -8 และ f ตอเนื่องท่ี x = 0 4) a = -8 และ f ไมตอเนื่องท่ี x = 0

5. พิจารณาสวนโคงท่ีกํ าหนดดวยสมการf(x) = 4

x4 + x3 - 2x2 – 12

ขอใดตอไปนี้ผิด1) ความชันของเสนสัมผัสเสนโคงท่ี x = 0 เปนศูนย2) คาสูงสุดสัมพัทธของฟงกชัน f เทากับ -12

*3) f(x) มีคาเพ่ิมขึ้นตลอดชวง (-4, 1)4) f(x) มีคาลดลงตลอดชวง (-∞, -4)

6. กํ าหนดให h(x) = [f(x)]2 21

xถา f′(x) = 2x และ f(0) = -6 แลว h′(4) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 295 2) 320 *3) 345 4) 420

7. สมการเสนโคง y = f(x) มีความชันท่ีจุด (x, y) ใดๆ เทากับ 3x2 – 12ถาคาต่ํ าสุดสัมพัทธของ f เทากับ –17 แลว คาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับขอใดตอไปนี้

*1) 15 2) 19 3) 26 4) 318. ในการจัดหลอดไฟสีตางๆ เพ่ือประดับตามแนวเสนตรงจํ านวน 8 หลอด ถามีหลอดไฟสีแดง 3 หลอด สีเหลือง 3

หลอด สีเขียว 1 หลอด และสีนํ้ าเงิน 1 หลอดจํ านวนวิธีการจัดเรียงหลอดไฟสีดังกลาวโดยไมใหหลอดไฟสีเขียวและสีนํ้ าเงินติดกัน มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

*1) 840 วิธี 2) 980 วิธี 3) 1080 วิธี 4) 1120 วิธี9. จากการสํ ารวจนักเรียนหองหนึ่ง ซ่ึงแตละคนตองเรียนวิชาภาษาอังกฤษ คณิตศาสตรหรือสังคม อยางนอย 1 วิชา

ปรากฏวามีผูเรียนวิชาตางๆ ดังนี้อังกฤษ 25 คน คณิตศาสตร 20 คน สังคม 24 คนอังกฤษและคณิตศาสตร 7 คน อังกฤษและสังคม 9 คนคณิตศาสตรและสังคม 8 คน เรียนท้ังสามวิชา 5 คน

ถาสุมเลือกนักเรียน 1 คน จากนักเรียนหองนี้ ความนาจะเปนท่ีนักเรียนคนนี้เรียนคณิตศาสตรหรือภาษาอังกฤษแตไมเรียนสังคม เทากับขอใดตอไปนี้1) 0.48 *2) 0.52 3) 0.66 4) 0.76

10. ในการสุมเลือกคน 5 คน จากสามีภรรยา 6 คู ความนาจะเปนท่ีจะเลือกไดคนท่ีเปนสามีภรรยากัน 2 คู จาก 5 คนท่ีเลือก มีคาเทากับขอใดตอไปนี้1) 22

4 2) 225 3) 33

4 *4) 335

11. ขอมูลชุดหนึ่งมี 7 จํ านวน เรียงจากนอยไปมากเปนดังนี้ 12, a, 25, 26, 42, 48, bถาขอมลูชดุดงักลาวมคีาสัมประสทิธิข์องสวนเบ่ียงเบนควอไทลเทากับ 0.5 และพิสัยเทากับ 36 แลวคาเฉล่ียเลขคณิตขอมูลชุดนี้เทากับขอใดตอไปนี้

*1) 31 2) 32 3) 33 4) 3412. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่ง นายวิทยาสอบไดคะแนน 65 คะแนน และนายคณิตสอบได

คะแนน 40 คะแนน ถาคะแนนมาตรฐานของนายวิทยาและนายคณิตเปน 2.5 และ 0 ตามลํ าดับแลว สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนครั้งนี้เทากับขอใดตอไปนี้1) 0.15 2) 0.2 *3) 0.25 4) 0.3

13. คาเฉล่ียเลขคณิตและสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูล x1, x2, x3 เปน 8 และ 3 ตามลํ าดับ คาเฉล่ียเลขคณิต

ของขอมูล x4, x5, x6 เปน 10 และ ∑=

6

1 i

2ix = 567 สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอมูล x4, x5, x6 เทากับขอใด

ตอไปนี้1) 6 2) 5 *3) 4 4) 3

14. ในป พ.ศ 2545 นาย ก ทํ างานท่ีจังหวัดเชียงใหม ไดเงินเดือน 18,600 บาท นาย ข ทํ างานท่ีจังหวัดภูเก็ต ไดเงินเดือน 20,000 บาท

ถาดัชนีราคาผูบริโภคในป พ.ศ. 2545 (พ.ศ. 2540 = 100) ของคนในจังหวัดเชียงใหมและจังหวัดภูเก็ตเทากับ 93 และ 103 ตามลํ าดับแลวจงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ป พ.ศ. 2545 รายไดท่ีแทจริงของนาย ก เทากับ 20,000 บาทข. ป พ.ศ. 2545 ถาตองการใหรายไดท่ีแทจริงของนาย ก และนาย ข เทากัน นาย ข ตองไดเงินเดือนเพ่ิมอีก

เดือนละ 600 บาทขอใดตอไปนี้ถูก

*1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

เตรียมสอบมั่นใจเต็ม 100 คณิตศาสตร 2 ม.6

สวนนี้จะเสนอแบบฝกหัดเพ่ิมเติมเพ่ือเสริมทักษะใหพรอมเต็มท่ีสํ าหรับการสอบครั้งนี้

แคลคูลัสเบื้องตน


≥ 2 x, 1 x2< x, 63x

--

ขอใดตอไปนี้ผิด (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (2 คะแนน)1) lim

x 2→ - f(x) = 0 2) lim

x 2+→ f(x) = 1

*3) limx 2→

f(x) = f(2) 4) ฟงกชัน f(x) ไมตอเนื่องท่ี x = 2


2< x, k+2x2= x, h 2> x, 4x

2) (x

22

- -

ถาฟงกชัน f มีความตอเนื่องท่ี x = 2 แลว h + k มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540)(2 คะแนน)

*1) -4 2) -2 3) 0 4) 23. กํ าหนดให f(x) = 3x2 - 2x - 1 และ

a แทน อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f เทียบกับ x เมื่อ x เปล่ียนจาก 1 ไปเปน 2b แทน อัตราการเปลี่ยนแปลงของ f เทียบกับ x ขณะท่ี x = 2

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (1 คะแนน) *1) a = 7, b = 10 2) a = 10, b = 7 3) a = 72 , b = 10 4) a = 72 , b = 74. กํ าหนดให f(x) = 2x + 4 คาของ f′(0) คือขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (1 คะแนน)

1) 14 *2) 12 3) 1 4) 25. ถาจุดบนเสนโคง y = 2x3 - x2 ทํ าใหเสนสัมผัสเสนโคงท่ีจุดนั้นต้ังฉากกับเสนตรง x + 4y = 10 แลว

จุดนั้นมีพิกัด x เทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (2 คะแนน) *1) 1, - 23 2) 1, 23 3) -1, - 23 4) -1, 23

6. กํ าหนดให f(x) = x4 - 2x2 ; f(x) มีคาลดลงในชวงใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (1 คะแนน)1) (-1, 0) *2) (0, 1) 3) (1, 2) 4) (2, +∞)

7. พิจารณาขอความตอไปนี้ก. ถา f(x) เปนฟงกชันเพ่ิมเมื่อ a < x < b แลว f′(x) < 0 สํ าหรับทุกๆ x เมื่อ a < x < bข. ถา f(x) มีคาสูงสุดสัมพัทธท่ี x = c และ f′(c) หาคาได แลว f′(c) = 0

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (1 คะแนน)1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด

*3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด8. มีไมทํ ารั้วยาว 1600 เมตร ตองการก้ันรั้วรอบคอกมาเปนรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากใหมีพ้ืนท่ีมากท่ีสุด จะไดพ้ืนท่ีเทากับ

คาในขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (2 คะแนน)1) 80,000 ตารางเมตร *2) 160,000 ตารางเมตร3) 360,000 ตารางเมตร 4) 480,000 ตารางเมตร

9. ถาจํ านวนจริงสองจํ านวนบวกกันได 15 แลว ผลคูณของสองจํ านวนนี้จะมีคาสูงสุดเทากับเทาใด (ตอบ 56.25) (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (3 คะแนน)10. ∫ x

9 x - dx เทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (1 คะแนน)

1) 12 x x 18 x + C- 2) 12 x x + 18 x + C *3) 23 x x 18 x + C- 4) 23 x x + 18 x + C

11. ถาฟงกชัน y = f(x) มีอนุพันธท่ีจุด x ใดๆ เปน dydx = 2x + 1 และ f(1) = 3 แลวคาของ f(2) เทากับ

ขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (2 คะแนน)1) 4 2) 5 3) 6 *4) 7


≤

x<1 เมื่อ 2x 1<x0 เมื่อ 2

0< xเมื่อ 1.998

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. lim f(x) = 2

x 0

→

ข. lim f(x)x 1→

หาคาไมได

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด3) ก. ผิด และ ข. ถูก *4) ก. ผิด และ ข. ผิด

2> xเมื่อ x 2= xเมื่อ 5 2< xเมื่อ 4+ x

3

2

ขอใดตอไปนี้ผิด (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (1 คะแนน)1) lim f(x) = 8

x 2→ -2) lim f(x) = 8

x 2+→

*3) f(2) = หาคาได 4) f ตอเนื่องท่ี x = 2


>

≤

1 xเมื่อ 31 x

1 xเมื่อ 2 x2

--

--

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. f เปนฟงกชันตอเนื่องท่ีจุด x = -1ข. f เปนฟงกชันตอเนื่องท่ีจุด x = 2

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2537) *1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด

3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด


≥ 3 x, 2x 3< x, x2

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน) *1) lim f(x)

x 3→ - > lim f(x)

x 3+→

2) lim f(x)x 3→ -

< lim f(x)x 3+→

3) lim f(x)x 3→ -

= lim f(x)x 3+→

4) lim f(x)x 3→

= 75


≠

=+

1 xเมื่อ 2 x4 x

1 xเมื่อa 3x2--

โดยท่ี a เปนจํ านวนจริงคาของ a ท่ีทํ าใหฟงกชัน f ตอเนื่องท่ี x = 2 คือขอใดตอไปนี้(ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)

*1) -2 2) 0 3) 1 4) 2

1> x, b+ x1= x, 4 1< x, ax เมื่อ a และ b เปนจํ านวนจริง

ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องท่ีจุด x = 1 แลว (a + b) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539)(2 คะแนน)1) -1 2) 1 *3) 7 4) 9

18. กํ าหนดให f(x) = 1+2x และให g เปนอนุพันธของ f ขอความใดตอไปนี้ถูกตอง(ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (1 คะแนน)1) Df = Dg *2) Dg ⊂ Df และ Dg ≠ Df

3) Df ⊂ Dg และ Df ≠ Dg 4) DfIDg =

21 -

19. ถาเสนตรงผานจุดกํ าเนิดและสัมผัสเสนโคง y = x2 + 2 ในควอดรันตท่ีหนึ่ง แลวสมการของเสนตรงนี้คือสมการในขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (2 คะแนน)1) y = 3x 2) y = 4x *3) y = 2 2 x 4) y = 3 2 x

20. กํ าหนดให a และ b เปนจํ านวนจริงท่ีไมใชศูนย และ y = b xa x 22

-- ถาเมื่อ x = 0, y = 1 และ y′ = 1 แลว a

เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (2 คะแนน)1) a = b 2) a = -b 3) a = | b | *4) | a | = b

21. ถา b เปนจํ านวนจริงท่ีทํ าใหฟงกชัน f(x) =

∞<≤

<<∞

++ x1 เมื่อ bx1x เมื่อ x1 --

มีความตอเนื่องท่ีจุด x = 1 แลวอนุพันธของ f ท่ีจุด x = b เปนจริงตามขอใดตอไปนี้

(ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (2 คะแนน)1) f′(b) = 0 2) f′(b) = 1 *3) f′(b) = 2 4) ไมมีอนุพันธ

22. กํ าหนดให f เปนฟงกชันท่ีหาอนุพันธได โดยท่ี f(-1) = 2 และ f′(-1) = -5 ถา y = (x3 - 2x2) f(x) แลวคาของdydx ท่ีจุด x = -1 มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 29) (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (3 คะแนน)

23. กํ าหนด f(x) = x3 + 3 และ g(x) = 4x - 3 ความชันของเสนโคงท่ีจุดซ่ึง x = 1 ของฟงกชันในขอใดตอไปนี้

มีคามากท่ีสุด (ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)1) f(x) 2) g(x) 3) (f ⋅ g)(x) *4) (x)g

f

24. กํ าหนดเสนโคง y = x3 + 32 x2 - 6x + 4 เสนสัมผัสเสนโคงท่ีจุด x = 23 จะขนานกับเสนตรงในขอใดตอไปนี้(ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)1) 6x + 3y - 7 = 0 *2) 8x + 3y + 5 = 0 3) 8x - 3y - 4 = 0 4) 4x + 3y - 11 = 0

25. กํ าหนดให g(x) = [f(x)]4 ถา f(1) = 2 และ f′(x) = 5x แลวคาของ g′(1) เทากับขอใดตอไปนี้(ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (1 คะแนน)1) 100 2) 120 3) 140 *4) 160

26. กํ าหนดให f(x) = x2/3 - x3 สมการของเสนตรงที่ผานจุด (1, 2) และมีความชันเทากับความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ท่ีจุด x = -1 คือสมการในขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)1) 7x + 3y - 13 = 0 *2) 11x + 3y - 17 = 03) -7x + 3y + 1 = 0 4) -11x + 3y + 5 = 0

27. กํ าหนดให f(x) = x3 + Ax2 + Bx + 4 เมื่อ A, B เปนจํ านวนจริง ถา f(1) = 4 และ f′(0) = 1 แลว f มีคาต่ํ าสุดสัมพัทธ เมื่อ x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)1) 13 *2) 1 3) 43 4) 2

28. พอคาผลิตสินคาชนิดหนึ่ง x กิโลกรัม ตองลงทุนท้ังหมด 2x2 + 6x + 300 บาท และขายไปกิโลกรัมละ310 - 2x บาท ถาพอคาตองการขายใหไดกํ าไรมากท่ีสุด แลวเขาตองผลิตสินคาชนดินีก่ี้กิโลกรัม (ตอบ 38 กิโลกรัม)(ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (3 คะแนน)

29. ชาวสวนผูหนึ่งสังเกตวา ถาเขาปลูกมะมวง 80 ตน ในพ้ืนท่ีหนึ่งจะไดผลเฉล่ีย 150 ผลตอตน แตถาเขาปลูกใหนอยลง จะไดผลเฉล่ียเพ่ิมขึ้นตนละ 5 ผลตอจํ านวนตนมะมวงที่ลดลง 1 ตน ถา N เปนจํ านวนตนมะมวงท่ีปลูกในพ้ืนท่ีนี้เพ่ือใหไดผลผลิตมากท่ีสุด แลว N เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)1) 25 ≤ N < 40 2) 40 ≤ N < 55 *3) 55 ≤ N < 70 4) 70 ≤ N < 80

30. ขอใดตอไปนี้เปนปฏิยานุพันธของ 2x2(2x - 3) (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (1 คะแนน)1) (x3 - 2)x 2) (2 - x3)x 3) (2 - x)x3 *4) (x - 2)x3

31. ถา f(x) = 3x2 + 2x และ ∫[f(x) + g(x)]dx = x5 + C แลว ∫g(x)dx คือขอใดตอไปนี้(ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (1 คะแนน)

*1) x5 - x3 - x2 + C1 2) x5 + x3 + x2 + C13) x6

6 - x3 - x2 + C1 4) x66 + x3 + x2 + C1

32. กํ าหนดให f(x) = (x - 1)2 และ g(x) = ∫f(x)dx โดยท่ี (fg)(2) = 0 ถา (fg)(0) = a และ (f + g)(0) = bแลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)1) a = 13 , b = 23 2) a = 13 , b = 13 3) a = - 23 , b = 23 *4) a = - 23 , b = 13

33. กํ าหนดให f(x) = px2 + qx + r เมื่อ p, q, r เปนจํ านวนจริง ถา F(x) เปนปฏิยานุพันธของ f(x) และ F(0) = 0แลว F(1) + F(-1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)1) 0 2) p *3) q 4) r

34. กํ าหนดให f(x) = 3x2 - 3 และ F เปนปฏิยานุพันธของฟงกชัน f ถา F(0) = 4 แลว F(1) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้(ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (1 คะแนน)1) 0 2) 1 *3) 2 4) 3

35. นายแดงตองการจะกั้นรั้วรอบที่ดินรูปส่ีเหล่ียมผืนผาไวปลูกสม โดยใชรั้วบานเปนรั้วดานหนึ่งของที่ดินแปลงนี้ถาเขามีลวดหนามยาว 400 เมตร และตองการปลูกสม 1 ตนตอท่ีดินทุกๆ 5 ตารางเมตร เขาจะปลูกสมไดมากท่ีสุดก่ีตน1) 100 ตน 2) 200 ตน *3) 4,000 ตน 4) 2,000 ตน

36. ให f′(x) เปนอนุพันธของ f(x) ถา f(0) = 0 แลว f(1) ในขอใดตอไปนี้ตางจาก f(1) ในขออื่น *1) f′(x) = (4x2 + 1)(x - 1) 2) f′(x) = 4

x - 5

3) f′(x) = 4 x3 4) f′(x) = 4x(x2 + 1)37. ถาเสนสัมผัสกับเสนโคง y = 13 (x3 - 3x2 + 6x + 4) ท่ีจุด P ขนานกับเสนตรง 2x - y + 3 = 0 ขอใดตอไปนี้

เปนสมการของเสนตรงที่ต้ังฉากกับเสนสัมผัสท่ีจุด P *1) 3x + 6y - 8 = 0 และ x + 2y - 10 = 0 2) 3x + 6y - 14 = 0 และ x + 2y - 8 = 0

3) 6x + 3y - 4 = 0 และ 2x + y - 8 = 0 4) ไมมีคํ าตอบถูก38. กํ าหนดฟงกชัน f(x) = x 1

x- ขอความใดตอไปนี้เปนจริง

1) f(x) มีคาสูงสุด 2) f(x) มีคาต่ํ าสุด3) f(x) มีท้ังคาสูงสุด และคาต่ํ าสุด *4) f(x) ไมมีคาสูงสุด และไมมีคาต่ํ าสุด

39. ในการโยนลูกบอลตรงขึ้นไปในอากาศจากยอดตึกสูง 34.3 เมตร มีสมการของการเคลื่อนท่ีของลูกบอลเปนs = 29.4t - 4.9t2 เมื่อ s เปนระยะทางมีหนวยเปนเมตร และ t เปนเวลามีหนวยเปนวินาที ขอความใดตอไปนี้ไมจริง1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ s เทียบกับ t ในชวงเวลา t = 2 ถึง t = 3 มีคานอยกวาอัตราการ

เปล่ียนแปลงของ s เทียบกับ t ท่ีขณะเวลา t = 2 *2) ลูกบอลขึ้นไปไดสูงสุด 44.1 เมตร จากพ้ืนดิน

3) ลูกบอลจะตกถึงยอดตึกในเวลา 6 วินาที4) ขณะท่ีตกถึงยอดตึก ลูกบอลมีอัตราเร็ว 29.4 เมตร/วินาที

40. ในการประมาณการปลูกมันสํ าปะหลัง พบวาถาขุดมันสํ าปะหลังขณะนี้ ไดมันสํ าปะหลัง 100 กิโลกรัม และขายไดกิโลกรัมละ 1.50 บาท ถายังไมขุดและรอตอไปจะไดมันสํ าปะหลังเพ่ิมขึ้นสัปดาหละ 10 กิโลกรัม แตราคาขายจะลดลงไปสัปดาหละ 0.05 บาทตอกิโลกรัม ดังนั้นควรขายมันสํ าปะหลังเมื่อใดจึงจะมีรายไดจากการขายมากที่สุด1) ขายทันที 2) ขายเมื่อส้ินสัปดาหท่ีหา

*3) ขายเมื่อส้ินสัปดาหท่ีสิบ 4) ขายเมื่อส้ินสัปดาหท่ีสิบหา41. จากการวิเคราะหเก่ียวกับกํ าลังคน และเครือ่งมอืในการผลิตของบรษัิทแหงหนึ่ง ปรากฏวาดวยกํ าลังคนและเครื่องมือ

ในการผลิตท่ีบริษัทมีอยูขณะนี้ บริษัทจะมีผลผลิต 3,000 ตันตอวัน ถาไมมีการเปลี่ยนแปลงในการลงทุนแลวอัตราการเปลี่ยนแปลงของผลผลิตตอวันเทียบกับกํ าลังคนท่ีเพ่ิมขึ้นจะเทากับ 80 - 6 x เมื่อ x เปนจํ านวนคนท่ีเพ่ิมขึ้น อยากทราบวาผลผลิตตอวันของบริษัทนี้จะเปนก่ีหนวย เมื่อมีจํ านวนคนเพ่ิมขึ้น 25 คน1) 3,000 หนวย *2) 4,500 หนวย 3) 4,625 หนวย 4) 4,985 หนวย

42. ความชันของเสนสัมผัสกับเสนโคง y = f(x) ณ จุดใดๆ เทากับ 3x2 - 2x ถาเสนโคงนี้ผานจุด (0, 2) แลวขอใดตอไปนี้ผิด1) ขอมูลท่ีโจทยกํ าหนดใหเพียงพอท่ีจะหาสมการของเสนโคงได2) คาสูงสุดสัมพัทธของ f(x) = 2

*3) คาต่ํ าสุดสัมพัทธของ f(x) นอยกวา 04) คาต่ํ าสุดสัมพัทธของ f(x) นอยกวาคาสูงสุดสัมพัทธของ f(x)

43. การผลิตสินคาชนิดหนึ่งของบริษัทแหงหนึ่งเสียคาใชจายหนวยละ 0.2x + 4 + 400x บาท รัฐบาลเก็บภาษีอีกหนวยละ 22 บาท บริษัทขายหนวยละ 400 - 2x บาท โดยท่ี x หมายถึง จํ านวนหนวยท่ีผลิตตอเดือน ถาจะใหไดกํ าไรตอเดือนมากที่สุดบริษัทจะตองผลิตสินคานี้เปนจํ านวนเทาใด

*1) 85 หนวย/เดือน 2) 90 หนวย/เดือน 3) 95 หนวย/เดือน 4) 100 หนวย/เดือน44. กํ าหนดให v(t) = t2 - 4t + 10 เปนความเร็วของการเคลื่อนท่ีของวัตถุ ณ เวลา t และมีหนวยเปนเมตรตอวินาที

ขณะท่ี t = 0 วัตถุเคล่ือนท่ีไดระยะทาง 43 เมตร เมื่อความเรงของวัตถุเทากับ 0 เมตร/วินาที2 ความเร็วและระยะทางมีคาเทาใด

*1) 6 เมตร/วินาที, 16 เมตร 2) 6 เมตร/วินาที, 8 เมตร3) 16 เมตร/วินาที, 6 เมตร 4) 6 เมตร/วินาที, 443 เมตร

45. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง *1) ถา f′(x) = 3 x + 1 และ f(1) = 0 แลว f(0) = -3

2) ถา f(x) = 12x + 1 แลว f′(x) = -1

4 3 2x /

3) ถา f(x) = x - 12 แลวอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f(x) เทียบกับ x ในชวง x = a ถึง x = a + hเทากับ 1

a + h a-4) ถา f(x) = 1 - x2 แลว f′(x) ≥ 0 เมื่อ x ≥ 0 และ f′(x) < 0 เมื่อ x < 0

46. สมการของเสนตรงที่สัมผัสเสนโคง y = x3 - x + 1 และต้ังฉากกับเสนตรง 2x + 4y - 5 = 0 คอืสมการในขอใด1) 2x - y + 1 = 0 , 2x - y - 3 = 0 2) 4x - 2y - 1 = 0 , 4x - 2y + 3 = 03) 2x - y - 1 = 0 , 2x - y - 3 = 0 *4) 2x - y - 1 = 0 , 2x - y + 3 = 0

47. กํ าหนดให m1 และ m2 เปนความชันของเสนสัมผัสของกราฟ y = 2x2 - 8x + 5 ณ จุดท่ีกราฟนี้ตัดกับเสนตรงy + 9x = 6 คา m1 และ m2 เทากับเทาใด

*1) -12, -6 2) -10, -4 3) -10, -7 4) -9, -6

48. ยิงปนขึ้นไปในแนวดิ่งจากพ้ืนราบ ไดสมการของการเคลื่อนท่ีของลูกปนเปน s = 128t - 16t2, t ≥ 0 โดยท่ีt แทนเวลาท่ีมีหนวยเปนวินาที และ s แทนความสูงของลูกปนเมื่อเวลาผานไป t วินาที และมีหนวยเปนเมตรขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ลูกปนอยูสูงจากพ้ืนราบเปนระยะ 156 เมตร เมื่อ t = 1.5 วินาที เพียงเวลาเดียวเทานั้น

*2) ระยะที่ลูกปนขึ้นไปไดสูงสุดคือ 256 เมตร3) เมื่อเวลาผานไป 4 วินาที ลูกปนจะอยูท่ีพ้ืนราบ4) เมื่อเวลาผานไป 6 วินาที ลูกปนจะเดินทางไปไดเปนระยะทางทั้งหมด 192 เมตร

49. กํ าหนดให l เปนเสนตรงซึ่งมีความชัน 2 และสัมผัสโคง y = x2 + 2 ถา (a, b) เปนจุดบนเสนตรง l ท่ีอยูใกลจุดกํ าเนิดมากที่สุด แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้

*1) - 15 2) 15 3) - 25 4) 2550. บริษัทหนึ่งขายสินคาได 100 ชิ้น ไดกํ าไร 6,800 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของกํ าไรเทียบกับจํ านวนสินคา

ท่ีขายไดของบริษัทเปน 78 - 0.08x เมื่อ x คือจํ านวนสินคาท่ีขายได ในการผลิตสินคานี้ บริษัทจะมีโอกาสทํ ากํ าไรไดมากท่ีสุดเทากับขอใดตอไปนี้1) 17,421 บาท 2) 27,522 บาท *3) 37,425 บาท 4) 47,427 บาท

51. ถาอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเสนโคง y = f(x) ณ จุดใดๆ มีคาเปน x - 1 และเสนโคงมีความชันเปน1 ท่ีจุด (-1, 0) แลวสมการของเสนโคงนี้คือขอใดตอไปนี้1) y = x2 x 12

2 - - 2) y = x2 x + 322 -

*3) y = x6 x2 x2 + 163 2- - 4) y = x x2 3x2 1363 2- - -

52. กํ าหนด f(x) = 24/35/37/3

x24x12x3x - - คาของ h

f(x) h) f(xlim0h

-+

→ เมื่อ x = 8 เทากับขอใดตอไปนี้

1) 0 *2) 1 3) 2 4) 353. กํ าหนด y = f(x) ถาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x เทากับ kx3 - 10x + 6 เมื่อ x มีคาใดๆ และ k

เปนคาคงตัว และ f(0) = 1, f′(1) = 0 แลว f(-1) มีคาเทาใด1) 6 *2) -9 3) 10 4) -13

54. กํ าหนดให f(x) = 1x

2 + x2xx223

- - - ถาตองการให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํ านวนจริง แลวจะตอง

นิยามเพ่ิมเติมตามขอใดตอไปนี้1) f(-1) = 1 และ f(1) = -1 *2) f(-1) = -3 และ f(1) = -13) f(-1) = -1 และ f(1) = -3 4) f(-1) = -3 และ f(1) = 3

วิธีเรียงสับเปลี่ยน และวิธีจัดหมู

1. จํ านวนวิธีจัดเลข 3 หลัก ท่ีมีคามากกวา 300 จากเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยตัวเลขเหลานี้สามารถนํ ามาใชไดครั้งเดียวมีคาเทากับคาใดในขอตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (1 คะแนน)1) 12 2) 24 *3) 60 4) 154

2. บริษัทหนึ่งมีตํ าแหนงงานวางอยู 2 ตํ าแหนง ท่ีแตกตางกัน ถามีผูมาสมัครเขาทํ างาน 4 คน คือ ก ข ค และ ง เมื่อทํ าการสัมภาษณแลว ปรากฏวาคนท่ีเหมาะสมกับตํ าแหนงท่ี 1 คือ ก ข ค คนท่ีเหมาะสมกับตํ าแหนงท่ี 2คือ ข ค ง ขอใดตอไปนี้ เปนจํ านวนวิธีท่ีแตกตางกัน ท่ีบริษัทจะบรรจุคนเขาทํ างานโดยใหคนเหมาะสมกับงาน(ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (2 คะแนน)1) 9 2) 7 *3) 6 4) 3

3. ใชอักษร 3 ตัว จาก {A, B, ... , Z} เรียงกันเปนรหัสลับ จะมีรหัสลับซ่ึงประกอบดวยสระอยางนอย 1 ตัว ก่ีวิธี (ตอบ 7620 วิธี)

4. จํ านวนวิธีจัดผูชาย 3 คน และผูหญิง 4 คน ใหนั่งในแถว โดยท่ีผูชายจะนั่งในตํ าแหนงเลขคูเสมอ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (1 คะแนน)1) 12 *2) 144 3) 288 4) 5040

5. สมศรีตองการเรียงกระถางตนไมไวบนระเบียงบานใหเปนแนวเสนตรงโดยมีตนกุหลาบ 3 ตน โปยเซียน 2 ตน และมะลิ 4 ตน จํ านวนวิธีท่ีจะเรียงตนไมท้ังหมดโดยใหตนมะลิทุกตนอยูติดกันเสมอ เทากับขอใดตอไปนี้(ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)1) 36 *2) 60 3) 720 4) 1260

6. มีธงของชาติตางๆ 5 ผืน ชาติละ 1 ผืน และธงไทยขนาดไมเทากัน 2 ผืน นํ ามาจัดประดับรอบวงเวียนโดยไมใหธงไทยอยูติดกันจํ านวนวิธีจัดคือขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2535)1) 120 2) 240 *3) 480 4) 600

7. ในการแขงขันฟุตบอลของทีมโรงเรียนตางๆ จํ านวน 50 ทีม ถาจัดการแขงขันแบบพบกันหมด จํ านวนครั้งของการแขงขันท้ังหมดเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (1 คะแนน)1) 1176 *2) 1225 3) 2450 4) 2540

8. กํ าหนดจุด 15 จุด บนเสนรอบวง ถาลากเสนเชื่อมจุดแตละคู จํ านวนจุดตัดภายในวงกลมของเสนตรงเหลานี้ท่ีมากท่ีสุดท่ีเปนไปได มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (2 คะแนน)

1)

215

*2)

415

3)

215

215

4)

215

415

9. ตองการจัดคน 7 คน ใหนั่งรอบโตะหกเหลี่ยมดานเทา ซ่ึงจัดเกาอี้ไวรอบโตะ 6 ตัว โดยเกาอี้แตละตัววางหางกันเปนระยะเทากัน และเกาอี้หนึ่งตัวนั่งได 1 คน จะมีจํ านวนวิธีจัดดังกลาวไดก่ีวิธี (ตอบ 840) (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (3 คะแนน)

10. กลองใบหนึ่งมีลูกบอล 15 ลูก เปนสีแดง 1 ลูก สีขาว 2 ลูก นอกนั้นเปนสีอื่น ถาเลือกลูกบอล 3 ลูก จากกลองใบนี้ใหไดสีแดง 1 ลูก และไมไดสีขาว จะมีวิธีเลือกไดเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539)(1 คะแนน)1) 54 วิธี *2) 66 วิธี 3) 78 วิธี 4) 94 วิธี

11. จํ านวนวิธีเลือกผูแทน 3 คน จากผูสมัคร 9 คน ซ่ึงประกอบดวยชาย 4 คน และหญิง 5 คน เขาไปรวม ในคณะกรรมการชุดหนึ่งโดยอยางนอยตองมีชาย 1 คน มีก่ีวิธี (ตอบ 74 วิธี)(ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (3 คะแนน)

12. ในชมรมสงเสริมศีลธรรม มีสมาชิกเปนพอบาน 4 คน แมบาน 2 คน และเยาวชน 5 คน ตองการเลือกกรรมการชุดหนึ่งท่ีมี 3 คน โดยจะตองมีเยาวชนอยางนอย 1 คน จํ านวนวิธีเลือกเทากับขอใดตอไปนี้1) 5 2) 31 3) 135 *4) 145

13. กํ าหนดรูปแปดเหลี่ยมดานเทามุมเทา 1 รูป ถาลากเสนตรงใหผานจุดอยางนอย 2 จุด ในบรรดาจุดยอดและจุดก่ึงกลางดานของรูปแปดเหลี่ยมท่ีกํ าหนดให จะสามารถนับเสนตรงที่ตางกันไดเทากับขอใดตอไปนี้ (ถามีจุดใดอยูบนเสนตรงนั้นแลวจะนับเสนตรงนั้นเพียง 1 ครั้ง)1) 96 *2) 104 3) 120 4) 125

14. ในการนั่งรับประทานอาหารรอบโตะกลมซ่ึงมี 10 ท่ีนั่ง ถาในบรรดา 10 คน ท่ีนั่งโตะนี้สามีภรรยา 2 คู ตองการนั่งติดกัน โดยแตละคูตองนั่งเคียงขางกันเสมอ แลวจํ านวนวิธีการจัดท่ีนั่งของคนท้ัง 10 คน เทากับขอใดตอไปนี้1) 8 (6!) วิธี 2) 56 (6!) วิธี 3) 24 (6!) วิธี *4) 28 (6!) วิธี

15. มีปายเครื่องหมายอยูจํ านวนหนึ่งเปนเครื่องหมาย + อยู 4 อัน และเครื่องหมาย × อยู 3 อัน สวนท่ีเหลือเปนเครื่องหมายอื่น 1 อัน ถานํ าปายท้ังหมดมาวางเรียงแถวกัน แลวไดจํ านวนวิธีการเรียงเปน a เทาของจํ านวนวิธีการหยิบปายมาครั้งละ 5 อัน จงหาคาของ a (ตอบ a = 5)

16. กํ าหนดจุด 6 จุด บนวงกลมวงหนึ่ง จํ านวนวิธีท่ีจะสรางรูปเหลี่ยมบรรจุในวงกลมโดยใชจุดเหลานี้เปนจุดยอดมุมเทากับขอใดตอไปนี้1) 20 2) 35 *3) 42 4) 63

17. ถาเครื่องดื่มท่ีจดัไวเปนนํ ้าอดัลม 4 ชนิด นํ้ าผลไมสด 3 ชนิด จํ านวนวธิท่ีีจะเลือกนํ ้าอดัลม 2 ชนิด และนํ้ าผลไมสด2 ชนิด แลวนํ ามาเสิรฟคนนั่งรอบโตะกลม 4 คน คนละ 1 แกว อยางไมเจาะจงเทากับขอใดตอไปนี้1) 72 2) 108 3) 144 *4) 432

18. มีผาเช็ดหนาสีขาวลายตางกัน 3 ผืน สีฟาลายตางกัน 2 ผืน สีชมพูลายตางกัน 2 ผืน จํ านวนวิธีเรียงผาเช็ดหนา7 ผืนซอนกัน โดยท่ีผาเช็ดหนาสีขาวอยูติดกันท้ังสามผืนไมได เทากับขอใดตอไปนี้1) 2160 2) 3600 *3) 4320 4) 5040

19. จะสรางจํ านวนท่ีมี 3 หลัก จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 โดยท่ีตัวเลขแตละหลักจะตองไมซํ้ ากันและจํ านวนท่ีสรางขึ้นเปนจํ านวนคี่ท่ีมีคามากกวา 300 แตนอยกวา 900 มีก่ีจํ านวน1) 72 2) 200 *3) 216 4) 240

20. จะจัดคน 6 คน นั่งรอบโตะกลม 2 ตัว ตัวละ 3 คน ไดก่ีวิธี1) 20 2) 40 *3) 80 4) 160

21. กลองใบหนึ่งมีหนังสืออยู 4 เลม ปากกา 2 กลอง และดินสอ 3 กลอง หยิบของออกจากกลองครั้งหนึ่ง 3 ชิ้นจํ านวนวิธีท่ีจะหยิบไดดินสออยางนอย 1 กลองมีคาเปนเทาใด1) 20 2) 28 3) 45 *4) 64

22. ถาใสยางลบ 3 แทง อยางไมเจาะจงลงในกลอง 3 ใบ จงหาจํ านวนวิธีท่ีไดยางลบ 2 แทง อยูในกลองใบเดียวกันสวนยางลบอีกแทงหนึ่งอยูในกลองอื่น1) 3 2) 6 3) 9 *4) 18

23. การแสดงรํ าแบบหนึ่งใชผูแสดงชาย 4 หญิง 4 โดยจัดใหผูแสดงยืนเปนวงกลมซอนกัน 2 วง วงหนึ่งเปนชายลวนอีกวงหนึ่งเปนหญิงลวน วงละ 3 คน จํ านวนวิธีจัดผูแสดงยืนเปนวงกลมดังกลาวเทากับเทาใด1) 36 2) 64 3) 72 *4) 128

24. มีนํ้ าหอม 4 ขวด ขนาดตางกัน ครีมทาผิว 3 ขวด ขนาดตางกัน และแปงฝุน 2 กระปอง ขนาดตางกัน จํ านวนวิธีจัดเรียงของทั้งหมดบนชั้น โดยใหของชนิดเดียวกันอยูติดกัน และนํ้ าหอมอยูระหวางแปงฝุนกับครีมทาผิว เทากับเทาใด1) 288 *2) 576 3) 864 4) 1728

25. ถาตองการจัดใหเด็กชาย 4 คน เด็กหญิง 3 คน นั่งเปนวงกลม โดยไมใหเด็กหญิงนั่งติดกันจะจัดไดก่ีวิธี1) 30 2) 36 *3) 144 4) 288

26. ถาตองการเลือกผลไม 3 ชนิด จากผลไม 6 ชนิด คือ สม ชมพู มงัคดุ ละมดุ มะมวง และนอยหนา โดยมีขอแมวาสํ าหรับมังคุดกับละมุดนั้น ถาเลือกจะตองเลือกใหไดท้ัง 2 ชนิด จะเลือกไดก่ีวิธี1) 4 *2) 8 3) 16 4) 20

27. มีหนังสือคณิตศาสตรตางกัน 3 เลม หนังสือวิทยาศาสตรตางกัน 2 เลม และหนังสือภาษาอังกฤษตางกัน 3 เลมถาตองการจัดเรียงหนังสือท้ัง 8 เลมนี้ โดยใหหนังสือวิชาเดียวกันอยูติดกัน จะจัดไดก่ีวิธี1) 20 2) 72 *3) 342 4) 560

28. กลองใบหนึ่งมีปากกาสีขาว 5 ดาม และปากกาสีเหลือง 4 ดาม ปนกันอยู หยิบปากกามาสองดามอยางสุมๆจํ านวนวิธีท่ีจะไดปากกาสองดามเปนสีเดียวกันเทากับเทาใด1) 12 2) 60 *3) 16 4) 36

29. คนกลุมหนึ่งประกอบดวยพ่ีนอง 2 คน และเด็กอื่นอีก 6 คน ตองการจัดเด็กใหนั่งรอบโตะกลม โดยท่ีไมใหพ่ีนองสองคนนั่งติดกัน จะจัดไดก่ีวิธี1) 72!! *2) 7! - 2! 6! 3) 8! - 2! 6! 4) ไมมีขอใดถูก

30. ถามีจานอยู 15 ใบ ซ้ือจากสามประเทศ ประเทศ ก มี 5 ใบ แตกตางกัน ประเทศ ข มี 4 ใบ เหมือนกันและประเทศ ค มี 6 ใบ แตกตางกัน จะต้ังจานแสดงใหชมโดยจัดเรียงเปนวงกลมไดก่ีวิธี

*1) 144 !! 2) 145 6!! ! 3) 143 !! 4) 143 4!! !

31. สมมติในงานเลี้ยงครั้งหนึ่งมีอาหารใหเลือกอยู 7 อยาง แตกตางกัน และมีอยูชนิดหนึ่งท่ีสมศรีรับประทานไมไดถาเพ่ือนของเธอตักอาหารใหเธอ 3 อยาง โดยท่ีเขาไมทราบวาเธอรับประทานอะไรไมได จงหาจํ านวนวิธีท่ีอาหารท่ีเขาตักมานั้นมีของท่ีสมศรีรับประทานไมไดรวมอยูดวย

*1) 15 2) 20 3) 21 4) 4532. จํ านวนวิธีจัดเรียงอักษรในคํ าวา ENTRANCE ซ่ึงอักษร E ไมอยูติดกันเทากับเทาใด

(ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)1) 2520 *2) 7560 3) 8820 4) 10080

33. สามีภรรยาคูหนึ่งมีลูกอยู 2 คน มีทรัพยสินอยู 10 อยาง โดยท่ีถาจัดกลุมตามมูลคาท่ีใกลเคียงกันจะแบงไดเปนสองกลุม กลุมท่ีหนึ่งมี 4 อยาง กลุมท่ีสองมี 6 อยาง และไดเขียนพินัยกรรมโดยระบุวา ลูกคนโตไดทรัพยสินจากกลุมท่ีหนึ่ง 2 อยาง และจากกลุมท่ีสอง 3 อยาง ผูจัดการมรดกจะแบงทรัพยสินใหแกลูกคนโตไดก่ีวิธี(ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)

*1) 120 2) 240 3) 252 4) 144034. ในการเลือกคณะกรรมการ 5 คน จากผูสมัคร 11 คน ถาผูสมัครสองคนท่ีกํ าหนดใหจะไมถูกเลือกพรอมกัน

หรือไมถูกเลือกท้ังคู จํ านวนวิธีการเลือกคือขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)1) 420 *2) 378 3) 252 4) 210

35. ในเขตเลือกต้ังหนึ่งมีผูแทนราษฎรได 3 คน มีผูสมัคร 4 พรรค พรรคละ 3 คน วิธีท่ีจะไดผูแทนราษฎรที่มาจากตางพรรคกันคือขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2535)1) 24 *2) 108 3) 114 4) 648

36. ในการเลือกคน 7 คน ไปทํ างานชิ้นหนึ่งโดยใชคนอยางนอย 1 คน แตไมใชคน 3 คน จะมีวิธีเลือกท้ังหมดเปนเทาใด (ตอบ 92) (ขอสอบเอนทรานซ ป 2535)

37. ตองการสรางรหัสจากตัวอักษร โดยกํ าหนดใหแตละรหัสอาจมีตัวอักษร 1 ตัว หรือ 2 ตัว หรือ 3 ตัว หรือ 4 ตัวเทานั้น จะสรางรหัสไดท้ังหมดเทากับจํ านวนในขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (1 คะแนน)1) 16 2) 24 *3) 30 4) 32

38. ถาตองการเลือกมูลนิธิ 12 แหง จากท่ีมีอยูท้ังหมด 24 แหง เพ่ือการบริจาคเงินตลอดป โดยบริจาคใหมูลนิธิ เดือนละ 1 แหง ไมซ้ํ ากัน จํ านวนวิธีบริจาคเทากับเทาใด (ขอสอบเอนทรานซ ป 2536)

*1) 24!12! 2) 24!2!12! 3) 24!(12!)2 4) 24!

2!(12!)239. ครอบครัวๆ หนึ่ง ประกอบดวย พอ แม และลูก 2 คน ถาครอบครัวนี้ตองการขับรถไปชมงานบีโอไอแฟร โดยใช

รถยนตท่ีมี 4 ท่ีนั่ง โดยพอหรือแมเปนคนขับ จะมีจํ านวนวิธีท่ีจะจัดสมาชิกในครอบครัวนั่งในรถยนตคันนี้ไดท้ังหมดก่ีวิธี (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (1 คะแนน)

*1) 12 2) 8 3) 6 4) 4

ความนาจะเปน

1. ในการจับฉลากชื่อนักเรียน 1 คน จากนักเรียน 4 คน ซ่ึงเปนชาย 2 คน หญิง 2 คน จากโรงเรียน ในกรุงเทพฯ เพ่ือเปนตัวแทนไปแขงขันตอบปญหา ความสนใจผลลัพธขอใดตอไปนี้ทํ าใหการทดลองนี้เปนการทดลองสุม (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (1 คะแนน)1) ไดตัวแทนเปนนักเรียนของโรงเรียนในกรุงเทพฯ 2) ไดตัวแทนเปนนักเรียนของโรงเรียนในตางจังหวัด

*3) ไดตัวแทนเปนนักเรียนชาย 4) ถูกท้ังขอ 1), 2) และ 3)2. ในการทดลองสุมใดๆ ให P(A) แทนความนาจะเปนของเหตุการณ A ใดๆ ขอใดตอไปนี้ไมถูกตอง

(ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (1 คะแนน)1) มีอยางนอยหนึ่งเหตุการณ A ท่ี P(A) = 0 2) มีอยางนอยหนึ่งเหตุการณ A ท่ี P(A) = 1

*3) มีอยางนอยหนึ่งเหตุการณ A ท่ี P(A) = 12 4) มีอยางนอยหนึ่งเหตุการณ A ท่ี P(A) > 123. สมชายมีเส้ืออยู 5 ตัว เปนสีขาว 3 ตัว สีฟา 2 ตัว มีกางเกงขายาว 4 ตัว เปนสีขาว 1 ตัว และสีเทา 3 ตัว ถา

สมชายแตงตัวออกจากบานโดยไมเจาะจงแลว ความนาจะเปนท่ีเขาสวมเส้ือ และกางเกงสีตางกันคือขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (2 คะแนน)1) 1520 2) 1620 *3) 1720 4) 1820

4. ถาความนาจะเปนท่ีแดงจะอายุยืนถึง 20 ปขางหนา เทากับ 0.6 ความนาจะเปนท่ีดํ าจะอายุยืนถึง 20 ปขางหนา เทากับ 0.9 และความนาจะเปนท่ีแดงหรือดํ าจะมีอายุยืนถึง 20 ปขางหนาเทากับ 0.96 แลวขอใดตอไปนี้คือความนาจะเปนท่ีแดงและดํ าจะมีอายุยืนถึง 20 ปขางหนา (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (2 คะแนน)1) 0.04 2) 0.46 *3) 0.54 4) 0.96

5. ให A และ B เปนเหตุการณใดๆ ในแซมเปลสเปซ S ถา P(A′IB) = P(AIB′) = P(AIB) = 0.2 แลว P((AUB)′) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (1 คะแนน)1) 0.3 *2) 0.4 3) 0.5 4) 0.6

6. ในงานชุมนุมครั้งหนึ่งมีบุคคลอาชีพตางๆ เขาชุมนุม 300 คน ในจํ านวนนี้มีอาชีพทนายความ 160 คน อาชีพขายประกัน 90 คน ทนายความและขายประกัน 40 คน ความนาจะเปนท่ีจะสุมเลือกไดตัวแทน 1 คนท่ีไมเปนทนายความ และไมขายประกันมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (1 คะแนน)1) 16 2) 215 *3) 310 4) 1730

7. ในการเลือกตัวเลขสามตัวโดยไมเจาะจงจาก {1, 2, 3, 4} โดยเลือกทีละตัวและไมซ้ํ ากัน ความนาจะเปนท่ีจะไดตัวเลข 3 ตัว ท่ีมีผลบวกเปน 6 เทากับคาในขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)

*1) 14 2) 13 3) 12 4) 34

8. จากประวัติของผูปวยของคลินิกแหงหนึ่งท่ีปวยเปนโรคหัวใจหรือโรคความดันโลหิตสูง ซ่ึงมีจํ านวน 50 คน โดยมีผูปวยโรคหัวใจ 20 คน มีผูปวยท่ีเปนท้ังโรคหัวใจและโรคความดันโลหิตสูง 15 คน ถาสุมหยิบประวัติผูปวย 1 ราย แลวความนาจะเปนท่ีจะไดผูปวยดวยโรคหัวใจอยางเดียวหรือปวยดวยโรคความดันโลหิตสูงอยางเดียวเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)1) 25 2) 35 *3) 710 4) 910

9. บานพักและโรงเรยีนของสมศกัดิ์อยูริมนํ้ า เขาจึงเดินทางไปโรงเรยีนและกลับบานโดยทางเรือ ถากํ าหนดวาเรือท่ีสมศักดิ์จะใชบริการไดมีเรือดวน 10 ลํ า และเรือหางยาว 8 ลํ า ความนาจะเปนท่ีสมศักดิ์จะเดินทางไปโรงเรียนและกลับบานดวยเรือดวนลํ าเดียวกัน มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (2 คะแนน)1) 118 2) 1

182 3) 1018 *4) 10182

10. สํ าหรับเหตุการณ X ใดๆ ให P(X) แทนความนาจะเปนของ X ให A, B และ C เปนเหตุการณใดๆ จงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ถา P(AIB′) = P(AIB) = P(BIA′) แลว P(AUB) = 12ข. ถา AIB = BIC = AIC = φ โดยท่ี P(AUB) = P(AUC) = P(BUC) และ P(AUBUC) = 1

แลว P(A) = 13ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (2 คะแนน)1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด *3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

11. จัดเด็กหญิง 3 คน และเด็กชาย 3 คน ใหยืนเรียงแถวตรง จงพิจารณาขอความตอไปนี้ก. ความนาจะเปนท่ีเด็กชายจะยืนหัวแถวและทายแถว คือ 15ข. ความนาจะเปนท่ีเด็กเพศเดียวกันจะยืนติดกัน คือ 18


12. ให A, B และ C เปนสับเซตของแซมเปลสเปซ S ซ่ึง AIB = BIC = AIC = φ และ AUBUC = Sถา P(A) = 0.24 และ P(B) = 0.36 แลวขอใดตอไปนี้เปนจริง1) P(C) = 0.30 2) P(AUB) = 0.50 3) P(BUC) = 0.35 *4) P(AUC) = 0.64

13. จากการสํ ารวจใบสมัครของผูสมัครประกวดนางงามจักรวาล 100 คน พบวามีผูสมัครท่ีพูดภาษาอังกฤษได 50 คนพูดภาษาฝรั่งเศสได 45 คน พูดภาษาสเปนได 30 คน ผูสมัครท่ีพูดภาษาอังกฤษและฝรั่งเศสได 15 คน พูดภาษาอังกฤษและสเปนได 10 คน พูดฝรั่งเศสและสเปนได 10 คน และผูสมัครท่ีพูดไดท้ังสามภาษา 5 คน ถาสุมใบสมัครขึ้นมาหนึ่งใบ ความนาจะเปนท่ีจะไดใบสมัครของผูท่ีพูดภาษาอังกฤษหรือภาษาฝรั่งเศสหรือภาษาสเปนไดเทากับเทาใด

*1) 0.95 2) 0.90 3) 0.85 4) 0.80

14. ในกลองใบหนึ่งมีบัตร 10 ใบ เขียนเลขท่ีเปนจํ านวนบวก 6 ใบ และจํ านวนลบ 4 ใบ ถาหยิบบัตรขึ้นมาอยางสุม3 ใบ และนํ าเลขบนบัตรมาแทนคา A, B, C ในสมการ D = ABC แลวความนาจะเปนท่ีจะได D เปนจํ านวนบวกคือขอใดตอไปนี้1) 15 2) 415 3) 1130 *4) 715

15. ให A และ B เปน 2 เหตุการณใดๆ ถา P(AIB′) = 0.2 และ P(B′) = 0.5 แลว P(AUB) เทากับขอใดตอไปนี้1) 0.6 *2) 0.7 3) 0.8 4) 0.9

16. กลองใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 1 ลูก สีดํ า 4 ลูก สีแดง 6 ลูก สีเขียว 6 ลูก ถาหยิบลูกบอลขึ้นมา 2 ลูก อยางไมเจาะจง ความนาจะเปนท่ีจะหยิบไดลูกบอลสีตางกัน คือขอใดตอไปนี้1) 934 *2) 2534 3) 72144 4) 108144

17. ในการเลือกกรรมการชุดหนึ่งจากชาย 6 คน หญิง 4 คน จงหาความนาจะเปนท่ีจะเลือกกรรมการ 3 คน ใหมีท้ังหญิงและชาย (ตอบ 0.8)

18. เลขานุการคนหนึ่งพิมพจดหมาย 4 ฉบับ ถึงคน 4 คน พรอมจาหนาซอง ถาเขานํ าจดหมายใสซองอยางสุมโดยไมสนใจวาใสจดหมายในซองที่ถูกตองหรือไม ความนาจะเปนท่ีจะมีจดหมาย 2 ฉบับ ใสซองที่ถูกตองคือขอใดตอไปนี้

*1) 624 2) 724 3) 1224 4) 132419. กลองใบหนึ่งบรรจุสม 6 ผล เปนสมดี 4 ผล และสมเสีย 2 ผล สุมหยิบสมขึ้นมา 3 ผล ความนาจะเปนท่ีจะได

สมดี 2 ผล และสมเสีย 1 ผล เทากับขอใดตอไปนี้1) 0.2 2) 0.3 3) 0.4 *4) 0.6

20. ให A และ B เปนเหตุการณ 2 เหตุการณ ถา P(AIB) = P(AIB′) = P(A′IB) = 0.1 แลว P(AUB) เทากับขอใดตอไปนี้1) 0.1 2) 0.2 *3) 0.3 4) 0.4

21. สุดามีเส้ือ 10 ตัว เปนสีแดง 2 ตัว สีนํ้ าเงิน 3 ตัว สีเขียว 1 ตัว และสีขาว 4 ตัว และมีกระโปรง 6 ตัว เปนสีแดง2 ตัว สีนํ้ าเงิน 3 ตัว และสีเขียว 1 ตัว สมมติวาสุดาแตงตัวออกจากบานอยางไมเจาะจง ความนาจะเปนท่ีสุดาจะแตงตัวโดยสวมเสื้อและกระโปรงสีตางกันเทากับเทาใด1) 730 2) 25 *3) 2330 4) 5360

22. แจกันใบหนึ่งมีดอกกุหลาบสีแดง 3 ดอก สีชมพู 3 ดอก สีสม 3 ดอก สีขาว 2 ดอก และสีเหลือง 2 ดอก สุมหยิบดอกกุหลาบจากแจกันใบนี้มา 3 ดอก ความนาจะเปนท่ีจะหยิบไดดอกกุหลาบสีละดอกมีคาอยูในชวงใด1) [0, 0.25] *2) (0.25, 0.50] 3) (0.50, 0.75] 4) (0.75, 1]

23. ผูจัดการฝายบุคคลของบริษัทหนึ่งคิดวา การจํ าแนกใบสมัครของผูสมัครตามวุฒิ หรือตามประสบการณในการทํ างานจะเปนประโยชนตอการพิจารณาคดัเลือกบุคคลเขาทํ างานเปนอยางมาก จากใบสมัครตํ าแหนงวิศวกรท้ังหมดเขาพบวามเีพียง 10% เทานัน้ท่ีเปนผูท่ีมปีระสบการณแตไมมปีรญิญา ม ี20% เปนผูท่ีจบปรญิญาแตไมมปีระสบการณมีถึง 80% ท่ีมีประสบการณหรือมีปริญญา ถาสุมตัวอยางใบสมัครมา 1 ใบ ขอความตอไปนี้ขอใดถูกตอง1) ความนาจะเปนท่ีจะไดผูสมัครท่ีมีปริญญา = 0.702) ความนาจะเปนท่ีจะไดผูสมัครท่ีมีประสบการณ = 0.603) ความนาจะเปนท่ีจะไดผูสมัครท่ีไมมีท้ังปริญญาและประสบการณ = 0.20

*4) ถูกทุกขอ24. ในการประกวดนางงามครั้งหนึ่งมีผูเขาประกวด 10 คน และไดหมายเลขคนละหนึ่งหมายเลขตั้งแต 1 ถึง 10

ในรอบแรกคณะกรรมการตองการคัดไว 7 คน ซ่ึงจะกระทํ าโดยวิธีสุมหมายเลขสามหมายเลขออกไป ใน 3 คนท่ีคัดออกวิธีนี้ จงหาความนาจะเปนท่ีหมายเลข 5 จะเปนหมายเลขท่ีใหญท่ีสุด (ตอบ 0.05)

25. คนกลุมหนึ่งเปนนักศึกษา 14 คน เปนกรรมกร 16 คน ในจํ านวนนี้มีนักศึกษาและกรรมกรที่รูกฎหมายอยางละ4 คน เทากัน ถาสุมเลือกตัวแทนจากคนกลุมนี้หนึ่งคน ความนาจะเปนท่ีจะไดตัวแทนเปนกรรมกรหรือเปนผูรูกฎหมายจะเทากับเทาใด1) 0.4 2) 0.53 3) 0.63 *4) 0.67

26. ถา A และ B เปนเหตุการณท่ีไมเกิดรวมกัน แลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) ถา P(A) = P(B) = 0.3 แลว P(A′IB′) = 0.72) ถา P(A) = 0.2 และ P(B) = 0.4 แลว P(A′UB) = 0.4

*3) ถา P(A) = 0.3 และ P(B) = 0.5 แลว P(A′IB) = 0.54) ถา P(A) = 0.2 และ P(B) = 0.3 แลว P(B′UA′) = 0.5

27. ถาใชกระถางตนเฟองฟา 3 กระถาง และกระถางตนกุหลาบ 4 กระถาง แตงเวทีซ่ึงเปนวงกลมโดยตองใชกระถางตนไม 1 กระถาง วางบนกลางเวที และวางกระถางตนไมท่ีเหลือรอบเวที ความนาจะเปนท่ีจะไดตนกุหลาบอยูบนกลางเวที และตนไมท่ีเหลือวางสลับชนิดกันรอบเวทีเทากับเทาใด

*1) 235 2) 25 3) 47 4) 63528. ถาคนงานหญิง 4 คน หยิบรมอยางไมเจาะจงจากที่เก็บรม ซ่ึงมีเฉพาะรมของท้ัง 4 คนนี้วางอยูคนละ 1 คัน

ความนาจะเปนท่ีมี 1 หรือ 2 คน หยิบไดรมของตนเองเทากับเทาใด1) 512 2) 12 *3) 712 4) 56

29. กลองใบหนึ่งมีลูกบอลขนาดเดียวกัน 8 ลูก เปนสีขาว 3 ลูก และสีดํ า 5 ลูก ถาสุมลูกบอลมาจากกลองนี้ 3 ลูกให p เปนความนาจะเปนท่ีจะไดลูกบอลเปนสีดํ าท้ัง 3 ลูก จงหาคาของ 7p (ตอบ 1.25)

30. กลองใบหนึ่งมีบัตรอยูหนึ่งพันใบ หมายเลข 000 ถึง 999 ถาสุมหยิบบัตรหนึ่งใบ ความนาจะเปนท่ีจะไดบัตรที่มีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกันไปเทากับเทาใด1) 1 2) 1125 *3) 2125 4) ไมมีขอใดถูก

31. ในการแขงขันตอบปญหารายการหนึ่ง ผูเขาแขงขันแตละคนตองเลือกปญหา 4 ขอ ในแตละครั้ง ถาในกลองท่ีใสปญหา มีปญหาอยางยากใหเลือกอยู 8 ขอ และมีปญหาอยางงายใหเลือกอยู 6 ขอ ความนาจะเปนท่ีผูเขาแขงขันจะเลือกไดปญหาอยางยาก และอยางงายอยางละ 2 ขอ เทากับเทาใด (ขอสอบเอนทรานซ ป 2536)1) 8 64 14 4

! !! , C 2) 8 614 4! !,C

*3) 8!(2!) 4!C2 14, 4

4) 8!(2!) C2 14, 4

32. ชาย 3 คน และหญิง 4 คน เขาคิวในแถวเดียวกันเพ่ือซ้ือต๋ัวรถไฟขบวนหนึ่ง ความนาจะเปนท่ีหญิงท้ัง 4 คนจะยืนเรียงติดกันท้ังหมดในแถวเทากับเทาใด (ขอสอบเอนทรานซ ป 2536)1) 1210 2) 6210 3) 12210 *4) 24210

33. ถา A และ B เปนเหตุการณใดๆ โดยท่ี P[(AUB)′] = 0.3 และ P(AIB′) = P(A′IB) = 0.2 แลว P(AIB)เทากับเทาใด (ขอสอบเอนทรานซ ป 2536)1) 0.5 *2) 0.3 3) 0.2 4) 0.1

34. มีแคปซูลซ่ึงบรรจุยาชนิดหนึ่งจํ านวน 5 แคปซูล ปนกับแคปซูลซ่ึงบรรจุแปงจํ านวน 10 แคปซูล ถาหยิบมา2 แคปซูล อยางสุม ความนาจะเปนท่ีจะไดแคปซูลซ่ึงบรรจุยาท้ังสองแคปซูลเทากับเทาใด(ขอสอบเอนทรานซ ป 2536)1) 215 2) 515 *3) 221 4) 1021

35. กลองใบหนึ่งมีบัตร n ใบ บัตรแตละใบเขียนเลขไมซ้ํ ากันกํ ากับไวเริ่มจาก 1 จนถึง n (n ≥ 3) ถาหยิบบัตร 2 ใบออกมาโดยสุม ความนาจะเปนท่ีไดบัตร 2 ใบ โดยท่ีใบหนึ่งเปน 3 และอีกใบหนึ่งนอยกวา 3 คือขอใดตอไปนี้(ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)

*1) 1) n(n2

- 2) 2n2 3) 1) n(n

4 - 4) 4

n2

36. ตะกราใบหนึ่งมีสม นอยหนา และมะมวงรวม 10 ผล โดยท่ีจํ านวนสมเปนสองเทาของจํ านวนนอยหนา และมี มะมวงอยู 1 ผล ถาหยิบผลไมขึ้นมา 3 ลูก อยางไมเจาะจง ความนาจะเปนท่ีไดผลไมชนดิละ 1 ผล มีคาเปนเทาใด(ตอบ 20

3 ) (ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)37. กํ าหนดให A, B, C เปนเหตุการณใดๆ

ถา P(AUBUC) = 0.9โดยท่ี P(AIB′IC′) = P(BIA′IC′) = P(CIA′IB′) = 0.1และ P(AIB) = P(BIC) = P(AIC) = 0.2 แลว P(AIBIC) เทากับเทาใด (ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)

*1) 0 2) 0.05 3) 0.1 4) 0.1538. โยนเหรียญบาท 1 อัน พรอมกับลูกเตา 2 ลูก ถาเหรียญขึ้นหัวจะไดเงินเทากับผลบวกของแตมจากลูกเตาท้ังสอง

ถาเหรียญขึ้นกอยจะไดเงินเทากับผลตางของแตมจากลูกเตาท้ังสอง ความนาจะเปนท่ีจะไดเงินอยางมาก 4 บาทเทากับเทาใด (ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)1) 112 2) 19 3) 1736 *4) 59

การวัดตํ าแหนงที่ และการวัดการกระจายของขอมูล

1. จากผลการสอบวิชาสถิติของนักเรียน 40 คน พบวานาย ก สอบไดคะแนนอยูในตํ าแหนงเดไซลท่ี 8 (D8) และนาย ข สอบไดคะแนนอยูในตํ าแหนงเปอรเซ็นไทลท่ี 60 (P60) จํ านวนนักเรียนท่ีสอบไดคะแนนระหวางคะแนนของนาย ก และ นาย ข มีก่ีคน (ขอสอบเอนทรานซ ป 2536)1) 4 คน *2) 8 คน 3) 10 คน 4) 20 คน

2. ในการทดสอบขอเขียนของผูสมัครงานของบริษัทแหงหนึ่งจํ านวน 33 คน ไดคะแนนดังนี้71 70 69 69 69 64 64 63 61 60 5958 58 57 56 55 54 54 54 54 53 5252 51 50 50 49 47 40 39 34 30 29

บริษัทตองการคัดผูท่ีไดคะแนนสูงจํ า.นวน 4 ใน 10 ของผูเขาสอบท้ังหมดไวสอบสัมภาษณ ขอใดตอไปนี้เปนคะแนนสูงสุดของผูท่ีไมผานเขาสอบสัมภาษณ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (2 คะแนน)1) 55 2) 56 *3) 57 4) 58

3. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร และวิชาภาษาไทยของนกัเรยีนหองหนึง่ ปรากฏวานายสมชาติได 75 คะแนนท้ังสองวิชา ถาคาเฉล่ียเลขคณิตและคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของวิชาคณิตศาสตรเปน 60 และ 10 ตามลํ าดับ และของวิชาภาษาไทยเปน 67.5 และ 5 ตามลํ าดับ ขอใดตอไปนี้เปนการเปรียบเทียบผลการเรียนของนายสมชาติท่ีถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2541) (2 คะแนน)1) คณิตศาสตรดีกวาภาษาไทย 2) ภาษาไทยดีกวาคณิตศาสตร

*3) ท้ังสองวิชาดีเทากัน 4) เปรียบเทียบกันไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ4. คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนหองหนึ่งเปนดังนี้ 25, 30, 32, 35, 25, 39, 45, 44, 40, 45

ถาคาเบ่ียงเบนมาตรฐานมีคาเทากับ 7.4 และคามาตรฐานของคะแนนสอบวิชานี้ของเด็กชายสดเปน 1.08 แลวคะแนนสอบของเด็กชายสดเปนจริงตามขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)1) อยูระหวางควอไทลท่ีหนึ่งและควอไทลท่ีสอง 2) เทากับควอไทลท่ีสอง

*3) อยูระหวางควอไทลท่ีสองและควอรไทลท่ีสาม 4) เทากับควอไทลท่ีสาม5. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 2 หอง คะแนนสอบของนักเรียนเปนดังนี้

หอง คาเฉลี่ยเลขคณิต คาเบ่ียงเบนมาตรฐานหองท่ี 1 60 3.0หองท่ี 2 65 5.0

ถานาย ก เปนนักเรียนหองท่ี 1 มีคะแนนมาตรฐานเทากับ 2.5นาย ข เปนนักเรียนหองท่ี 2 มีคะแนนมาตรฐานเทากับ -2.0แลวคะแนนของนาย ก และนาย ข ตางกันเทากันเทาใด (ตอบ 12.5) (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (3 คะแนน)

6. ขอมูลชุดหนึ่งมีคาก่ึงกลางพิสัยเทากับ 40 และคาพิสัยเทากับ 20 ดังนั้นคาต่ํ าสุดและคาสูงสุดของขอมูลชุดนี้คือขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (1 คะแนน)1) 0 และ 40 2) 10 และ 30 3) 20 และ 60 *4) 30 และ 50

7. ในการสอบยอยครั้งหนึ่งคะแนนเต็ม 20 คะแนน คาเฉล่ียเลขคณิตและความแปรปรวนของคะแนนที่นักเรียนสอบไดเปน 12.5 และ 1.2 ตามลํ าดับ ถาครจูะปรบัคะแนนเตม็เปน 60 คะแนน คาเฉล่ียและความแปรปรวนของคะแนนนักเรียนชุดใหมมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)1) 37.5, 3.6 *2) 37.5, 10.8 3) 52.5, 1.2 4) 52.5, 10.8

8. สํ าหรับขอมูลชุดหนึ่ง ประกอบดวยตัวเลข 5 จํ านวน มีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ a มัธยฐานเทากับ b

ถาให xi แทนคาท่ีสังเกตไดคาท่ี i , i = 1, 2, 3, 4, 5 และ A = Σi=1

5i

2(x a)- และ B = Σi=1

5i

2(x b)-

แลวขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (1 คะแนน) *1) A ≤ B 2) A ≥ B 3) A B

9. กํ าหนดขอมูล {4, 18, 10, 8, 15} จงพิจารณาขอความตอไปนี้

ก. Σi=1 i| x 10|5

- มีคานอยท่ีสุด

ข. Σi=1 i

2(x x)5

- ≤ Σi=1 i

2(x 10)5

-


10. นักเรียนหองหนึ่งมีนักเรียนชาย 30 คน นักเรียนหญิง 40 คน ปรากฏวาคาเฉล่ียเลขคณิตของความสูงของนักเรียนชายและนักเรียนหญิงเทากัน โดยท่ีคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของความสูงของนักเรียนท้ังหองเทากับ 5 ถาความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนชายเทากับ 15 ความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนหญิงเทากับขอใดตอไปนี้1) 23.5 2) 25.0 *3) 32.5 4) 35.0

11. กํ าหนดขอมูล x และขอมูล y ดังนี้x : 10, 20, 25, 30, 40y : 20, 30, 50, 70, 80

พิจารณาขอสรุปตอไปนี้ก. สัมประสิทธิ์ของพิสัยของ x = สัมประสิทธิ์ของพิสัยของ yข. สัมประสิทธิ์ของคาเบ่ียงเบนเฉล่ียของ x ≠ สัมประสิทธิ์ของคาเบ่ียงเบนเฉล่ียของ y

12. ในการทดสอบเวลาที่ใชในการวิ่งระยะทาง 100 เมตร ของนักเรียนในโรงเรียนหนึ่ง มีนักกีฬาเขาทดสอบ 9 คนหาคาเฉล่ียเลขคณิตและความแปรปรวนของเวลาที่ใชวิ่งของนักกีฬา 9 คนนี้ได 11.0 วินาที และ 1.0 วินาที2

ตามลํ าดับ มีนักกีฬาคนหนึ่งมาทดสอบภายหลังโดยเขาใชเวลาในการวิ่งเปน 12 วินาที คาเฉล่ียเลขคณิตและความแปรปรวนของเวลาที่ใชในการวิ่งของนักกีฬาท้ัง 10 คน ตามลํ าดับ คือขอใดตอไปนี้1) 11.1, 1.01 *2) 11.1, 0.99 3) 11.5, 1.01 4) 11.5, 0.99

13. ในการสอบวิชาสถิติของนักเรียนกลุมหนึ่ง ปรากฏวาคะแนนเฉล่ียเทากับ 60 ความแปรปรวนของคะแนนเทากับ 25นักเรียนกลุมนี้สอบไดเกรด A และ B นักเรียนท่ีไดเกรด A จะตองไดคะแนนมาตรฐานไมต่ํ ากวา 3.0 ถานายจํ าลองเปนนักเรียนท่ีไดเกรด B แลวคะแนนที่เปนไปไดของจํ าลองคือขอใดตอไปนี้

*1) 70-74 2) 75 3) 76-79 4) 8014. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่ง ปรากฏวาคะแนนสอบของนักเรียนชายมีคาเฉล่ียเลขคณิต

เทากับ 25 และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนเทากับ 6.25 ถาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบของนักเรียนหญิง และนักเรียนชายเทากัน และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนของนักเรียนหญิงเทากับ 4 แลวคาเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนหญิงเทากับขอใดตอไปนี้1) 8 2) 12 *3) 16 4) 20

15. จากการสอบถามนักศึกษาชั้นปท่ี 1 และชั้นปท่ี 2 ของมหาวิทยาลัยแหงหนึ่งถึงคาใชจายในแตละวัน ปรากฏวาคาเฉล่ียเลขคณิตและคาเบ่ียงเบนมาตรฐานของคาใชจายในแตละวันของนักศึกษาในแตละชั้นเปนดังนี้

นักศึกษาชั้นปท่ี 1 นักศึกษาชั้นปท่ี 2คาเฉล่ียเลขคณิตคาเบ่ียงเบนมาตรฐาน

7613

10015

เมื่อเปรียบเทียบการกระจายของคาใชจายในแตละวันของนักศึกษาแตละชั้นปแลว ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) คาใชจายในแตละวันของชั้นปท่ี 1 มีการกระจายของคาใชจายนอยกวาคาใชจายในแตละวันของชั้นปท่ี 2

*2) คาใชจายในแตละวันของชั้นปท่ี 1 มีการกระจายของคาใชจายมากกวาคาใชจายในแตละวันของชั้นปท่ี 23) คาใชจายในแตละวันของชั้นปท่ี 1 มีการกระจายของคาใชจายเทากับคาใชจายในแตละวันของชั้นปท่ี 24) จากขอมูลท่ีใหไมสามารถเปรียบเทียบการกระจายได

16. ผลการสอบวิชาภาษาไทยของนายเกง ตลอดภาคการศึกษารวม 4 ครั้ง แตละครั้งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนนดังแสดงในตาราง

สอบยอยครั้งท่ี 1 สอบยอยครั้งท่ี 2 สอบยอยครั้งท่ี 3 สอบปลายปสอบไดคาเฉล่ียเลขคณิตคาเบ่ียงเบนมาตรฐาน

50555

75617

80705

75605

ถาคามาตรฐานของคะแนนสอบปลายปมีความสํ าคัญเปน 2 เทาของคามาตรฐานของคะแนนสอบในครั้งอื่นๆ แลวคามาตรฐานเฉลี่ยของคะแนนสอบวิชานี้เทากับเทาใด (ตอบ 2.25)

17. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง1) มีขอมูลซ่ึงประกอบดวย 10 จํ านวน คือ x1, x2, ... , x10

ถา Σi=1 i

2 2x = 10 x 10

แลว x1 = x2 ... = x10 = 0

2) ในขอมูลชุดเดียวกัน ความแปรปรวนจะมากกวาคาเบ่ียงเบนมาตรฐาน3) ถาขอมูลชุดหนึ่งมีพิสัยเทากับ 50 และสัมประสิทธิ์ของพิสัยเทากับ 0.5 แลวขอมูลชุดนี้มีคาต่ํ าสุดเทากับ 75

*4) มีขอมูลซ่ึงประกอบดวยจํ านวน 2 จํ านวน ถาพิสัยเทากับ 6 และมัธยฐานเทากับ 12 แลวคาเบ่ียงเบนเฉล่ียเทากับ 3

18. ขอมูล 2 ชุด มีรายละเอียดดังนี้

ขอมูล ควอไทลท่ีหน่ึง ควอไทลท่ีสามชุดท่ี 1ชุดท่ี 2

6.2541.00

10.7547.00

ให QD1 เปนคาเบ่ียงเบนควอไทลของขอมูลชุดท่ี 1QD2 เปนคาเบ่ียงเบนควอไทลของขอมูลชุดท่ี 2A1 เปนสัมประสิทธิ์ของคาเบ่ียงเบนควอไทลของขอมูลชุดท่ี 1A2 เปนสัมประสิทธิ์ของคาเบ่ียงเบนควอไทลของขอมูลชุดท่ี 2

ตองการเปรียบเทียบการกระจายของขอมูล 2 ชุดนี้ ขอสรุปท่ีถูกตองคือขอใด *1) ขอมูลชุดท่ี 1 มีการกระจายมากกวาขอมูลชุดท่ี 2 ท้ังนี้เพราะ A1 > A2

2) ขอมูลชุดท่ี 1 มีการกระจายมากกวาขอมูลชุดท่ี 2 ท้ังนี้เพราะ QD1 > QD23) ขอมูลชุดท่ี 2 มีการกระจายมากกวาขอมูลชุดท่ี 1 ท้ังนี้เพราะ A2 > A14) ขอมูลชุดท่ี 2 มีการกระจายมากกวาขอมูลชุดท่ี 1 ท้ังนี้เพราะ QD2 > QD1

19. ขอมูลชุดหนึ่งมี 10 จํ านวน และมีสมบัติตอไปนี้

Σi=1 i

2(x 4)10

- = 40 และ Σi=1 i

2(x a)10

- มีคานอยท่ีสุด เมื่อ a = 6

คาเบ่ียงเบนมาตรฐาน (s) และคาเฉล่ียเลขคณิต (x ) ของขอมูลชุดนี้มีคาเทาใด1) s = 0, x = 4 *2) s = 0, x = 6 3) s = 2, x = 6 4) s = 2, x = 4

20. ขอมูลชุดหนึ่งมี 50 จํ านวน แตละจํ านวนมีคาเปนบวก

กํ าหนด Σi=1 i

2(x x)50

- = 450

และ Σi=1 i

2x50

= 1250

เมื่อ x เปนคาเฉล่ียเลขคณิตของขอมูลชุดนี้จงหาคา x และคาเบ่ียงเบนมาตรฐาน (s) ของขอมูลชุดนี้

*1) x = 4, s = 3 2) x = 4, s = 9 3) x = 20 2 , s = 3 4) ไมมีขอใดถูก21. ความสูงของนักเรียนกลุมหนึ่งมีสัมประสิทธของการแปรผันเทากับ 0.40 คาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ 125 เซนติเมตร

ถาเด็กชาย ก และเด็กหญิง ข มีความสูงเปน 140 และ 122 เซนติเมตร ตามลํ าดับ เด็กชาย ก จะมีความสูงเปนคามาตรฐานมากกวาเด็กหญิง ข เทาใด1) -2.14 2) -0.36 *3) 0.36 4) ไมมีขอใดถูก

22. กํ าหนด Σi=1 ix10

= 60 และ Σi=1 i

2(x 5)10

- = 46 คาเบ่ียงเบนมาตรฐานของ x คือขอใดตอไปนี้

1) 0.6 *2) 1.9 3) 2.1 4) 3.623. ถาขอมูลชุดหนึ่งมีสัมประสิทธิ์ของคาเบ่ียงเบนควอไทลเทากับ 23 และคาเบ่ียงเบนควอไทลเทากับ 2 แลวควอไทล

ท่ี 3 ของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับเทาใด1) 1.25 2) 2.50 3) 3.30 *4) 5.00

24. ถา {3, 6, 2, 1, 7, 5} และ {8, 6, 3, 7, 2, 4} เปนขอมูล 2 ชุด แลวคาเฉล่ียเลขคณิต และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานมีลักษณะเปนจริงตามขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)1) คาเฉล่ียเทากัน และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากัน 2) คาเฉล่ียเทากัน และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานตางกัน

*3) คาเฉล่ียตางกัน และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานเทากัน 4) คาเฉล่ียตางกัน และคาเบ่ียงเบนมาตรฐานตางกัน25. ขอมูลชุดหนึ่งมี 4 คา ถามัธยฐาน และฐานนิยมเทากัน และเทากับ 35 คาเฉล่ียเลขคณิตเทากับ 40 และพิสัย

เทากับ 50 แลวความแปรปรวนของขอมูลชุดนี้เทากับเทาใด (ขอมูลชุดนี้มีเพียง 2 คาเทานั้นท่ีเทากัน)(ตอบ 337.5) (ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)

26. กํ าหนดขอมูลชุด ก และขอมูลชุด ข มีคาเฉล่ียเลขคณิตเทากัน

จากขอมูลชุด ก คํ านวณ Σi=1 i

2(x x)10

- = 25

จากขอมูลชุด ข คํ านวณ Σi=1 i

2(x x)20

- = 49

ถานํ าขอมูลท้ัง 2 ชุด มารวมกันเปนชุดเดียวกัน แลวความแปรปรวนของขอมูลชุดใหมนี้มีคาเทาใด(ขอสอบเอนทรานซ ป 2536)1) 193 2) 1233 *3) 3715 4) 15

27. กํ าหนดให A = 2XX minmax - , B = 2

X + X minmax , C = 2QQ 13 - ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

(ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (1 คะแนน)1) A ใชวัดคากลาง และ B ใชวัดการกระจาย 2) A ใชวัดคากลาง และ C ใชวัดการกระจาย

*3) B ใชวัดคากลาง และ A ใชวัดการกระจาย 4) C ใชวัดคากลาง และ B ใชวัดการกระจาย28. ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวยคาท่ีสังเกตได 5 คา ท่ีแตกตางกันท้ังหมด คือ a, 6, 2, 5, 4 ขอมูลชุดนี้มีสมบัติดังนี้

พิสัย = คาเฉล่ียเลขคณิต ; และ a < 2 หรือ a > 6คาของ a ท่ีเปนไปได เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (2 คะแนน)1) มี 1 คา โดยท่ี a < 2 2) มี 1 คา โดยท่ี a > 63) มี 2 คา ซ่ึงผลรวมของคาท้ังสองเทากับ 9712 *4) มี 2 คา ซ่ึงผลรวมของคาท้ังสองเทากับ 10712

29. ตารางตอไปนี้แสดงผลการวิเคราะหขอมูลนํ้ าหนักและสวนสูงของเด็กแรกเกิด ณ โรงพยาบาลแหงหนึ่งในเดือนมกราคม 2538

น้ํ าหนัก (กรัม) ความยาว (เซนติเมตร)คาเฉล่ียเลขคณิตคาเบ่ียงเบนมาตรฐาน

3105345

5213

ขอใดตอไปนี้เปนการเปรียบเทียบท่ีถูกตอง สํ าหรับการกระจายของขอมูล 2 ชุด (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538)(2 คะแนน)

*1) การกระจายของนํ้ า.หนักนอยกวาการกระจายของความยาว2) การกระจายของนํ้ าหนักมากกวาการกระจายของความยาว3) การกระจายของนํ้ าหนักเทากับการกระจายของความยาว4) เปรียบเทียบการกระจายไมไดเพราะขอมูลมีหนวยตางกัน

30. ในการสอบแขงขันชิงทุนการศึกษาเพ่ือไปศึกษาตอตางประเทศครั้งหนึ่ง สมชายสอบได 700 คะแนน สมศักดิ์สอบได 650 คะแนน ถาคะแนนมาตรฐานของสมชายและสมศักดิ์คือ 3 และ 2.5 ตามลํ าดับ แลวคาเบ่ียงเบนมาตรฐานในการสอบครั้งนี้มีคาเทาใด (ตอบ 100) (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (3 คะแนน)

เลขดัชนี

1. ถาดัชนีราคาผูบริโภคหมวดตางๆ ในป พ.ศ. 2529, 2532 และ 2536 โดยใชป พ.ศ. 2529 เปนปฐานเปนดังนี้

สินคาและบริการ พ.ศ. 2529 พ.ศ. 2532 พ.ศ. 2536หมวดอาหารหมวดเครื่องนุงหมหมวดเคหสถาน เครื่องใชในบานหมวดบันเทิง การศึกษา

100100100100

117.7110.3111.4113.5

130.2136.6119.6142.3

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (2 คะแนน)1) ราคาเฉล่ียของหมวดที่ไมใชอาหาร ป พ.ศ. 2532 แพงกวา ราคาหมวดอาหาร2) ราคาเฉล่ียของหมวดที่ไมใชอาหาร ป พ.ศ. 2536 ถูกกวา ราคาหมวดอาหาร

*3) เมื่อใช ป พ.ศ. 2529 เปนปฐาน ราคาหมวดเครื่องนุงหมในป พ.ศ. 2532 เพ่ิมขึ้นเทากับ 10.34) เมื่อใช ป พ.ศ. 2529 เปนปฐาน ราคาหมวดเครื่องนุงหมในป พ.ศ. 2536 เพ่ิมขึ้นเทากับ 26.3

2. ถาราคาของหมอหุงขาวย่ีหอหนึ่ง 3 ขนาดท่ีรานสหการไฟฟาจํ าหนายในเวลา 3 ป เปนดังนี้

ราคาตอหนวย (รอยบาท)ขนาดของหมอหุงขาว

พ.ศ. 2534 พ.ศ. 2535 พ.ศ. 2536ขนาดเล็กขนาดกลางขนาดใหญ

5.57.011.5

5.06.511.0

4.06.010.0

เมื่อใชป พ.ศ. 2534 เปนปฐาน ดัชนีราคาอยางงายแบบใชราคารวมของป พ.ศ. 2535 เปนเทาใด (ตอบ 93.75)(ขอสอบเอนทรานซ ป 2537)

3. กํ าหนดดัชนีราคาผูบริโภคในป พ.ศ. 2537 เทียบกับป พ.ศ. 2534 เปน 120 ถานายวิบูลยไดรับเงินเดือน 8,400 บาท ในป พ.ศ. 2537 เขาจะมีรายไดท่ีแทจริงเมื่อเทียบกับป พ.ศ. 2534 เทากับขอใดตอไปนี้(ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)1) 6,000 บาท 2) 6,720 บาท *3) 7,000 บาท 4) 10,080 บาท

4. ตารางตอไปนี้แสดงคาจางเฉล่ียตอชั่วโมงของคนงานในโรงงานแหงหนึ่งในป พ.ศ. 2530-2533

พ.ศ. 2530 พ.ศ. 2531 พ.ศ. 2532 พ.ศ. 2533คาจางเฉลี่ย (บาท/ชั่วโมง) 1.20 1.30 1.40 1.50ดัชนีราคาผูบริโภค 100.00 113.00 114.00 116.00

คาจางเฉล่ียท่ีแทจริงตอชั่วโมงเปนจริงตามขอใดตอไปนี้ (ขอสอบเอนทรานซ ป 2539) (2 คะแนน)1) เพ่ิมขึ้นปละ 0.10 บาท/ชั่วโมง 2) เพ่ิมขึ้นปละ 0.15 บาท/ชั่วโมง3) เพ่ิมขึ้นปละ 0.02 บาท/ชั่วโมง *4) เพ่ิมขึ้นปละไมเทากัน

5. พิจารณาขอความเก่ียวกับเลขดัชนี ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2540) (1 คะแนน) *1) เลขดัชนีราคาผูบริโภคมีความสํ าคัญตอการครองชีพของประชาชนมากที่สุด

2) เลขดัชนีปริมาณมีความสํ าคัญตอการครองชีพของประชาชนมากที่สุด3) เลขดัชนีมูลคามีความสํ าคัญตอการครองชีพของประชาชนมากที่สุด4) เลขดัชนีท้ังสามชนิดมีความสํ าคัญตอผูผลิตเทานั้น

6. ถาดัชนีราคาผูบริโภคของป พ.ศ. 2536 เทียบกับป พ.ศ. 2530 เทากับ 127.7 แลวเงิน 1 บาท ในป พ.ศ. 2536เมื่อเทียบกับป พ.ศ. 2530 แลวมีคาเทาใด

*1) 0.78 บาท 2) 1.277 บาท 3) 1.00 บาท 4) 0.87 บาท7. ในป พ.ศ. 2535 สินคา A ราคา 1.50 บาท และขายได 2 ลานหนวย สินคาเดียวกันนี้มีราคาเปน 2.00 บาท ใน

ป พ.ศ. 2536 และขายได 3 ลานหนวย สินคา B มีราคา 2.50 บาท และขายได 2 ลานหนวย ในป พ.ศ. 2535ปตอมาสินคา B มีราคา 3.00 บาท และขายได 4 ลานหนวย ใชป พ.ศ. 2535 = 100 จงหาดัชนีราคาของปพ.ศ. 2536 สํ าหรับกลุมสินคา 2 ชนิดนี้ โดยใชวิธีของลาสไพเยอเรส1) 124 2) 133.33 3) 150 *4) 125

8. สมมติวารายไดประชาชาติของป พ.ศ. 2536 เทากับ 2,000 ลานบาท ถาดัชนีผูบริโภคในป พ.ศ. 2536 นั้นเทากับ125 แลวรายไดประชาชาติท่ีแทจริงเมื่อเทียบกับปฐาน เทากับเทาใด1) 1,500 ลานบาท 2) 2,500 ลานบาท *3) 1,600 ลานบาท 4) 2,000 ลานบาท

9. ใหสมการคาจางรายวันของคนงานกอสรางเปน y = 6.5(x - 2539) + 60 เมื่อ x เปนป พ.ศ. และ y เปนคาจาง (บาท) ถาในป พ.ศ. 2536 ดัชนีราคาผูบริโภคเทากับ 110 เมื่อเทียบกับป พ.ศ. 2535 แลวคาจางรายวันท่ีแทจริงในป พ.ศ. 2536 เมื่อเทียบกับคาจางรายวันในป พ.ศ. 2535 เปนจริงตามขอใดตอไปนี้1) เพ่ิมขึ้น 2.80 บาท 2) เพ่ิมขึ้น 6.50 บาท *3) ลดลง 3.10 บาท 4) ลดลง 9.90 บาท

10. สมมติวาขอมูลท่ีกํ าหนดใหนี้เปนดัชนีราคาผูบริโภคของจังหวัดหนึ่ง โดยมีป พ.ศ. 2533 เปนปฐาน และเงินเดือนท่ีศักดิ์ไดรับในแตละป

พ.ศ. 2533 พ.ศ. 2535 พ.ศ. 2537ดัชนีราคาผูบริโภค 100 108.9 114.8เงินเดือน 1,950 2,100 2,350

พิจารณาขอความตอไปนี้ก. คาของเงิน 114.8 บาท ในป พ.ศ. 2537 มีคาเทียบเทากับเงิน 100 บาท ในป พ.ศ. 2533ข. รายไดท่ีแทจริงของศักดิ์ ในป พ.ศ. 2537 เทากับ 2,350

114.8 บาท เมื่อใชป พ.ศ. 2533 เปนปฐานขอใดตอไปนี้ถูกตอง (ขอสอบเอนทรานซ ป 2538) (1 คะแนน)1) ก. ถูก และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

11. ในป พ.ศ. 2529 ชายคนหนึ่งมีรายไดเดือนละ 4,000 บาท ภรรยามีรายไดเดือนละ 3,500 บาท และลูกๆ ยังไมมีรายไดตอมาในป พ.ศ. 2535 เขามีรายไดเดือนละ 5,050 บาท และภรรยามีรายไดเดือนละ 4,550 บาท และลูกมีรายได 2,400 บาท ถาดัชนีราคาผูบริโภคของป พ.ศ. 2535 เทากับ 130.0 (ป พ.ศ. 2529 = 100) แลวรายไดตอเดือนท่ีแทจริงของครอบครัวนี้ในป พ.ศ. 2535 เทากับขอใดตอไปนี้ (รายไดตอเดือนของครอบครัว หมายถึงผลรวมของรายไดตอเดือนของคนท่ีมีรายไดทุกคนในครอบครัว) (ขอสอบเอนทรานซ 2537)

*1) 9,230.77 บาท 2) 9,750.00 บาท 3) 10,961.54 บาท 4) 12,000.00 บาท

เซต (sets) - ครูมหาเทพ › 2014 › 09 › math.pdf ·...

Documents