วิชา 2103213 กลศาสตร วิศวกรรม 1 (engineering ... ·...

เอกสารประกอบการสอน

วชา 2103213 กลศาสตรวศวกรรม 1 (Engineering Mechanics 1)

สวนท 2 DYNAMICS

โดย อ.ดร.ชนตต รตนสมาวงศ ภาควชาวศวกรรมเครองกล

คณะวศวกรรมศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คานา กลศาสตรเปนวทยาศาสตรกายภาพทเกยวของกบแรง และผลของแรงบนวตถ วชากลศาสตรเปนพนฐานทสาคญของวศวกรรมศาสตรหลายๆ แขนง จงไดถกบรรจเปนวชาบงคบในหลกสตรวศวกรรมศาสตรบณฑตของทกสาขา สาหรบหลกสตรวศวกรรมศาสตรบณฑตของจฬาลงกรณมหาวทยาลย มวชาทเกยวของกบกลศาสตรอยทงหมด 3 วชา ไดแก วชากลศาสตรวศวกรรม (Engineering Mechanics I) วชาสถตยศาสตร (Statics) และวชาจลศาสตร (Dynamics) สาหรบนสตภาควชาวศวกรรมเครองกล และวศวกรรมอตสาหการ ซงจาเปนตองใชวชานเปนอยางมากจะเรยนวชาสถตยศาสตร และวชาจลศาสตร รวม 2 วชา แตกบภาควชาอนๆ นน จะเรยนวชากลศาสตรวศวกรรมเพยงตวเดยว โดยเนอหาของวชากลศาสตรวศวกรรมจะประกอบดวยเนอหาบางสวนของวชาสถตยศาสตร และบางสวนของวชาจลศาสตร สาหรบเอกสารประกอบการสอนนมจดประสงคหลกเพอใชสาหรบวชากลศาสตรวศวกรรม จงมเนอหาสวนท 1 เปนสวนสถตยศาสตร และเนอหาสวนท 2 เปนจลศาสตร การเรยงบทและหวขอในเอกสารประกอบการสอนน จะอางองตามบทและหวขอทแสดงไวในหนงสอ Engineering Mechanics STATICS และ Engineering Mechanics DYNAMICS ซงเขยนโดย Meriam และ Kraige ซงเปนหนงสออานบงคบในวชากลศาสตรวศวกรรม และยงสอดคลองกบเนอหา และลาดบหวขอทเขยนไวในประมวลรายวชา ทงนเพอความสะดวกของนสตในการใชอานประกอบกบหนงสออานบงคบ ดวยเหตนจะเหนไดวาเลขบทและเลขหวขอในเอกสารประกอบการสอนน บางสวนจะไมเรยงลาดบตามตวเลข โดยจะขามบท หรอหวขอทไมมการเรยนการสอนไป การเขยนเอกสารประกอบการสอนน ผเขยนไมไดแปลมาจากหนงสออานบงคบภาษาองกฤษโดยตรง แตจะแปล เรยบเรยง และบางสวนมการอธบายเพมเตม เพอใหนสตสามารถเขาใจเนอหาไดงายและรวดเรวยงขน รปภาพและโจทยตวอยางในเอกสารนผเขยนนามาจากหนงสอ Engineering Mechanics STATICS และ DYNAMICS ซงเขยนโดย Meriam และ Kraige เปนหลก และเสรมดวยบางสวนจากหนงสอ Engineering Mechanics STATICS และ DYNAMICS ซงเขยนโดย R.C.Hibbeler ซงเปนหนงในหนงสออานบงคบเชนกน โดยทมาของรปและโจทยปญหาไดอางองไวดงแสดงในรายการเอกสารอางองทายหวขอนนๆ สดทายนผเขยนยนดรบฟงความคดเหน และขอเสนอแนะตางๆ เพอปรบปรงเอกสารประกอบการสอนนใหดยงๆ ขนไป โดยสามารถเสนอความคดเหนไดโดยผานทางอเมลของผเขยน [email protected] ชนตต รตนสมาวงศ

สารบญ Dynamics

บทท 2 การเคลอนทของอนภาค ........................................................................2-1 2/1 บทนา ................................................................................................................ 2-1 2/2 การเคลอนทในแนวเสนตรง ................................................................................ 2-1 2/3 การเคลอนทแนวโคงในระนาบ.......................................................................... 2-11 2/4 ระบบพกดแบบ x-y .......................................................................................... 2-13 2/5 ระบบพกดแบบ n-t........................................................................................... 2-19 2/6 ระบบพกดแบบ r-θ .......................................................................................... 2-28 2/8 การเคลอนทสมพทธ......................................................................................... 2-36

บทท 3 จลนศาสตรของอนภาค ..........................................................................3-1 3/1 กฎการเคลอนทของนวตน .................................................................................. 3-1 3/2 จลนศาสตรกรณการเคลอนทในแนวเสนตรง ....................................................... 3-1 3/3 จลนศาสตรกรณการเคลอนทในแนวโคง.............................................................. 3-2 3/4 แนวทางการคานวณปญหาจลนศาสตรของอนภาค.............................................. 3-2

บทท 5 การเคลอนทของวตถแขงเกรง...............................................................5-1 5/1 บทนา ................................................................................................................ 5-1 5/2 การหมน ............................................................................................................ 5-3 5/3 Absolute Motion ............................................................................................. 5-10 5/4 ความเรวสมพทธ.............................................................................................. 5-18 5/5 Instantaneous Center of Zero Velocity.......................................................... 5-29 5/6 ความเรงสมพทธ .............................................................................................. 5-37 5/7 Motion Relative to Rotating Axes .................................................................. 5-49

เอกสารประกอบการสอน

วชา 2103213 กลศาสตรวศวกรรม 1 (Engineering Mechanics 1)

สวนท 2 DYNAMICS

โดย อ.ดร.ชนตต รตนสมาวงศ ภาควชาวศวกรรมเครองกล

คณะวศวกรรมศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สารบญ Dynamics

บทท 2 การเคลอนทของอนภาค ........................................................................2-1 2/1 บทนา ................................................................................................................ 2-1 2/2 การเคลอนทในแนวเสนตรง ................................................................................ 2-1 2/3 การเคลอนทแนวโคงในระนาบ.......................................................................... 2-11 2/4 ระบบพกดแบบ x-y .......................................................................................... 2-13 2/5 ระบบพกดแบบ n-t........................................................................................... 2-19 2/6 ระบบพกดแบบ r-θ .......................................................................................... 2-28 2/8 การเคลอนทสมพทธ......................................................................................... 2-36

บทท 3 จลนศาสตรของอนภาค ..........................................................................3-1 3/1 กฎการเคลอนทของนวตน .................................................................................. 3-1 3/2 จลนศาสตรกรณการเคลอนทในแนวเสนตรง ....................................................... 3-1 3/3 จลนศาสตรกรณการเคลอนทในแนวโคง.............................................................. 3-2 3/4 แนวทางการคานวณปญหาจลนศาสตรของอนภาค.............................................. 3-2

บทท 5 การเคลอนทของวตถแขงเกรง...............................................................5-1 5/1 บทนา ................................................................................................................ 5-1 5/2 การหมน ............................................................................................................ 5-3 5/3 Absolute Motion ............................................................................................. 5-10 5/4 ความเรวสมพทธ.............................................................................................. 5-18 5/5 Instantaneous Center of Zero Velocity.......................................................... 5-29 5/6 ความเรงสมพทธ .............................................................................................. 5-37 5/7 Motion Relative to Rotating Axes .................................................................. 5-49

Dynamics/ Chapter 2 Kinematics of Particles 2-1

พลศาสตร (Dynamics)

บทท 2 การเคลอนทของอนภาค (สวนท 1)

2/1 บทนา พลศาสตร เปนสาขาหนงของวชากลศาสตร พลศาสตรเกยวของกบการเคลอนทของวตถภายใตแรงกระทา พลศาสตรสามารถแบงออกไดเปน 2 สาขายอย ไดแก 1. Kinematics ซงจะพจารณาถงการเคลอนทของวตถ โดยยงไมพจารณาถงแรงกระทากบวตถนน 2. Kinetics ซงจะพจารณาผลของแรงทกระทาบนวตถ วาทาใหวตถเกดการเคลอนทอยางไร สาหรบในบทนจะกลาวถง Kinematics of particles หรอการเคลอนทของอนภาค ในทนอนภาคหมายถงวตถทมขนาดเลกเมอเทยบเสนแนวทางการเคลอนท ตวอยางเชน การเคลอนทของรถยนต ถอเปนการเคลอนทของอนภาค เนองจากขนาดของรถยนตเลกกวาเสนทางการเคลอนทของรถบนถนนมาก ตวอยางอนๆ เชนการเคลอนทของเครองบน ลกกระสนปน เปนตน

2/2 การเคลอนทในแนวเสนตรง พจารณาการเคลอนทในแนวเสนตรงของวตถแสดงดงรปท 1 วตถเรมเคลอนทจากจด O โดยเคลอนทไปทางขวา (แกนบวก) ทเวลา t วตถอยทจด P ซงมระยะหางจากจดเรมตน s เมอเวลาผานไป Δt วตถเคลอนทไปทจด P’ และมระยะหาง s+Δs จากจดเรมตน การเปลยนแปลงตาแหนงในชวงเวลา Δt เรยกวา การขจด Δs การขจดเปนปรมาณเวคเตอร มคาบวกเมอเคลอนทไปตามแกนบวก และจะมคาลบเมอเคลอนทไปในทศทางลบ

t=0 t t+Δt

+−

t=0 t t+Δtt=0 t t+Δt

+− รปท 1 การเคลอนทของวตถในแนวเสนตรง [1]


ความเรวและความเรง ความเรว (Velocity) คออตราการเปลยนแปลงของตาแหนงเมอเทยบกบเวลา ความเรวเฉลยของอนภาคในชวงเวลา Δt หาไดจากการหารการขจด Δs ทเคลอนทไดในชวงเวลา Δt ดวยเวลา Δt หรอเขยนเปนสมการไดเปน v = Δs/ Δt ถาตองการพจารณาความเรวทจดใดๆ สามารถหาไดโดยพจารณาในชวงเวลาเลกๆ เขาใกลศนย ความเรวทจดใดๆ หาไดจาก

sdtds

tsv

t&==

ΔΔ

=→Δ 0

lim (1)

โดย สญลกษณจดเหนอตวเลข แสดงใหเหนวาเปนการหาอนพนธเทยบกบเวลา

ความเรวเปนปรมาณเวคเตอร โดยความเรวททาใหการขจดมความเพมขน (เคลอนทไปทางบวก) จะมคาเปนบวก สวนความเรวททาใหการขจดมคาลดลง (เคลอนทไปทางลบ) จะมคาเปนลบ ความเรง (Acceleration) คออตราการเปลยนแปลงความเรวเมอเทยบกบเวลา ความเรงเฉลยของอนภาคในชวงเวลา Δt หาไดจากการหารความเรว Δv ดวยเวลา Δt หรอเขยนเปนสมการไดเปน a = Δv/ Δt ถาตองการพจารณาความเรงทจดใดๆ สามารถหาไดโดยพจารณาในชวงเวลาเลกๆ เขาใกลศนย ความเรงทจดใดๆ หาไดจาก

sdt

sdvdtdv

tva

t&&& ====

ΔΔ

=→Δ 2

2

0lim (2)

ความเรงเปนปรมาณเวคเตอร โดยความเรงเปนบวกเมอความเรวมคาเพมขน และความเรงเปนลบเมอวตถเคลอนทชาลง เรยกความเรงทเปนลบวา ความหนวง (Deceleration) จากสมการ (1) และ (2) สามารถสรางสมการการเคลอนทใหมโดยใชกฎลกโซดงน

dvdsa

dtdv

dvds

dtdsv =⋅==

adsvdv = (3)

ขอมลการเคลอนทของวตถทไดจากกราฟการเคลอนท การจะทราบวาจะสามารถดงขอมลใดจากกราฟการเคลอนททกาหนดใหได ใหพจารณากราฟการเคลอนท และสมการท (1) – (3) ประกอบกน โดยสวนใหญขอมลทไดจากกราฟมกจะไดจากความชนของกราฟ (เชน อตราการเปลยนแปลงเทยบกบเวลา) และพนทใตกราฟ (ผลคณของปรมาณหนง กบสวนยอยๆ ของอกปรมาณหนง)


1. กราฟระหวางการขจดกบเวลา

รปท 2 กราฟระหวางการขจดและเวลา [1]

กราฟนเปนกราฟความสมพนธของ s-t ดงนนจงตองพจารณาสมการการเคลอนทท

สอดคลองกบตวแปร s-t ซงจากสมการ (1) - (3) จะพบวามเพยงสมการ (1) เทานนทแสดง

ความสมพนธ ของ s-t จากสมการ (1) จะได dtdsv = ซงคาอตราการเปลยนแปลง

dtds กคอ

ความชนของกราฟนนเอง ดงนนจงสรปไดวาความชนของกราฟทจดใดๆ จะแสดงคาความเรวของการเคลอนททจดนนๆ 2. กราฟระหวางความเรวกบเวลา

รปท 3 กราฟระหวางความเรวและเวลา [1]

กราฟนเปนกราฟความสมพนธของ v-t ดงนนจงตองพจารณาสมการการเคลอนทท

สอดคลองกบตวแปร v-t จะพบวามสองสมการ ทแสดงความสมพนธ ของ v-t ไดแกสมการ

(1) จะได dtdsv = และสมการ (2)

dtdva =


สมการ (1) สามารถจดรปและเขยนไดดงน vdtds = จะพบวาผลคณของ v และ dt จะแสดงถงพนทยอยๆ ซงแรเงาในรป และมคาเทากบการขจดยอยๆ ds เมออนทเกรตตลอดชวงตงแต t1 จนถง t2 พนทยอยๆ จะกลายเปนพนทใตกราฟ และ การขจดยอยๆ จะกลายเปนการขจดทเกดในชวงเวลาตงแต t1 จนถง t2 ดงสมการ

curve under Area nt displaceme2

1

tvdtvst

t

−== ∫ (4)

ดงนนจงสรปไดวาพนทใตกราฟของกราฟท v-t จะแสดงคาการขจดของการเคลอนทในขอบเขตนนๆ

สมการ (2) dtdva = มรปแบบเดยวกบกรณกราฟ s-t ดงนนจงสรปไดวาความชนของ

กราฟทจดใดๆ จะแสดงคาความเรงของการเคลอนททจดนนๆ 3. กราฟระหวางความเรงกบเวลา

รปท 4 กราฟระหวางความเรงและเวลา [1]

กราฟนเปนกราฟความสมพนธของ a-t ดงนนจงตองพจารณาสมการการเคลอนทท

สอดคลองกบตวแปร a-t จะพบวาสมการ (2) แสดงความสมพนธ ของ a-t โดย

ความสมพนธคอ dtdva = ซงสามารถจดรปไดเปน adtdv = ผลคณของ a และ dt คอพนทใต

กราฟยอยๆ สวนทแรเงาในรป และมคาเทากบการเปลยนแปลงของความเรว dv เมอคดตลอดชวงตงแต t1 จนถง t2 จะได ผลตางความเรวของจด 1 และจด 2 ดงสมการ

curve under Area 2

1

12 tadtavvt

t

−==− ∫ (5)

ดงนนจงสรปไดวาพนทใตกราฟในชวง t1-t2 จะแสดงผลตางของความเรวตงแตทเวลา

t1-t2


4. กราฟระหวางความเรงกบการขจด

รปท 5 กราฟระหวางความเรงและการขจด [1]

กราฟนเปนกราฟความสมพนธของ a-s ดงนนจงตองพจารณาสมการการเคลอนทท

เกยวของกบตวแปร a-s พบวาสมการ (3) แสดงความสมพนธของ a-s ดงน adsvdv = ดานขวาของสมการ (3) แสดงถงพนทยอยๆ ทแรเงาในรปท 5 ดงนนพนทใตกราฟทงหมด

ในชวง s1 ถง s2 จะแสดงคาของ dvvv

v∫2

1

ความสมพนธของพนทใตกราฟกบความเรว v แสดงใน

สมการ (6)

( ) curve under area 21 2

1

21

22

2

1

saadsvvdvvs

s

v

v

−==−= ∫∫ (6)

5. กราฟระหวางความเรวกบการขจด

รปท 6 กราฟระหวางความเรวและการขจด [1]


กราฟนเปนกราฟความสมพนธของ v-s ดงนนจงตองพจารณาสมการการเคลอนททเกยวของกบตวแปร v-s พบวาสมการ (3) แสดงความสมพนธของ v-s ดงน adsvdv = สมการนสามารถจดรปไดดงน

vCB

va

dsdv

== (7)

โดย dsdv แสดงถงความชนของกราฟ v-s สาหรบ เสนตรง AB เปนเสนตรงทลากตงฉากกบเสน

สมผสทจด A ดงนนสามเหลยม ABC จงเปนสามเหลยมทคลายกบสามเหลยมดานบน ซงประกอบจากเสนสมผสโคง เนองจากระยะ AC มคาเทากบ v ดงนน ระยะ CB จงตองมคาเทากบ a ดวย ดงนนในกราฟ v-s น จะหาความเรงไดจากระยะ CB ในรปท 6 หมายเหต การหาความเรงดวยวธน หนวยของการขจด และความเรว ตองมความสอดคลองกน และ หนวยความเรงทไดกจะสอดคลองกบหนวยของการขจด และความเรวดวย เชน การขจด และความเรวมหนวยเปน m, m/s ตามลาดบ จะไดหนวยของความเรงเปน m/s2 เอกสารอางอง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics DYNAMICS fifth edition SI

Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.


2/1 The car traveling at a constant speed v0 = 100 km/h on the level position of the road. When the 6-percent (tanθ = 6/100) incline is encountered, the driver does not change the throttle setting and consequently the car decelerates at the constant rate gsinθ. Determine the speed of the car (a) 10 seconds after passing point A and (b) when s = 100 m. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.2/25]

วธทา กาหนด km/h 1000 =v

Ans

2m/s 5875.0sin −=θ−= ga

)100

6arctan(=θ

(a) กาหนดความเรง และเวลาทตองการ ใหหาความเรวจากเงอนไขนจะทราบวาตองใชสมการ ในการคานวณ

dtdva =

[ ]adtdv = ∫∫∫ −==10

0

5875.01

00

dtadtdvt

t

v

v

)10(5875.03600

10100 3

−=×

−v

m/s 9.21=v

(b) กาหนดความเรง และระยะทางทตองการ ใหหาความเรวจากเงอนไขนจะทราบวาตองใชสมการ ในการคานวณadsvdv =

[ ]adsvdv = ∫∫∫ −==100

0

5875.01

00

dsadsvdvs

s

v

v

)100(5875.0))3600

10100((21 2

32 −=

×−v

m/s 57.25=v Ans


2/2 When the effect of aerodynamic drag is included, the y-acceleration of a baseball moving vertically upward is au = -g - kv2, while the acceleration when the ball is moving downward is ad = -g + kv2, where k is a positive constant and v is the speed in meters per second. If the ball is thrown upward at 30 m/s from essentially ground level, compute its maximum height h and its speed vf upon impact with the ground. Take k to be 0.006 m-1 and assume that g is constant. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.2/51]

วธทา คดชวงทบอลลอยขนดานบนกาหนดความเรวตนของบอล 30 m/s ความเรวทจดสงสด 0 m/s และ

ความเรง ใหหาระยะทาง hจากเงอนไขนทาใหทราบวาตองใชสมการ adsvdv =

[ ]adsvdv = dskvgvdv )( 2−−=

dsdvkvg

v=

−− 2

∫∫ =−−

dsdvkvg

v2

skvgck

=+⋅− ))(ln(2

1 2

แทนคา S = 0, v = 30: 0))30006.081.9(ln()006.0(2

1 2 =⋅+⋅− c

0657.0=c

(1)

สมการ (1) กลายเปน

sv =+⋅− ))006.081.9(0657.0ln(

)006.0(21 2


แทนคาทจดสงสด v = 0, s = h

h=⋅+⋅− ))0006.081.9(0657.0ln(

)006.0(21 2

m 54.36=h Ans

คดชวงทบอลเคลอนทลงจนตกกระทบพน

ในขอนไมสามารถจะคดรวมตงแตบอลลอยขนจนตกกระทบพนได เนองจากความเรงในชวงบอลลอยขน และบอลตกลงไมเทากน

กาหนดความเรวตนของบอล 0 m/s ทราบความเรง และทราบระยะทาง h ใหหาความเรวปลายตอนบอลกระทบพนจากเงอนไขนทาใหทราบวาตองใชสมการ adsvdv =

[ ]adsvdv = dskvgvdv )( 2+−=

dsdvkvg

v=

+− 2

∫∫ =+−

dsdvkvg

v2

skvgck

=+−⋅ ))(ln(21 2

แทนคา S = 36.54, v = 0: 54.36))0006.081.9(ln()006.0(2

1 2 =⋅+−⋅c

158.0−=c

(2)

สมการ (2) กลายเปน

sv =+−⋅−− ))006.081.9(158.0ln(

)006.0(21 2

หา v ตอนกระทบพน s = 0

0))006.081.9(158.0ln()006.0(2

1 2 =+−⋅−− v

m/s 091.24=v Ans


แบบฝกหด หวขอ 2/1 1. A ball is thrown vertically upward with an initial speed of 25 m/s from the base A of

a 15-m cliff. Determine the distance h by which the ball clears the top of the cliff and the time t after release for the ball to land at B. Also, calculate the impact velocity vB. Neglect air resistance and the small horizontal motion of the ball. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans h = 16.86 m, t = 4.40 s vB = 18.19 m/s downward)

2. A motorcycle patrolman starts from rest at A two seconds after a car, speeding at the constant rate of 120 km/h, passes point A. If the patrolman accelerates at the rate of 6 m/s2 until he reaches his maximum permissible speed of 150 km/h, which he maintains, calculate the distance s from point A to the point at which he overtakes the car. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans s = 912 m) 3. A particle starts from rest at x = -2 m and moves along the x-axis with the velocity

history shown. Plot the corresponding acceleration and the displacement histories for the 2 seconds. Find the time t when the particle crosses the origin. [Engineering

Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige] (Ans t = 0.917 s)

รปประกอบแบบฝกหดขอ 1 รปประกอบแบบฝกหดขอ 2

รปประกอบแบบฝกหดขอ 3




2/3 การเคลอนทแนวโคงในระนาบ การเคลอนทแนวโคงในระนาบ (Plane Curvilinear Motion) หมายถงการเคลอนทของวตถตามแนวเสนโคงใดๆ บนระนาบหนง ดงนนปญหาการเคลอนทแนวโคงในระนาบจงเปนปญหาประเภท 2 มต

รปท 1 การเคลอนทแนวโคงในระนาบ [1]

พจารณาการเคลอนทแนวโคงในระนาบแสดงดงรปท 1 ทเวลา t วตถอยทตาแหนง A ตาแหนงของจด A สามารถบอกไดโดยใชเวคเตอรบอกตาแหนง rv ซงมจดกาเนดอยทจดอางอง

ใดๆ (เลอกตามความสะดวกในการพจารณา) เมอเวลาเปลยนไปเปน t+Δt วตถนจะเคลอนทไปทตาแหนง A’ เวคเตอรบอกตาแหนงจะเปลยนไปเปน rr vv Δ+ การขจดของวตถ (ปรมาณเวคเตอร) ไดแกการเปลยนแปลงของเวคเตอรบอกตาแหนง มคาเทากบ rvΔ สวนระยะทางทวตถเคลอนทได (ปรมาณสเกลาร) ไดแกระยะทาง sΔ ตามแนวเสนทางการเคลอนท (เสนสสม) ความเรว ความเรว คออตราการเปลยนแปลงของตาแหนงเทยบกบเวลา ความเรวเปนปรมาณเวคเตอรหาไดดงสมการ (1)

rdtrd

trv

t&v

vv ==

ΔΔ

=→0

lim (1)

เนองจากเวลา t เปนปรมาณสเกลาร ดงนนความเรวจงมทศทางเดยวกบการเปลยนแปลงของเวคเตอรตาแหนง rvΔ เมอคดชวงเวลาสนๆ ทศทางของ rvΔ จะเขาใกลกบ


เสนสมผสของเสนโคงแนวทางการเคลอนท ดงนนความเรวขณะใดๆ จะมทศทางเปนทศเดยวกบเสนสมผสเสนโคงแนวทางการเคลอนท อตราเรว คอขนาดของความเรว อตราเรวเปนปรมาณสเกลาร สามารถหาได

sdtds

dtrdvv &v

v ==== (2)

ความเรง ความเรง คออตราการเปลยนแปลงของความเรวเทยบกบเวลา ความเรงเปนปรมาณเวคเตอรหาไดดงสมการ (3)

rdt

rdvdtvda &&v

v&v

vv ==== 2

2

(3)

ถงแมวาทศทางของความเรวจะสมผสกบเสนแนวทางการเคลอนท แตทศทางของความเรงไมมความสมพนธกบเสนแนวทางการเคลอนทเลย การหาอนพนธของเวคเตอร ในการศกษาการเคลอนทแนวโคง จาเปนทจะตองใชวธการเวคเตอรในการพจารณา ในทนจงทบทวนการหาอนพนธของเวคเตอรสกเลกนอย โดยสมการการหาอนพนธของเวคเตอรในกรณตางๆ แสดงในสมการท (4)-(7)

kPjPiPdtPd

zyxˆˆˆ &&&

v

++= (4)

uPuPdt

uPd &v&v

v

+= (5)

QPQPdt

QPd v&v&vvvv

⋅+⋅=⋅ )( (6)

QPQPdt

QPd r&v&vvvv

×+×=× )( (7)

ระบบพกดในการพจารณาการเคลอนทแนวโคงในระนาบ ในการพจารณาการเคลอนทแนวโคงในระนาบนน สามารถพจารณาไดในระบบพกดตางๆ ระบบพกดทใชกนโดยทวไปม 3 แบบ ไดแก 1) ระบบพกดแบบ x-y, 2) ระบบพกดแบบ

n-t, และ 3) ระบบพกดแบบ r-θ ระบบพกดแตละแบบจะเหมาะกบรปแบบปญหาแตกตางกนไป โดยจะอธบายตอไปดงน


2/4 ระบบพกดแบบ x-y

รปท 2 การใชระบบพกดแบบ x-y กบการเคลอนทแนวโคงในระนาบ [1]

ระบบพกดแบบ x-y เหมาะกบปญหาทตวแปร x และ y สามารถแยกคดไดโดยอสระตอกน เชนปญหาการโยนลกบอลในอากาศ ซงความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลกจะสงผลในแนวดง (แนว y) เทานน แตไมสงผลกบการเคลอนทไปดานหนาของลกบอล (แนว x)

รปท 2 แสดงตวอยางการใชระบบพกด x-y กบการเคลอนทแนวโคงในระนาบ เมอวตถอยทจด A วตถมเวคเตอรบอกตาแหนงเปน เวคเตอร rv และมความเรวการเคลอนท vv โดยมทศทางสมผสกบเสนแนวทางการเคลอนท และทามม θ กบแนวระดบ ความเรวสามารถแตกออกไดเปนสวนประกอบยอยๆ ในแนว x และ y ดงแสดงในรป สาหรบความเรงซงทศทางไมสมพนธกบเสนแนวทางการเคลอนทกสามารถแยกออกไดเปนสวนประกอบยอยในแนว x-y เชนกน การวเคราะหปญหาการเคลอนทโดยใชพกด x-y จะใชสมการดงตอไปน ตาแหนงวตถ jyixr ˆˆ +=v (8) ความเรว jvivjyixrv yx

ˆˆˆˆ +=+== &&&vv (9) ความเรง jaiajyixrva yx

ˆˆˆˆ +=+=== &&&&&&v&vv (10) จากสมการท (9) และ (10) จะสามารถหาความเรว และความเรงในแนวแกน x และ y ได ถาตองการหาขนาดความเรว และความเรงรวม และหาทศทางของการเคลอนท (ทศทางของความเรว) จะสามารถหาไดจากสมการ (11) ถง (13) ขนาดความเรว 222

yx vvv += (11) ขนาดความเรง 222

yx aaa += (12)

ทศทางการเคลอนท x

y

vv

=θtan (13)


การเคลอนทแบบโปรเจคไตล การเคลอนทแบบโปรเจคไตล เปนการเคลอนทแบบเสนโคงในระนาบกรณหนงทเหมาะกบการพจารณาปญหาดวยระบบพกด x-y การเคลอนทแบบโปรเจคไตลแสดงดงรปท 3

รปท 3 การเคลอนทแบบโปรเจคไตล [1]

พจารณาการเคลอนทของวตถ หากไมคดถงผลของแรงตานอากาศ และคดวาการเปลยนแปลงความสงมคานอยจนไมมผลตอคาความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก g จากการพจารณาเชนนจะไดวา ความเรงในแนวดงมคาคงทเทากบ g สวนในแนวระดบไมมแรงกระทา จงไมเกดความเรงขน และความเรวในแนวระดบจะมคาคงท ความเรงในแตละทศทางเขยนเปนสมการไดดงน

gay −= และ 0=xa (14) ในการตงแกนพกด โดยทวไปจะตงใหมทศทางบวกเปนไปตามทศทางการเคลอนท (ทศ

ความเรว) ในทนความเรงมคาตดลบเนองจาก ความเรงมทศตรงขามกบ แกนทตงไว และมทศทางตรงขามกบทศความเรวตน จงทาใหวตถเคลอนทชาลงในชวงแรก

เนองจากความเรงมคาคงทดงนนจะสามารถหาคาตางๆ ไดจากสมการตอไปน แกน x 0)( xx vv = และ tvxx x 00 )(+= (15) แกน y gtvv yy −= 0)( (16)

200 2

1)( gttvyy y −+= (17)

)(2)( 02

02 yygvv yy −−= (18)

การคานวณจะสามารถคดแยกแนวแกน x และแนวแกน y ไดโดยจดรวมของการคดทงสองแกน ไดแกทเวลาเดยวกน ตาแหนงบนแกน x และแกน y ตองมความสมพนธกน หมายเหต การคานวณโดยใชสมการท (15) – (17) จะใชไดเมอความเรงมคาคงทเทานน หากความเรงไมคงท เชนกรณการคดแรงตานอากาศ จะตองพจารณาเรมจากสมการการเคลอนทพนฐาน และอนทเกรตเพอหาปรมาณตางๆ โดยตรง


2/3 A rocket is released at point A from a jet aircraft flying horizontally at 1000 km/h at an altitude of 800 m. If the rocket thrust remains horizontal and gives the rocket a horizontal acceleration of 0.5g, determine the angle θ from the horizontal to the line of sight to the target. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.2/77]

วธทา จากโจทยจะทราบคาตางๆ ดงน

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = x

x adtdv

gdtdvx 5.0=

m/s 6.3

10003600101000

3

00 =×== vvx

m/s 00 =yv2m/s 5.0 gax =

2m/s gay =

พจารณาในแนวแกน x

15.0 Cgtvx +=

m/s 6.3

1000,0 == xvt 106.3

1000 C+=6.3

10001 =C

6.310005.0 += gtvx

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ = x

x vdtds

6.310005.0 += gt

dtdsx

22

6.31000

25.0 Cttgsx ++=

m 0,0 == xst 2000 C++= 02 =C

ttgsx 6.31000

25.0 2 +=

ตงแกน x และแกน y ดงแสดงในรป

x

y


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= y

y adtdv

gdtdvy =

พจารณาในแนวแกน y

3Cgtvx +=

m/s 0,0 == yvt 300 C+= 03 =C

gtvy 5=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= y

y vdtds

gtdtdsy =

42

2Ctgsy +=

m 0,0 == yst 400 C+= 04 =C

2

2tgsy =

เมอจรวดตกกระทบพน m 800=ys

2

2800 tg

= s 771.1281.9

2800=

×=t

แทนใน sx ได ( ) ( ) m 5.3947771.126.3

1000771.1225.0 2 =+=gsx

o46.115.3947

800arctanarctan =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=θ

x

y

ss Ans


เอกสารอางอง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics DYNAMICS fifth edition SI

Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003. แบบฝกหด หวขอ 2/4 1. A football player attempts a 30-m field goal. If he is able to impart a velocity u of 30

m/s to the ball, compute the minimum angle θ for which the ball will clear the crossbar of the goal. (Hint: Let m = tan θ.) [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition,

Meriam & Kraige] (Ans θ = 15.43°)


2. If the tennis player serves the ball horizontally (θ = 0), calculate its velocity v if the

center of the ball clears the 0.9-m net by 150 mm. Also find the distance s from the net to the point where the ball hits the court surface. Neglect air resistance and the effect of ball spin. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans v = 21.2 m/s, s = 3.55 m)


3. A projectile is ejected into an experimental fluid at time t = 0. The initial speed is v0

and the angle to the horizontal is θ. The drag on the projectile results in an acceleration term aD = -kv, where k is a constant and v is the velocity of the projectile. Determine the x- and y-components of both the velocity and displacement


as functions of time. What is the terminal velocity? Include the effects of gravitational acceleration. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans )1(cos

,)cos( 00

ktktx e

kv

xevv −− −θ

=θ=

kge

kgvv kt

y −+θ= −)sin( 0

tkge

kgv

ky kt −−+θ= − )1)(sin(1

0 , kgvv yx −→→ ,0 )





2/5 ระบบพกดแบบ n-t พกดแบบ n-t (Normal and Tangential coordinate) หรอพกดแบบตงฉากแนวการ

เคลอนทและสมผสแนวการเคลอนท สามารถตงไดตามตวอยางแสดงในรปท 1 โดยมหลกการการตงแกนดงน

1. แกน t เปนแกนสมผสแนวการเคลอนท และมทศทางบวกชไปตามแนวการเคลอนท 2. แกน n เปนแกนตงฉากการเคลอนท และมทศทางบวกชเขาไปหาจดศนยกลาง

ความโคงของเสนแนวการเคลอนท 3. แกนพกด n-t จะเปลยนตาแหนงไปตามวตถทเคลอนท จากตวอยางแสดงในรปท 1 จะพบวาทจด A, B และ C จะมแกนพกด n-t แตกตางกน

อยางไรกตามหลกเกณฑการตงแกนพกดจะเปนไปตามทกลาวไวขางตน

รปท 1 การตงพกดแบบ n-t [1]

การเคลอนทบางกรณไมสะดวกทจะบอกพกดโดยคดเทยบกบจดอางองแบบพกด x-y

แตจะเหมาะสมกวาถาใชพกดแบบ n-t เชน การเคลอนทของรถยนตบนถนนโคง ในกรณเชนน ถาบอกความเรวเปนพกด x-y จะมความยงยาก เนองจากความเรวในแนว x และ y จะเปนความเรวเพยงสวนหนงของรถยนตเทานน ไมใชขนาดความเรวจรงของรถยนตตามแนวทางการเคลอนท จาเปนทจะตองคานวณรวมความเรวในแนว x และ y กอน จงจะไดความเรวและทศทางการเคลอนทของรถยนต อยางไรกตามโดยทวไปอตราเรวของรถสามารถวดไดจากเครองวดอตราเรวทตดตงในรถ สวนทศทางของความเรวเปนทศทางการเคลอนทของรถยนตอยแลว ในกรณนการบอกพกดแบบ n-t จะเหมาะสมกวา


ความเรวและความเรงในระบบพกดแบบ n-t

รปท 2 ความเรวในพกดแบบ n-t [1]

พจารณารปท 2 ซงแสดงถงการเคลอนทและความเรวของวตถ ในระบบพกด n-t เมอวตถอยทจด A จะตงแกนพกดไดดงแสดงดวยแกน n และแกน t ในรปท 2 โดยจด C แสดงจดศนยกลางความโคงของเสนแนวทางการเคลอนทในขณะนน เวคเตอร ne และ te เปนเวคเตอรหนงหนวยในทศทาง n และ t ตามลาดบ เมอวตถเคลอนทไปเลกนอยจนถงจด A’ แกนพกดจะเปลยนไปเลกนอยดงแสดงในรป เนองจากพจารณาระยะการเคลอนทนอยๆ จดศนยกลางความโคงสามารถพจารณาวาไมเปลยนตาแหนงได และรศมความโคงของเสนแนวทางการเคลอนทมคา ρ เทาเดม มมทจดศนยกลางความโคงทเปลยนไปมคาเทากบ βd ดงนนระยะทางทวตถ

เคลอนทไดไดแก βρ= dds อตราเรวในการเคลอนทหาไดจาก dtd

dtds β

ρ= เนองจากความเรว

เปนปรมาณเวคเตอร ดงนนจงตองแสดงทศทางของความเรวดวย โดยความเรวจะมทศทางตามแนวเสนสมผส ไดแก แนวเวคเตอร te นนเอง ดงนน ความเรว vv จะเขยนไดดงน

tt eevv ˆˆ βρ== &v (1) ความเรงในระบบพกดแบบ n-t สามารถหาไดโดยการหาอนพนธของความเรวในสมการ (1) เทยบกบเวลา ดงน

ttt evev

dtevd

a ˆˆ)ˆ(&&v +== (2)

จากสมการ (2) จะเหนวาตองทราบคาอนพนธของเวคเตอร te เทยบกบเวลากอน จงจะหาความเรงได พจารณาการหาอนพนธของเวคเตอร te ดงแสดงในรปท 3 ไดดงน


รปท 3 การหาอนพนธของเวคเตอร te [1]

รปท 3 ดานซายมอวาดโดยดงเวคเตอร te และ te′ˆ ในรปท 2 มาเขยนตอกน จะพบวาการเปลยนแปลงของเวคเตอร te แสดงโดยเวคเตอร ted ˆ และมทศทางเปนทศเดยวกบ ne ขนาดของเวคเตอร ted ˆ หาไดจากรปท 3 ทางดานซายมอเชนกน โดย β=β= ddeed tt ˆˆ จากความสมพนธนจะสามารถเขยนความสมพนธไดดงน

nt eded ˆ)(ˆ β= และหาอนพนธเทยบกบเวลาไดดงน

nt ee ˆβ= && (3) แทนความสมพนธในสมการ (3) ลงในสมการ (2) จะได

tn eveva ˆˆ2

&v +

ρ= (4)

โดย β=βρ=ρ

= && vvan2

2

svat &&& ==

22tn aaa +=

รปท 3 ทางดานขวามอแสดงการเปลยนแปลงของความเรวจากความเรว vv มาเปน v ′v ซงมทศทางตางกนโดยทามมกน βd ทศทางของความเรง av จะมทศทางเดยวกบทศของ การเปลยนแปลงความเรว vdv ดงแสดงในรป การเปลยนแปลงความเรว vdv นสามารถแตกออกเปน tvdv ซงเปนสวนประกอบในทศทางการเคลอนท (แนว t) และ nvdv ซงเปนสวนประกอบในทศตงฉากการเคลอนท (แนว n) เมอพจารณาชวงเวลาเลกๆ มม βd จะมขนาดเลกมาก การเปลยนแปลง tvdv จงเปนการเปลยนแปลงขนาดของเวคเตอรความเรว และการเปลยนแปลง nvdv จงเปนการเปลยนแปลงเนองจากทศทางของความเรวทเปลยนแปลงไป ดงนนจงสามารถสรปไดวาความเรงในแนวสมผส tav จงเปนผลเนองจากการเปลยนแปลงขนาด


ของความเรว สวนความเรงในแนวตงฉาก nav จงเปนผลเนองจากการเปลยนแปลงของทศทางของความเรว

เมอพจารณาถงกรณการเคลอนทในแนวเสนตรงซงไมมการเปลยนแปลงทศทางการเคลอนท จงมเฉพาะความเรงในแนว t เทานน และมคาเทากบ v& เราอาจจะพจารณาหาความเรงจากสมการท (4) ไดเชนกน เนองจากการเคลอนทในแนวเสนตรงมรศมความโคงการ

เคลอนทเปนอนนต (∞ ) ดงนนพจน ρ

2v ในสมการท (4) จงมคาเปน 0 นนคอไมมสวนประกอบ

ในแนว n นนเอง

รปท 4 ทศทางความความเรง [1]

การใชพกดแบบ n-t จะทาใหทราบทศทางของความเรงอยางหยาบๆ ไดโดยงาย พจารณาการเคลอนทในรปท 4(a) ซงแสดงการเคลอนทโดยมความเรวเพมขน การเพมความเรวแสดงใหเหนวา ทศทางของความเรงในแนว t ตองมทศทางตามทศทางการเคลอนท สวนความเรงในแนว n จะชเขาสจดศนยกลางของเสนโคงการเคลอนทเสมอ ดงแสดงในรป เมอวตถเคลอนทและมความเรวลดลง กสามารถพจารณาไดทานองเดยวกน โดยทศทางของความเรงแสดงดงรปท 4(b)


รปท 5 การเคลอนทแบบวงกลม [1]

การเคลอนทแบบวงกลม การเคลอนทแบบวงกลม สามารถพจารณาโดยใชพกดแบบ n-t ไดดงน

1. รศมความโคงมคาคงท r=ρ 2. มมรอบจดศนยกลางความโคง θ=β

จากเงอนไขทง 2 ขอ สามารถหาความเรว ความเรงไดดงสมการ θ= &rv (5)

θ=θ== && vrr

van2

2

(6)

θ== &&& rvat (7) เอกสารอางอง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics DYNAMICS fifth edition SI



2/4 Magnetic tape is being transferred from reel A to reel B and passes around idler pulleys C and D. At a certain instant, point P1 on the tape is in contact with pulley C and point P2 is in contact with pulley D. If the normal component of acceleration of P1 is 40 m/s2 and the tangential component of acceleration of P2 is 30 m/s2 at this instant, compute the corresponding speed v of the tape, the magnitude of the total acceleration of P1, and the magnitude of the total acceleration of P2. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.2/113]

วธทา จากโจทยจะทราบคาตางๆ ดงน

2m/s 30=ta

จด P12m/s 40=na

จด P2

ตองการหา v, a1, a2

พจารณาทจด P1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ

=2van 1.0

402v

= m/s 2=v Ans

เทปทงเสนจะตองม v และ at เทากน ถาไมเทากนจะทาใหเทปขาด หรอเทปยน ทางานไมได ดวยเหตผลนจะได

m/s 2=v

จด P12m/s 30=ta

จด P2

เพราะฉะนน 222221 m/s 503040 =+=+= tn aaa Ans

พจารณาทจด P2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ

=2van

22

m/s 8005.0

2==na

222222 m/s 44.853080 =+=+= tn aaa Ans


วธทา จากโจทยตองการหาคา ρ ทเวลา t = 2 s

Ans

2/5 A particle moving in the x-y plane has a position vector given by

, where is in meters and t is in seconds. Calculate the

radius of curvature ρ of the part for the position of the particle when t = 2 s.

Sketch the velocity v and the curvature of the path for this particular instant. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.2/119]

jtitr ˆ32ˆ

23 32 +=v rv

2/5 A particle moving in the x-y plane has a position vector given by

, where is in meters and t is in seconds. Calculate the

radius of curvature ρ of the part for the position of the particle when t = 2 s.

Sketch the velocity v and the curvature of the path for this particular instant. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.2/119]

jtitr ˆ32ˆ

23 32 +=v rv

เนองจากตองการหาคา ρ แต ρ เกยวของกบ an จงตองหาคา an ใหไดกอน

jtitrv ˆ2ˆ3 2+== &vv

jtiva ˆ4ˆ3 +== &vv

ทเวลา t = 2 s jiv ˆ8ˆ6 +=v

jia ˆ8ˆ3 +=v

m/s 1086 22 =+=vv

222 m/s 7383 =+=av

ความเรงทไดนเปนความเรงรวม เมอตองการจะหาสวนประกอบในแนว n หรอ ในแนว t จะตองแตกความเรงเขาแกน n-t กอน อยางไรกตามในขอนจะไมทราบทศทางของแกน n-t โดยตรง แตจะสามารถหาไดโดยใชหลกทวา ความเรวมทศทางเดยวกบทศทางการเคลอนท

เวคเตอรหนงหนวยในทศทางการเคลอนท (ทศทางความเรว) หาไดจาก vvet v

v=ˆ

( ) ( ) 2m/s 2.810

)8)(8()6)(3(10

ˆ8ˆ6ˆ8ˆ3ˆ =+

=+

⋅+=⋅=⋅=jiji

vvaeaa tt v

vvv

ขนาดความเรงในแนว t หาไดจาก

ขนาดความเรงในแนว n หาไดจาก 2222 m/s 4.22.873 =−=+= tn aaa

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ

=2van 104.2

2

ρ= m 41.67=ρ

jtitr ˆ32ˆ

23 32 +=v

x

y

x& x&&

y&

y&& t

nv

x

y

x& x&&

y&

y&& t

nv


แบบฝกหด หวขอ 2/5 1. A baseball player releases a ball with the initial conditions shown in the figure.

Determine the radius of curvature r of the path and the time rate of change of the speed at times t = 1 s and t = 2.5 s, where t = 0 is the time of release from the player’s hand. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans t = 1 s, at = -1.922 m/s2, ρ = 73 m t = 2.5 s, at = 3.38 m/s2, ρ = 83.1 m)

2. At the instant represented, A has a velocity to the right of 0.2 m/s which is decreasing at the rate of 0.75 m/s each second. At the same time, B is moving down with a velocity of 0.15 m/s which is decreasing at the rate of 0.5 m/s each second. For this instant determine the radius of curvature r of the path followed by P. Is it possible to determine also the time rate of change of r ? [Engineering Mechanics

DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige] (Ans ρ = 1.25 m)

3. When the skier reaches point A along the parabolic path, he has a speed of 6 m/s which is increasing at 2 m/s2. Determine the direction of his velocity and the direction and magnitude of his acceleration at this instant. Neglect the size of the skier in the calculation. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans θ = 45° a = 2.37 m/s2)





2/6 ระบบพกดแบบ r-θ ในสวนกอนหนากลาวถงระบบพกดแบบตางๆ ซงเหมาะสมกบปญหาในลกษณะ

แตกตางกนไปโดย ระบบพกดฉากเหมาะกบปญหาทผสงเกตอยนง และสามารถพจารณาลกษณะการเคลอนทเปนระบบพกดฉากไดงาย เชน ปญหาการเคลอนทวถโคงในระนาบหรอโปรเจคไตล สาหรบพกดแบบ n-t จะเหมาะในกรณทผสงเกตหรออปกรณตรวจวดการเคลอนท เคลอนทไปพรอมกบวตถ เชน การเคลอนทของรถยนตบนถนนโคง เปนตน

ในสวนนจะกลาวถงระบบพกดแบบเชงขว หรอ ระบบพกด r-θ ซงจะเหมาะกบปญหาทผสงเกตอยนง และสงเกตการณเคลอนทของวตถโดยวดระยะทาง และมมทเปลยนไปไดงาย ตวอยางของปญหาน เชน การทางานของเรดารตดตามการเคลอนท ซงจะบอกขอมลเปนระยะทางของวตถทหางจากตวเรดาร และมมซงแสดงตาแหนงของวตถเทยบกบแกนอางอง

พกดแบบ r-θ (Polar coordinate) สามารถตงเพอบอกตาแหนงของวตถซงอยทจด A ในขณะนนไดตามตวอยางแสดงในรปท 1 โดยมหลกการการตงแกนดงน

1. ตาแหนงจด A วดเทยบกบจดอางองอยนง O โดยจด A อยหางจากจด O เทากบ r และ เสนตรงทลากเชอมจด O กบ A ทามม θ กบแนวระดบ

2. แกน r-θ มจดกาเนดอยทจด A ซงเปนตาแหนงของวตถทสนใจในขณะนน 3. แกน r ตงอยในแนวเดยวกบเสนตรงทลากเชอมจด O กบจด A และมทศทางบวกช

ออกจากจดอางอง O (ทศทางททาใหระยะ r มคาเพมมากขน) เวคเตอรหนงหนวยในทศทางของแกน r คอเวคเตอร re

4. แกน θ อยตงฉากกบแกน r และมทศทางบวกชไปในทศทางททาใหมม θ เพมมากขน เวคเตอรหนงหนวยในทศทางของแกน θ คอเวคเตอร θe

รปท 1 พกดแบบ r-θ [1]


จากหลกเกณฑการตงแกนพกด และรปท 1 จะไดวาตาแหนงจด A สามารถบอกไดในรปของเวคเตอรบอกตาแหนงดงน

rerr ˆ=v (1) เมอไดเวคเตอรบอกตาแหนงแลว การหาความเรวและความเรงในระบบพกด r-θ ก

สามารถทาไดโดยการหาอนพนธของสมการท (1) เทยบกบเวลา เชนเดยวกบระบบพกดฉาก และระบบพกดแบบ n-t อยางไรกตามพบวาการหาอนพนธของสมการท (1) จาเปนตองทราบคาอนพนธของเวคเตอร re เทยบกบเวลาเสยกอน และในการหาความเรงยงตองทราบคาอนพนธของ θe เทยบกบเวลาดวย ดงนนในทนจะอธบายถงการหาอนพนธของ re และ θe เทยบกบเวลากอนดงน การหาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวยในพกด r-θ

รปท 2 การหาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวยในพกด r-θ [1]

พจารณาการเปลยนแปลงของเวคเตอร re และ θe แสดงดงรปท 2 เมอวตถเคลอนทจากจด A ไปเปนจด A’ เวคเตอร re และเวคเตอร θe จะเปลยนไปเปนเวคเตอร re′ˆ และเวคเตอร θ′e ตามลาดบ โดยเวคเตอรกอนและหลงการเปลยนแปลงทามมกน dθ การเปลยนแปลงของเวคเตอร re แสดงโดยเวคเตอร red ˆ เวคเตอรนจะชไปทศทาง +θ ดงแสดงในรป การเปลยนแปลงของเวคเตอร re เขยนแทนดวยสมการไดดงน

θ= eeded rr ˆˆˆ (2) เนองจากขนาดของเวคเตอร re มการเปลยนแปลงนอยมาก ดงนนขนาดของเวคเตอร red ˆ หาไดจาก

θ=θ= ddeed rr ˆˆ (3) แทนสมการ (3) ในสมการ (2) จะได θθ= eded r ˆˆ θθ= eer ˆˆ && (4) การเปลยนแปลงของเวคเตอร θe สามารถหาไดทานองเดยวกน โดย θ=θ= θθ ddeed ˆˆ เนองจากทศทางการการเปลยนแปลงชไปทาง –r ดงนน


reded ˆˆ θ−=θ

ree ˆˆ θ−=θ&& (5)

สมการท (4) และ (5) จะนาไปใชในการหาความเรวและความเรงในพกด r-θ ตอไป ความเรว ความเรวสามารถหาไดโดยหาอนพนธของเวคเตอรบอกตาแหนงในสมการ (1) เทยบกบเวลาดงน

rerr ˆ=v

rr ererdtrdv &&v

v ˆˆ +==

θθ+= ererv r ˆˆ &&v (6)

โดย rvr &= เกดจากการเปลยนแปลงขนาดของเวคเตอร rv θ=θ

&rv เนองจากพจนนเกดจากพจน rer & จงแสดงถงผลของการเปลยนแปลงทศทางของเวคเตอร rv

ขนาดของความเรวรวมหาไดจาก 22θ+= vvv r

ความเรง ความเรงหาไดโดยหาอนพนธของความเรวในสมการ (6) เทยบกบเวลาดงน

)ˆˆˆ()ˆˆ( θθθ θ+θ+θ++== erererererdtvda rr

&&&&&&&&&&v

v

))ˆ(ˆˆ()ˆˆ( rr ererererera θ−θ+θ+θ+θ+= θθθ&&&&&&&&&&

v

θθ+θ+θ−= errerra r ˆ)2(ˆ)( 2 &&&&&&&v (7)

โดย 2θ−= &&& rrar θ+θ=θ

&&&& rra 2

ขนาดของความเรงรวมหาไดจาก 22θ+= aaa r

การเคลอนทแบบวงกลม

การเคลอนทแบบวงกลม สามารถพจารณาโดยใชพกดแบบ r-θ โดยผสงเกตอยทจดกงกลางวงกลม กรณนรศมความโคงมคาคงท ดงนน 0== rr &&& และจะได

θ== θ&rvv (8)

2θ−= &rar (9) θ=θ&&ra (10)

ผลทไดจะสอดคลองกบการใชพกด n-t ในการพจารณา สงเกตวา nr aa −= ทงนเนองจากวธการตงแกนของพกดแบบ n-t ตางกบพกดแบบ r-θ โดยแกน n ในพกดแบบ n-t จะ


ชเขาหาจดศนยกลางความโคงเสมอ สวนแกน r ในพกดแบบ r-θ จะชออกจากจดอางอง ซงในทนคอจดศนยกลางของวงกลม เอกสารอางอง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics DYNAMICS fifth edition SI



วธทา โจทยกาหนดให r = Kθ

t = 0, θ = π/4, v = 0

2/6 The slotted arm OA forces the small pin

to move in the fixed spiral guide defined by

r = Kθ. Arm OA starts from rest at θ = π/4

and has a constant counterclockwise angular

acceleration . Determine the magnitude

of the acceleration of the pin P when θ =

3π/4. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition,

Meriam & Kraige, prob.2/149]

จาก

α=θ&&

α=θ&&

θ= Kr θ= && Kr α=θ= KKr &&&&

α=θ&& 1Ct +α=θ&

0== rvr &

0 ;0 =θ=θ=θ&&rv

ท t = 0, 0=θ& ดงนน C1 = 0

tα=θ&

tα=θ& 2

2

2Ct

+α

=θ ท t = 0, 4/π=θ ดงนน C2 = π/4

42

2 π+

α=θ

t

ตองการหาท θ = 3π/4, 424

3 2 π+

α=

π tαπ

=t

απ=απ

α=θ&

απ=θ= KKr &&

α−=π−α=αππ

−α=θ−= KKKKrrar 402.6)431())(

43)(( 22&&&

))((2))(4

3)((2 απαπ+απ

=θ+θ=θ KKrra &&&&

απ=π+π

α=θ KKa4

11)24

3(

α=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+−α=+= θ KKaaa r 753.104

11)642.0(2

222 Ans


วธทา โจทยกาหนดให

2/7 For a limited range of motion, crank CP

causes the slotted link OA to rotate. If β is

increasing at the constant rate of 4 rad/s when β

= π/4, determine the r- and θ-components of the

acceleration of pin P for this position and

specify the corresponding values of and . [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam &

Kraige, prob.2/165]

constant rad/s 4=β&

Ans

ตองการหาคา เมอ β = π/4

r& r&&

rraar &&&,,, θ

จด P เปนจดบนชนสวน PC และเคลอนทเปนวงกลมรอบจด C ดวยความเรวเชงมมคงท จด P จะมความเรว และความเรงดงน

m/s 48.0)4)(12.0(12.0 ==β= &v

222 m/s 92.1)4)(12.0())(12.0( ==β= &a

vrv

θv

r

θ 4/π

8/π

8/π

vrv

θv

r

θ 4/π

8/π

8/π

θa

raa

r

θ 8/π

8/π

4/π

θa

raa

r

θ 8/π

8/π

4/π

ทศทางของความเรวและความเรงแสดงดงในรป

vr, vθ, ar, aθ สามารถหาไดโดยแตกความเรวและความเรงเขาในแนวแกน r-θ ดงน

m/s 1837.08

sin48.08

sin −=π

−=π

−= vvr

m/s 4435.08

cos48.08

cos =π

=π

=θ vv

2

2

mm/s 1774

m/s 7738.18

cos92.18

cos

−=

−=π

−=π

−= aar

2

2

mm/s 8.734

m/s 7348.08

sin92.18

sin

−=

−=π

−=π

−=θ aa

mm/s 183.7m/s 1837.0 −=−== rvr& Ans

mm 7311.2218

cos)120(2 =π

=r


rad/s 22217.04435.0

===θ θ

rv&

)2)(2217.0(7738.1 222 +−=θ+=⇒θ−= &&&&&& rarrra rr

22 mm/s 887m/s 887.0 −=−=r&& Ans


แบบฝกหด หวขอ 2/6 1. Link AB rotates through a limited range of angle β, and its end A causes the slotted

link AC to rotate also. For the instant represented where β = 60° and β& = 0.6 rad/s constant, determine the corresponding value of r& , r&& , θ& , and θ&& . [Engineering Mechanics

DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige] (Ans r& = 77.9 mm/s, r&& = -13.5 mm/s2

θ& = -0.3 rad/s, θ&& = 0) 2. The slider P can be moved inward by means of the string S, while the slotted arm

rotates about point O. The angular position of the arm is given by 20

8.02tt −=θ ,

where θ is in radians and t is in seconds. The slider is at r = 1.6 m when t = 0 and thereafter is drawn inward at the constant rate of 0.2 m/s. Determine the magnitude and direction (expressed by the angle a relative to the x-axis) of the velocity and acceleration of the slider when t = 4 s. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam &

Kraige] (Ans v = 0.377 m/s at α = 260°

a = 0.272 m/s2 at α = 19.44°)





2/8 การเคลอนทสมพทธ (Translating axes) ในหวขอกอนๆ การสงเกตการณเคลอนทของวตถจะเปนการสงเกตโดย (เทยบกบ) ผ

สงเกตทอยกบท การเคลอนทของวตถทสงเกตไดจากผสงเกตทอยนงนนจะเรยกวา “การเคลอนทสมบรณ (Absolute motion)” อยางไรกตามหากผสงเกตไมไดอยนงกบทแตเคลอนทอย การเคลอนทของวตถทสงเกตไดจะไมใชคาทแทจรง เรยกการเคลอนทของวตถทสงเกตจากผสงเกตทเคลอนทวา “การเคลอนทสมพทธ (Relative motion)” รปท 1 แสดงตวอยางการสงเกตการเคลอนท หากตองการสงเกตการเคลอนทของรถไฟ A เมอผสงเกตยนอยกบท จะสงเกตการเคลอนทของรถไฟและบอกการเคลอนทสมบรณของรถไฟได อยางไรกตามหากผสงเกตนงอยในรถยนต B และทาการสงเกตการเคลอนทของรถไฟ A คาทผสงเกตสงเกตไดจะไมใชคาสมบรณ แตจะเปนคาการเคลอนทสมพทธทเทยบกบรถยนต B ในกรณนการเคลอนทสมบรณของรถไฟ A กยงสามารถหาได หากทราบการเคลอนทของผสงเกต ซงในทนคอรถยนต B Note ในความเปนจรงวตถใดๆ มการเคลอนท โลกกมการเคลอนทเชนกน ดงนนการเคลอนททสงเกตไดจงควรเปนการเคลอนทสมพทธทกๆ กรณ อยางไรกตามในปญหาทวๆ จะถอวาหากผสงเกตอยนงบนพนโลก การเคลอนททผสงเกตสงเกตไดจะเปนการเคลอนทสมบรณ หรอกลาวอกอยางหนงวา แกนพกดทตงใหหยดนงเทยบกบโลกจะถอเปนแกนทหยดนง

รปท 1 ตวอยางการสงเกตการเคลอนทของวตถจากผสงเกตทเคลอนท [1]


Fixed axes

Moving axes

Fixed axes

Moving axes

รปท 2 การเคลอนทแบบสมพทธ [1]

รปท 2 แสดงวธการพจารณาการเคลอนทโดยใชวธการการเคลอนทสมพทธ โดย วตถ A เปนวตถทตองการสงเกต ผสงเกต B เปนผสงเกตทเคลอนท ซงในทนจะพจารณาผสงเกตทเคลอนทแบบเลอนท (Translation) เทานน ไมรวมผสงเกตทเคลอนทแบบหมน (Rotation) ซงตองอาศยการพจารณาทแตกตางกนไป แกนพกด X-Y เปนแกนพกดทอยนงบนพนโลก สวนแกนพกด x-y เปนแกนพกดทเคลอนทไปพรอมกบผสงเกต B จากรปท 2 จะไดวาการเคลอนทของวตถ A เทยบกบแกนหยดนง X-Y จะเปนคาสมบรณ สวนการเคลอนทของวตถ A เมอสงเกตโดยผสงเกต B จะเปนคาสมพทธ ซงไมเทากบคาสมบรณ การเคลอนทของวตถ A เมอเทยบกบแกนหยดนงแสดงไดโดยเวคเตอร Ar

v การเคลอนทของผสงเกต B เมอเทยบกบแกนหยดนงแสดงไดโดยเวคเตอร Br

v สวนการเคลอนทของวตถ A เมอเทยบกบผสงเกต B (สงเกตโดยผสงเกต B) แสดงโดยเวคเตอร BAr /

v (A/B อกษรตวแรกแสดงวตถทสงเกต อกษรตวหลงแสดงผสงเกต) จากรปจะไดความสมพนธของเวคเตอรทง 3 ดงน

BABA rrr /vvv += (1)

เมอหาอนพนธของสมการ (1) เทยบกบเวลา จะไดความสมพนธแสดงความเรวและความเรงของวตถ A ดงน

BABA rrr /&v&v&v += หรอ BABA vvv /

vvv += (2)

BABA rrr /&&v&&v&&v += หรอ BABA aaa /

vvv += (3) โดย ความเรวและความเรงทหอยดวยตวอกษร A, B จะแสดงความเรวและความเรงสมบรณ (เทยบกบแกนหยดนง) สวนความเรวและความเรงทหอยดวยอกษร A/B จะแสดงความเรวและความเรงสมพทธ ของวตถ A เทยบกบผสงเกต B

เมอผสงเกต B ใชระบบพกดฉากในการบอกตาแหนงวตถ A จะสามารถเขยนเวคเตอร

BAr /v ซงแสดงตาแหนงของ A เมอเทยบกบผสงเกต B ไดดงน


jyixr BAˆˆ

/ +=v (4) โดย i , j คอเวคเตอรหนงหนวยในทศทางแกน x และ y ตามลาดบ x , y คอพกดของวตถ A เมอวดโดยแกน x-y เมอหาอนพนธของสมการ (4) เทยบกบเวลา จะไดความเรวและความเรงสมพทธดงน jyixrv BABA

ˆˆ// &&&vv +== (5)

jyixra BABAˆˆ

// &&&&&&vv +== (6) Note ผสงเกต B สามารถใชระบบพกดแบบอนๆ เชน พกดแบบ n-t หรอพกดแบบ r-θ เพอบอกตาแหนงของวตถ A ไดเชนเดยวกน ในกรณนสมการ (4)-(6) จะเปลยนไปตามระบบพกดทใช

Fixed axes

Moving axes

Fixed axes

Moving axes

รปท 3 การเคลอนทสมพทธ (ผสงเกตอยทจด A) [1]

รปท 3 แสดงการเคลอนทสมพทธเชนเดยวกบรปท 2 แตตางกนท ในกรณนผสงเกตอยทจด A และตงแกนพกด x-y โดยเคลอนทไปพรอมกบจด A สวนวตถทตองการสงเกตอยทจด B จากรปจะไดวา

ABAB rrr /vvv += (7)

ทานองเดยวกนจะได ABAB vvv /vvv += (8)

ABAB aaa /vvv += (9)

เมอเทยบสมการ (1) – (3) กบสมการ (7) – (9) จะไดวา ABBA rr //

vv −= (10) ABBA vv //

vv −= (11) ABBA aa //

vv −= (12)


นนคอ ถาเลอกวตถทสงเกต และผสงเกตกลบกน จะไดวาตาแหนงสมพทธ ความเรวสมพทธ และความเรงสมพทธ จะมคาเทากนแตเครองหมายตรงกนขาม ซงหมายถงมขนาดเทากนแตมทศทางตรงขามกนนนเอง เอกสารอางอง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics DYNAMICS fifth edition SI




2/8 Airplane A is flying north with a constant

horizontal velocity of 500 km/h. Airplane B is

flying south-west at the same altitude with a

velocity of 500 km/h. From the frame of

reference of A determine the magnitude vr of the

apparent or relative velocity of B. Also find the

magnitude of the apparent velocity vn with which

B appears to be moving sideways or normal to its

centerline. Would the results be different if the

two airplanes were flying at different but constant

altitudes? [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition,


km/h 500== BA vv

ตองการหาคา 1. vr ซงเปน v ของเครองบน B เมอเทยบกบผสงเกต A ซง กคอ vA/B นนเอง

2. vn หรอสวนประกอบของ vA/B ในทศทางตงฉากกบ vA

ABAB vvv /vvv +=

Ans

ในกรณนผสงเกตอยท A พจารณาความสมพนธ

ความสมพนธนสามารถเขยนเปนแผนภาพเวคเตอรไดดงน

km/h 500=Av

km/h 500=BvABv /

o45

o5.22

o5.22

จากรป และกฎของ cosine

o135cos)500)(500(2500500 222/ −+=BAv

o135cos2222/ BABABA vvvvv −+=

km/h 88.923/ =BAv

ABv /

o5.22

nv vn คอสวนประกอบของ vA/B ในทศทางตงฉากกบ vA

จากรปจะไดo5.22sin/ ABn vv =

km/h 55.3535.22sin88.923 == onv Ans



2/9 The aircraft A with radar detection equipment is flying horizontally at an

altitude of 12 km and is increasing its speed at the rate of 1.2 m/s each second.

Its radar locks onto an aircraft B flying in the same direction and in the same

vertical plane at an altitude of 18 km. If A has a speed of 1000 km/h at the

instant when θ = 30○, determine the values of and at this same instant

if B has a constant speed of 1500 km/h. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition,


2m/s 2.1 km/h, 1000 == AA av

r&& θ&&

constant km/h, 1500=Bvo30=θ

θ r

พจารณาสตร r-θ 2θ−= &&& rrar

θ+θ=θ&&&& rra 2

ตองการหา และ จาเปนตองร a ในทศทาง r-θ กอนสาหรบ และ นนเปนความเรงทสงเกตไดจากเครองบน A จงเปนความเรงสมพทธนนเอง

r&& θ&&

ra θa

พจารณาความเรว ABAB vvv /vvv += Bvv

Avv ABv /vABv /1001500 +=

km/h 500/ =ABv

พจารณาความเรง ABAB aaa /vvv +=

ABa /2.10 +=2

/ m/s 2.1−=ABa

Aav

ABa /v


จากรป km/h 0127.43330cos500 == orv

θ r

o30km 12=r km 6

km/h 500/ =ABv2/ m/s 2.1=ABa

θ r

o30km 12=r km 6

km/h 500/ =ABv2/ m/s 2.1=ABa

km/h 25030sin500 −=−=θov

rvr &= m/s 120.2813km/h 0127.433 ==r&

θ=θ&rv m/s -0.00579

120001

6.3250

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=θ&

2m/s 0392.130cos2.1 −=−= ora

2m/s 6.030sin2.1 ==θoa

2θ−= &&& rrar

θ+θ=θ&&&& rra 2

23 )00579.0)(1012(0392.1 −×−=− r&&

2m/s 6369.0−=r&&

)00579.0)(2813.120(2)1012(6.0 3 −+θ×= &&

24 rad/s 106607.1 −×=θ&&

Ans

Ans


แบบฝกหด หวขอ 2/8 1. A drop of water falls with no initial speed from point A of a highway overpass. After

dropping 6 m, it strikes the windshield at point B of a car which is traveling at a speed of 100 km/h on the horizontal road. If the windshield is inclined 50 from the vertical as shown, determine the angle θ relative to the normal n to the windshield at which the water drop strikes. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans θ = 28.7° below normal) 2. After starting from the position marked with the “x”, a football receiver B runs the

slant-in pattern shown, making a cut at P and thereafter running with a constant speed vb = 7 m/s in the direction shown. The quarterback releases the ball with a horizontal velocity of 30 m/s at the instant the receiver passes point P. Determine the angle a at which the quarterback must throw the ball, and the velocity of the ball relative to the receiver when the ball is caught. Neglect any vertical motion of the ball. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans α = 32.0°, vA/B = 21.9i + 21.9j m/s) 3. A batter hits the ball A with an initial velocity of v0 = 30 m/s directly toward fielder B

at an angle of 30° to the horizontal; the initial position of the ball is 0.9 m above ground level. Fielder B requires 0.25 s to judge where the ball should be caught and begins moving to that position with constant speed. Because of great experience, fielder B chooses his running speed so that he arrives at the “catch position” simultaneously with the ball. The catch position is the field location with the ball altitude 2.1 m. Determine the velocity of the ball relative to the fielder at the instant the catch is made. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans vA/B = 21.5i – 14.19j m/s)


Dynamics/ Chapter 3 Kinetics of Particles 3-1


บทท 3 จลนศาสตรของอนภาค

3/1 กฎการเคลอนทของนวตน จลนศาสตรเปนการศกษาผลของแรงทไมสมดลสงผลใหวตถเกดการเคลอนท ปญหา

ทางจลนศาสตรนนสามารถแกได 3 วธ ไดแก 1) การพจารณาความสมพนธของมวล-แรง-ความเรง 2) การใชวธงานและพลงงาน และ 3) การใชวธอมพลสและโมเมนตม ในทนจะกลาวถงเพยงวธแรกคอการใชความสมพนธของมวล-แรง-ความเรง ตามกฎขอท 2 ของนวตนเทานน กฎขอท 2 ของนวตนแสดงไดโดยสมการท (1)

∑ = amF vv (1)

โดย ∑Fv

คอแรงลพธทกระทากบวตถ มหนวยเปนนวตน N, m คอมวลของวตถ มหนวยเปน kg, และ av คอความเรงของวตถ มหนวยเปน m/s2 ปญหาจลนศาสตรสามารถแบงออกไดเปน 2 ประเภท

1. ปญหาทสามารถหาความเรงไดจากการพจารณาการเคลอนทของวตถ และนาความเรงทไดไปคานวณแรง

2. ปญหาททราบแรง โดยแรงจะเปนแรงคงทหรอเปนฟงกชนของตวแปรการเคลอนทอน กได และนาแรงทไดไปคานวณหาคาความเรง การวเคราะหการเคลอนทของวตถสามารถใชวธการทเรยนมาแลวในบทท 2 มา

คานวณหาการเคลอนททเกดขนได โดยการเคลอนทอาจเปนการเคลอนทในแนวเสนตรง หรอการเคลอนทแนวโคงกได เนองจากการวเคราะหในบทนจาเปนตองทราบแรงทงหมดทกระทากบวตถ ดงนนจงตองวาด Free body diagram กอนการวเคราะหเสมอ

3/2 จลนศาสตรกรณการเคลอนทในแนวเสนตรง ในกรณนจะสามารถเลอกตงแกนพกดใหตรงกบทศทางการเคลอนทได ดงนนสมการการเคลอนทจะเปนดงแสดงในสมการ (2) ทศทางอนซงไมมการเคลอนทจะอยในสภาวะสมดล

∑ = xx maF , ∑ = 0yF , ∑ = 0zF (2) อยางไรกตามอาจไมจาเปนทจะตองตงแกนพกดใหตรงกบทศทางการเคลอนทกได ในกรณนจะมแรงและความเรงทง 3 ทศทาง ดงแสดงในสมการ (3) ∑ = xx maF , ∑ = yy maF , ∑ = zz maF (3) แรงและความเรงลพธสามารถหาไดจากสมการ (4) และ (5) ดงน

kajaiaa zyxˆˆˆ ++=v , 222

zyx aaaa ++= (4)

kFjFiFF zyxˆˆˆ ++=

v, 222

zyx FFFF ++= (5)


3/3 จลนศาสตรกรณการเคลอนทในแนวโคง เนองจากเปนการเคลอนทแนวโคง วธการพจารณาจงใชระบบพกดตางๆ ตามทเรยนมาในบทท 2 ดงน 1. ระบบพกดฉาก ∑ = xx maF , ∑ = yy maF (6)

โดย xax &&= และ ya y &&= 2. พกด n-t ∑ = nn maF , ∑ = tt maF (7)

โดย ρ=βρ= /22 van& และ vat &=

3. พกด r-θ ∑ = rr maF , ∑ θθ = maF (8) โดย 2θ−= &&& rrar และ θ+θ=θ

&&&& rra 2

3/4 แนวทางการคานวณปญหาจลศาสตรของอนภาค ปญหาจลศาสตรสวนใหญมแนวทางการคานวณเปนลาดบขนดงตอไปน 1. เขยน FBD ของวตถทสนใจทกชน และเขยนแกนพกดทเหมาะสม 2. เขยนสมการการเคลอนท ∑ = maF โดยใชสมการความเรงทเหมาะสมกบระบบพกดท

เลอก 3. ในกรณปญหาททราบแรงทงหมดจากสมการในขนท 2 จะสามารถหาคาความเรงได และ

จากความเรงจะสามารถหาคา ความเรว และการขจดตอไปตามสมการการเคลอนททไดเรยนมาแลวในบทท 2

4. ในกรณททราบขอมลการเคลอนท เชนการขจด หรอความเรว จะสามารถหาความเรงในจดทตองการคานวณไดตามวธการทไดเรยนมาแลวในบทท 2 เมอไดความเรงจงนาไปหาแรงไดจากสมการในขนท 2

5. ในกรณทมวตถหลายชนแตถกบงคบใหเคลอนทสมพนธกน ตองหาความสมพนธของการเคลอนทของวตถใหไดกอน ใชความสมพนธนรวมกบสมการการเคลอนทในขนท 2 จะสามารถหาคาทตองการทราบ (แรง ความเรง ฯลฯ) ได

6. กรณมแรงเสยดทาน และมวตถทจะพจารณามากกวา 1 กอน ใหสมมตกอนวาวตถจะตดกนไป หรอวตถเกดการไถลไมตดกน 1) ถาวตถตดกนไป-วตถทกชนตองมความเรงเทากน และมแรงเสยดทานแตละพนผวนอยกวาแรงเสยดทานสถตทมากทสด 2) ถาวตถไมตดกน-วตถแตละชนจะมความเรงตางกน และแรงเสยดทานจะมคาเทากบแรงเสยดทานจลน




วธทา เนองจากมวล A และมวล B ไมไดตอกนแบบยดแนน เมอเคลอนทไปมวลทงสองกอนจงอาจเคลอนทดวยความเรงทไมเทากนได ดงนนจงตองหาความสมพนธของความเรงของมวลทงสองกอนเสยกอน

3/1 From the figure, neglect all friction

and the mass of the pulleys and

determine the accelerations of bodies A

and B upon release from rest . [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition,


AS

BS

AS

BS

พจารณาความสมพนธระหวางการเคลอนทของมวล A และมวล B จะพบวาการเคลอนทของมวล A และมวล B สามารถแทนไดดวยระยะ SA และ SB ซงวดจากจดศนยกลางของรอก ดงแสดงในรป จดทใชอางองในการวดระยะ ตองเปนจดทหยดนงไมเคลอนทเทานน

LSS BA =++ Constant32

เนองจากความยาวของเชอก L ตองมคาคงท ดงนน

032 =+ BA SS &&

032 =+ BA SS &&&& 032 =+ BA aa (1)

Aa

N

TT

81.930×

A

x

y

o20

Aa

N

TT

81.930×

A

x

y

o20

พจารณา FBD ของวตถ A

]0[ =∑ yF 020cos)81.9(30 =− oN

N 5515.276=N

][ xx maF =∑AaT 30220sin)81.9(30 =−o (2)


x

y

TT T

81.910×

Ba B

x

y

TT T

81.910×

Ba B

พจารณา FBD ของวตถ B

][ yy maF =∑BaT 103)81.9(10 =− (3)

ระบบสมการ (1)-(3) มตวแปร 3 ตวคอ Taa BA ,,

แกระบบสมการ (1)-(3) จะได

2m/s 024.1=Aa2m/s 6824.0−=Ba 2m/s 6824.0=∴ Ba

N 97.34=T

Ans

Note การตงแกน x-y และกาหนดทศทาง+ ของความเรง aA และ aB ตองสอดคลองกบการกาหนดทศทางบวกของ SA และ SB ไมเชนนนความสมพนธในสมการท (1) จะไมสอดคลองกบสมการท (2) และ (3)


วธทา จากรปเมอดงเชอกดวยแรก P จะทาใหเกดการเคลอนททเปนไปไดกรณใดกรณหนง ดงตอไปน

1. มวล A และ B ตดกน จงเคลอนทไปดวยกนดวยความเรงเทากน และเมอพจารณาถงแรงเสยดทานระหวาง A และ B จะพบวาแรงเสยดทานระหวางมวลทงสองกอนตองมคานอยกวาคาแรงเสยดทานสถตทมากทสด

2. มวล A และ B เกดการไถลไมตดกน กรณนความเรงของมวลกอน A และกอน B จะไมเทากน และขนาดแรงเสยดทานระหวางมวลทงสองกอนจะมคาเทากบแรงเสยดทานจลน

3/2 If the coefficients of static and kinetic friction between the 20-kg block A

and the 100-kg cart B are both essentially the same value of 0.5, determine

the acceleration of each part for (a) P = 60 N and (b) P = 40 N . [Engineering

Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.3/23]

[ ]xx maF =∑

สมมตใหมวลทงสองกอนตดกนไป ตามกรณท 1 คด FBD รวมทง 2 กอน

PP

N2

20(9.81)

100(9.81)

PP

N2

20(9.81)

100(9.81)

x

y

x

y

F

PP

20(9.81)

N1F

PP

20(9.81)

N1

N2

100(9.81)

N1F

N2

100(9.81)

N1F

FBD รวม 2 กอน

FBD แยกกอน

[ ]0=∑ yF 0)81.9(100)81.9(202 =−−N

N 2.11772 =N

ammP BA )(2 +=

(a) P = 60 N

a)10020()60(2 +=2m/s 1=a

ตรวจวาความเรงทไดมาเปนไปไดหรอไม โดยคานวณแยกทละกอน

[ ]0=∑ yF 0)81.9(201 =−N

N 2.1961 =N

มวล A

[ ]xx maF =∑ amFP A=−2

)1(20)60(2 =− F


N 100=F

ตรวจสอบกบคาแรงเสยดทานสถตสงสดทเปนไปได

N 1.98)2.196(5.01max ==μ= NF s

max N 100 FF >= เปนไปไมได แสดงวาออกแรง 60 N มวลทงสองตองเกดการไถล (ไมไดเคลอนทตดกนเปนชนเดยว) ดงนนไมสามารถคดรวมเปนกอนเดยวได เพราะความเรงแตละกอนไมเทากน

เนองจากมวลทงสองกอนเกดการไถล แรงเสยดทานระหวางมวลทงสองกอนจะมคาเทากบแรงเสยดทานจลน

N 1.98)2.196(5.01 ==μ= NF k

F

PP

20(9.81)

N1F

PP

20(9.81)

N1

N2

100(9.81)

N1F

N2

100(9.81)

N1F

FBD แยกกอนมวล A

[ ]xx maF =∑ AAamFP =−2

Aa201.98)60(2 =−

2m/s 095.1=Aa

มวล B

[ ]xx maF =∑ BBamF =

Ba1001.98 = 2m/s 981.0=Ba

[ ]0=∑ yF 0)81.9(10012 =−− NN

N 2.11772 =N

Ans

Ans

(a) P = 40 N

PP

N2

20(9.81)

100(9.81)

PP

N2

20(9.81)

100(9.81)

x

y

x

y

FBD รวม 2 กอน

สมมตใหมวลทงสองกอนตดกนไป คด FBD รวมทง 2 กอน

[ ]xx maF =∑ ammP BA )(2 +=

a)10020()40(2 +=

2m/s 6667.0=a

ตรวจวาความเรงทไดมาเปนไปไดหรอไม โดยคานวณแยกทละกอน (ความเรงแตละกอนตองเทากน และแรงเสยดทานระหวางกน ตองนอยกวาแรงเสยดทานสถตทมากทสด)มวล A


[ ]xx maF =∑ amFP A=−2

)6667.0(20)40(2 =− F

มวล A

max N 6667.66 FF <=

เนองจากคาแรงเสยดทานทคานวณมาได มคานอยกวาความแรงเสยดทานสถตทมากทสด ดงนนการสมมตถกตองแลว

มวล B

ตรวจสอบความเรงของมวล B

[ ]xx maF =∑ BBamF =

Ba1006667.66 = 2m/s6667.0=Ba

ความเรงรวม เทากบความเรงของมวล A และความเรงของมวล B จรงดงนน ความเรงในกรณน

2m/s6667.0== BA aa Ans


วธทา เขยน FBD ของกลองบนรถ

3/3 A flatbed truck going 100 km/h rounds

a horizontal curve of 300-m radius

inwardly banked at 10º. The coefficient of

static friction between the truck bed and the

200-kg crate it carries is 0.70. Calculate the

friction force F acting on the crate. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam &

Kraige, prob.3/69]

0=ta

m 300=ρ

n

t

vna

ta

m 300=ρ

n

t

n

t

vna

ta

mg

N

Fo10

na

mg

N

Fo10

na

z

n

z

n

รถวงดวยความเรวคงท

ความเรงเขาสศนยกลาง 222

m/s 300

16.3

100⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ρ=

van

0)81.9(20010sin10cos =−+ oo FN[ ]0=∑ zF

3001

6.310020010cos10sin

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=− oo FN[ ]nn maF =∑

(1)

(2)

แกสมการ (1) และ (2) ได N 518.2021=N

N 891.165−=F

N 891.165=F

Note สามารถตรวจสอบคาแรงเสยดทานสถตมากทสดไดจาก

N 06.1415)518.2021(7.0max ==μ= NF s

จะพบวาแรงเสยดทานทเกดขนมคานอยกวาแรงเสยดทานสถตทมากทสด จงไมเกดการไถล ดงนนความเรงของกลองจงเทากบความเรงของตวรถ

Ans


วธทา ในขอนกาหนดการเคลอนทของวตถเมอเรมเคลอนท (วตถอยท A) และใหหาแรงเมอวตถอยทตาแหนง x = 3 ขนตอนการทาจะคลายกบตวอยางกอนหนาคอตองใชสมการการเคลอนทหาความเรงทตาแหนงทตองการใหไดกอน เนองจากในขอนลกษณะเสนทางการเคลอนทเปนสมการคณตศาสตร จงสามารถใชสมการนหาความสมพนธของความเรว และความเรงโดยทาไดดงน

3/4 The 35-kg box has a speed of 2 m/s when it is at A on the smooth ramp. If

the surface is in the shape of a parabola, determine the normal force on the

box at the instant x = 3 m. Also, what is the rate of increase in its speed at this

instant. [Engineering Mechanics Dynamics 11th edition, R.C.Hibbeler, prob.13-77]

[ ]tt maF =∑

mg

N

nt

θ

mg

N

nt

θ

2

914 xy −=จาก

Diff. เทยบเวลา xxy &&92

−=

)(92

92

92 22 xxxxxxy &&&&&&&& +−=−−=Diff. เทยบเวลา

xy xvv92

−=

)(92 2

xxy xava +−=

และ xdxdy

92

−=

พจารณาทจด x = 3

32

92tan

3

−=−==θ=x

xdxdy

θ2

3

13

tmamg =θsin

2m/s 4416.5)132(81.9sin ==θ= gat Ans

[ ]nn maF =∑ nmaNmg =−θcos

(1)

(2)


ในขณะนทราบความสมพนธความเรง ax และ ay และคา at จะสามารถหาคา an ไดดงน

na

2m/s 4416.5=ta xa

ya

ความเรงทแสดงในรปเปนความเรงทตาแหนง x = 3 ทงค ความเรงทงสองจงตองมขนาดเทากน ในรปเพยงแตแสดงคาโดยพกดตางกนเทานน

θ

θ

จากรปจะได

ตงแกนตามแกน +ทโจทยกาหนด

tyx aaa =θ−θ sincos

nyx aaa =θ−θ− cossin

2m/s 4416.5132

133

=− yx aa (3)

nyx aaa =−−133

132 (4)

)(92 2

xxy xava +−=

จาก (1) จะพบวาหากทราบคาความเรวทจด x = 3 แลวจะสามารถหาความสมพนธของ ax และ ay ซงเมอนาไปแทนในสมการ (3) และ (4) จะสามารถหาคา an ได

(1)

หาความเรวจด x = 3 เนองจากระบบนไมมแรงเสยดทาน จงไมมการสญเสยพลงงาน

3== xA EE

22

21

21 mvmghmvA =+

22

21)34(81.92

21 v=−+ m/s 86.4=v

θ

m/s 86.4=v

xv

yvθ

m/s 86.4=v

xv

yvจากรปจะได m/s 0438.4

13386.4cos =⋅=θ= vvx

แทนคา vx ในสมการ (1) และแทนคา x = 3 จะได

)30438.4(92 2

xy aa +−= (5)

แกสมการ (3) และ (5) จะได 2m/s 8505.2=xa2m/s 5342.5−=ya


แทนคา ax และ ay ลงในสมการ (4) จะหา an ไดโดย

แทนคา an ลงในสมการ (2)

2m/s 0235.3=na

)0235.3(35133)81.9(35 =−⋅ N

N 86.179=N Ans

หมายเหต ขอนสามารถหาคา an ไดอกวธ โดยการหารศมความโคงของเสนทางการเคลอนทดงน

รศมความโคงของเสนโคงหาจาก

2

2

2/32

1

dxyd

dxdy

xy⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=ρ

2

914 xy −=

xdxdy

92

−=

สมการเสนโคง

92

2

2

−=dx

yd

ท x = 3

323

92

−=⋅−=dxdy

92

2

2

−=dx

yd

แทนคาในสมการหารศมความโคง

812.7

92321

2/32

=−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

=ρxy

หา an จาก2

22

m/s 0235.3812.786.4

==ρ

=van

จะพบวา an มคาเทากบการหาจากวธแรก


วธทา ในขอนกาหนดการเคลอนทของวตถทสภาวะเรมตนเคลอนท (วตถอยท x = 0.15, y = 0) และใหหาแรงทสภาวะกอนวตถ A จะหลดออกจากทอ (x = 1)เพอหาแรงทสภาวะกอนออกจากทอ จงตองทราบความเรงกอนออกจากทอกอน โดยความเรงกอนออกจากทอหาไดโดยสมการการเคลอนท โดยใชขอมลจากการเคลอนททโจทยกาหนดให ขนตอนการทาแสดงดงแผนภาพดงน

3/5 A small 180-g slider A moves without appreciable friction in the hollow

tube, which rotates in a horizontal plane with a constant speed Ω = 7 rad/s.

The slider is launched with an initial speed = 20 m/s relative to the tube

at the inertial coordinate x = 150 mm and y = 0. Determine the magnitude P

of the horizontal force exerted on the slider by the tube just before the slider

exits the tube. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.3/83]

0r&

maF =∑

ตาแหนงท 2 (x = 1)ตาแหนงท 1

(x = 0.15, y = 0)

Ω

0r&θa

θF

สมการการเคลอนท maF =∑ maF =∑

ตาแหนงท 2 (x = 1)ตาแหนงท 1

(x = 0.15, y = 0)

Ω

0r&θa

θF

สมการการเคลอนท


)(0 2Ω−= rrm &&[ ]rr maF =∑(1)

Ans

r

θz

r

θz

PN

mg

PN

mgFBD

22 Ω−=θ−= rrrrar &&&&&

Ω=θ+θ=θ rrra &&&&& 22

เนองจากจาเปนตองหาคา aθ ทตาแหนงกอนวตถออกจากทอ ดงนนจงพจารณาสมการความเรงในทศทาง r-θ กอน

const.) ( =Ω=θ&

จากสมการจะไดวา ถาทราบคา ทตาแหนงกอนวตถถกปลอยจากทอจะสามารถหาคา aθ ได

r&

2Ω= rr&&

จากกฏลกโซจะไดdr

rdrdtdr

drrd

dtrdr

&&

&&&& ⋅=⋅==

แทนความสมพนธนลงในสมการ (1)

2Ω=⋅= rdr

rdrr&

&&& drrrdr 2Ω=&&

drrrdrr

∫∫ Ω=1

15.0

2

20

&&&

จากความสมพนธนจะสามารถหาคา ทตาแหนงกอนวตถออกจากทอไดr&

1

15.0

22

20

2

22rr

r

Ω=&

&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

215.0

217

220

2

222

22r&

m/s 1636.21=r&

)7)(1636.21(22 =Ω=θ ra &จะได

N 3.53)7)(1636.21)(2(18.0 === θmaP[ ]θθ =∑ maF


ขอสงเกต 1. ในขอนแมจะไมมแรงกระทาในแนว r และ ar = 0 แตกยงมคา ซงแสดงวาผสงเกตทหมนไปกบทอจะมองเหนวตถเคลอนทออกจากทอดวยความเรง

2. สมการ เทยบไดกบสมการ drrrdr &&&& =

r&&

r&&

adsvdv =


วธทา

3/6 The 5-N (≈0.5-kg) particle is guided along

the circular path using the slotted arm guide. If

the arm has an angular velocity = 4 rad/s and

an angular acceleration = 8 rad/s2 at the instant

θ = 30º, determine the force of the guide on the

particle. Motion occurs in the horizontal plane.[Engineering Mechanics Dynamics 11th edition, R.C.Hibbeler,

prob.13-90]

rad/s 4=θ&คาตางๆ ทโจทยกาหนดมดงน

θ&

θ&&

2rad/s 8=θ&&

o30=θFBD

N F

rθ

5.0o30

o30rN F

rθ

5.0o30

o30r

5.0θ

θr5.0

5.0θ

θr5.0

)(81.9530cos 2θ−= &&&o rrN[ ]rr maF =∑ (1)

)2(81.9530sin θ+θ=+ &&&&o rrFN[ ]θθ =∑ maF

(2)

จากสมการ (1) และ (2) ตองหาคา ใหไดเสยกอน จงจะหาแรง N และ แรง F ได

rr &&&,

จากรปจะได

θ=θ= coscos)5.0(2r

θθ−= && )sin(r

θθ−θθ−= &&&&& )(sin)cos( 2r

ท θ = 30º

866.030cos == or

24)30sin( −=−=r&

8564.178)30(sin4)30cos( 2 −=−−=r&&

แทนในสมการ (1) และ (2)

))16(866.08564.17(81.9530cos −−=oN N 6638.18−=N

N 6638.18=N

))4)(2(2)8(866.0(81.9530sin)6638.18( −+=+− Fo

N 708.4=F Ans


แบบฝกหด 1. In a test of resistance to motion in an oil bath, a small steel ball of mass m is

released from rest at the surface (y = 0). If the resistance to motion is given by R = kv where k is a constant, derive an expression for depth h required for the ball to reach a velocity v. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans k

mvmgkvk

gmh −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=)/(1

1ln2

2

)

2. The sliders A and B are connected by a light rigid bar of length l = 0.5 m and move with negligible friction in the horizontal slots shown. For the position where xA = 0.4 m, the velocity of A is vA = 0.9 m/s to the right. Determine the acceleration of each slider and the force in the bar at this instant. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition,

Meriam & Kraige] (Ans aA = 1.364 m/s2 right

aB = 9.32 m/s2 down T = 46.6 N)

รปประกอบแบบฝกหดขอ 1 รปประกอบแบบฝกหดขอ 2 3. The small object of mass m is placed on the rotating conical surface at the radius

shown. If the coefficient of static friction between the object and the rotating surface is 0.8, calculate the maximum angular velocity ω of the cone about the vertical axis for which the object will not slip. Assume very gradual angular velocity changes. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans ω = 2.73 rad/s) 4. Beginning from rest when θ = 20°, a 35-kg child slides with negligible friction down

the sliding board which is in the shape of a 2.5-m circular arc. Determine the tangential acceleration and speed of the child, and the normal force exerted on her

(a) when θ = 30° and (b) when θ = 90°. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam

& Kraige]


(Ans (a) at = 8.50 m/s2, v = 2.78 m/s N = 280 N

(b) at = 0 m/s2, v = 5.68 m/s N = 795 N)

รปประกอบแบบฝกหดขอ 3 รปประกอบแบบฝกหดขอ 4 5. The spring-mounted 0.8-kg collar A oscillates along the horizontal rod, which is

rotating at the constant angular rate θ& = 6 rad/s. At a certain instant, r is increasing at the rate of 800 mm/s. If the coefficient of kinetic friction between the collar and the rod is 0.40, calculate the friction force F exerted by the rod on the collar at this instant. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans F = 4.39 N) 6. The small pendulum of mass m is suspended from a trolley which runs on a

horizontal rail. The trolley and pendulum are initially at rest with θ = 0. If the trolley is given a constant acceleration a = g, determine the maximum angle θmax through which the pendulum swings. Also find the tension T in the cord in terms of θ. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans )2cos3sin3(,2/max −θ+θ=π=θ mgT )

Dynamics/ Chapter 5 Kinematics of Rigid bodies 5-1


บทท 5 การเคลอนทของวตถแขงเกรง

5/1 บทนา ในบทท 2 เราไดศกษาถงการเคลอนทของอนภาค และไดทราบถงระบบพกด และ

สมการทใชวเคราะหการเคลอนทแตละรปแบบมาแลว สาหรบการเคลอนทของอนภาค หรอวตถอนใดทถกพจารณาเปนอนภาค การเคลอนทของตาแหนงใดตาแหนงหนงของอนภาคกเพยงพอทจะบอกการเคลอนทของอนภาคทงกอน สาหรบในบทนวตถทเราพจารณาจะมขนาดใหญขนเทยบกบเสนทางการเคลอนท ในกรณนการเคลอนทของจดแตละจดในวตถอาจจะไมเทากน เนองจากเกดการหมนของวตถขน ดงนนในการศกษาการเคลอนทของวตถแขงเกรงจงจาเปนทจะตองพจารณาการเคลอนททงแบบเชงเสน และแบบเชงมม การศกษาในบทนสามารถนาไปใชวเคราะหการทางานของชนสวนกลตางๆ เชน เฟอง ลกเบยว หรอกลไกขอตอตางๆ และเปนพนฐานสาคญของการศกษาจลศาสตรของวตถแขงเกรง ซงจะพจารณาผลของแรงและการเคลอนทของวตถแขงเกรงตอไป วตถแขงเกรง วตถแขงเกรงคอวตถทระยะหางระหวาง 2 จดใดๆ ในวตถมคาคงทเสมอ นนคอ วตถแขงเกรงคอวตถทไมมการเสยรปเมอมแรงมากระทานนเอง แตในความเปนจรงวตถทกชนดจะตองมการเสยรปเสมอเมอมแรงมากระทา หากการเสยรปนนมคานอยมากเมอเทยบกบการเคลอนทอนของวตถ เราอาจจะสมมตใหวตถนนเปนวตถแขงเกรงได การเคลอนทในระนาบ การเคลอนทในระนาบเกดขนเมอทกๆ สวนของวตถเคลอนทในระนาบทขนานกน หรออาจกลาววาปญหาการเคลอนทในระนาบ เปนการเคลอนทในสองมตนนเอง การเคลอนทในระนาบสามารถแบงออกไดเปน 3 รปแบบดงแสดงในรปท 1 1. การเคลอนทแบบเลอนท (Translation) การเคลอนทแบบเลอนท เปนการเคลอนทซงทกๆ เสนใดๆ ในวตถ จะเคลอนทขนานกบตาแหนงเรมแรกของเสนนนเสมอ การเคลอนทแบบเลอนทจงเปนการเคลอนททไมมการหมน ตวอยางการเคลอนทแบบเลอนทในแนวเสนตรง (Rectilinear translation) แสดงดงรปท 1(a) สวนการเคลอนทแบบเลอนทในแนวเสนโคง (Curvilinear translation) แสดงดงรปท 1(b) ตวอยางดานขวามอในรปท 1(b) แสดงการเคลอนทของแผนกระดานทถกหอยดวยขอตอขนานกน 2 ขอ ซงการเคลอนทของแผนกระดานจดเปนการเคลอนทแบบเลอนทในแนวโคง เนองจากทกๆ เสนบนแผนกระดาน (เชนเสนขอบทงสองขาง) วางตวขนานกบเสนตอนเรมเคลอนท


ตลอดเวลาท เนองจากการเคลอนทของจดใดๆ ในวตถทเคลอนทแบบเลอนทจะเหมอนกน ดงนนการจงสามารถพจารณาการเคลอนทของวตถในกรณน เปนการเคลอนทของอนภาคได 2. การเคลอนทแบบหมนรอบจดยด (Fixed-axis rotation) การหมนรอบจดยดแสดงดงรปท 1(c) จะพบวาจดใดๆ ในวตถจะเคลอนทเปนวงกลมรอบแกนหมน และหมนดวยมมทเทาๆ กนทเวลาเดยวกน

รปท 1 การเคลอนทในระนาบ [1]

+

Translation Rotation General plane motion

+

Translation Rotation General plane motion

รปท 2 การเคลอนทในระนาบแบบทวไป [1]


ReferenceReference รปท 3 การหมนของวตถแขงเกรง [1]

3. การเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ (General plane motion) การเคลอนทแบบนเปนการเคลอนททผสมกนระหวางการเลอนทและการหมน ดงแสดงในรปท 1(d) และรปท 2 ซงการเคลอนทของวตถสามารถแบงเปนการเคลอนทแบบเลอนทในชวงแรก และคอยเคลอนทแบบหมนในชวงตอมา ตวอยางดานขวามอ ในรปท 1(d) แสดงการเคลอนทกลไกลกสบ โดยการเคลอนทของขอตอสฟาเปนการเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ สาหรบขอเหวยงจะเปนการเคลอนทแบบหมน สวนกระบอกสบจะเปนการเคลอนทแบบเลอนท

5/2 การหมน พจารณาการหมนของวตถแขงเกรงแสดงดงรปท 3 การเคลอนทของเสน 1 และเสน 2 วดจากจดอางองแสดงดวยมม θ1 และ θ2 ตามลาดบ โดยเสนทงสองเสนวางตวทามมกน β ความสมพนธของมม θ1 และ θ2 เปนดงน β+θ=θ 12 (1) เนองจากเปนวตถแขงเกรงไมมการเสยรป มม β จงมคาคงทตลอด จากสมการ (1) จะได

12 θΔ=θΔ , 12 θ=θ && , 12 θ=θ &&&& (2) ซงหมายความวาเสนใดๆ ในวตถแขงเกรงจะหมนดวยการขจดเชงมม ความเรวเชงมม

และความเรงเชงมมเทากน เมอกาหนดใหวตถหมนโดยมการขจดเชงมมเปน θ จะสามารถหาความเรวเชงมมและความเรงเชงมมไดจาก

ความเรวเชงมม θ=θ

=ω &dtd (3)

ความเรงเชงมม θ=θ

=ω=ω

=α &&&2

2

dtd

dtd (4)

ความสมพนธอนๆ สามารถหาไดทานองเดยวกบการเคลอนทแบบเลอนทดงน adsvdv = ⇒ θα=ωω dd หรอ θθ=θθ dd &&&& (5) ขอสงเกต รปแบบสมการท (3) (4) และ (5) เปนเชนเดยวกบการเคลอนทแบบเลอนท เพยงแตเปลยน x เปน θ, v เปน ω และเปลยน a เปน α


การหมนรอบจดยด การหมนรอบจดยดแสดงดงรปท 4 การพจารณาสามารถทาไดโดยใชพกดแบบ n-t โดยแกน n ตงใหทศทางบวกชเขาสจดศนยกลางสวนโคง ซงในทนคอจดทยดแนน สวนแกน t ตงใหมทศทางบวก ตามทศทางการหมน โดยใชสมการในระบบพกด n-t ทไดศกษามาแลวในบทท 2 จะสามารถหาความเรว และความเรงไดดงน

รปท 4 การหมนรอบจดยด [1]

ความเรวจด A rv ω= (6)

ความเรงในแนว n ω==ω= vr

vran

22 (7)

ความเรงในแนว t α= rat (8) การพจารณาในแบบเวคเตอร

รปท 5 การพจารณาความเรวและความเรงของการหมนแบบเวคเตอร [1]

ความเรวเชงมม ωv เปนปรมาณเวคเตอร หาทศทางไดจากกฎมอขวา โดยวางมอใหนวทง 4 วนตามทศทางการหมน จะไดวาทศทางของ ωv จะเปนทศทางตามการชของนวโปง ใน


รปท 5(ซาย) แสดงทศทางการหมนทวนเขมนาฬกา ดงนน ωv จงมทศพงขนดานบน ความเรวเชงเสน vv ทจด A สามารถหาไดดงน

rrv vv&vv ×ω== (9) สาหรบความเรงสามารถหาไดโดยหาอนพนธของความเรวในสมการ (9) ดงน

( ) rrdt

rdva v&v&vvvv

&vv ×ω+×ω=×ω

==

rra v&vvvvv ×ω+×ω×ω= )( rva vvvvv ×α+×ω= (10) เมอพจารณาทศทางของความเรงจากรปท 5(ขวา) จะไดวา

)( rvanvvvvvv ×ω×ω=×ω= (11)

ratvvv ×α= (12)




วธทา โจทยกาหนดความเรว ความเรงทจดตางๆ ดงน

5/1 The belt-driven pulley and attached disk are rotating with increasing

angular velocity. At a certain instant the speed v of the belt is 1.5 m/s, and the

total acceleration of point A is 75 m/s2. For this instant determine (a) the

angular acceleration α of the pulley and disk, (b) the total acceleration of

point B, and (c) the acceleration of point C on the belt. [Engineering Mechanics

Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/15]

m/s 5.1=Cv

Ans

2m/s 75=Aa

ความเรว vC ของสายพานทจด C มคาเทากบความเรวของสายพานทสมผสกบพลเลยและความเรวของพลเลยทจดสมผสนน จากความเรวของพลเลยจะหาความเรวรอบหมนของพลเลยได

[ ]rv ω= )2/15.0(5.1 ω= rad/s 20=ω

พจารณาความเรงทจด A222 m/s 60)15.0(20 ==ω= An ra

22222 m/s 456075 =−=−= nt aaa

[ ]ran2ω=

[ ]22tn aaa +=

[ ]rat α= 2rad/s 30015.0

45===α

rat

เนองจากพลเลยถอเปนวตถแขงเกรง ดงนนความเรวเชงมมของพลเลยทตาแหนงใดๆ ตองมคาเทากน และเทากบ 20 rad/s

ทานองเดยวกบความเรวเชงมม ความเรงเชงมมของพลเลยทตาแหนงใดๆ ตองมคาเทากนเชนกน และมคาเทากบ 300 rad/s2


พจารณาความเรงทจด B

Ans

[ ]rat α= 2m/s 5.22)2/15.0(300 ==ta22 m/s 60)2/15.0(20 ==na[ ]ran

2ω=

[ ]22tn aaa += 222 m/s 5.37305.22 =+=Ba

พจารณาความเรงทจด C

จด C เปนจดบนสายพานซงเคลอนทแบบเลอนท ดงนนความเรงจงอยในทศทางของการเคลอนทเทานน ความเรงนตองมคาเทากบความเรงในแนวสมผส at ทจด B เพราะถาความเรงในแนวสมผสท 2 จดบนสายพานไมเทากนแลว เมอเวลาผานไปจะทาใหความเรวทง 2 จดนนไมเทากน สายพานจะหยอน หรอขาดได ดวยเหตผลน

2m/s 5.22)( == BtC aa Ans


วธทา ในโจทยขอนบอกขอมลของเฟอง A และใหหาขอมลของเฟอง B ดงนนจงจาเปนจะตองทราบความสมพนธของการเคลอนทของเฟอง A กบเฟอง B เสยกอน

5/2 The design characteristics of a gear-reduction unit are under review. Gear

B is rotating clockwise with a speed of 300 rev/min when a torque is applied

to gear A at time t = 2 s to give gear A a counterclockwise acceleration α

which varies with the time for a duration of 4 seconds as shown. Determine

the speed NB of gear B when t = 6 s. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition,


Ans

เฟองขบกน ตาแหนงทเฟองขบกนตองมความเรวเทากน

BA vv =Av BvAv Bv

BBAA rr ω=ω

)2( bb BA ω=ω BA ω=ω 2

เมอเฟอง B หมนดวยอตราเรวเชงมม 300 rev/min เฟอง A จงหมนดวยอตราเรวเชงมม 600 rev/min rad/s 20)

602(600 π=

π=

พจารณาเฟอง A

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

=αdtd

∫∫ α=ωω

π

6

220

dtdA

= พนทใตกราฟ a-t ในชวง 2-6 วนาท

)84)(4(2120 +=π−ωA

2420 +π=ωA

rad/s 4159.4312102

=+π=ω

=ω AB rev/min 59.414=ωB


แบบฝกหดหวขอ 5/2 1. The two V-belt pulleys form an integral unit and rotate about the fixed axis at O. At

a certain instant, point A on the belt of the smaller pulley has a velocity vA = 1.5 m/s, and point B on the belt of the larger pulley has an acceleration aB = 45 m/s2 as shown. For this instant determine the magnitude of the acceleration aC of point C and sketch the vector in your solution. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam &

Kraige] (Ans aC = 149.6 m/s2)

2. A clockwise variable torque is applied to a flywheel at time t = 0 causing its clockwise angular acceleration to decrease linearly with angular displacement θ during 20 revolutions of the wheel as shown. If the clockwise speed of the flywheel was 300 rev/min at t = 0, determine its speed N after turning the 20 revolutions. (Suggestion: Use units of revolution instead of radians.) [Engineering Mechanics DYNAMICS

5th edition, Meriam & Kraige] (Ans ω = 512.64 rev/min)



5/3 Absolute Motion วธการ Absolute Motion เปนวธการหาคาการขจด ความเรวและความเรง ของจด หรอชนสวนโดยอาศยการสรางความสมพนธของการเคลอนท และการหาอนพนธของความสมพนธนนเทยบกบเวลา พจารณาตวอยางดานลาง ตวอยางการคานวณ Absolute Motion หากกาหนดใหชนสวน OA ในกลไกทแสดงในรปท 6 มความเรวเชงมมคงท ω ใหคานวณหาความเรวและความเรงของหมน B

xxx

รปท 6 การเคลอนทของหมด B ในสลอต [1]

เนองจากตองการหาความเรวเชงเสนของหมด B โดยทราบความเรวเชงมมของชนสวน OA ดงนนจงตองหาความพนธระหวางมม θ และระยะ x จากรปจะไดความสมพนธดงน

θ= tanbx หาอนพนธเทยบกบเวลา θω=θθ== 22 secsec bbxvB

&& Ans θθθ+θθ== tansec2sec 222 &&&&& bbxaB

0=θ&& เนองจากชนสวนเคลอนทดวยความเรวเชงมมคงท ดงนน θθω=θθθ= tansec2tansec2 2222 bbaB

& Ans เอกสารอางอง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics DYNAMICS fifth edition SI



วธทา รปโจทยแสดงการกลงของลอโดยไมไถล เรมแรกจดศนยกลางลออยทจด O และลอสมผสพนทจด C เมอลอหมนไป จดศนยกลางจะเคลอนไปทตาแหนง และจดสมผสพนเปลยนไปเปนจด A สวนจดสมผสเดม C เคลอนทไปทตาแหนง โดยลอหมนไปได θ

5/3 A wheel of radius r rolls on a flat surface without slipping. Determine the

angular motion of the wheel in terms of the linear motion of its center O. Also

determine the acceleration of a point on the rim of the wheel as the point

come into contact with the surface on which the wheel rolls. [Engineering

Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, sample prob.5/4]

Ansθ=′= rACs )(arc

O′

C′

เมอพจารณาระยะการเคลอนท จะพบวาระยะทจดศนยกลางเคลอนทมคาเทากบ s ซงจะเทากบระยะจากจด C ไปยงจด A ดวย ซงถาลอกลงโดยไมไถลจะไดวาระยะจากจด C ไปยงจด A จะเทากบระยะจากจด ไปยงจด A ซงเปนความยาวสวนโคง ซงมมมทจดศนยกลางเทากบมมทลอหมนไปได θ

ดงนน

C′

หาความเรวและความเรงทจดศนยกลางไดดงน

ω=θ== rrsvO&&

α=θ== rrsaO&&&&

Ans

โดย ω และ α เปนความเรวและความเรงเชงมมของการหมนของลอพจารณาความเรวและความเรงของจด C ทอยขอบของลอ

ตงแกนพกด x-y โดยใหจด C เปนจดกาเนดดงแสดงในรป การเคลอนทของจด C แสดงโดยแนวเสนประสสม ขนาดการเคลอนทในทศทาง x และ y ของจด C แสดงดงสมการไดดงน


Ans

)sin(sin θ−θ=θ−= rrsx

ทตาแหนงสมผสพน θ = 0

)cos1(cos θ−=θ−= rrry

)cos1()cos1( θ−=θ−θ= Ovrx && θ=θθ= sinsin Ovry &&

θθ+θ−= sin)cos1( &&&& OO vvx

θω+θ−= sin)cos1( 2raO

θθ+θ= cossin &&&& OO vvy

θω+θ= cossin 2raO

0=x& 0=y&

0=x&& 2ω= ry&&

Note1. ผลในขอน จะนาไปใชตอไปในการพจารณาความเรวและความเรงของกลไกท

ซบซอนยงขน2. ผลในขอนอยในเงอนไขทวา ลอกลงโดยไมไถล ถามการไถลเกดขนความเรว

และความเรงจะไมเปนไปตามน3. ทจดสมผสพน จะมความเรวในขณะนนเทากบศนย ทานองเดยวกบปญหาใน

ขอน จด C ในรปตางๆ ตอไปน จะมคาเปนศนย เนองจากเปนจดทสมผสกบชนสวนทหยดนง (ลอกลงโดยไมไถล)


วธทา โจทยกาหนด ωA และ αA มาให ทาใหความความเรวและความเรง (ในแนวสมผส) ทจด A ไดดงน

5/4 The cable from drum A turns the double wheel B, which rolls on its hubs

without slipping. Determine the angular velocity ω and angular acceleration α

of drum C for the instant when the angular velocity and angular acceleration of

A are 4 rad/s and 3 rad/s2, respectively, both in the counterclockwise direction. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/40]

m/s 8.0)2.0(4 ==ω= AAA rv ทศทาง2m/s 6.0)2.0(3)( ==α= AAtA ra ทศทาง

ความเรวและความเรง (ในแนวสมผส) ทจด A จะตองเทากบความเรวและความเรง (ในแนวสมผส)ของเคเบลทสมผสกบลอ B (จด C) ถาไมเทากนเคเบลอาจจะหยอนหรอขาดได

จดททราบความเรวและความเรงอกจดหนงไดแกจด D ซงเปนจดทลอ B สมผสกบพน เนองจากเปนการกลงโดยไมไถล ความเรวและความเรง (ในแนวสมผส) ทจดนจงเปนศนย ในขณะน จงเปรยบเสมอนวาเสนตรง EDOC กาลงหมนรอบจด D อย ดงนนจะหาความสมพนธของการเคลอนททจด D และจด E ไดดงน

ความเรว

v = 0.8 m/sC

O

D

E

ความเรง

at = 0.6 m/s2C

O

D

E


v = 0.8 m/sC

O

D

E


v = 0.8 m/sC

O

D

E


at = 0.6 m/s2C

O

D

E


at = 0.6 m/s2C

O

D

E

C

O

D

E

θ⋅= dDCdsC

θ⋅= dDEdsE

BC DCv ω⋅=

BE DEv ω⋅=

BtC DCa α⋅=)(

BtE DEa α⋅=)(


3/4)3.05.0( ⋅−=Ev

หาคา ωB และ αB ของลอ B

BC DCv ω⋅= Bω⋅= 6.08.0 rad/s 3/4=ωB

BtC DCa α⋅=)( Bα⋅= 6.06.0 2rad/s 1=αB

หาคา vE และ aE ของจด E

BE DEv ω⋅= m/s 2667.0=Ev

BtE DEa α⋅=)( 1)3.05.0()( ⋅−=tEa 2m/s 2.0)( =tEa

คา vE และ aE ของจด E จะเทากบความเรวและความเรงของจดทเคเบลสมผสกบลอ C ดงนนจะหาคา ω และ α ของลอ C ไดดงน

CCE rv ω=

CCtE ra α=)(

)2.0(2667.0 Cω= rad/s 333.1=ωC

)2.0(2.0 Cα= 2rad/s 1=αC

Ans


วธทา พจารณาสามเหลยม O1O2P ดงแสดงในรปดานลาง

5/5 The Geneva wheel is a mechanism for producing intermittent rotation. Pin

P in the integral unit of wheel A and locking plate B engages the radial slots

in wheel C thus turning wheel C one-fourth of a revolution for each

revolution of the pin. At the engagement position shown, θ = 45º. For a

constant clockwise angular velocity ω1 = 2 rad/s of wheel A, determine the

corresponding counterclockwise angular velocity ω2 of wheel C for θ = 20º.

(Note that the motion during engagement is governed by the geometry of

triangle O1O2P with changing θ.) [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam &

Kraige, prob.5/53]

))(sin(200

sin2200

β+θ−π=

β

1O 2Oθ β

1ωP )( β+θ−π

200

2200

1O 2Oθ β

1ωP )( β+θ−π

200

2200

จากกฎของ sine

β=β+θ−π sin2))(sin(

β=β+θ sin2)sin(

หาอนพนธเทยบกบเวลา ββ=β+θβ+θ cos2)cos()( &&&

))cos(cos2()cos( β+θ−ββ=β+θθ && (1)

ท θ = 20º

จากกฎของ cosine

o20cos)200(2

20022002

200)( 22

22 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=PO


Ans

จากกฎของ sine

7222.822 =PO

o20sin7222.82

sin2200

=β

5847.0sin =β o7829.35=β

แทนคา θ, β, ในสมการ (1)θ&

[ ])7829.3520cos(7829.35cos2)7829.3520cos()2( ooooo & +−β=+

rad/s 9227.12 =ω=β&


แบบฝกหดหวขอ 5/3 1. Link OA has an angular velocity ωOA = 8 rad/s as it passes the position shown.

Determine the corresponding angular velocity ωCB of the slotted link CB. Solve by considering the relation between the infinitesimal displacements involved. [Engineering

Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige] (Ans ωCB = 6.30 rad/s)

2. For the instant when y = 200 mm, the piston rod of the hydraulic cylinder C imparts a vertical motion to the pin A of y& = 400 mm/s and y&& = -100 mm/s2. For this instant determine the angular velocity ω and the angular acceleration α of link AB. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans ω = 1.155 rad/s CCW α = 0.481 rad/s2 CCW)




บทท 5 การเคลอนทของวตถแขงเกรง (สวนท 2)

5/4 ความเรวสมพทธ ตามทไดกลาวมาในหวขอท 5/1 แลววาการเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ (General

plane motion) เปนการเคลอนททผสมกนระหวางการเลอนทและการหมน ในหวขอนจะกลาวถงการใชวธการการเคลอนทสมพทธเพอหาความเรวของตาแหนงใดๆ ในวตถแขงเกรงทเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ พนฐานของการพจารณาโดยใชการเคลอนทสมพทธ จะเปนการแยกการเคลอนทออกเปนสองสวน คอการเคลอนทสวนของผสงเกตซงเปนการเคลอนทแบบเลอนท และการเคลอนทของจดทถกสงเกตซงจะเปนการเคลอนทแบบหมนรอบผสงเกต เนอหาในหวขอนเปนพนฐานสาคญในการพจารณาหาความเรงทตาแหนงตางๆ ในวตถแขงเกรงซงจะกลาวถงในหวขอตอๆ ไป

พจารณาการเคลอนทของวตถในรปท 1(a) ผสงเกตซงอยบนแกนหยดนง (X-Y) จะมองเหนวตถเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ หากพจารณาการเคลอนทของเสน BA ซงเปนเสนตรงเสนหนงบนวตถแขงเกรง จะพบวาการเคลอนทแบงไดเปนสองขนตอน ขนตอนแรกจะเปนการเคลอนทจากจด BA ไปยงจด AB ′′′ โดยการเคลอนทในสวนนจะเปนการเลอนท ขนตอนท 2 จะเปนการเคลอนทจากจด AB ′′′ ไปยงจด AB ′′ ซงเปนการหมนรอบจด B′

หากผสงเกตอยทจด B ในชวงการเคลอนทจากจด BA ไปยงจด AB ′′′ ผสงเกตท B จะไมพบวาจด A เคลอนทสมพทธเทยบกบจด B หรอกลาวอกอยางหนงวา ผสงเกตท B จะเหนจด A หยดนงนนเอง แตในชวงการเคลอนทจากจด AB ′′′ ไปยงจด AB ′′ ผสงเกตทจด B จะเหนจด A หมนรอบจด B

rθ

rθ

รปท 1 การเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ [1]


การพจารณาการเคลอนทของจด A โดยผสงเกตทจด B อาจจะพจารณาไดโดยใชระบบพกดแบบ r-θ โดยตงแกนพกดดงแสดงในรปท 1(a) เนองจากเสน AB เปนเสนตรงบนวตถแขงเกรง ดงนนความยาว r ระหวางจด A ไปยงจด B จะมคาคงทเสมอ ความเรวในทศทาง r หรอ r& จงมคาเปนศนย ดงนนความเรวของจด A ทปรากฏกบผสงเกตทจด B จะมความเรวในทศทาง θ เพยงอยางเดยว หรออาจไมมความเรวเลย นนคอผสงเกตท B จะเหนจด A ไมเคลอนท ( 0;0 == θvvr ) หรอเคลอนทเปนวงกลมรอบจด B ( 0;0 ≠= θvvr ) เพยงสองกรณเทานน การเคลอนทในรป 1(a) หากผสงเกตอยทจด B จะเหนจด A เคลอนทเปนวงกลมรอบตวมนดงแสดงในรปท 1(b) ในทางกลบกนถาใหผสงเกตอยทจด A และสงเกตการณเคลอนทของจด B ดงแสดงในรปท 1(c) ผสงเกตจะพบวาจด B จะเคลอนทเปนวงกลมรอบจด A เชนกน แตจะเหน B หมนรอบ A ในทศทางตรงขามกบทผสงเกตท B มองเหนจด A หมนรอบจด B เมอพจารณาถงเวคเตอรแสดงการเคลอนท จากรปท 1(a) จะไดความสมพนธดงน

BABA rrr /vvv Δ+Δ=Δ (1)

โดย BAr /vΔ หมายถงการเคลอนทของจด A เมอเทยบกบผสงเกตทจด B

จากรปจะพบอกวา θΔ=Δ rr BA /v (2)

หาอนพนธของสมการ (1) เทยบกบเวลาจะไดความสมพนธของความเรวดงน BABA vvv /

vvv += (3) โดย BAv /

v คอความเรวสมพทธของจด A เมอเทยบกบผสงเกตทจด B จากสมการ (2) จะไดวา ω= rv BA /

v (4) หรอเขยนในรปเวคเตอรไดดงน rv BA

vvv ×ω=/ (5)

รปท 2 การแยกการเคลอนทแบบทวไปในระนาบเปนการเคลอนทแบบเลอนทและการหมน [1]


รปท 2 แสดงการแบงการเคลอนทแบบทวไปในระนาบออกเปนการเคลอนทแบบเลอนท และการเคลอนทแบบหมน เนองจากผสงเกตท B จะมองเหนจด A เคลอนทเปนวงกลมรอบจด B ดงนนทศทางของความเรวสมพทธ BAv /

v จะตงฉากกบเสนตรง BA ซงลากจากจด B ไปจด A เสมอ แนวทางการแกปญหาโจทย แนวทางการแกปญหาโจทยสามารถสรปเปนหลกการและขนตอนการแกปญหาไดดงน หลกการ 1. จดทผสงเกตอย และจดทตองการสงเกตอยบนวตถแขงเกรงชนเดยวกน 2. ผสงเกตท B จะเหนจด A เคลอนทเปนวงกลมรอบผสงเกต 3. ω= rv BA /

v และมทศทางตงฉากกบเสนตรง BA เสมอ ขนตอนการแกปญหา 1. เขยนสมการ BABA vvv /

vvv += เพอหาความเรวทจดทตองการ เนองจากสมการนเปนสมการเวคเตอร ในปญหาการเคลอนทในระนาบ (2 มต) สมการนประกอบดวยสมการยอย 2 สมการ ซงแสดงการเคลอนทในแนว x และ y ดงนนจะแกสมการนไดจะตองมตวแปรไมทราบคาไมเกน 2 ตว

2. ตรวจสอบวาตวแปรอะไรบางททราบคาและตวแปรอะไรบางทไมทราบคา โดยเขยนตารางแยกเปนขนาด (Magnitude) และทศทาง (Direction) ของตวแปรแตละตว ดงแสดงดานลาง ปญหาโดยสวนใหญจะแบงออกไดเปน 2 กรณ ดงน

กรณท 1 กรณท 2

BABA vvv /vvv +=

Mag.

Dir.

××

ωr

AB⊥

Mag.

Dir.

× ×AB⊥

BABA vvv /vvv +=

กรณท 1 ทราบขอมล Bv

v และ BAv /v ทงหมด แตไมทราบขนาดและทศทางของ Av

v กรณท 2 ไมทราบขนาดของ BAv /

v เนองจากไมทราบคา ω แตทราบทศทางของ Avv

3. คานวณคาของความเรวททราบคา และหาคามม และทศทางตางๆ 4. เขยนแผนภาพเวคเตอรตามสมการ BABA vvv /

vvv += ดงรปตวอยางดานลาง โดยเรมเขยนจากเวคเตอรทรขนาดและทศทางเสยกอน เวคเตอรของความเรวทไมทราบคาจะเขยนไดภายหลงเพอใหแผนภาพเวคเตอรปดได

Bvv

Avv

BAv /v ( )AB⊥Bv

v

Avv

BAv /v ( )AB⊥BAv /v ( )AB⊥


5. คานวณหาคาตวแปรไมทราบคา โดยพจารณาแผนภาพเวคเตอรทสรางขน โดยใชกฎของ sine และ cosine ประกอบ หรออาจทาโดยรวมสวนประกอบของเวคเตอรในแนวดงและในแนวระดบใหเทากบเวคเตอรลพธ Av

v กได เอกสารอางอง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics DYNAMICS fifth edition SI



วธทา ในขอนรขอมลความเรวจด B ทงขนาดและทศทาง (ชลง) และรทศทางความเรวจด A วาตองอยในแนวระดบ (ไปทางขวา) สวนจด C ทโจทยถามนนไมรทงขนาดและทศทาง ดงนนจะพจารณาสวน AB กอน

5/6 The elements of a switching device are

shown. If the vertical control rod has a

downward velocity v of 0.9 m/s when θ =

60º and if roller A is in continuous contact

with the horizontal surface, determine the

magnitude of the velocity of C for this

instant. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition,


BABA vvv /vvv +=

Av

BvAv

Bv

เขยนสมการความเรวสมพทธระหวางจด A และ B

ขนาด

ทศทาง

X X

AB⊥

9.0

o60=θ o60=θ

จากสมการจะพบวามตวแปรไมทราบคา 2 ตวเทานน ดงนนจงหาคาตอบไดนาเวคเตอรในตารางมาเขยนตอเปนรปปดไดดงน

BAv /v

Avv

Bvv

o60

จะเหนวาทศทางของ จะตองเฉยงขน 60 เทานนจงจะทาใหสมการ เปนจรงได BABA vvv /

vvv +=BAv /

vจะเหนวาทศทางของ จะตองเฉยงขน 60 เทานนจงจะทาใหสมการ เปนจรงได BABA vvv /

vvv +=BAv /

v

จากรป

9.060sin/ == BBA vv o

m/s 0392.1/ =BAv

[ ]ABv ABBA ω=/ 075.00392.1 ⋅ω= AB

rad/s 856.13=ωAB CCW


เนองจากชนสวน ABC เปนวตถแขงเกรง ดงนน จงมคาเทากนตลอดทงชนสวน

BCv /v

ABω

พจารณาสวน BC เพอหาความเรวทจด C ในขณะนน

BCBC vvv /vvv +=

ขนาด

ทศทาง

X

X AB⊥

9.0

o60=θ o60=θ

CBABω

จากสมการจะพบวามตวแปรไมทราบคา 2 ตวเทานน ดงนนจงหาคาตอบไดนาเวคเตอรในตารางมาเขยนตอเปนรปปดไดดงน

จากตาราง พบวาในตอนนจะรขนาดและทศทางของ แนนอนแลว เนองจากรทศทางของ

BCv /v

ABω

จากตาราง พบวาในตอนนจะรขนาดและทศทางของ แนนอนแลว เนองจากรทศทางของ

BCv /v

ABω

m/s 0392.1075.0856.13/ =⋅=ω= CBv ABBC

Bvv

Cvv

o150

βกฎของ cosine

o150cos2 /2

/22

BCBBCBC vvvvv −+=

o150cos)0392.1)(9.0(20392.19.0 222 −+=Cv

m/s 8735.1=Cv Ans

หมายเหต ทศทางของ หาไดดงนCvv

กฎของ sineo150sinsin

/ CBC vv=

β

o150sin8735.1

sin0392.1

=β

o1016.16=β


วธทา โจทยกาหนด ωOB ทาใหรอตราเรวจด B และทศทางซงตงฉากกบเสนตรง BO โดยชไปทางดานขวา และรทศทางความเรวจด A เนองจากจด A ตองหมนเปนวงกลมรอบจด C ทศทางความเรวของแตละจดแสดงในรปดานลาง

5/7 The elements of the mechanism for

deployment of a spacecraft

magnetometer boom are shown.

Determine the angular velocity of the

boom when the driving link OB

crosses the y-axis with an angular

velocity ωOB = 0.5 rad/s if tanθ = 4/3 at

this instant. [Engineering Mechanics Dynamics

5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/81]

BABA vvv /vvv +=

ขนาด

ทศทาง

X X

AB⊥

3/4tan =θ

[ ]OBv OBB ω=

Avv

Bvvφ

Avv

Bvvφ

เขยนสมการความเรวสมพทธระหวางจด A และ B

AC⊥

θφ

จากสมการจะพบวามตวแปรไมทราบคา 2 ตวเทานน ดงนนจงหาคาตอบได

หาอตราเรว และมมตางๆ

m/s 06.0)12.0(5.0 ==Bv

o1301.53=θ

12.01301.53cos2.012.01301.53sin2.0

12.0cos2.012.0sin2.0tan

+−

=+θ−θ

=φo

o

o4623.9=φ


นาเวคเตอรในตารางมาเขยนแผนภาพไดดงน

Ans

m/s 06.0=Bv

θφ

Av BAv /

θ−90φ+90

φ−θ กฎของ sine

)sin()90sin( φ−θ=

φ+BA vv

)4623.913.53sin(06.0

)4623.990sin( oooo −=

+Av

m/s 0857.0=Av

พจารณาชนสวน CA

[ ]CAvACA /=ω rad/s 429.02.0/0857.0 ==ωCA CW


วธทา การหาคา ωAB จาเปนตองทราบความเรว 2 จดบนชนสวน AB จด A เปนจดทรความเรว เนองจากรความเรวรอบหมนของ flywheel และรทศทางของความเรวซงตงฉากกบเสน OA อยางไรกตามยงไมมจดอนบนชนสวน AB ทรความเรว

5/8 The flywheel turns clockwise with a constant speed of 600 rev/min, and

the connecting rod AB slides through the pivoted collar at C. For the position

θ = 45º, determine the angular velocity ωAB of AB by using the relative-

velocity relation. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/77]

ADAD vvv /vvv +=

ขนาด

ทศทาง

X X

AD⊥

φ

สมมตใหจด D เปนจดบนชนสวน AB ซงในขณะนนอยตาแหนงเดยวกบจด Cพจารณาสมการความเรวสมพทธ

X OA⊥o45=θ φ

βo135

γAv

ADv /

o45

จะพบวามตวไมทราบคา 3 ตว ดงนนยงไมสามารถจะหาคาอะไรได

พจารณาจด C และ D CDCD vvv /

vvv +=

A

O D

เนองจากจด C เปนจดยดแนนไมเคลอนท 0=Cvv

CDD vv /vv =

ในขอนจด C และจด D เปนจดซงอยคนละชนสวน จงไมสามารถคดเหมอนกรณทจด C และจด D อยบนวตถแขงเกรงชนเดยวกนได (ไมสามารถคดวา C มองเหน D เคลอนทเปนวงกลมรอบตวมนได)เนองจากจด C เปนจดบน Slot และจด D เปนจดบนชนสวน AB ซงเคลอนทผาน Slot ดงนนจด C จะเหนจด D เคลอนทไปมาตามแนว Slot เขาหาตวมน หรอออกจากตวมนเทานน


ADAD vvv /vvv +=

ขนาด

ทศทาง

X X

AD⊥

φ

OA⊥o45=θ φ

βo135

γ

Av

ADv /

o45

A

O DDv

AD//

φ

มตวไมทราบคาในสมการ 2 ตว จงหาคาไดนาเวคเตอรในตารางมาเขยนแผนภาพไดดงน

Av

ADv /

Dv

γ

หาคามม และอตราเรวทรคาo135cos)400)(200(2400200 222 −+=AD

mm 5865.559=AD

หามม β จากกฎของ sine ไดดงน

β=

sin135sinODAD

o β=

sin400

135sin5865.559

o

o3612.30=βoooo 6388.593612.309090 =−=β−=γ

หาอตราเรว vA

m/s 42.0602600 π=⋅

π⋅=⋅ω= OAvA

จากแผนภาพเวคเตอรo6388.59sin4sin/ π=γ= AAD vv m/s 843.10/ =ADv

ADv ADABAD /// =ω=ω

rad/s 38.195865.559

1000843.10=

×=ωAB AnsCW

CDD vv /vv = จงมทศทางไปตามแนว Slot

นาขอมลนไปเพมในตารางไดดงน


แบบฝกหด หวขอ 5/4 1. Pin P on the end of the horizontal rod slides freely in the slotted gear. The gear

engages the moving rack A and the fixed rack B (teeth not shown) so it rolls without slipping. If A has a velocity of 120 mm/s to the left for the instant shown, determine the velocity vP of the rod for this position. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam

& Kraige] (Ans vP = 60 mm/s)


2. The wheel rolls without slipping. For the instant portrayed, when O is directly under

point C, link OA has a velocity v = 1.5 m/s to the right and θ = 30°. Determine the angular velocity ω of the slotted link. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam &

Kraige] (Ans ω = 18.22 rad/s CCW)



5/5 Instantaneous Center of Zero Velocity ในหวขอ 5/4 ไดกลาวถงการหาความเรวของจดใดๆ บนวตถแขงเกรงโดยใชวธการของความเรวสมพทธ จากสมการท (3) และ (5) จะได

rvv BAvvvv ×ω+= (6)

จากสมการท (6) พบวาหากสามารถเลอกตาแหนงทมความเรวเปนศนย ใหเปนตาแหนงทผสงเกตทาการสงเกตไดแลว สมการท (6) จะสามารถลดรปลงไดเปนสมการท (7)

rvAvvv ×ω= (7)

เขยนในรปสเกลารไดดงน

AA rv ⋅ω= (8) สมการนแสดงใหเหนวาความเรวทจดใดๆ ในวตถแขงเกรง สามารถหาไดโดยคดเสมอนวาจดเหลานนกาลงหมนรอบจดศนยกลางการหมน (จดทผสงเกตอย) ซงมความเรวเปนศนยอย จดศนยกลางการหมนซงมความเรวเปนศนยในขณะนนเรยกวา “จดหมนเฉพาะกาล หรอ Instantaneous Center of Zero Velocity: I.C.Z.V.” หากทราบตาแหนงจด I.C.Z.V แลวจะสามารถหาความเรวจดอนไดโดยงายโดยสมการ (8) การหาตาแหนงจด I.C.Z.V รปท 3 แสดงการหาตาแหนงของจด I.C.Z.V. ในกรณตางๆ จากสมการท (7) จะพบวาทศทางของความเรว vv จะตองตงฉากกบเวคเตอร rv ทลากจากจด I.C.Z.V. ไปยงจดทตองการหาความเรวเสมอ ในกรณททศทางความเรวของจด A และจด B ไมเหมอนกน ดงรปท 3(a) ตาแหนงจด I.C.Z.V. สามารถหาไดโดยลากเสนตงฉากกบทศทางความเรวทง 2 จด จดตดกนของเสนตงฉากจะเปนตาแหนงจด I.C.Z.V.

รปท 3 ตาแหนงจด I.C.Z.V ในกรณตางๆ [1]


ในกรณทความเรวของจด A และจด B มทศทางขนานกน ดงรปท 3(b) และ 3(c) ตาแหนงจด I.C.Z.V. สามารถหาไดโดยใชความสมพนธทวาอตราเรวของจด A และจด B จะตองเปนสดสวนกนตามสมการ (8) จากรปท 3(b) และ 3(c) จะพบวาจด I.C.Z.V. สามารถหาไดโดยใชความสมพนธทางเรขาคณต จากรปเมอทศทางความเรวไปทศทางเดยวกน ตาแหนงจด C จะอยดานนอกของเสนตรง AB แตถาทศทางความเรวตรงกนขามกน ตาแหนงจด C จะอยบนเสนตรงระหวางจด A และ B ตวอยางการใชวธการหาจด I.C.Z.V เพอหาความเรวตาแหนงอนๆ ในวตถแขงเกรง พจารณาชนสวน AB ในรปท 4(a) เมอกาหนดใหชนสวน OB หมนรอบจด O ดวยทศทางตามเขมนาฬกาดงแสดงในรป จะหาความเรวทจด D ไดดงน

1. การจะหาตาแหนงจด I.C.Z.V. ไดจาเปนจะตองทราบทศทางความเรวของจด 2 จด บนวตถแขงเกรงนนเสยกอน

2. จากรปพบวาจด B และจด A เปนจดทรทศทางของความเรว เนองจากจดทงสองหมนเปนวงกลมรอบจด O และจด O’ ตามลาดบ ดงนนทศทางความเรวจงตงฉากกบเสน OB และ O’A ตามลาดบ

3. หาตาแหนงจด I.C.Z.V. โดยลากเสนตงฉากกบทศทางความเรวของจด B และ A ดงแสดงในรปท 4(b) เสนทงสองจะไปตดกนทจด C จด C เปนจด I.C.Z.V ของชนสวน AB ในขณะนน

4. จากรปจะพบวาจด I.C.Z.V. อาจอยนอกชนสวนทพจารณาได

5. หาความเรวเชงมมของชนสวน AB จาก CBvB

AB =ω หรอ CAvA

AB =ω (ถาร Av )

6. ใชความเรวเชงมม ABω ทหาได หาอตราเรวของจด D จาก )(CDv ABD ⋅ω= ทศทางของความเรวทจด D จะตงฉากกบเสนตรง CD ดงแสดงในรปท 4(b)

(a) (b) รปท 4 ตวอยางการใชจด I.C.Z.V. เพอหาความเรวในวตถแขงเกรง [1]


การเคลอนของตาแหนงจด I.C.Z.V เมอวตถเคลอนท

เนองจากความเรวทตาแหนงตางๆ ของวตถมการเปลยนแปลงตลอดเวลาทวตถเคลอน-ท ดงนนตาแหนงของจด I.C.Z.V. กจะเปลยนไปดวย

พจารณารปท 5 ซงแสดงการกลงของวตถทรงกระบอก จากตวอยางทแสดงในหวขอทแลวจะพบวาความเรวทจดสมผสพนของทรงกระบอกมคาเปนศนย ดงนนจดสมผสพนจงเปนจด I.C.Z.V. เมอทรงกระบอกนกลงไป จดทสมผสพน (จด I.C.Z.V.) กจะเปลยนไปจากจดสแดงไปเปนจดสเขยว เมอพจารณาแนวการเคลอนทของจด I.C.Z.V. ในวตถ (เปรยบเสมอนผสงเกตอยบนทรงกระบอก) จะพบวาแนวการเคลอนทเปนไปตามแนวความโคงของทรงกระบอก (แสดงดวยจดสามเหลยมประ) เรยกแนวการเคลอนทของจด I.C.Z.V. ในวตถวา Body centrode

ในทางตรงขามหากพจารณาการเคลอนทของจด I.C.Z.V. เทยบกบแกนเฉอย (ผสงเกตอยนง) แลว จะพบวาแนวการเคลอนทของจด i.C.Z.V. จะเปนไปตามแนวจดสมผสพน (แสดงดวยจดวงกลมประ) เรยกแนวการเคลอนทของจด I.C.Z.V. เมอเทยบกบแกนเฉอยวา Space centrode

t1 t2

I.C.Z.VI.C.Z.VI.C.Z.VI.C.Z.V

รปท 5 การเคลอนของตาแหนงจด I.C.Z.V. [1]

ขอสงเกต ถงแมวาจด I.C.Z.V. มความเรวเปนศนยในขณะนน แตจดนไมไดมความเรงเปนศนย ดงนนจงไมสามารถใชแนวคดทานองเดยวกบจด I.C.Z.V. กบปญหาความเรงได เอกสารอางอง J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics DYNAMICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 2003.


วธทา การทจะหาจด I.C.Z.V. ได จะตองรทศทางความเรว 2 จดบนวตถแขงเกรง (ชนสวน AB) เสยกอน จดทรทศทางความเรวคอ

1. จด A ซงมทศทางของความเรวตงฉากกบเสนตรง OA 2. จด D ซงเปนจดบนชนสวน AB และอยตาแหนงเดยวกบจด C ทจดน

เนองจากถกยดดวยปลอก ทาใหไมสามารถเคลอนทในทศทางตงฉากกบเสนตรง AB ได ทจดนจงมความเรวในทศทางขนานกบเสนตรง AB

5/9 The flywheel turns clockwise with a constant speed of 600 rev/min, and

the connecting rod AB slides through the pivoted collar at C. For the position

θ = 45º, determine the angular velocity ωAB of AB by using I.C.Z.V.. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/109]

o45=θ φ

βo135

γ

Av

Dv

CW rad/s 377.19105281.648

43 =

×π

==ω −ACvA

AB

A

O D

C

mm 5865.559=ADo3612.30=β

จากตวอยางกอนหนา (5/77) จะได

m/s 4π=Av

mm648.5281 3612.30cos

5865.559cos

=

=β

=o

ADAC

พจารณาสามเหลยม ACD

Ans


วธทา ระบบเฟองในขอนประกอบดวยชนสวนหลายๆ ชนสวน ตองพจารณาแตละชนสวนใหด เพราะวธการหาความเรวทกลาวมาในหวขอนจะใชไดเฉพาะในวตถแขงเกรงชนเดยวกนเทานน

5/10 The shaft at O drives the arm OA at a

clockwise speed of 90 rev/min about the fixed

bearing at O. Use the method of the

instantaneous center of zero velocity to

determine the rotational speed of gear B (gear

teeth not shown) if (a) ring gear D is fixed and

(b) ring gear D rotates counterclockwise about

O with a speed of 80 rev/min. [Engineering

Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/117]

m/s 3))(602(90)(A aaav OA π=

π×=ω=

ระบบเฟองนประกอบดวยชนสวนยอยๆ 5 ชนสวนดงน

B

D

A

O A

(a) ring gear D is fixed

OO

พจารณาชนสวน OA : จด O เปนจดยดแนนมความเรวเปนศนย จงเปนจด I.C.Z.V.

O A

Av


Aจด A ของเฟอง ยดกบจด A ของชนสวน OA จงมความเรวเทากนจดทเฟอง A สมผสกบ เฟองวงแหวน D มความเรวเปนศนย เนองจากเฟองแหวน D ถกยดแนน จดนเปนจด I.C.Z.V.Av

ABv


(b) ωD = 80 rev/min CCW

rad/s 62

32

π===ωa/πa

a/vA

A

m/s 6)( aav AAB π=ω=

พจารณาเฟอง B จดทเฟอง B สมผสกบเฟอง A ตองมความเรวเทากน และเทากบ vAB

จด O เปนจดยดแนน มความเรวเปนศนย จดนเปนจด I.C.Z.V.

B

O

ABvrad/s 21

2/6

2/π=

π==ωaa

avAB

B

Ansrev/min 36026021 =π

×π=ωB

m/s 3))(602(90)(A aaav OA π=

π×=ω=

พจารณาชนสวน OA : จด O เปนจดยดแนนมความเรวเปนศนย จงเปนจด I.C.Z.V.

O A

Av

พจารณาเฟองแหวน D เฟองแหวนหมนรอบจดยดแนน O จด O จงมความเรวเปนศนย จดนเปนจด I.C.Z.V.

D

OADv

m/s 4)23)(

602(80)

23( aaav DAD π=

π×=ω=


A

จด A ของเฟอง ยดกบจด A ของชนสวน OA จงมความเรวเทากนจดทเฟอง A สมผสกบ เฟองวงแหวน D มความเรวเทากบ vAD

AvABv

ADv

C

rad/s 142/43

2/π=

π+π=

+=ω

aaa

avv AAD

A


พจารณาเฟอง B จดทเฟอง B สมผสกบเฟอง A ตองมความเรวเทากน และเทากบ vAB

จด O เปนจดยดแนน มความเรวเปนศนย จดนเปนจด I.C.Z.V.

B

O

ABvrad/s 20

2/01

2/π=

π==ωaa

avAB

B

Ansrev/min 00626020 =π

×π=ωB

A

หาตาแหนงจด C จากสามเหลยมคลาย

AvABv

ADv

C ACaAC

aa

vv

AD

A

−=

ππ

=2/4

3

143aAC =

m/s 10)14

10(14)214

3( π=π=+ω= aaaav AAB


แบบฝกหดหวขอ 5/5 1. Vertical oscillation of the spring-loaded plunger F is controlled by a periodic change

in pressure in the vertical hydraulic cylinder E. For the position θ = 60°, determine the angular velocity of AD and the velocity of the roller A in its horizontal guide if the plunger F has a downward velocity of 2 m/s. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition,

Meriam & Kraige] (Ans ωAD = 13.33 rad/s CW, vA = 2.31 m/s)

2. The three gears 1, 2, and 3 of equal radii are mounted on the rotating arm as shown. (Gear teeth are omitted from the drawing.) Arm OA rotates clockwise about O at the angular rate of 4 rad/s, while gear 1 rotates independently at the counterclockwise rate of 8 rad/s. Determine the angular velocity of gear 3. [Engineering

Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige] (Ans ω3 = 8 rad/s CCW)





5/6 ความเรงสมพทธ ในหวขอ 5/4 กลาวถงการหาความเรวทตาแหนงใดๆ ในวตถแขงเกรงทเคลอนทแบบ

ทวไปบนระนาบ การพจารณาใชหลกการการเคลอนทสมพทธ โดยแยกการเคลอนทออกเปนสองสวน คอการเคลอนทสวนของผสงเกตซงเปนการเคลอนทแบบเลอนท และการเคลอนทของจดทถกสงเกตซงจะเปนการเคลอนทแบบหมนเปนวงกลมรอบผสงเกต ดงแสดงในรปท 1 จากรปจะทาใหทราบทศทางของความเรวสมพทธ BAv /

v ซงจะตงฉากกบเสนตรง BA ซงลากจากจด B ไปจด A เสมอ

รปท 1 ความเรวในวตถแขงเกรงซงเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ [1]

ในหวขอนจะกลาวถงการหาความเรงของตาแหนงใดๆ ในวตถแขงเกรง การพจารณาใชหลกการทานองเดยวกบความเรวสมพทธทไดกลาวมาขางตน รปท 2 แสดงความเรงบนวตถแขงเกรงทจด A และ B ซงแทนดวย Aav และ Bav ตามลาดบ จากรปจะเหนวาสามารถแยกการเคลอนทเปน 2 สวนคอการเคลอนทของผสงเกตทจด B และการเคลอนทของจดทถกสงเกต A ซงเคลอนทเปนวงกลมรอบจด B เชนเดยวกบการพจารณาความเรว สมการแสดงความสมพนธของความเรงทตาแหนงตางๆ สามารถเขยนไดดงน

BABA aaa /vvv += (1)

เนองจากผสงเกต B จะเหนจด A เคลอนทเปนวงกลมรอบผสงเกต ดงนนความเรงสมพทธ BAa /

v จะสามารถหาไดเชนเดยวกบการพจารณาการเคลอนทแบบวงกลม หากใชระบบพกด n-t ในการพจารณาดงรป จะสามารถแยกความเรงสมพทธ BAa /

v ออกเปนสวนประกอบยอยๆ nBAa )( /

v ในแนว n และ tBAa )( /v ในแนว t ดงนนสมการท (1) จะสามารถเขยนไดเปน

tBAnBABA aaaa )()( //vvvv ++= (2)


รปท 2 ความเรงในวตถแขงเกรงซงเคลอนทแบบทวไปบนระนาบ [1]

ขนาดของความเรงในแตละทศทางหาไดจากความสมพนธของการเคลอนทแบบวงกลมดงน

2/

2// /)( BABAnBA rrva ω== (3)

ABBAtBA rva α== // )( & (4) หรอเขยนในรปเวคเตอรไดดงน

)()( / ra nBAvvvv ×ω×ω= (5)

ra tBAvvv ×α=)( / (6)

แนวทางการแกปญหาโจทย แนวทางการแกปญหาโจทยความเรง สามารถสรปเปนหลกการและขนตอนการแกปญหาทานองเดยวกบปญหาความเรวไดดงน หลกการ 1. จดทผสงเกตอย และจดทตองการสงเกตอยบนวตถแขงเกรงชนเดยวกน 2. ผสงเกตท B จะเหนจด A เคลอนทเปนวงกลมรอบผสงเกต 3. แยกความเรงสมพทธเปนทศทาง n-t และหาคาจากความเรงของการเคลอนทแบบวงกลม ขนตอนการแกปญหา 1. หาความเรวแตละจด และความเรวรอบหมนของชนสวนเสยกอน โดยอาจใชวธความเรว

สมพทธ หรอใชการหาจด I.C.Z.V. กได 2. เขยนสมการ tBAnBABA aaaa )()( //

vvvv ++= เพอหาความเรงทจดทตองการ เนองจากสมการนเปนสมการเวคเตอรในปญหาการเคลอนทในระนาบ (2 มต) สมการจงนประกอบ-ดวยสมการยอย 2 สมการ ซงแสดงการเคลอนทในแนว x และ y ดงนนจะแกสมการนไดจะตองมตวแปรไมทราบคาไมเกน 2 ตว

3. ตรวจสอบวาตวแปรอะไรบางททราบคาและตวแปรอะไรบางทไมทราบคา โดยเขยนตารางแยกเปนขนาด (Magnitude) และทศทาง (Direction) ของตวแปรแตละตว ดงแสดงดานลาง ปญหาโดยสวนใหญจะแบงออกไดเปน 2 กรณ ดงน


กรณท 1 กรณท 2

tBAnBABA aaaa )()( //vvvv ++=

Mag.

Dir.

××

r2ω rα

AB AB⊥

××

r2ω rα

AB AB⊥


Mag.

Dir.

××

r2ω rα

AB AB⊥

××

r2ω rα

AB AB⊥

××

กรณท 1 ทราบขอมล Bav , nBAa )( /

v และ tBAa )( /v ทงหมด แตไมทราบขนาดและทศทาง

ของ Aav กรณท 2 ไมทราบขนาดของ tBAa )( /

v เนองจากไมทราบคา α แตทราบทศทางของ Aav 4. คานวณคาของความเรงททราบคา และหาคามม และทศทางตางๆ 5. เขยนแผนภาพเวคเตอรตามสมการ tBAnBABA aaaa )()( //

vvvv ++= โดยเรมเขยนจากเวคเตอรทรขนาดและทศทางเสยกอน เวคเตอรของความเรงทไมทราบคาจะเขยนไดภายหลงเพอใหแผนภาพเวคเตอรปดได ดงตวอยางดานลาง

6. คานวณหาคาตวแปรไมทราบคา โดยพจารณาแผนภาพเวคเตอรทสรางขน โดยรวม

สวนประกอบของเวคเตอรในแนวดงและในแนวระดบใหเทากบเวคเตอรลพธ Aav ตวอยางการแกปญหาความเรง พจารณาขอตอดานลาง กาหนดความยาวขอตอ และความเรวรอบหมนของชนสวน CB คงท ใหหาความเรงของจด A และความเรงเชงมมของชนสวน AO ทตาแหนงขอตอดงแสดงในรป

O

A

B

C ω const.O

A

B

C ω const.

1. หาความเรวของชนสวนตางๆ โดยเขยนสมการความเรวสมพทธไดดงแสดงดานลาง

Mag.

Dir.

× ×AB⊥

BABA vvv /vvv +=


กรณนจะรความเรวจด B ทงขนาดและทศทาง และรทศทางความเรว Avv เนองจากจด A เคลอนทเปนวงกลมรอบจด O ดงนนความเรวทจด A จงตองตงฉากกบเสนตรง OA จากสมการจะทราบวามตวไมรคาเพยง 2 ตว จงหาคาตวไมทราบคาได เขยนทศทางความเรวในขอตอแตละชนไดดงน

O

A

B

C ω const.O

A

B

C ω const.

ωΑΒ

ωΑ

vΑ vΒωΑΒ

ωΑ

vΑ vΒ

2. เขยนสมการความเรง tBAnBABA aaaa )()( //

vvvv ++= จากสมการนจะพบวา

Bav จะรทงขนาดและทศทาง โดยมทศทางพงเขาหาจด C ตามแนวเสนตรง BC และมขนาด 22 / CBBB BCBCva ω⋅== เนองจาก B เคลอนทเปนวงกลมรอบจด C ดวยความเรวคงท ดงนนความเรงจะมเฉพาะความเรงเขาสศนยกลางเทานน โดยความเรงในทศทางสมผสมคาเปนศนย

nBAa )( /v จะรขนาดและทศทาง โดยมทศทางพงเขาหาจด B ตามแนวเสนตรง AB (คด

เสมอนวาจด A หมนเปนวงกลมรอบผสงเกต B)

tBAa )( /v จะรแตทศทาง (ตงฉากกบเสนตรง AB ) ไมรขนาดเนองจากยงไมทราบคา

ความเรงเชงมมของชนสวน AB ( ABα )

Aav ไมรทงขนาดและทศทาง จะพบวาพจารณาสมการทยกมาขางตนจะมตวแปรถง 3 ตว คอ ขนาดของ tBAa )( /

v และขนาดและทศทางของ Aav ทาใหยงไมสามารถหาคาได กรณนจะตองแยกคด Aav เปนทศทาง n-t เชนกนดงน โดยเขยนสมการไดดงน tBAnBABA aaaa )()( //

vvvv ++= tBAnBABtAnA aaaaa )()()()( //

vvvvv ++=+ จากสมการนเมอพจารณา Aav จะพบวา

nAa )( v จะรทงขนาดและทศทาง โดยมทศทางพงเขาหาจด O ตามแนวเสนตรง OA และมขนาด 22 /)( OAAnA OAOAva ω⋅==

tAa )( v จะรแตทศทาง (ตงฉากกบเสนตรง OA ) ไมรขนาดเนองจากยงไมทราบคาความเรงเชงมมของชนสวน OA ( OAα )


จะเหนวาเมอแยกคด Aav เปนทศทาง n-t จะทาใหตวไมทราบคาทเกยวของกบ Aav เหลอเพยงขนาดของ tAa )( v เทานน และจากสมการความเรงสมพทธ จะเหลอตวไมทราบคาเพยงแค 2 ตว จงสามารถหาคาได คาตางๆ สามารถสรปไดดงน

Mag.

Dir.

Mag.

Dir.


tBAnBABtAnA aaaaa )()()()( //vvvvv ++=+


tBAnBABtAnA aaaaa )()()()( //vvvvv ++=+

× 2ABωAB AB⊥

AB ×AAr2ω × 2ABωAB AB⊥

AB ×AAr2ω

และสามารถเขยนทศทางความเรงในขอตอแตละชนไดดงน

O

A

B

C ω const.O

A

B

C ω const.

(aA)n

(aA)t

(aA/B)n

(aA/B)t

aB

(aA)n

(aA)t

(aA/B)n

(aA/B)t

aB

3. เมอทราบคาตางๆ ในตารางแลว นามาเขยนเวคเตอรความเรง จะหาคาทตองการได เอกสารอางอง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics DYNAMICS fifth edition SI



วธทา จากตวอยางในหวขอความเรวสมพทธ จะไดขอมลความเรวดงน

5/11 If the velocity v of the control rod is 0.9

m/s and is decreasing at the rate of 6 m/s2

when θ = 60º, determine the magnitude of

the acceleration of C. [Engineering Mechanics

Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/147]


เขยนสมการความเรงสมพทธระหวางจด A และ B

ขนาด

ทศทาง

X X

AB⊥

6

o60=θ o60=θ

CCW rad/s 856.13=ω=ω BCAB

เนองจากไมรความเรงเชงมมของชนสวน ABC และไมรขนาด และทศทางความเรงทจด C จงไมสามารถหาความเรงทจด C โดยตรงจากขอมลความเรงทจด B ได ในขอนจงจาเปนตองหาความเรงทจด A ซงรทศทางความเรงแนนอนกอน (ทศทางขนานกบแนวระดบ)

AB//

ABAB ⋅ω2

o60=θ o60=θAa

BatBAa )( /

nBAa )( /

Aa

BatBAa )( /

nBAa )( /

จากตารางพบวามตวไมรคา 2 ตว ดงนนจงสามารถหาคาตวแปรทไมทราบคาได หาคาขนาดความเรงททราบคากอน

22/ m/s 3992.14)075.0)(856.13()( ==nBAa

เขยนแผนภาพเวคเตอรไดดงน


oo 60cos)(60sin)( // tBAnBAA aaa +=

จากแผนภาพเวคเตอร สามารถเขยนสมการแสดงความสมพนธของเวคเตอรตางๆ ไดดงน

o60=θ

o60=θ

AavBav

nBAa )( /v

tBAa )( /v

o60=θ

o60=θ

AavBav

nBAa )( /v

tBAa )( /v

พจารณาในแนวระดบ

oo 60cos)2416.15(60sin)3992.14( +=Aa

060sin)(60cos)( // =−+ ootBAnBAB aaa

พจารณาในแนวดง

060sin)(60cos)3992.14(6 / =−+ ootBAa

จาก

2/ m/s 2416.15)( =tBAa

2m/s 0909.20=Aa

ABa ABtBA α=)( /

CW rad/s 2213.203075.0/2416.15 2==α AB

tBCnBCBC aaaa )()( //vvvv ++=

เขยนสมการความเรงสมพทธระหวางจด B และ C

ขนาด

ทศทาง

XBC⊥

6

o60=θ o60=θ

BC//

BCAB ⋅ω2

o60=θ o60=θ

X

BCAB ⋅α

CW rad/s 2213.203 2=α=α ABBC เนองจากเปนวตถแขงเกรงชนเดยวกน

22/ m/s 3992.14)075.0)(856.13()( ==nBCa

2/ m/s 2416.15)075.0)(2213.203()( ==tBCa

เขยนแผนภาพความเรวไดดงน


จากแผนภาพเวคเตอร สามารถเขยนสมการแสดงความสมพนธของเวคเตอรตางๆ ไดดงน

φ=++− sin60sin)(60cos)( // CBtBAnBA aaaa oo

พจารณาในแนวดง

φ=+⋅+⋅− sin660sin2416.1560cos3992.14 Caoo

12sin =φCa

o60=θ o60=θ

Cav

Bav

nBCa )( /v

tBCa )( /vφ

o60=θ o60=θ

Cav

Bav

nBCa )( /v

tBCa )( /vφ

(1)

φ=+ cos60cos)(60sin)( // CtBCnBC aaa oo

พจารณาในแนวระดบ

φ=⋅+⋅ cos60cos2416.1560sin3992.14 Caoo

0909.20cos =φCa (2)

22222 m/s 4.230909.2012)cos()sin( =+=φ+φ= CCC aaa

จาก (1) และ (2)

Ans


C

β

θ

θC′

rO

O′

CR

C

β

θ

θC′

rO

O′

CR

วธทา โจทยกาหนดความเรวและความเรงเชงมมของการหมนมา นาขอมลนมาหาความเรวและความเรงทจดศนยกลางไดดงน

5/12 If the wheel in each case rolls on the circular surface without slipping,

determine the acceleration of point C on the wheel momentarily in contact

with the circular surface. The wheel has an angular velocity ω and an angular

acceleration α. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/140]

พจารณาการเคลอนทของลอกรณ (a)

เรมแรกลอมจดศนยกลางอยทจด O และสมผสพนทจด C เมอลอหมนไปเปนมม β กบแนวดง ลอจะมจดศนยกลางอยท O’ และสมผสพนทจด C’ ระยะทางตามโคงทลอกลงไป CC’ หาไดดงน

)( θ+β=θ=′ rRCC

β=θ− rrR )(

ω=β==θ− rrvrR O&& )(

( ) α=β==θ− rrarR xO&&&&)(

จากสมการ (1) และ (2) เมอทราบความเรว และความเรงเชงมมของการหมน จะหาขอมลความเรวและความเรงในแนว x ทจดศนยกลางได (เนองจากจดศนยกลางลอเคลอนทเปนวงกลมรอบจดศนยกลางวงกลมใหญ ดงนนความเรงทหาไดจากสมการ (2) จะไมใชความเรงทงหมดของจด O)ในทานองเดยวกน กรณ (b) กสามารถทาไดและไดผลเชนเดยวกน

(1)

(2)


กรณ (a)

C

rO

R

C

rO

R R

rO

C

A

R

rO

C

A

เพอใหงายตอการพจารณาจะทาการเพมขอตอ OA เขาไปดงรป การเพมขอตอนไมทาใหการเคลอนทของลอเปลยนแปลงไปจากเดม

( ) ( ) tOCnOCyOxOC aaaaa )()( //vvvvv +++=

เขยนสมการความเรงสมพทธระหวางจด O และ C

ขนาด

ทศทาง

X r2ω

X

rα

เนองจากจด O หมนเปนวงกลมรอบจด A พจารณาชนสวน OA จะหาความเรงทจด O ไดดงน

O

A

O

A

( )xOa

( )yOa

ra xO α=)( v

rRr

rRva O

yO −ω

=−

=22 )()( v

rαrR

r−

ω 2)(

จากตารางสามารถเขยนแผนภาพเวคเตอรไดดงน

Cav

( )xOav

( )yOav

nOCa )( /v

tOCa )( /v

จากแผนภาพเวคเตอรจะได

nOCyOC aaa )()( /+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−ω=ω+

−ω

=rR

RrrrR

raC22

2)( Ans


O

A

O

A

กรณ (b) สามารถทาไดทานองเดยวกบกรณ (a) ดงน

( ) ( ) tOCnOCyOxOC aaaaa )()( //vvvvv +++=

เขยนสมการความเรงสมพทธระหวางจด O และ C

ขนาด

ทศทาง

X r2ω

X

rα

เนองจากจด O หมนเปนวงกลมรอบจด A พจารณาชนสวน OA จะหาความเรงทจด O ไดดงน

( )xOa

( )yOa

ra xO α=)( v

rRr

rRva O

yO +ω

=+

=22 )()( v

rαrR

r+

ω 2)(

จากตารางสามารถเขยนแผนภาพเวคเตอรไดดงน

Cav

( )xOav

( )yOav

nOCa )( /v

tOCa )( /v จากแผนภาพเวคเตอรจะได

yOnOCC aaa )()( / −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+ω=

+ω

−ω=rR

RrrR

rraC2

22 )( Ans

O

r

C

R

A

O

r

C

R

A

O

r

C

R

A

O

r

C

R

A

หมายเหต ขนาดของ มากกวา เสมอ ดงนน จะมทศทางชขนเสมอnOCa )( /v ( )yOav Cav


แบบฝกหด หวขอ 5/6 1. Crank OA oscillates between the dashed positions shown and causes small angular

motion of crank BC through the connecting link AB. When OA crosses the horizontal position with AB horizontal and BC vertical, it has an angular velocity ω and zero angular acceleration. Determine the angular acceleration of BC for this position. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans α = 2lω2/r CW) 2. If OA has a constant CCW angular velocity ωO = 10 rad/s, calculate the angular

acceleration of link AB for the position where the coordinates of A are x = -60 mm and y = 80 mm. Link BC is vertical for this position. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th

edition, Meriam & Kraige] (Ans αΑΒ = 10.24k rad/s2)





5/7 Motion Relative to Rotating Axes การเคลอนทสมพทธทเรยนมาในหวขอกอนๆ เปนการเคลอนทของวตถแขงเกรงซง

สงเกตโดยผสงเกตซงใชระบบพกดฉากทไมมการหมน อยางไรกตามหลายๆ ครง กลไกทตองการวเคราะหการเคลอนทอาจจะไมไดเชอมตอกนดวยวตถแขงเกรง แตเกดการเคลอนทแบบเลอนไถลกน การเคลอนทแบบนไมสามารถใชวธการในหวขอทแลวในการหาความเรงได ในหวขอนจะกลาวถงการวเคราะหการเคลอนทโดยผสงเกตซงใชแกนพกดหมน ซงสามารถใชแกปญหาเหลานได รวมถงสามารถประยกตใชกบปญหาในหวขอกอนๆ ไดดวย

เพอใหเขาใจถงความแตกตางของปญหาทสามารถพจารณาโดยใชแกนพกดซงไมหมน ดงทเรยนในหวขอกอน และปญหาซงตองพจารณาดวยแกนพกดหมน พจารณาตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 การเคลอนทบนจานหมน

BBC

D

aa

X

Y

A x

y

ω

รปท 1 การเคลอนทบนจานหมน

รปท 1 แสดงการเคลอนทบนจานหมน (วงกลมสเทา) ซงมรตรงกลาง ดงนนในรป a และ B จะยนอยนงนอกจานหมน สวน A, C และ D ยนอยบนจานหมนและหมนไปพรอมกบจานหมน พกด X-Y เปนพกดทอยนงเทยบกบโลก สวนพกด x-y จะเปนพกดซงหมนไปพรอม


กบจานหมน สมมตใหจานมขนาดใหญ ดงนน a กบ A จะถอวายนอยตาแหนงเดยวกนทจดกาเนดของแกนพกด X-Y และ x-y กาหนดให a เปนผสงเกตอยบนแกนหยดนงสวน A เปนผสงเกตซงอยบนแกนหมน ความเรวทผสงเกตสงเกตการเคลอนทของวตถเรยกวา relvv (ในกรณทผสงเกตเคลอนทแบบเลอนท เราไดทราบจากหวขอทเรยนกอนแลววา ABrel vv /

vv = ) 1. ผสงเกต a และ A สงเกตการเคลอนทของ B

กรณทผสงเกต a สงเกตการเคลอนทของ B นน จากสมการความเรวสมพทธ

aBaB vvv /vvv += เนองจาก a และ B อยนง a จงเหน B อยนงดวย ดงนนความเรวทกตวใน

สมการความเรวสมพทธจะเปนศนยหมดทาใหสมการเปนจรง คา aBv /v ในกรณนจะเทากบ

ความเรวทผสงเกต a สงเกตการเคลอนทของ B ( 0/ == relaB vv vv ) ในกรณผสงเกต A สงเกตการเคลอนทของ B นน จากสมการความเรวสมพทธ

ABAB vvv /vvv += เนองจากจด A อยทจดกาเนดของแกนหมน พกดจด A จงไมมการ

เปลยนแปลง 0=Avv และจากรป B ยนอยนง 0=Bvv ดงนนจะได 0/ =ABvv อยางไรกตามเนองจาก A เคลอนทไปพรอมกบจานหมน ดงนน A จะมองเหน B เคลอนท ดงนน relvv จงมคา ในกรณน relAB vv vv ≠/ 2. ผสงเกต a และ A สงเกตการเคลอนทของ C

กรณทผสงเกต a สงเกตการเคลอนทของ C นน จากสมการความเรวสมพทธ

aCaC vvv /vvv += เนองจาก a อยนง สวน C จะหมนไปพรอมกบจาน a จงเหน C หมนไปพรอม

กบจาน โดยเคลอนทเปนวงกลมรอบ a ในทน 0=avv สวน relaCC vvv vvv == / อยางไรกตาม ในกรณผสงเกต A สงเกตการเคลอนทของ C นน จากสมการความเรว

สมพทธ ACAC vvv /vvv += เนองจาก 0=Avv ดงนน ACC vv /

vv = เทากบความเรวการหมนเปนวงกลมรอบจดศนยกลาง แตในกรณน A หมนไปพรอมกบจานและพรอมๆ กบ C ดงนน A จะมองเหนวา C หยดนง 0=relvv กรณน relAC vv vv ≠/ 3. ผสงเกต a และ A สงเกตการเคลอนทของ D

สมการความเรวสมพทธในกรณน คอ aDaD vvv /vvv += โดย 0=avv เนองจาก D จะ

หมนไปพรอมกบจาน พรอมๆ กบเดนเขามาหา a ทจดศนยกลาง ดงนน a จงเหน D หมนไปพรอมกบจานและเดนเขาหาพรอมๆ กน

อยางไรกตาม ในกรณผสงเกต A สงเกตการเคลอนทของ D นน เนองจาก A หมนไปพรอมกบจานและพรอมๆ กบ D ดงนน A จะมองเหนวา D เดนตรงเขามาหา A เพยงอยางเดยว จากสมการความเรวสมพทธ ADADAD vvvv //

vvvv =+= จะพบวา relAD vv vv ≠/ จากตวอยางขางตนจะพบวา ผสงเกตทหยดนง a (รวมถงผสงเกตทเคลอนทแบบเลอน

ทดวย) จะสงเกตการเคลอนทไดถกตอง ( relaxx vv vv =/ ) แตผสงเกตทกาลงเคลอนทแบบหมนจะไมสามารถสงเกตการเคลอนทไดถกตอง ( relAxx vv vv ≠/ ) เนองจากผสงเกตทเคลอนทแบบหมน ไมสามารถสงเกตการหมนของตวเองและวตถทสงเกตได (ดงแสดงในตวอยางท 1.2)


ตวอยางท 2 กลไกแบบเลอนไถล

รปท 2 กลไกแบบเลอนไถล [1]

จากรปท 2 กาหนดความเรวเชงมมของชนสวน OD เทากบ 2 rad/s คงท ตองการหาความเรวและความเรงเชงมมของชนสวน CA ปญหานสามารถเขยนสมการความเรวสมพทธของความเรวและความเรง ดงวธการทไดกลาวมาในหวขอกอนหนาไดดงน กาหนดใหจด P เปนจดบนชนสวน OD ซงอยทบกบจด A บนชนสวน CA ในขณะนน ความเรวสมพทธ

PAPA vvv / vvv +=

AC⊥ OD⊥ OD//)(OPωAmp.

Dir.X X

จากสมการความเรวสมพทธ พบวามตวไมทราบคา 2 ตวจงสามารถหาคา Avv และ PAv /

v ได ความเรงสมพทธ

PAPA aaa / vvv +=

OD⊥OD//

)(2 OPωAmp.

Dir.

X X

)( )( )( )( )( / PAtPnPtAnA aaaaa vvvvv ++=+

0)(2 ACACω

X จากสมการจะพบวาไมทราบคา PAa /

v เนองจากชนสวน OD กบ AC ไมใชเปนวตถแขงเกรงชนเดยวกน แตเปนชนสวนคนละชนทเลอนไถลกน ดงนนจะไมสามารถคดแบบเดยวกบปญหาความเรงสมพทธในหวขอกอนหนาได ในกรณนจาเปนตองใชวธการความเรวสมพทธในกรณแกนหมนแกปญหา


การสรางสมการความเรวสมพทธสาหรบผสงเกตอยบนแกนหมน

X

Y

ωB

A

X

Y

ω

X

Y

ωB

A

(ก) (ข) รปท 3 การสงเกตการเคลอนท โดยผสงเกตทเคลอนทและหมนไปดวย [1]

รปท 3(ก) แสดงการเคลอนทของวตถ A ซงสงเกตโดยผสงเกต B ซงเคลอนทตามแนวเสนประสนาเงน และหมนไปพรอมๆ กนดวย รปท 3(ก) สามารถเขยนในรปเวคเตอรการเคลอนทไดดงแสดงในรป 3(ข) เนองจากผสงเกตหมนดวยความเรวเชงมม ω ดงนนการสงเกตโดยผสงเกตจะใชระบบพกด x-y ซงแกนพกดจะหมนไปดวยความเรวเชงมม ω เชนกน สวนแกนพกด X-Y แสดงแกนพกดอางอง ซงอยนง จากรปท 3(ข) สามารถเขยนสมการแสดงตาแหนงการเคลอนทไดดงน

)ˆˆ( jyixrrrr BBA ++=+= vvvv (1) โดย x, y เปนพกดซงวดไดจากระบบพกดหมน x-y สวน i และ j แสดงเวคเตอรหนงหนวยในทศทาง x และ y ตามลาดบ ความเรวของ A สามารถหาไดโดยหาอนพนธสมการ (1) เทยบกบเวลาดงน

dtjyixdrr BA)ˆˆ( +

+= &v&v (2)

ในกรณทผสงเกตเคลอนทแบบเลอนทเพยงอยางเดยว jyixdt

jyixd ˆˆ)ˆˆ(&& +=

+ ซงจะเหมอนกบ

สมการการเคลอนทสมพทธทไดเรยนมาแลว อยางไรกตามเนองจากในกรณนแกนพกด x-y หมน ดงนนทศทางของเวคเตอร i และ j จะเปลยนแปลงตลอดเวลา การหาอนพนธจงตองหาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวยดวย


(ก) (ข)

รปท 4 การหาคาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวย i และ j [1] รปท 4 แสดงการหาอนพนธของเวคเตอรหนงหนวย i และ j จากรปจะไดวา

jdid ˆˆ θ= และ idjd ˆˆ θ−=

ดงนน ji ˆˆ ω=& และ ij ˆˆ ω−=& (3) หรอเขยนในรปผลการครอสเวคเตอรไดดงน

ii ˆˆ ×ω= v& และ jj ˆˆ ×ω=& (4) แทนความสมพนธในสมการ (4) ลงในสมการ (2) จะสามารถหาความเรวไดดงน

dtjyixdrr BA)ˆˆ( +

+= &v&v

)ˆˆ()ˆˆ( jyixjyixrr BA &&&&&v&v ++++= (5)

เทอม rjyixjyixjyix vvvvv&& ×ω=+×ω=×ω+×ω=+ )ˆˆ(ˆˆˆˆ เทอม jyix ˆˆ && + แสดงความเรวเมอเทยบกบแกน x-y หรอกคอความเรวทผสงเกต สงเกตการเคลอนทของวตถไดนนเอง เรยกเทอมนวาความเรวสมพทธทผสงเกตสงเกตได jyixvrel

ˆˆ &&v +=

ดงนนสมการ (5) จะเขยนไดดงน relBA vrvv vvvvv +×ω+= (7) จะพบวา สมการนจะคลายคลงกบสมการความเรวสมพทธในหวขอกอนๆ เพยงแตจะมเทอม

rvv ×ω เพมเขามา เนองจากผสงเกตทหมนจะไมสามารถสงเกตการหมนได


X

Y

x

y

γ

X

Y

X

Y

x

y

x

y

γ

xyXY rr vv ,

t = 0

X

Y

x

y

XYrvγ

xyXY rr ′′ vv ,

θ

γd

θω &=

t = t1

XYrvΔ

X

Y

X

Y

x

y

x

y

XYrvγ

xyXY rr ′′ vv ,

θ

γd

θω &=

t = t1

XYrvΔ

X

Y

x

yxyXY rr ′′ vv ,

θ

θω &=

xyrv

γ

θγγ −+ d

t = t1

xyrvΔ

X

Y

x

y

x

yxyXY rr ′′ vv ,

θ

θω &=

xyrv

γ

θγγ −+ d

t = t1

xyrvΔ

X

Y

x

y

XYrv

xyXY rr ′′ vv ,

θω &=

xyrv

θθ

xyrvΔ XYrvΔ

rθ

t = t1

X

Y

x

y

XYrv

xyXY rr ′′ vv ,

θω &=

xyrv

θθ

xyrvΔ XYrvΔ

rθ

X

Y

X

Y

x

y

x

y

XYrv

xyXY rr ′′ vv ,

θω &=

xyrv

θθ

xyrvΔ XYrvΔ

rθ

t = t1

(ก) (ข)

(ค) (ง)

รปท 5 ความแตกตางระหวางการสงเกตโดยอางองแกนหยดนง และแกนหมน

รปท 5 แสดงความแตกตางของการสงเกตโดยใชแกนหยดนง และแกนหมน รปท 5(ก) แสดงจดเวลา t=0 ทจดนแกนหยดนง X-Y อยซอนกบแกนหมน x-y โดยตาแหนงของวตถทสงเกตแสดงโดยเวคเตอร XYrv และ xyrv เมอสงเกตจากแกนหยดนงและสงเกตจากแกนหมนตามลาดบ เมอเวลาผานไปเปน t=t1 ดงแสดงในรป 5(ข) แกนหมนจะหมนไปเปนมม θ สวนวตถเคลอนทไปทตาแหนง XYr ′v และ xyr ′v เมอเทยบกบแกนหยดนงและแกนหมน เวคเตอรแสดงการเคลอนทเมอสงเกตจากผสงเกตทหยดนง คอ XYrvΔ รปท 5(ค) แสดงการสงเกตการเคลอนทโดยผสงเกตบนแกนหมน ผสงเกตจะพบวาตาแหนงเดมของวตถอยท xyrv และเมอเวลา t=t1 วตถจะเคลอนทไปท xyr ′v เวคเตอรแสดงการเคลอนทเมอสงเกตจากผสงเกตบนแกนหมน คอ xyrvΔ ซงเหนไดชดวาแตกตางจากเวคเตอร

XYrvΔ ทแสดงในรปท 5(ข) รปท 5(ง) แสดงความแตกตางของเวคเตอร XYrvΔ กบเวคเตอร xyrvΔ โดย

rrr xyXY θ+Δ=Δ vv จากรปนแสดงใหเหนวาผสงเกตทอยบนแกนหมนจะไมสามารถสงเกตการหมนของแกนได ผลการสงเกตจากผสงเกตบนแกนหมนจงตองบวกเวคเตอร rθ เขาไปดวยจงจะไดคาทถกตอง (สาหรบความเรว คอการบวกเทอม rvv ×ω เพมเขาไปนนเอง)


O

A

B

C ω

ωΑΒvΑ vΒ

x

y

O

A

B

C ω

ωΑΒvΑ vΒ

O

A

B

C ωO

A

B

C ω

ωΑΒvΑ vΒ

x

y

Using non-rotating axes

BABA vvv /vvv += BABA vvv /vvv +=

rABvv ×ω rABvv ×ω

An observer at B sees Amoving in a circle around him

Using rotating axes

O

A

B

C ω

ωΑΒ

vΑvΒ x

y

O

A

B

C ω

ωΑΒ

vΑvΒ

O

A

B

C ωO

A

B

C ω

ωΑΒ

vΑvΒ x

y

relBA vrvv vvvvv +×+= ω

rframerotatingvv ×ω −

rABvv ×ω

rframerotatingvv ×ω −

rABvv ×ω

= 0= 0

A fixed with rot. frame, therefore B sees A having no motion

รปท 6 การเปรยบเทยบปญหากลไกขอตอโดยใชแกนไมหมนและแกนหมน

รปท 6 แสดงการเปรยบเทยบการแกปญหากลไกขอตอ เนองจากกลไกขอตอตอกนดวยชนสวนแขงเกรง AB ดงนนปญหานจงสามารถแกไดทงโดยการวเคราะหแบบความเรวสมพทธ (ทเรยนในหวขอกอนหนา) ทางดานซายมอ กบการใชแกนหมนทางดานขวามอ ในกรณใชความเรวสมพทธ และแกนพกดของผสงเกต B ไมหมน B จะมองเหน A เคลอนทเปนวงกลมรอบจด B ดงนน rv ABBA

vvv ×ω=/ อยางไรกตามถาใชการพจารณาแบบแกนหมน โดยตงแกนหมนดงรปทางดานขวามอ จะพบวาจด A และจด B จะเปนจดทไมเคลอนทเทยบกบแกน x-y ทตงขน ดงนนผสงเกตท B จะมองเหน A อยนง (พกดเดมบนแกน x-y ตลอดเวลา) 0=relvv อยางไรกตามสมการจากการพจารณาโดยใชแกนหมนจะเหมอนกบการพจารณาแบบความเรวสมพทธทเรยนมาแลว เนองจากมพจน rr ABframerotating

vvvv ×ω=×ω − เพมเขามา


การสรางสมการความเรงสมพทธสาหรบผสงเกตบนแกนหมน สมการความเรงสมพทธสาหรบผสงเกตบนแกนหมนสามารถสรางไดโดยหาอนพนธของสมการความเรวสมพทธสาหรบผสงเกตบนแกนหมน (สมการ (7)) เทยบกบเวลา ดงน จาก relBA vrvv vvvvv +×ω+= ดงนน relBA vrraa &v&vvv&vvv +×ω+×ω+= (8) พจารณาเทอม r&vv ×ω

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( jyixjyixjyixdtdr &&&&&v +++=+=

relvr +×ω= vv เพราะฉะนน relrel vrvrr vvvvvvvv&vv

×ω+×ω×ω=+×ω×ω=×ω )()( (9) พจารณาเทอม relv&v

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( jyixjyixjyixdtdvrel &&&&&&&&&&&v +++=+=

)ˆˆ()ˆˆ( jyixjyix &&&&&&v +++×ω=

relrel av vvv +×ω= (10) โดย relav หมายถงความเรงทสงเกตไดจากแกนหมน แทนสมการ (9) และ (10) ลงในสมการ (8) จะไดสมการความเรงสมพทธสาหรบผสงเกตบนแกนหมนดงน

relrelBA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω+= 2)( (11)

เพอใหงายตอการจดจาสมการ (11) ใหพจารณารปท 7 ซงแสดงทศทางของความเรงตางๆ ผสงเกตอยทจด B โดยแกนพกดทใช x-y หมนดวยอตราเรวเชงมม ω ผสงเกตสงเกตการเคลอนทของวตถ A ซงเคลอนทตามแนวเสนการเคลอนทสสม จด P เปนจดคงทบนพกด x-y ซงในขณะนนอยตาแหนงเดยวกบจด A

รปท 7 ความเรงตางๆ ในระบบแกนพกดหมน [1]


ผสงเกต B เคลอนทดวยความเรง Bav เมอผสงเกตสงเกตจด P ซงอยทบกบจด A จะพบวาจด P เคลอนทเปนวงกลมรอบผสงเกต (เมอสงเกตโดยใชแกนพกดทไมหมน) ความเรงของจด P เทากบ rv&v ×ω (ความเรงในแนวเสนรอบวง) และ )( rvvv ×ω×ω (ความเรงเขาสศนยกลาง)

อยางไรกตาม ตาแหนงทตองการสงเกตคอจด A ความเรงทจด A เมอเทยบจากจด P จะเทากบ relrel av vvv +×ω2 โดย relav เปนความเรงทมองเหนโดยผสงเกตทอยบนแกนหมน สวน relvvv ×ω2 เปนความเรงทแตกตางเมอสงเกตบนแกนไมหมนและแกนหมน ความเรง

relvvv ×ω2 มชอเรยกวา ความเรง Coriolis ทศทางของความเรง Coriolis นหาไดจากกฎมอขวาตามหลกการครอสเวคเตอร

ขนตอนการแกปญหาโจทย

1. พจารณาวาเปนปญหาทจาเปนจะตองใชแกนพกดหมนแกปญหาหรอไม ตวอยางปญหาทใชแกนพกดหมนแก ไดแก (1) ปญหาความเรวความเรงในกลไก ซงไมไดเชอมตอเปนวตถแขงเกรงอนเดยวกน แตเชอมตอกนดวยกลไกแบบเลอนไถล หรอ (2) ปญหาการเคลอนทสมพทธของอนภาค ซงผสงเกตกาลงเคลอนทแบบหมน หรออยในทางโคง

2. เขยนสมการความเรว relBA vrvv vvvvv +×ω+= และพจารณาคาขนาด และทศทางของแตละเวคเตอร ตามวธการเดยวกบการพจารณาเรองความเรวและความเรงสมพทธ ทไดเรยนมากอนหนาแลวเพอหาคาความเรวทตองการ

3. เขยนสมการความเรง relrelBA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω+= 2)( และใชวธการเดยวกบการพจารณาความเรว เพอหาคาความเรงทตองการ




วธทา ปญหาขอนเปนปญหาการเคลอนทของอนภาคโดยผสงเกตกาลงเคลอนทในทศทางโคง ดงนนในขอนจงตองใชระบบแกนพกดหมนในการพจารณา โดยแกนหมนจะหมนรอบจดศนยกลางความโคงของถนน

5/13 Car B is rounding the curve with a constant speed of 54 km/h, and car A

is approaching car B in the intersection with a constant speed of 72 km/h.

Determine the velocity which car A appears to have to an observer riding in

and turning with car B. The x-y axes are attached to car B. Is this apparent

velocity the negative of the velocity which B appears to have to a nonrotating

observer in car A? The distance separating the two cars at the instant depicted

is 40 m. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/156]

m/s 20ˆ)36001000(72 iivA ==v

m/s ˆ15ˆ)36001000(54 jjvB ==v

rad/s 15.010015

==ρ

=ω Bv หรอ rad/s ˆ15.0 k=ωv

ความเรววตถทตองการสงเกต

ความเรวผสงเกต

ความเรวเชงมมของแกนหมน

ir ˆ40−=v

relBA vrvv vvvvv +×ω+=

ขนาด

ทศทาง

X

X

20 15

jjikr ˆ6)ˆ)(40)(15.0()ˆ40(ˆ15.0 −=−=−×=×ω vv

6

จากตาราง เนองจากมตวไมทราบคา 2 ตว จงสามารถหาคา ไดrelvv


แทนคาความเรวแตละตวลงในสมการความเรวสมพทธสาหรบแกนหมน จะได

relBA vrvv vvvvv +×ω+=

relvjji v+−= ˆ6ˆ15ˆ20

m/s ˆ9ˆ20 jivrel −=v Ans

เปรยบเทยบกบกรณทผสงเกต A มองรถยนต Bในกรณนผสงเกต A เคลอนทในแนวเสนตรง จงสามารถใชวธการความเรวสมพทธตามทเรยนมาในบทท 2 ได

ABAB vvv /vvv +=

ABvij /ˆ20ˆ15 v+=

jiv ABˆ15ˆ20/ +−=v

Ans

ขอสงเกต หรอกลาวอกอยางหนงวา ผสงเกต A มองเหน B ไมเหมอนกบทผสงเกตท B มองเหน A โดยสวนตางของความเรวทงสองเทากบ

relAB vv vv −≠/

jr ˆ6=×ω vv


วธทา จากขอ 5/156 จะไดขอมลดงน

5/14 For the cars of Prob.5/156 traveling with constant speed, determine the

acceleration which car A appears to have to an observer riding in and turning

with car B. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/157]

m/s 20ivA =v m/s ˆ15 jvB =

vrad/s ˆ15.0 k=ωv

ir ˆ40−=v

relrelBA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω+= 2)(

jr ˆ6−=×ω vv m/s ˆ9ˆ20 jivrel −=v

สมการความเรงสมพทธสาหรบแกนพกดหมน

พจารณาทละพจนไดดงน

0=Aav เนองจากรถวงทางตรงดวยความเรวคงท

222

m/s ˆ25.2ˆ100150)ˆ()()( iiivaaa B

tBnBB −=−=+−ρ

=+= vvv

เนองจากรถ B วงดวยอตราเรวคงท0)( =tBav

0=×ω rv&v เนองจากแกนหมนตดกบรถ B ซงวงทางโคงดวยความเรวคงท 0=ω&v

2m/s 9.0)ˆ40ˆ15.0(ˆ15.0)( iikkr =−××=×ω×ω vvv

พจน สามารถหาไดงายโดยพจารณาขนาดจาก สวนทศทางจะมทศทางจากวตถทถกสงเกตพงเขาหาผสงเกตเสมอ

)( rvvv ×ω×ω r2ω

ijjikvrelˆ7.2ˆ6))ˆ9ˆ20(ˆ15.0(22 +=−×=×ω vv

จากสมการความเรงสมพทธพบวามเพยงพจน ซงไมรคาเทานน ดงนนแทนคาพจนตางๆ ทหามาแลวลงในสมการความเรงสมพทธสาหรบแกนหมนจะหาคา ได

relav

relav


relrelBA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω+= 2)(

relaijii v+++++−= )ˆ7.2ˆ6(ˆ9.00ˆ25.20

2m/s ˆ6ˆ35.1 jiarel −−=v Ans


วธทา ปญหาขอนเปนปญหาการเคลอนทของชนสวนกลไก 2 ชน ทไมไดเชอมกนดวยจดยดแนน หรอวตถแขงเกรง แตเปนการเชอมกนดวยชนสวนทไถลกน ดงนนในขอนจงจาเปนตองพจารณาโดยใชแกนพกดแบบหมน

5/15 For the instant represented, link CB is

rotating counterclockwise at a constant

rate N = 4 rad/s, and its pin A causes a

clockwise rotation of the slotted member

ODE. Determine the angular velocity ω

and angular acceleration α of ODE for this

instant. [Engineering Mechanics Dynamics 5th

edition, Meriam & Kraige, prob.5/168]

ตงแกนพกดหมน x-y ดงแสดงในรป จะไดวาผสงเกตอยทจด O และสงเกตการเคลอนทของจด A เวคเตอร จะชจากผสงเกตไปยงจดทสงเกต จงมทศชไปทางขวา

x

y

ODEω

x

y

ODEω

relODEOA vrvv vvvvv +×ω+=

ขนาด

ทศทาง

X XCACBω 0

พจารณาสมการความเรวสมพทธสาหรบแกนหมน

rv

− DE//

จากตารางจะพบวามตวไมทราบคา 2 ตวจงสามารถหาคาไดนาเวคเตอรมาเขยนแผนภาพเวคเตอร และจากแผนภาพจะคานวณคาตางๆ ไดดงน

Avv

rODEvv ×ω

relvv

o45

Avv

rODEvv ×ω

relvv

o45

m/s 48.0)12.0(4 ==⋅ω= CAv CBA

48.012.0 ==⋅ω=⋅ω=×ω AODEODEODE vrrvv

rad/s 4=ωODE Ans

m/s 248.02 == Arel vv


จากตารางจะพบวามตวไมทราบคา 2 ตวจงสามารถหาคาไดคานวณคาตางๆ ททราบไดดงน

Ans

พจารณาสมการความเรงสมพทธสาหรบแกนหมน

relrelODEODEODEODEOA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω+= 2)(

ขนาด

ทศทาง

XCACB2ω 0

− DE//

0=

relrelODEODEODEODEtAnA avrraa vvvvvvv&vvv +×ω+×ω×ω+×ω=+ 2)()()(

rODE ⋅ω2relODEvω2

o45

X

o45

222 m/s 92.1)12.0(4)( ==ω= CAa CBnA

222 m/s 92.1)12.0(4)( ==⋅ω=×ω×ω rr ODEODEODEvvv

2m/s 284.3248.0)4(222 ==ω=×ω relODErelODE vvvv

นาคาททราบมาเขยนแผนภาพเวคเตอรไดดงน

nAa )( v

)( rODEODEvvv ×ω×ω

relODE vvv ×ω2

rODEv&v ×ω

relav

nAa )( v

)( rODEODEvvv ×ω×ω

relODE vvv ×ω2

rODEv&v ×ω

relavคดผลรวมเวคเตอรในแนวระดบ

045cos

45cos22

=−

⋅⋅ω+⋅ω−o

o

rel

relODEODE

a

vr

045cos 45cos284.392.1

=−

⋅+−o

o

rela

2m/s 292.1=rela

คดผลรวมเวคเตอรในแนวดง

o

o &

45cos

45cos2)(

rel

ODErelODEnA

a

rva

−

ω+ω−=

oo & 45cos292.1 45cos284.392.1 −ω+−= rODE

2m/s 7.68 =ω rODE&

2rad/s 64 12.0

7.68==ω=α ODEODE & CCW


แบบฝกหด หวขอ 5/7 1. The disk rolls without slipping on the horizontal surface, and at the instant

represented, the center O has the velocity and acceleration shown in the figure. For this instant, the particle A has the indicated speed u and time-rate-of-change of speed u& , both relative to the disk. Determine the absolute velocity and acceleration of particle A. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans vA = -3.4i m/s, aA = 2i – 0.667j m/s2) 2. Aircraft B has a constant speed of 540 km/h at the bottom of a circular loop of 400-

m radius. Aircraft A flying horizontally in the plane of the loop passes 100 m directly under B at a constant speed of 360 km/h. With coordinate axes attached to B as shown, determine the acceleration which A appears to have to the pilot of B for this instant. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans arel = -4.69k m/s2)


3. Link OA has a constant CW angular velocity of 3 rad/s for a brief interval of its rotation. Determine the angular acceleration αBC of BC for the instant when θ = 60°. First use a rotating-frame analysis, and then verify your result with an absolute-motion approach. [Engineering Mechanics DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige]

(Ans αBC = 0)


4. Determine the angular acceleration α2 of wheel C for the instant when θ = 20°. Wheel A has a constant clockwise angular velocity of 2 rad/s. [Engineering Mechanics

DYNAMICS 5th edition, Meriam & Kraige] (Ans α2 = 16.53 rad/s2 CCW)


วิชา 2103213 กลศาสตร วิศวกรรม 1 (engineering ... ·...

Documents