สอการสอน เรอง

จดท าโดย

ผงมโนทศน

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผลคณคารทเซยน ความสมพนธ

โดเมนและเรนจของความสมพนธ

กราฟของความสมพนธ ตวผกผนของความสมพนธ

ฟงกชน

การด าเนนการของฟงกชน ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนผกผน

เทคนคการเขยนกราฟ

--- --- ---

--- --- --- ---

● มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชน เขยนกราฟ ของฟงกชน และสรางฟงกชนจากโจทยปญหา ทก าหนดใหได

● น าความรเรองฟงกชนไปใชแกปญหาได

สงหนงทเปนพนฐานส าคญในเรองของความสมพนธคอ คอนดบ การเปนคอนดบกคอจะตองเปนคและมอนดบ ใน คณตศาสตรจะเขยนคอนดบในรป (a , b) โดยท a เปนสมาชก

ตวหนา และ b เปนสมาชกตวหลง ซง (a , b) (b , a) แต (a , b) = (b , a) เมอ a = b เทานน หรอ (a , b) = (c , d) กตอเมอ a = c และ b = d

บทนยาม ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอเซตของคอนดบ (a , b) ทงหมด โดยท a เปนสมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A B

ดงนน A B = {(a , b)/a A และ b B}

วธท า

ตวอยางท 1 ก าหนดให A = {0 , 1} , B = { 2 , 4 , 7} จงหา A B และ B A

A B = {(0 , 2), (0 , 4), (0 , 7), (1 , 2), (1 , 4), (1 , 7)} B A = {(2 , 0), (2 , 1), (4 , 0), (4 , 1), (7 , 0), (7 , 1)} จากตวอยางสงเกตเหนวา 1. A B B A 2. n(A B) = n(B A) = n(A) n(B)

ตวอยางท 2 ก าหนดให A = {0} , B = {– 3 , 5} จงหา A B , B A , A A , B B วธท า A B = {(0 , – 3), (0 , 5)} และ n(A B) = 1 2 = 2 B A = {(– 3 , 0), (5 , 0)} และ n(B A) = 2 1 = 2 A A = {(0 , 0)} และ n(A A) = 1 1 = 1 B B = {(– 3 , – 3 ), (– 3 , 5), (5 , – 3), (5 , 5)} และ n(B B) = 2 2 = 4

ตวอยางท 3 ก าหนดให A = {3} , B = {}

จะได A B = {(3 , )} B A = {( , 3)} A A = {(3 , 3)} B B = {( , )}

ตวอยางท 4 ก าหนดให A = , B = {1 , 4}

จะได A B = B A = A A =

B B = {(1 , 1), (1 , 4), (4 , 1), (4 , 4)}

จากทกลาวมาแลววา ผลคณคารทเซยนของเซต A กบเซต B คอเซตของคอนดบ (a , b) ทงหมดโดยท a เปนสมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B ถาแทนความสมพนธดวย r จะกลาวไดวา ความสมพนธเปนสบเซตของผลคณคารทเซยนระหวางเซตสองเซต หรอ r A B และเรยก r A A วาความสมพนธใน A

บทนยาม r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A B ตวอยางท 1 ก าหนดให A = {3 , 4} , B = {6 , 8 , 9} A B = {(3 , 6), (3 , 8), (3 , 9), (4 , 6), (4 , 8), (4 , 9)} ให r1 เปนความสมพนธ “หารลงตว” จาก A ไป B

r1 = {(3 , 6), (3 , 9), (4 , 8)}

ให r2 เปนความสมพนธ “เปนครงหนง” จาก A ไป B r2 = {(3 , 6), (4 , 8)}

ตวอยางท 2 ก าหนดให A = {2 , 4} , B = {2 , 4 , 6 , 8}

ให r1 เปนความสมพนธ “หารลงตว” จาก A ไป B r1 = {(2 , 2), (2 , 4), (2 , 6), (2 , 8), (4 , 4), (4 , 8)} ให r2 เปนความสมพนธ “เปนสองเทา” จาก A ไป A r2 = {(4 , 2)}

ให r3 เปนความสมพนธ “เปนครงหนง” จาก B ไป B r3 = {(2 , 4), (4 , 8)}

ตวอยางท 3 ก าหนดให A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

ให r1 = {(x , y) A A / x + y = 6} r1 = {(1 , 5), (2 , 4), (3 , 3), (4 , 2), (5 , 1)}

r2 = {(4 , 5), (5 , 5)}

r3 = {(1 , 2)}

ให r2 = {(x , y) A A / x > 3 และ y = 5}

ให r3 = {(x , y) A A / y = 2x2}

ถา r เปนความสมพนธ จะเขยนแทน (x , y) r ดวย x r y

บทนยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B โดเมน (Domain) ของ r คอเซตของสมาชกตวหนาของทก คอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr ซง Dr = {x / (x , y) r} เรนจ (Range) ของ r คอเซตของสมาชกตวหลงของทก คอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr ซง Rr = {y / (x , y) r}

ตวอยางท 1 r = {(1 , 2), (2 , 3), (3 , 4), (4 , 5)} Dr = {1 , 2 , 3 , 4} Rr = {2 , 3 , 4 , 5}

ตวอยางท 2 r = {(x , y) A A / x < y}, A = {1 , 2 , 3} Dr = {1 , 2} Rr = {2 , 3}

ตวอยางท 3 A = {-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3}

Dr = {-1 , 0 , 1} Rr = {0 , 1}

r = {(x , y) A A / y = x2} = {(-1 , 1), (0 , 0), (1 , 1)}

ตวอยางท 4 r = {(x , y) A A / x + y = 8}

Dr = {2 , 3 , 4 , 5 , 6}

Rr = {2 , 3 , 4 , 5 , 6}

เมอ A = {x/x N , x < 6 } จงหา Dr และ Rr

r = {(2 , 6), (3 , 5), (4 , 4), (5 , 3), (6 , 2)} วธท า

การหาโดเมน 1. เขยนเงอนไขทใหอยในรป y ในเทอมของ x 2. พจารณาคา x ทท าให y หาคาไมได 3. โดเมนคอเซตของคา x ทงหมดทท าให y หาคาได

การหาเรนจ 1. เขยนเงอนไขทใหอยในรป x ในเทอมของ y 2. พจารณาคา y ทท าให x หาคาไมได 3. เรนจคอเซตของคา y ทงหมดทท าให x หาคาได

ตวอยางท 5 r = {(x , y) R R / y = x + 3} จงหา Dr และ Rr

จากโจทย 1. y = x + 3

3. Dr = {x / x R}

วธท า หา Dr

2. พจารณาคา x จะพบวา x เปนจ านวนจรงใด ๆ จะหาคา y ไดเสมอ

จากโจทย 1. y = x + 3

4. Rr = {x / x R}

หา Rr

3. พจารณาคา y จะพบวา y เปนจ านวนจรงใด ๆ จะหาคา x ไดเสมอ

2. x = y – 3

ตวอยางท 6 r = {(x , y) R R / y = x2 + 1} จงหา Dr และ Rr

จากโจทย 1. y = x2 + 1

3. Dr = {x / x R}

วธท า หา Dr

2. พจารณาคา x จะพบวา x เปนจ านวนจรงใด ๆ จะหาคา y ไดเสมอ

จากโจทย 1. y = x2 + 1 x2 = y – 1

4. Rr = {y / y > 1}

หา Rr

3. พจารณาคา y จาก 2. 1 yx

1 y คา y – 1 > 0 เสมอ

ตวอยางท 7

จากโจทย 1.

3. Dr ={x / x -2}

วธท า หา Dr

2. พจารณาคา x จะพบวา x + 2 0 x -2 เทานน จะหาคา y ไดเสมอ ไมวา x เปนจ านวนจรงใด ๆ กตาม

จงหา Dr และ Rr

2),(

xx

yRRyxr

2xx

y

จากโจทย 1.

3. Rr ={y / y 1}

หา Rr

2xx

y

xyxy 2 yxxy 2

yyx 2)1( 1

2

y

yx

2. พจารณาคา y จะพบวา y – 1 0 y 1 เทานน จะหาคา x ไดเสมอ ไมวา y เปนจ านวนจรงใด ๆ กตาม

ตวอยางท 8

จงหา Dr และ Rr

}216/),{( xyyxr

จาก

นนคอ Dr = [-4 , 4]

วธท า หา Dr พจารณาคา x จะพบวา 16 – x2 > 0

216 xy

ดงนน x [-4 , 4]

เนองจาก

นนคอ Rr = [0 , 4]

หา Rr 0216 xyy มคานอยทสด เมอ x2 = 16 ซง y = 0 y มคามากทสด เมอ x2 = 0 ซง 416 y

บทนยาม R เปนเซตของจ านวนจรง และ r R R กราฟของความสมพนธ r คอเซตของจดในระนาบ โดย ทจดแตละจดแทนสมาชกของความสมพนธ r

ตวอยางท 1 A = {– 1, 0, 1} จงเขยนกราฟของ A A วธท า A A = {(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)}

X

Y

(0,0) (1,0) (-1,0)

(0,1)

(0,-1)

(1,1)

(1,-1)

(-1,1)

(-1,-1)

ตวอยางท 2 วธท า

X

Y

O

จงเขยนกราฟของ r }1/),{( xyyxr

x -2 -1 0 1 y = x + 1 -1 0 1 2

ตวอยางท 3 จงเขยนกราฟของ วธท า

X

Y

O

}2/),{( xyyxr

x -2 -1 0 1 2 y = x2 4 1 0 1 4

ดงนน ถา r = {(x , y) / (x , y) r}

บทนยาม ตวผกผนของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจาก การสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบท เปนสมาชกของ r เขยนแทนตวผกผนของความสมพนธ r ดวย r-1

แลว r-1 = {(y , x) / (x , y) r} จะเหนวา 1 rRrD และ 1 rDrR

ตวอยางท 1

จงหา

)}9,3(),8,2(),4,1{( r

วธท า

11 ,1

rRและrDr

)}3,9(),2,8(),1,4{(1 r

rRrD }9,8,4{1

rDrR }3,2,1{1

ตวอยางท 2 จงหา }2/),{( xyyxr

วธท า

11 ,1

rRและrDr

}2/),{(1 yxyxr}/{1 RxxrRrD }/{1 RxxrDrR

พรอมทงเขยนกราฟของ r และ r-1 ในระบบแกนมมฉากเดยวกน

หรอ }2/),{(1 xyyxrและ

X

Y

O r

y = x r-1

ตวอยางท 3 จงหา }3/),{( xyyxr

วธท า

11 ,1

rRและrDr

}0,3/),{(1 xyxyxr

}0/{1 xxrRrD

}3/{1 xxrDrR

พรอมทงเขยนกราฟของ r และ r-1 ในระบบแกนมมฉากเดยวกน

หรอ }0,32/),{(1 xyxyxr

และ

}0,32/),{(1 xxyyxr

ดงนน

เขยนกราฟของ r และ r-1 ไดดงน

X

Y

O

r

r-1

y = x

บทนยาม ฟงกชน คอความสมพนธในสองคอนดบใด ๆ ของ ความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเทากนแลว สมาชกตวหลง ตองเทากน จากบทนยามกลาวไดวา ฟงกชน f คอ ความสมพนธ ซงส าหรบ x , y และ z ใด ๆ ถา (x,y) f และ (x,z) f แลว y = z ดงนน ถาม x , y และ z ซง (x,y) f และ (x,z) f แต y z จะไดวา f ไมเปนฟงกชน

ตวอยางท 1 จงพจารณาวาความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน 1. {(1 , a), (1 , b), (2 , a), (3 , c)} 2. {(1 , b), (5 , b), (10 , b)} 3. {(4 , 10), (8 , -10), (12 , 10), (8 , 10)}

วธท า ขอ 1 ไมเปนฟงกชน เพราะวา (1 , a), (1 , b) มสมาชก ตวหนาเทากน แตสมาชกตวหลงตางกน ขอ 2 เปนฟงกชน เพราะวาไมมสมาชกตวหนาซ ากน

ขอ 3 ไมเปนฟงกชน เพราะวา (8 , -10), (8 , 10) มสมาชก ตวหนาเทากน แตสมาชกตวหลงตางกน

ตวอยางท 2 จงพจารณาวาความสมพนธใดเปนฟงกชน

วธท า 1. ให (x , y), (x , z) f จะได y = x2 – 5 และ z = x2 – 5 ดงนน y = z เสมอ ดงนน f เปนฟงกชน 2. จาก x = y2 + 1 ให x = 5 จะได 5 = y2 +1

}52/),{( .1 xyyx}12/),{( .2 yxyx

}/),{( .3 xyyx

จะได y2 = 4 ดงนน y = –2 , 2 แสดงวา f ไมเปนฟงกชน 3. ให (x , y), (x , z) f จะได xzและxy

ดงนน y = z เสมอ ดงนน f เปนฟงกชน

การพจารณาวา ความสมพนธทเปนกราฟวาเปนฟงกชน หรอไม ใหลากเสนตรงขนานกบแกน Y ใหผานกราฟ ถา เสนตรงตดกราฟของความสมพนธทก าหนดใหไมเกน 1 จด จะสรปไดวาความสมพนธนนเปนฟงกชน แตถาเสนตรง ตดกราฟมากกวา 1 จด ความสมพนธนนจะไมเปนฟงกชน เชน

X

Y

O

จากรปขางตน จะไดวากราฟของความสมพนธนเปนฟงกชน

เสนขนานกบแกน Y ตด กราฟเพยงจดเดยว

ตวอยาง จงพจารณากราฟจากขอตอไปนเปนฟงกชนหรอไม

วธท า

}12/),{( .1 xyyxr}2/),{( .2 xyyxr

}/),{( .3 yxyxr

เขยนกราฟไดดงน }12/),{( .1 xyyxr

X

Y

O

ดงนน r เปนฟงกชน

}2/),{( .2 xyyxr

}/),{( .3 yxyxr

เขยนกราฟไดดงน

X

Y

O

ดงนน r ไมเปนฟงกชน เขยนกราฟไดดงน

X

Y

O ดงนน r ไมเปนฟงกชน

ตดกราฟมากกวา 1 จด

ตดกราฟมากกวา 1 จด

ขอตกลงเกยวกบสญลกษณ

บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชน ทมโดเมน คอ A และมเรนจเปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย f : A B เมอ Df = A และ Rf B

ในกรณทความสมพนธ r เปนฟงกชนจะเขยน y = f(x) แทน (x , y) f และเรยก f(x) วาเปนคาของฟงกชน f ท x อานวา เอฟของเอกซ หรอ เอฟทเอกซ หรอ เอฟเอกซ

โดยทวไปเมอกลาววา f เปนฟงกชนจะหมายถงฟงกชนจาก สบเซตของ R ไป R

ตวอยาง ให A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8} ถา f = {(10,8), (15,4), (20,4), (25,8)}

จะไดวา

g = {(2,10), (4,10), (6,15), (8,25)}

Df = {10, 15, 20, 25} = A และ Rf = {4, 8} B

ดงนน f : A B

และถา

จะไดวา Dg = {2, 4, 6, 8} = B และ Rg = {10, 15, 25} A

ดงนน g : B A

บทนยาม f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปน ฟงกชนทมโดเมน คอ A และมเรนจคอ B เขยนแทนดวย f : A B เมอ Df = A และ Rf = B ทวถง

ตวอยาง ให A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8} ถา f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)}

จะไดวา Df = {10, 15, 20, 25} = A และ Rf = {2, 4, 6, 8} B

ดงนน f : A B ทวถง

บทนยาม f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B ทส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2 เขยนแทนดวย f : A B 1 – 1

ตวอยาง ให A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8, 10} ถา f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)} จะไดวา

ดงนน f : A B

10152025

2 4 6 8 10

A B

1 – 1

บทนยาม f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B ทส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2 เขยนแทนดวย f : A B 1 – 1

ตวอยาง ให A = {10, 15, 20, 25} , B = {2, 4, 6, 8} ถา f = {(10,2), (15,4), (20,6), (25,8)} จะไดวา

ดงนน f : A B

10152025

2 4 6 8

A B

1 – 1

ทวถง

ทวถง

ตวอยาง จงตรวจสอบวา ฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปน ฟงกชนหนงตอหนงหรอไม

วธท า

1. f(x) = mx + b เมอ m 0 2. f(x) = x2 + 2x + 1 1. จาก f(x) = mx + b เมอ m 0 ให x1 , x2 เปนจ านวนจรงใด ๆ สมมต f(x1) = f(x2)

จะได mx1 + b = mx2 + b mx1 = mx2 เนองจาก m 0

ดงนน x1 = x2 นนคอ f เปนฟงกชนหนงตอหนง

2. f(x) = x2 + 2x + 1 ให x1 , x2 เปนจ านวนจรงใด ๆ สมมต f(x1) = f(x2) จะได (x1)2

+ 2x1 +1 = (x2)2 + 2x2 +1

จะเหนวา มกรณท x1 x2 แต f(x1) = f(x2)

นนคอ f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

(x1)2 - (x2)2 + 2x1 - 2x2 = 0

(x1 - x2)(x1 + x2 + 2) = 0 นนคอ x1 = x2 หรอ x2 = - x1 - 2

เชน x1 = -2 จะได x2 = - (-2) – 2 = 0 ซง f(x1) = f(x2)

จากการตรวจสอบฟงกชนในตวอยางขางตน ฟงกชน f(x) = mx + b เมอ m 0 เปนฟงกชนหนงตอหนง และ ฟงกชน f(x) = x2 + 2x + 1 ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง เมอพจารณากราฟของฟงกชนทงสอง จะพบวา

ถาลากเสนตรงขนานกบแกน X ตดกราฟ แลวตดกราฟ เพยงจดเดยว จะสรปวากราฟนนเปนฟงกชนหนงตอหนง แตถาตดกราฟมากกวาหนงจดกราฟนนจะไมเปนฟงกชน หนงตอหนง

เนองจาก f(x1) = f(x2) แต x1 x2

จาก f(x) = mx + b เมอ m 0 เขยนกราฟไดดงน

X

Y

O

y = mx + b

จะเหนวาเสนตรงทขนานกบแกน X ตดกราฟเพยงจดเดยว ดงนนกราฟนเปนฟงกชนหนงตอหนง

จาก f(x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 เขยนกราฟไดดงน

X

Y

O

จะเหนวาเสนตรงทขนานกบแกน X ตดกราฟมากกวาหนงจด ดงนนกราฟนไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

ฟงกชนแบงออกเปน 2 ชนด คอ ฟงกชนพชคณต (Algebraic function) และฟงกชนอดสย (Trancendental function)

ฟงกชนพชคณต คอ ฟงกชนทมนพจนประกอบดวยคาคงท ตวแปร และเครองหมายบวก ลบ คณ หาร ยกก าลง หรอราก

1. ฟงกชนเชงเสน (Linear function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a , b R เชน f(x) = 3x – 5 , f(x) = 2 – 4x

2. ฟงกชนคงตว (Constant function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = b เมอ b R เชน f(x) = 3 , f(x) = 2

3. ฟงกชนคาสมบรณ (Absolute value function) คอ ฟงกชน ทมเครองหมายคาสมบรณ เชน f(x) = /3x – 5/ , f(x) = – /x/ + 4 4. ฟงกชนขนบนได (Step function) คอ ฟงกชนทมคาคงตว เปนชวง ๆ กราฟของฟงกชนนมรปคลายขนบนได

เชน

15 8

153 5

3 0

)(

xเมอ

xเมอ

xเมอ

xf

5. ฟงกชนก าลงสอง (Quadratic function) คอ ฟงกชนทอยใน รป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a,b,c R และ a 0 เชน f(x) = 2x2 , f(x) = x2 + 3 , f(x) = 2 – 5x – x2

6. ฟงกชนพหนาม (Polynomial function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = anxn+an-1xn-1+ ... +a2x2+a1x+a0 โดยท an,an-1,...,a2,a1,a0 R

เชน f(x) = x3 + x2 – 2x +1 , f(x) = x4 – 2x2 + x – 1

7. ฟงกชนทเปนคาบ (Periodic function) คอ f เปนฟงกชนทเปน คาบกตอเมอมจ านวนจรง p ซง f(x + p) = f(x) ส าหรบทกคาของ x และ x + p ทอยในโดเมนของ f

เชน

21 ; 1

10 ; 1)( xx

xxxf

ฟงกชนอดสย คอ ฟงกชนใด ๆ ทไมใชฟงกชนพชคณต 1. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (Exponential function) คอ ฟงกชน ทอยในรป f(x) = ax เมอ a > 0 และ a 1 เชน f(x) = 2x , f(x) = 32x 2. ฟงกชนลอการทม (Logarithm function) คอ ฟงกชนทอยใน รป f(x) = logax เมอ a > 0 และ a 1 เชน f(x) = log2x , f(x) = log35x 3. ฟงกชนตรโกณมต (Trigonometric function) คอ ฟงกชนทอย ในรปตรโกณมต เชน f(x) = sin x , f(x) = 2cos 3x 4. ฟงกชนตรโกณมตผกผน เชน f(x) = arctan x , f(x) = arcsin x 5. Hyperbolic function

ฟงกชนเพมและฟงกชนลด บทนยาม ให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของ เซตของจ านวนจรง และ A เปนสบเซตของโดเมน 1. f เปนฟงกชนเพม (increasing function) บน A กตอเมอ ส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2) 2. f เปนฟงกชนลด (decreasing function) บน A กตอเมอ ส าหรบ x1 , x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)

X

Y

O X

Y

O x1 x1 x2 x2 f(x1)

f(x1) f(x2) f(x2)

ฟงกชนเพม

ฟงกชนลด

ตวอยาง จงพจารณาวา ฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเพมหรอ ฟงกชนลดบนเซต R

วธท า

1. f(x) = 3x + 2 2. g(x) = –x3 +1 1. จาก f(x) = 3x + 2 ให x1 , x2 เปนจ านวนจรงใด ๆ ซง x1 < x2 จะได 3x1 < 3x2

ดงนน f(x1) < f(x2) นนคอ f เปนฟงกชนเพม

3x1 + 2 < 3x2 + 2

2. จาก g(x) = –x3 +1

ให x1 , x2 เปนจ านวนจรงใด ๆ ซง x1 < x2

จะได (x1)3 < (x2)3

นนคอ g เปนฟงกชนลด

-(x1)3 > -(x2)3 -(x1)3 +1 > -(x2)3 +1

ดงนน g(x1) > g(x2)

บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซต ของ R ผลบวก (sum) ผลตาง (difference) ผลคณ (product) และ ผลหาร (quotient) ของ f และ g เขยนแทนดวย f + g, f – g, fg และ ตามล าดบ เปนฟงกชนทก าหนดคาโดย

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) gf

2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) 3. (fg)(x) = f(x)g(x)

4. )()(

)(xgxf

xgf

เมอ g(x) 0

ซง Df + g= Df – g= Dfg= Df Dg และ }0)(/{)( xgxgDfD

gfD

ตวอยางท 1 ก าหนดให f = {(2,5),(4,10),(6,12),(8,20)} และ g = {(2,1),(4,2),(5,3),(6,4)} จงหา f + g,f – g,fg,

วธท า ดงนน Df + g = Df – g = Dfg = Df/g = Df Dg = {2, 4, 6}

จากโจทย Df = {2, 4, 6, 8} และ Dg = {2, 4, 5, 6} gf

นนคอ f + g = {(2,6),(4,12),(6,16)} f - g = {(2,4),(4,8),(6,8)} fg = {(2,5),(4,20),(6,48)}

)}3,6(),5,4(),5,2{(gf

ตวอยางท 2 ก าหนดให f(x) = x + 2 , g(x) = x2 จงหา f + g , f – g , fg ,

วธท า gf

จากโจทย Df = Dg = R ดงนน Df + g = Df – g = Dfg = Df Dg = R

f + g = {(x , y)/ y = x + 2 + x2} f - g = {(x , y)/ y = x + 2 - x2} fg = {(x , y)/ y = (x + 2)x2}

0,22

/),( xx

xyyx

gf

และ Df/g = (Df Dg) – {x/g(x) = 0} = R – {0}

ตวอยางท 3 ก าหนดให f(x) = 2x + 1 , g(x) = x2 – 1 จงหา (f + g)(x) , (f – g)(x) , (fg)(x) , วธท า

)(xgf

จากโจทย Df = Dg = R

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + 2x (f – g)(x) = f(x) – g(x) = (2x + 1) – (x2 – 1) = –x2 + 2x + 2 (fg)(x) = f(x)g(x) = (2x + 1)(x2 – 1) = 2x3 + x2 – 2x – 1

012,1212

)()(

)(

x

x

xxgxf

xgf

ดงนน Df + g = Df – g = Dfg = Df Dg = R และ Df/g = (Df Dg) – {x/g(x) = 0} = R – {–1 , 1}

ตวอยางท 4 ก าหนดให f(x) = x3 + 1 , จงหา (f + g)(x) , (f – g)(x) , (fg)(x) , วธท า

)(xgf

จากโจทย Df = R และ Dg = [0 , )

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (f – g)(x) = f(x) – g(x) = (fg)(x) = f(x)g(x) =

xx

xgxf

xgf 13

)()(

)(

ดงนน Df + g = Df – g = Dfg = Df Dg = [0 , ) และ Df/g = [0 , ) – {0} = (0 , )

xxg )(

xx 13

xx 13

xx )13(

ตวอยางท 5 จากตวอยางท 4 จงหา (f + g)(1) , (f – g)(-2) , (fg)(2) , วธท า

)4(

gf

จาก (f + g)(x) = f(x) + g(x) =

จาก (f – g)(x) = f(x) – g(x) =

จาก (fg)(x) = f(x)g(x) =

xx

xgxf

xgf

จาก13

)()(

)(

xx 13

xx 13

xx )13(

จะได (f + g)(1) = f(1) + g(1) = (13 + 1) +1 = 3

จะได (f - g)(-2) หาคาไมได เนองจาก -2 [0 , )

จะได (fg)(2) = f(2)g(2) = 292)132(

265

4134

)4()4(

)4(

gf

gf

จะได

ให f และ g เปนฟงกชน ดงแผนภาพ A B C

1

2

3

a

b

c

p

q

r

f g

จากแผนภาพจะได f(1)=a, f(2)=c, f(3)=b, g(a)=p, g(b)=p, g(c)=q

ดงนน g(f(1)) = p, g(f(2)) = q, g(f(3)) = p

จะเหนวาฟงกชนทสรางขนใหมเปนฟงกชนจากเซต A ไปเซต C เขยนแทนฟงกชนนวา gof (อานวา จโอเอฟ) และเรยกวาฟงกชนประกอบของ f และ g

จาก (gof)(1)=g(f(1))=p, (gof)(2)=g(f(2))=q, (gof)(3)=g(f(3))=p A B C

f g x y=f(x) z=g(y)=g(f(x))

gof

บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชน และ Rf Dg

ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย gof คอฟงกชน ทมโดเมนคอ Dgof = {x Df / f(x) Dg} และก าหนดคาโดย gof (x) = g(f(x)) ส าหรบทก x ใน Dgof

ตวอยางท 1 ให f = {(1,3),(2,4),(3,5)} และ g = {(3,2),(4,3),(5,5)} จงหา gof และ fog

วธท า จะหา gof ตองหา Rf Dg = {3,4,5} {3,4,5}

ดงนนมฟงกชน gof ซง gof = {(1,2),(2,3),(3,5)}

จะหา fog ตองหา Rg Df = {2,3,5} {1,2,3}

ดงนนมฟงกชน fog ซง fog = {(3,4),(4,5)}

ขอสงเกต fog gof

ตวอยางท 2 ให g(x) = 2x – 3 และ h(x) = x + 1

วธท า

จงหา h(g(2)) และ g(h(2))

จากโจทยจะได Dg = R , Rg = R และ Dh = R , Rh = R

ดงนน Rg Dh และ Rh Dg

นนคอ h(g(2)) =

g(h(2)) =

h(4 – 3) = h(1) =

g(2 + 1) = g(3) =

1 + 1 = 2

6 – 3 = 3

ตวอยางท 3 ให f(x) = –2x และ g(x) = x2

วธท า จากโจทยจะได Df = R , Rf = R และ Dg = R , Rg = [0 , )

ดงนน Rf Dg และ Rg Df

นนคอ g(f(x)) =

f(g(x)) =

g(–2x) = (–2x)2 =

f(x2) = –2x2

4x2

จงหา g(f(x)) และ f(g(x)) พรอมทงหาโดเมนและเรนจ

Dgof = R และ Rgof = [0 , )

Dfog = R และ Rfog = (– , 0]

ตวอยางท 4 ให f(x) = x + 1 และ

วธท า จากโจทยจะได Df = R , Rf = R และ Dg = [0 , ) , Rg = [0 , )

ดงนน Rf Dg และ Rg Df

นนคอ g(f(x)) =

f(g(x)) =

g(x + 1) =

จงหา g(f(x)) และ f(g(x)) พรอมทงหาโดเมนและเรนจ

Dgof = [–1 , ) และ Rgof = [0 , )

Dfog = [0 , ) และ Rfog = [1 , )

xxg )(

1x

)( xf 1x

ตวอยางท 5 ให g(x) = 2x + 1 และ h(x) = 4x2 + 4x + 7

วธท า จากโจทย f(g(x)) = h(x)

f(2x + 1) = 4x2 + 4x + 7

= 4x2 + 4x + 1 + 6

จงหา f(x) ซง f(g(x)) = h(x)

= (2x + 1)2 + 6 f(x) = x2 + 6

ตวอยางท 6 ให f(x) = 3x + 5 และ h(x) = 3x2 + 3x + 2

วธท า จากโจทย f(x) = 3x + 5

(1) = (2) 3g(x) = 3x2 + 3x – 3

จงหา g(x) ซง f(g(x)) = h(x)

(1)

g(x) = x2 + x – 1

และ f(g(x)) = h(x) จะได f(g(x)) = 3g(x) + 5

(2) จะได 3g(x) + 5 = 3x2 + 3x + 2

ทฤษฎบท ให f เปนฟงกชน f มฟงกชนผกผน กตอเมอ f เปนฟงกชน 1 – 1

นนคอ f -1 เปนฟงกชน ตวอยางท 1 ให f = {(x , y) / y = 2x + 1} จงหา f -1 วธท า จาก f = {(x , y) / y = 2x + 1} ดงนน f -1 = {(y , x) / y = 2x + 1} หรอ f -1 = {(x , y) / x = 2y + 1}

หรอ

21

/),(1 xyyxf

ตวอยางท 2 ให f(x) = x3 จงหา f -1(x) วธท า จาก f(x) = x3 ดงนน x = y3

จะได y = x3 นนคอ 3 xy

3)(1 xxf

ตวอยางท 3 ให f(x) = x2 จงหา f -1(x) วธท า จาก f(x) = x2 ดงนน x = y2

จะได y = x2 นนคอ xy

xxf )(1 ซงไมเปนฟงกชน การหากราฟของฟงกชนผกผนใชวธเดยวกบการหาความสมพนธผกผน

X

Y

O

–1

0

1

y = x2

y = x2 + 1

y = x2 – 2

การเลอนกราฟในแนวตง

1. จากกราฟของ y = f(x) ถาเลอนกราฟขนขางบน c หนวย

จะไดสมการของกราฟเปน y = f(x) + c เมอ c > 0

2. จากกราฟของ y = f(x) ถาเลอนกราฟลงขางลาง c หนวย

จะไดสมการของกราฟเปน y = f(x) – c เมอ c > 0

การเลอนกราฟในแนวตง จะท าใหสมการของกราฟ เกดการเปลยนแปลง ดงน

X

Y

O –1 0 1

y = x2 y = (x + 1)2 y = (x – 1)2

การเลอนกราฟในแนวนอน

1. จากกราฟของ y = f(x) ถาเลอนกราฟไปทางขวา c หนวย

จะไดสมการของกราฟเปน y = f(x – c ) เมอ c > 0

2. จากกราฟของ y = f(x) ถาเลอนกราฟไปทางซาย c หนวย

จะไดสมการของกราฟเปน y = f(x + c) เมอ c > 0

การเลอนกราฟในแนวนอน จะท าใหสมการของกราฟ เกดการเปลยนแปลง ดงน

ตวอยางท 1 จงเขยนกราฟตอไปน 1. y = /x/ + 3 2. y = /x/ – 2

วธท า พจารณากราฟของ y = /x/

X

Y

O

y = /x/

y = /x/ + 3

y = /x/ – 2

ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟตอไปน 1. y = /x + 1/ 2. y = /x – 2/ 3. y = /x – 3/ + 1

วธท า พจารณากราฟของ y = /x/

X

Y

O

y = /x/ y = /x + 1/ y = /x – 2/ y = /x – 3/ + 1

y = /x – 3/