สารบัญ - satrinon.ac.thsatrinon.ac.th/a/stat2.pdf ·...

สารบญ

หนา

ใบความรท 9 เรอง คามาตรฐาน 1

แบบฝกหด 2.1 เรอง คามาตรฐาน 5

แบบฝกหด เรอง คามาตรฐาน 7

ใบความรท 10 เรอง การแจกแจงปกต 12

ใบความรท 11 เรอง การหาพนทใตเสนโคงปกต 14

แบบฝกหด เรอง พนทใตกราฟโคงปกตมาตรฐาน 23

แบบฝกหด 2.2เรอง การหาพนทใตเสนโคงปกต 25

แบบฝกทกษะ เรอง การแจกแจงปกต 29

วชาคณตศาสตร (ค30206/ ค33292) เรอง การแจกแจงปกต โรงเรยนสตรนนทบร ระดบชนมธยมศกษาปท 6 ภาคเรยนท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

Page 1

ใบความรท 9 เรอง คามาตรฐาน

คามาตรฐาน เปนคาทใชเปรยบเทยบคาของขอมล ตงแต 2 ตวขนไปทมาจากขอมลคนละชด วาขอมลใดมคณภาพดกวากน และยงเปนพนฐานส าคญทจะน าไปใชในการหาพนทใตเสนโคงปกตไดอกวธหนงดวย

ความหมายของคามาตรฐาน คามาตรฐานเปนคาทบอกใหทราบวา ความแตกตางระหวางคาขอมลนนๆ กบคาเฉลยเลขคณตของขอมล

ชดนน เปนกเทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน ถา xi เปนคาท i ของตวแปร X แลว คามาตรฐานของ xi คอ

Zi =

ix เมอ i = 1, 2, 3, …, N

โดยท xi แทน คาท i ของตวแปร X แทนคาเฉลยเลขคณตของประชากร แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร N แทนจ านวนประชากร

หรอ Zi = s

xxi เมอ i = 1, 2, 3, …, n

โดยท xi แทน คาท i ของตวแปร X x แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง s แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง n แทนจ านวนตวอยาง ตวอยางท 1 ในการสอบครงหนง ถาคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเปน 500 และ 50 คะแนน ตามล าดบ ถาถอเกณฑตดสนวาผทสอบไดตองไดคะแนนตงแต 600 คะแนนขนไป อยากทราบวา คนทสอบไดนนตองสอบไดคามาตรฐานอยางต าเปนเทาใด

วธท า จาก Zi = s

xx i

จากโจทย x = 500 , s = 50 , xi = 600 แทนคา Zi =

50

500600

จะตองไดคามาตรฐานอยางต าทสด 2.0 จงจะสอบได


Page 2

ตวอยางท 2 คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงมคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 73 และ 16 คะแนน ตามล าดบ ถาคามาตรฐานของคะแนนสอบวชานของนกเรยนคนหนงในหองน คอ 0.2 อยากทราบวานกเรยนคนนสอบไดกคะแนน

วธท า จาก Zi = s

xx i

จากโจทย x = 73 , s = 16 , Zi = 0.2 แทนคา

0.2 = 16

73x

x = ( 0.2 x 16) + 73 = 76.2 นนคอ นกเรยนคนนสอบวชาคณตศาสตร ได 76.2 คะแนน การเปรยบเทยบคาของขอมล โดยใชคามาตรฐาน คามาตรฐาน เปนคาทใชเปรยบเทยบคาของขอมล ตงแต 2 ตวขนไป วาขอมลตวใดมคณภาพดกวากน เชน ตองการเปรยบเทยบผลการเรยนวชาคณตศาสตร กบ ภาษาไทย ของนกเรยนคนหนงในชนเรยนวา เขาจะเรยนวชาใดไดดกวา เราจะน าคะแนนทนกเรยนคนนสอบไดมาเปรยบเทยบกนเลยยอมไมถกตองนก ถงแมวาจะใชคะแนนเตมเทากนกตาม ทงนเพราะความยากงายของแตละวชาตางกน ดงนนจงจ าเปนทจะแปลงคะแนนทสอบไดในแตละวชา ใหเปนคามาตรฐานเสยกอน ถาคามาตรฐานวชาใดสงกวา ถอวาเขาสอบวชานนไดดกวา ตวอยางท 3 ในการสอบคดเลอกเขาท างานในหนวยงานแหงหนง ซงมวชาทตองสอบ 2 วชาปรากฎวา จากผสมครทงหมดม ผทสอบไดคะแนนรวมกนสงสด 3 คน คอ นายมงคล , นางสาวนารรตน และนาย สชาต ซงไดคะแนนในแตละวชา ดงน

วชาท 1 วชาท 2 นายมงคล 70 72 นางสาวนารรตน 80 65 นายสชาต 72 73 คาเฉลยเลขคณต ( x ) 75 70 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (S) 5 10

ถาหนวยงานแหงน ตองการรบเพยงคนเดยว และส ารองหนงคน ผทจะไดรบการคดเลอกไวเปนตวจร ง และตวส ารองคอใคร วธท า - หาคามาตรฐานในแตละวชาของนายมงคล ไดดงน Z1 =

5

7570 = –1

Z2 = 10

7072 = 0.2


Page 3

คามาตรฐานเฉลยของนายมงคล = 2

2.01 = –0.4

- หาคามาตรฐานในแตละวชาของนางสาวนารรตน ไดดงน Z1 =

5

7580 = 1

Z2 = 10

7065 = –0.5

คามาตรฐานเฉลยของนางสาวนารรตน = 2

5.01 = 0.25

- หาคามาตรฐานในแตละวชาของนายสชาต ไดดงน Z1 =

5

7572 = –0.6

Z2 = 10

7073 = 0.3

คามาตรฐานเฉลยของนายสชาต = 2

3.06.0 = –0.15

คามาตรฐาน (Z) ของนางสาวนารรตนมากทสด และรองลงมาคอ นายสชาต ตวจรง คอ นางสาวนารรตน และส ารอง คอ นายสชาต

ตวอยางท 4 ในการสอบคดเลอกเขาเรยนตอในสถาบนแหงหนง วชาทตองสอบม 3 วชา คอ คณตศาสตร ภาษาไทย และภาษาองกฤษ นาย ก. นาย ข. และนาย ค. เขาสอบไดคะแนน ดงน

คณตศาสตร ภาษาไทย ภาษาองกฤษ นาย ก. 70 75 70 นาย ข. 75 75 65 นาย ค. 70 70 70 คาเฉลยเลขคณต ( x ) 70 80 70 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (S) 5 5 10

จงเปรยบเทยบความสามารถในการเรยนของคนทงสาม วธท า - หาคามาตรฐานในแตละวชาของนาย ก. ไดดงน Z1 =

5

7070 = 0

Z2 = 5

8075 = –1

Z3 = 10

7070 = 0

คามาตรฐานเฉลยของนาย ก. = 3

010 = –0.33

- หาคามาตรฐานในแตละวชาของนาย ข. ไดดงน


Page 4

Z1 = 5

7075 = 1

Z2 = 5

8075 = –1

Z3 = 10

7065 = –0.5

คามาตรฐานเฉลยของนาย ข. = 3

5.011 = –0.17

- หาคามาตรฐานในแตละวชาของนาย ค. ไดดงน Z1 =

5

7070 = 0

Z2 = 5

8070 = –2

Z3 =

10

7070 = 0

คามาตรฐานเฉลยของนาย ค. = 3

020 = –0.67

คามาตรฐานของนาย ข. มคามากทสด รองลงมา คอ นาย ก. และ นาย ค. ตามล าดบ แสดงวา นาย ข. มความสามารถในการเรยนมากทสด รองลงมา คอ นาย ก. และ นาย ค. ตามล าดบ ขอสงเกตเกยวกบคามาตรฐาน 1. คามาตรฐานของขอมลใด ๆ จะเปนบวก ศนย หรอลบกได ทงนขนอยกบคาของขอมลนนๆ กบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน วาคาใดจะมากกวากน 2. คาเฉลยเลขคณตของคามาตรฐานเทากบศนย และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคามาตรฐานเทากบ 1 3. คามาตรฐานของขอมลใด ๆ โดยทวไป จะมคาตงแต – 3 ถง + 3 แตอาจจะม คามาตรฐานของขอมลบางคาทสงกวา + 3 หรอต ากวา – 3 เลกนอยกได 4. คามาตรฐานไมมหนวย 5. ผลรวมของคามาตรฐานของขอมลชดหนง ๆ จะเทากบศนย


Page 5

แบบฝกหด 2.1 1. ด.ช. วย สอบไดคะแนนวชาคณตศาสตรในชน ม. 3 และ ม. 4 เปน 75 คะแนน และ 80 คะแนน ตามล าดบ ถาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนวชาคณตศาสตรของนกเรยนทกคนในชน ม. 3 ท ด.ช. วชยเรยนอยเทากบ 70 และ 15 คะแนน และของนกเรยนทกคนในชน ม. 4 เทากบ 80 และ 20 คะแนน ตามล าดบ ด.ช. วชย เรยนวชาคณตศาสตรในชนไหนไดดกวากน 2. ในการทดสอบเวลาทใชในการแขงระยะทาง 100 เมตร ของนกกฬาในโรงเรยนแหงหนง เพอคดเลอกตวแทนไปท าการแขงขนกบโรงเรยนอน จะถอวาผทผานการทดสอบจะตองไดคามาตรฐานของเวลาทใชไมสงกวา 1.0 ถาจากผลการทดสอบปรากฏวานกกฬาใชเวลามากกวา 12 วนาท ไมผานการทดสอบ ถามวาในการทดสอบคราวนคาเฉลยเลขคณตของเวลาทใชในการวงของนกกฬาทงหมดเปนเทาไร ถาสวนเบยงเบนมาตรฐานของเวลาทใชในการวงของนกกฬาเปน 1.1 วนาท 3. ถาคะแนนสอบวชาตาง ๆ ของ ด.ญ. จตรา คาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนแตละวชาของนกเรยนทงหมดในชนท ด.ญ. จตรา เรยนอยเปนดงน วชา คะแนนทสอบได คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐาน ภาษาไทย 80 85 15 ภาษาองกฤษ 60 75 20 วทยาศาสตร 70 65 5 ด.ญ. จตรา เรยนวชาไหนไดดกวากน


Page 6

4. ในโรงงานอตสาหกรรมแหงหนงตองการรบสมครคนงานทเปนชาย โดยมขอแมวาคนงานทบรษทจะรบเขาท างานจะตองมคามาตรฐานของอายตงแต 2.0 ขนไป ถาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายของคนงานทงหมดทมาสมครเขาท างานเปน 25 ป และ 2 ป ตามล าดบ คนงานทมอายตงแตเทาไรขนไป จงจะมโอกาสไดรบเลอกเขาเปนคนงานของโรงงานอตสาหกรรม 5. ในการสอบคดเลอกเขาท างานในหนวยงานแหงหนง ซงมวชาทจะตองสอบ 3 วชา ถาผสมครเขาสอบคดเลอกจ านวน 2 คน คอ นาย ก และนางสาว ข ไดคะแนนในแตละวชาเปนดงน วชาท 1 วชาท 2 วชาท 3 นาย ก 70 75 75 นางสาว ข 75 50 95 จงหาวา นาย ก หรอนางสาว ข จะไดต าแหนงทในการสอบคดเลอกดกวากน ถาคาเฉลยเลขคณตของวชาท 1 วชชาท 2 และวชาท 3 ของคะแนนของผสมครสอบทงหมดเปน 70, 70 และ 80 คะแนน และสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 5, 10 และ 15 คะแนนตามล าดบ ถาหนวยงานแหงน ตงหลกเกณฑไววา ผทจะสอบคดเลอกไดจะตองไดคามาตรฐานเฉลยของคะแนนทง 3 วชา ไมต ากวา 0 ถามวา นาย ก และนางสาว ข จะสอบคดเลอกไดหรอไม 6. ในการสอบแขงขนชงทนการศกษา นายประพนธ ซงสอบไดท 1 ไดคะแนน 650 คะแนน และ น.ส. มะลวลย ซงสอบไดท 10 ไดคะแนน 540 คะแนน ถาคะแนนมาตรฐานของนายประพนธและ น.ส. มะลวลยเปน 3 และ 1.9 ตามล าดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครงน


Page 7

7. ในการตรวจผปวยโรคหวใจและโรคมะเรงในประเทศสหรฐอเมรกาใหขอมลตอประชากร 100,000 คนตอป ของ 50 รฐ พบวามผปวยเสยชวตดวยโรคดงกลาวโดยแสดงเปนคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานดงน คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐาน โรคหวใจ 289 54 โรคมะเรง 200 31 (1) ถาในรฐอลาสกา (Alaska) มผปวยโรคหวใจเสยชวตจ านวน 90 คน ตอประชากร 100,000 คน โรคหวใจในรฐอลาสกาจะมความรนแรงมากหรอนอยกวารฐอน ๆ หรอไม (2) ถาในรฐแคลฟอรเนย (California) มผปวยเสยชวตดวยโรคหวใจ 240 คน และโรคมะเรง 166 คน ตอประชากร 100,000 คนเชนกน โรคใดมความรนแรงกวากนเมอเทยบกบทพบในรฐอน ๆ 8. จงหาคาของ x จากสตรของคามาตรฐาน โดยใชขอมลตอไปน (1) z = 2 คาเฉลยเลขคณต 20 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 5 (2) z = -1 คาเฉลยเลขคณต 25 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 3 (3) z = -1.5 คาเฉลยเลขคณต 100 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 10 (4) z = 2.5 คาเฉลยเลขคณต -10 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.2


Page 8

แบบฝกหด เรอง คามาตรฐาน 1. คะแนนสอบของนาย ก คอ 75 คดเปนคะแนนมาตรฐานได 1.5 ถาคาเฉลยเลขคณตเปน 63 และนาย ข สอบไดคะแนน 50 แลวคะแนนมาตรฐานของนาย ข เปนเทาใด 2. การทดสอบ 2 วชาเปนดงน ขอทดสอบ A คาเฉลย = 70, s = 10 นาย ก สอบได 65 คะแนน ขอทดสอบ B คาเฉลย = 40, s = 5 นาย ข สอบได 35 คะแนน จงพจารณาผลการสอบของทง 2 คน วาใครเรยนดกวา 3. การสอบคดเลอกเขาท างานของหนวยงานหนง มการสอบ 3 วชา ถาผสมครสามารถผานเขารอบสด ทาย 2 คน คอนาย ก และนาย ข ซงไดคะแนนดงน วชาท 1 วชาท 2 วชาท 3 นาย ก สอบได 70 75 75 นาย ข สอบได 75 50 95 คาเฉลยเลขคณตฯ 70 70 80 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 5 10 15 อยากทราบวาใครควรไดรบการคดเลอก


Page 9

4. การสอบครงหนงนาย ก สอบได 55 คะแนน คดเปนคะแนนมาตรฐานได 0.5 ถาสวนเบยงเบน ของนกเรยนทงหองเปน 20 % จงหาคาเฉลยเลขคณต 5. ในการสอบครงหนงถาคาเฉลยเลขคณตของนกเรยน 2 หองเปน 583 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน เปน 83.2 และคะแนนมาตรฐานของนาย ก และนาย ข ตางกน 0.7 แลว คะแนนนาย ก และนาย ข ตางกนเทาใด 6. การสอบครงหนงถอเกณฑตดสนวาผทสอบไดคะแนนตงแตคะแนนมาตรฐาน -2 ขนไป ถอวาสอบ ได การสอบครงนนปรากฏวาคะแนนเฉลยของคะแนนทงหมดเปน 450 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน เปน 25 คะแนน ถาเดกคนหนงสอบได 400 คะแนน จงพจารณาวาสอบผานหรอไม 7. ในการสอบครงหนง สวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนเปน 18 เกณฑตดสนถอวาตองไดคะแนน มาตรฐานไมต ากวา 1.5 ปรากฏวาผทสอบไดคะแนนต ากวา 117 สอบตก ดงนนในการสอบคราวน คาเฉลยเลขคณตของคนกลมนเปนเทาใด


Page 10

8.ในการสอบคดเลอกเขารบราชการ ตองการต าแหนงเดยว มผสมคร 3 คน นายด า นายแดง นายขาว ท าการสอบคดเลอก 3 วชา ไดคะแนนสอบตางกนดงน วชาภาษาองกฤษ(E) วชาเฉพาะ(S) วชากฎหมาย(L) นายด า 72 63 94 นายแดง 96 57 76 นายขาว 70 73 86

คาเฉลย 71 65 74 s 12 4 6

จากคะแนนสอบ ผใดควรไดรบบรรจเขารบราชการ 9. การสอบครงหนงมผเขาสอบ 60 คน ท าการสอบ 2 วชา คะแนนเตมวชาละ 100 คะแนน ผลการ สอบปรากฏวาวชาคณตศาสตรมคาเฉลยเลขคณตเปน 80 และสวนเบยง เบนมาตรฐานเปน 10 วชาวทยาศาสตรมคาเฉลยเลขคณตเปน 88 และสวนเบยง เบนมาตรฐานเปน 3 ถานกเรยนคน หนงสอบไดคะแนนคณตศาสตร 80 คะแนน และคะแนนวทยาศาสตร 85 เราสรปไดหรอไมวา นกเรยนผนสอบวชาใดไดดกวากน 10. นกเรยนหองหนงม 50 คน ผลการสอบสถต ไดคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของคะแนน เปน 62 และ 81 เมอหาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนนกเรยนทกคน ยกเวนของนายสมชาย และนายสมชยซงไดคะแนนเทากน ปรากฏวาไดผลรวมเทากบ -0.80 จงหาคะแนนของสมชายและ สมชย (65.6)


Page 11

11. ผลการสอบคณตศาสตรของนกเรยน 20 คน มคะแนนเฉลยเทากบ 60 คาเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของนกเรยนกลมนเพยง 19 คน เทากบ 2.5 แลว นกเรยนอกหนงคนท เหลอจะสอบไดกคะแนน (35 คะแนน) 12 คาจางรายวนของบรษทแหงหนง มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 70บาท สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 6บาท และมการแจกแจงปกต นายวมลไดรบคาจางตรงกบเปอรเซนไทลท 80 จงหาวานายวมล ไดรบคาจางวนละเทาไร 13 ในการสอบวชา ค30206 มนกเรยนเขาสอบ 150 คน ปรากฏวาคะแนนสอบมการแจกแจงปกตและการตดสนผลคะแนนสอบ จะตดสนจากคามาตรฐาน ถานกเรยนคนใดสอบไดคามาตรฐานต ากวา -2 ถอวาสอบตก จงหาวาในการสอบครงนมผสอบทงหมดไดกคน 14 ในการสอบครงน ถาคะแนนสอบแจกจงปกต มคาเฉลยเลขคณต 15คะแนน และมผไดคะแนนมากกวา 18 คะแนนม6.68% จงหาความแปรปรวนของการสอบครงน


Page 12

ใบความรท 10 เรอง การแจกแจงปกต

การแจกแจงปกต (Normal distribution) จากเรองฮสโทแกรม พนทของรปสเหลยมผนผาแตละรปในฮสโทแกรมแทนความถของอนตรภาคชน ถาเขยนรปหลายเหลยมของความถและปรบรปหลายเหลยมของความถใหเปนเสนโคงเรยบ จะไดเสนโคงของความถ ซงพนทภายใตเสนโคงของความถจะแทนความถของคาจากการสงเกตทงหมด เสนโคงของความถทพบเสมอๆ มกมรปเปนรประฆง ซงเราเรยกวา เสนโคงปกต การแจกแจงความถของขอมลซงใหเสนโคง ทมลกษณะเปนรประฆง เรยกวา การแจกแจงปกต เสนโคงปกตจะมความโดงมากหรอนอย ขนอยกบการกระจายขอมล ถาขอมลมการกระจายมาก เสนโคงปกตจะมความโดงนอย หรอคอนขางแบน แตถาขอมลมการกระจายนอย เสนโคงปกตจะมความโดงมาก สมการของเสนโคงน ขนอยกบ 2 คา คอ คาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ดงน 1. กรณทสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากน (S1 = S2) แตคาเฉลยเลขคณตตางกน (

21 xx ) แตลกษณะของเสนโคงทงสองจะมจดทแสดง มคาเฉลยเลขคณตอยทต าแหนงตางกนบนแกนนอน แตเสนโคงทงสองจะเหมอนกน และมความโดงเทากน ดงรป S1 S2

1x 2x 2. กรณทมคาเฉลยเลขคณตเทากน ( 21 xx ) แตสวนเบยงเบนมาตรฐานตางกน (S1 S2) ลกษณะของเสนโคงทงสองจะมจดทแสดง คาเฉลยเลขคณตอยทต าแหนงเดยวกนบนแกนนอน แตเสนโคงทงสองจะนอยกวา จะมความโดงมากกวาเสนโคงปกตทมสวนเบยงเบนมาตรฐานมากกวา ดงรป S2 S1

21 xx 3. กรณ ทม คาเฉลยเลขคณตตางกน ( 21 xx ) และสวนเบยงเบนมาตรฐานตางกน (S1 < S2) ลกษณะของเสนโคงทงสองแตกตางกน จะมจดทแสดงคาเฉลยเลขคณตจะตางกน ดงรป S1 S2

1x 2x


Page 13

สมบตของเสนโคงปกต 1. คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม จะมคาเทากน และจะอย ณ จดทเสนตรงทลากผานจดโดงสดของเสนโคงนน ตงฉากกบแกนนอน 2. เสนโคงจะมเสนตงฉากกบแกนนอนทลากผานคาเฉลยเลขคณตเปนแกนสมมาตร 3. เสนโคงจะเขาใกลแกนนอน เมอตอปลายเสนโคงทงสองขางใหหางจากคาเฉลยเลขคณตออกไป แตจะไมตดแกนนอน 4. พนทใตเสนโคงมคาเทากบหนงเสมอ 5. พนททอยเหนอคาใดคาหนงของ X จะเปน 0 เสมอ จะไดวา พนทใตเสนโคงปกต [x1 , x2] มคาเทากบพนทใตเสนโคงปกต (x1 , x2) ตวอยางท 1 ขอมล 4 ชดมการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตตางกน (

1x 2x 3x 4x ) และมสวน

เบยงเบนมาตรฐานตางกน(S1 S2 S3 S4) จะมลกษณะของเสนโคงปกตของขอมลทง 4 ชด ดงน S1 S2

S3 S4

1x 2x 3x 4x

ตวอยางท 2 ขอมล 3 ชดมการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตตางกน ( 1x 2x 3x ) และม สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากน จะมลกษณะของเสนโคงปกตของขอมลทง 3 ชด ดงน

S1 S2 S3

1x 2x 3x


Page 14

ใบความรท 11 เรอง การหาพนทใตเสนโคงปกต

เสนโคงปกต เปนเสนโคงความถของขอมลทมคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมเทากน โดยมพนทใตเสนโคงปกตประมาณเทากบ 1 การหาพนทใตเสนโคงปกตท าไดโดยการใชตาราง แสดงพนทใตเสนโคงปกตประกอบในการหา ซงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1 การหาพนทใตเสนโคงปกต เสนโคงปกต ซงมคาเฉลยเลขคณตเปน 0 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 1 เรยกวา เสนโคงปกตมาตรฐาน (Standard normal cueve) ในการหาพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง Z = 0 และ Z ใด ๆ จะใชตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน ซงแสดงพนทใตเสนโคงปกตระหวาง Z = 0 และ Z = 0.01 , 0.02 , … , 3.89 พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน เปนดงน –3 –2 –1 0 1 2 3 68.27% 95.45% 97.73% เน อ งจากพ น ท ใต เสน โค งปก ต เท ากบ 1 หรอ 100% เสน สมมาตรท Z = 0 จะแบ งพ น ท ใตเสนโคงปกตออกเปน 2 สวน คอ 0.5 หรอ 50% ดงน .50 .50

Z = 0


Page 15

ตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกต 1. ลกษณะของตาราง ลกษณะของตาราง ส าหรบการหาพนทใตเสนโคงปกต ตามหนงสอ เรยนสาระการเรยนรเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 6 ของ สสวท. จะเปนดงน

Z A 0.00 .01

3.89

0.0000 .0041

.5000 2. การหาพนทจากตาราง จากตารางในขอ 1 ถาของอยากทราบวา Z = 0.09 จะมพนทเทาใด เรากไปดในตารางชอง Z แถวท 0.09 ใหตรงกบชอง A กจะไดพนทตามตองการ คอ 0.0359 การหาพนทใตเสนโคงปกต ในการหาพนทใตเสนโคงปกตระหวาง x = x1 และ x = x2 มวธการหา ดงน 1) x1 และ x2 เปลยนใหเปนคามาตรฐาน Z1 และ Z2 ตามล าดบ โดยใชสตร

1

1

xZ และ

2

2

xZ

2) น าคา Z1 และ Z2 ทไดไปหาพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน จากตารางหาพนทใตเสนโคงปกต ดงรป Z1 0 Z2 จะไดวา พนทใตเสนโคงปกตระหวาง x1 และ x2 พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง Z1 และ Z2 ตวอยางท 1 จงหาพนทใตเสนโคงปกตตอไปน 1) พนทระหวาง Z = 1.25 และ Z = 2.10 2) พนททางขวามอ Z = 1.5

3) พนททางขวามอ Z = – 1.2 4) พนททางขวามอ Z = 1.66

5) พนทระหวาง Z = – 0.57 และ Z = 1.05

.09 .0359


Page 16

วธท า 1) 0 1.25 2.10

พนทระหวาง Z = 1.25 และ Z = 2.10 = (พนทระหวาง Z = 0 และ Z = 2.10) – (พนทระหวาง Z = 0 และ Z = 2.10) = 0.4821 – 0.3944 = 0.0877 2) 0 1.5

พนททางขวา Z = 1.5 = (พนททางขวาของ Z = 0 ) – (พนทระหวาง Z = 0 และ Z = 1.5) = 0.5 – 0.4332 = 0.0688 3) –1.2 0

พนททางซายของ Z = –1.2 = (พนทระหวาง Z = –1.2 และ Z = 0) + (พนททางขวาของ Z = 0) = (พนทระหวาง Z = 0 และ Z = 1.2 ) + (พนททางขวาของ Z = 0) = 0.33849 + 0.5 = 0.8849 4) 0 1.66

พนททางซายของ Z = 1.66 = (พนททางซายของ Z = 0 ) + (พนทระหวาง Z = 0 และ Z = 1.66) = 0.5 – 0.4515 = 0.9515


Page 17

5) –0.57 0 1.05

พนทระหวาง Z = –0.57 และ Z = 1.05 = (พนทระหวาง Z = –0.57 และ Z = 0) + (พนทระหวาง Z = 0 และ Z = 1.05) = (พนทระหวาง Z = 0 และ Z = 0.57 ) + (พนทระหวาง Z = 0 และ Z = 1.05) = 0.2157 + 0.3531 = 0.5688 ตวอยางท 2 ถาขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณต 400 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 100 จงหาวามกเปอรเซนตของขอมลซงมคา (1) มากกวา 538 (2) มากกวา 179 (3) นอยกวา 356 (4) นอยกวา 621 (5) ระหวาง 318 และ 671 (6) ระหวาง 484 และ 565 (7) ระหวาง 249 และ 297 วธท า (1) ให x เปนคาของขอมล โดยก าหนดให = 400 และ = 100

จาก z = σ

μx

จะได z = 100400538

= 1.38

จากตารางพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.38 เทากบ 0.4162 ดงนน พนทใตเสนโคงปกตเมอ z > 1.38 เทากบ 0.5 – 0.4162 = 0.0838 นนคอ มขอมล 8.38% ของขอมลทงหมด มคามากกวา 538


Page 18

(2) จะได z = 100400179

= –2.21

จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –2.21 ถง z = 0 เทากบ 0.4864 ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ z > –2.21 เทากบ 0.5 + 0.4865 = 0.9864 นนคอ มขอมล 98.64% ของขอมลทงหมด มคามากกวา 179 (3) จะได z = 100

400356

= –0.44

จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –0.44 ถง z = 0 เทากบ 0.1700 ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ z < –0.44 เทากบ 0.5 – 0.1700 = 0.3300 นนคอ มขอมล 33% ของขอมลทงหมด มคานอยกวา 356

(4) จะได z = 100400621

= 2.21

จากตารางพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 2.21 เทากบ 0.4864 ดงนน พนทใตเสนโคงปก เมอ z < 2.21 เทากบ 0.5 + 0.4864 = 0.9864 นนคอ มขอมล 98.65% ของขอมลทงหมด มคานอยกวา 621


Page 19

(5) จะได z1 = 100400318 = –0.82

z2 = 100400671 = 2.71

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 2.71 เทากบ 0.4966 จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –0.82 ถง z = 0 เทากบ 0.2939 ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ –0.82 < z < 2.71 เทากบ 0.4966 + 0.2939 = 0.7905 นนคอ มขอมล 79.05% ของขอมลทงหมด มคาระหวาง 318 และ 671

(6) จะได z1 = 100

400484 = 0.84

z2 = 100400565 = 1.65

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.84 เทากบ 0.2995 จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.65 เทากบ 0.4505 ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ 0.84 < z < 1.65 เทากบ 0.4505 – 0.2995 = 0.1510 นนคอ มขอมล 15.09% ของขอมลทงหมด มคาระหวาง 484 และ 565


Page 20

(7) จะได z1 = 100400249 = –1.51

z2 = 100400297 = –1.03

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –1.51 ถง z = 0 เทากบ 0.4345 จะไดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = –1.03 ถง z = 0 เทากบ 0.3485 ดงนน พนทใตเสนโคงปกต เมอ –1.51 < z < –1.03 เทากบ 0.4345 – 0.3485 = 0.0860 นนคอ มขอมล 8.6% ของขอมลทงหมด มคาระหวาง 249 และ 297

ตวอยางท 3 น าหนกสทธของกระปองบรรจถวทผลตโดยบรษทแหงหนงมการแจกแจงแบบปกตโดยมน าหนกสทธเฉลยเปน 12.00 กรม ถากระปองทมน าหนกสทธนอยกวา 11.88 กรม มอย 11.51% จงหาความแปรปรวนของน าหนกสทธของกระปองบรรจถวทผลตโดยบรษทน วธท า

จากรป จะไดพนทใตเสนโคงปกตจาก x = 11.88 ถง μ = 12.00 เทากบ 0.5–0.1151 = 0.3849 จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตเปน 0.3849 คา z เทากบ 1.20 จาก z =

σ

μx

–1.20 = σ

2.0011.88

σ = 0.120.12

-- = 0.1

ดงนน ความแปรปรวนของน าหนกสทธของกระปองบรรจถวทผลตโดยบรษทนเทากบ 0.01


Page 21

ตวอยางท 4 คะแนนสอบ SAT (SAT Scores) มการแจกแจงแบบปกตโดยมคาเฉลยเลขคณต 505 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 111 จงหาพนทใตเสนโคงปกตในขอตอไปน (1) คะแนน SAT อยระหวาง 400 และ 600 (2) คะแนน SAT มากกวา 700 (3) คะแนน SAT นอยกวา 450 วธท า (1) ให x เปนคะแนนสอบ SAT โดยก าหนด μ = 505 และ σ = 111

จาก z = σ

μx

จะได z1 = 111505400 = –0.946

z2 = 111505600 = 0.856

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.94 เทากบ 0.3264 พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.95 เทากบ 0.3289

จะได พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.946 เทากบ

01.0

006.00025.03264.0 = 0.3279

จากตาราง พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.85 เทากบ 0.3023

พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.86 เทากบ 0.3051 จะได พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 0.856 เทากบ

01.0

006.00028.03023.0 = 0.30398

ดงนน พนทใตเสนโคงปกตของคะแนน SAT ทอยระหวาง 400 และ 600 เทากบ

0.3279 + 0.30398 = 0.63188


Page 22

(2) จะได z = 111505700 1.757



01.0

007.00009.04599.0 = 0.46053

ดงนน พนทใตเสนโคงปกตของคะแนน SAT ทมากกวา 700 เทากบ 0.5 – 0.46053 = 0.03947

(3) จะได z = 111505450 –0.495



01.0

005.00036.01879.0 = 0.1897

ดงนน พนทใตเสนโคงปกตของคะแนน SAT ทนอยกวา 450 เทากบ

0.5 – 0.1897 = 0.3103


Page 23

แบบฝกหด เรอง พนทใตกราฟโคงปกตมาตรฐาน

1.จากเสนโคงปกต จงหาพนทสวนแรเงา

1.1

0 1.5

ตอบ.........................................................................

1.2

-1.23 0 ตอบ....................................................................................................

1.3

-0.58 0 2.19

ตอบ...........................................................................................................

1.4

0

ตอบ....................................................................................................

1.5

-2 0 ตอบ...............................................................................................................

1.6

0 1.35

ตอบ............................................................................................................

1.7

0 2.31 ตอบ..............................................................................................................

1.8

-1.36 0

ตอบ............................................................................................................

1.9

0 1.28 2.32

ตอบ..............................................................................................................

1.10

-1.24 0 1.58 ตอบ.............................................................................................................


Page 24

2.ก าหนดพนทสวนทแรเงาใตโคงปกต จงหาคะแนนมาตรฐาน

2. 1 ถาพนทแรเงามคา 0.1368 แลว z มคาเทาไร

0 z

2.2 ถาพฃนทแรเงามคา 0.2266 แลว z มคาเทาไร

0 Z

2.3 ถาพนทแรเงามคา 0.4505 แลว z มคาเทาไร Z 0

2.4 ถาพนทแรเงามคา 0.1131 แลว z มคาเทาไร

Z 0


0 z


Z 0


-1.58 0 z

2.8 ถาพนทแรเงามคา 0.4718 แลว z มคาเทาไร Z 0 1.6


Z 1.25


-Z 0 Z


Page 25

แบบฝกหด 2.2 1.ถาขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณต 400 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 100 จงหาวามกเปอรเซนตของขอมลซงมคา (1) มากกวา 538 (2) มากกวา 179 (3) นอยกวา 356 (4) นอยกวา 621 (5) ระหวาง 318 และ 671 (6) ระหวาง 484 และ 565 2. ในการบรรจกาแฟชนดหนงลงขวดใหมน าหนกสทธ 115 กรม ถาน าหนกของกาแฟทบรรจมการแจกแจงปกตโดยมน าหนกโดยเฉลยเทากบ 115.5 กรม และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 0.3 กรม จงหาวามกเปอรเซนตทกาแฟในแตละขวดมน าหนก (1) ระหวาง 115 กรม และ 115.5 กรม (2) ระหวาง 114.9 กรม และ 115.5 กรม


Page 26

(3) ระหวาง 115.2 กรม และ 115.9 กรม (4) ระหวาง 14.75 กรม และ 115 กรม (5) มากกวา 115.5 กรม (6) นอยกวา 115 กรม 3. คะแนนทดสอบความถนดทางคณตศาสตร (Mathematics Attitude Test) ส าหรบกลมนกเรยนหญง มคาเฉลยเลขคณต 60 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน และกลมนกเรยนชายมคาเฉลยเลขคณต 64 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 8 คะแนน ถาคะแนนของแตละกลมทการแจกแจงปกต จงหาวา (1) ถานายไผทสอบได 62 คะแนน คะแนนของเขาเปนต าแหนงเปอรเซนไทลทเทาไรของคะแนนในกลมนกเรยนชาย (2) ถานางสาวอาภสราสอบได 73 คะแนน คะแนนของเขาเปนต าแหนงเปอรเซนไทลทเทาไรในกลมนกเรยนหญง และเปนต าแหนงเปอรเซนไทลทเทาไรในกลมนกเรยนชาย


Page 27

4. การแจกแจงของคะแนนสอบครงหนงเปนการแจกแจงปกตโดยมคาเฉลยเลขคณต 72 คะแนน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 12 คะแนน จงหา (1) คะแนนทเปนเปอรเซนไทลท 25 (2) คะแนนทเปนเปอรเซนไทลท 90 5. ในการผลตแผนพลาสตกของบรษทแหงหนงปรากฏวาความหนาแนนของแผนพลาสตกมการแจกแจงแบบปกตโดยมความหนาโดยเฉลย 0.0625 เซนตเมตร ความแปรปรวนเปน 0.00000625 เซนตเมตร2 จงหาวาแผนพลาสตกทผลตไดมความหนาอยระหวาง 0.0595 เซนตเมตร และ 0.0659 เซนตเมตรมกเปอรเซนต 6. ให x เปนความคลาดเคลอนในรอบ 24 ชวโมงของนาฬกาทผลตโดยโรงงานแหงหนง ถาความคลาดเคลอนมการแจกแจงปกตโดยมคาเฉลยเลขคณต 0.00 วนาทและความแปรปรวน 0.160 วนาท2 จงหา x ซงท าให 50.04% ของนาฬกาทงหมดทผลตไดจะมความคลาดเคลอนระหวาง x กบ 0.136 วนาท 7. น าหนกสทธของกระปองบรรจถวทผลตโดยบรษทแหงหนงมการแจกแจงแบบปกตโดยมน าหนกสทธเฉลยเปน 12.00 กรม ถากระปองทมน าหนกสทธนอยกวา 11.88 กรม มอย 11.51% จงหาความแปรปรวนของน าหนกสทธของกระปองบรรจถวทผลตโดยบรษทน


Page 28

8. ถา x แทนคะแนนทสนใจศกษาและ P แทนพนทใตเสนโคงปกตของคะแนนทต ากวา x จงหาคา a, b, c และ d จากขอมลทก าหนดใหตอไปน

คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงแบนมาตรฐาน x พนทใตเสนโคงปกต (P) 3 10 a 10

1 2 3 b

2 c 6 12

d 0.18 0.09 0.60

9. คะแนนสอบ SAT (SAT Scores) มการแจกแจงแบบปกตโดยมคาเฉลยเลขคณต 505 และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 111 จงหาพนทใตเสนโคงปกตในขอตอไปน (1) คะแนน SAT อยระหวาง 400 และ 600 (2) คะแนน SAT มากกวา 700

(3) คะแนน SAT นอยกวา 450


Page 29

แบบฝกทกษะ เรอง การแจกแจงปกต 1.ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตเปน 60คะแนนและสวนเบยงเบนมาตรฐาน 10คะแนน จะม...เปอรเซนตของคาของขอมล ซงมคาระหวาง60และ70 2. ในการสอบคดเลอกนกเรยนชนม.4มผสมคร 3,000คน ปรากฏวาคะแนนสอบมการแจกแจงปกต ถาตดสนผสอบไดคามาตรฐานสงกวา 1 เขาเรยนได จะมนกเรยนสอบเขาไดทงหมด...คน 3. คะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเปน 68และ10คะแนน ตามล าดบ ถานายธงชยสอบได 84คะแนนแลวเขาจะมต าแหนง ตรงกบเปอรเซนไทลท... 4. ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 70และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทา 10 ถาพนท ใตเสนปกต z = 0 ถง z =0.842 เปน 0.3000 ดงนนเปอรเซนไทลท80 มคาเทากบ...


Page 30

5. ในการสอบวชาคณตศาสตรปรากฏวา มคาเฉลยเลขคณตคะแนนสอบเทากบ 84 คะแนนและ สวนเบยงเบนมาตรฐานเทา 4คะแนน ถาใหเกรดตามเสนโคงปกต ปรากฏวามนกเรยนไดเกรด A จ านวน10.56% ดงนนคะแนนต าสดของเกรด A มคาเทากบ... 6. ในการสอบครงหนง คะแนนสอบมการแจกแจงปกตโดยมคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของคะแนนสอบเปน 25คะแนน และ 2 ตามล าดบ ถานาย ก. สอบไดคะแนนตรงตาม Q1 และ นาย ข. สอบไดคะแนนตรงตาม D8 แลวคะแนนสอบของสองคนตางกนมคาเทากบ... (ประมาณเปนจ านวนเตม) 7. ในการสอบวชาสถตของนกเรยน 550คน มการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเปน 75 และ 12คะแนน ตามล าดบ ถาตดสนวานกเรยนทไดระดบคะแนน4 จะตองไดคะแนนตงแต 88 คะแนนขนไป แลวจะมผใดระดบคะแนน4 จ านวน...คน 8. นกเรยนชนม.5 จ านวน800คน สอบวชาสถตปรากฏวา ไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 60คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 8คะแนน ถานายสวฒนสอบได 68คะแนน และนายสวทย สอบได52คะแนน ถาผลสอบครงน คะแนนกระจายเปนโคงปกต จะมนกเรยนทสอบไดคะแนนมากกวานายสวทยแตนอยกวานายสวฒน จ านวน...คน


Page 31

9. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงมการกระจายปกตโดยมคาเฉลยเลขคณตเปน 64 คะแนน ถานกเรยนทสอบไดคะแนนมากกวา 80คะแนน มอย 15.87% แลว จงหาสมประสทธของการแปรผนของคะแนนสอบวชาคณตศาสตร 10. เงนเดอนของคนงานในโรงงานอตสาหกรรมแหงหนงมการแจกแจงปกตมคาเฉลย 2,000บาทและ สวนเบยงเบนมาตรฐาน 1,000บาท จงหาความนาจะเปนทคนงานคนหนงในโรงงานแหงหนงมเงนเดอน ระหวาง1,750บาทถง2,500บาท 11. น าหนกของหญงกลมหนงมคาเฉลยเลขคณต 45กโลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 2กโลกรมและน าหนกของกลมผชายมคาเฉลยเลขคณต 57กโลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 4กโลกรม น าหนกของแตละกลมมการแจกแจงปกต เปอรเซนไทลท 97.5 ของน าหนกกลมหญง มคาตรงกบเปอรเซนไทลทเทาใดของน าหนกของกลมชาย 12.ในการบรรจผงซกฟอกยหอหนงลงกลองขนาดครอบครวทมน าหนกสทธโดยเฉลย 3,000กรม มสวนเบยงเบนมาตรฐาน 100กรม บรษทก าหนดไววากลองทไดมาตรฐานจะตองมน าหนกสทธอยระหวาง 3,000 k กรม และในการผลตแตละครง จะตองไดของทไดมาตรฐาน 95% (สมมตวาการแจกแจงของน าหนกของผงซกฟอก เปนการแจกแจงปกต) จงหาคาของk


Page 32

13.คะแนนไอควของนกเรยน 2กลม มการแจกแจงปกตดงน กลมนกเรยนชาย มคาเฉลยเลขคณต 100คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 10คะแนน กลมนกเรยนหญง มคาเฉลยเลขคณต 90คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐาน 20คะแนน ก าหนดให x เปนคะแนนของนกเรยนชายคนหนง ถาเปอรเซนของคะแนนระหวาง x ถงฐานนยม เทากบเปอรเซนของคะแนนระหวาง 95ถง105คะแนน ของกลมนกเรยนหญงแลว x มคาเทาใด

สารบัญ - satrinon.ac.thsatrinon.ac.th/a/stat2.pdf ·...

Documents