สารบัญ - serazu.com · iv...
TRANSCRIPT
I
สารบัญ
1เซตวิธีการเขียนเซต ..............................................................................................................................3
ความสัมพันธ์ระหว่างเซต .................................................................................................................4
สับเซต ............................................................................................................................................4
เพาเวอร์เซต ....................................................................................................................................5
การกระทำาของเซต ...........................................................................................................................6
2ตรรกศาสตร์ประพจน์ .......................................................................................................................................10
นิเสธของประพจน์ ..........................................................................................................................10
การเชื่อมประพจน์และนิเสธของประพจน์ ........................................................................................11
ประพจน์ที่สมมูลกัน .......................................................................................................................13
ประโยคเปิด ..................................................................................................................................15
ตัวบ่งปริมาณ .................................................................................................................................16
การอ้างเหตุผล ..............................................................................................................................18
3ระบบจำานวนจริงเซตระบบจำานวนจริงที่ควรรู้จัก ........................................................................................................20
สมบัติการเท่ากันของระบบจำานวนจริง .............................................................................................21
สมบัติของระบบจำานวนจริง .............................................................................................................21
สมบัติการไม่เท่ากัน ......................................................................................................................22
II
สมบัติไตรวิภาค .............................................................................................................................22
ช่วง ...............................................................................................................................................23
ค่าสัมบูรณ์ .....................................................................................................................................25
การแก้สมการ ................................................................................................................................26
การแก้อสมการ ..............................................................................................................................27
4จำานวนเชิงซ้อน จำานวนจินตภาพ ............................................................................................................................32
จำานวนเชิงซ้อน ..............................................................................................................................32
การหาค่าของ in .............................................................................................................................33
การเท่ากัน ....................................................................................................................................33
การดำาเนินการของจำานวนเชิงซ้อน ..................................................................................................34
ค่าสัมบูรณ์ของจำานวนเชิงซ้อน ........................................................................................................38
จำานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว .............................................................................................................39
การหารากที่ n ..............................................................................................................................42
การแก้สมการ ................................................................................................................................43
5ความสัมพันธ์และฟังก์ชันคู่อันดับ .........................................................................................................................................46
ผลคูณคาร์ทีเซียน .........................................................................................................................46
ความสัมพันธ.์................................................................................................................................47
ฟังก์ชัน .........................................................................................................................................48
การดำาเนินการของฟังก์ชัน .............................................................................................................51
III
6เมตริกซ์ขนาดของเมตริกซ์ ..........................................................................................................................54
สมาชิกของเมตริกซ์ ........................................................................................................................55
สัญลักษณ์ของเมตริกซ์ ...................................................................................................................55
ชนิดของเมตริกซ์ ............................................................................................................................56
การเท่ากันของเมตริกซ์ .................................................................................................................58
การบวกและการลบเมตริกซ์ ..........................................................................................................58
การคูณเมตริกซ์ด้วยจำานวนจริง .......................................................................................................59
การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ ..........................................................................................................60
ทรานสโพสของเมตริกซ์ .................................................................................................................61
ดีเทอร์มิแนนต์ ..............................................................................................................................61
อินเวิร์สการคูณของเมตริกซ์ ...........................................................................................................65
7ภาคตัดกรวยวงกลม ..........................................................................................................................................70
พาราโบลา ....................................................................................................................................71
วงรี ...............................................................................................................................................74
ไฮเพอร์โบลา .................................................................................................................................77
8ตรีโกณมิติโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันตรีโกณ ................................................................................................83
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำานวนจริง ..................................................................84
มุมทวีคูณ ......................................................................................................................................84
มุมพหุคูณ .....................................................................................................................................84
การแปลงผลบวกหรือผลต่างเป็นผลคูณของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ..................................................85
การแปลงผลคูณเป็นผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ..................................................85
ฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ .......................................................................................................85
IV
ฟังก์ชันตรีโกณมิติเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมในระนาบ ..........................................................................86
ฟังก์ชันตรีโกณอื่นๆ ......................................................................................................................87
สูตรลดทอน (ข้อสอบ ENTRANCE เน้นมาก) ....................................................................................88
9เวคเตอร์เวคเตอร์ศูนย์ .................................................................................................................................91
การบวกเวคเตอร์ ...........................................................................................................................91
การลบเวคเตอร์ .............................................................................................................................93
การคูณเวคเตอร์ด้วยสเกลาร์ ...........................................................................................................93
เวคเตอร์ในระบบพิกัดฉาก .............................................................................................................94
เวคเตอร์หนึ่งหน่วย ........................................................................................................................94
ผลคูณเชิงสเกลาร์ ..........................................................................................................................95
ผลคูณเชิงเวคเตอร์ .........................................................................................................................96
10ความน่าจะเป็นการทดลองสุ่ม ..............................................................................................................................98
แซมเปิลสเปซ ................................................................................................................................98
เหตุการณ์ .....................................................................................................................................98
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ........................................................................................................99
วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบเส้นตรง ......................................................................................................100
วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม .......................................................................................................101
วิธีจัดหมู่ ......................................................................................................................................102
11สถิติประเภทของสถิติ ..........................................................................................................................104
ระเบียบวิธีการทางสถิติ ................................................................................................................104
ประชากรและตัวอย่าง .................................................................................................................105
V
การจำาแนกข้อมูล .........................................................................................................................105
วิธีเก็บรวบรวมข้อมูล ....................................................................................................................106
การนำาเสนอข้อมูล .......................................................................................................................106
การวิเคราะห์ข้อมูล .......................................................................................................................106
การวัดค่ากลางของข้อมูล ..............................................................................................................107
การวัดตำาแหน่งของข้อมูล .............................................................................................................111
การวัดการกระจายของข้อมูล ........................................................................................................113
ค่ามาตรฐาน ................................................................................................................................115
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล ..........................................................................................115
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันในรูปอนุกรมเวลา ....................................................................................116
12ลำาดับและอนุกรม ลำาดับ .........................................................................................................................................118
อนุกรม .......................................................................................................................................122
13แคลคูลัสลิมิตของฟังก์ชัน ...........................................................................................................................126
ทฤษฎีเกี่ยวกับลิมิต ......................................................................................................................127
ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน .............................................................................................................129
ความเร็วและความเร่ง ..................................................................................................................130
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน .....................................................................................................................131
ความชันของเส้นโค้ง ....................................................................................................................133
ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด ...........................................................................................................134
ค่าสูงสุดและค่าต่ำาสุด ...................................................................................................................134
ปริพันธ์ .......................................................................................................................................135
พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ...........................................................................................................137
VI
แก้จุดอ่อนวัยโจ๋ให้หายจ๋อยกับแนวข้อสอบสุดเจ๋งสถิติ ............................................................................................................................................140
จำานวนจริง ...................................................................................................................................142
ลำาดับและอนุกรม ........................................................................................................................143
ความน่าจะเป็น ............................................................................................................................145
เรขาคณิตวิเคราะห์ ......................................................................................................................146
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน .............................................................................................................147
เซต .............................................................................................................................................148
llliiimmmxxx→→→aaa
fff(((f(fff(f(f(fff(f xxx)))nnn
llliiimmmxxx→→→aaa fff(((f(fff(f(f(fff(f xxx)))
nnnllliiimmmxxx→→→aaa
fff xxx((( )))ggg xxx((( )))
⎡⎡⎡
⎣⎣⎣⎢⎢⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡
⎢⎢⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤⎤⎤
⎦⎦⎦⎥⎥⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤
⎥⎥⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
yyy === fff xxx((( ))) === xxx+++333llliiimmmxxx→→→aaa ---
fff xxx((( ))) ===
fff xxx((( )))
llliiimmmxxx→→→aaa
fff(((f(fff(f(f(fff(f xxx)))nnn
llliiimmmxxx→→→aaa fff(((f(fff(f(f(fff(f xxx)))
nnnllliiimmmxxx→→→aaa
fff xxx((( )))ggg xxx((( )))
⎡⎡⎡
⎣⎣⎣⎢⎢⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡
⎢⎢⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤⎤⎤
⎦⎦⎦⎥⎥⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤
⎥⎥⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
yyy === fff xxx((( ))) === xxx+++333llliiimmmxxx→→→aaa ---
fff xxx((( ))) ===
llliiimmmxxx→→→aaa
fff(((f(fff(f(f(fff(f xxx)))nnn
llliiimmmxxx→→→aaa fff(((f(fff(f(f(fff(f xxx
nnn
llliiimmmxxx→→→aaa
fff xxx((( )))ggg xxx((( )))
⎡⎡⎡
⎣⎣⎣⎢⎢⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡
⎢⎢⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤⎤⎤
⎦⎦⎦⎥⎥⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤
⎥⎥⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
llliiimmmxxx→→→aaa
fff xxx((( )))ggg xxx((( )))
⎡⎡⎡
⎣⎣⎣⎢⎢⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡
⎢⎢⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤⎤⎤
⎦⎦⎦⎥⎥⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤
⎥⎥⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
yyy===
fffxxx ((()))===
xxx+++333
yyy === fffxxx((( )))
=== xxx+++333
llliiimmmxxx→→→aaa
---fff
xxx((( )))===
LLL 111
fff xxx((( )))
xxx
xxx
xxx
คณิตศาสตร์5อันดับที่ออกสอบ O-NET บอยที่สุด!!
อันดับ 1 สถิติ
อันดับ 2 จำานวนจริง
อันดับ 3 ลำาดับและอนุกรม
อันดับ 4 ความน่าจะเป็น
อันดับ 5 เซต, ความสัมพันธแ์ละฟังก์ชัน, เรขาคณิตวิเคราะห์
ที่มา : http://www.unigang.com
Ãٌ͋ҧ¹ÕéáÅŒÇ ¹ŒÍ§æ ÁÒàÃÔèÁ·‹Í§¨íÒÊٵáѹ´Õ¡Ç‹Ò¤ÃѺ
¨íÒ¡‹Í¹ ä´Œ¡‹Í¹ ª¹ÐàÅÔÈṋ¹Í¹
llllllllliiiiiimmmmmmmmmmmmmmmxxxxxx→→→→→→aaa
ffffff(((((((((f(fff(f(f(fff(ff(fff(f(f(fff(f xxxxxx)))))))))))))))nnnnnnnnn
lllllliiiiiiiiiiiiiiimmmmmmmmmxxxxxx→→→→→→→→→aaa fffffffffffffff(((((((((f(fff(f(f(fff(ff(fff(f(f(fff(ff(fff(f(f(fff(f xxxxxxxxxxxxxxx))))))))))))
nnnnnnnnnnnnnnnllllllllliiiiiiiiimmmmmmmmmmmmmmmxxx→→→→→→aaaaaa
ffffff xxxxxx(((((((((((( ))))))))))))))))))ggggggggg xxxxxxxxxxxx(((((((((((( )))))))))
⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡
⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤
⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎥⎥⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤
⎥⎥⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
yyyyyyyyy =============== fffffffffffffff xxxxxxxxx((((((((((((((((((((((((((( ))))))))))))))) ====== xxxxxxxxx+++++++++++++++333333333333333lllllliiiiiiiiimmmmmmmmmmmmmmmxxxxxx→→→→→→aaa ---
fffffffff xxxxxxxxxxxxxxx((((((((((((((( )))))))))))) ====== LLLLLLLLLLLLLLLLLL111111
ffffffffffffffffff xxxxxxxxxxxxxxx(((((((((((( ))))))))))))
llllllllliiiiiimmmmmmmmmxxx→→→→→→aaa
ffffffffffff(((((((((f(fff(f(f(fff(ff(fff(f(f(fff(f xxxxxxxxx)))))))))))))))nnnnnnnnn
llliiiiiimmmmmmxxxxxx→→→→→→→→→→→→aaaaaa ffffffffffff(((((((((((((((f(fff(f(f(fff(ff(fff(f(f(fff(ff(fff(f(f(fff(ff(fff(f(f(fff(f xxxxxxxxxxxxxxx)))))))))
nnnnnnlllllllllllliiiiiiiiimmmmmmmmmmmmxxx→→→→→→aaa
ffffff xxx(((((((((((((((((( ))))))))))))))))))ggggggggg xxxxxx(((((((((((( ))))))))))))
⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡
⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤
⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤
⎥⎥⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
yyyyyyyyyyyyyyyyyy ============ fffffffffffffff xxxxxxxxxxxx(((((((((((((((((( ))))))))) ====== xxxxxx++++++333333lllllliiiiiiiiiiiiiiimmmmmmmmmmmmxxxxxxxxx→→→→→→→→→aaa ---
ffffffffffff xxxxxxxxx(((((((((((( )))))))))))) ====== LLLLLLLLLLLLLLL111111
llllllllliiiiiimmmmmmmmmmmmxxxxxx→→→→→→aaa
ffffff(((((((((((((((f(fff(f(f(fff(ff(fff(f(f(fff(f xxxxxxxxx)))))))))))))))
lllllliiiiiimmmmmmmmmxxxxxx→→→aaaaaa fffffffff(((((((((f(fff(f(f(fff(ff(fff(f(f(fff(f xxxxxx)))))))))
nnnnnnnnnnnnnnn
lllllliiiiiimmmmmmmmmmmmmmmxxxxxx→→→aaaaaaaaaaaa
fffffffff xxxxxxxxxxxx(((((((((((( )))))))))ggggggggg xxxxxxxxx(((((((((((((((((( )))))))))))))))))))))
⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡
⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤
⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤
⎥⎥⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
llllllllliiiiiiiiiiiiiiimmmmmmmmmmmmmmmxxx→→→→→→aaaaaa
ffffff xxxxxx(((((((((((((((((( )))))))))))))))ggggggggg xxxxxxxxxxxx(((((((((((( ))))))))))))
⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡
⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡⎢⎡⎢⎡⎡⎡⎢⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎣⎢⎣⎣⎣⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤⎤
⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎦⎥⎥⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤⎥⎤⎥⎤⎤⎤⎥⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎦⎥⎦⎦⎦⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
yyyyyyyyyyyyyyy============
fffffffffffffffxxxxxxxxx ((((((((()))))))))))))))=========
xxxxxxxxxxxxxxx+++++++++++++++333333333
yyyyyyyyyyyyyyy === fffffffffffffffxxxxxxxxxxxx((((((((((((((( )))))))))))))))))))))))))))
========= xxxxxxxxx+++++++++333333333333333333
llllllllliiiiiiiiiiiimmmmmmmmmxxxxxx→→→→→→→→→→→→→→→aaa
---fffffffff
xxxxxxxxx(((((((((((( )))))))))))))))))))))=========
LLLLLLLLLLLL 111
fffffffffffffff xxxxxxxxxxxxxxx(((((((((((( ))))))))))))
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
เซต
º··Õè
1ÇÔ¸Õ¡ÒÃà¢Õ¹૵ ....................................................................................................3
¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�ÃÐËNjҧ૵ ....................................................................................4
ÊѺ૵ ........................................................................................................................4
à¾ÒàÇÍÃ�૵ .............................................................................................................5
¡ÒáÃзíҢͧ૵ .................................................................................................6
2
เซตคือ การบอกถึงกลุมของสิ่งตางๆ โดยตองทราบแนนอนวา มีสิ่งใดอยูในกลุมและสิ่งใดไมอยูในกลุม เชน เซตของ
สระภาษาอังกฤษ เราเรียกสิ่งที่อยูในเซตทุกตัววา สมาชิกของเชต
(สิง่ทีเ่ปน “คุณภาพ” มกัจะไมใชกบัเซต เพราะไมทราบแนนอนวาสิง่ใดอยูในกลุมทีก่ลาวถงึ เชน เซตสาวสวยในโลก)
สัญลักษณเกี่ยวกับเซต
โดยที่
∈ เปนสมาชิกของเซต
∉ ไมเปนสมาชิกของเซต
I เซตของจํานวนเต็ม
I+ เซตของจํานวนเต็มบวก
I-เซตของจํานวนเต็มลบ
I0 เซตของจํานวนเต็มศูนย
Q เซตของจํานวนตรรกยะ
Q+ เซตของจํานวนตรรกยะที่เปนบวก
Q- เซตของจํานวนตรรกยะที่เปนลบ
N เซตของจํานวนนับ
R เซตของจํานวนจริง
R+ เซตของจํานวนจริงบวก
R- เซตของจํานวนจริงลบ
ชนิดของเซต
เซตจาํกดัคือ เซตท่ีสามารถบอกจาํนวนสมาชิกได
ดวยวิธีการนับ
µÑÇÍ‹ҧ
A = 2, 4, 6, 8, 10{ }
จํานวนสมาชิกของเซตเทากับ 5
เซตอนนัตคอื เซตทีไ่มสามารถนบัจาํนวนได และ
ไมใชเซตจํากัด
µÑÇÍ‹ҧ
B = 1, 2, 3, ...{ }เซตวางคือ เซตที่ไมมีสมาชิกเลย ใชสัญลักษณ
ʺ″{}ʺ″ หรือ ʺ″∅ʺ″ (เซตวางจึงเปนเซตจํากัด)
3
1
เซต
เอกภพสัมพัทธ
เซตท่ีกําหนดขอบเขตสิ่งที่เรากําลังพิจารณา
เขียนแทนดวยสัญลักษณ "U"
µÑÇÍ‹ҧ
กําหนดให U คือ เซตของจํานวนเต็มบวก
A = x | x2 = 9{ }
A = 3{ }A = 3{ }A = 3{ }
จํานวนสมาชิกในเซต
จํานวนสมาชิกของเซต A เขียนแทนดวย n(A)
µÑÇÍ‹ҧ
A = 1, 2, 3{ }
n(A) = 3
ถาสมาชิกในเซตซํ้ากันใหเขียนเพียงครั้งเดียว
µÑÇÍ‹ҧ
B = 1, 2, 2{ }เขียนไดเปน B = 1, 2{ }
n(B) = 2
วิธีการเขียนเซต
แบบแจกแจงสมาชิก แบบบอกเงื่อนไข
สมาชิกทุกตัวอยูภายในเครื่องหมายปกกา { }
ใชเครื่องหมายจุลภาค (,) คั่นระหวางสมาชิก
µÑÇÍ‹ҧ
N เปนเซตของจํานวนนับ
เขียนไดวา N = 1, 2, 3, ...{ }
ใชตัวแปรแทนสมาชิก ใชสัญลักษณ " | "
(อานวา โดยที่) ตามดวยสวนที่อธิบายเกี่ยวกับลักษณะ
ของตัวแปร โครงสรางของเซตแบบบอกเงื่อนไข เขียนได
ดังนี้ {x | เงื่อนไข ของ x}
µÑÇÍ‹ҧ
A = a, e, i, o, u{ }
เขียนแบบบอกเง่ือนไขเปน A = {x | x เปนสระใน
ภาษาอังกฤษ
4
ความสัมพันธ์ระหว่างเซต
เซตที่เทากัน เซตเทียบเทากัน
เซต A เทากับเซต B สมาชิกทุกตัวตองเหมือนกัน
เขียนแทนดวยสัญลักษณ A = B
µÑÇÍ‹ҧ
A = 1, 2, 3{ } และ B = 3, 2, 1{ }
ดังนั้น A = B
เซต A เทียบเทาเซต B จํานวนสมาชิกในเซตทั้งสอง
เซตตองเทากัน
µÑÇÍ‹ҧ
A = 1, 2, 3{ } และ B = a, b, c{ }
จํานวนสมาชิก n(A) = 3 และ n(B) = 3
ดังนั้น เซต A เทียบเทาเซต B
สับเซต
เซตเปนสับเซตของเซต เซตไมเปนสับเซตของเซต
เม่ือสมาชกิทกุตวัของเซต A ตองเปนสมาชกิของเซต B
เขียนแทนดวยสัญลักษณ A ⊂ B
µÑÇÍ‹ҧ
A = 1, 2, 3{ } และ B = 1, 2 ,3, 4, 5{ }สมาชิกทุกตัวของเซต A คือ 1, 2, 3 เปนสมาชิกของ
เซต B
ดังนั้น A ⊂ B
เมื่อสมาชิกของเซต A อยางนอย 1 ตัว ไมเปนสมาชิก
ของเซต B เขียนแทนดวยสัญลักษณ A ⊄ B
µÑÇÍ‹ҧ
A = 2, 4, 6{ } และ B = 1, 2, 3, 4, 5{ }สมาชิกของเซต A ที่เปนสมาชิกของเซต B คือ 2, 4
แต 6 ไมเปนสมาชิกของเซต B
ดังนั้น A ⊄ B
สมบัติสับเซต
กําหนด A, B เปนเซตใดๆ
1. ∅⊂ A และ A ⊂ A
2. ถา A ⊂ B และ B⊂ C แลว A ⊂ C
3. ถา A ⊂ B และ B⊂ C แลว A = B
4. ถา A มีสมาชิก n ตัว จํานวนสับเซต = 2n และเปนสับเซตแท = 2n −1
5
1
เซต
µÑÇÍ‹ҧ
A = a, b{ }
สับเซตของ A คือ ∅, a{ }, b{ }, a, b{ }
(ถา A =∅ สับเซตของ A คือ ∅ เพียงเซตเดียวจึงไมมีสับเซตแทของ A
เพาเวอร์เซตเพาเวอรเซตของเซต A คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกที่เปนสับเซตของเซต A ทุกสับเซต
เขียนแทนดวยสัญลักษณ ʺ″P A( )ʺ″ ดังนั้น P A( ) = {x|x ⊂ Α}
สมบัติเพาเวอรเซต
กําหนด A , B เปนเซตใดๆ
1. กําหนด P A( ) ≠∅ เปนเซตใดๆ
2. ∅∈ P A( ) และ ∅⊂ P A( )
3. A ∈ P A( )
4. P A( )∩P B( ) = P A∩B( )
5. P A∪B( ) ≠ P A( )∪P B( ) แต P A∪B( )⊂ P A( )∪P B( )
6. ถา A ⊂ B แลว P A( )⊂ P B( )
7. จํานวนสมาชิกของ P A( ) = 2n (เมื่อ A เปนเซตที่มีสมาชิก n ตัว)
8. ถา A เปนเซตอนันต แลว P A( ) เปนเซตอนันต
µÑÇÍ‹ҧ
กําหนดให A = ∅, 2, 1{ }
จะไดวา P A( ) = ∅{ }, 2{ }, 1{ }, ∅, 2{ }, ∅, 1{ }, 2,1{ }, ∅, 2, 1{ }, ∅{ } P A( ) = ∅{ }, 2{ }, 1{ }, ∅, 2{ }, ∅, 1{ }, 2,1{ }, ∅, 2, 1{ }, ∅{ }
6
การกระทําของเซต
ยูเนี่ยน
ใชสัญลักษณ ∪ เชน A∪B ยูเนี่ยนของ A กับ B คือ เซตท่ีประกอบดวยสมาชิกของเซต A และเซต B
(สมาชิกเซตที่ซํ้ากันใหเขียนครั้งเดียว)
สมบัติของยูเนี่ยน
กําหนด A, B เปนเซตใดๆ
1. A∪A = A
2. A∪U = U
3. A∪∅ = A
4. A∪B = B∪A
5. A∪B( )∪C = A∪ B∪C( )6. A∪ B∩C( ) = A∪B( )∩ A∪C( )
7. A∪ ʹ′A = U
8. A∪B( )ʹ′ = A '∩ ʹ′B
9. A− B∪C( ) = A−B( )∩ A−C( )
µÑÇÍ‹ҧ
A = 1, 2, 3{ } และ B = 3, 4, 5{ }
จะได A∪B = 1, 2, 3, 4,5{ }1, 2, 3, 4, 5{ }
7
1
เซต
ผลตาง
อินเตอรเซ็กชัน
ใชสัญลักษณ ∩ เชน A∩B อินเตอรเซ็กชัน A กับ B คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกเซตซึ่งเปนสมาชิกของเซต A
และ B (นําสมาชิกเซตที่ซํ้ากันมาเขียน)
สมบัติของอินเตอรเซ็กชัน
กําหนด A , B เปนเซตใดๆ
1. A∩A = A
2. A∩U = A
3. A∩∅ = ∅
4. A∩B = B∩A
5. A∩B( )∩C = A∩ B∩C( )
6. A∩ B∪C( ) = A∩B( )∪ A∩C( )7. A∩ ʹ′A = ∅
8. A∩B( )ʹ′ = ʹ′A ∪ ʹ′B
9. A− B∩C( ) = A−B( )∪ A−C( )
µÑÇÍ‹ҧ
A = 1, 2, 3{ } และ B = 3, 4, 2{ }
จะได A∩B = 2, 3{ }
A-B
อานวา Complement ของ B เมื่อเทียบกับ A
B-A
อานวา Complement ของ A เมื่อเทียบกับ B
เซตที่ประกอบดวยสมาชิกเซต A ที่ไมใชสมาชิกเซต B
µÑÇÍ‹ҧ
A = 1, 2, 3{ } และ B = 3, 4, 5{ }
ดังนั้น A - B = 1, 2{ }
เซตที่ประกอบดวยสมาชิกเซต B ที่ไมใชสมาชิกเซต A
µÑÇÍ‹ҧ
A = 1, 2, 3{ } และ B = 3, 4, 5{ }
ดังนั้น B - A = 4, 5{ }
8
คอมพลีเมนต
ใชสัญลักษณ ‘ หรือ Ac เชน A' , Ac คอมพลีเมนตของ A คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธที่ไมใช
สมาชิกเซต A
สมบัติของคอมพลีเมนต
1. A'( )'= A
2. ∅' = U
3. U' =∅
4. A∪A' = U
5. A∩A' =∅
6. A ⊂ B ตอเมื่อ B' ⊂ A'
7. A∩B=∅ ตอเมื่อ A' ⊂ B'
µÑÇÍ‹ҧ
U = 1, 2, 3, 4, 5, 6{ } และ A = 3, 4, 5{ }
ดังนั้น A' หรือ Ac = 1, 2, 6{ }
สมบัติของผลตางระหวางเซต
กําหนด A, B เปนเซตใดๆ
5. A−U =∅
6. A−B⊂ A
7. A−B= A ตอเมื่อ A∩B=∅
8. A - B=∅ ตอเมื่อ A ⊂ B
1. A−A =∅
2. A−∅ = A
3. ∅−A =∅
4. A−A' = A
