ของระบบไม the first and second order transfer...

152 Kasem Bundit Engineering Journal Vol.9 No.1 January-April 2019

การหาฟงกชนถายโอนอนดบทหนงและอนดบทสองของระบบไมเชงเสน

ทมตวหนวงแบบฮสเตอเรซส

THE FIRST AND SECOND ORDER TRANSFER FUNCTION OF

HYSTERESIS DAMPING NON-LINEAR SYSTEM

ปรญญา บญมาเลศ1 และ ธน ฉยฉาย2

1,2อาจารย, สาขาวชาวศวกรรมเครองกล คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเกษมบณฑต

1761 ถนนพฒนาการ เขตสวนหลวง กรงเทพฯ 10250 [email protected], [email protected]

Parinya Boonmalert1 and Thanu Chouychai2 1,2Lecturer, Department of Mechanical Engineering, Faculty of Engineering,

Kasem Bundit University 1761 Pattanakarn Rd. Suanluang, Bangkok 10250, Thailand, [email protected], [email protected]

บทคดยอ

ในงานวจยนไดนาเสนอวธการแยกสญญาณของระบบไมเชงเสนออกเปนสวนทเปนเชงเสนและไม

เปนเชงเสนออกจากกน แลวจงนาสวนทเปนเชงเสนไปคานวณหาฟงกชนถายโอนเพอนาไปทาการ

วเคราะหโมดลตอไปและไดแสดงใหเหนถงการหาฟงกชนถายโอนของสวนทไมเปนเชงเสนโดย

อาศยการเทยบกบอนกรมของวอลเตอรรา จากผลการทดสอบหาพารามเตอรของระบบแสดงให

เหนวาเมอนาฟงกชนถายโอนทแยกสวนทไมเชงเสนออกไปแลว จะมคาผดพลาดจากระบบทาง

ทฤษฎ 0.1% สวนฟงกชนถายโอนทไมแยกสวนไมเชงเสนจะมความผดพลาดจากทฤษฎ 2.1%

ทงนความผดพลาดของกรณหลงจะแปรผนไปตามความไมเปนเชงเสนดวย

คาสาคญ: ฟงกชนถายโอน, การวเคราะหโมดล, อนกรมวอลเตอรรา

ABSTRACT

This research presents a method of separating the nonlinear system as a combination of

linear and nonlinear parts. The linear part is then calculated to find the transfer function for

further modal analysis. It also presents the finding of the nonlinear transfer function by

comparing with the Volterra series. The results of system’s parameters show when the

Faculty of Engineering, Kasem Bundit University Research Article

วศวกรรมสารเกษมบณฑต ปท 9 ฉบบท 1 มกราคม-เมษายน 2562 153

transfer function is separated the nonlinear parts there will be 0.1% theoretical error. The

transfer function is not separated the nonlinear parts will have 2.1% theoretical error.

However, the errors that occur will vary according to nonlinearity.

KEYWORDS: Transfer function, Modal analysis, Volterra series

1. บทนา ในกระบวนการผลต ผลตภณฑทางอตสาหกรรมจะตองมการออกแบบผลตภณฑเพอใหมความ

แขงแรงและคงทนตอการใชงาน ซงโดยปรกตจะทาการออกแบบทางสถตยศาสตรดวยระเบยบวธไฟ

ไนตเอลเมนต (Finite element method) และทาการวเคราะหทางพลศาสตรดวยวธการวเคราะหโมดล

(Modal analysis) แตมกจะพบเสมอวาผลตภณฑตนแบบทผลตออกมานน เมอทาการวเคราะหโมดล

โดยการทดลองแลวจะใหผลทผดพลาดมากเมอเทยบกบผลการวเคราะหทางทฤษฎ ซงสาเหตของความ

ผดพลาดนนเกดจากความไมเชงเสน (Non-linear) ของผลตภณฑตนแบบ

โดยปกตการหาฟงกชนถายโอน (Transfer function) ของระบบดวยวธการวเคราะหโมดล

จะทาการวดสญญาณออกและสญญาณเขาของระบบแลวนาสญญาณทงสองไปทาการแปลงดวย

ฟรเยร (Fourier transform) ใหเปนโดเมนความถ (Frequency domain) แลวนาสญญาณออก

หารดวยสญญาณเขาในโดเมนความถกจะไดฟงกชนถายโอนของระบบเทยบสองจดระหวางจดท

สญญาณเขาและจดทสญญาณออก หลงจากนนจะนาฟงกชนถายโอนนนไปคานวณหาพารามเตอร

ตางๆ ของระบบ เชน ความถธรรมชาต และคาอตราสวนการหนวง เปนตน ซงบางครงจะพบวา

ฟงกชนถายโอนของระบบเดยวกนทจดวดเดยวกนในการวดแตละครงจะไมเทากน นนแสดงวา

ระบบนนเปนระบบไมเชงเสน ถานาฟงกชนถายโอนทวดไดไปคานวณหาพารามเตอรของระบบ

แลวจะทาใหเกดความผดพลาดได ซงสามารถแกปญหานไดโดยการแยกสญญาณสวนทเปนเชง

เสนของระบบออกมาตามกระบวนการดงทกลาวมาแลว จากนนจงนาสญญาณออกอนดบทหนงไป

คานวณหาฟงกชนถายโอนและไปคานวณหาพารามเตอรของระบบเชงเสนตอไป

ในงานวจยนใชอนกรมของวอลเตอรรา (Volterra series) [1] แทนสญญาณออกของระบบและ

ทาการแยกสญญาณออกของระบบออกเปนอนดบตางๆ ทสอดคลองกบอนดบของอนกรม โดยท

อนดบทหนงแทนสญญาณออกของระบบเชงเสนและตงแตอนดบทสองเปนตนไปแทนสญญาณออก

ของระบบสวนทไมเชงเสน ทาใหสามารถนาสวนทเปนเชงเสนไปวเคราะหดวยวธแบบโมดลเชงเสน

ไดอยางถกตอง และสวนทไมเชงเสนกสามารถนาไปวเคราะหแบบไมเชงเสนดวยวธทเหมาะสม

ตอไป ในงานวจยไดทาการทดลองทาการคานวณดวยแบบจาลองทางคณตศาสตรของระบบระดบ

ความเสรข นเดยวของระบบทมสปรงไมเชงเสนอนดบทสองทมตวหนวงแบบฮสเตอเรซส (Hysteresis damping) และไดแสดงรปของฟงกชนถายโอนอนดบทหนงและอนดบทสองไวใหเปน

คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเกษมบณฑต บทความวจย


แนวทางเพอใชในการวเคราะห สวนฟงกชนถายโอนอนดบทสามและสงกวาไมไดแสดงไวเนองจาก

เปนการยากทจะแสดงดวยกราฟหลายมต

2. งานทเกยวของ

Haoui A [2] ไดแสดงวธการแยกฟงกชนถายโอนของระบบเชงเสนและไมเชงเสนออกจากกน

โดยใชการแปลงของฮลเบรท

Fei BJ [3] ไดเสนอวธการคานวณฮลเบรทอยางเรวโดยอาศยการแปลงของฟรเยร และได

เสนอเทอมแกความผดพลาดทเกดจากการตดสญญาณ ของการแปลงของฮลเบรทอกดวยและทง

สองทานนไดใชการแปลงของฮลเบรท สรางฟงกชนถายโอนเชงเสนเทยบเทา

Semidor-Signoret C [4] ไดเสนอวธการแยกสญญาณออกของระบบออกเปนสวนๆ เพอให

สอดคลองกบอนกรมของวอลเตอรรา โดยการทดลองซาๆ กนหลายครง โดยใชสญญาณเขาของ

ระบบในรปแบบเดมทกครงแตปรบแอมปลจดใหแตกตางกนทกครง แลวนาสญญาณออกทวดได

กบแอมปลจดของแรงไปทาการคานวณแบบเมตรกซเพอแยกสญญาณออกของระบบออกเปน

อนดบตางๆ ทสอดคลองกบอนกรมของวอลเตอรรา

3. ทฤษฎทเกยวของ เพอเปนแนวทางในการวเคราะหปญหาในงานวจยนจะพจารณาระบบเปนระบบแบบไมเชง

เสนระดบความเสรข นเดยวทมตวหนวงแบบฮสเตอเรซสในรปของสปรงเชงซอนทไมเชงเสนใน

รปของสมการพหนามกาลงสองดงสมการท (1) โดยแผนผงของระบบแสดงดงรปท 1

2( ) ( ) ( ) ( )my t ay t by t x t+ + =

(1)

โดยท m เปนมวลของระบบ, ; 1a k jh j= + = − , k เปนคาความแขงตงของสปรง และ h

เปนคาคงทของตวหนวงแบบฮสเตอเรซส, b เปนคาคงทเชงซอนของเทอมทไมเปนเชงเสน

รปท 1 แผนผงของระบบ

สญญาณออกของระบบในสมการท (1) สามารถเขยนอยในรปแบบของโอเปอเรเตอรไดเปน



∞

== = ∑

1

( ) [ ( )] [ ( )]n

n

y t H x t H x t (2)

และถากาหนดใหสญญาณเขาของระบบเปน

( ) ( )x t BF t= (3)

ถา 1B = ; สญญาณออกของระบบจะได

1 1 1

( ) [ ( )] [ ( )] ( )n n n

n n n

y t H x t H F t y t∞ ∞ ∞

= = == = =∑ ∑ ∑ (4)

และท B ใดๆ สญญาณออกของระบบจะเปน

1 1

( ) [ ( )] ( )n

n nn n

y t H BF t B y t∞ ∞

= == =∑ ∑ (5)

แทน สมการท (5) ในสมการท (1) และเทยบสมประสทธ ของ B ยกกาลงหนงได

1 1( ) ( ) ( )my t ay t F t+ =

(6)

หรอสามารถเขยนอยในรปของโอเปอเรเตอรไดดงสมการท (7) และมแผนผงของระบบเชงเสน

ดงกลาวแสดงดงรปท 2

1 1 1 1 1( ) [ ( )] [ ( ) ( )]y t H F t H my t ay t= = +

(7)

รปท 2 แผนผงของระบบเชงเสน

ฟงกชนถายโอนของระบบเชงเสนในสมการ (6) เมอ ω γ= +2 (1 )n n

aj

m คอ



1 2 2 2( )

n n n

AH

jω

ω ω γ ω=

− + (8)

โดยท =2

n

k

mω , =

n

h

kγ และ =

1A

m

ฟงกชนถายโอนไมเชงเสนอนดบสอง สามารถหาไดโดยการแทนสมการท (5) ในสมการท (1)

และเทยบสมประสทธของ B ยกกาลงสองจะได

2

2 2 1( ) ( ) ( )my t ay t by t+ = −

(9)

โดยแผนผงการตอบสนองอนดบทสองของระบบแสดงดงรปท 3 และสญญาณออกของระบบ

อนดบทสองเปน

2

2 1 1( ) [ (t)]y t bH y= − (10)

รปท 3 แผนผงการตอบสนองอนดบทสองของระบบ

สญญาณออกของระบบไมเชงเสน จะเขยนเปนอนกรมของวอลเตอรรา (Volterra series) ไดเปน

n

n n i in i

y t h x t d1 2

1 1

( ) ... ( , ,..., ) ( )τ τ τ τ τ∞ ∞∞

= =−∞ −∞= ∑ ∏∫ ∫ − (11)

หรอการตอบสนองอนดบท n ใดๆ เขยนไดเปน

*



n

n n n i ii

y t h x t d1 2

1

( ) ... ( , ,..., ) ( )τ τ τ τ τ∞ ∞

=−∞ −∞= ∏∫ ∫ − (12)

การตอบสนองของระบบเชงเสนจะเขยนในรปของอนกรมของวอลเตอรราไดเปนการประสาน

(Convolution) ท n 1= คอ

y t h x t d1 1( ) ( ) ( )σ σ σ

∞

−∞= ∫ − (13)

และการตอบสนองของระบบไมเชงเสนอนดบทสองจากสมการท (10) เปน

y t b h h h x t x t d d d2 1 1 1 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ σ σ τ σ τ σ τ σ σ

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞= − − − − −∫ ∫ ∫ (14)

กาหนดให 1 1ζ τ σ= − และ 2 2ζ τ σ= − จะได

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞= − − − − −∫ ∫ ∫y t b h h h x t x t d d d

2 1 1 1 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ ζ τ ζ ζ ζ τ ζ ζ (15)

แตรปแบบมาตรฐานของการตอบสนองอนดบทสองของอนกรมวอลเตอรราในสมการท (12) จะเปน

y t h t x t d d2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( , ) x( ) ( )τ τ τ τ τ τ

∞ ∞

−∞ −∞= − −∫ ∫ (16)

เมอเทยบสมการท (15) และ (16) จะไดอมพลสเรสปอนสอนดบทสองเปน

∞

−∞= − − −∫h b h h h d

2 1 2 1 1 1 1 2( , ) ( ) ( ) ( )ζ ζ τ τ ζ τ ζ τ (17)

และเมอใชการแปลงของฟรเยรสองมตจะไดฟงกชนถายโอนอนดบทสองของระบบเปน

∞ ∞ ∞

− +

−∞ −∞ −∞= − − −∫ ∫ ∫

jH b h h h e d d d1 1 2 2( )

2 1 2 1 1 1 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ω ζ ω ζω ω τ τ ζ τ ζ τ ζ ζ (18)



จากการเปลยนตวแปร 1 1 2 2,= − = −σ τ ζ σ τ ζ จะไดฟงกชนถายโอนอนดบทสองเปน

H bH H H2 1 2 1 1 2 1 1 1 2( , ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω ω ω= − + (19)

ในทานองเดยวกนฟงกชนถายโอนอนดบทสาม จะหาไดจากแทน สมการท (4) ใน สมการท

(1) และเทยบสมประสทธ ของ B กาลงสามจะทาใหไดสญญาณออกอนดบทสาม โดยมแผนผงการ

ตอบสนองอนดบทสามของระบบแสดงดงรปท 4

y t bH y t y t3 1 1 2( ) 2 [ ( ) ( )]= − (20)

และฟงกชนถายโอนอนดบทสามเปน

H bH H3 1 2 3 1 1 2 2 3 1 1 2 3( , , ) 2 ( ) ( , )H ( )ω ω ω ω ω ω ω ω ω= − + + (21)

รปท 4 แผนผงการตอบสนองอนดบทสามของระบบ

เปนททราบกนดอยแลววาเมอทาการวดสญญาณของระบบไมเชงเสนเพอหาฟงกชนถายโอน

มกจะพบปญหาฟงกชนถายโอนเปลยนรปรางไปเมอขนาดของสญญาณเขาของระบบเปลยน

เนองจากระบบททาการทดสอบไมเปนเชงเสน ดงนนเพอทาการหาฟงกชนถายโอน อนดบทหนง

และอนดบทสอง ทถกตองจะทา การแยกสญญาณสวนทเปนเชงเสนและไมเชงเสนออกจากกน

ในทางปฏบต การจะหาฟงกชนถายโอนของระบบไมเชงเสนจะทาไดโดยการวดสญญาณเขาและ

สญญาณออกของระบบ ทมการปรบแอมปลจดของสญญาณเขาของระบบใหมขนาดตางๆ กน ถา

x t( ) เปนสญญาณเขาของระบบมรปแบบเปน

=( ) ( )i

Bx t f t (22)

*



โดยท i

B เปนแอมปลจดของสญญาณเขาครงท i และสญญาณออกครงท i ใดๆ เปน

∞

== ∑( )

1

( ) ( )i n

i nn

y t B y t (23)

สมการท (23) เขยนในรปของเมตรกซ สาหรบการวดสญญาณ p ครงไดเปน

=

(1) 2

11 1 1

( 2 ) 2

22 2 2

( ) 2

( )( ) ...

( )( ) ...

:: : : : :

( )( ) ...

p

p

p p

pp p p

y ty t B B B

y ty t B B B

y ty t B B B

(24)

เมอ iy t( ) ( ) เปนสญญาณออกของระบบทมสญญาณเขาเปน =( ) ( )

iBx t f t เมอ

iy t( ) ( ) เปน

สญญาณออก และ i

B เปนขนาดของแอมปลจดททราบคาของสญญาณเขา ดงนนสญญาณออก

ของระบบไมเชงเสนจะแยกออกเปนอนดบตางๆ ไดจากการแกสมการเชงเสนของสมการท (24)

และฟงกชนถายโอนอนดบทหนงจะหาไดจาก

Y

HF

1

1

( )( )

( )

ωω

ω= (25)

4. ผลการทดลอง

ในการทดสอบความเปนไปไดของหลกการตามทฤษฏขางตนจะทาไดโดย จาลองระบบทมตว

หนวงแบบฮสเตอเรซส ทมมวลเทากบ 1 kg, n

10ω = rad/s, n

0.02γ = , b j1 0.1= + , และม

สญญาณเขาเปนสญญาณแบบดล i

x t F t( ) ( )δ= ทมขนาดของแอมปลจดทไมเทากนสามคาคอ

= = =1 2 3

1 N, 5 N, 10 NF F F เพอใหแยกสญญาณออกมาไดเปนสามอนดบและเมอทาการ

คานวณสญญาณออกทงสามจากสมการ (1) โดยใชระเบยบวธรงเง-คดตา (Runge-Kutta Method)

[5] แลวนาสญญาณออกทงสามดงทแสดงในรปท 5-7 แทนในสมการท (24) แลวคานวณสญญาณ

อนดบทหนงถงสามไดดงแสดงในรปท 8-10 ตามลาดบ เมอนาสญญาณออกอนดบทหนงไป

คานวณหาฟงกชนถายโอนจะไดฟงกชนถายโอนของระบบเชงเสนดงแสดงในรปท 11 และฟงกชน

ถายโอนอนดบทสองซงเปนสวนทแสดงความไมเปนเชงเสนของระบบแสดงในรปท 12 เมอนา

ฟงกชนถายโอนอนดบทหนงไปคานวณหาพารามเตอรของระบบ โดยใชวธเทยบกบวงกลมใน



ไนควทพลอต (Nyquist plot) จะไดพารามเตอรของ n

ω และ n

γ มความผดพลาดจากคาทกาหนด

0.1% สวนพารามเตอรทคานวณจากฟงกชนถายโอนทคานวณจากสมการ (1) จะมคาผดพลาด

2.1% ทงนความผดพลาดจะเพมมากขนเมอพารามเตอร b มากขน สวนคาของ b ซงเปน

พารามเตอรไมเชงเสน จะตองใชวธการของระบบไมเชงเสนในการหาตอไป

รปท 5 สญญาณออกของระบบทถกกระทาดวยแรงขนาด 1 N





รปท 8 สญญาณอนดบทหนงทแยกออกโดยใชสมการท (24)



รปท 9 สญญาณอนดบทสองทแยกออกโดยใชสมการท (24)

รปท 10 สญญาณอนดบทสามทแยกออกโดยใชสมการท (24)



รปท 11 ฟงกชนถายโอนอนดบทหนง

รปท 12 ฟงกชนถายโอนอนดบทสองของระบบไมเชงเสน



5. สรปผล จากผลการทดสอบจะเหนวาวธการแยกสญญาณของระบบเชงเสนออกจาก สญญาณของ

ระบบไมเชงเสนใชไดผล ซงจะทาใหการคานวณหาพารามเตอรของระบบมความถกตองแมนยา

มากขน เนองจากโปรแกรมทใชในการทาการวเคราะหโมดล ทมขายเกอบทงหมดจะใชวธการ

คานวณมาจากทฤษฎของระบบเชงเสนทงสน และเมอใชโปรแกรมเหลานกบระบบไมเชงเสนก

มกจะพบวาคาพารามเตอรทคานวณไดในแตละครงไมเทากน ซงผใชงานกมกจะใชวธทาการ

ทดลองหลายๆ ครงแลวนาคาทไดมาหาคาเฉลย แตถาใชวธการตามทกลาวมานจะทาใหคานวณหา

พารามเตอรไดถกตองยงขน

References

[1] Schetzen M. The Volterra & Wiener Theory of NonLinear Systems. New York: John

Wiley & Sons; 1980.

[2] Haoui A. Transformee de Hilbert Theorie et Applications aux Systems Non Lineeaires.

[these de docteur-Ingenieur]. Saint-Ouen, France: ISMCM; 1984.

[3] Fei B J. Transformee de Hilbert Numerique. [rapport de stage de fin d’etudes]. Saint-

Ouen, France: ISMCM; 1985.

[4] Semidor-Signoret C. Comporterments de Hauts Polymeres a Grange Vitesse de

Deformation, Identification d’Effet Non Lineares. [These de 3eme. Cycle en mecanique

physique]. Bordeaux, France: Universite de Bordeaux I; 1981.

[5] Chapra S C, Canale RP. Numerical Methods for Engineering. 7th ed. New York:

McGraw-Hill Book Company; 2015.

ประวตผเขยนบทความ

ดร.ปรญญา บญมาเลศ ปจจบนดารงตาแหนงอาจารยประจาสาขาวชา

วศวกรรมเครองกล คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเกษมบณฑต โทรศพท

0-2320-2777 ตอ1203 E-mail: [email protected]



รศ.ดร.ธน ฉยฉาย ปจจบนดารงตาแหนงอาจารยประจาสาขาวชา

วศวกรรมเครองกล คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเกษมบณฑต

โทรศพท 0-2320-2777 ตอ1203 E-mail: [email protected]

Article History:

Received: January 10, 2019

Revised: April 22, 2019

Accepted: April 22, 2019


ของระบบไม the first and second order transfer...

Documents