บทท 5

การสนสะเทอนแบบบงคบจากแรงรปแบบตางๆ

1. บทนา

ในบทท 4 ไดกลาวถงการสนสะเทอนแบบบงคบ ซงเกดจากพลงงานภายนอกแบบฮารโมนก ซง

เปนรปแบบอยางงาย และเปนพนฐานของการพจารณาการสนสะเทอนโดยพลงงานภายนอกรปแบบอนๆ

ในบทนจะไดกลาวถงวธการพจารณาการสนสะเทอนแบบบงคบ ซงเกดจากพลงงานภายนอกรปแบบอนๆ

โดยจะแบงเปน 3 สวนใหญๆ เรมจาก Part A ซงกลาวถงการสนสะเทอนจากพลงงานเปนคาบรปแบบใดๆ

หลงจากนน ใน Part B จงจะกลาวถงการสนแบบบงคบจากการกระแทก หรอพลซ (Pulse) ซงผลเฉลยทได

จากการกระแทกน ยงเปนพนฐานของการพจารณาการสนเนองจากพลงงานกระตนรปแบบใดๆ ซงไมม

ความสมพนธเปนคาบ ใน Part C ซงจะกลาวถงเปนลาดบสดทายของบทน

Part A การสนสะเทอนจากพลงงานเปนคาบรปแบบใดๆ

2. ลกษณะการกระตนและแนวคดในการวเคราะหปญหา

เครองจกรกลแทบทกชนด ไมวาจะเปนเครองยนต มอเตอร พดลม ป ม หรอชนสวนกลในเครองจกร

เชน เฟอง โซ สายพาน ตลบลกปน จะมการทางานเปนคาบ ดงนนพลงงานกระตนททาใหเกดการ

สนสะเทอนในเครองจกรกลหรอชนสวนเหลานจงมลกษณะเปนคาบดวย ตวอยางการกระตนทเปนคาบแสดง

ดงรปท 5-1

รปท 5-1 ตวอยางการกระตนทมลกษณะเปนคาบ

หากกาหนดใหคาบของการกระตนเหลานมคาเทากบ T จะสามารถเขยนความสมพนธของฟงกชน

ของการกระตนไดดงสมการ

)()( TtFtF += (5-1)

เนองจากฟงกชนทเปนคาบรปแบบใดๆ กตาม จะสามารถเขยนใหอยในรปอนกรมอนนตของผลรวม

ของฟงกชนไซน และโคไซน ทมความถเปนจานวนเทาของความถทมากระตน (1/T) ไดตามหลกการของ

อนกรมฟเรยร (Furier series) ดงแสดงในแผนภาพรปท 5-2 และสมการ

++++

++++=

)3sin()2sin()sin(

)3cos()2cos()cos(2

)(

030201

0302010

tbtbtb

tatataa

tF

ωωω

ωωω

หรอ ∑∞

=

++=1

000 )sincos(

2)(

nnn tnbtna

atF ωω (5-2)

โดย Tπω 2

0 = คอความถการกระตนของฟงกชนคาบรปแบบใดๆ

รปท 5-2 ความสมพนธของฟงกชนทเปนคาบกบผลรวมฟงกชนไซนซอยดตามการแปลงอนกรมฟเรยร

คาคงท 0a ในสมการ (5-2) สามารถหาไดโดยคณคา dt และอนทเกรตทงสองขางของสมการ (5-2)

ตงแต 0 ถงคาบ T เทอมทมพจนของไซน และโคไซน เมออนทเกรตครบหนงคาบจะมคาเปนศนยทงหมด

เหลออยแตเพยงพจนของ 0a โดยจะหาคา 0a ไดจากสมการ

∫=T

dttFT

a0

0 )(2

คาคงท na และ nb กสามารถหาไดทานองเดยวกบ 0a โดยการคณคา dttm )cos( 0ω หรอ

dttm )sin( 0ω ในสมการ (5-2) และอนทเกรตทงสองขางของสมการตงแต 0 ถง T การอนทเกรตเทอมทม

Periodic excitationFourier series

Sum of harmonic excitationsF(t)

พจน dttma )cos( 00 ω หรอ dttma )sin( 00 ω และเทอม dttmtnan )sin()cos( 00 ωω หรอ

dttmtnbn )cos()sin( 00 ωω ครบหนงคาบจะไดคาเปนศนยทงหมด แตสาหรบการอนทเกรตเทอม

dttmtnan )cos()cos( 00 ωω หรอ dttmtnbn )sin()sin( 00 ωω แลว คาทไดจะเทากบศนยหากคา m ไม

เทากบ n แตการอนทเกรตจะมคาเมอ m เทากบ n ดงนนดวยวธนจะเหลอเพยงเทอมทมคา m เทากบ n

ซงเปนสมประสทธของ na และ nb เทานน เมอจดรปสมการจะทาใหหาคา na และ nb ไดดงสมการ

∫=T

n dttntFT

a0

0 )cos()(2 ω และ ∫=T

n dttntFT

b0

0 )sin()(2 ω

จากพนฐานของอนกรมฟเรยรขางตน ปญหาการสนสะเทอนจากการกระตนทเปนคาบซงมสมการ

การเคลอนท

)(tFkxxcxm =++ (5-3)

จงสามารถเขยนแทนไดดวยสมการ

∑∞

=

++=++1

000 )sincos(

2 nnn tnbtna

akxxcxm ωω (5-4)

เนองจากในสมการท (5-4) แรงกระตนดานขวามอของสมการแตละเทอม เปนคาคงท หรออยในรป

ของฮารโมนคฟงกชน ซงการสนสะเทอนโดยแรงกระตนแตละเทอมสามารถหาผลเฉลยไดทงหมด หากให

x1, x2, x3, … เปนผลเฉลยการสนสะเทอนเนองจากแรงกระตนทางดานขวาแตละเทอม จะสามารถหาผล

เฉลยการสนสะเทอนเนองจากฟงกชนทเปนคาบ F(t) ในสมการท (5-3) ไดดวยหลกการ superposition โดย

หากให x(t) เปนผลเฉลยของสมการ (5-3) หรอ (5-4) จะไดวา

+++= 321)( xxxtx (5-5)

Note

1. การจะใชหลกการ superposition ได สมการการเคลอนทตองเปนสมการเชงเสน (Linear equation)

หากไมใชสมการเชงเสน ตองประมาณใหเปนสมการเชงเสนเสยกอน

2. เนองจากฟงกชน F(t) จะเขยนใหอยในรปอนกรมอนนตไดตามหลกการของอนกรมฟเรยร ดงนน

ผลเฉลยในสมการ (5-5) จะถกตอง กตอเมอรวมคา x ตางๆ ไปจนถงพจนทอนนต อยางไรกตามใน

การคานวณจรงๆ ไมสามารถทาได จงอาจจะประมาณคาการสนสะเทอน x โดยใชพจนแรกๆ ของ

xn ได ตามสมการ

nxxxxtx ++++≈ 321)(

3. โดเมนความถและการหาผลเฉลย

หลกการของการเขยนฟงกชนทเปนคาบใหอยในรปของผลรวมของอนกรมฟเรยร ทาใหสามารถ

เปลยนรปแบบการแสดงผลของฟงกชนจากโดเมนเวลาใหอยในรปของโดเมนความถได ดงแสดงในรปท 5-3

ดานลางซายมอในรปท 5-3 แสดงฟงกชนคลนรปสเหลยมโดยแกนนอนเปนแกนเวลา เรยกการแสดงฟงกชน

โดยแกนนอนเปนแกนเวลานวา การแสดงผลในโดเมนเวลา สาหรบฟงกชนคลนรปสเหลยมนสามารถเขยน

ในรปผลรวมของฟงกชนไซนและโคไซน ทความถเปนจานวนเทาของความถฟงกชนคลนรปสเหลยม 0ω

ตามหลกการของอนกรมฟเรยรได และผลรวมของฟงกชนไซนและโคไซนทความถใดๆ นน ยงสามารถ

เขยนใหอยในรปของฟงกชนโคไซน (หรอไซน) ทมมเฟสตางๆ กนไดดงสมการ

)cos()sin()cos( 000 nnnn tnCtnbtna φωωω −=+

โดย 22nnn baC += และ )arctan( nnn ab=φ

หากนาคา nC และมมเฟส nφ ทความถตางๆ ในอนกรมฟเรยรมาเขยนกราฟโดยใหแกนนอนแสดง

ความถ ดงแสดงทางดานขวาของรปท 5-3 แลว จะทาใหสามารถแสดงขอมลของกราฟรปสเหลยมไดในอก

รปแบบหนง การแสดงขอมลในรปแบบทแกนนอนแสดงความถนนเรยกวา การแสดงผลในโดเมนความถ ซง

สามารถแปลความหมายไดวา กราฟรปสเหลยมในโดเมนเวลา ประกอบขนจากฟงกชนโคไซนทมขนาด C1

และมมเฟส 1φ รวมกบฟงกชนโคไซนทมขนาด C2 และมมเฟส 2φ และรวมกบฟงกชนโคไซนทมขนาด C

และมมเฟส φ ไปเรอยๆ ดงแสดงในรป

รปท 5-3 การแสดงคาของฟงกชนในรปโดเมนเวลาและโดเมนความถ

Time domain Frequency domain

Amplitude and phase must be collected

Note

1. เราอาจแสดงขอมลของฟงกชนทเปนคาบในรปของโดเมนเวลา หรอโดเมนความถซงประกอบดวย

ขอมลทงขนาดและมมเฟสกได โดยการแสดงทงในโดเมนเวลาและโดเมนความถจะใหขอมล

เชนเดยวกน

2. การแสดงผลของขอมลในโดเมนความถ อาจเรยกชออกอยางวา สเปกตรมของขอมลนน

การหาผลเฉลยของการสนสะเทอนโดยการกระตนทเปนคาบ สามารถทาไดโดยใหหลกการของการ

ตอบสนองเชงความถ (Frequency response) ดงทไดอธบายมาในบทท 4 และแสดงสรปในรปท 5-4 (a)

จากรปจะเหนวาหากทราบการตอบสนองเชงความถ Η(jω) เมอกาหนดการกระตนทางดานซายมอ จะ

สามารถคานวณหาคาผลเฉลยซงแสดงทางดานขวามอไดโดยงาย ในกรณของการกระตนตามรปแบบของ

สมการท (5-4) จะสามารถหาผลเฉลยไดดงแสดงในรปท 5-4 (b)

(a)

(b)

รปท 5-4 ผลตอบสนองเชงความถ

รปท 5-5 แสดงตวอยางของการหาผลเฉลยของระบบเชงเสนทถกกระตนดวยแรงทมลกษณะเปน

คลนรปสเหลยม โดยแรงกระตนนสามารถเขยนใหอยในโดเมนความถ โดยแยกเปนสเปกตรมของขนาดแรง

และสเปกตรมของมมเฟสของแรง สาหรบการตอบสนองเชงความถ Η(jω) สามารถแยกออกเปนการ

ตอบสนองเชงความถของขนาด และของมมเฟสเชนกน โดยผลเฉลยในโดเมนความถของขนาดการ

สนสะเทอน x(ω) สามารถหาไดโดยคณขนาดของแรงกระตนกบการตอบสนองเชงความถของขนาด ท

ความถเดยวกบความถแรงกระตนนน สวนมมเฟสของผลเฉลยสามารถหาไดทานองเดยวกน โดยบวกมม

เฟสของแรงกระตนกบผลการตอบสนองเชงความถของมมเฟสทความถนน ขอมลของขนาดและเฟสของการ

tjeF ω0

)(0 )( θ+ωω tjejHF

)cos(0 tF ω )cos()(0 θ+ωω tjHF

)sin(0 tF ω )sin()(0 θ+ωω tjHF

)( ωjH

)( ωjH

20a

)cos( 0tnan ω

)sin( 0tnbn ω

)(tF

)0()2( 0 Ha

)cos()( 00 nn tnjnHa θωω +

)sin()( 00 nn tnjnHb θωω +

)(txpFourier series

Superposition

สนสะเทอนในโดเมนความถสามารถเปลยนใหอยในรปของโดเมนเวลา ดงแสดงดวยกราฟของ xp(t) ทาง

ดานบนขวาของรป

รปท 5-5 การหาผลเฉลยของระบบทถกระตนดวยแรงทเปนคาบโดยวธการตอบสนองเชงความถ

ตวอยางท 5-1

A square wave force F(t) is applied to a 1-kg mass with k = 4 N/m. Determine steady-state

response of the mass

สมการการเคลอนท (EOM) ของระบบในรป สามารถเขยนไดดงน : )(tFkxxm =+

เมอแทนคามวลและคาความแขงเกรงของสปรง จะได : )(4 tFxx =+

จากสมการจะไดคาความถธรรมชาต 2/ == mknω rad/s

H

km

F(t)

x

2π 4π

F(t)

t

A

-A

สาหรบแรงกระตนสามารถเขยนในรปฟงกชนไดเปน

2/0;)( TtAtF <≤=

และ TtTAtF <≤−= 2/;)(

จากรปจะได π2=T และ 1222

0 ===πππω

T rad/s

เมอสามารถเขยน )(tF ในรปฟงกชนไดแลว จะสามารถปรบใหอยในรปของอนกรมฟเรยรไดดงน

∑∞

=

++=1

000 )sincos(

2)(

nnn tnbtna

atF ωω

สามารถหาคาคงทตางๆ ไดจาก

022)(2 2

000 =

−+== ∫∫∫

π

π

π

πAdtAdtdttF

Ta

T

0)cos()cos(22)cos()(2 2

000 =

−+== ∫∫∫

π

π

π

πω dtntAdtntAdttntF

Ta

T

n

)cos1(2)sin()sin(22)sin()(2 2

000 π

ππω

π

π

π

nn

AdtntAdtntAdttntFT

bT

n −=

−+== ∫∫∫

ดงนนจะได

+++= tttAtF 5sin

513sin

31sin4)(

π

แทนคาฟงกชน )(tF ลงใน EOM จะได

+++=+ tttAxx 5sin

513sin

31sin44

π

Review

การหาผลเฉลยการสนสะเทอนดวยวธการ Frequency response

EOM: tFkxxm ωsin0=+

The steady-state response:

โดย:

)sin()()( 0 θωω +⋅= tFHtx p

22

1)(ωω

ω−

=n

H

nωωθ <= when,0

nωωπθ >−= when,

จากผลเฉลยทแสดงขางตน จะสามารถหาคาตอบของสมการ EOM ไดดงน

++++++= )5sin()5(

51)3sin()3(

31)sin()1(4

531 θθθπ

tHtHtHAx p

โดยคา )(ωH และ nθ หาไดจากตารางดานลาง

ANS

Part B การสนสะเทอนจากการกระแทกหรอพลซ

4. ฟงกชนอมพลซ (Impulse function)

การกระแทกเปนการใหแรงในชวงเวลาสนๆ เชนการเคาะของคอนทระบบการสนสะเทอนระบบหนง

ดงแสดงตวอยางในรปท 5-6(a) หากเขยนกราฟของแรงกระทาระหวางแรงกบเวลา จะไดกราฟดงแสดงใน

รปท 5-6(b) โดยชวงเวลาทแรงกระทาจะเปนเพยงชวงสนๆ สวนขนาดแรงทกระทามกจะมคามาก ในทาง

คณตศาสตรไดจาลองแรงเนองจากการกระแทกในรป 5-6(b) ใหเปนดงรปท 5-6(c) โดยแรงกระแทกจะ

กระทาทเวลาตงแต ετ − จนถงเวลา ετ + โดยขนาดของแรงกระทาในชวงเวลานมคาคงทเทากบ ε2F

(Daniel J. Inman, Engineering Vibration, 2nd edition)

(a) (b) (c)

รปท 5-6 การกระแทกและการจาลองการกระแทกทางคณตศาสตร

จากรปท 5-6(c) จะเขยนความสมพนธของฟงกชนแรง F(t) ไดดงน

0 ετ −≤t

=)(tF ε2

F ετετ +<<− t (5-6)

0 ετ +≥t

โดย ε เปนคาบวกทมขนาดเลก จากนยามของ F(t) ขางตน สามารถนา F(t) มาอนทเกรตเพอหาการดล

หรออมพลซ (Impulse, I) ของแรงไดดงสมการ

∫+

−

=ετ

ετ

ε dttFI )()(

อยางไรกตามเนองจาก F(t) ในชวงอนๆ มคาเปนศนยทงหมด ดงนนจงสามารถเขยนสมการการอนทเกรต

ใหครอบคลมชวงทกวางขนไดดงน

∫+∞

∞−

= dttFI )()(ε (5-7)

ผลของการอนทเกรตสมการ (5-7) จะไดพนทใตกราฟในรปท 5-6(c) และสามารถเขยนเปนสมการไดดงน

FFdttFI ˆ22

ˆ)()( =⋅== ∫

+∞

∞−

εε

ε (5-8)

เมอชวงเวลาทแรงกระทาสนมากๆ ( 0→ε ) อาจจะนยามฟงกชนอมพลซ F(t) ไดตามสมการ

0)( =−τtF เมอ τ≠t (5-9)

และ FdttF ˆ)( =−∫+∞

∞−

τ (5-10)

ในกรณท 1ˆ =F ฟงกชนอมพลซ F(t) จะถกเรยกวา ฟงกชนอมพลซหนงหนวย (Unit implulse function)

หรอ Dirac delta function ซงใชสญลกษณ )(tδ และมหนวยเปน N ไดตามสมการ

0)( =−τδ t เมอ τ≠t (5-11)

และ 1)( =−∫+∞

∞−

dtt τδ (5-12)

5. การสนสะเทอนจากการกระตนโดยอมพลซ

กอนทจะพจารณาถงลกษณะการสนสะเทอนจากการดล หรออมพลซ ในเบองตนจะอธบายกอนวา

การกระแทกนนทาใหวตถเกดการเปลยนแปลงการเคลอนทไดอยางไร เมอพจารณาถงสมการการเคลอนท

ของนวตน ในกรณทวตถเคลอนทเปนเสนตรง จาก maF = จะได

∫∫ = dtmaFdt )(

หรอ vmvvmI ∆=−= )( 12 (5-13)

จะเหนวาการดลทาใหความเรวของการเคลอนทเปลยนแปลงไป รปท 5-7 แสดงวตถทในตอนแรก

หยดนง เมอไดรบการกระแทกทเวลา t = 0 จะมการเปลยนแปลงโมเมนตม โดยความเรวเปลยนไปเปน 0v

และจะไดวา 00 )0( mvvmI =−= หรอ mF

mIv

ˆ0 == โดยการขจดไมมการเปลยนแปลงในชวงเวลาน

รปท 5-7 ผลของการกระแทก (อมพลซ) ตอลกษณะการเคลอนทของวตถ

impact

สาหรบในระบบการสนสะเทอน ดงเชนในตวอยางรปท 5-6(a) นน หากสมมตใหวตถไดรบแรงททา

ใหเกดอมพลซหนงหนวย ทเวลา t = 0 จะสามารถเขยนสมการการเคลอนทไดดงน

)(tkxxcxm δ=++ (5-14)

เนองจากวตถหยดเรมเคลอนทจากหยดนง จงมเงอนไขคาเรมตนดงน

0)0(,0)0(,0 === xxt (5-15)

อยางไรกตามเมอพจารณาเวลาทผานไปเพยงเลกนอย ( += 0t ) หลงจากทแรงจากอมพลซหนง

หนวยกระทาแลว ระบบนจะไมมแรงกระทาอกตอไป โดยผลของแรงทาใหวตถเรมเคลอนทโดยมความเรว

เทากบ mm

FmIv 1ˆ

0 === แตยงถอวายงไมมการเปลยนแปลงการขจด ในกรณนจะสามารถเขยนสมการ

การเคลอนทและเงอนไขคาเรมตนไดดงน

0=++ kxxcxm (5-16)

mxxt 1)0(,0)0(,0 === + (5-17)

จากการพจารณาขางตนจงสรปไดวา การสนสะเทอนจากแรงททาใหเกดอมพลซหนงหนวย มคา

เทากบการสนสะเทอนอยางอสระ ซงมความเรวเรมตนเทากบ mx 1)0( = ดงนนการหาผลเฉลยทแสดงถง

ลกษณะการสนสะเทอน จงสามารถทาไดดวยวธการเชนเดยวกบการหาผลเฉลยของการสนสะเทอนอยาง

อสระ

จากสมการท (5-16) และ (5-17) ในกรณทระบบเปนแบบ Underdamp จะสามารถหาผลเฉลยของ

การสนสะเทอนอยางอสระไดดงสมการ

tem

txth dt

d

n ωω

ζω sin1)()( −== (5-18)

กราฟแสดงการสนตามสมการท (5-18) แสดงในรปท 5-8 ซงจะเหนไดวาเปนเชนเดยวกบลกษณะการ

สนสะเทอนแบบอสระ ทมเง อนไขเรมตนเปนความเรวเพยงอยางเดยวโดยไมมการขจด

รปท 5-8 การสนสะเทอนเนองจากอมพลซทเวลา t = 0

หากการกระแทกเกดทเวลา τ=t การหาผลเฉลยกทาไดทานองเดยวกน โดยกอนการกระแทก

วตถจะไมมการสนสะเทอน สวนหลงการกระแทกวตถจะมการสนเชนเดยวกบทแสดงในสมการ (5-18)

เพยงแตคา t ในสมการจะเปลยนไปเปน τ−t แทน โดยจะสรปเปนสมการไดดงน

0)( =tx เมอ τ≤< t0 (5-19)

)(sin1)()( )( τωω

τ τζω −=−= −− tem

thtx dt

d

n เมอ τ>t (5-20)

เรยก )(th และ )( τ−th ฟงกชนการตอบสนองตออมพลซ (Impulse response function)

เมอระบบถกกระทาดวยแรงททาใหเกดอมพลซขนาดใดๆ กยงสามารถหาการสนสะเทอนของระบบ

ไดโดยใชวธการเดยวกน โดยในกรณนสมการการเคลอนทคอ

)(ˆ tFkxxcxm δ=++ (5-21)

โดย F คอขนาดของอมพลซ สวนเงอนไขเรมตนในกรณนคอ 0)0(,0)0(,0 === xxt

สมการท (5-21) และเงอนไขเรมตนขางตน สามารถแปลงใหเปนสมการการสนสะเทอนอยางอสระ และ

เงอนไขเรมตนทใชคานวณทานองเดยวกบสมการ (5-16) และ (5-17) ไดดงน

0=++ kxxcxm (5-22)

mFxxt ˆ)0(,0)0(,0 === + (5-23)

สาหรบการสนสะเทอนตามสมการ (5-22) สามารถแสดงไดในรปเดยวกบสมการ (5-18) โดยเปลยนขนาด

จากอมพลซหนงหนวยเปน F ดงน

)(ˆsinˆ

)( thFtem

Ftx dt

d

n ⋅== − ωω

ζω (5-24)

เมอการกระแทกเกดทเวลา τ=t ใดๆ กสามารถหาผลเฉลยไดดงสมการ

0)( =tx เมอ τ≤< t0 (5-25)

)(sinˆ

)(ˆ)( )( τωω

τ τζω −=−⋅= −− tem

FthFtx dt

d

n เมอ τ>t (5-26)

ตวอยางท 5-2

ในระบบมวล-สปรง-ตวหนวง อยางงาย กาหนดให m = 1 kg, c = 0.5 kg/s และ k = 4 N/m

ระบบนถกกระทาดวยแรงกระแทก )(1.0)(2.0)( τδδ −+= tttF

จงหาผลตอบสนองของระบบตอแรงกระแทกน (Example 3.1.1, Daniel J. Inman, Engineering Vibration, Second edition)

จากโจทยจะได

ความถธรรมชาต 214 ==nω rad/s

อตราสวนการหนวง 125.0)212(5.0)2( =××== nmc ωζ

เนองจากระบบนเปนระบบเชงเสน จงสามารถใชหลกการของ superposition ได

ในทนจะพจารณาผลของแรงกระแทกทละตว แลวจงนามารวมกนในภายหลง

สาหรบแรง )(2.0)( ttF δ= จะไดผลการสนสะเทอนตามสมการ (5-26) ดงน

)125.012sin()125.012)(1(

2.0)( 2)2)(125.0(

21 tetx t ⋅−−

= −

)984.1sin(1008.0)( 25.01 tetx t−=

สาหรบแรง )(1.0)( τδ −= ttF จะไดผลการสนสะเทอนตามสมการ (5-26) ดงน

))(125.012sin()125.012)(1(

1.0)( 2))(2)(125.0(

22 ττ −⋅−−

= −− tetx t

))(984.1sin(0504.0)( )(25.02 ττ −= −− tetx t

เมอรวมผลของการสนสะเทอนทงสองสวนเขาดวยกน จะไดสมการทแสดงถงผลเฉลยขอการสนสะเทอนดงน

)()()( 21 txtxtx +=

= )984.1sin(1008.0 25.0 te t− τ<< t0 ))(984.1sin(0504.0)984.1sin(1008.0 )(25.025.0 ττ −+ −−− tete tt τ≥t

กาหนดให Heaviside step function มนยามดงตอไปน

)( τ−Φ t or )( τ−tH = 0 เมอ τ<< t0

= 1 เมอ τ≥t

ดงนนจะสามารถเขยนการสนสะเทอนไดดงน

[ ] )())(984.1sin(0504.0)984.1sin(1008.0)( )(25.025.0 τττ −Φ⋅−+= −−− ttetetx tt ANS

หากให 5.0=τ จะสามารถเขยนกราฟของแรงกระแทกไดดงรปทางดานซายมอ สวนกราฟการสนสะเทอน

แสดงทางดานขวามอ โดยเสนทบแสดงการสนสะเทอน )(1 tx จากแรงทเวลา t = 0 s เพยงแรงเดยว เมอถง

เวลาท t = 0.5 s เนองจากผลของแรงกระแทกอกครงหนง ทาใหการสนสะเทอนเพมขน โดยเสนประแสดง

ผลรวมของการสนสะเทอนจากแรงทงสองครง ( )()( 21 txtx + )

Response

)()()( 21 txtxtx +=

0.5 )()( 1 txtx =

Part B การสนสะเทอนจากการกระตนรปแบบใดๆ

6. Convolution integral และผลการตอบสนองการสนสะเทอน

ในสวนนจะกลาวถงการสนสะเทอนจากการกระตนรปแบบใดๆ ดงแสดงตวอยางในรปท 5-9 สาหรบ

การหาผลการสนสะเทอนเนองจากการกระตนลกษณะน จะตองใชพนฐานความร 3 สวนประกอบกน อน

ไดแก 1) การตอบสนองตอการกระตนแบบอมพลซซงกลาวถงไปแลวในสวนกอนหนา 2) หลกการ

Superposition และ 3) Convolution integral

รปท 5-9 ตวอยางแรงกระตนรปแบบใดๆ

รปท 5-10 แสดงแนวคดในการหาผลเฉลยของแรงกระตนแบบใดๆ และหลกการของ Convolution

integral รปบนสดทางดานซายมอแสดงถงแรงกระตนรปแบบใดๆ โดยแรงกระตนนสามารถพจารณาวาเกด

จากการประกอบกนของฟงกชนพลซขนาดตางๆ เรยงตอๆ กน ดงแสดงในรปดานลางซายมอ โดยเมอ

พจารณาตามลาดบเวลาทแรงกระทาจะพบวา เมอพลซทเวลา t1 กระทากบระบบการสนสะเทอนแลว จะทา

ใหระบบสนตามกราฟ x1 ทางดานขวามอ โดยความสมพนธระหวางแรงกระตนกบการสนสะเทอนเปนไป

ตาม Response function (h(t)) เมอเวลาผานไปเปนเวลา t2 พลซทเวลานกจะทาใหเกดการสนสะเทอน x2

ซงจะเรมสนทเวลา t2 เชนเดยวกนกบพลซทเวลา t3 กจะทาใหเกดการสนสะเทอน x3 โดยเรมสนทเวลา t3

เปนเชนนไปเรอยๆ ตราบทยงมแรงกระตนกระทากบระบบอย ผลการสนสะเทอนรวม x สามารถหาได

โดยรวม x1, x2, x3, … เขาดวยกนตามลาดบเวลาทแรงมากระทา โดยผลการสนสะเทอนรวม x แสดงดง

กราฟดานบนทางดานขวามอ หลกการทอธบายขางตน สามารถนามาเขยนเปนสมการคณตศาสตรไดดงน

+++= )()()()( 321 txtxtxtx (5-27)

การสนสะเทอน )(),(),( 321 txtxtx เปนการสนเนองจากการกระตนแบบอมพลซ จงสามารถ

เขยนใหอยในรปผลคณของขนาดอมพลซ และฟงกชนการตอบสนองตออมพลซดงสมการ (5-24) ได ดงนน

สมการดานบนจะสามารถเขยนไดเปน

+−+−+−= )(ˆ)(ˆ)(ˆ)( 332211 tthFtthFtthFtx (5-28)

รปท 5-10 แนวคดในการหาผลเฉลยการสนสะเทอนของแรงกระตนรปแบบใดๆ และ Convolution integral

เนองจากขนาดของอมพลซ F หาไดจากผลคณของขนาดแรงและชวงเวลาทแรงกระทา ดงนนจะได

+−⋅∆+−⋅∆+−⋅∆= )()()()( 332211 tthtFtthtFtthtFtx (5-29)

กาหนดให τ คอเวลาทแรง F กระทากบระบบ ดงนนจะสามารถเขยน 321 ,, ttt ไดเปน

321 ,, τττ ชวงเวลา t∆ เขยนไดเปน τ∆ และจะไดดวยวาแรง F เปนฟงกชนของ τ หรอ )(τF เมอ

พจารณาใหการแบงชวงเวลา τ∆ เลกๆ สมการ (5-29) จะสามารถเขยนใหอยในรปการอนทเกรตไดดงน

∫ −⋅=t

dthFtx0

)()()( τττ (5-30)

สมการท (5-30) มชอเรยกวา Convolution integral ในกรณทใช Convolution integral เพอหาผล

การตอบสนองของระบบดงทไดอธบายมาขางตน สมการ Convolution integral อาจเรยกอกอยางวา

Duhamel integral ตามชอของนกคณตศาสตรชาวฝรงเศส J. M. C. Duhamel (1797-1872)

ในกรณทแรงกระทาไมเปนฟงกชนตอเนอง ผลของการสนสะเทอนกสามารถหาไดโดยใชหลกการ

ขางตนเพยงแตแยกชวงของแรง และ Convolution integral ออกเปน 2 ชวง ดงน

กาหนด EOM =++ kxxcxm )(1 tF 10 tt <≤

)(2 tF 1tt ≥

ผลเฉลยคอ =)(tx

∫ −⋅1

01 )()(

t

dthF τττ 10 tt <≤

(5-31)

∫∫ −⋅+−⋅t

t

t

dthFdthF1

1

)()()()( 20

1 ττττττ 1tt ≥

ขอสงเกต

เนองจากแรงทกระตนไมไดเปนคาบหรอมสวนประกอบทเปนฟงกชนฮารโมนก ดงนนความถการ

สนสะเทอนตามสมการท (5-30) หรอ (5-31) จงเทากบความถของฟงกชนการตอบสนองตออมพลซ

)( τ−th ซงกคอความถธรรมชาตทมตวหนวงการสนสะเทอน dω (ในกรณทระบบเปนแบบ underdamped

motion)

ตวอยาง 5-3

หาลกษณะการสนสะเทอนของระบบมวล สปรง และตว

หนวงการสนอยางงาย ทไดรบแรงกระทาดงรป และ

แสดงดวย EOM ดานลาง

=++ kxxcxm 0 00 tt <≤

F0 0tt ≥

เงอนไขเรมตน 000 ==vx

ระบบเปนแบบ underdamped motion (Example 3.2.1, Daniel J. Inman, Engineering Vibration,

Second edition)

เนองจากในชวง 00 tt <≤ ไมมแรงภายนอกกระทา และเงอนไขเรมตนเปน 000 ==vx ทาใหในชวงแรก

ระบบไมมการเคลอนท และระบบจะเรมสนเมอ 0tt ≥ เมอเรมมแรงคงทมากระทา

จาก )(sin1)( )( τωω

τ τζω −=− −− tem

th dt

d

n

และ 0)( FF =τ

แทนลงในสมการ Convolution integral จะได

∫ −⋅= −−t

td

t

d

dtem

Ftx n

0

)(sin1)( )(0 ττω

ωτζω

∫ −= −t

td

t

d

dteemFtx nn

0

)(sin)( 0 ττωω

τζωζω

อนทเกรตออกมาจะได

[ ]θωζ

ζω −−−

−= −− )(cos1

)( 0)(

200 0 tte

kF

kFtx d

ttn เมอ 0tt ≥

โดย 2

1

1tan

ζζθ−

= −

จากผลการสนสะเทอนทไดจะสามารถแบงออกเปน 2 สวนคอ

1. Static displacement : kF0

2. สวนทมการสน : [ ]θωζ

ζω −−−

−− )(cos1

0)(

20 0 tte

kF

dttn

เมอทดลองกาหนดคาตวแปรตางๆ จะสามารถเขยนกราฟไดดงน

1.0=ζ

16.3=nω rad/s

300 =F N

1000=k N/m

00 =t sec

จากกราฟจะเหนไดวา การใหแรงกระตนแบบ step function ทโจทยกาหนดจะทาใหจดสมดลใหมเลอนขน

ไปตามคา Static displacement และจะสนรอบจดสมดลใหมนดวยความถธรรมชาตทมการหนวง dω

ANS

ตวอยาง 5-4

หาลกษณะการสนสะเทอนของระบบมวล สปรง และตวหนวงการสนอยาง

งาย ทไดรบแรงกระทาดงรป และแสดงดวย EOM ดานลาง

=++ kxxcxm F0 10 tt <≤

0 1tt ≥

เงอนไขเรมตน 000 ==vx

ระบบเปนแบบ underdamped motion (Example 3.2.2, Daniel J. Inman, Engineering Vibration, Second edition)

ในตวอยางนเปนการใหแรงขนาดคงทในชวงระยะเวลาหนง หลงจากนนจงเอาแรงทใหออก ในขอนอาจทาได

โดยใชหลกการ Superposition ของแรงทกระทากบระบบ ดงแสดงในรปดานลาง

1. ชวงแรกจะใหแรงทมขนาดคงท 0F กบระบบ

2. หลงจาก 1tt = จะใหแรงทมขนาดตรงกนขาม เพอหกลางกบแรงในชวงแรก ทาใหผลลพธเหมอนกบการ

ไมไดใหแรงอะไรกบระบบ

จะเหนวาทงสองชวงเปนการพจารณาแรงในรปแบบ Step function ซงทราบผลเฉลยอยแลวดงแสดงใน

ตวอยางกอนหนา การคานวณจงทาไดโดยงาย

สาหรบในชวงแรก สามารถหาลกษณะการสนสะเทอนไดเชนเดยวกบตวอยางกอนหนา

[ ]θωζ

ζω −−−

−= −− )(cos1

)( 0)(

200 0 tte

kF

kFtx d

ttn เมอ 0tt ≥

โดย 2

1

1tan

ζζθ−

= −

เมอ 00 =t จะได

[ ]θωζ

ζω −−

−== − tek

FkFtxtx d

tn cos1

)()(2

001 เมอ 10 tt ≤<

ในชวงทสองการสนสะเทอนจะเพมสวนทใหแรงในทศตรงขามเขามา โดยจะสามารถหาไดเชนเดยวกบ

ตวอยางกอนหนาเชนกน ปรบเพยงแทน 0)( FF −=τ จะได

[ ]θωζ

ζω −−−

+−

= −− )(cos1

)( 1)(

200

21 tte

kF

kFtx d

ttn เมอ 1tt ≥

นาการสนสะเทอนทงสองสวนมารวมเขาดวยกนจะได

[ ] [ ]

−−

−+

−+

−

−−=

+=

−−− θωζ

θωζ

ζωζω )(cos1

cos1

)()()(

1)(

200

200

21

1 ttek

FkFte

kF

kF

txtxtx

dtt

dt nn

[ ][ ])cos()(cos1

)( 120 1 θωθωζ

ζωζω −−−−−

= − ttteek

Ftx ddtt nn เมอ 1tt >

ขอสงเกต

ในขอนหากตองการทาตรงๆ โดยไมใชวธ Superposition อาจทาไดดงน

1. ชวง 10 tt ≤< ทาเหมอนในตวอยาง

2. ชวง 1tt > เนองจากไมมแรงกระทา แสดงวาระบบสนอยางอสระ ดงนนลกษณะการสนสะเทอนจงเปน

เชนเดยวกบการสนอยางอสระ โดยการหาคา initial condition ในชวงนจะตองสมพนธกบตาแหนงใน

ชวงแรก คอ )()( 111 txtx = และ )()()( 1111 txtxtv ==

ANS

ANS

7. สรป

ในบทนกลาวถงการหาลกษณะการสนสะเทอนแบบบงคบจากการกระตนภายนอกรปแบบตางๆ

โดยแบงการพจารณาตามลกษณะของการกระตนออกเปน 3 ประเภทใหญๆ ไดแก 1) การกระตนแบบเปน

คาบ 2) การกระตนแบบอมพลซ หรอการกระแทก และ 3) การกระตนแบบใดๆ ซงไมเปนคาบ

สาหรบการกระตนแบบเปนคาบนน จะใชหลกการของอนกรมฟเรยร แปลงฟงกชนการกระตนทเปน

คาบใหอยในรปผลบวกของฟงกชนไซนซอยดทมความถเปนจานวนเทาของฟงกชนคาบนน เนองจากแตละ

พจนของฟงกชนไซนซอยดสามารถหาผลเฉลยไดโดยงายโดยพจารณาผลตอบสนองเชงความถ

เชนเดยวกบทไดกลาวมาแลวในบทกอนหนา เมอทราบผลเฉลยแตละพจนแลวจงสามารถหาลกษณะการ

สนสะเทอนรวมไดโดยใชหลกการของ Superposition

การกระตนแบบอมพลซนนสามารถพจารณาไดเชนเดยวกบการสนสะเทอนอยางอสระ โดยม

เงอนไขคาเรมตนเปนความเรวตนทสอดคลองกบการเปลยนแปลงโมเมนตมเนองจากการดลนน สวนการ

ขจดเรมตนมคาเปนศนย สาหรบการกระตนแบบใดๆ จะพจารณาฟงกชนของการกระตนเปนการรวมกนของ

ฟงกชนพลซยอยๆ ดงนนจงสามารถใชหลกการพนฐานของผลเฉลยในกรณของการกระตนแบบอมพลซใน

กรณนได โดยผลของการกระตนแบบอมพลซทเวลาตางๆ จะถกนามารวมกนโดย Convolution integral

สาหรบปญหาทางวศวกรรมนนประกอบขนจากการกระตนทมรปแบบตามทกลาวมาทงหมดในบทน

ความเขาใจในการหาลกษณะการสนสะเทอนของการกระตนรปแบบพนฐานเหลาน ทาใหสามารถนาไป

ประยกตใชกบปญหาทซบซอนตอไปได