ระบบเลขจ ำนวน ( NUMBER SYSTEM )

ระบบเลขจ านวนระบบเลขฐานทนยมใชในบจจบน

นยมใชกบมนษย

- ระบบเลขฐาน 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

นยมใชกบคอมพวเตอร

- ระบบเลขฐาน 2 (0,1)

- ระบบเลขฐาน 8 (0,1,2,3,4,5,6,7)

- ระบบเลขฐาน 16 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

ระบบเลขฐาน 10

เลขฐาน 10 ประกอบดวย ตวเลขโดด 10 จ านวน คอ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ซงจะน าเลขโดดมาประกอบรวมกน ซงเรยกวาเลขฐาน 10 ตวอยาง เชน 99101 มคาเทากบ ??

การหาความหมายของตวเลขฐาน 10

การหาความหมายของเลขฐาน 10 ท าโดยการน า ผลรวมของเลขแตละหลกคณดวย “เลขฐาน. ยกก าลงดวยต าแหนง (0, 1, 2, 3, ...) ของเลขหลกนนๆ เชน 231

231 = (2x 102) + (3x101) + (1x100)

= (200)+(30)+(1)

= 231

ตวอยาง

ความหมาย เลข 244.11

244.11 = (2x 102) + (4x101) + (4x100)

+ (1x10-1) + (1x10-2)

= 200+40+4+0.1+0.001

= 244.11

ระบบเลขฐาน 2

นยมใชในระบบคอมพวเตอร เนองจากวงจรในคอมพวเตอร ม 2 สภาณะคอ เปด และ ปด โดยจะแทนสถาณะดงกลาวดวย เลข 2 ตวคอ 0 และ 1 โดยทวไปจะเรยกวา เลขไบนาร (Binary) หรอ เลขฐาน 2 ตวอยางเลขฐาน 2

- (1001)2 , (0101)2 , (0001)2 , (1111)2 , (1101)2

การหาความหมายของตวเลขฐาน 2

การหาความหมายของ เลข ฐาน 2 จะใชหลกการเดยวกบ เลขฐาน 10 แตจะเปลยนฐานของเลขทจะถกยกก าลง จาก เลข 2 เปน 10 ตวอยาง

10012 = (1x23)+(0x22)+(0x21)+(1x20)= (8)+(0)+(0)+(1)

= 9

ตวอยาง

ความหมาย เลข 1011.112

1011.112 = (1x 23) + (0x22) + (1x21)

+ (1x20) + (1x2-1) + (1x2-2)

= 8 + 0 + 2 + 1 + (1/2) + (1/4)

= 11+(0.5)+(0.25)

= 11.75

ระบบเลขฐาน 8

เลขฐานแปด มความสมพนธกบเลขฐานสอง คอ เลขฐานสองจ านวน 3 หลก แทนดวยเลขฐานแปด 1 หลก ดงนนเราจงสามารถเขยนเลขฐานสอง 6 บท แทนดวยเลขฐานแปด 2 บท การใชเลขฐานแปดแทนเลขฐานสองท าใหจ านวนบทสนลง ตวอยางเชน

ฐาน 2 ฐาน 8

000 0

001 1

010 2

011 3

100 4

101 5

110 6

111 7

ระบบเลขฐาน 16

เลขฐาน 16 มความสมพนธกบเลขฐานสอง คอ เลขฐานสองจ านวน 4 หลก แทนดวยเลขฐานสบหก 1 หลก ดงนนเราจงสามารถเขยนเลขฐานสอง 8 บทแทนดวยเลขฐานสบหก 2 บท การใชเลขฐานสบหกแทนเลขฐานสองท าใหจ านวนบทสนลง

เลขฐาน 16 จะมตวอกษร เพอใชแทนคา 10, 11 , 12, 13, 14, 15 ในฐาน 10 โดยจะใช ตวอกษร A,B,C,D,E,F แทนคาตวเลขดงกลาว ตามล าดบ

ระบบเลขฐาน 16

ฐาน 2 ฐาน 10 ฐาน 16

0000 0 0

0001 1 1

0010 2 2

0011 3 3

0100 4 4

0101 5 5

0110 6 6

0111 7 7

ฐาน 2 ฐาน 10 ฐาน

1000 8 8

1001 9 9

1010 10 A

1011 11 B

1100 12 C

1101 13 D

1110 14 E

1111 15 F

การแปลงเลขฐานสบเปนฐานสอง ค าศพททจ าเปนในระบบเลขฐานสองมดงน

(1) บต (bit) คอหลกแตละหลกในระบบเลขฐานสอง เชน 11002ประกอบดวย 4

(2) บตทมนยส าคญสงสด (most significant bit : MSB) คอบตทอยซายมอสด

เปนบตทมคาประจ าหลกมากทสด เชน 11002 บตทมนยส าคญสงสดคอ 1 มคา

ประจ าหลกเปน 23

(3) บตทมนยส าคญต าสด (least significant bit : LSB) คอบตทอยขวามอสดซง

เปนบตทมคาประจ าหลกนอยทสดเชน 11002 บตทมนยส าคญต าสดคอ 0 มคา

ประจ าหลกเปน 20

การแปลงเลขฐานสบเปนฐานสอง

2/2550 A. Yaicharoen 14

Iterative Method

ตวอยาง แปลง 30.7510 เปนฐานสอง30 2 = 15 เศษ 015 2 = 7 เศษ 17 2 = 3 เศษ 13 2 = 1 เศษ 11 2 = 0 เศษ 1= 111102

0.75

0.50

ค าตอบคอ30.7510 = 11110.1102

การแปลงฐาน 2 เปน ฐาน 16 แบบเรว

จะพบวา เลขฐานสบหก 1 ตว สามารถแทนไดดวยเลข binary 4 bit ดงนนการแปลงเลขฐาน 2 เปน ฐาน 16 ท าไดโดยการแปลงเลข binary ทละ 4 bit

ตวอยาง แปลงเลข (100100111100)2 ใหเปนฐาน16

วธท า 1100 = C

0011 = 3

1001 = 9

ดงนน (100100111100)2 มคา (93C)16

1001 0011 1100 9 3 C

แบบฝกหด

(11111100001101.100011)2 (1BE4)16

(A69.238)16

การคานวณเลขฐานสอง

การบวกการลบ

การลบเลขฐานสองดวยวธการบวก1 complement2’s complement

การบวกเลขฐานสอง

การบวกเลขฐานสองมหลกการเหมอนกบการบวกเลขฐานสบทเราคนเคย เพยงแตตวเลขในแตละหลกของเลขฐานสองจะมคามากทสดคอ 1 นนหมายความวาในหลกใดๆ ทม 1 บวกกบ 1 จะไดผลลพธเปน 0 และทดคา 1 ไวในหลกถดไปทางซายดง

ตวอยางการบวกเลขฐาน 2

ตวอยาง (1011)2 + (1001)2วธท า

1 0 1 1

+

1 0 0 1

1 0 1 0 0

การลบเลขฐาน 2

การลบเลข ไมวาฐานใดๆ กตามมหลกการเหมอนกน หนกการทส าคญทควรรคอ

กรณตวตงมากกวา หรอเทากบตวลบใหท าการลบตามปรกตกรณทตวตงนอยกวาตวลบ ตองมการยมตวถดไป

COMPLEMENT

เนองจาก เลข Binary เปนระบบเลขทใชกบคอมพวเตอร เมอตองการลบเลขจงตองออกแบบวงจรทใชส าหรบลบเลขแยกออกจากวงจรบวกเลข ซงมความยงยากมากกวาวงจรบวก เพราะมเรองเครองหมายลบตดมาดวย ดงนนวธทนยมใชคอ ไมวาจะบวกหรอ ลบ จะใชวงจรบวกเพยงอยางเดยว แตจะใชหลก complement เขามาชวย การลบเลขฐานสองดวยวธการบวกม 2 วธ

* 1’s complement อานวา วน- คอม- พล- เมน* 2’s complement อานวา ทส- คอม- พล- เมน

1’S COMPLEMENT

1’s Complement คอ การกลบสถานะของสญญาณ คอกลบจากสถานะ 1 เปน 0 และเปลยนจาก 0 เปน 1

การลบเลขแบบ 1’s complement1. หา 1’s complement ของตวลบ ถาจ านวนบตของตวลบนอยกวาตวตง ตองท าจ านวน

บตของตวลบใหเทากบจ านวน bit ของตวตงเสยกอน2. น าตวตงมาบวกกบ 1’s Complement3. ผลบวกถา หากม end around carry (ตวทดตวสดทาย) ใหน ามาบวกกบ LSD ผลบวกท

ได จะมคา ตามผลลพธ และมคาเปน บวก4. หากไมม end around carry ใหท าการหา 1’s ของตวเลขทค านวณได และจะไดคาเปน

ลบ

ตวอยาง

110111 – 100101วธท า 1’s complement 100101 = 011010

1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 0 1carry

1

0 1 0 0 1 0

ตวอยาง

101101 – 110010วธท า 1’s complement 110010 = 001101

1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 0 1

1 1 1 0 1 0

0

- 0 0 0 1 0 11’s complemtnt

2’S COMPLEMENT

2’s Complement คอ การน าผลของการท า 1’s complement บวกกบ 1 เพอนใชส าหรบแสดงคา ลบในคอมพวเตอร

การลบเลขแบบ 2’s complement1. หา 2’s complement ของตวลบ ถาจ านวนบตของตวลบนอยกวาตวตง ตองท าจ านวน

บตของตวลบใหเทากบจ านวน bit ของตวตงเสยกอน2. น าตวตงมาบวกกบ 2’s Complement3. ผลบวกถา หากม end around carry (ตวทดตวสดทาย) ใหตดทง และผลลพธจะมคา

เปนบวก4. หากไมม end around carry ใหท าการหา 2’s complement ของเลขนนๆ และจ าให

ผลลพธเปนลบ

ตวอยาง

110111 – 100101วธท า 1’s complement 100101 = 011010 + 1

1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 1 0carry

ตด carry ทง

0 1 0 0 1 0

ตวอยาง

101101 – 110010วธท า 1’s complement 110010 = 001101 + 1

1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 0

1 1 1 0 1 1

ไมม carry ท า 2’s

- 0 0 0 1 0 12’s complemtnt

HOMEWORK