พีชคณิตเชิงเส น๑ linear algebra...

พชคณตเชงเสน ๑ Linear Algebra I

ระบบเชงเสน การแปลงเชงเสนและพชคณตเมทรกซคาเฉพาะ เวกเตอรเฉพาะ และ การแปลงเปนทแยงมมเรขาคณตเชงเสนและฐานหลกเชงตงฉากแนวคดเชงนามธรรมของพชคณตเชงเสน

ยศนนต มมาก

เรยบเรยงเพอใชประกอบรายวชา 2301234 Linear Algebra Iภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอรคณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

พมพครงแรก มกราคม ๒๕๕๕ ปรบปรง สงหาคม ๒๕๖๒

สามารถดาวนโหลดไดทhttp://pioneer.netserv.chula.ac.th/~myotsana/

ขอคดเหนหรอขอเสนอแนะตาง ๆ โปรดสงมาไดท[email protected]

http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~myotsana/

[email protected]

คำนำ

ตำรา 2301234 พชคณตเชงเสน 1 (Linear Algebra I) ไดเรยบเรยงขนเพอตอยอดหวขอทางเมทรกซทนกเรยนไดศกษามาบางแลว ตลอดจนใหนสต นกศกษา และ ผสนใจทวไปใชอานประกอบเพอเปนพนฐานและนำไปสมโนภาพเบองตนกอนหรอระหวางการศกษาวชาพชคณตเชงเสน ทงนผเขยนไดพยายามเรยบเรยงเนอหาใหตอเนองและเรยงรอยกนโดยใชเมทรกซเปนแกนกลาง ไมใชภาษาทซบซอนหรอภาษาคณตศาสตรขนสงจนเกนไปและละบทพสจนสำหรบทฤษฎบททยากแตแสดงใหเหนการนำไปใชดวยการยกตวอยางแทน และมภาพประกอบการยกตวอยางในสองมตและสามมต เพอใหผอานเขาใจไดดยงขน

ผเขยนเหนวาการศกษาวชาพชคณตเชงเสนใหไดผลดนน ผเรยนควรเรมจากเขาใจเนอหาทเกยวของกบเมทรกซและเวกเตอรแนวตงอยางครบถวน เพอจะสามารถนำไปเปนพนฐานสำหรบหวขอเชงนามธรรมของพชคณตเชงเสน อาทปรภมเวกเตอร การแปลงเชงเสน และปรภมผลคณภายใน ซงหวขอเหลานสามารถแปลงปญหากลบมาในรปแบบของเมทรกซไดทงสน ผเขยนจงไดแบงเนอหาออกเปน 5 บท ดงน

� บทท 1 ระบบเชงเสน มเนอหาทสำคญคอการใชการดำเนนการแถวขนมลฐานลดรปเมทรกซจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดและขนบนไดลดรป การตรวจสอบวามและหาผลเฉลยทวไปของระบบเชงเสนซงเนอหาในสวนแรกนจะถกนำไปใชในหวขอตาง ๆ อยางมากมาย ตอมาในบทนจะกลาวถงคำศพทพนฐานของวชาพชคณตเชงเสนอก2 คำคอ แผทว และ อสระเชงเสน

� บทท 2 การแปลงเชงเสนและพชคณตเมทรกซ เรมจากนยามของการสงเวกเตอรจากปรภมหนงไปยงอกปรภมหนงโดยใชการคณดวยเมทรกซ ซงเรยกวา “เมทรกซมาตรฐาน” โดยบทนมเนอหาทสำคญคอ ปรภมยอยและการหาฐานหลกและบอกมตของปรภมยอยทกำหนดให ตอดวยการมอยและการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซจตรสและรวบรวมความรตาง ๆ ทเรยนมาแลวไวใน “ทฤษฎบทเมทรกซหาตวผกผนได (ทฤษฎบท 2.3.6)” โดยปดทายบทนดวยนยามและสมบตตาง ๆ ของดเทอรมแนนต

� บทท 3 คาเฉพาะ เวกเตอรเฉพาะ และการแปลงเปนทแยงมม มเนอหาทสำคญคอการเปลยนฐานหลก เมทรกซของการแปลงเชงเสน การหาเมทรกซทแยงมมทคลายกบเมทรกซจตรสทกำหนดใหโดยใชคาเฉพาะและเวกเตอรเฉพาะ และนำไปประยกตหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธบางรปแบบ

� บทท 4 เรขาคณตเชงเสนและฐานหลกเชงตงฉาก กลาวถงผลคณจดของเวกเตอร ซงนำไปสการศกษาเวกเตอรเชงเรขาคณต เชน ความยาว เวกเตอรหนงหนวย การตงฉากกนของสองเวกเตอร การสรางฐานหลกเชงตงฉากโดยใชกระบวนการกราม-ชมดต รวมถงการประยกตกบปญหากำลงสองนอยสด การแปลงเมทรกซสมมาตรเปนเมทรกซทแยงมมเชงตงฉาก รปแบบกำลงสอง และ การแยกคาเอกฐาน

i

� บทท 5 แนวคดเชงนามธรรมของพชคณตเชงเสน ผเขยนไดรวบรวมหวขอเชงนามธรรมของพชคณตเชงเสนทสำคญ กลาวคอ ปรภมเวกเตอร การแปลงเชงเสน และปรภมผลคณภายใน โดยอธบายนยามพรอมยกตวอยางประกอบ อาศยสงทไดศกษามาแลวในระดบมธยมศกษาตอนปลายและมหาวทยาลยปท 1 และละการพสจนทฤษฎบทตาง ๆ เพอใหเนอหาของบทนไมหนกจนเกนไป และมแบบฝกหด (ทเรยกวา “ลองทำ”) ซงคลายตวอยางในการบรรยายกระจายอยทวหวขอยอยนน ๆ (ทงนหากนสตตองการเนอหาเชงพสจนซงลกซงขน นสตสามารถศกษาไดจากรายวชา 2301336 พชคณตเชงเสน 2 ในอนาคต) ทงนตงแตปการศกษา 2560 ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอรไดปรบปรงรายวชานใหมความสมบรณยงขน โดยมอบหมายใหผเขยนเพมบทพสจนของทฤษฎบทตาง ๆ ในบทนเขาไปในตำรา และนำมาสอนเพมเตมจากเดม หรอใหศกษาไดดวยตนเอง ซงจะทำใหนสตทไมไดเรยนรายวชา 2301336 พชคณตเชงเสน 2 ไดเหนบทพสจนของทฤษฎบททสำคญทางพชคณตเชงเสนและสามารถนำไปประยกตและตอยอดไดดขน

ซงในแตละบทมแบบฝกหดซงแยกตามหวขอยอยตาง ๆ โดยคำตอบแบบฝกหด (เฉพาะขอคำนวณ) จะถกรวบรวมไวทายบทนน ๆ ผเขยนหวงเปนอยางยงวาหนงสอเลมนจะมประโยชนทงกบนกเรยน นสต นกศกษา ตลอดจนผสนใจทวไปทจะนำทฤษฎบทและความรทไดรบเกยวกบเมทรกซไปชวยในการทำโครงงาน ไปใชในการเตรยมตวสำหรบการสอบเขาศกษาตอ หรอ ไปประยกตกบปญหาในศาสตรทเกยวของตอไป

ยศนนต มมากภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลยมกราคม 2555 ปรบปรง-เพมเตม สงหาคม 2562

ii

สารบญ

คำนำ i

สารบญ iii

1 ระบบเชงเสน 11.1 ฟลด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 เมทรกซและระบบเชงเสน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 เมทรกซขนบนได . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 การรวมเชงเสนและการแผทว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 เซตผลเฉลยของระบบเชงเสนและอสระเชงเสน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 การแปลงเชงเสนและพชคณตเมทรกซ 332.1 การแปลงเมทรกซและเมทรกซมาตรฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 ปรภมหลก และ ปรภมสศนย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.1 ปรภมยอย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 ฐานหลก มต และแรงก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 เมทรกซผกผนของเมทรกซจตรส . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 ดเทอรมแนนต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 คาเฉพาะและเวกเตอรเฉพาะ 653.1 เมทรกซสำหรบการแปลงเชงเสนและการเปลยนฐานหลก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2 คาเฉพาะ เวกเตอรเฉพาะ และการแปลงเปนทแยงมม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.1 คาเฉพาะ และ เวกเตอรเฉพาะ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.2 การแปลงเปนทแยงมม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3 ระบบสมการเชงอนพนธ (เพมเตม) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 เรขาคณตเชงเสนและฐานหลกเชงตงฉาก 914.1 ผลคณภายในและเซตเชงตงฉาก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2 การฉายเชงตงฉาก และ กระบวนการกราม-ชมดต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3 ปญหากำลงสองนอยสด (เพมเตม) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4 การแปลงเปนทแยงมมของเมทรกซสมมาตร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

iii

4.5 รปแบบกำลงสอง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.6 การแยกคาเอกฐาน (เพมเตม) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5 แนวคดเชงนามธรรมของพชคณตเชงเสน 1335.1 ปรภมเวกเตอรและปรภมยอย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.1.1 ปรภมเวกเตอร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.1.2 ปรภมยอย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.1.3 ฐานหลกและมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.2 การแปลงเชงเสน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.3 ปรภมผลคณภายใน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

บรรณานกรม 155

ดรรชน 156

iv

บทท 1ระบบเชงเสน

1.1 ฟลดเราเคยทราบมาจากระดบมธยมศกษาแลววา เซตของจำนวนตรรกยะ Q, เซตของจำนวนจรง R และ เซตของจำนวนเชงซอน C ภายใตการดำเนนการการบวก + และการคณ × สอดคลองสมบตดงตอไปน

ให F แทนเชตใดเชตหนงขางตน(+1) (การปด (closure) การบวก) x+ y ∈ F สำหรบทก ๆ x, y ∈ F

(+2) (การเปลยนหม (associativity) การบวก) (x+ y) + z = x+ (y + z) สำหรบทก ๆ x, y, z ∈ F

(+3) (การมเอกลกษณการบวก) ม 0 ∈ F ททำให x + 0 = x = 0 + x สำหรบทก ๆ x ∈ F เรยก 0 วาสมาชกเอกลกษณ (identity) ภายใตการบวกของเซต F

(+4) (การสลบท (commutativity) การบวก) x+ y = y + x สำหรบทก ๆ x, y ∈ F

(+5) (การมตวผกผนการบวก) สำหรบแตละ x ∈ F ม u ∈ F ททำให x + u = 0 = u + x เรยก u วาตวผกผน(inverse) การบวกของ x ซงโดยทวไป เราเขยนแทนดวย −x

(×1) (การปดการคณ) x× y ∈ F สำหรบทก ๆ x, y ∈ F

(×2) (การเปลยนหมการคณ) (x× y)× z = x× (y × z) สำหรบทก ๆ x, y, z ∈ F

(×3) (การมเอกลกษณการคณ) ม 1 ∈ F ททำให x × 1 = x = 1 × x สำหรบทก ๆ x ∈ F เรยก 1 วาสมาชกเอกลกษณภายใตการคณของเซต F

(×4) (การสลบทการคณ) x× y = y × x สำหรบทก ๆ x, y ∈ F

(×5) (การมตวผกผนการคณ) สำหรบแตละ x = 0 ใน F ม v ∈ F ททำให x× v = 1 = v× x เรยก v วาตวผกผนการคณของ x ซงโดยทวไป เราเขยนแทนดวย x−1

(+×) (การแจกแจง (distribution)) (x+ y)× z = (x× z) + (y × z) และ z × (x+ y) = (z × x) + (z × y)

สำหรบทก ๆ x, y, z ∈ F

เราเรยกเซต F ใด ๆ ภายใตการดำเนนการ การบวก + และการคณ × สอดคลองทกสมบตขางตนวาฟลด (field)นอกจากฟลด Q, R และ C แลว เรายงไดวา

1

2 บทท 1 ระบบเชงเสน

ตวอยาง 1.1.1 ให p เปนจำนวนเฉพาะ และ Fp = {0, 1, . . . , p− 1}สำหรบ a และ b ใด ๆ ใน Fp เรากำหนด

a+ b = เศษจากการหาร a+ b ดวย p

a× b = เศษจากการหาร ab ดวย p

จะไดวา (Fp,+,×) เปนฟลดทมสมาชกจำนวนจำกด

ตวอยาง 1.1.2 ให F เปนสบเซตของเซตของจำนวนเชงซอน ซงสอดคลองสมบตทงหมดตอไปน

(C1) 0 ∈ F และ 1 ∈ F

(C2) x+ y ∈ F และ x× y ∈ F สำหรบทก ๆ x, y ∈ F

(C3) −x ∈ F สำหรบทก ๆ x ∈ F

(C4) y−1 ∈ F สำหรบทก ๆ y ∈ F

จะไดวา F กเปนฟลด เรยกวา ฟลดของจำนวน (field of numbers) เชน F = {a+ b√2 : a, b ∈ Q} เปนฟลด

หมายเหต เซตของจำนวนเตม Z ภายใตการดำเนนการการบวกและการคณสอดคลองแทบทกสมบตของฟลด ยกเวนเพยงสมบต (×5) เชน 2 ไมมตวผกผนการคณใน Z จงทำให Z ไมเปนฟลด

เนอหาหลกของรายวชาพชคณตเชงเสน คอ การศกษาปรภมเวกเตอรเหนอฟลด ซงฟลดจะเปนทอยของสมาชกในเวกเตอร หรอ เปนทอยของสเกลารหรอสมประสทธของเวกเตอร โดยฟลดทนยมใชนยามและศกษาปรภมเวกเตอรสำหรบรายวชาพนฐานมกเปนฟลดของจำนวนจรง เพราะผเรยนมความคนเคย แตทฤษฎบทตาง ๆ สวนใหญยงคงเปนจรงถงแมวาจะเปลยนจากฟลดของจำนวนจรงเปนฟลดใด ๆ กตาม ในรายวชานเราจงศกษาเวกเตอรเหนอฟลดของจำนวนจรงกอน แลวจงกลาวถงปรภมเวกเตอรเหนอฟลดทว ๆ ไป ซงกระบวนการแกปญหา บทพสจน ตลอดจนทฤษฎบทตาง ๆ นนมความคลายคลงกน

1.2 เมทรกซและระบบเชงเสนให R แทนเซตของจำนวนจรงทงหมด และใหm และ n เปนจำนวนเตมบวก

เมทรกซ (matrix) คอ กลมของจำนวนซงนำมาจดเรยงเปนรปสเหลยมมมฉากและบรรจภายในเครองหมาย [ ]

(อาจใช ( ) แทนกได) โดยเมทรกซเหนอ R ซงม m แถวและ n หลก หรอทเรยกวา m × n เมทรกซ (อานวา m

คณ n เมทรกซ) เหนอ R (m× n matrix over R) สามารถเขยนในรปทวไป ดงนa11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

...am1 am2 . . . amn

หรอ [aij ]m×n

เมอ aij เปนจำนวนจรง สำหรบทกคา i = 1, 2, . . . ,m และ j = 1, 2, . . . , n

เราเรยก aij ของเมทรกซวาสมาชก (element, entry) ในแถวท i และ หลกท j และเรยก m × n วามตของเมทรกซ (dimension of a matrix) ซงในกรณทm = n เราจะกลาววาเมทรกซนนเปนเมทรกซจตรส (square matrix)ขนาด n

1.2 เมทรกซและระบบเชงเสน 3

เราเรยก 1×n เมทรกซวาเวกเตอรแถว (row vector) และเรยกm×1 เมทรกซวาเวกเตอรหลก (column vector)เมทรกซทมมตm× n และสมาชกทกตำแหนงเปน 0 เรยกวาเมทรกซศนย (zero matrix) เขยนแทนดวย 0

ปกตเราจะใชอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญแทนเมทรกซ เชน A,B,C,X

สมาชกทแยงมม (diagonal entry) ในเมทรกซA = [aij ]m×n คอบรรดา a11, a22, . . . ซงเรยงกนเปนเสนทแยงมมหลก (main diagonal) ของเมทรกซ A และเมทรกซทแยงมม (diagonal matrix) คอเมทรกซจตรสทสมาชกอนนอกเสนทแยงมมหลกเปนศนย

ให A = [aij ]m×n และ B = [bij ]m×n เปนm× n เมทรกซ และ c เปนจำนวนจรงเรากลาววา A = B กตอเมอ aij = bij สำหรบทกคา i = 1, 2, . . . ,m และ j = 1, 2, . . . , n

ผลบวกของเมทรกซ A และ B กำหนดโดย

A+B := [aij + bij ]m×n

และผลคณของจำนวนจรง c กบเมทรกซ A กำหนดโดย

cA := [c aij ]m×n

โดยทวไป เราเขยน −B แทน (−1)B และเขยน A−B แทน A+ (−B)

ตวอยาง 1.2.1 ให A =

[−1 3 2

4 0 5

]และ B =

[1 −1 1

7 5 −2

]เราไดวา

A+B =

[−1 3 2

4 0 5

]+

[1 −1 1

7 5 −2

]

=

[−1 + 1 3 + (−1) 2 + 1

4 + 7 0 + 5 5 + (−2)

]=

[0 2 3

11 5 3

]

และ

2A = 2

[−1 3 2

4 0 5

]=

[2(−1) 2(3) 2(2)

2(4) 2(0) 2(5)

]=

[−2 6 4

8 0 10

]

สำหรบเมทรกซ A,B,C และ 0 ทมมตm× n และจำนวนจรง c และ d จากสมบตของจำนวนจรงภายใตการบวกและการคณ เราไดโดยงายวา

1. A+B และ cA มมตm× n 6. c(A+B) = cA+ cB

2. A+B = B +A 7. (c+ d)A = cA+ dA

3. (A+B) + C = A+ (B + C) 8. (cd)A = c(dA)

4. A+ 0 = 0 +A = A 9. 1A = A และ 0A = 0

5. A+ (−A) = (−A) +A = 0

สมการเชงเสน (linear equation) ในตวแปร x1, x2, . . . , xn คอสมการซงเขยนไดในรปแบบ

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b


โดยทพจนคงตว (constant term) b และสมประสทธ (coefficient) a1, a2, . . . , an เปนจำนวนจรง

ตวอยาง 1.2.2 1. 4x1 − 5x2 + 5 = x3 และ πx2 = 2(√3x1 − 4) + x3 เปนสมการเชงเสน

2. 4x1x2 = x3 − 2 และ x1 = √x2 + 3 ไมเปนสมการเชงเสน

ระบบสมการเชงเสน (system of linear equations) หรอระบบเชงเสน (linear system) ในตวแปรx1, x2, . . . , xn หมายถงชดจำกดทประกอบดวยสมการเชงเสนในตวแปร x1, x2, . . . , xn

ผลเฉลย (solution) ของระบบเชงเสน คอ จำนวนจรง c1, c2, . . . , cn ซงเมอนำไปแทน x1, x2, . . . , xn ตามลำดบ แลวทำใหแตละสมการในระบบเชงเสนเปนจรง และเรยกเซตของผลเฉลยทงหมดทเปนไปไดของระบบเชงเสนวาเซตผลเฉลย (solution set)

เรากลาววาระบบเชงเสน 2 ระบบสมมลกน (equivalent) กตอเมอ ทงสองระบบมเซตผลเฉลยเดยวกน

ตวอยาง 1.2.3 ระบบเชงเสนx1 + x2 − x3 = 1

2x1 + x2 − 3x3 = 2

x2 − 5x3 = 6

ม (−1, 1,−1) เปนผลเฉลยชดหนง

โดยทวไป ระบบเชงเสนในตวแปร x1, x2, . . . , xn มรปแบบเปน

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(1.2.1)

เมอm ≥ 1 และ ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxn = bi เปนสมการเชงเสน ทก i = 1, 2, . . . ,m

ตวอยาง 1.2.4 จงหาเซตผลเฉลยของระบบเชงเสนตอไปน

(ก)

{4x1 + x2 = 9 . . . (1)−x1 + x2 = −1 . . . (2)

วธทำ จาก (2) เราไดวา x2 = −1 + x1 นำไปแทนในสมการ (1) จะไดวา

4x1 + (−1 + x1) = 9

ดงนน x1 = 2 และได x2 = 1

เพราะฉะนน เซตผลเฉลย คอ {(2, 1)} �

(ข)

{x1 − 3x2 = 4 . . . (1)

−3x1 + 9x2 = 8 . . . (2)

วธทำ นำ −3 คณตลอดสมการ (1) จะได −3x1 + 9x2 = 12

จาก (2) ทำใหได 8 = 12 ซงเปนขอขดแยงดงนน ระบบเชงเสนนไมมผลเฉลยเพราะฉะนน เซตผลเฉลย คอ เซตวาง �


(ค)

{x1 + 2x2 = 3 . . . (1)

−2x1 − 4x2 = −6 . . . (2)

วธทำ นำ −2 หารตลอดสมการ (2) จะได x1 + 2x2 = 3 ซงคอสมการ (1)

ดงนน x1 = 3− 2x2 สอดคลองทง 2 สมการทก x2 ∈ Rเพราะฉะนน เซตผลเฉลย คอ {(x1, x2) : x1 = 3− 2x2 และ x2 ∈ R}หรอ {(3− 2x2, x2) : x2 ∈ R} �

จากตวอยาง 1.2.4 หากพจารณาความหมายเชงเรขาคณตของระบบเชงเสนในระบบพกดฉาก x1-x2 จะไดวาในขอ(ก) เสนตรงสองเสนนนตดกนทจดเดยว ในขอ (ข) เสนตรงสองเสนนนขนานกน และในขอ (ค) เสนตรงสองเสนนนทบกนในกรณทวไป ผลเฉลยของระบบเชงเสนเปนไปได 3 แบบ กลาวคอ

1. ไมมผลเฉลย 2. มผลเฉลยเพยงชดเดยว 3. มผลเฉลยอนนตชด

เราเรยกระบบเชงเสนซงมผลเฉลย (ชดเดยว หรอ อนนตชด) วาระบบเชงเสนตองกน (consistent linear system)และเรยกระบบเชงเสนไมตองกน (inconsistent linear system) ถาระบบเชงเสนนนไมมผลเฉลย

พจารณาระบบเชงเสน (1.2.1) เราเรยกเมทรกซ

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

วาเมทรกซสมประสทธ (coefficient matrix) และเรยกเมทรกซ

[A | b] =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2...

......

...am1 am2 . . . amn bn

วาเมทรกซแตงเตม (augmented matrix) ของระบบเชงเสน

ในการหาผลเฉลยของระบบเชงเสน เราจะใชการดำเนนการแถวขนมลฐาน (elementary row operation) ลดรปเมทรกซแตงเตมซงการดำเนนการแถวขนมลฐาน หมายถง การดำเนนการแถวแบบใดแบบหนงตอไปน

1. [การสบเปลยน (interchange)] สบเปลยนแถวท p และ แถวท q เขยนแทนดวย Rpq

2. [การแทนท (replacement)] เปลยนแถวท p โดยนำคาคงตว c คณแถวท q (q = p) แลวนำไปบวกกบแถวทp เขยนแทนดวย Rp + cRq

3. [การปรบมาตรา (scaling)] คณแถวท p ดวยคาคงตว c = 0 เขยนแทนดวย cRp

เราอาจเรยกการดำเนนการแถวขนมลฐานสนๆ วา “การดำเนนการแถว”เรากลาววาเมทรกซ B สมมลแถว (row equivalent) กบเมทรกซ A ถาเมทรกซ B ไดจากเมทรกซ A โดยการ

ดำเนนการแถวกบเมทรกซ A และเขยนแทนเมทรกซ A สมมลแถวกบเมทรกซ B ดวย A ∼ B

เนองจากการดำเนนการแถวนนสามารถผนกลบได เราจงไดวา


ทฤษฎบท 1.2.1 ถาระบบเชงเสน 2 ระบบมเมทรกซแตงเตมซงสมมลกน แลวระบบเชงเสนทงสองระบบมเซตผลเฉลยเดยวกน

ดงนน หากเราดำเนนการแถวกบเมทรกซแตงเตมของระบบเชงเสนทกำหนดให จะทำใหไดเมทรกซแตงเตมใหม ทสมมลแถวกบเมทรกซแตงเตมเดม โดยเมอเราดำเนนการแถวไปเรอยๆ เราจะลดรปเมทรกซแตงเตมจนกระทงสามารถพจารณาผลเฉลยของระบบเชงเสนจากเมทรกซแตงเตมไดโดยงาย และผลเฉลยทไดกจะเปนผลเฉลยของระบบเชงเสนทเราตองการ

ตวอยาง 1.2.5 จงเขยนเมทรกซสมประสทธ เมทรกซแตงเตม และหาเซตผลเฉลยของระบบเชงเสน

x1 + x2 − x3 = 1

2x1 + x2 − 3x3 = 2

x2 − 5x3 = 6

วธทำ ระบบเชงเสนนมเมทรกซสมประสทธและเมทรกซแตงเตม ตามลำดบ เปน

A =

1 1 −1

2 1 −3

0 1 −5

และ [A | b] =

1 1 −1 1

2 1 −3 2

0 1 −5 6

เราดำเนนการแถวกบเมทรกซแตงเตมไปเรอยๆ ไดเปน 1 1 −1 1

2 1 −3 2

0 1 −5 6

∼

1 1 −1 1

0 −1 −1 0

0 1 −5 6

−2R1 +R2

∼

1 0 −2 1

0 −1 −1 0

0 0 −6 6

R1 +R2

R3 +R2

∼

1 0 −2 1

0 1 1 0

0 0 1 −1

−R2

−16R3

∼

1 0 0 −1

0 1 0 1

0 0 1 −1

R1 + 2R3

R2 −R3

สงเกตวา เมทรกซแตงเตมทกเมทรกซทไดสมมลแถวกบเมทรกซแตงเตม [A | b] และเมทรกซแตงเตมสดทายสมนยกบระบบเชงเสน

x1 = −1

x2 = 1

x3 = −1

ดงนน เซตผลเฉลยของระบบเชงเสนทกำหนดให คอ {(−1, 1,−1)} �


ตวอยาง 1.2.6 จงพจารณาวาระบบเชงเสน

x1 − x2 = 0

− 2x2 + 4x3 = 3

x1 + x2 − 4x3 = 1

มผลเฉลยหรอไม ถามจงหาเซตผลเฉลย

วธทำ เขยนเมทรกซแตงเตมของระบบเชงเสนนและดำเนนการแถวกบเมทรกซแตงเตมไปเรอย ๆ จะได

[A | b] =

1 −1 0 0

0 −2 4 3

1 1 −4 1

∼

1 −1 0 0

0 −2 4 3

0 2 −4 1

R3 −R1

∼

1 −1 0 0

0 −2 4 3

0 0 0 4

R3 +R2

ซงเมทรกซแตงเตมสดทายสมนยกบระบบเชงเสน

x1 − x2 = 0

− 2x2 + 4x3 = 3

0 = 4 ซงเปนเทจ

ทำใหระบบเชงเสนนไมมผลเฉลย สงผลใหระบบเชงเสนทกำหนดใหไมมผลเฉลย �

แบบฝกหด 1.2

1. กำหนดให A =

[−1 0 2

3 −5 1

]และ B =

[4 3 1

−3 −2 0

]จงหา −3A, A+ 2B และ B − 2A


[3 2 −1 1

0 −2 1 0

]จงหาเมทรกซ X ซงทำให 2(A−X) = A+

1

2X


0 −2

3 −4

−1 1

จงหาเมทรกซ X ซงทำให 2A−X = 3(A+X)

4. จงเขยนระบบเชงเสนทสมนยกบเมทรกซแตงเตมตอไปน พรอมทงพจารณาวาเปนระบบเชงเสนตองกนหรอไม

(ก)[

1 3 −8

0 −1 3

](ข)

1 5 −8 4

0 1 −3 0

0 0 0 1

0 0 1 −2

(ค)

1 −4 8 0

0 1 2 0

0 0 4 0

(ง)[

1 5 1

0 1 h

]เมอ h เปนจำนวนจรง

5. จงเขยนเมทรกซสมประสทธ เมทรกซแตงเตม และหาเซตผลเฉลยของระบบเชงเสนตอไปน (ถาม)


(ก){2x1 + 3x2 = 22

x1 − x2 = −4(ข)

x1 + x2 − x3 = 0

x1 − x2 + x3 = 2

x1 + x2 + x3 = 6

(ค)

x1 − 3x3 = 8

− x2 − 5x3 = 2

2x1 + 2x2 + 9x3 = 7

(ง)

x1 − 3x2 = 5

−x1 + x2 + 5x3 = 2

x2 + x3 = 0

6. จงพจารณาวาเสนตรง 3 เสนทกำหนดใหตอไปนมจดรวมกนหรอไม เพราะเหตใด(ก) x1 + 3x2 = −4, −x1 + 4x2 = −1 และ 2x1 − x2 = −3

(ข) −x1 + 2x2 = 3, x1 + x2 = 1 และ x1 − x2 = −2

1.3 เมทรกซขนบนไดจากตวอยาง 1.2.5 และ 1.2.6 สงเกตวาเมทรกซแตงเตมทสามารถบอกไดโดยงายวาระบบเชงเสนใดมผลเฉลยหรอไมอยในรปแบบพเศษ ซงเราจะใหบทนยามดงน

เราเรยกเมทรกซซงมสมบต

1. แถวทม 0 ลวนตองอยตำกวาแถวทมตวตางจาก 0

2. ในแตละแถว ตวแรกทไมใช 0 ของแถว [เรยกวาสมาชกนำ (leading entry)] ซงตำกวาจะตองอยในหลกทางขวามอของสมาชกนำของแถวซงอยสงกวา

3. ถาสมาชกนำของแถวอยในหลกใด แลวสมาชกของแถวทตำกวาในหลกนนตองเปน 0

วามรปแบบขนบนได (echelon form) และเรยกเมทรกซขนบนไดซงสอดคลองสมบตตอไปนเพมเตม

4. ในแตละแถวตวแรกทไมใช 0 ตองเปน 1 เรยกวา 1 ตวนำ (leading 1)

5. ถาหลกใดทม 1 ตวนำ สมาชกอนในหลกนนตองเปน 0

วามรปแบบขนบนไดลดรป (reduced echelon form)

ตวอยาง 1.3.1 เมทรกซ A =

1 0 0 −1

0 1 0 1

0 0 1 −1

และ B =

1 −1 0 0

0 −2 4 3

0 0 0 4

จากตวอยาง 1.2.5 และ 1.2.6 เปนเมทรกซขนบนได ซงเมทรกซ A เปนเมทรกซขนบนไดลดรป

ตวอยาง 1.3.2 1. เมทรกซ

0 1

2 0

0 3

ไมเปนเมทรกซขนบนไดเพราะวาสมาชกนำของแถวท 2 อยในหลกทาง

ซายมอของสมาชกนำในแถวแรก

2. เมทรกซ

1 0 4 3

0 0 0 0

0 1 0 1

ไมเปนเมทรกซขนบนไดเพราะวาแถวทม 0 ลวนอยสงกวาแถวทมตวตางจาก 0

3. เมทรกซ[0 −4 0 3 2

]และ

−1 2 0

0 0 4

0 0 0

เปนเมทรกซขนบนได แตไมเปนเมทรกซขนบนไดลดรป

เพราะวาสมาชกนำในแตละแถวไมเปน 1

1.3 เมทรกซขนบนได 9

ตวอยาง 1.3.3 เมทรกซในรป

� ∗ ∗ ∗0 � ∗ ∗0 0 0 �0 0 0 0

และ0 � ∗ 0 ∗ ∗ ∗0 0 � 0 ∗ ∗ ∗0 0 0 0 � ∗ ∗0 0 0 0 0 � ∗0 0 0 0 0 0 �

เปนเมทรกซขนบนได เมอ� = 0

เราสามารถแสดงไดวา

ทฤษฎบท 1.3.1 ทก ๆ เมทรกซสามารถลดรปโดยใชการดำเนนการแถวใหเปนเมทรกซในรปแบบขนบนไดได และลดรปใหเปนเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปไดแบบเดยว

เราเรยกตำแหนงในเมทรกซ A ซงสมนยกบตำแหนงของสมาชกนำของเมทรกซในรปแบบขนบนไดของเมทรกซ Aวาตำแหนงตวหลก (pivot position) ของเมทรกซ A และเรยกหลกซงมตำแหนงตวหลกวาหลกตวหลก (pivot col-umn)

ตวอยาง 1.3.4 จงใชการดำเนนการแถวลดรปเมทรกซ

A =

0 −3 −6 4 9

−1 −2 −1 3 1

−2 −3 0 3 −1

1 4 5 −9 −7

ใหมรปแบบขนบนไดและหาหลกตวหลกทงหมดของเมทรกซ A และใหลดรปตอไปจนไดรปแบบขนบนไดลดรปของเมทรกซ A

วธทำ สงเกตวา แถวแรกของเมทรกซ A ขนตนดวย 0 และมตวทไมใช 0 อยในตำแหนงทตำกวา เราจงใชการสบเปลยน R14 เพอใหเกด 1 ตวนำในแถวท 1

A =

0 −3 −6 4 9

−1 −2 −1 3 1

−2 −3 0 3 −1

1 4 5 −9 −7

∼

1 4 5 −9 −7

−1 −2 −1 3 1

−2 −3 0 3 −1

0 −3 −6 4 9

R14

ตอมาจะใชการแทนทเปลยนแถวท 2 และ 3 เพอทำใหสมาชกทอยในตำแหนงทตำกวาในหลกทหนงเปน 0

∼

1 4 5 −9 −7

0 2 4 −6 −6

0 5 10 −15 −15

0 −3 −6 4 9

R2 +R1

R3 + 2R1


สงเกตวาตอนน 2 เปนสมาชกนำในแถวท 2 ดงนนเราจงใชการแทนทเปลยนแถวท 3 และ 4 เพอทำใหสมาชกทอยในตำแหนงทตำกวา 2 มคาเปน 0

∼

1 4 5 −9 −7

0 2 4 −6 −6

0 0 0 0 0

0 0 0 −5 0

R3 − 52R2

R4 +32R4

เนองจากเมทรกซทไดม 0 ลวนในแถวท 3 และแถวท 4 มตวตางจาก 0 เราจงใชการสบเปลยนR34 เพอใหแถวทม 0 ลวนอยตำกวาแถวทมตวตางจาก 0 และไมกระทบแถวท 1 และ 2 ซงเราจดไวแลว สงผลใหเราไดเมทรกซในรปขนบนไดของเมทรกซ A เปน

∼

1 4 5 −9 −7

0 2 4 −6 −6

0 0 0 −5 0

0 0 0 0 0

R34

ดงนน หลกตวหลกทงหมดของเมทรกซ A คอหลกท 1, 2 และ 4

ตอไปเราจะลดรปเมทรกซจนไดรปแบบขนบนไดลดรป สงเกตวาสมาชกในแถวท 2 และ 3 ยงมคาไมเทากบ 1 เราจงใชการปรบมาตรากบทงสองแถวเพอปรบใหเกด 1 ตวนำ

∼

1 4 5 −9 −7

0 1 2 −3 −3

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

12R2

−15R3

ตอมาใชการแทนทเพอทำใหสมาชกอนในหลกทม 1 ตวนำ (นนคอหลกท 2 และ 4) มคาเทากบ 0 ตามลำดบดงน

∼

1 0 −3 3 5

0 1 2 −3 −3

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

R1 − 4R2

∼

1 0 −3 0 5

0 1 2 0 −3

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

R1 − 3R3

R2 + 3R3

ซงจะไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปตามตองการ �

พจารณาเมทรกซแตงเตมในรปแบบขนบนไดลดรป1 0 −2 2

0 1 1 1

0 0 0 0

∼x1 − 2x3 = 2

x2 + x3 = 1

0 = 0


เราไดวาตวแปร x1 และ x2 ขนกบตวแปร x3 กลาวคอ

x1 = 2 + 2x3x2 = 1− x3

สงเกตวาตวแปร x1 และ x2 สมนยกบหลกทหนงและหลกทสอง ตามลำดบ ซงเปนหลกตวหลก และตวแปร x3 อยในหลกซงไมเปนหลกตวหลก เราเรยกตวแปร x1 และ x2 วาตวแปรพนฐาน และเรยกตวแปร x3 วาตวแปรเสรดงนน ผลเฉลยของระบบเชงเสนนอยในรป

x1 = 2 + 2x3

x2 = 1− x3

x3 เปนตวแปรเสร

เรยกวาผลเฉลยทวไป (general solution) ซงผลเฉลยในรปนจะบอกผลเฉลยทงหมดของระบบเชงเสน สงเกตวาระบบเชงเสนนมคำตอบอนนตชดขนกบการเปลยนของ x3

เราไดขอสรปเกยวกบการมผลเฉลยของระบบเชงเสน ดงน

ทฤษฎบท 1.3.2 [ทฤษฎบทการมจรง (Existence Theorem)]ระบบเชงเสนมผลเฉลย กตอเมอ หลกทางขวาสดของเมทรกซแตงเตมไมเปนหลกตวหลกนนคอ กตอเมอ รปแบบขนบนไดของเมทรกซแตงเตมไมมแถวในรปแบบ[

0 0 . . . 0 b]

เมอ b = 0

โดยทวไป เราสามารถใชการดำเนนการแถวหาผลเฉลยทวไปของระบบเชงเสน หรอแสดงวาเปนระบบเชงเสนทไมมผลเฉลย ดงน

1. เขยนเมทรกซแตงเตมของระบบเชงเสน

2. ใชการดำเนนการแถวลดรปเมทรกซแตงเตมจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดและตรวจสอบโดยใชทฤษฎบท1.3.2 วามผลเฉลยหรอไม

3. ถาทราบวามผลเฉลยใหใชการดำเนนการแถวลดรปตอไปจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรป โดยเราเรยกตวแปรซงสมนยกบหลกตวหลกวาตวแปรพนฐาน (basic variable) และเรยกตวแปรอนๆ วาตวแปรเสร(free variable)

4. เขยนผลเฉลยของระบบเชงเสนโดยจะไดวาตวแปรพนฐานจะขนกบคาคงตวและตวแปรเสร (ถาม) ซงเราเรยกผลเฉลยนวาผลเฉลยทวไป (general solution)

เราทราบมาแลวจากทฤษฎบท 1.3.1 วา ทก ๆ เมทรกซสามารถลดรปโดยการดำเนนการแถวใหเปนเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปไดเพยงแบบเดยว และจากเมทรกซขนบนไดลดรปนทำใหเราสามารถพจารณาผลเฉลยทวไปของระบบเชงเสนไดโดยงาย ซงผลเฉลยทวไปจะเปนไปตามทฤษฎบทตอไปน


ทฤษฎบท 1.3.3 [ทฤษฎบทความเปนไดอยางเดยว (Uniqueness Theorem)]ถาระบบเชงเสนมผลเฉลย แลวผลเฉลยจะเปนได 2 กรณ กลาวคอ

1. มผลเฉลยชดเดยว กตอเมอ ไมมตวแปรเสรนนคอ ทกหลกยกเวนหลกทางขวาสดของเมทรกซแตงเตมเปนหลกตวหลก

2. มผลเฉลยอนนตชด กตอเมอ มตวแปรเสรอยางนอยหนงตว

โดยทฤษฎบท 1.3.3 เราสามารถสรปไดวาผลเฉลยของระบบเชงเสนเหนอฟลดของจำนวนจรงเปนไปได 3 แบบกลาวคอ ไมมผลเฉลย หรอ มผลเฉลยชดเดยว หรอ มผลเฉลยอนนตชด

ตวอยาง 1.3.5 จงตรวจสอบวาระบบเชงเสนหรอเมทรกซแตงเตมตอไปนมผลเฉลยหรอไม ถามจงหาผลเฉลยของระบบเชงเสนหรอเมทรกซแตงเตมนน

1.

x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 12

3x2 + x3 + 2x4 = 7

2x1 + x2 + x3 + 4x4 = 21

วธทำ เขยนเมทรกซแตงเตมและลดรปโดยใชการดำเนนการแถวใหมรปแบบขนบนไดไดเปน 1 2 1 3 12

0 3 1 2 7

2 1 1 4 21

∼

1 2 1 3 12

0 3 1 2 7

0 −3 −1 −2 −3

R3 − 2R1

∼

1 2 1 3 12

0 3 1 2 7

0 0 0 0 4

R3 +R2

ซงแถวสดทายมรปแบบ[0 0 0 0 4

]ทำใหสรปโดยทฤษฎบท 1.3.2 ไดวาระบบเชงเสนนไมมผลเฉลย �

2.

x1 − 2x2 + 2x3 − x4 = −3

2x1 − 4x2 + 2x3 + 2x4 = 8

2x1 − 4x2 + 3x3 = 1

วธทำ เขยนเมทรกซแตงเตมและลดรปโดยใชการดำเนนการแถวใหมรปแบบขนบนไดไดเปน 1 −2 2 −1 −3

2 −4 2 2 8

2 −4 3 0 1

∼

1 −2 2 −1 −3

0 0 −2 4 14

0 0 1 −2 −7

R2 − 2R1

R3 −R2

∼

1 −2 2 −1 −3

0 0 −2 4 14

0 0 0 0 0

R3 +

12R2

ดงนนหลกทางขวาสดของเมทรกซแตงเตมไมเปนหลกตวหลกทำใหสรปโดยทฤษฎบท 1.3.2 ไดวาระบบเชงเสนนมผลเฉลย


เราจงใชการดำเนนการแถวตอไปจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปเปน

∼

1 −2 0 3 11

0 0 1 −2 7

0 0 0 0 0

R1 +R2

−12R2

ซงเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปนสมนยกบระบบเชงเสน

x1 − 2x2 + 3x4 = 11

x3 − 2x4 = −7

0 = 0

เนองจากหลกท 1 และ 3 เปนหลกตวหลก ดงนนเราไดวา x1 และ x3 เปนตวแปรพนฐาน และ x2 และ x4 เปนตวแปรเสร ทำใหเราได

x1 = 11 + 2x2 − 3x4

x3 = −7 + 2x4

x2 และ x4 เปนตวแปรเสร

เปนผลเฉลยทวไปของระบบเชงเสนทกำหนดให �

3.

2 −4 2 −2

2 −4 3 −4

4 −8 3 −2

0 0 −1 2

วธทำ ลดรปเมทรกซแตงเตมทกำหนดให โดยใชการดำเนนการแถวใหมรปแบบขนบนไดไดเปน

2 −4 2 −2

2 −4 3 −4

4 −8 3 −2

0 0 −1 2

∼

2 −4 2 −2

0 0 1 −2

0 0 −1 2

0 0 −1 2

R2 −R1

R3 − 2R1

∼

2 −4 2 −2

0 0 1 −2

0 0 0 0

0 0 0 0

R3 +R2

R4 −R2

ดงนนหลกทางขวาสดของเมทรกซแตงเตมไมเปนหลกตวหลกทำใหสรปโดยทฤษฎบท 1.3.2 ไดวาระบบเชงเสนนมผลเฉลย


∼

1 −2 1 −1

0 0 1 −2

0 0 0 0

0 0 0 0

12R1

∼

1 −2 0 1

0 0 1 −2

0 0 0 0

0 0 0 0

R1 −R2



x1 − 2x2 = 1

x3 = −2

0 = 0

0 = 0

เนองจากหลกท 1 และ 3 เปนหลกตวหลก ดงนนเราไดวา x1 และ x3 เปนตวแปรพนฐาน และ x2 เปนตวแปรเสรทำใหเราได

x1 = 1 + 2x2

x3 = −2


เปนผลเฉลยทวไปของระบบเชงเสนทกำหนดให �

ตวอยาง 1.3.6 จงหาคาของ h ททำให[

1 −3 h

−2 6 −5

]เปนเมทรกซแตงเตมของระบบเชงเสนตองกน

วธทำ เมทรกซแตงเตมทกำหนดใหลดรปใหมรปแบบขนบนไดไดเปน

∼

[1 −3 h

0 0 2h− 5

]R2 + 2R1

ดงนน เราไดโดยทฤษฎบท 1.3.2 วาเมทรกซแตงเตมทกำหนดใหสมนยกบระบบเชงเสนตองกน กตอเมอ 2h − 5 = 0

นนคอ h =5

2�


1. จงพจารณาเมทรกซทกำหนดใหตอไปนวา(1.1) มรปแบบขนบนไดหรอไม (1.2) มรปแบบขนบนไดลดรปหรอไม

(ก)[1 0 −2

0 1 4

](ข)

2 0 3 0

0 1 2 0

0 0 1 5

(ค)

0 1 0 0 0

0 0 −1 0 0

0 0 0 0 1

(ง)

1 0 0 0

0 1 1 0

0 0 0 0

0 0 0 1

(จ)

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

(ฉ)

1 0 0 0

0 1 −3 0

0 0 0 1

2. จงใชการดำเนนการแถวลดรปเมทรกซตอไปนใหมรปแบบขนบนได และหาหลกตวหลกทงหมด แลวลดรปตอไปจนไดรป

แบบขนบนไดลดรป

(ก)[0 −1 3

2 −2 1

](ข)

1 1 1 2

2 0 −1 2

2 2 2 4

(ค)

2 2 −1 2 4

1 1 −1 2 2

1 1 −2 0 1

3. จงพจารณาวาเมทรกซแตงเตมในรปขนบนได (เมอ � = 0) ตอไปน สมนยกบระบบเชงเสนตองกนหรอไม และถาเปน

ระบบเชงเสนตองกน จงพจารณาวามผลเฉลยชดเดยวหรอมผลเฉลยอนนตชด


(ก)

� ∗ ∗ ∗0 � ∗ ∗0 0 � 0

(ข)

0 � ∗ ∗ ∗0 0 � ∗ ∗0 0 0 0 �

(ค)

� 0 ∗0 � ∗0 0 0

(ง)[

� 1 ∗ ∗0 0 � ∗

]

4. จงหาผลเฉลยทวไป (ถาม) ของระบบเชงเสนหรอเมทรกซแตงเตมตอไปน

(ก)

x1 − 3x2 = 5

6x1 − 17x2 + 4x3 = 28

x1 + 12x3 = −1

(ข)

x1 + 3x2 + x3 = 2

x1 − 2x2 − 2x3 = 3

2x1 + x2 − x3 = 6

(ค)

3x1 + 2x2 − 2x3 = −3

2x1 + 3x2 − 3x3 = −7

−2x1 + 4x2 + 2x3 = −2

5x1 + 2x2 + 4x3 = 15

(ง)

x1 + 4x2 − x3 + x4 = 2

3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 5

x1 − 6x2 + 3x3 = 1

x1 + 14x2 − 5x3 + 2x4 = 3

(จ)[

1 3 4 7

3 9 7 6

](ฉ)[

−2 1 −1 4

−6 3 −3 5

]

(ช)

1 −7 0 6 5

0 0 1 −2 −3

−1 7 −4 2 7

(ซ)

3 −4 2 0

−9 12 6 0

−6 8 −4 0

(ฌ)

1 −3 0 −1 0 −2

0 1 0 0 −4 1

0 0 0 1 9 4

0 0 0 0 0 0

(ญ)

1 2 −5 −6 0 −5

0 1 −6 −3 0 2

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

5. จงหาคาของ h ททำใหเมทรกซตอไปนเปนเมทรกซแตงเตมของระบบเชงเสนตองกน

(ก)[

1 h 1

2 4 3

](ข)[

1 −2 −2

−4 h 8

](ค)[

−1 0 h

0 1 1

](ง)[

1 −1 2

h 0 5

]

6. จงหาคาของ a ทงหมดททำใหระบบเชงเสนx1 + x2 − x3 = 3

x1 − x2 + 3x3 = 4

x1 + x2 + (a2 − 10)x3 = a

(ก) ไมมผลเฉลย (ข) มผลเฉลยชดเดยว (ค) มผลเฉลยอนนตชด

7. จงหา 0 ≤ α, β, γ < 2π ซงสอดคลองระบบไมเชงเสน (nonlinear system)

2 sinα + cosβ − tan γ = 1

2 sinα − cosβ + 3 tan γ = 3

6 sinα − 3 cosβ + tan γ = 9


1.4 การรวมเชงเสนและการแผทวให m เปนจำนวนเตมบวก เราเรยกเซตของเวกเตอรหลกมต m × 1 ทงหมดวาปรภมยคลดมต m (Euclidean m-space) เขยนแทนดวย Rm และเรยกเวกเตอรหลกซงสมาชกทกตวเปน 0 วาเวกเตอรศนย (zero vector) เขยนแทนดวย 0 หรอ 0m

สำหรบเวกเตอร v1, v2, . . . , vp ใน Rm และ c1, c2, . . . , cp ∈ R เราเรยกเวกเตอร

y = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp

วาเปนการรวมเชงเสน (linear combination) ของเวกเตอร v1, v2, . . . , vp ดวยนำหนก (weight) c1, c2, . . . , cp

ตวอยาง 1.4.1 กำหนดให v1 =

211

, v2 =

132

และ b =

1

−7

−4

จงพจารณาวาเวกเตอร b เปนการรวมเชงเสนของเวกเตอร v1 และ v2 หรอไมนนคอ จงพจารณาวามจำนวนจรง x1 และ x2 ซงทำให x1v1 + x2v2 = b หรอไม

วธทำ เพราะวาสมการ x1v1 + x2v2 = b เขยนไดเปน

x1

211

+ x2

132

=

1

−7

−4

ซงสมนยกบระบบเชงเสน

2x1 + x2 = 1

x1 + 3x2 = −7

x1 + 2x2 = −4

ดงนน เราจะพจารณาวาระบบเชงเสนนมผลเฉลยหรอไม โดยเขยนเมทรกซแตงเตมของระบบเชงเสนและลดรปโดยใชการดำเนนการแถวใหมรปแบบขนบนไดไดดงน 2 1 1

1 3 −7

1 2 −4

∼

1 2 −4

1 3 −7

2 1 1

R13

∼

1 2 −4

0 1 −3

0 −3 9

R2 −R1

R3 −R1

∼

1 2 −4

0 1 −3

0 0 0

R3 + 3R1

และสรปไดจากทฤษฎบท 1.3.2 วาระบบเชงเสนนมผลเฉลยเพราะฉะนน b เปนการรวมเชงเสนของเวกเตอร v1 และ v2 �

หมายเหต หากตองการเขยน b เปนการรวมเชงเสนของเวกเตอร v1 และ v2 เราสามารถทำไดโดยลดรปเมทรกซแตงเตมตอไปจนมรปแบบขนบนไดลดรปดงน 1 0 2

0 1 −3

0 0 0

R1 − 2R2

ซงสมนยกบx1 = 2

x2 = −3

0 = 0

ดงนน เราไดวา b = 2v1 + (−3)v2

1.4 การรวมเชงเสนและการแผทว 17

เราเรยกสมการในตวแปร x1, x2, . . . , xp ทอยในรปแบบ

x1v1 + x2v2 + · · ·+ xpvp = b (1.4.1)

เมอ v1, v2, . . . , vp เปนเวกเตอรใน Rm วาสมการเวกเตอร (vector equation) โดยสมการนมผลเฉลยชดเดยวกบระบบเชงเสนซงมเมทรกซแตงเตม [

v1 v2 · · · vp b]

(1.4.2)

ดงนน เราสรปไดวา

บทแทรก 1.4.1 เวกเตอร b เปนการรวมเชงเสนของเวกเตอร v1, v2, . . . , vpกตอเมอ สมการ (1.4.1) [สมการ (1.4.2)] มผลเฉลย

ให v1, v2, . . . , vp เปนเวกเตอรในRm เราเรยกเซตของการรวมเชงเสนทงหมดของเวกเตอร v1, v2, . . . , vp วาเซตยอยของ Rm ทแผทวโดยเวกเตอร v1, v2, . . . , vp (subset of Rm spanned by v1, v2, . . . , vp) เขยนแทนดวยSpan {v1, v2, . . . , vp} นนคอ

Span {v1, v2, . . . , vp} = {c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp : c1, c2, . . . , cp ∈ R}

สงเกตวา Span {0} = {0} และเหนชดวา 0 และ v1, v2, . . . , vp อยใน Span {v1, v2, . . . , vp} เสมอถา Span {v1, v2, . . . , vp} = Rm เรากลาววา v1, v2, . . . , vp แผทว (span) Rm

ตวอยาง 1.4.2 1. Span

2

−1

3

=

c

2

−1

3

: c ∈ R

2. Span

211

,

132

=

c1

211

+ c2

132

: c1, c2 ∈ R

และจากตวอยาง 1.4.1 เราไดวา

1

−7

−4

∈ Span

211

,

132

3. Span

100

,

010

,

001

= R3

เราสามารถเขยนบทแทรก 1.4.1 ไดในรป Span {v1, v2, . . . , vp} ดงน

บทแทรก 1.4.2 เวกเตอร b อยในเซต Span {v1, v2, . . . , vp} กตอเมอสมการ (1.4.1) [สมการ (1.4.2)] มผลเฉลย



−1

2

3

และ v2 =

2

−3

5

จงพจารณาวาเวกเตอร b =

1

1

−3

อยในเซต Span {v1, v2} หรอไม

วธทำ โดยบทแทรก 1.4.2 เราจะพจารณาระบบเชงเสนทสมนยกบเมทรกซแตงเตม[v1 v2 b

]วามผลเฉลยหรอไม โดยใชการดำเนนการแถวเราไดรปแบบขนบนไดของเมทรกซแตงเตมนเปน −1 2 1

2 −3 1

3 5 −3

∼

−1 2 1

0 1 3

0 11 0

R2 + 2R1

R3 + 3R1

∼

−1 2 1

0 1 3

0 0 −33

R3 − 11R2

ดงนน หลกทางขวาสดเปนหลกตวหลกจงไดโดยทฤษฎบท 1.3.2 วาระบบเชงเสนนไมมผลเฉลยเพราะฉะนน b ไมอยใน Span {v1, v2} �

พจารณาเวกเตอร v = 0 ใน R3 เราจะไดวา

Span {v} = {cv : c ∈ R}

เปนเสนตรง (line) ใน R3 ซงผานจดกำเนดและมเวกเตอรแสดงทศทาง (direction vector) เปน v

x1

x2

x3

ตอมาเราจะศกษาการแผทวของ 2 เวกเตอร v1 และ v2 ใน R3 ซงแบงเปน 2 กรณ ดงน


1. มจำนวนจรง c = 0 ซง v1 = cv2 นนคอ v1 เปนการรวมเชงเสนของ v2 จะไดวา

Span {v1, v2} = Span {v1} = Span {v2}

2. v1 = cv2 สำหรบทกจำนวนจรง c จะไดวา

Span {v1, v2} = {c1v1 + c2v2 : c1, c2 ∈ R}

เปนระนาบ (plane) ใน R3 ซงผานจดกำเนด (ดงรป) เรยกวาระนาบซงแผทวโดยเวกเตอร v1 และ v2 (planespanned by v1 and v2) โดยระนาบนมเวกเตอรแนวฉาก (normal vector) เปน v1 × v2 (ผลคณเชงเวกเตอร(cross product) ของเวกเตอร v1 และ v2)

x1

x2

v1

v2

x3

x1x2

v1v2

x3

ตอไปเราจะกลาวถงสมการเมทรกซ ให A เปน m × n เมทรกซ ซงเราจะแทนหลกของเมทรกซ A ดวยเวกเตอรv1, v2, . . . , vn ใน Rm ตามลำดบ และ x เปนเวกเตอรใน Rn เรากำหนดผลคณของ A และ x (product of A andx) เขยนแทนดวย Ax เปนการรวมเชงเสนของหลกของ A ดวยนำหนกซงสมนยกบสมาชกของ x นนคอ

Ax =[v1 v2 . . . vn

]x1x2...xn

:= x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn

เราเรยกเมทรกซทแยงมมมต n × n ทสมาชกบนเสนทแยงมมหลกเปน 1 ทงหมดวาเมทรกซเอกลกษณ (identitymatrix) เขยนแทนดวย In ซงเราเหนไดโดยงายวา Inx = x สำหรบทก x ∈ Rn

ตวอยาง 1.4.4 1.

3 0

−1 2

1 −1

[12

]= 1

3

−1

1

+ 2

0

2

−1

=

3

3

−1

2. x1

121

+ x2

110

+ x3

4

−1

3

=

1 1 4

2 1 −1

1 0 3

x1x2x3

ให b เปนเวกเตอรใน Rm เราเรยกสมการในรปแบบ

Ax = b (1.4.3)


วาสมการเมทรกซ (matrix equation) ซงจากนยามผลคณระหวางเมทรกซ A และเวกเตอร x เราไดโดยบทแทรก1.4.1 วาเราสามารถพจารณาการมผลเฉลยของสมการ (1.4.3) ไดจากการมผลเฉลยของสมการ (1.4.1) หรอการมผลเฉลยของสมการ (1.4.2) ซงสรปเปนบทแทรกไดดงน

บทแทรก 1.4.3 ให A เปนm× n เมทรกซ และ b เปนเวกเตอรใน Rm จะไดวาขอความตอไปนสมมลกน

1. สมการเมทรกซ Ax = b มผลเฉลย2. b เปนการรวมเชงเสนของเวกเตอรซงไดจากหลกของเมทรกซ A3. [A | b] เปนเมทรกซแตงเตมทสมนยกบระบบเชงเสนทมผลเฉลย

ตวอยาง 1.4.5 กำหนดให A =

1 0 5

−2 1 −6

0 2 8

และ b =

b1b2b3

จงพจารณาวาสมการเมทรกซ Ax = b มผลเฉลยสำหรบทก ๆ เวกเตอร b หรอไมถาไม จงหาเงอนไขบน b1, b2 และ b3 ซงทำใหสมการนมผลเฉลย

วธทำ โดยบทแทรก 1.4.3 เราเขยนเมทรกซแตงเตม [A | b] และใชการดำเนนการแถวลดรปจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดดงน 1 0 5 b1

−2 1 −6 b20 2 8 b3

∼

1 0 5 b10 1 4 2b1 + b20 2 8 b3

R2 + 2R1

∼

1 0 5 b10 1 4 2b1 + b20 0 0 −4b1 − 2b2 + b3

R3 − 2R2

โดยทฤษฎบท 1.3.2 เราไดวาระบบเชงเสนนมผลเฉลย กตอเมอ −4b1 − 2b2 + b3 = 0

ดงนน สมการเมทรกซ Ax = b ไมมผลเฉลยสำหรบทก ๆ เวกเตอร bและ สมการนมผลเฉลย กตอเมอ −4b1 − 2b2 + b3 = 0 �

จากตวอยางขางตน สำหรบเมทรกซ A ทกำหนดให มบางเวกเตอร b ททำใหสมการเมทรกซ Ax = b ไมมผลเฉลย

เชน b =

111

เพราะวา (−4)(1)− 2(1) + 1 = −5 = 0 สงทเราจะสนใจตอไปคอการตรวจสอบวาเมอใดทเมทรกซ

A ทกำหนดใหจะทำใหสมการเมทรกซ Ax = b มผลเฉลยสำหรบทก ๆ เวกเตอร bให A เปนm×n เมทรกซ เรากลาววาหลกของเมทรกซ A แผทว Rm กตอเมอ ทก ๆ เวกเตอร b ใน Rm เปนการ

รวมเชงเสนของหลกของเมทรกซ A นนคอ ถา

A =[v1 v2 . . . vn

]เมอ v1, v2, . . . , vn ∈ Rm

แลวหลกของเมทรกซ A แผทว Rm กตอเมอ Span {v1, v2, . . . , vn} = Rm และเราสามารถแสดงไดวา


ทฤษฎบท 1.4.4 ให A เปนm× n เมทรกซ จะไดวาขอความตอไปนสมมลกน1. สำหรบแตละ b ∈ Rm สมการเมทรกซ Ax = b มผลเฉลย2. หลกของเมทรกซ A แผทว Rm

3. A มตำแหนงตวหลกในทก ๆ แถว

ซงเราสามารถใชทฤษฎบทนตรวจสอบวาเซตของเวกเตอรแผทว Rm หรอไม เชน


1

0

−1

, v2 =

−1

3

7

และ v3 =

3

−2

−2

จงพจารณาวาเซต {v1, v2, v3} แผทว R3 หรอไม เพราะเหตใด

วธทำ เขยนเมทรกซ A =[v1 v2 v3

]และใชการดำเนนการแถวลดรปจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดดงน

A =

1 −1 3

0 3 −2

−1 7 −2

∼

1 −1 3

0 3 −2

0 6 1

R3 +R1

∼

1 −1 3

0 3 −2

0 0 5

R3 − 2R2

ดงนน A มตำแหนงตวหลกในทก ๆ แถวเพราะฉะนน โดยทฤษฎบท 1.4.4 เราสรปไดวาเซต {v1, v2, v3} แผทว R3 �

เราจะปดทายหวขอนดวยการกลาวถงการคณระหวางเมทรกซใหA เปนm×n เมทรกซ และB เปน n×p เมทรกซซงมหลกเปน b1, b2, . . . , bp เรากำหนด ผลคณ (product)

ของ A และ B เขยนแทนดวย AB เปนm× p เมทรกซซงประกอบดวยหลก Ab1, Ab2, . . . , Abp นนคอ

AB = A[b1 b2 . . . bp

]:=[Ab1 Ab2 . . . Abp

]


[2 3

1 −1

]และ B =

[1 0 −2

3 4 1

]จะไดวา

AB = A

[1 0 −2

3 4 1

]=

[A

[1

3

]A

[0

4

]A

[−2

1

]]

=

[1

[2

1

]+ 3

[3

−1

]0

[2

1

]+ 4

[3

−1

](−2)

[2

1

]+ 1

[3

−1

]]

=

[11 12 −1

−2 −4 −3

]

สงเกตวา เราสามารถหาAB ได กตอเมอA มจำนวนหลกเทากบจำนวนแถวของB โดยแถวท i และ หลกท k ของ


AB คอ ผลบวกของผลคณของสมาชกทสมนยจากแถวท i ของ A และ หลกท k ของ Bนนคอ ถา A = [aij ]m×n และ B = [bjk]n×p แลวสมาชกแถวท i และ หลกท j ของ AB คอ

(AB)ik = ai1b1k + ai2b2k + · · ·+ ainbnk

จากตวอยาง 1.4.7 เราไดวา

AB =

[2 3

1 −1

][1 0 −2

3 4 1

]

=

[2(1) + 3(3) 2(0) + 3(4) 2(−2) + 3(1)

1(1) + (−1)(3) 1(0) + (−1)(4) 1(−2) + (−1)(1)

]

=

[11 12 −1

−2 −4 −3

]

เราไดสมบตเบองตนของการคณระหวางเมทรกซ (แบบฝกหด 1.4) ดงน

ทฤษฎบท 1.4.5 สำหรบเมทรกซ A ทมมต m × n และเมทรกซ B และ C ซงมขนาดทผลบวกและผลคณทเกยวของมความหมาย จะไดวา

1. r(AB) = (rA)B = A(rB) เมอ r เปนจำนวนจรง2. ImA = A = AIn

3. A(B + C) = AB +AC และ (B + C)A = BA+ CA

4. A(BC) = (AB)C

ให A เปนเมทรกซจตรสขนาด n จากทฤษฎบทขางตนเราสามารถเขยน

Ak = AA · · ·A︸︷︷︸k ตว


[1 0

−2 1

]และ B =

[4 −1

3 −2

]จะไดวา

AB =

[1 0

−2 1

][4 −1

3 −2

]=

[4 −1

−5 0

]

และ

BA =

[4 −1

3 −2

][1 0

−2 1

]=

[6 −1

7 −2

]

ดงนน AB = BA


ขอสงเกต โดยทวไป AB อาจไมเทากบ BA และ ถา AB = 0 แลวเรากสรปไมไดวา A = 0 หรอ B = 0 เชนเมอA =

[1 0

0 0

]และ B =

[0 0

1 0

]จะได AB =

[0 0

0 0

]

สำหรบเมทรกซ A ทมมต m × n เราเรยกเมทรกซทมมต n × m ซงแตละหลกเกดจากแถวทสมนยกบแถวของเมทรกซ A วาเมทรกซสลบเปลยน (transpose matrix) ของ A เขยนแทนดวย AT

ตวอยาง 1.4.9 ถา A =

[1 4

−2 3

]และ B =

−5 2

1 −3

−1 2

จะไดวา

AT =

[1 −2

4 3

]และ BT =

[−5 1 −1

2 −3 2

]

ถา v =

x1x2...

xm

∈ Rm เปนเวกเตอรหลก จะไดวา vT =[x1 x2 · · · xm

]

ดงนน ถา A =[v1 v2 · · · vn

]เมอ vi ∈ Rm เราจะได AT =

vT1vT2...vTn

จากการสงเกตขางตน เราไดโดยงายวา

ทฤษฎบท 1.4.6 สำหรบเมทรกซ A และเมทรกซ B ซงมขนาดทผลบวกและผลคณทเกยวของมความหมาย เราได1. (AT )T = A 2. (A+B)T = AT +BT

3. (rA)T = rAT เมอ r เปนจำนวนจรง 4. (AB)T = BTAT

ขอสงเกต จากทฤษฎบทน เราไดวาเมทรกซสลบเปลยนของผลคณของเมทรกซเทากบผลคณของเมทรกซสลบเปลยนโดยอนดบจะผนกลบ (reverse order) ซงเราสามารถพสจนสำหรบเมทรกซ A1, A2, . . . , Ak ใด ๆ ทผลคณA1A2 · · ·Ak มความหมายไดอกวา

(A1A2 · · ·Ak)T = AT

k · · ·AT2 A

T1


1. เมอกำหนด v1, v2 และ b ดงตอไปน จงพจารณาวาเวกเตอร b อยในเซต Span {v1, v2}หรอไม เพราะเหตใด

(ก) v1 =

1

−1

0

, v2 =

−2

1

2

; b =

−1

−1

4

(ข) v1 =

−3

4

0

, v2 =

6

−1

5

; b =

1

−7

−5

(ค) v1 =

256

, v2 =

1

−2

−5

; b =

7

4

−3

(ง) v1 =

5

−13

−3

, v2 =

1

−2

3

; b =

−3

8

1


2. เมอกำหนด v1, v2 และ b ดงตอไปน จงหาคาของ h ททำให b อยบนระนาบซงแผทวโดย v1 และ v2

(ก) v1 =

1

4

−2

, v2 =

−2

−3

7

; b =

41h

(ข) v1 =

−3

1

8

, v2 =

1

0

−2

; b =

h

−5

−3

3. เมอกำหนดเมทรกซ A ดงตอไปน จงพจารณาวาสมการเมทรกซ Ax = b มผลเฉลยสำหรบทกเวกเตอร b =b1b2b3

หรอไม

ถาไมจงหาเงอนไขบน b1, b2 และ b3 ซงทำใหสมการนมผลเฉลย

(ก) A =

1 0 5

−2 1 −6

0 2 8

(ข) A =

1 −4 2

0 3 5

−2 8 −4

(ค) A =

0 3 7

1 −2 −6

1 −2 4

4. จงพจารณาวาเซตของเวกเตอรหรอหลกของเมทรกซทกำหนดใหตอไปนแผทว R3 หรอไม เพราะเหตใด

(ก)

2

0

−1

,

050

(ข)

1

0

−2

,

240

,

0

0

−3

(ค)

1 −3 −4

−3 2 6

5 −1 −8

5. จงหาคาของ h ซงทำใหเวกเตอร v3 อยใน Span {v1, v2} เมอ

(ก) v1 =

1

−3

2

, v2 =

264

และ v3 =

59h

(ข) v1 =

1

−5

−3

, v2 =

123

และ v3 =

3

h

−3


1 3 0 3

−1 −1 −1 1

0 −4 2 −8

2 0 3 −1

และ B =

1 3 −2 2

0 1 1 −5

1 2 −3 7

−2 −8 2 −1

จงตอบคำถามตอไปน พรอมแสดงเหตผลประกอบ

(ก) หลกของเมทรกซ A แผทว R4 หรอไม และสมการเมทรกซ Ax = b มผลเฉลยสำหรบทกเวกเตอร b ∈ R4 หรอไม(ข) หลกของเมทรกซ B แผทว R4 หรอไม และสมการเมทรกซ Bx = b มผลเฉลยสำหรบทกเวกเตอร b ∈ R4 หรอไม

7. จงแสดงวา ถา c = 0 แลว Span {v1, v2, . . . , vp} = Span {cv1, cv2, . . . , cvp}


[1 −2

2 1

], B =

[−4 1

0 −1

]และ C =

[−1 2 3

1 −2 0

]จงหา AB,BA, (AB)T , ATBT , CA และ CTB

9. ถา A =

1 1 3

5 2 6

−2 −1 −3

จงแสดงวา A3 = 0


1 −1 3

2 0 1

0 2 −5

, B =

1 0 1

−1 1 3

2 4 0

และ C =

1 1 0

−1 −4 8

2 2 2

จงหา AB และ AC


[0 −1 2

4 2 −3

]จงหาเมทรกซ X ซงทำให ATA = X − I3

12. ถา A =

[1 −2

−2 5

]และ AB =

[−1 2 1

6 −9 3

]จงหาหลกทหนงและหลกทสองของ B

13. กำหนดให u =

2

−1

3

และ v =

0

−4

1

จงหา uT v, vT u, uvT และ vuT

1.5 เซตผลเฉลยของระบบเชงเสนและอสระเชงเสน 25

14. จงแสดงวา ถา u และ v เปนเวกเตอรใน Rm แลว uT v = vT u

15. สำหรบเมทรกซ A ทมมต m × n และ เวกเตอรหลก x, y, z และ เมทรกซ B และ C ซงมขนาดทผลบวกและผลคณทเกยวของมความหมาย จงแสดงวา

(ก) A(x+ y) = Ax+Ay และ (B + C)z = Bz + Cz

(ข) A(B + C) = AB +AC และ (B + C)A = BA+ CA

(ค) A(Bz) = (AB)z

(ง) A(BC) = (AB)C

1.5 เซตผลเฉลยของระบบเชงเสนและอสระเชงเสนระบบเชงเสนเอกพนธ (homogeneous linear system) คอระบบเชงเสนทสามารถเขยนไดในรปแบบ

Ax = 0m

เมอ A เปนm× n เมทรกซ x ∈ Rn และ 0m ∈ Rm

สงเกตวาระบบเชงเสนเอกพนธมเวกเตอร 0n ∈ Rn เปนผลเฉลยอยางนอยหนงชดเสมอ ซงเรยกวา ผลเฉลยชด(trivial solution) ดงนน สำหรบระบบเชงเสนเอกพนธ เราจงสนใจตรวจสอบการมผลเฉลยอนทไมใชเวกเตอรศนย ซงเรยกวาผลเฉลยไมชด (nontrivial solution)

เนองจากเมทรกซแตงเตมของระบบเชงเสนเอกพนธ Ax = 0m คอ[A 0m

]และหากใชการดำเนนการแถวลดรปเมทรกซแตงเตมน จะไดเมทรกซขนบนไดลดรปเปน[

B 0m

]ซงพบวา หลกทางขวามอสดจะเปนเวกเตอรศนยเสมอดงนนจงเพยงพอทจะลดรปเฉพาะเมทรกซสมประสทธ A ยงกวานน เราไดวา

ทฤษฎบท 1.5.1 ระบบเชงเสนเอกพนธ Ax = 0m มผลเฉลยไมชด กตอเมอ มตวแปรเสรอยางนอยหนงตว นนคอกตอเมอ A มหลกทไมเปนหลกตวหลก

ตวอยาง 1.5.1 จงพจารณาวาระบบเชงเสนเอกพนธ

x1 − 3x2 − 2x3 = 0

x2 − x3 = 0

−2x1 + 3x2 + 7x3 = 0

มผลเฉลยไมชดหรอไม ถามจงหาผลเฉลยทงหมดของระบบเชงเสนน


วธทำ เขยนเมทรกซสมประสทธ A และใชการดำเนนการแถวลดรปจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดดงน

A =

1 −3 −2

0 1 −1

−2 3 7

∼

1 −3 −2

0 1 −1

0 −3 3

R3 + 2R1

∼

1 −3 −2

0 1 −1

0 0 0

R3 + 3R2

ดงนน หลกท 3 ไมเปนหลกตวหลกทำใหสรปโดยทฤษฎบท 1.5.1 ไดวาระบบเชงเสนนมผลเฉลยไมชดเราจงใชการดำเนนการแถวตอไปนจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปเปน

∼

1 0 −5

0 1 −1

0 0 0

R1 + 3R2

ซงสมนยกบระบบเชงเสนx1 − 5x3 = 0

x2 − x3 = 0

0 = 0

ทำใหเราได

x1 = 5x3

x2 = x3


เปนผลเฉลยทงหมดของระบบเชงเสนเอกพนธทกำหนดให �

หมายเหต จากตวอยางขางตน เราสามารถเขยนผลเฉลยทงหมดของระบบเชงเสนไดในรปแบบเวกเตอรเปน

x =

x1x2x3

=

5x3x3x3

= x3

511

ซงเราอาจเขยนอกแบบหนงไดเปน

x = t

511

เมอ t เปนจำนวนจรง

ตวอยาง 1.5.2 จงหาเซตผลเฉลยของสมการเชงเสนเอกพนธ x1 + 3x2 − 8x3 = 0

วธทำ เนองจากเมทรกซ A =[1 3 −8

]อยในรปแบบขนบนไดลดรป


ดงนน เราได

x1 = −3x2 + 8x3

x2 และ x3 เปนตวแปรเสร

หรอ

x =

x1x2x3

=

−3x2 + 8x3x2x3

= x2

−3

1

0

+ x3

801

เมอ x2, x3 เปนจำนวนจรง

เปนผลเฉลยทงหมดของสมการเชงเสนเอกพนธทกำหนดให �

สงเกตวา เราสามารถเขยนผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธไดในรปการรวมเชงเสน

x = t1v1 + · · ·+ tpvp

เมอ ti เปนตวแปรเสร สำหรบทก i = 1, . . . , p เรยกวาผลเฉลยในรปแบบเวกเตอรองตวแปรเสรม (parametricvector form)

ตอไปเราจะหาผลเฉลยของระบบเชงเสนไมเอกพนธ (nonhomogeneous linear system) โดยเรมจาก

ตวอยาง 1.5.3 จงหาเซตผลเฉลยของสมการเมทรกซ Ax = b เมอ

A =

1 −3 −2

0 1 −1

−2 3 7

และ b =

−1

2

−4

วธทำ เขยนเมทรกซแตงเตมของสมการเมทรกซนและดำเนนการแถวกบเมทรกซแตงเตมไปเรอยๆ จะได

[A | b] =

1 −3 −2 −1

0 1 −1 2

−2 3 7 −4

∼

1 −3 −2 −1

0 1 −1 2

0 −3 3 −6

R3 + 2R1

∼

1 −3 −2 −1

0 1 −1 2

0 0 0 0

R3 + 3R2

ดงนนหลกทางขวาสดของเมทรกซแตงเตมไมเปนหลกตวหลกทำใหสรปโดยทฤษฎบท 1.3.2 ไดวาสมการเมทรกซนมผลเฉลยเราจงใชการดำเนนการแถวตอไปจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปเปน

∼

1 0 −5 5

0 1 −1 2

0 0 0 0

R1 + 3R2



x1 − 5x3 = 5

x2 − x3 = 2

0 = 0

เนองจากหลกท 1 และ 2 เปนหลกตวหลก ดงนนเราไดวา x1 และ x2 เปนตวแปรพนฐานและ x3 เปนตวแปรเสร ทำใหเราได

x1 = 5 + 5x3

x2 = 2 + x3


หรอ

x =

x1x2x3

=

5 + 5x32 + x3x3

=

520

+ x3

511

เมอ x3 เปนจำนวนจรง

เปนผลเฉลยทงหมดของสมการเมทรกซทกำหนดให �

สงเกตวา เมทรกซ A ในตวอยาง 1.5.3 เปนเมทรกซสมประสทธของระบบเชงเสนในตวอยาง 1.5.1 และผลเฉลยทวไปของสมการเมทรกซในตวอยาง 1.5.3 อยในรปของ x = p + vh โดยท vh เปนผลเฉลยทวไปของระบบเชงเสนเอกพนธในตวอยาง 1.5.1 และ p เปนผลเฉลยหนงของระบบเชงเสนไมเอกพนธในตวอยาง 1.5.3 ซงเราสามารถสรปในกรณทวไปไดวา

ทฤษฎบท 1.5.2 ถาระบบเชงเสนไมเอกพนธ Ax = b มผลเฉลยหนงเปน p เรยกวาผลเฉลยเฉพาะ (particularsolution) แลวจะไดวาผลเฉลยทวไปของระบบเชงเสนไมเอกพนธ Ax = b จะอยในรป

x = p+ vh

โดยท vh เปนผลเฉลยทวไปของระบบเชงเสนเอกพนธ Ax = 0

ในกรณเวกเตอร x อยใน R3 เราอาจแสดงผลเฉลยของระบบเชงเสนเอกพนธและไมเอกพนธไดในรปเสนตรงทขนานกนและระนาบทขนานกน โดยทผลเฉลยของระบบเชงเสนเอกพนธจะผานจดกำเนด ดงรป

x1

x2

x3

1 2 3 4 5x11

2

x2

1

2

3

x3

1 2 3 4 5x1

1

2

3

x3


เรากลาววาเซตของเวกเตอร {v1, v2, . . . , vp} ใน Rm เปนอสระเชงเสน (linearly independent) กตอเมอสมการเอกพนธ x1v1+x2v2+ · · ·+xpvp = 0m มเพยงผลเฉลยชด ดงนน เซตของเวกเตอร {v1, v2, . . . , vp} ไมเปนอสระเชงเสน กตอเมอ มจำนวนจรง c1, c2, . . . , cp ทไมเปนศนยพรอมกนซงทำให c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp = 0m


1

3

−2

, v2 =

−3

−5

2

และ v3 =

0

1

−1

จงพจารณาวา {v1, v2, v3} เปนเซตอสระเชงเสนหรอไม ถาไม จงหาความสมพนธระหวาง 3 เวกเตอรน

วธทำ เนองจากเราตองการตรวจสอบวาสมการเอกพนธ x1v1 + x2v2 + x3v3 = 03 มเพยงผลเฉลยชดหรอไม เราจงเรมโดยเขยนเมทรกซสมประสทธ A และใชการดำเนนการแถวลดรปจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดดงน

A =[v1 v2 v3

]=

1 −3 0

3 −5 1

−2 2 −1

∼

1 −3 0

0 4 1

0 −4 −1

R2 − 3R1

R3 + 2R1

∼

1 −3 0

0 4 1

0 0 0

R3 +R2

เพราะฉะนนหลกท 3 ไมเปนหลกตวหลก จงสรปโดยทฤษฎบท 1.5.1 ไดวาสมการเอกพนธ x1v1 + x2v2 + x3v3 =

03 มผลเฉลยไมชด ดงนน {v1, v2, v3} ไมเปนเซตอสระเชงเสนและเราหาความสมพนธระหวาง 3 เวกเตอรนโดยลดรปเมทรกซแตงเตมทมอยตอไปจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปเปน

∼

1 0 34

0 1 14

0 0 0

R1 +34R2

14R2

ซงสมนยกบระบบเชงเสนx1 + 3

4x3 = 0

x2 + 14x3 = 0

0 = 0

นนคอx1 = −3

4x3x2 = −1

4x3

โดยเราอาจเลอก x3 = −4 ทำใหเราม x1 = 3 และ x2 = 1

ดงนน ความสมพนธระหวาง 3 เวกเตอรนคอ 3v1 + v2 − 4v3 = 0 �

สำหรบ m × n เมทรกซ A เรากลาววาหลกของ A เปนอสระเชงเสน กตอเมอ เซตของเวกเตอรหลกทไดจากหลกของเมทรกซ A เปนเซตอสระเชงเสน นนคอ สมการเมทรกซ Ax = 0 มเพยงผลเฉลยชด ซงเราจะเหนวา

บทแทรก 1.5.3 หลกของเมทรกซ A เปนอสระเชงเสน กตอเมอ ทกหลกของเมทรกซ A เปนหลกตวหลก

ตวอยาง 1.5.5 จงพจารณาวาหลกของเมทรกซ

A =

1 0 −3

−2 −6 6

3 3 −5


เปนอสระเชงเสนหรอไม เพราะเหตใด

วธทำ เราใชการดำเนนการแถวลดรป A จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดดงน

A =

1 0 −3

−2 −6 6

3 3 −5

∼

1 0 −3

0 −6 0

0 3 4

R2 + 2R1

R3 − 3R1

∼

1 0 −3

0 −6 0

0 0 4

R3 +

12R2

ทำใหไดวาทกหลกของเมทรกซ A เปนหลกตวหลกดงนน หลกของเมทรกซ A เปนอสระเชงเสน �

ขอสงเกต 1. ถามเวกเตอรศนยในเซต S แลว S เปนเซตซงไมอสระเชงเสน

2. เซต {v} เปนเซตอสระเชงเสน กตอเมอ v = 0

3. เซต {v1, v2} ไมเปนเซตอสระเชงเสน กตอเมอ มจำนวนจรง c ซง v1 = cv2

4. เซตของเวกเตอร S = {v1, v2, . . . , vp} ไมเปนเซตอสระเชงเสน กตอเมอ มอยางนอยหนงเวกเตอรใน S อยในรปการรวมเชงเสนของเวกเตอรตวอนในเซต S

5. ถา S = {v1, v2, . . . , vp} เปนเซตของ p เวกเตอรใน Rm โดยท p > m แลว S ไมเปนเซตอสระเชงเสนเพราะวาจำนวนหลกมากกวาจำนวนแถวจงไดวาทกหลกไมสามารถเปนหลกตวหลกได

ตวอยาง 1.5.6 จากขอสงเกตขางตน เราไดวาเซตตอไปนไมเปนเซตอสระเชงเสน

S1 =

{[1

2

],

[−1

3

],

[0

1

]}, S2 =

001

,

1

−1

0

,

000

,

S3 =

2

−1

1

,

6

−3

3

, S4 =

1

3

−2

,

−3

−5

2

,

0

1

−1


1. จงพจารณาวาระบบเชงเสนเอกพนธตอไปนมผลเฉลยไมชดหรอไม ถาม จงเขยนผลเฉลยทวไปในรปแบบเวกเตอรองตวแปรเสรม

(ก)

2x1 − 5x2 + 8x3 = 0

4x1 + 2x2 + 7x3 = 0

−2x1 − 7x2 + x3 = 0

(ข)

x1 + 2x2 + 9x3 = 0

x1 − 3x2 + 7x3 = 0

2x1 − x2 + 4x3 = 0

(ค){

x1 − 2x2 + 6x3 = 0

−5x1 + 3x2 − 2x3 = 0(ง)

2x1 + 2x2 + 4x3 = 0

− x2 − 3x3 + x4 = 0

3x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0

x1 + 3x2 − 2x3 − 2x4 = 0


2. จงเขยนผลเฉลยของ Ax = 0 ในรปแบบเวกเตอรองตวแปรเสรม เมอ กำหนดให A สมมลแถวกบเมทรกซตอไปน

(ก)

1 −3 4 7

0 1 2 2

0 0 1 5

(ข)

1 −3 7 1

0 1 4 0

0 0 0 −1

(ค)[1 0 0 3 5

0 0 1 −2 1

]

(ง)

1 −4 −2 0 3 −5

0 1 0 0 −1 −1

0 0 0 1 0 −4

0 0 0 0 0 0

(จ)

0 1 −2 −5 8 0 2

0 0 1 −7 −4 0 2

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0

3. จงหาเซตผลเฉลยของระบบเชงเสนเอกพนธ

(ก)

x1 + 3x2 + x3 = 0

4x1 + 9x2 − 2x3 = 0

3x2 + 6x3 = 0

(ข)

x1 + 3x2 − 5x3 = 0

x1 + 4x2 − 8x3 = 0

3x1 + 7x2 − 9x3 = 0

4. จากเซตผลเฉลยของระบบเชงเสนเอกพนธในขอกอนหนาน จงหาผลเฉลยทวไปของระบบเชงเสนไมเอกพนธตอไปนในรปแบบเวกเตอรองตวแปรเสรมพรอมทงบอกและเปรยบเทยบลกษณะทางเรขาคณตของเซตผลเฉลยนกบเซตผลเฉลยของระบบเชงเสนเอกพนธ

(ก)

x1 + 3x2 + x3 = 1

4x1 + 9x2 − 2x3 = 1

3x2 + 6x3 = 3

(ข)

x1 + 3x2 − 5x3 = 4

x1 + 4x2 − 8x3 = 7

3x1 + 7x2 − 9x3 = 6

5. จงหาคาของ a ซงทำใหระบบเชงเสนx1 + 2x2 + x3 = 0

x1 + 3x2 + 6x3 = 0

2x1 + 3x2 + ax3 = 0

มผลเฉลยไมชด พรอมทงหาเซตผลเฉลยของระบบเชงเสนนดวย6. จงหาเซตผลเฉลยของระบบเชงเสน เมอ (ก) λ = 0 (ข) λ = 1 (ค) λ = 2

2x1 − x2 = λx1

2x1 + x2 + x3 = λx2

−2x1 + 2x2 + x3 = λx3

7. จงตรวจสอบวาเวกเตอรตอไปนเปนอสระเชงเสนหรอไม เพราะเหตใด

(ก)

110

,

101

,

011

(ข)

1

0

−1

,

413

,

314

(ค)

1

−2

2

,

−4

8

−8

,

2

2

−1

8. จงพจารณาวาหลกของเมทรกซตอไปนเปนอสระเชงเสนหรอไม เพราะเหตใด

(ก)[0 −1

3 2

](ข)

0 −8 5

3 −7 4

1 −3 2

−1 5 −4

(ค)

1 0 3

5 4 6

0 1 −4

4 3 0

(ง)

0 6 4

3 0 −7

1 5 1

−1 1 3

9. จงหาคาของ h ซงทำใหเซตตอไปนเปนเซตอสระเชงเสน

(ก)

1

−1

4

,

3

−5

7

,

−1

5

h

(ข)

1

5

−3

,

2

9

−6

,

3

h

−9

(ค)

−1

3

4

,

−1

0

h

,

2

−3

−8

(ง)−1

−1

h

,

h

−1

−1

,

−1

h

−1

10. ให S = {v1, v2, . . . , vp} เซตอสระเชงเสนใน Rm จงแสดงวาถา c = 0 แลว {cv1, cv2, . . . , cvp} เปนเซตอสระเชงเสน


คำตอบแบบฝกหด 1.2 1.−3A =

[3 0− 6

−9 15− 3

], A+ 2B =

[7 6 4

−3 −9 1

], B − 2A =

[6 3 −3

−9 8 −2

];

2.[7.5 5 −2.5 2.5

0 −5 2.5 0

]; 3.

0 0.5

−0.75 1

0.25 −0.25

; 4.(ก)ตองกน, (ข)ไมตองกน, (ค)ตองกน, (ง)ตองกน;

5.(ก)[1 −1

2 3

]/[

1 −1 −4

2 3 22

]/ x1 = 2, x2 = 6, (ข)

1 1 −1

1 −1 1

1 1 1

/

1 1 −1 0

1 −1 1 2

1 1 1 6

/ x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3,

(ค)

1 0 −3

0 1 5

2 2 9

/

1 0 −3 8

0 1 5 −2

2 2 9 7

/ x1 = 5, x2 = 3, x3 = −1,

(ง) 1 −3 0

−1 1 5

0 1 1

/

1 −3 0 5

−1 1 5 2

0 1 1 0

/ x1 = 2, x2 = −1, x3 = 1; 6.(ก)ม, (ข)ไมม

คำตอบแบบฝกหด 1.3 1.(ก)ขนบนไดลดรป, (ข)ขนบนไดแตไมเปนขนบนไดลดรป, (ค)ขนบนไดแตไมเปนขนบนไดลดรป,

(ง)ไมเปนขนบนได, (จ)ขนบนไดลดรป, (ฉ)ขนบนไดลดรป;

2.(ก)หลก1,2 /[1 0 −2.5

0 1 −3

], (ข)หลก1,2 /

1 0 −0.5 1

0 1 1.5 1

0 0 0 0

, (ค)หลก1,3 /

1 1 0 0 2

0 0 1 −2 0

0 0 0 −4 −1

;

3.(ก)ตองกน ชดเดยว, (ข)ไมตองกน, (ค)ตองกน ชดเดยว, (ง)ตองกน อนนตชด;

4.(ก) (x1 = −1−12x3, x2 = −2−4x3, x3 เปนตวแปรเสร), (ข)ไมตองกน, (ค)ไมตองกน, (ง) (x1 = 1.6+0.6x3−0.6x4, x2 = 0.1+0.4x3−0.1x4,

x3 และ x4 เปนตวแปรเสร), (จ) (x1 = 3− 3x2, x3 = 3 และ x2 เปนตวแปรเสร), (ฉ)ไมตองกน, (ช) (x1 = 5+ 7x2 − 6x4, x3 = −3 + 2x4, x2 และx4 เปนตวแปรเสร), (ซ) (x1 = 4

3x2, x3 = 0 และ x2 เปนตวแปรเสร), (ฌ) (x1 = 5 + 3x4, x2 = 1 + 4x4, x3 = 4 − 9x4 และ x4 เปนตวแปรเสร),

(ญ)ไมตองกน;

5.(ก)h = 2, (ข)ทก h ∈ R, (ค)ทก h ∈ R, (ง)h = 0;

6.(ก)ไมตองกน⇔ a = −3, (ข)ชดเดยว⇔ a = 3,−3, (ค)อนนตชด⇔ a = 3; 7.α =π

2, β = π, γ = 0

คำตอบแบบฝกหด 1.4 1.(ก)อย, (ข)ไมอย, (ค)อย, (ง)ไมอย; 2.(ก)h = −17, (ข)h = −3.5;

3.(ก)−4b1 − 2b2 + b3 = 0, (ข)2b1 + b3 = 0, (ค)ทก b, 4.(ก)ไมแผทว, (ข)แผทว, (ค)ไมแผทว;

5.(ก)h = 10, (ข)h = −8; 6.(ก)ไม, (ข)ไม; 11.

17 8 −12

8 6 −8

−12 −8 14

; 12.[7

4

],

[−8

−5

]

คำตอบแบบฝกหด 1.5 1.(ก)x =

− 178

341

x3, x3 ∈ R, (ข)x = 0, (ค)x =

241

x3, x3 ∈ R, (ง)x =

−1

1

0

1

x4, x4 ∈ R;

2.(ก)x=

47

8

−5

1

x4, x4 ∈ R, (ข)x =

−19

−4

1

0

x3, x3 ∈ R, (ค)x =

0

1

0

0

0

x2 +

−3

0

2

1

0

x4 +

−5

0

−1

0

1

x5, x2, x4, x5 ∈ R,

(ง) x =

2

0

1

0

0

0

x3 +

1

1

0

0

1

0

x5 +

9

1

0

4

0

1

x6, x3, x5, x6 ∈ R, (จ)x=

1

0

0

0

0

0

0

x1 +

0

19

7

1

0

0

0

x4 +

0

0

4

0

1

0

0

x5 +

0

−6

−2

0

0

0

1

x7, x1, x4, x5, x7 ∈ R;

3.(ก)x =

5

−2

1

x3, x3 ∈ R, (ข)x =

−4

3

1

x3, x3 ∈ R; 4.(ก)x =

5

−2

1

x3 +

−2

1

0

, x3 ∈ R, (ข)x =

−4

3

1

x3 +

−5

3

0

, x3 ∈ R;

5.a = −3 / x =

9

−5

1

x3, x3 ∈ R; 6.(ก)x = 0, (ข)x=

− 12

− 121

x3, x3 ∈ R, (ค)x =

− 120

1

x3, x3 ∈ R;

7.(ก)เปน, (ข)ไมเปน, (ค)ไมเปน; 8.(ก)เปน, (ข)เปน, (ค)เปน, (ง)ไมเปน; 9.(ก)h = 6, (ข)h ∈ R, (ค)h = 4, (ง)h = −1, 2

บทท 2การแปลงเชงเสนและพชคณตเมทรกซ

2.1 การแปลงเมทรกซและเมทรกซมาตรฐานให A เปนm× n เมทรกซ เราเรยกฟงกชน T : Rn → Rm กำหนดโดย

T (x) = Ax

สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ Rn วาการแปลงเมทรกซ (matrix transformation)


−1 7

1 −3

3 5

, u =

[1

−2

], b =

−5

3

2

, c =

1

3

−2

และกำหนดการแปลงเมทรกซ

T : R2 → R3 โดย T (x) = Ax นนคอ สำหรบทก ๆ เวกเตอร x =

[x1x2

]∈ R2 เราได

T

([x1x2

])=

−1 7

1 −3

3 5

[x1x2

]= x1

−1

1

3

+ x2

7

−3

5

=

−x1 + 7x2x1 − 3x23x1 + 5x2

(ก) จงหา T (u)

วธทำ T (u) = T

([1

−2

])=

−1 + 7(−2)

1− 3(−2)

3(1) + 5(−2)

=

−15

7

−7

�

(ข) จงหาเวกเตอร x ซง T (x) = b

วธทำ จาก T (x) = Ax ดงนนเราตองการผลเฉลยทงหมดของสมการเมทรกซ Ax = b ซงเราหาไดโดยลดรปเมทรกซแตงเตม [A | b] ใหมรปแบบขนบนไดลดรปดงน

[A | b] =

−1 7 −5

1 −3 3

3 5 2

∼

1 0 32

0 1 −12

0 0 0

33

34 บทท 2 การแปลงเชงเสนและพชคณตเมทรกซ

ดงนน x =

[x1x2

]=

[32

−12

]�

(ค) เวกเตอร x ทไดในขอ (ข) มเพยงเวกเตอรเดยวหรอไมวธทำ เนองจากไมมตวแปรเสร เวกเตอร x ทไดจงมเพยงเวกเตอรเดยว �

(ง) จงพจารณาวา c อยในเรนจของ T หรอไม เพราะเหตใด

วธทำ เพราะวา c อยในเรนจของ T กตอเมอ มเวกเตอร x ∈ R2 ททำให T (x) = c ดงนนเราจะตรวจสอบวาสมการเมทรกซ Ax = c มผลเฉลยหรอไม โดยลดรปเมทรกซแตงเตม [A | c] ใหมรปแบบขนบนไดดงน

[A | c] =

−1 7 1

1 −3 3

3 5 −2

∼

−1 7 1

0 4 4

0 26 1

∼

−1 7 1

0 4 4

0 0 −25

เพราะฉะนนเราสรปโดยทฤษฎบท 1.3.2 ไดวาสมการเมทรกซ Ax = c ไมมผลเฉลยสงผลให c ไมอยในเรนจของ T �

เราเรยกฟงกชน T : Rn → Rm วาการแปลงเชงเสน (linear transformation) ถาสำหรบทก ๆ เวกเตอร u, v ∈Rn และจำนวนจรง c เราไดวา

T (u+ v) = T (u) + T (v) และ T (cu) = c T (u)

ขอสงเกต 1. ฟงกชน T เปนการแปลงเชงเสนจาก Rn ไป Rm กตอเมอ สำหรบทก ๆ เวกเตอร u, v ∈ Rn และจำนวนจรง c และ d จะไดวา

T (cu+ dv) = cT (u) + dT (v)

2. ถา T : Rn → Rm เปนการแปลงเชงเสนแลว

T (0n) = 0m และ T (−v) = −T (v) สำหรบทก ๆ เวกเตอร v ∈ Rn

ยงกวานน สำหรบทก ๆm× n เมทรกซ A เวกเตอร u, v ∈ Rn และจำนวนจรง c เราไดวา

A(u+ v) = Au+Av และ A(cu) = c(Au)

ดงนน

ทฤษฎบท 2.1.1 ทก ๆ การแปลงเมทรกซเปนการแปลงเชงเสน

ตวอยาง 2.1.2 ฟงกชนตอไปนไมเปนการแปลงเชงเสน

(ก) T (x1) = sinx1เพราะวา sin(π6 ) = 1

2 แต 16 sinπ = 0

ดงนน sin(π6 ) =16 sinπ

2.1 การแปลงเมทรกซและเมทรกซมาตรฐาน 35

(ข) T

([x1x2

])=

[1− ex1

x1 + 3x2

]

เพราะวา[0

2

]=

[−1

1

]+

[1

1

]และ T

([0

2

])=

[0

6

]

แต T([

−1

1

])+ T

([1

1

])=

[1 + e−1

2

]+

[1 + e

4

]=

[2 + e+ e−1

6

]

(ค) T

([x1x2

])= x21 + x22

เพราะวา T([

0

2

])= 4 แต 2T

([0

1

])= 2(1) = 2

ตวอยาง 2.1.3 ให r เปนจำนวนจรงบวก กำหนด T : R2 → R2 โดย

T (x) = rx สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ R2

เราเรยก T วาการหดตว (contraction) เมอ 0 < r < 1 และเรยก T วาการเปลยนขนาด (dilation) เมอ r > 1

เนองจากสำหรบทก ๆ เวกเตอร x, y ∈ R2 และ c ∈ R เราม

T (x+ y) = r(x+ y) = rx+ ry = T (x) + T (y)

และ T (cx) = r(cx) = (rc)x = (cr)x = c(rx) = cT (x)

ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน

เราสามารถแสดงผลของแปลงเชงเสนการหดตวเมอ r = 0.5 บนระนาบไดดงรป


ตวอยาง 2.1.4 ให T : R2 → R2 เปนการแปลงเชงเสนซง

T (u) =

[1

2

]และ T (v) =

[2

5

]

จงหา T (2u) และ T (3u− v)

วธทำ เนองจาก T เปนการแปลงเชงเสน ดงนน เราไดวา

T (2u) = 2T (u) = 2

[1

2

]=

[2

4

]

และ

T (3u− v) = 3T (u)− T (v) = 3

[1

2

]−

[2

5

]=

[1

1

]

ตามตองการ �

ตวอยาง 2.1.5 ให e1 =[1

0

], e2 =

[0

1

], y1 =

102

, y2 =

011

และกำหนดให T : R2 → R3 เปนการแปลงเชงเสนซง T (e1) = y1 และ T (e2) = y2

จงหาภาพ (image) ของ[3

2

]และ

[x1x2

]ภายใต T

วธทำ เพราะวา T เปนการแปลงเชงเสน และ[3

2

]= 3e1 + 2e2 และ

[x1x2

]= x1e1 + x2e2

ดงนน เราไดวา

T

([3

2

])= T (3e1 + 2e2)

= 3T (e1) + 2T (e2)

= 3y1 + 2y2

= 3

102

+ 2

011

=

328

ซงเราแสดงการสงเวกเตอรของการแปลงเชงเสน T : R2 → R3 ไดดงรป


1 2 3x1

1

2x2

01

23

x1

01

2 x2

0

2

4

6

8

x3

01

23

x1

01

2 x2

และเราม

T

([x1x2

])= T (x1e1 + x2e2)

= x1T (e1) + x2T (e2)

= x1y1 + x2y2

= x1

102

+ x2

011

=

x1 + x2x2

2x1 + x2

ยงกวานน เรายงไดดวยวา T([

x1x2

])=

1 0

0 1

2 1

[x1x2

]�

ตวอยาง 2.1.6 ให T : R2 → R3 เปนการแปลงเชงเสนซง

T

([4

1

])=

2

1

−1

และ T

([3

1

])=

4

−2

1

จงหา T([

x1x2

])สำหรบทก ๆ เวกเตอร

[x1x2

]∈ R2

วธทำ กอนอนเราจะเขยน[x1x2

]เปนการรวมเชงเสนของเวกเตอร

[4

1

]และ

[3

1

]นนคอหาจำนวนจรง c1 และ c2 ซงทำให [

x1x2

]= c1

[4

1

]+ c2

[3

1

]


โดยเขยนเมทรกซแตงเตมของสมการเวกเตอรและใชการดำเนนการแถวลดรปจนมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน[4 3 x11 1 x2

]∼

[1 0 x1 − 3x20 1 −x1 + 4x2

]

ทำใหไดวา [x1x2

]= (x1 − 3x2)

[4

1

]+ (−x1 + 4x2)

[3

1

]

เพราะวา T เปนการแปลงเชงเสน ดงนน เราจงไดวา

T

([x1x2

])= T

((x1 − 3x2)

[4

1

]+ (−x1 + 4x2)

[3

1

])

= (x1 − 3x2)T

([4

1

])+ (−x1 + 4x2)T

([3

1

])

= (x1 − 3x2)

2

1

−1

+ (−x1 + 4x2)

4

−2

1

=

−2x1 + 10x23x1 − 11x2−2x1 + 7x2

ยงกวานน เรายงไดดวยวา T([

x1x2

])=

−2 10

3 −11

−2 7

[x1x2

]�

เราทราบมาแลววาทก ๆ การแปลงเมทรกซเปนการแปลงเชงเสน ตอไปเราจะแสดงวาทก ๆ การแปลงเชงเสน T จากRn ไป Rm เปนการแปลงเมทรกซ โดยการหาเมทรกซ A มตm× n ซงทำให

T (x) = Ax

สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ Rn ดงนให T : Rn → Rm เปนการแปลงเชงเสนสำหรบแตละ j = 1, 2, . . . , n เขยน ej แทนเวกเตอรทไดจากหลกท j ของเมทรกซเอกลกษณ In กำหนดm× n

เมทรกซ A ใหมหลกท j เปน T (ej) สำหรบทก ๆ j = 1, 2, . . . , n

สงเกตวาสำหรบแตละเวกเตอร x ∈ Rn เราไดวา

x = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen

ดงนน

T (x) = T (x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen) = x1T (e1) + x2T (e2) + · · ·+ xnT (en) = Ax

เพราะฉะนน เราสรปไดวา


ทฤษฎบท 2.1.2 ให T : Rn → Rm เปนการแปลงเชงเสนกำหนด m × n เมทรกซ A ใหมหลกท j เปนเวกเตอร T (ej) เมอ ej เปนเวกเตอรทไดจากหลกท j ของเมทรกซเอกลกษณ In สำหรบทก j = 1, 2, . . . , n นนคอ

A =[T (e1) T (e2) · · · T (en)

]m×n

จะไดวา T (x) = Ax สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ Rn ดงนน T เปนการแปลงเมทรกซ

เมทรกซ A ในทฤษฎบท 2.1.2 เรยกวาเมทรกซมาตรฐาน (standard matrix) สำหรบการแปลงเชงเสน T

ตวอยาง 2.1.7 จงหาเมทรกซมาตรฐานสำหรบการแปลงเชงเสน T (x) = rx สำหรบทกเวกเตอร x ∈ R2 และ r

เปนจำนวนจรงบวก

วธทำ เนองจาก T (e1) = re1 =

[r

0

]และ T (e2) = re2 =

[0

r

]

ดงนน A =

[r 0

0 r

]เปนเมทรกซของการแปลงเชงเสน T �

บางครงเพอความกะทดรด เราเขยนเวกเตอรแถวแทนเวกเตอรหลก เชน (x1, x2) แทน[x1x2

]และในการนยาม T เราเขยน T (x1, x2, . . . , xn) แทน T ((x1, x2, . . . , xn))

ตวอยาง 2.1.8 กำหนด T : R3 → R4 โดย T (x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + 2x3, 0, x2)

จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน พรอมทงหาเมทรกซมาตรฐาน A สำหรบ T

วธทำ เนองจาก

T

x1x2x3

=

x1 + x2

x2 + 2x30

x2

= x1

1

0

0

0

+ x2

1

1

0

1

+ x3

0

2

0

0

=

1 1 0

0 1 2

0 0 0

0 1 0

x1x2x3

ดงนน T เปนการแปลงเมทรกซเพราะฉะนนเราสรปโดยทฤษฎบท 2.1.1 ไดวา T เปนการแปลงเชงเสน

และเมทรกซมาตรฐานสำหรบ T คอ A =

1 1 0

0 1 2

0 0 0

0 1 0

�

ให T เปนฟงกชนจาก Rn ไป Rm


1. เรากลาววา T เปนฟงกชนทวถง (onto) Rm

กตอเมอ สำหรบทก ๆ เวกเตอร b ∈ Rm มเวกเตอร x ∈ Rn ซง T (x) = b

2. เรากลาววา T มสมบตหนงตอหนง (one-to-one) หรอเขยนสน ๆ เปน “T 1-1”กตอเมอ สำหรบแตละเวกเตอร x และ y ใน Rn ถา T (x) = T (y) แลว x = y

ในกรณท T เปนการแปลงเชงเสน เราม

ทฤษฎบท 2.1.3 ให T : Rn → Rm เปนการแปลงเชงเสน เราไดวา T มสมบตหนงตอหนงกตอเมอ ระบบเชงเสน T (x) = 0m มเพยงผลเฉลยชดนนคอ กตอเมอ หลกของเมทรกซมาตรฐาน A สำหรบ T เปนอสระเชงเสน

เพราะฉะนนโดยทฤษฎบท 1.4.4 และบทแทรก 1.5.3 เราไดเกณฑในการพจารณาวา การแปลงเชงเสน T มสมบตทวถงหรอมสมบตหนงตอหนง ดงน

บทแทรก 2.1.4 ให T : Rn → Rm เปนการแปลงเชงเสนและ A เปนเมทรกซมาตรฐานสำหรบ T

เราไดวา1. T มสมบตทวถง Rm กตอเมอ หลกของเมทรกซ A แผทว Rm กตอเมอ A มตำแหนงตวหลกในทก ๆ แถว2. T มสมบตหนงตอหนง กตอเมอ A มตำแหนงตวหลกในทก ๆ หลก

ตวอยาง 2.1.9 จงตรวจสอบวาการแปลงเชงเสนทมเมทรกซมาตรฐานเปน

A =

1 −2 1

2 0 2

−3 6 3

มสมบตทวถงหรอมสมบต 1-1 หรอไม เพราะเหตใด

วธทำ ลดรปเมทรกซ A จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดเปน

A =

1 −2 1

2 0 2

−3 6 3

∼

1 −2 1

0 4 0

0 0 6

ดงนน A มตำแหนงตวหลกในทก ๆ หลกและในทก ๆ แถวโดยทฤษฎบท 2.1.4 เราสรปไดวา T มสมบต 1-1 และมสมบตทวถง �

ตวอยาง 2.1.10 จงตรวจสอบวาการแปลงเชงเสนในตวอยาง 2.1.8 มสมบตทวถง หรอ มสมบต 1-1 หรอไม เพราะเหตใด

วธทำ ลดรปเมทรกซมาตรฐาน A สำหรบการแปลงเชงเสน T จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดเปน

A =

1 1 0

0 1 2

0 0 0

0 1 0

∼

1 1 0

0 0 2

0 0 0

0 1 0

∼

1 1 0

0 1 0

0 0 2

0 0 0


ดงนน A มตำแหนงตวหลกในทก ๆ หลกแตไมมตำแหนงตวหลกในแถวสดทายโดยทฤษฎบท 2.1.4 เราสรปไดวา T มสมบต 1-1 แตไมมสมบตทวถง �

ตวอยาง 2.1.11 จงพจารณาวามการแปลงเชงเสน T : R3 → R5 ซงมสมบตทวถง หรอไม เพราะเหตใด

วธทำ เนองจากเมทรกซมาตรฐานของการแปลงเชงเสน T : R3 → R5 มมต 5× 3

ทำใหไดวา A มตำแหนงตวหลกมไดไมเกน 3 ตำแหนง แต A ม 5 แถวจงเปนไปไมไดท Aจะมตำแหนงตวหลกในทก ๆ แถว โดยบทแทรก 2.1.4 (ก) จะไดวา T ไมมสมบตทวถงดงนน ไมมการแปลงเชงเสน T : R3 → R5 ซงมสมบตทวถง �



1 −4 7 −5

0 1 −4 3

3 −9 9 −6

และ b =−1

1

0

จงหาเวกเตอร x ∈ R4 ทงหมดซงการแปลงเมทรกซ T : x 7→ Ax สงไปเวกเตอรศนย และ จงพจารณาวาเวกเตอร b อยในเรนจของ T หรอไม เพราะเหตใด


1 3 9 2

−1 0 −3 4

0 −1 −2 −3

2 −3 0 −5

และ b =

−1

−3

1

−4

จงหาเวกเตอร x ∈ R4 ทงหมดซงการแปลงเมทรกซ T : x 7→ Ax สงไปเวกเตอรศนย และ จงพจารณาวาเวกเตอร b อยในเรนจของ T หรอไม เพราะเหตใด

3. พจารณาการแปลงเมทรกซ T (x) = Ax เมอกำหนดเมทรกซ A และ เวกเตอร b ดงตอไปน จงหาเวกเตอร x ทงหมดซงT (x) = b (ถาม)

(ก) A =

1 2 0

0 −1 3

3 −2 8

, b =

−1

2

−3

(ข) A =

1 −3 2

−2 −1 6

3 −5 −9

, b =

−6

−12

5

(ค) A =

[1 −7 −5

−3 5 7

], b =

[−1

3

](ง) A =

1 −2 1

3 −4 5

−3 5 −4

0 1 1

, b =

1

9

−6

3

4. จงแสดงวาฟงกชนตอไปนไมเปนการแปลงเชงเสน

(ก) T([

x1

x2

])=

[2x1 − 3x2

x2 + 4

](ข) T

([x1

x2

])= |x1|+ |x2|

5. จงแสดงวาฟงกชน T ตอไปนเปนการแปลงเชงเสนโดยหาเมทรกซมาตรฐาน A ซงทำให T (x) = Ax พรอมทงพจารณาวาT มสมบตทวถงหรอมสมบตหนงตอหนงหรอไม เพราะเหตใด(ก) T (x1, x2) = (x1 − x2, x2,−2x1 + x2)

(ข) T (x1, x2, x3, x4) = (x2 − x3, 0, x1 − x2, x3 − x4)

(ค) T (x1, x2, x3) = (x1, x2 + x3, x1 − 2x3)

(ง) T (x1, x2, x3) = (x1 − 2x2 + x3, 5x1 − x2 + 3x3, 4x1 + x2 + 2x3)

6. จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนไปไดหรอไม พรอมอธบายเหตผลหรอยกตวอยางประกอบ(ก) มการแปลงเชงเสน T : R6 → R4 ซงมสมบตหนงตอหนง(ข) มการแปลงเชงเสน T : R5 → R8 ซงมสมบตทวถง(ค) มการแปลงเชงเสน T : R3 → R3 ซงมสมบตหนงตอหนง แตไมมสมบตทวถง


7. จงหาสตรของการแปลงเชงเสน T ซงสอดคลองเงอนไขตอไปน และหาเมทรกซมาตรฐาน A สำหรบ T พรอมทงพจารณาวาT มสมบตทวถงหรอมสมบตหนงตอหนงหรอไม เพราะเหตใด(ก) T : R2 → R2, T

([1

3

])=

[1

1

]และ T

([1

1

])=

[0

1

]

(ข) T : R3 → R3, T

110

=

010

, T

001

=

000

และ T−1

1

0

=

100

2.2 ปรภมหลก และ ปรภมสศนย2.2.1 ปรภมยอยจากหวขอ 1.4 สำหรบเวกเตอร v1, v2, . . . , vp ใน Rm เรามเซตยอยของ Rm ทแผทวโดยเวกเตอร v1, v2, . . . , vpกำหนดโดย

H = Span {v1, v2, . . . , vp} = {c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp : c1, c2, . . . , cp ∈ R}

เปนเซตของการรวมเชงเสนทงหมดของเวกเตอร v1, v2, . . . , vp เพราะวา

0m = 0v1 + 0v2 + · · ·+ 0vp

ดงนน 0m อยในเซตน ตอมาให u, v ∈ H และ c เปนจำนวนจรงใด ๆจะไดวา u = a1v1 + a2v2 + · · ·+ apvp และ v = b1v1 + b2v2 + · · ·+ bpvp

โดยท a1, a2, . . . , ap, b1, b2, . . . , bp ∈ Rเพราะฉะนน

u+ v = (a1v1 + a2v2 + · · ·+ apvp) + (b1v1 + b2v2 + · · ·+ bpvp)

= (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + · · ·+ (ap + bp)vp

และcu = c(a1v1 + a2v2 + · · ·+ apvp) = (ca1)v1 + (ca2)v2 + · · ·+ (cap)vp

นนคอ u+ v ∈ H และ cu ∈ H

ทำใหไดวาเวกเตอรในเซตนสอดคลองสมบตปดการบวกและสมบตปดการคณดวยจำนวนจรง

เราเรยกเซตยอย H ของ Rm ซงสอดคลองสมบตตอไปน

1. 0m ∈ H

2. สำหรบเวกเตอร u, v ∈ H จะไดวา u+ v ∈ H และ

3. สำหรบเวกเตอร u ∈ H และจำนวนจรง c จะไดวา cu ∈ H

วาปรภมยอย (subspace) ของ Rm

ตวอยาง 2.2.1 1. เราไดโดยงายวา {0m} และ Rm เปนปรภมยอยของ Rm

2. {(x1, x2) ∈ R2 : x1 = −x2} เปนปรภมยอยของ R2 (แสดงในตวอยาง 2.2.3)

3. {(x1, x2) ∈ R2 : x21 = x2 + 3} ไมเปนปรภมยอยของ R2 เพราะวา (0, 0) ไมอยในเซตน

2.2 ปรภมหลก และ ปรภมสศนย 43

4. H = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : sin(x1 + x2 + x3) = 0} ไมเปนปรภมยอยของ R3

เพราะวา (π, 0, π) ∈ H แต 16(π, 0, π) /∈ H

และจากขอสงเกตตอนตนหวขอน เราสามารถสรางปรภมยอยของ Rm จากเซตยอยของ Rm ไดดงน

ทฤษฎบท 2.2.1 ให v1, v2, . . . , vp ∈ Rm และ H = Span {v1, v2, . . . , vp}จะไดวา H เปนปรภมยอยของ Rm เรยกวาปรภมยอยของ Rm ทแผทวโดยเวกเตอร v1, v2, . . . , vp (subspaceof Rm spanned by v1, v2, . . . , vp)

ให A =[v1 v2 . . . vn

]เมอ v1, v2, . . . , vn ∈ Rm เปนm× n เมทรกซ

เราเรยกปรภมยอยของ Rm ทแผทวโดยเวกเตอรทไดจากหลกของเมทรกซA วาปรภมหลก (column space) ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย ColA นนคอ

ColA = Span {v1, v2, . . . , vn}

เพราะวา Span {v1, v2, . . . , vn} = {x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn : x1, x2, . . . , xn ∈ R} ดงนน เราม

ColA = {Ax : x ∈ Rn}

และจากบทแทรก 1.4.2 เราไดดวยวา

b ∈ ColA กตอเมอ ระบบเชงเสน[A b

]มผลเฉลย


1 −3 −2

0 1 −1

−2 3 7

และ b =

−5

4

−2

จงพจารณาวา b ∈ ColA หรอไม เพราะเหตใด

วธทำ ลดรปเมทรกซแตงเตม[A b

]จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดเปน

1 −3 −2 −5

0 1 −1 4

−2 3 7 −2

∼

1 −3 −2 −5

0 1 −1 4

0 −3 3 −12

∼

1 −3 −2 −5

0 1 −1 4

0 0 0 0

ดงนนโดยทฤษฎบท 1.3.2 ระบบเชงเสนนมผลเฉลย ทำใหไดวา b ∈ ColA �

สงเกตวาปรภมหลกของ m × n เมทรกซ A คอเรนจของการแปลงเมทรกซ x 7→ Ax จาก Rn ไป Rm และ โดยทฤษฎบท 2.1.2 เราไดวา ทก ๆ การแปลงเชงเสนเปนการแปลงเมทรกซ เพราะฉะนน เรนจของทก ๆ การแปลงเชงเสนT อยในรป

rangeT = {Ax : x ∈ Rn} = ColA

เมอ A คอเมทรกซมาตรฐานของการแปลงเชงเสน T ทำใหเราสรปไดวา

ทฤษฎบท 2.2.2 ให T : Rn → Rm เปนการแปลงเชงเสน และ A เปนเมทรกซมาตรฐานสำหรบ T

จะไดวาเรนจของ T คอปรภมหลกของเมทรกซ A ดงนน เรนจของการแปลงเชงเสนเปนปรภมยอยของ Rm


สำหรบm×n เมทรกซ A เราเรยกเซตผลเฉลยของสมการเอกพนธ Ax = 0m วาปรภมสศนย (null space) ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย NulA นนคอ

NulA = {x ∈ Rn : Ax = 0m}

และเราแสดงไดวา

ทฤษฎบท 2.2.3 ปรภมสศนยของm× n เมทรกซ A เปนปรภมยอยของ Rn

บทพสจน เพราะวา A0n = 0m ดงนน 0n ∈ NulA

ตอมาให u, v ∈ NulA และ c เปนจำนวนจรงใด ๆเพราะฉะนน Au = 0m และ Av = 0m ทำใหไดวา

A(u+ v) = Au+Av = 0m + 0m = 0m และ A(cu) = c(Au) = c0m = 0m

นนคอ u+ v ∈ NulA และ cu ∈ NulA ดงนน NulA เปนปรภมยอยของ Rn �

ตวอยาง 2.2.3 เพราะวา

H =

{[x1x2

]∈ R2 : x1 = −x2

}=

{[x1x2

]:[1 1

] [x1x2

]=[0]}

= Nul[1 1

]

ดงนน H เปนปรภมยอยของ R2

ตวอยาง 2.2.4 พจารณาเมทรกซ A =

1 −3 −2

0 1 −1

−2 3 7

ในตวอยาง 2.2.2

โดยตวอยาง 1.5.1 เราไดวา NulA = Span

511

2.2.2 ฐานหลก มต และแรงกฐานหลก (basis) สำหรบปรภมยอย H ของ Rm คอเซตยอย B ของ H ซงเปนอสระเชงเสนและแผทวHนนคอ B ⊆ H เปนอสระเชงเสนและ Span B = H

ตวอยาง 2.2.5 สำหรบแตละ j = 1, 2, . . . ,m เขยน ej แทนเวกเตอรทไดจากหลกท j ของเมทรกซเอกลกษณIm โดยทฤษฎบท 1.4.4 และบทแทรก 1.5.3 หลกของเมทรกซเอกลกษณ Im แผทว Rm และเปนอสระเชงเสน ดงนน{e1, e2, . . . , em} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ Rm เรยกวาฐานหลกมาตรฐาน (standard basis) สำหรบ Rm

ตวอยาง 2.2.6 จากตวอยาง 2.2.4 เราทราบวาเมอ A =

1 −3 −2

0 1 −1

−2 3 7

เราไดวา NulA = Span

511

และเซต

511

เปนอสระเชงเสน


ดงนน B =

511

เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ NulA

ในการหาฐานหลกสำหรบ ColA เราใช

ทฤษฎบท 2.2.4 ให A เปน m × n เมทรกซ จะไดวา เซตของหลกตวหลกของเมทรกซ A เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ ColA

ตวอยาง 2.2.7 จงหาฐานหลกสำหรบ ColA เมอ A =

1 −3 −2

0 1 −1

−2 3 7

วธทำ ลดรปเมทรกซ A จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดเปน 1 −3 −2

0 1 −1

−2 3 7

∼

1 −3 −2

0 1 −1

0 −3 3

∼

1 −3 −2

0 1 −1

0 0 0

ดงนนหลกท 1 และ 2 เปนหลกตวหลก ทำใหไดวา

1

0

−2

,

−3

1

3

เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบColA �

ใหH เปนปรภมยอยของRm และB เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบH เราสามารถแสดงไดวา ถา C เปนฐานหลกอกฐานหนงสำหรบ H แลว |B| = |C| เราเรยกจำนวนสมาชกของฐานหลกสำหรบ H วามต (dimension) ของ H เขยนแทนดวย dimH และเพอความสะดวก เรากำหนด Span ∅ = {0m} ดงนน dim{0} = 0

ตวอยาง 2.2.8 โดยใชฐานหลกมาตรฐาน {e1, e2, . . . , em} สำหรบ Rm เราไดวา

dimRm = m

เราเรยกมตของปรภมหลกของเมทรกซA วาแรงก (rank) ของเมทรกซA เขยนแทนดวย rankA และเราเรยกมตของปรภมสศนยของเมทรกซ A วาศนยภาพ (nullity) ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย nullityA นนคอ

rankA = dimColA และ nullityA = dimNulA


1 −3 −2

0 1 −1

−2 3 7

จากตวอยาง 2.2.7 เราไดวา rankA = 2 และจากตวอยาง 2.2.6 เรา

ไดวา nullityA = 1

ตวอยาง 2.2.10 จงแสดงวาเซต

H = {(x1 + 2x2,−x2 + x3, x1 + x2 + x3) : x1, x2, x3 ∈ R}

เปนปรภมยอยของ R3 พรอมทงหาฐานหลกและมตของ H


วธทำ เพราะวา

H =

x1 + 2x2

− x2 + x3x1 + x2 + x3

: x1, x2, x3 ∈ R

=

x1

101

+ x2

2

−1

1

+ x3

011

: x1, x2, x3 ∈ R

= Span

101

,

2

−1

1

,

011

= ColA เมอ A =

1 2 0

0 −1 1

1 1 1

ดงนน H เปนปรภมยอยของ R3

ตอไปเราลดรปเมทรกซ A จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดเปน1 2 0

0 −1 1

1 1 1

∼

1 2 0

0 −1 1

0 −1 1

∼

1 2 0

0 −1 1

0 0 0

เพราะฉะนนหลกท 1 และ 2 เปนหลกตวหลก

ทำใหไดวา

101

,

2

−1

1

เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ H ดงนน dimH = 2 �

ตวอยาง 2.2.11 จงแสดงวาเซต

H = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x1 + x2 = x3 + x4 และ x1 + x2 + x3 + x4 = 0}

เปนปรภมยอยของ R4 พรอมทงหาฐานหลกและมตของ H


H =

x1x2x3x4

∈ R4 :x1 + x2 − x3 − x4 = 0

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

=

x1x2x3x4

∈ R4 :

[1 1 −1 −1

1 1 1 1

]x1x2x3x4

=

[0

0

]ดงนน H =

{x ∈ R4 : Ax = 02

}= NulA เมอ A =

[1 1 −1 −1

1 1 1 1

]เพราะฉะนน H เปนปรภมยอยของ R3


ตอไปเราลดรปเมทรกซ A จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปเปน[1 1 −1 −1

1 1 1 1

]∼

[1 1 −1 −1

0 0 2 2

]∼

[1 1 0 0

0 0 1 1

]

ทำใหไดวาx1 + x2 = 0

x3 + x4 = 0นนคอ x1 = −x2

x3 = −x4

เพราะฉะนน

x =

x1x2x3x4

=

−x2x2−x4x4

= x2

−1

1

0

0

+ x4

0

0

−1

1

เปนผลเฉลยของสมการเอกพนธ Ax = 02

ดงนน H = NulA = Span

−1

1

0

0

,

0

0

−1

1


−1

1

0

0

,

0

0

−1

1

เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ H และ dimH = 2 �

ตวอยาง 2.2.12 จงหาฐานหลกสำหรบปรภมหลกและปรภมสศนยของเมทรกซ

A =

1 −1 0 3

0 1 −1 0

−2 −3 0 −1

0 −1 0 1

0 1 0 −1

พรอมทงหา rankA และ nullityA

วธทำ ลดรปเมทรกซ A จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดเปน1 −1 0 3

0 1 −1 0

−2 −3 0 −1

0 −1 0 1

0 1 0 −1

∼

1 −1 0 3

0 1 −1 0

0 −5 0 5

0 −1 0 1

0 1 0 −1

∼

1 −1 0 3

0 1 −1 0

0 0 −5 5

0 0 0 0

0 0 0 0

เพราะฉะนนหลกท 1, 2 และ 3 เปนหลกตวหลก



1

0

−2

0

0

,

−1

1

−3

−1

1

,

0

−1

0

0

0

เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ ColA

ดงนน rankA = 3

ตอไปเราลดรปเมทรกซ A จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปเปน

∼

1 0 −1 3

0 1 −1 0

0 0 1 −1

0 0 0 0

0 0 0 0

∼

1 0 0 2

0 1 0 −1

0 0 1 −1

0 0 0 0

0 0 0 0


x1 + 2x4 = 0

x2 − x4 = 0

x3 − x4 = 0

นนคอx1 = −2x4x2 = x4x3 = x4

เพราะฉะนน x =

x1x2x3x4

=

−2x4x4x4x4

= x4

−2

1

1

1

เปนผลเฉลยของสมการ Ax = 05

ดงนน H = NulA = Span

−2

1

1

1


−2

1

1

1

เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ NulA และ

nullityA = 1 �

สงเกตวา สำหรบ m × n เมทรกซ A เราไดวา rankA คอจำนวนหลกของเมทรกซ A ทเปนหลกตวหลกและnullityA คอจำนวนตวแปรเสรของสมการเอกพนธ Ax = 0m ซงมจำนวนเทากบจำนวนหลกของเมทรกซ A ทไมเปนหลกตวหลก ดงนนเราสรปไดวา

ทฤษฎบท 2.2.5 [ทฤษฎบทแรงก (Rank Theorem)]ถา A เปนm× n เมทรกซ แลว rankA+ nullityA = n

ตวอยาง 2.2.13 ให A เปน 10× 12 เมทรกซ ซงม nullityA = 7

ดงนน โดยทฤษฎบท 2.2.5 จะไดวา rankA = 12− 7 = 5


1. จงพจารณาวาเซตตอไปนเปนฐานหลกสำหรบ R3 หรอไม เพราะเหตใด

(ก)

0

1

−2

,

635

,

5

−7

4

(ข)

1

1

−2

,

7

0

−5

,

−5

−1

2

(ค)

−1

5

−3

,

6

−1

−2

(ง) 2

2

−1

,

4

−1

1

,

3

−2

0

,

050

2.3 เมทรกซผกผนของเมทรกซจตรส 49

2. จงหาฐานหลกและมตของปรภมยอยของ R4 ซงแผทวโดยเวกเตอรทกำหนดใหตอไปน

(ก)

1

−3

2

−4

,

2

−1

4

2

,

4

−5

3

−7

,

−3

9

−6

12

(ข)

−1

4

−7

7

,

1

−1

−2

5

,

2

−3

−1

6

,

0

2

−6

8

,

3

−8

9

−5

3. จงพจารณาวาเซตH ทกำหนดใหตอไปน เปนปรภมยอยของ R3 หรอไม ถาเปนจงหาฐานหลกและมตของ H

(ก) H = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + |x2| = 0}(ข) H = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 − 2x2 + x3 = 0}(ค) H = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2

1 + x22 + x2

3 = 1}(ง) H = {(x1 − x3, x2, 0) ∈ R3 : x1, x2, x3 ∈ R}(จ) H = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2

1 + x22 + x2

3 = 0}(ฉ) H = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0 และ x2 − x3 = 0}

4. จงหาฐานหลกสำหรบปรภมหลกและปรภมสศนยของเมทรกซ A ตอไปน พรอมทงหา rankA และ nullityA

(ก) A =

1 −1 3

7 −6 2

−5 4 4

(ข) A =

3 2 1 −5

9 2 −5 1

−9 −4 1 7

(ค) A =

1 2 3

−5 −1 0

0 12 7

2 −5 4

(ง) A =

4 5 9 −2

6 5 1 12

3 4 8 −3

∼

1 2 6 −5

0 1 5 −6

0 0 0 0

(จ) A =

1 4 8 −3 −7

−1 2 7 3 4

3 6 9 −5 −2

−2 2 9 5 5

∼

1 4 8 0 5

0 2 5 0 −1

0 0 0 1 4

0 0 0 0 0

(ฉ) A =

1 2 0 2

−2 −5 5 6

0 −3 15 18

0 −2 10 8

3 6 0 6

∼

1 2 0 2

0 1 −5 −10

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

5. ให A เปน 4× 6 เมทรกซ จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ โดยอธบายเหตผล หรอ ยกตวอยางประกอบ

(ก) NulA เปนปรภมยอยของ R4 (ข) rankA = 3 กตอเมอ nullityA = 3

(ค) nullityA ≥ 2 (ง) rankA ≥ 2

(จ) ถา A ม 4 หลกตวหลกแลว ColA = R4

6. ให T : Rn → Rm เปนการแปลงเชงเสน และ A เปนเมทรกซมาตรฐานสำหรบ T

จงแสดงวา T มสมบต 1-1 กตอเมอ nullityA = 0

2.3 เมทรกซผกผนของเมทรกซจตรสใหA เปนเมทรกซจตรสขนาดn ถามเมทรกซC ซงAC = In = CA เราเรยกC วาเมทรกซผกผน (inverse matrix)ของเมทรกซ A

สงเกตวา ถา B เปนเมทรกซผกผนอกตวหนงของเมทรกซ A จะไดวา

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

ดงนน ถา A มเมทรกซผกผนแลวเมทรกซผกผนจะมเพยงตวเดยว เขยนแทนดวย A−1 เราเรยกเมทรกซทไมมเมทรกซผกผนวาเมทรกซเอกฐาน (singular matrix) และเรยกเมทรกซทมเมทรกซผกผนวาเมทรกซไมเอกฐาน (nonsingu-lar matrix)


สำหรบ 2× 2 เมทรกซ เราสามารถหาเมทรกซผกผนไดโดยงายจาก

ทฤษฎบท 2.3.1 ให A =

[a b

c d

]เปน 2× 2 เมทรกซ จะไดวา A มเมทรกซผกผน เปน

A−1 =1

ad− bc

[d −b

−c a

]

กตอเมอ ad− bc = 0

สำหรบเมทรกซ A =

[a b

c d

]เราเรยก ad − bc วาดเทอรมแนนต (determinant) ของเมทรกซ A เขยนแทน

ดวย detA ดงนนสำหรบเมทรกซจตรส A ขนาด 2 เราไดวา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ detA = 0


[2 5

−3 −7

]จะไดวา

A−1 =1

2(−7)− 5(−3)

[−7 −5

3 2

]=

[−7 −5

3 2

]

ตวอยาง 2.3.2 จงใชเมทรกซผกผนของเมทรกซ A =

[2 5

−3 −7

]หาผลเฉลยของระบบเชงเสน

2x1 + 5x2 = −1

−3x1 − 7x2 = 1

วธทำ เนองจากระบบเชงเสนทกำหนดใหสมมลกบสมการเมทรกซ[2 5

−3 −7

][x1x2

]=

[−1

1

]นนคอ A

[x1x2

]=

[−1

1

]

ดงนนเราไดวา[x1x2

]= A−1

[−1

1

]=

[−7 −5

3 2

][−1

1

]=

[2

−1

]�

โดยทวไป เราสามารถใชเมทรกซผกผนของเมทรกซจตรส A หาผลเฉลยของสมการเมทรกซ Ax = b ดงน

ทฤษฎบท 2.3.2 ถา A เปนเมทรกซจตรสขนาด n ซงมเมทรกซผกผนและ b ∈ Rn แลวสมการเมทรกซ Ax = b

มผลเฉลชดเดยวคอ x = A−1b

ทฤษฎบทตอไป กลาวถงสมบตเบองตนของเมทรกซผกผนของเมทรกซ


ทฤษฎบท 2.3.3 สำหรบเมทรกซจตรส A และ B ขนาด n ซงมเมทรกซผกผน เราไดวา1. A−1 หาเมทรกซผกผนได และ (A−1)−1 = A

2. AT หาเมทรกซผกผนได และ (AT )−1 = (A−1)T

3. AB หาเมทรกซผกผนได และ (AB)−1 = B−1A−1

เราเรยกเมทรกซซงไดจากการดำเนนการแถวมลฐานหนงครงกบเมทรกซเอกลกษณวา เมทรกซมลฐาน (ele-mentary matrix)

ตวอยาง 2.3.3 ให E1 =

1 0 0

0 1 0

−4 0 1

, E2 =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 5

และ A =

a b c

d e f

g h i

จง

หา E1A,E2A และ E3A

วธทำ เหนชดวา E1, E2 และ E3 เปนเมทรกซมลฐานและจากการคณเมทรกซเราไดโดยงายวา

E1A =

a b c

d e f

−4a+ g −4b+ h −4c+ i

, E2A =

d e f

a b c

g h i

,

และ E3A =

a b c

d e f

5g 5h 5i

สงเกตวา เมทรกซE1A,E2A และE3A มคาเทากบเมทรกซทไดจากการดำเนนการแถวกบเมทรกซA ดวยการดำเนนการแถวเดยวกบ I3 จนไดเมทรกซมลฐาน E1, E2 และ E3 ตามลำดบ �

ซงในกรณทวไป เราไดวา

ทฤษฎบท 2.3.4 ให A เปน m × n เมทรกซ และ Im เปนเมทรกซเอกลกษณมต m × m ถา E และ B เปนเมทรกซทไดจาก Im และ A โดยการดำเนนการแถวแบบเดยวกน ตามลำดบ แลวเราจะไดวา EA = B

โดยทฤษฎบท 1.3.1 เราไดวา ทก ๆ m × n เมทรกซ A สามารถลดรปโดยใชการดำเนนการแถวมลฐานตาง ๆ ชดหนงใหมรปแบบขนบนไดลดรป B ไดแบบเดยว และถาเราให E1, E2, . . . , Ek เปนเมทรกซมลฐานทไดจากการใชการดำเนนการแถวเหลานนกบเมทรกซเอกลกษณ Im ตามลำดบ จะไดวา C = Ek . . . E2E1 เปนเมทรกซไมเอกฐาน และCA = B ซงเราสามารถหาเมทรกซC ไดโดยการดำเนนการกบเมทรกซแตงเตมM = [A | Im] จนมรปแบบขนบนไดลดรปM ′ = [B | C]


[−3 0 6

2 1 6

]จงหาเมทรกซไมเอกฐาน C ซงทำให CA เปนเมทรกซขนบนไดลดรป

วธทำ ลดรปเมทรกซแตงเตม [A | I2] จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปดงน[−3 0 6 1 0

2 1 6 0 1

]∼

[1 0 −2 −1

3 0

2 1 6 0 1

]∼

[1 0 −2 −1

3 0

0 1 10 23 1

]


ดงนน เมทรกซ C ซงทำให CA เปนเมทรกซขนบนไดลดรปคอ[−1

3 023 1

]�

วธการขางตน อาจใชหาเมทรกซผกผนของเมทรกซจตรส A ขนาด n (ถาม) โดยดำเนนการแถวมลฐานกบเมทรกซแตงเตม [A | In] จนมรปแบบขนบนไดลดรป [B | C] ดงนน CA = B โดยเราสรปการมเมทรกซผกผนของเมทรกซA จาก

ทฤษฎบท 2.3.5 เมทรกซจตรส A ขนาด n มเมทรกซผกผน กตอเมอ A สมมลแถวกบเมทรกซเอกลกษณ In นนคอรปแบบขนบนไดลดรปของเมทรกซ A คอ In

ตวอยาง 2.3.5 จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A =

1 0 3

0 2 0

2 0 5

(ถาม)

วธทำ เขยนเมทรกซแตงเตม [A | I3] และลดรปจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดลดรปดงน 1 0 3 1 0 0

0 2 0 0 1 0

2 0 5 0 0 1

∼

1 0 3 1 0 0

0 1 0 0 12 0

0 0 −1 −2 0 1

∼

1 0 0 −5 0 3

0 1 0 0 12 0

0 0 1 2 0 −1

เพราะฉะนน เราไดวา A−1 =

−5 0 3

0 12 0

2 0 −1

�

เราเรยกการแปลงเชงเสน T : Rn → Rn วาหาตวผกผนได (invertible) กตอเมอ เมทรกซมาตรฐาน A ของการแปลงเชงเสน T มเมทรกซผกผน และ T−1(x) = A−1x สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ Rn

ตวอยาง 2.3.6 ถา T เปนการแปลงเชงเสนทมเมทรกซมาตรฐานเปน

A =

1 0 3

0 2 0

2 0 5

จากตวอยาง 2.3.5 เราไดวา A มเมทรกซผกผน ดงนน T หาตวผกผนได และ T−1 กำหนดโดย

T−1

x1x2x3

=

−5 0 3

0 12 0

2 0 −1

x1x2x3

ทก ๆ เวกเตอร

x1x2x3

∈ R3

เรารวบรวมความรทไดศกษาไวแลว มาใชตรวจสอบวาเมทรกซจตรส A ทกำหนดใหหาเมทรกซผกผนไดหรอไม ในทฤษฎบทตอไปน


ทฤษฎบท 2.3.6 [ทฤษฎบทเมทรกซหาตวผกผนได (Invertible Matrix Theorem)]ให A เปนเมทรกซจตรสขนาด n จะไดวา ขอความตอไปนสมมลกน1. เมทรกซ A หาเมทรกซผกผนได2. เมทรกซ A สมมลแถวกบเมทรกซเอกลกษณ In3. เมทรกซ A มตำแหนงตวหลก n ตำแหนง4. สมการเมทรกซ Ax = 0 มเพยงผลเฉลยชด5. หลกของเมทรกซ A เปนอสระเชงเสน6. การแปลงเชงเสน x 7→ Ax มสมบตหนงตอหนง7. สมการเมทรกซ Ax = b มผลเฉลยสำหรบทก ๆ เวกเตอร b ∈ Rn

8. หลกของเมทรกซ A แผทว Rn

9. การแปลงเชงเสน x 7→ Ax มสมบตทวถง10. มเมทรกซจตรส C ขนาด n ซง CA = In

11. มเมทรกซจตรส D ขนาด n ซง AD = In12. เมทรกซ AT หาเมทรกซผกผนได13. หลกของเมทรกซ A เปนฐานหลกสำหรบ Rn

14. ColA = Rn

15. rankA = n

16. NulA = {0n}17. nullityA = 0

ตวอยาง 2.3.7 จงใชทฤษฎบทเมทรกซหาตวผกผนไดตรวจสอบวาเมทรกซ

A =

1 −2 −1

−1 5 6

5 −4 5

มเมทรกซผกผนหรอไม เพราะเหตใด

วธทำ ลดรป A จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดเปน

A =

1 −2 −1

−1 5 6

5 −4 5

∼

1 −2 −1

0 3 5

0 6 10

∼

1 −2 −1

0 3 5

0 0 0

ดงนน A มตำแหนงตวหลกเพยง 2 ตำแหนงเพราะฉะนน โดยทฤษฎบท 2.3.6 เราไดวา A ไมมเมทรกซผกผน �

ตวอยาง 2.3.8 จงหาคาของ h ซงทำใหเมทรกซ A =

1 −7 h

2 1 1

1 3 2

หาเมทรกซผกผนได

วธทำ ลดรป A จนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดเปน

A =

1 −7 h

2 1 1

1 3 2

∼

1 3 2

2 1 1

1 −7 h

∼

1 3 2

0 −5 −3

0 10 h− 2

∼

1 3 2

0 −5 −3

0 0 h+ 4


โดยทฤษฎบท 2.3.6 ไดวา A มเมทรกซผกผน กตอเมอ หลกท 3 เปนหลกตวหลกนนคอ กตอเมอ h+ 4 = 0 ทำใหไดวา h = −4 �


1. จงหาเมทรกซผกผนของ 2× 2 เมทรกซตอไปน(ก)[1 2

−1 3

](ข)[2 4

0 −1

](ค)[3 4

5 6

](ง)[8 5

−7 −5

]2. โดยอาศยเมทรกซผกผนทไดในขอกอนหนาน จงหาผลเฉลยของระบบเชงเสนตอไปน

(ก){

x1 + 2x2 = −4

−x1 + 3x2 = 1(ข){

8x1 + 5x2 = −9

−7x1 − 5x2 = 11

3. ให A =

[2 5

5 12

], b1 =

[−1

3

], b2 =

[1

−5

], b3 =

[0

4

]และ b4 =

[3

2

](ก) จงหา A−1 และใช A−1 หาผลเฉลยของสมการเมทรกซ Ax = b1, Ax = b2, Ax = b3 และ Ax = b4(ข) สงเกตวาสมการเมทรกซในขอ (ก) สามารถหาผลเฉลยไดพรอมๆ กนจากการดำเนนการแถวกบเมทรกซแตงเตม[

A b1 b2 b3 b4

]จงหาผลเฉลยของสมการเมทรกซทงสโดยใชการดำเนนการแถว

4. จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซตอไปน (ถาม)

(ก)

−1 2 −5

2 1 0

4 −2 5

(ข)

1 2 3

2 5 3

1 0 8

(ค)

−1 0 1

1 0 1

−3 2 3

(ง)

1 0 0 0

2 1 0 0

4 2 1 0

−2 3 1 1

(จ)

1 −1 5 2

1 0 7 5

0 1 3 6

1 −1 5 1

(ฉ)

1 0 0 0

1 2 0 0

1 2 3 0

1 2 3 4

5. จงหาผลเฉลยของสมการเมทรกซ Ax = b เมอกำหนดให

A−1 =

1 2 0

0 1 0

3 1 1

และ b =

213

6. เมอกำหนดเมทรกซ A ดงตอไปน จงหาเมทรกซไมเอกฐาน C ซงทำให CA เปนเมทรกซขนบนไดลดรป พรอมทงบอกแรงก

ของ A

(ก) A =

1 1 0 −1

3 2 1 1

1 0 1 3

(ข) A =

1 1 4 −1

1 2 3 2

−1 3 2 1

0 5 5 3

7. ถา A =

−2 −7 −9

2 5 6

1 3 4

โดยไมคำนวณหลกหรอแถวอนๆ จงหาหลกทสามและหาแถวทสองของ A−1

8. จงแสดงวา ถาเมทรกซ A หาเมทรกซผกผนได แลว AAT หาเมทรกซผกผนได

2.4 ดเทอรมแนนตสำหรบเมทรกซจตรส A = [aij ]n×n ขนาด n ให Mij(A) เปนเมทรกซทไดจากการตดแถวท i และ หลกท j ของ Aออก เรานยามดเทอรมแนนต (determinant) ของ A เขยนแทนดวย detA หรอ |A| อยางเวยนเกด (recursive def-

2.4 ดเทอรมแนนต 55

inition) ดงนกรณท n = 1 เราไดวา A = [a11] เราให detA = a11กรณท n > 1 เราให

detA =

n∑j=1

(−1)1+ja1j detM1j(A)

สงเกตวา เมอ A =

[a b

c d

]เปน 2× 2 เมทรกซ เราไดวา detA = ad− bc สอดคลองกบหวขอทแลว


1 5 0

0 −3 1

2 4 −1

จะไดวา

detA = 1(−1)1+1

∣∣∣∣∣−3 1

4 −1

∣∣∣∣∣+ 5(−1)1+2

∣∣∣∣∣0 1

2 −1

∣∣∣∣∣+ 0(−1)1+3

∣∣∣∣∣0 −3

2 4

∣∣∣∣∣= 1((−3)(−1)− (1)(4)) + 5(−1)(0(−1)− (1)(2)) + 0((0)(4)− (−3)2)

= (−1) + 10 + 0 = 9

ให A = [aij ]n×n เปนเมทรกซจตรสขนาด n สำหรบแตละ i, j = 1, 2, . . . , n เราเรยก

Cij(A) = (−1)i+j detMij(A)

วาโคแฟกเตอรของแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A ((i, j)-cofactor of A) ดงนน

detA =

n∑j=1

a1jC1j(A)

เรยกวาการกระจายโคแฟกเตอรตามแถวท 1 ของเมทรกซ A (cofactor expansion across the first row of thematrix A) เราสามารถแสดงไดวาการกระจายโคแฟกเตอรตามแถวใด ๆ ของเมทรกซ A จะมคาเทากนทงหมด กลาวคอ

ทฤษฎบท 2.4.1 ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A หาไดจากการกระจายโคแฟกเตอรตามแถวใด ๆ ของเมทรกซ A นนคอ

detA =

n∑j=1

aijCij(A) =

n∑j=1

(−1)i+jaij detMij(A)

สำหรบทก ๆ i = 1, 2, . . . , n

สงเกตวาเครองหมายบวกหรอลบของโคแฟกเตอรของแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A ขนกบตำแหนงของ aijซงอาจมองเครองหมายบวกหรอลบไดในรปคลายตารางหมากรก

+ − + . . .

− + −+ − +... . . .



1 5 8 9 0

0 −3 −5 7 1

0 0 1 5 0

2 4 2 4 −1

0 0 0 −2 0

โดยการกระจายโคแฟกเตอรตามแถวท 5 จะไดวา

detA = (−2)(−1)5+4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 5 8 0

0 −3 −5 1

0 0 1 0

2 4 2 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ซงโดยการกระจายโคแฟกเตอรตามแถวท 3 ตอ เราไดวา

= (−2)(−1)1(−1)3+3

∣∣∣∣∣∣∣1 5 0

0 −3 1

2 4 −1

∣∣∣∣∣∣∣= 2(9) = 18

โดยอาศยคาดเทอรมแนนตทคำนวณไดในตวอยาง 2.4.1

เราเรยกเมทรกซจตรสซงทกสมาชกเหนอหรอทกสมาชกใตเสนทแยงมมหลกเปน 0 วาเมทรกซรปสามเหลยม (tri-angular matrix) และเราไดโดยทฤษฎบท 2.4.1 วา

บทแทรก 2.4.2 ถา A เปนเมทรกซรปสามเหลยมแลว detA เทากบผลคณของสมาชกทแยงมมในเมทรกซ A

ตวอยาง 2.4.3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−4 0 0 0

0 2 0 0

1 2 −3 0

−2 4 2 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−4)(2)(−3)(−1) = −24

สำหรบ 3× 3 เมทรกซ A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

สงเกตวา ถาเรานำหลกท 1 และหลกท 2 มาเขยนตอทางขวามอ

ของเมทรกซ A เปนหลกท 4 และ 5 ตามลำดบ เราไดวา

detA = a11

∣∣∣∣∣a22 a23a32 a33

∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣a21 a23a31 a33

∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣a21 a22a31 a32

∣∣∣∣∣= a11(a22a33 − a32a23)− a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22)

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)− (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)

= (ผลบวกของผลคณในแนวเฉยงจากซายบนลงมาขวาลาง)− (ผลบวกของผลคณในแนวเฉยงจากซายลางขนไปขวาบน) (ดงรป)


a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22

""

<<

a23

<<

""

a21

<<

""

a22

a31 a32 a33 a31 a32


2 2 −1

1 3 −1

−1 −2 2

จะไดวา

det(A− λI3) =

∣∣∣∣∣∣∣ 2 2 −1

1 3 −1

−1 −2 2

−

λ 0 0

0 λ 0

0 0 λ

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣2− λ 2 −1

1 3− λ −1

−1 −2 2− λ

∣∣∣∣∣∣∣2− λ 2

1 3− λ

−1 −2

= [(2− λ)(3− λ)(2− λ) + 2 + 2]− [(3− λ) + 2(2− λ) + 2(2− λ)]

= −λ3 + 7λ2 − 11λ+ 5

เราสรปสมบตเบองตนของดเทอรมแนนตกบการดำเนนการแถวขนมลฐานดงน

ทฤษฎบท 2.4.3 ให A เปนเมทรกซจตรส จะไดวา1. detA = detAT

2. ถา C เปนเมทรกซทไดจาก A โดยการดำเนนการแถว Rpq (p = q) แลว detC = −detA

3. ถาสองแถวใด ๆ ของ A เหมอนกน แลว detA = 0

4. ถา C เปนเมทรกซทไดจาก A โดยการดำเนนการแถว Rp + cRq (p = q) แลว detC = detA

5. ถา C เปนเมทรกซทไดจาก A โดยการดำเนนการแถว cRp แลว detC = c detA

และเรายงมสมบตของดเทอรมแนนตและเมทรกซไมเอกฐานเปน

ทฤษฎบท 2.4.4 ให A เปนเมทรกซจตรส จะไดวา

1. A เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ detA = 0

2. ถา detA = 0 แลว detA−1 =1

detA

อกสมบตทสำคญของดเทอรมแนนตคอดเทอรมแนนตของผลคณของเมทรกซเทากบผลคณของดเทอรมแนนตของแตละเมทรกซ กลาวคอ


ทฤษฎบท 2.4.5 ถา A และ B เปนเมทรกซจตรสขนาดเดยวกนแลว

det(AB) = detAdetB

เพราะฉะนน เราม

บทแทรก 2.4.6 ให A เปนเมทรกซจตรสขนาด n, k เปนจำนวนเตมบวกและ c เปนจำนวนจรงจะไดวา

det(Ak) = (detA)k และ det(cA) = cn detA

ตวอยาง 2.4.5 กำหนดให

∣∣∣∣∣∣∣a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣∣ = 5 จะไดวา

∣∣∣∣∣∣∣2a 2b 2c

g h i

d e f

∣∣∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣∣∣a b c

g h i

d e f

∣∣∣∣∣∣∣ = 2(−1)

∣∣∣∣∣∣∣a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣∣ = (−2)(5) = −10

และ ∣∣∣∣∣∣∣a b c

2a+ d 2b+ e 2c+ f

3g 3h 3i

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣a b c

d e f

3g 3h 3i

∣∣∣∣∣∣∣ = 3

∣∣∣∣∣∣∣a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣∣ = 3(5) = 15

ตวอยาง 2.4.6 ให A,B และ C เปน 3× 3 เมทรกซซง detA = 2, detB = 3 และ detC = 4

จะไดวา

det(2ABTC−1) = 23 detAdetBT detC−1 = 8detAdetB1

detC= 8(2)(3)

1

4= 12

ใหA = [aij ]n×n เปนเมทรกซจตรสขนาด n และCij(A) เปนโคแฟกเตอรของแถวท i และ หลกท j ของเมทรกซA เราเรยกเมทรกซ [Cij(A)]Tn×n วาเมทรกซผกพน (adjoint matrix) ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย adjA


−1 4 1

3 0 2

2 1 0

จงหา adjA

วธทำ คำนวณโคแฟกเตอรสำหรบทก ๆ ตำแหนงดงนC11 = (−1)1+1

∣∣∣∣0 2

1 0

∣∣∣∣ = −2, C12 = (−1)1+2

∣∣∣∣3 2

2 0

∣∣∣∣ = 4, C13 = (−1)1+3

∣∣∣∣3 0

2 1

∣∣∣∣ = 3,

C21 = (−1)2+1

∣∣∣∣4 1

1 0

∣∣∣∣ = 1, C22 = (−1)2+2

∣∣∣∣−1 1

2 0

∣∣∣∣ = −2, C23 = (−1)2+3

∣∣∣∣−1 4

2 1

∣∣∣∣ = 9,

C31 = (−1)3+1

∣∣∣∣4 1

0 2

∣∣∣∣ = 8, C32 = (−1)3+2

∣∣∣∣−1 1

3 2

∣∣∣∣ = 5, C33 = (−1)3+3

∣∣∣∣−1 4

3 0

∣∣∣∣ = −12

ดงนน adjA =

−2 4 3

1 −2 9

8 5 −12

T

=

−2 1 8

4 −2 5

3 9 −12

�


จากตวอยางขางตนเราสงเกตวา

A(adjA) = (adjA)A =

21 0 0

0 21 0

0 0 21

และ detA = 21

ซงในกรณทวไป เราไดความสมพนธระหวางเมทรกซ A และเมทรกซผกพนของ A ดงน

ทฤษฎบท 2.4.7 สำหรบเมทรกซจตรส A ขนาด n เราไดวา

A (adjA) = (adjA)A = (detA) In

เพราะฉะนน เมอ detA = 0 เราอาจหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ไดโดย

บทแทรก 2.4.8 ถา A เปนเมทรกซจตรสซง detA = 0 แลว

A−1 =1

detAadjA

ตวอยาง 2.4.8 จงหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A =

−1 4 1

3 0 2

2 1 0

ในตวอยาง 2.4.7 โดยใชเมทรกซผกพนท

คำนวณได

วธทำ เพราะวา detA = 21 และ adjA =

−2 1 8

4 −2 5

3 9 −12

ดงนน A−1 =

1

21

−2 1 8

4 −2 5

3 9 −12

โดยบทแทรก 2.4.8 �

ใหA เปนเมทรกซจตรสขนาดn และ b เปนเวกเตอรในRn เราอาจใชดเทอรมแนนตหาผลเฉลยของสมการAx = b

เมอ detA = 0 โดย

ทฤษฎบท 2.4.9 [กฎของคราเมอร (Cramer’s Rule)]ให A เปนเมทรกซจตรสขนาด n ซง detA = 0 และ b เปนเวกเตอรใน Rn จะไดวาผลเฉลยของสมการเมทรกซAx = b คอเวกเตอรทมตำแหนงท i เปน

xi =detAi

detA

เมอAi เปนเมทรกซซงไดจากA โดยการแทนหลกท i ของเมทรกซA ดวยเวกเตอร b สำหรบทก ๆ i = 1, 2, . . . , n

ตวอยาง 2.4.9 จงใชกฎของคราเมอรหาผลเฉลยของระบบเชงเสน

x1 − x2 + 2x3 = −2

3x1 − 2x2 + 4x3 = −5

2x2 − 5x3 = 2


วธทำ จากระบบเชงเสนทกำหนดใหเรามเมทรกซสมประสทธ

A =

1 −1 2

3 −2 4

0 2 −5

และ b =

−2

−5

2

ดงนน เราไดวา

A1 =

−2 −1 2

−5 −2 4

2 2 −5

, A2 =

1 −2 2

3 −5 4

0 2 −5

, และ A3 =

1 −1 −2

3 −2 −5

0 2 2

คำนวณดเทอรมแนนตของแตละเมทรกซไดเปน

detA = −1, detA1 = 1, detA2 = −1 และ detA3 = 0

เพราะฉะนน เราไดวา

x1 =detA1

detA= −1, x2 =

detA2

detA= 1 และ x3 = detA3

detA= 0

โดยกฎของคราเมอรจะไดวา x =

−1

1

0

เปนผลเฉลยของระบบเชงเสนน �



2 1 3

1 −2 2

0 1 3

จงหาโคแฟกเตอร Cij(A) สำหรบทก i, j = 1, 2, 3 และ จงหา detA โดยการกระจายโคแฟกเตอรตามแถวท 1 ของ A

2. จงหาคาของ

(ก)

∣∣∣∣∣∣1 −1 2

3 1 1

2 −1 3

∣∣∣∣∣∣ (ข)

∣∣∣∣∣∣a b c

a+ 1 b+ 1 c+ 1

a− 1 b− 1 c− 1

∣∣∣∣∣∣(ค)

∣∣∣∣∣∣∣∣−1 −1 1 0

0 1 1 2

2 1 1 3

1 3 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ (ง)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 8 −3

0 −1 2 1

−2 −6 3 1

−1 −3 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣3. จงแสดงวา

∣∣∣∣∣∣p+ x q + y r + z

a+ x b+ y c+ z

a+ p b+ q c+ r

∣∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣∣∣a b c

p q r

x y z

∣∣∣∣∣∣4. จงหาคาของ b เมอ

∣∣∣∣∣∣3 −1 x

2 6 y

−5 4 z

∣∣∣∣∣∣ = ax+ by + cz

5. กำหนดให∣∣∣∣∣∣a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣ = 4 จงหา


(ก)

∣∣∣∣∣∣a b c

−g −h −i

3d 3e 3f

∣∣∣∣∣∣ (ข)

∣∣∣∣∣∣2a+ d 2b+ e 2c+ f

g h i

−2a −2b −2c

∣∣∣∣∣∣(ค)

∣∣∣∣∣∣g h i

2a 2b 2c

3d− a 3e− b 3f − c

∣∣∣∣∣∣ (ง)∣∣∣∣∣∣

a d g

2b 2e 2h

c− b f − e i− h

∣∣∣∣∣∣6. จงใชดเทอรมแนนตตรวจสอบวาเมทรกซ A =

0 7 5 4

3 8 6 0

1 −7 −5 0

2 0 0 8

มเมทรกซผกผนหรอไม เพราะเหตใด

7. ให A,B,C เปน 4× 4 เมทรกซซง detA = −2, detB = 0.5 และ detC = −1 จงหา(ก) det(ATB) (ข) det(−2CB) (ค) det(B−1AB)

(ง) det(B−1ATC) (จ) det(−ABCT ) (ฉ) det((2A)−1B−1)


2 3 −1

1 2 1

−1 −1 3

จงหาเมทรกซผกพนของ A และจงหา A−1 โดยใชเมทรกซผกพนทได

9. จงใชกฎของคราเมอรหาผลเฉลยของระบบเชงเสนตอไปน

(ก)

2x1 − x2 + 2x3 = 11

3x1 − 2x2 − x3 = −1

x1 + 2x2 − x3 = −3

(ข)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

x1 + x2 + x3 − x4 = 4

x1 − x2 + x3 + x4 = 2

x1 + x2 − x3 + x4 = −4

10. จงแสดงวา ถา A เปนเมทรกซซง detA = − detAT แลว A ไมมเมทรกซผกผน11. จงแสดงวา ถา U เปนเมทรกซจตรสขนาด n ซง UTU = In แลว detU = ±1

12. ให I2 =

[1 0

0 1

]และ A =

[a b

c d

]จงแสดงวา det(A+ I2) = 1 + detA กตอเมอ a+ d = 0


คำตอบแบบฝกหด 2.1 1.x =

9

4

1

0

x3 +

−7

−3

0

1

x4, x3, x4 ∈ R/อย; 2.x =

−3

−2

1

0

x3, x3 ∈ R/ไมอย;

3.(ก)x =

−3

1

1

, (ข)x =

2

2

−1

, (ค)x =

−1

0

0

+

1.5

−0.5

1

x3, x3 ∈ R, (ง)x =

730

+

−3

−1

1

x3, x3 ∈ R;

5.(ก)

1 −1

0 1

−2 1

/1-1/ไมทวถง, (ข)

0 0 1 0

1 0 −1 0

−1 0 0 1

0 0 0 −1

/ไม1-1/ไมทวถง, (ค)

1 0 0

0 1 0

1 0 −2

/1-1/ทวถง, (ง)1 −2 1

0 9 −2

0 0 0

/ไม1-1/ไมทวถง;

7.(ก)A =

[−0.5 0.5

1 0

]/1-1/ทวถง, (ข)A =

−0.5 0.5 0

0.5 0.5 0

0 0 0

/ไม1-1/ไมทวถง

คำตอบแบบฝกหด 2.2 1.(ก)เปน , (ข)เปน , (ค)ไมเปน , (ง)ไมเปน;

2.(ก)

1

−3

2

−4

,

2

−1

4

2

,

4

−5

3

−7

, (ข)

−1

4

−7

7

,

1

−1

−2

5

,

2

−3

−1

6

;

3.(ก)ไมเปน, (ข)เปน/Span

210

,

−1

0

1

, (ค)ไมเปน, (ง)เปน/Span

100

,

010

, (จ)เปน/∅, (ฉ)เปน/Span

−2

1

1

;

4.(ก)ColA = Span

175

,

−1

−6

−4

, NulA = Span

16191

,

(ข)ColA = Span

3

9

−9

,

2

2

−4

, NulA = Span

1

−2

1

0

,

−1

1

0

1

,

(ค)ColA = Span

1

−5

2

2

,

2

−1

7

−5

,

3

0

11

4

, NulA = {0},

(ง)ColA = Span

463

,

554

, NulA = Span

4

−5

1

0

,

−7

6

0

1

,

(จ)ColA = Span

1

−1

3

−2

,

4

2

6

2

,

−3

3

−5

5

,NulA = Span

2

−2.5

1

0

0

,

−7

0.5

0

−4

1

,

(ฉ)ColA = Span

1

−2

0

0

3

,

2

−5

−3

−2

6

,

2

6

18

8

6

, NulA = Span

−10

5

1

0

;

5.(ก)จรง, (ข)จรง, (ค)จรง, (ง)เทจ, (จ)เทจ

คำตอบแบบฝกหด 2.3 1.(ก)1

5

[3 −2

1 1

], (ข)−

1

2

[−1 −4

0 2

], (ค)−

1

2

[6 −4

−5 3

], (ง)−1

5

[−5 −5

7 8

];

2.(ก)[- 14

5- 35

], (ข)

[2

−5

]; 3.A−1=

[−12 5

5 −2

], x1 =

[27

−11

], x2 =

[−37

15

], x3 =

[20

−8

], x4 =

[−26

11

];

4.(ก)1

3

1 0 1

−2 3 −2

− 85

25

−1

, (ข)

−40 16 9

13 −5 −3

5 −2 −1

, (ค)1

2

−1 1 0

−3 0 1

1 1 0

, (ง)

1 0 0 0

−2 1 0 0

0 −2 1 0

8 −1 −1 1

,

(จ)

9 8 −7 −16

0 3 −2 −3

−2 −1 1 3

1 0 0 −1

, (ฉ)

1 0 0 0

- 12

12

0 0

0 - 13

13

0

0 0 - 14

14

; 5.x =

4

1

10

;


6.(ก)

0 0 1

0 0.5 −1.5

1 −0.5 0.5

/rankA = 2, (ข)1

10

−5 0 −15 10

−5 0 −5 6

5 0 5 −4

0 10 10 −10

/rankA = 3; 7.

3

−6

4

,[−2 1 −6

]

คำตอบแบบฝกหด 2.4 1.(C11 = −8, C12 = −3, C13 = 1, C21 = 0, C22 = 6, C23 = −2, C31 = 8, C32 = −1, C33 = −5);

2.(ก)1, (ข)0, (ค)−2, (ง)−2; 4.b = −7; 5.(ก)12, (ข)−8, (ค)24, (ง)8; 6.(detA = 0, ไมม A−1);

7.(ก)−1, (ข)−8, (ค)−2, (ง)4, (จ)1, (ฉ)−1

16; 8.adjA=

7 −8 5

−4 5 −3

1 −1 1

/detA = 1; 9.(ก) x =

13/111/11

48/11

, (ข) x =

1

−1

2

−2

บทท 3คาเฉพาะและเวกเตอรเฉพาะ

3.1 เมทรกซสำหรบการแปลงเชงเสนและการเปลยนฐานหลกให H เปนปรภมยอยของ Rm และ B = {v1, v2, . . . , vp} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ H นนคอเซต B แผทว H

และ B เปนเซตอสระเชงเสน ทำใหสำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ H จะมจำนวนจรง c1, c2, . . . , cp เพยงชดเดยวททำใหx = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp เราเรยกเวกเตอร

[x]B =

c1c2...cp

วาเวกเตอรพกดของ x สมพทธกบฐานหลก B (coordinate vector of x relative to B) และ เรยก c1, c2, . . . , cp

วาพกดท i ของ x สมพทธกบฐานหลก B (ith-coordinates of x relative to B) สงเกตวาสำหรบเวกเตอร x, y ∈ H

และจำนวนจรง c เราม[x+ y]B = [x]B + [y]B และ [cx]B = c[x]B

ตวอยาง 3.1.1 ให v1 =

1

−1

1

−1

, v2 =

2

3

−4

1

, x =

0

−5

6

3

และ B = {v1, v2}

ดงนน B เปนฐานหลกสำหรบ H = Span {v1, v2} จงตรวจสอบวา x ∈ H หรอไม ถาอย จงหาเวกเตอรพกดของ xสมพทธกบฐานหลก B

วธทำ โดยบทแทรก 1.4.2 ในการตรวจสอบวา x อยใน H เราจะพจารณาวาสมการเวกเตอร c1v1 + c2v2 = x มผลเฉลยหรอไม โดยดำเนนการแถวกบเมทรกซแตงเตมจนไดเมทรกซในรปแบบขนบนไดเปน

[v1 v2 x

]=

1 2 0

−1 3 −5

1 −4 6

−1 1 −3

∼

1 2 0

0 1 −1

0 0 0

0 0 0

65

66 บทท 3 คาเฉพาะและเวกเตอรเฉพาะ

ดงนนสมการเวกเตอร c1v1 + c2v2 = x มผลเฉลย สงผลให x ∈ H


∼

1 0 2

0 1 −1

0 0 0

0 0 0

ซงสมนยกบผลเฉลย c1 = 2

c2 = −1

นนคอ x = 2v1 + (−1)v2 เพราะฉะนน [x]B =

[2

−1

]�

ให B = {v1, v2, . . . , vn} เปนฐานหลกสำหรบ Rn และ C = {w1, w2, . . . , wm} เปนฐานหลกสำหรบ Rm

กำหนด T : Rn → Rm เปนการแปลงเชงเสน เราเรยก m × n เมทรกซซงมหลกท j เปนเวกเตอรพกด [T (vj)]Cสมพทธกบฐานหลก C สำหรบทก ๆ j = 1, 2, . . . , n วาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B และ C (matrixfor T relative to the bases B and C) เขยนแทนดวย [T ]CB นนคอ

[T ]CB =[[T (v1)]C [T (v2)]C . . . [T (vn)]C

]สงเกตวา สำหรบแตละเวกเตอร x ∈ Rn เราไดวา x = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvnดงนน T (x) = c1T (v1) + c2T (v2) + · · ·+ cnT (vn)

เพราะฉะนน[T (x)]C = c1[T (v1)]C + c2[T (v2)]C + · · ·+ cn[T (vn)]C

นนคอ[T (x)]C = [T ]CB[x]B (3.1.1)

สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ Rn ในกรณท T : Rn → Rn เปนการแปลงเชงเสนและ B = C เราเขยนแทน [T ]CB ดวย[T ]B และเรยกวาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B (matrix for T relative to the basis B)

x

��

T // T (x)

��[x]B

[T ]CB× // [T (x)]C = [T ]CB[x]B

ตวอยาง 3.1.2 ให B = {v1, v2} เปนฐานหลกสำหรบ R2 และ C = {w1, w2, w3} เปนฐานหลกสำหรบ R3 ถาT : R2 → R3 เปนการแปลงเชงเสนซง

T (v1) = 3w1 − w2 + 5w3 และ T (v2) = w2 − 4w3

จงหาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B และ C

วธทำ จากทกำหนดให จะได [T (v1)]C =

3

−1

5

และ [T (v2)]C =

0

1

−4

3.1 เมทรกซสำหรบการแปลงเชงเสนและการเปลยนฐานหลก 67

ดงนน เราไดวา [T ]CB =

3 0

−1 1

5 −4

�

ตวอยาง 3.1.3 ให B = {v1, v2, v3} เปนฐานหลกสำหรบ R3 และ T : R3 → R3 เปนการแปลงเชงเสนซงม

[T ]B =

1 −1 3

−4 1 5

0 0 −2

จงหา T (2v1 + v2 − v3)

วธทำ เนองจาก [2v1 + v2 − v3]B =

2

1

−1


[T (2v1 + v2 − v3)]B = [T ]B

2

1

−1

=

1 −1 3

−4 1 5

0 0 −2

2

1

−1

=

−2

−12

2

เพราะฉะนน T (2v1 + v2 − v3) = −2v1 − 12v2 + 2v3 �

เราสามารถแสดงไดวาการประกอบของการแปลงเชงเสนนนจะเปนการแปลงเชงเสนดวย และ ไดความสมพนธของเมทรกซสมพทธกบฐานหลกตาง ๆ ดงน

ทฤษฎบท 3.1.1 ให n, m และ p เปนจำนวนเตมบวก และ S : Rn → Rm และ T : Rm → Rp

เปนการแปลงเชงเสน จะไดวา1. T ◦ S เปนการแปลงเชงเสนจาก Rn ไป Rp

2. ถา B เปนฐานหลกสำหรบ Rn, C เปนฐานหลกสำหรบ Rm และ D เปนฐานหลกสำหรบ Rp แลว

[T ◦ S]DB = [T ]DC [S]CB

ยงกวานน ถา n = m = p และ B = C = D แลว [T ◦ S]B = [T ]B[S]B

จากทฤษฎบทขางตนทำใหไดวา

บทแทรก 3.1.2 ให n เปนจำนวนเตมบวก T : Rn → Rn เปนการแปลงเชงเสน และ B เปนฐานหลกสำหรบ Rn จะไดวา

1. ถา T หาตวผกผนได (ม T−1) แลว [T ]B จะเปนเมทรกซไมเอกฐานโดยท [T ]−1B = [T−1]B

2. ถา [T ]B เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว T จะหาตวผกผนได (ม T−1) และ [T−1]B = [T ]−1B

ให H เปนปรภมยอยของ Rm และให B = {v1, v2, . . . , vp} และ B′ = {w1, w2, . . . , wp} เปนฐานหลกสำหรบH พจารณาการแปลงเชงเสนเอกลกษณ I : H → H ซงกำหนดโดย I(x) = x สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ H

จากสมการ 3.1.1 จะไดวา

[x]B′ = [I(x)]B′ = [I]B′

B [x]B สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ H


เราเรยกเมทรกซ [I]B′B วาเมทรกซการเปลยนพกดจาก B ไป B′ (change-of-coordinates matrix from B to B′)

ซงตำราสวนใหญนยมใชสญลกษณ P = PB→B′

สงเกตวา เรายงไดดวยวา

[x]B = [I(x)]B = [I]BB′ [x]B′ สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ H


[x]B = [I]BB′ [I]B′

B [x]B และ [x]B′ = [I]B′

B [I]BB′ [x]B′ สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ H

ทำใหสรปไดวา[I]BB′ [I]B

′B = Ip = [I]B

′B [I]BB′

ดงนน เมทรกซ [I]B′B และเมทรกซ [I]BB′ เปนเมทรกซผกผนของกนและกน

ทฤษฎบท 3.1.3 ให B = {v1, v2, . . . , vp} และ B′ = {w1, w2, . . . , wp} เปนฐานหลกสำหรบปรภมยอย H

จะไดวามเมทรกซไมเอกฐาน PB→B′

ขนาด p กำหนดโดย

PB→B′

= [I]B′

B =[[v1]B′ [v2]B′ . . . [vp]B′

]ททำให

[x]B′ = PB→B′

[x]B สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ H

ตวอยาง 3.1.4 จงแสดงวา B′ =

111

,

110

,

100

เปนฐานหลกสำหรบ R3 และจงหาเมทรกซ

การเปลยนพกดจากฐานหลกมาตรฐาน B = {e1, e2, e3} ไป B′ พรอมทงหา [x]B′ เมอ x =

1

2

−1

วธทำ ให A =

1 1 1

1 1 0

1 0 0

เราไดโดยงายวา detA = −1 = 0

ทำให A หาเมทรกซผกผนได จงไดโดยทฤษฎบท 2.3.6 วา B′ เปนฐานหลกสำหรบ R3

ตอมาให v1 =

111

, v2 =

110

, v3 =

100

และเขยน e1, e2, e3 ในรปการรวมเชงเสนของ v1, v2, v3 ไดเปน

e1 = 0 · v1 + 0 · v2 + 1 · v3e2 = 0 · v1 + 1 · v2 + (−1)v3

e3 = 1 · v1 + (−1) · v2 + 0 · v3

3.1 เมทรกซสำหรบการแปลงเชงเสนและการเปลยนฐานหลก 69


[e1]B′ =

001

, [e2]B′ =

0

1

−1

และ [e3]B′ =

1

−1

0

เพราะฉะนน เมทรกซการเปลยนพกดจาก B ไป B′ คอ PB→B′

=

0 0 1

0 1 −1

1 −1 0

เหนชดวา x = 1e1 + 2e2 − e3 ทำให [x]B =

1

2

−1

ดงนน [x]B′ = P [x]B =

0 0 1

0 1 −1

1 −1 0

1

2

−1

=

−1

3

−1

�

จากทฤษฎบท 3.1.1 และบทแทรก 3.1.2 เราสรปไดวา

บทแทรก 3.1.4 ให B และ B′ เปนฐานหลกสำหรบ Rn และ T : Rn → Rn เปนการแปลงเชงเสน แลว

[T ]B′ = [I]B′

B [T ]B[I]BB′ =

(P

B′→B

)−1[T ]B P

B′→B

ตวอยาง 3.1.5 ให T : R3 → R3 เปนการแปลงเชงเสนทมเมทรกซมาตรฐานเปน

1 3 3

−3 −5 −3

3 3 1

จงหา [T ]B′ โดยท B′ =

1

−1

1

,

−1

1

0

,

−1

0

1

วธทำ ให B = {e1, e2, e3} เปนฐานหลกมาตรฐานสำหรบ R3 ดงนน [T ]B =

1 3 3

−3 −5 −3

3 3 1

เนองจาก B เปนฐานหลกมาตรฐาน เราจงหา P

B′→Bไดโดยงาย กลาวคอ P

B′→B=

1 −1 −1

−1 1 0

1 0 1

ซงเราหาตวผกผนไดเปน ( P

B′→B

)−1=

1 1 1

1 2 1

−1 −1 0

ทำใหไดโดยบทแทรกขางตนวา

[T ]B′ =

1 1 1

1 2 1

−1 −1 0

1 3 3

−3 −5 −3

3 3 1

1 −1 −1

−1 1 0

1 0 1

=

1 0 0

0 −2 0

0 0 −2




1. กำหนดเวกเตอร b1, b2 และ x ถาH เปนปรภมยอยทมฐานหลกเปน B = {b1, b2} และ x ∈ H จงหาเวกเตอรพกดของ xสมพทธกบฐานหลก B

(ก) b1 =

[1

−4

], b2 =

[−2

7

], x =

[−3

7

](ข) b1 =

[2

1

], b2 =

[−3

4

], x =

[3

−5

]

(ค) b1 =

362

, b2 =

−1

0

1

, x =

3

12

7

(ง) b1 =

1

5

−3

, b2 =

3

7

−5

, x =

−2

0

1

2. จงแสดงวา B′ =

120

,

010

,

−1

1

3

เปนฐานหลกสำหรบ R3 และ จงหาเมทรกซการเปลยนพกดจากฐานหลก

มาตรฐาน B = {e1, e2, e3} ไป B′ พรอมทงหา [v]B′ เมอ v =

033

3. ให B = {v1, v2} และ C = {w1, w2} เปนฐานหลกสำหรบ R2 โดยท v1 = 4w1 − w2 และ v2 = −6w1 + w2

จงหาเมทรกซของการเปลยนพกดจาก B ไป C และถา [x]B =

[3

1

]จงหา [x]C

4. ให B = {v1, v2, v3} และ C = {w1, w2, w3} เปนฐานหลกสำหรบ R2 โดยท

v1 = 2w1 − w2 + w3, v2 = 3w2 + w3 และ v3 = −3w1 + 2w2

จงหาเมทรกซของการเปลยนพกดจาก C ไป B และเวกเตอรพกด [w1 − 2w2 + 2w3]B

5. ให B = {v1, v2, v3} เปนฐานหลกสำหรบ R3 และ C = {w1, w2} เปนฐานหลกสำหรบ R2 ถา T : R3 → R2 เปนการแปลงเชงเสนซง

T (v1) = 2w1 − w2, T (v2) = w2 − 4w1 และ T (v3) = −w2

จงหาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B และ C

6. ให T : R2 → R2 เปนการแปลงเชงเสน ซงกำหนดโดย

T (x1, x2) = (x1 + 2x2, 2x1 − 3x2)

จงหาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B และ C เมอ(ก) B =

{[1

0

],

[0

1

]}และ C =

{[2

1

],

[−1

0

]}(ข) B =

{[1

1

],

[−2

3

]}และ C =

{[1

1

],

[0

2

]}7. ให B = {v1, v2} และ C = {w1, w2} เปนฐานหลกสำหรบ R2 จงหาเมทรกซของการเปลยนพกดจาก B ไป C และเม

ทรกซของการเปลยนพกดจาก C ไป B เมอ(ก) v1 =

[7

5

], v2 =

[−3

−1

], w1 =

[1

−5

], w2 =

[−2

2

](ข) v1 =

[−1

8

], v2 =

[1

−5

], w1 =

[1

4

], w2 =

[1

1

](ค) v1 =

[−6

−1

], v2 =

[2

0

], w1 =

[2

−1

], w2 =

[6

−2

]8. ให B = {v1, v2, v3} เปนฐานหลกสำหรบ R3 และ T : R3 → R2 เปนการแปลงเชงเสนซง

T (x1v1 + x2v2 + x3v3) = (2x1 − 4x2 + 5x3,−x2 + 3x3)

3.2 คาเฉพาะ เวกเตอรเฉพาะ และการแปลงเปนทแยงมม 71

จงหาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B และฐานหลกมาตรฐาน {e1, e2} สำหรบ R2

9. ให B = {v1, v2, v3} เปนฐานหลกสำหรบ R3 และ T : R3 → R3 เปนการแปลงเชงเสนซงม [T ]B =

0 3 1

1 1 2

1 0 −1

จงหา T (v1 + 2v2 − 3v3)

10. ให T : R3 → R3 เปนการแปลงเชงเสน กำหนดโดย

T (x1, x2, x3) = (2x1 − x2, x1 + x2 + x3, x2 − x3)

จงหาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B =

213

,

101

,

−1

1

1

และเวกเตอรพกด [x]B และ [T (x)]B เมอ

x = (−1, 4, 0)

11. ให T : R4 → R4 เปนการแปลงเชงเสน กำหนดโดย

T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x3 − x4, 2x1 − x3, x1 + 2x2 + x3 + x4, x3 − x4)

จงหาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B =

−1

1

−1

1

,

2

1

0

1

,

1

0

0

2

,

0

0

0

1

และเวกเตอรพกด [x]B และ [T (x)]B

เมอ x = (2,−1, 2, 3)

12. ให T : R3 → R3 เปนการแปลงเชงเสนซงมเมทรกซมาตรฐาน A =

1 1 3

2 −1 1

1 2 0

และให x =

122

จงหาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B1 =

111

,

101

,

−1

1

0

, เมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก

B2 =

121

,

−1

1

2

,

123

และเวกเตอรพกด [T (x)]B1 และ [T (x)]B2 พรอมทงเมทรกซการเปลยนพกดจาก B2

ไป B1 และเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B1 และ B2

3.2 คาเฉพาะ เวกเตอรเฉพาะ และการแปลงเปนทแยงมม3.2.1 คาเฉพาะ และ เวกเตอรเฉพาะให A เปนเมทรกซจตรสขนาด n เราเรยกจำนวนจรง λ วาคาเฉพาะ (eigenvalue or characteristic value) ของเมทรกซ A ถาระบบเชงเสน Ax = λx มผลเฉลยไมชด และ เราเรยกผลเฉลยนวาเวกเตอรเฉพาะของเมทรกซ A ซงสมนยกบ λ (eigenvector or characteristic vector corresponding to λ)


[2 1

4 2

]จงพจารณาวา

(ก) 1 เปนคาเฉพาะของ A หรอไม(ข) เวกเตอร

[1

2

]เปนเวกเตอรเฉพาะของ A หรอไม ถาเปนจงหาคาเฉพาะซงสมนยกบเวกเตอรน


วธทำ (ก) เนองจากระบบเชงเสน Ax = x สมมลกบสมการเอกพนธ (A− I2)x = 0 และ

det(A− I2) =

∣∣∣∣∣2− 1 1− 0

4− 0 2− 1

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣1 1

4 1

∣∣∣∣∣ = −3 = 0

ดงนน สมการเอกพนธ (A− I2)x = 0 มเพยงผลเฉลยชดทำใหไดวา 1 ไมเปนคาเฉพาะของ A(ข) เพราะวา

A

[1

2

]=

[2 1

4 2

][1

2

]=

[4

8

]= 4

[1

2

]

เพราะฉะนนเวกเตอร[1

2

]เปนเวกเตอรเฉพาะของ A

ซงสมนยกบคาเฉพาะ λ = 4 �

ใหA เปนเมทรกซจตรสขนาด n และ λ เปนจำนวนจรง สงเกตวาระบบเชงเสนAx = λx สมมลกบสมการเอกพนธ(A− λIn)x = 0n ดงนน โดยทฤษฎบท 2.3.6 และทฤษฎบท 2.4.4 เราไดวา

λ เปนคาเฉพาะของ A กตอเมอ (A− λIn)x = 0n มผลเฉลยไมชดกตอเมอ (A− λIn) ไมมเมทรกซผกผนกตอเมอ det(A− λIn) = 0

เราเรยกสมการ det(A − λIn) = 0 วาสมการลกษณะเฉพาะ (characteristic equation) ของเมทรกซ A ซงเปนเครองมอทสำคญในการหาคาเฉพาะของเมทรกซ A และเรยก det(A− λIn) ซงเปนพหนามทมดกร n วาพหนามลกษณะเฉพาะ (characteristic polynomial) ของเมทรกซ A

ตอไปเรากำหนดให

Aλ = Nul (A− λIn) = {x ∈ Rn : (A− λIn)x = 0n}

เพราะฉะนน ถา λ เปนคาเฉพาะของเมทรกซ A แลว Aλ เปนปรภมยอยของ Rn ซงประกอบดวย 0n และเวกเตอรเฉพาะของ A ทงหมดซงสมนยกบ λ เรยกวาปรภมเฉพาะของเมทรกซ A ซงสมนยกบ λ (eigenspace of A corre-sponding to λ) สงเกตวา ถา λ ไมเปนคาเฉพาะของเมทรกซ A แลว Aλ = {0n}


[3 2

3 8

]จงหาสมการลกษณะเฉพาะ คาเฉพาะ และฐานหลกสำหรบปรภมเฉพาะ

ซงสมนยกบแตละคาเฉพาะทหาได


det(A− λI2) =

∣∣∣∣∣3− λ 2

3 8− λ

∣∣∣∣∣ = (3− λ)(8− λ)− 6 = λ2 − 11λ+ 18

ดงนน สมการลกษณะเฉพาะของ A คอ λ2 − 11λ+ 18 = 0

เพราะวา λ2 − 11λ+ 18 = (λ− 2)(λ− 9) ทำใหไดวาคาเฉพาะของ A คอ λ = 2, 9


ตอมา เราจะหาปรภมเฉพาะซงสมนยกบคาเฉพาะแตละคาโดยใชวธทไดศกษาไวแลวในหวขอ 2.2 ดงนλ = 2 เราได

A− 2I2 =

[3− 2 2

3 8− 2

]=

[1 2

3 3

]∼

[1 2

0 0

]

ดงนน x1 + 2x2 = 0 ทำใหไดวา x1 = −2x2


[x1x2

]=

[−2x2x2

]= x2

[−2

1

]

ทำใหไดวา A2 = Nul (A− 2I2) = Span

{[−2

1

]}และมฐานหลกเปน

{[−2

1

]}λ = 4 เราได

A− 4I2 =

[3− 9 2

3 8− 9

]=

[−6 2

3 −1

]∼

[1 −1

3

0 0

]

ดงนน x1 − 13x2 = 0 ทำใหไดวา x1 = 1

3x2


[x1x2

]=

[13x2x2

]= x2

[13

1

]

ทำใหไดวา A4 = Nul (A− 4I2) = Span

{[13

1


{[13

1

]}�

หมายเหต สำหรบ λ = 4 เราอาจใช x1 เปนตวแปรเสรเพอหลกเลยงเศษสวนโดยเขยน x2 = 3x1 ทำใหไดวา x =

[x1x2

]=

[x13x1

]= x1

[1

3

]

ดงนน A4 = Nul (A− 4I2) = Span

{[1

3


{[1

3

]}

ตวอยาง 3.2.3 จงหาสมการลกษณะเฉพาะ คาเฉพาะ และฐานหลกสำหรบปรภมเฉพาะของเมทรกซ A ซงสมนยกบแตละคาเฉพาะทหาได เมอกำหนดให

(ก) A =

5 −6 −6

−1 4 2

3 −6 −4


det(A− λI3) =

∣∣∣∣∣∣∣5− λ −6 −6

−1 4− λ 2

3 −6 −4− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + 5λ2 − 8λ+ 4

ดงนน สมการลกษณะเฉพาะของ A คอ −λ3 + 5λ2 − 8λ+ 4 = 0

เพราะวา −λ3 + 5λ2 − 8λ+ 4 = −(λ− 1)(λ− 2)2 ทำใหไดวาคาเฉพาะของ A คอ λ = 1, 2, 2

ตอมา เราจะหาปรภมเฉพาะซงสมนยกบคาเฉพาะแตละคาดงน


λ = 1 เราได

A− I3 =

5− 1 −6 −6

−1 4− 1 2

3 −6 −4− 1

=

4 −6 −6

−1 3 2

3 −6 −5

ซงใชการดำเนนการแถวลดรปใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

∼

1 0 −1

0 1 13

0 0 0

ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 − x3 = 0

x2 + 13x3 = 0

ทำใหไดวา x1 = x3 และ x2 = −13x3


x1x2x3

=

x3−1

3x3x3

= x3

1

−13

1

ดงนน A1 = Nul (A− I3) = Span

1

−13

1

= Span

3

−1

3

และมฐานหลกฐานหนงเปน

3

−1

3


A− 2I3 =

5− 2 −6 −6

−1 4− 2 2

3 −6 −4− 2

=

3 −6 −6

−1 2 2

3 −6 −6


∼

1 −2 −2

0 0 0

0 0 0

ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 − 2x2 − 2x3 = 0

ทำใหไดวา x1 = 2x2 + 2x3


x1x2x3

=

2x2 + 2x3x2x3

= x2

210

+ x3

201


210

,

201


210

,

201

�

(ข)

3 1 −1

2 2 −1

2 2 0



det(A− λI3) =

∣∣∣∣∣∣∣3− λ 1 −1

2 2− λ −1

2 2 0− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + 5λ2 − 8λ+ 4

ดงนน สมการลกษณะเฉพาะของ A คอ −λ3 + 5λ2 − 8λ+ 4 = 0

เพราะวา −λ3 + 5λ2 − 8λ+ 4 = −(λ− 1)(λ− 2)2 ทำใหไดวาคาเฉพาะของ A คอ λ = 1, 2, 2

ตอมา เราจะหาปรภมเฉพาะซงสมนยกบคาเฉพาะแตละคาดงนλ = 1 เราได

A− I3 =

3− 1 1 −1

2 2− 1 −1

2 2 0− 1

=

2 1 −1

2 1 −1

2 2 −1


∼

1 0 −12

0 1 0

0 0 0

ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 − 12x3 = 0

x2 = 0

ทำใหไดวา x1 =12x3 และ x2 = 0


x1x2x3

=

12x30

x3

= x3

12

0

1

ดงนน A1 = Nul (A− I3) = Span

1

2

0

1

= Span

102


102


A− 2I3 =

3− 2 1 −1

2 2− 2 −1

2 2 0− 2

=

1 1 −1

2 0 −1

2 2 −2


∼

1 0 12

0 1 −12

0 0 0

ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 + 12x3 = 0

x2 − 12x3 = 0

ทำใหไดวา x1 = −12x3 และ x2 =

12x3


x1x2x3

=

−12x3

12x3x3

= x3

−12

12

1



−1

212

1

= Span

−1

1

2


−1

1

2

�

เราสงเกตความสมพนธระหวางเวกเตอรเฉพาะของเมทรกซ A ซงสมนยกบคาเฉพาะทตาง ๆ กน ดงน

ทฤษฎบท 3.2.1 ถา v1, v2, . . . , vr เปนเวกเตอรเฉพาะซงสมนยกบคาเฉพาะ λ1, λ2, . . . , λr ทแตกตางกนของเมทรกซ A แลวเซต {v1, v2, . . . , vr} เปนเซตอสระเชงเสน

สำหรบเมทรกซจตรส A และ B ขนาด n เรากลาววาเมทรกซ A คลาย (similar) กบเมทรกซ B ถามเมทรกซไมเอกฐาน P ขนาด n ททำให B = P−1AP สงเกตวาถาเมทรกซ A คลายกบเมทรกซ B แลว detA = detB และ

det(B − λIn) = det(P−1AP − λP−1InP ) = det(P−1(A− λIn)P ) = det(A− λIn)


ทฤษฎบท 3.2.2 ถา A และ B เปนเมทรกซจตรสขนาด n ซงคลายกนแลว A และ B มพหนามลกษณะเฉพาะเหมอนกน ดงนน A และ B มคาเฉพาะชดเดยวกน

เราไดขอสงเกตทสำคญจากตวอยาง 3.2.3 วา เมทรกซทมพหนามลกษณะเฉพาะเดยวกนไมจำเปนตองคลายกน

3.2.2 การแปลงเปนทแยงมม

ให A เปนเมทรกซจตรสขนาด n เราจะศกษาวาเมอใดเมทรกซ A จะคลายกบเมทรกซทแยงมม D

นนคอมเมทรกซไมเอกฐาน P ขนาด n ซง A = PDP−1 สงผลให

Ak = (PDP−1)(PDP−1) . . . (PDP−1) = PDkP−1

โดยสำหรบเมทรกซทแยงมม

D =

d11 0 . . . 0

0 d22 . . . 0...

... . . . ...0 0 . . . dnn

เราไดวา

Dk =

dk11 0 . . . 0

0 dk22 . . . 0...

... . . . ...0 0 . . . dknn


ดงนน

Ak = P

dk11 0 . . . 0

0 dk22 . . . 0...

... . . . ...0 0 . . . dknn

P−1

สำหรบทก ๆ จำนวนเตมบวก k ทำใหเราสามารถคำนวณคาของ Ak ไดอยางรวดเรวเมทรกซจตรสA สามารถแปลงเปนทแยงมมได (diagonalizable) กตอเมอเมทรกซA คลายกบเมทรกซทแยงมม

สงเกตวาหากเมทรกซ A มต n × n คลายกบเมทรกซทแยงมม D =

λ1

λ2

. . .λn

จะไดวามเมทรกซไม

เอกฐาน P =[v1 v2 . . . vn

]ททำให AP = PD ดงนน

A[v1 v2 . . . vn

]=[v1 v2 . . . vn

]λ1

λ2

. . .λn

[Av1 Av2 . . . Avn

]=[λ1v1 λ2v2 . . . λnvn

]เพราะฉะนน Avi = λivi นนคอ แตละหลก vi ของ P เปนเวกเตอรเฉพาะทสมนยกบคาเฉพาะ λi สำหรบทก i ∈{1, 2, . . . , n} และเนองจาก P เปนเมทรกซไมเอกฐาน จงไดดวยวาเวกเตอรเฉพาะในหลกของเมทรกซ P นนตองเปนอสระเชงเสน

เราไดเกณฑการตรวจสอบการแปลงเปนเมทรกซทแยงมมไดและวธการหาเมทรกซทแยงมม D และเมทรกซไมเอกฐาน P โดยอาศยคาเฉพาะและเวกเตอรเฉพาะ ดงน

ทฤษฎบท 3.2.3 [ทฤษฎบทการแปลงเปนทแยงมม (Diagonalization Theorem)]เมทรกซจตรสA ขนาด n สามารถแปลงเปนเมทรกซทแยงมมได นนคอมเมทรกซไมเอกฐานP และเมทรกซทแยงมมD ซง A = PDP−1 กตอเมอ เมทรกซ A มเวกเตอรเฉพาะซงเปนอสระเชงเสน n ตว โดยเราไดวาหลกของเมทรกซP คอ เวกเตอรเฉพาะซงเปนอสระเชงเสน n ตวน และสมาชกทแยงมมของเมทรกซ D คอคาเฉพาะของเมทรกซ Aทสมนยตามลำดบกบเวกเตอรเฉพาะในเมทรกซ P

ตวอยาง 3.2.4 จงแปลงเมทรกซ A =

[7 2

−4 1

]เปนเมทรกซทแยงมม นนคอ จงหาเมทรกซไมเอกฐาน P และเม

ทรกซทแยงมม D ททำให A = PDP−1 พรอมทงหาสตรสำหรบ Ak สำหรบทก ๆ จำนวนเตมบวก k


det(A− λI2) =

∣∣∣∣∣7− λ 2

−4 1− λ

∣∣∣∣∣ = (7− λ)(1− λ) + 8 = λ2 − 8λ+ 15

ดงนน สมการลกษณะเฉพาะของ A คอ λ2 − 8λ+ 15 = (λ− 3)(λ− 5) = 0

ทำใหไดวาคาเฉพาะของ A คอ λ = 3, 5



A− 3I2 =

[7− 3 2

−4 1− 3

]=

[4 2

−4 −2

]


∼

[1 1

2

0 0

]ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 +

12x2 = 0 ทำใหไดวา x1 = −1

2x2


[x1x2

]=

[−1

2x2x2

]= x2

[−1

2

1

]


{[−1

2

1

]}= Span

{[−1

2

]}

และมฐานหลกฐานหนงเปน{[

−1

2


A− 5I2 =

[7− 5 2

−4 1− 5

]=

[2 2

−4 −4

]


∼

[1 1

0 0

]ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 + x2 = 0 ทำใหไดวา x1 = −x2


[x1x2

]=

[−x2x2

]= x2

[−1

1

]


{[−1

1

]}และมฐานหลกฐานหนงเปน

{[−1

1

]}

เพราะฉะนนโดยทฤษฎบท 3.2.3 เราไดวา D =

[3 0

0 5

]และ P =

[−1 −1

2 1

]

เพราะวา P−1 =

[1 1

−2 −1

]และทำใหเราได

A = PDP−1 =

[−1 −1

2 1

][3 0

0 5

][1 1

−2 −1

]

ดงนน

Ak =

[−1 −1

2 1

][3 0

0 5

]k [1 1

−2 −1

]=

[−1 −1

2 1

][3k 0

0 5k

][1 1

−2 −1

]=

[−3k + 2 · 5k −3k + 5k

2 · 3k − 2 · 5k 2 · 3k − 5k

]

สำหรบทก ๆ จำนวนเตมบวก k �


โดยทฤษฎบท 3.2.1 และทฤษฎบท 3.2.3 เราได

บทแทรก 3.2.4 ถา A เปนเมทรกซจตรสขนาด n ซงมคาเฉพาะแตกตางกน n คาแลว A สามารถแปลงเปนทแยงมมได

ในกรณทคาเฉพาะของเมทรกซ A มคาไมแตกตางกนทงหมด นนคอ สมการลกษณะเฉพาะของ A มรากบางรากซำกน เราสามารถแสดงไดวา

ทฤษฎบท 3.2.5 ให A เปนเมทรกซจตรสขนาด n ซงมคาเฉพาะทแตกตางกน คอ λ1, λ2, . . . , λp

1. มตของปรภมเฉพาะซงสมนยกบคาเฉพาะ λk มคานอยกวาหรอเทากบจำนวนการซำกนของคาเฉพาะ λk

สำหรบทก k = 1, 2, . . . , p นนคอ nullity (A − λkIn) ≤ จำนวนการซำกนของ λk สำหรบทก k =

1, 2, . . . , p

2. เมทรกซ A สามารถแปลงเปนทแยงมมไดกตอเมอ ผลรวมของมตของปรภมเฉพาะทงหมดของเมทรกซ A มคาเทากบ n

กตอเมอ nullity (A− λkIn) มคาเทากบจำนวนการซำกนของ λk สำหรบทก k = 1, 2, . . . , p

3. ถา A สามารถแปลงเปนทแยงมมไดและ Bk เปนฐานหลกสำหรบปรภมเฉพาะซงสมนยกบคาเฉพาะ λk

สำหรบทก k = 1, 2, . . . , p แลว B = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bp เปนฐานหลกสำหรบ Rn

ตวอยาง 3.2.5 จงพจารณาวาเมทรกซในตวอยาง 3.2.3 สามารถแปลงเปนทแยงมมไดหรอไม เพราะเหตใด

(ก) A =

5 −6 −6

−1 4 2

3 −6 −4

วธทำ จากตวอยาง 3.2.3 (ก) เราไดวา

คาเฉพาะ ปรภมเฉพาะ มตของปรภมเฉพาะ

λ = 1 Span

3

−1

3

1

λ = 2, 2 Span

210

,

201

2

โดยทฤษฎบท 3.2.5 เราสรปไดวา A สามารถแปลงเปนทแยงมมได

และเราม A = PDP−1 โดยท D =

1 0 0

0 2 0

0 0 2

และ P =

3 2 2

−1 1 0

3 0 1

�

(ข) A =

3 1 −1

2 2 −1

2 2 0

วธทำ จากตวอยาง 3.2.3 (ข) เราไดวา


คาเฉพาะ ปรภมเฉพาะ มตของปรภมเฉพาะ

λ = 1 Span

102

1

λ = 2, 2 Span

−1

1

2

1

ดงนนการซำกนของคาเฉพาะ 2 มคามากกวามตของปรภมเฉพาะเพราะฉะนน โดยทฤษฎบท 3.2.5 เราไดวา A ไมสามารถแปลงเปนทแยงมมได �

เราอาจสรปขนตอนการแปลงเมทรกซจตรส A ใหเปนเมทรกซทแยงมมไดดงน

1. หาสมการลกษณะเฉพาะ det(A− λI) = 0 และคำนวณคาเฉพาะ λ ซงอาจมคาซำกน

2. หาฐานหลกและมตสำหรบปรภมเฉพาะทสมนยกบคาเฉพาะตาง ๆ

3. ตรวจสอบจากทฤษฎบท 3.2.5 วา A สามารถแปลงเปนทแยงมมไดหรอไม

4. หาก A สามารถแปลงเปนทแยงมมได (นนคอมเวกเตอรเฉพาะเพยงพอทจะสรางเมทรกซ P ใหเปนเมทรกซไมเอกฐานได) เขยนเมทรกซทแยงมม D จากคาเฉพาะ และ P จากเวกเตอรเฉพาะทสมนยกน และเราจะไดวา P−1AP = D

ให T : Rn → Rn เปนการแปลงเชงเสน เรากลาววา T สามารถแปลงเปนทแยงมมได ถามฐานหลก B′ ของ Rn

ซงเมทรกซ [T ]B′ เปนเมทรกซทแยงมมเราอาจตรวจสอบวาการแปลงเชงเสนทกำหนดใหสามารถแปลงเปนทแยงมมไดหรอไม จากทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 3.2.6 ให T : Rn → Rn เปนการแปลงเชงเสนและ A เปนเมทรกซมาตรฐานสำหรบ T จะไดวา T

สามารถแปลงเปนทแยงมมได กตอเมอA สามารถแปลงเปนทแยงมมได นนคอมเมทรกซไมเอกฐานP และมเมทรกซทแยงมม D ซง A = PDP−1 ยงกวานนฐานหลก B′ ทสรางจากหลกของเมทรกซ P ทำให [T ]B′ = D

ตวอยาง 3.2.6 ให T : R2 → R2 เปนการแปลงเชงเสนกำหนดโดย

T (x1, x2) = (7x1 + 2x2,−4x1 + x2)

สำหรบทก ๆ (x1, x2) ∈ R2 จงหาฐานหลก B′ สำหรบ R2 ซงทำให [T ]B′ เปนเมทรกซทแยงมม (ถาม)


T

([x1x2

])=

[7x1 + 2x2−4x1 + x2

]= x1

[7

−4

]+ x2

[2

1

]=

[7 2

−4 1

][x1x2

]

เพราะฉะนนเมทรกซมาตรฐานของ T คอ A =

[7 2

−4 1

]โดยตวอยาง 3.2.4 เราไดวา A มคาเฉพาะเปน 3 และ 5


และมฐานหลกสำหรบปรภมเฉพาะเปน[−1

2

]และ

[−1

1

]ตามลำดบ

ดงนน โดยทฤษฎบท 3.2.6 ไดวา B′ =

{[−1

2

],

[−1

1

]}ทำให [T ]B′ =

[3 0

0 5

]เปนเมทรกซทแยงมม �


[4 −9

4 −8

]และ T : R2 → R2 เปนการแปลงเมทรกซ กำหนดโดย T (x) = Ax สำหรบ

ทก ๆ x ∈ R2 จงหาฐานหลก B′ สำหรบ R2 ซงทำให [T ]B′ เปนเมทรกซทแยงมม (ถาม)


det(A− λI2) =

∣∣∣∣∣4− λ −9

4 −8− λ

∣∣∣∣∣ = (4− λ)(−8− λ) + 36 = λ2 − 4λ+ 4

ดงนน สมการลกษณะเฉพาะของ A คอ λ2 − 4λ+ 4 = (λ− 2)2 = 0

ทำใหไดวาคาเฉพาะของ A คอ λ = −2,−2

ตอมา เราจะหาปรภมเฉพาะซงสมนยกบ λ = −2 ดงนเราได

A+ 2I2 =

[4 + 2 −9

4 −8 + 2

]=

[6 −9

4 −6

]


∼

[1 −3

2

0 0

]ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 − 3

2x2 = 0

ทำใหไดวา x1 = 32x2 เพราะฉะนน x =

[x1x2

]=

[32x2x2

]= x2

[32

1

]

ดงนน A−2 = Nul (A+ 2I2) = Span

{[32

1

]}= Span

{[3

2

]}เพราะฉะนน nullity (A+ 2I) = 1 นอยกวาการซำกนของ λ = −2

ทำใหไดโดยทฤษฎบท 3.2.5 วา A ไมสามารถแปลงเปนทแยงมมได �


1. จงตอบคำถามตอไปน(ก) λ = 2 เปนคาเฉพาะของ

[3 8

3 2

]หรอไม เพราะเหตใด

(ข) λ = −2 เปนคาเฉพาะของ[7 3

3 −1

]หรอไม เพราะเหตใด

2. จงตอบคำถามตอไปน(ก) เวกเตอร

[1

4

]เปนเวกเตอรเฉพาะของ

[−3 1

−3 5

]หรอไม

ถาเปนจงหาคาเฉพาะซงสมนยกบเวกเตอรน


(ข) เวกเตอร 1

−2

1

เปนเวกเตอรเฉพาะของ3 6 7

3 3 7

5 6 5

หรอไม

ถาเปนจงหาคาเฉพาะซงสมนยกบเวกเตอรน3. จงหาฐานหลกสำหรบปรภมเฉพาะของเมทรกซ A ซงสมนยกบคาเฉพาะทกำหนดให

(ก) A =

[10 −9

4 −2

], λ = 4 (ข) A =

[4 −2

−3 9

], λ = 10

(ค) A =

1 0 −1

1 −3 0

4 −13 1

, λ = −2 (ง) A =

4 2 3

−1 1 −3

2 4 9

, λ = 3

(จ) A =

2 0 0 0

0 2 0 0

1 1 −3 0

0 0 3 −3

, λ = −3 (ฉ) A =

3 0 2 0

1 3 1 0

0 1 1 0

0 0 0 4

, λ = 4

4. สำหรบเมทรกซจตรส A ทกำหนดใหตอไปน จงหาสมการลกษณะเฉพาะ คาเฉพาะ ฐานหลกสำหรบปรภมเฉพาะซงสมนยกบแตละคาเฉพาะ พรอมทงพจารณาวา A สามารถแปลงเปนเมทรกซทแยงมมไดหรอไม ถาได จงเมทรกซไมเอกฐาน P

และเมทรกซทแยงมม D ซงทำให A = PDP−1

(ก) A =

[2 2

2 −1

](ข) A =

[14 16

−9 −10

](ค) A =

[−2 5

4 6

](ง) A =

[5 4

−1 1

]

(จ) A =

2 1 0

6 1 −1

0 0 1

(ฉ) A =

2 0 0

1 −1 2

−1 0 1

(ช) A =

2 0 6

0 3 1

0 0 3

(ซ) A =

0 0 −1

1 1 1

2 0 3

(ฌ) A =

2 3 −2

2 3 0

6 −6 7

(ญ) A =

2 −6 −6

−1 1 2

3 −6 −7

(ฎ) A =

4 −7 0 2

0 3 −4 6

0 0 3 −8

0 0 0 1

(ฏ) A =

3 0 0 0

0 3 0 0

0 0 2 0

1 0 0 2

(ฐ) A =

3 0 0 0 0

−5 1 0 0 0

3 8 0 0 0

0 −7 2 1 0

−4 1 9 −2 3

5. สำหรบเมทรกซ A ทกำหนดใหตอไปน จงหาฐานหลก B′ สำหรบ R2 ซงทำให [T ]B′ เปนเมทรกซทแยงมม

(ถาม) เมอ T : x 7→ Ax

(ก) A =

[−5 4

−2 1

](ข) A =

[0 1

−3 4

](ค) A =

[4 −2

−1 3

](ง) A =

[1 1

−1 3

]


5 −2 6 −1

0 3 h 0

0 0 5 4

0 0 0 2

จงหาคาของ h ททำใหปรภมเฉพาะซงสมนยกบคาเฉพาะ λ = 5

(ก) มมตเทากบ 1 (ข) มมตเทากบ 2

7. กำหนดให A เปนเมทรกซมต 4× 4 ซงมคาเฉพาะเปน λ = 2, 2, 1,−1 ถา nullity (A− 2I4) = 2

แลว A สามารถแปลงเปนทแยงมมไดหรอไม เพราะเหตใด8. จงแสดงวา ถาเมทรกซ A คลายกบเมทรกซ B แลว AT คลายกบเมทรกซ BT

3.3 ระบบสมการเชงอนพนธ (เพมเตม) 83

9. จงพสจนวา ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐานซงสามารถแปลงเปนทแยงมมได แลว A−1 สามารถแปลงเปนทแยงมมได

10. จงแสดงวา A เปนเมทรกซเอกฐาน กตอเมอ 0 เปนคาเฉพาะของเมทรกซ A

11. จงยกตวอยางเมทรกซ A และ B มต 2× 2 ซงมคาเฉพาะชดเดยวกน แตเมทรกซ A ไมคลายกบเมทรกซ B

12. สำหรบเมทรกซจตรส A = [aij ]n×n เรยกผลบวกของสมาชกทแยงมม a11 + a22 + · · · + ann วารอย (trace) ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย trA จงแสดงวา

(ก) tr (AB) = tr (BA) สำหรบทก ๆ เมทรกซจตรส A และ B ขนาด n

(ข) ถาเมทรกซ A คลายกบเมทรกซ B แลว trA = trB

(ค) ถา A =

[a b

c d

]แลวพหนามลกษณะเฉพาะของ A คอ λ2 − (trA)λ+ detA

3.3 ระบบสมการเชงอนพนธ (เพมเตม)

เราอาจหาผลเฉลยของระบบสมการเชงอนพนธในรป

x′1 = a11x1 + a12x2x′2 = a21x1 + a22x2

(3.3.1)

เมอ x′1 =dx1dt

และ x′2 =dx2dt

ไดโดยเขยนในรปสมการเมทรกซ

[x′1x′2

]=

[a11 a12a21 a22

][x1x2

]หรอ x′ = Ax

และเลยนแบบการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอนดบหนง dx

dt= ax ซงมผลเฉลยทวไปเปน x = Ceat ดงนนเรา

คาดวาผลเฉลยทวไปของระบบสมการ (3.3.1) อยในรป x = eAtC เมอ C =

[c1c2

]และสำหรบเมทรกซจตรสM และ

จำนวนจรง t เราจะนยาม eMt จากการเลยนแบบการคำนวณคา et จากอนกรมกำลง โดย

eMt =

∞∑k=0

(Mt)k

k!=

∞∑k=0

Mktk

k!= I +Mt+

M2t2

2!+

M3t3

3!+ · · ·

และอนพนธของเมทรกซ eMt กคออนพนธของแตละสมาชกของเมทรกซ ซงทำใหเราพบวา (eMt)′ = MeMt เพราะฉะนน เราไดวาผลเฉลยทวไปของระบบสมการ (3.3.1) คอ

x = eAtC

ในการคำนวณ eAt สงเกตวา เราตองหา Ak สำหรบทกจำนวนเตมบวก k ดงนน ถา A สามารถแปลงเปนเมทรกซทแยงมมได เราจะหาเมทรกซไมเอกฐาน P และเมทรกซทแยงมม D =

[d1 0

0 d2

]ซง A = PDP−1



eAt =∞∑k=0

(At)k

k!=

∞∑k=0

(PDP−1t)k

k!=

∞∑k=0

P (Dt)kP−1

k!

= P

∞∑k=0

(Dt)k

k!P−1 = P

∞∑k=0

(d1t)k

k!0

0

∞∑k=0

(d2t)k

k!

P−1

= P

[ed1t 0

0 ed2t

]P−1

ดงนน ผลเฉลยทวไปของระบบสมการเชงอนพนธ (3.3.1) คอ[x1x2

]= P

[ed1t 0

0 ed2t

]P−1

[c1c2

]

เมอ c1 และ c2 เปนจำนวนจรง

ตวอยาง 3.3.1 จงหาผลเฉลยทวไปของระบบสมการเชงอนพนธ

x′1 = x1 − x2x′2 = 2x1 + 4x2

วธทำ เราเขยนระบบสมการทกำหนดใหไดเปน[x′1x′2

]=

[1 −1

2 4

][x1x2

]

ดงนนสมการลกษณะเฉพาะของ A คอ

0 =

∣∣∣∣∣1− λ −1

2 4− λ

∣∣∣∣∣ = (1− λ)(4− λ) + 2 = λ2 − 5λ+ 6 = (λ− 2)(λ− 3)

ทำใหไดวาคาเฉพาะของ A คอ λ = 2, 3


A− 2I2 =

[1− 2 −1

2 4− 2

]=

[−1 −1

2 2

]


∼

[1 1

0 0

]ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 + x2 = 0 ทำใหไดวา x1 = −x2



[x1x2

]=

[−x2x2

]= x2

[−1

1

]


{[−1

1


{[−1

1


A− 3I2 =

[1− 3 −1

2 4− 3

]=

[−2 −1

2 1

]


∼

[1 1

2

0 0

]ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 +

12x2 = 0 ทำใหไดวา x1 = −1

2x2


[x1x2

]=

[−1

2x2x2

]= x2

[−1

2

1

]


{[−1

2

1

]}= Span

{[−1

2

]}

และมฐานหลกฐานหนงเปน{[

−1

2

]}

เพราะฉะนนโดยทฤษฎบท 3.2.3 เราไดวา D =

[2 0

0 3

]และ P =

[−1 −1

1 2

]ดงนน ผลเฉลยทวไปของระบบสมการเชงอนพนธทกำหนดใหคอ[

x1x2

]= P

[e2t 0

0 e3t

]P−1

[c1c2

]

เมอ c1 และ c2 เปนจำนวนจรง �

หมายเหต สงเกตวา หากคณเมทรกซทางขวามอเราอาจเขยนผลเฉลยทวไปของระบบสมการเชงอนพนธไดในรป[x1x2

]= C1e

2t

[−1

1

]+ C2e

3t

[−1

2

]เมอ C1 และ C2 เปนจำนวนจรง

ในกรณทวไปเราไดวา

ทฤษฎบท 3.3.1 สำหรบระบบสมการเชงอนพนธในรป x′ = Ax เมอ A เปนเมทรกซจตรสขนาด n ซงสามารถแปลงเปนทแยงมมได ถา vi เปนเวกเตอรเฉพาะทสมนยกบคาเฉพาะ λi, i = 1, 2, . . . , n และP =

[v1 v2 . . . vn

]เปนเมทรกซไมเอกฐานซง P−1AP เปนเมทรกซทแยงมมแลวจะไดวาผลเฉลยของ

ระบบสมการเชงอนพนธนอยในรป

x = C1eλ1tv1 + C2e

λ2tv2 + · · ·+ Cneλntvn

เมอ C1, C2, . . . , Cn เปนจำนวนจรง


ตวอยาง 3.3.2 จงหาผลเฉลยเฉพาะของระบบสมการเชงอนพนธ

x′1 = 5x1 − 6x2 − 6x3x′2 = −x1 + 4x2 + 2x3x′3 = 3x1 − 6x2 − 4x3

เมอ x1(0) = 4, x2(0) = 2 และ x3(0) = −1

วธทำ เราเขยนระบบสมการทกำหนดใหไดเปนx′1x′2x3

=

5 −6 −6

−1 4 2

3 −6 −4

x1x2x3

โดยตวอยาง 3.2.5 เราไดวา D =

1 0 0

0 2 0

0 0 2

และ P =

3 2 2

−1 1 0

3 0 1

ดงนน ผลเฉลยทวไปของระบบสมการเชงอนพนธทกำหนดใหคอx1x2

x3

= C1et

3

−1

3

+ C2e2t

210

+ C3e2t

201

เมอ C1, C2 และ C3 เปนจำนวนจรงจากเงอนไขทโจทยกำหนดให เราอาจหา C1, C2 และ C3 โดยการแทนคา t = 0 ในผลเฉลยทวไป ทำใหไดวา 4

2

−1

= C1

3

−1

3

+ C2

210

+ C3

201

ซงเราหาผลเฉลยของระบบเชงเสนนไดเปน C1 = −2, C2 = 0 และ C3 = 5

เพราะฉะนน ผลเฉลยเฉพาะของระบบสมการเชงอนพนธนคอx1x2x3

= −2et

3

−1

3

+ 5e2t

201



1. จงหาผลเฉลยทวไปของระบบสมการเชงอนพนธตอไปน(ก){x′1 = x1 − x2

x′2 = −4x1 + 4x2

(ข){x′1 = 3x1 + x2

x′2 = −2x1 − x2

(ค)

x′1 = x1 − x2 − x3

x′2 = x2 + 3x3

x′3 = 3x2 + x3

(ง)x′1 = 4x1

x′2 = 3x1 − 5x2

x′3 = 2x1 + x2 + 2x3


2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของระบบสมการเชงอนพนธตอไปน

(ก)

x′1 = x1 − 3x2 + 2x3

x′2 = − x2

x′3 = − x2 − 2x3

เมอ x1(0) = −3, x2(0) = 0 และ x3(0) = 3

(ข)

x′1 = x1

x′2 = − 2x2 + x3

x′3 = x3

เมอ x1(0) = 2, x2(0) = 7 และ x3(0) = 15


คำตอบแบบฝกหด 3.1 1.(ก)[7

5

], (ข)

[- 311

- 1311

], (ค)

[2

3

], (ง)

[ 74

- 54

]; 2.(P =

1 0 13

−2 1 −1

0 0 13

, [v]B′ =

101

);3.( P

B→C=

[4 −6

−1 1

], [x]C =

[6

−2

]); 4.( P

C→B=

- 14

- 38

98

14

38

- 18

- 12

- 14

34

= P−1

B→C, [w1 − 2w2 + 2w3]B =

114

- 3432

);

5.[2 −4 0

−1 1 −1

]; 6.(ก)

[2 −3

3 −8

], (ข)

[3 4

−2 - 172

]; 7.(ก)

[−2 1

−5 3

], (ข)

[3 2

4 3

], (ค)

[1 2

4 9

];

8.[2 −4 5

0 −1 3

]; 9.3v1 − 3v2 + 4v3; 10.[T ]B =

17 7 −1

−42 −17 1

−11 −5 2

, [x]B =

7

−18

−3

, [T (x)]B =

−4

9

7

;

11.[T ]B =

−1 −5 −3 −1

0 9 5 1

−4 −22 −14 −4

7 39 24 7

, [x]B =

−2

1

−2

8

, [T (x)]B =

−5

7

−18

33

;

12.([T ]B1 =

4 6 −4

−1 −5 5

−2 −3 1

, [T ]B2 =

− 83

− 73

−2

− 113

− 133

−7

5 4 7

), ( PB2→B1

=

2 −2 0

−1 4 3

0 3 2

,

[x]B1 =

111

, [x]B2 =

0.500.5

, [T (x)]B1 =

6

−1

−4

, [T (x)]B2 =

- 73

- 1636

, [T ]B2B1

= P−1[T ]B1 )

คำตอบแบบฝกหด 3.2 1.(ก)ไม, (ข)เปน; 2.(ก)ไม , (ข)เปน/λ = −2;

3.(ก){[

3

2

]}, (ข)

{[−1

3

]}, (ค)

113

, (ง)−2

1

0

,

−3

0

1

, (จ)

0

0

0

1

, (ฉ)

2

3

1

0

,

0

0

0

1

;

4.(ก)(λ2 − λ− 6 = 0, λ = 3, v1 =

[2

1

], λ = −2, v2 =

[1

−2

])/P =

[2 1

1 −2

]/D =

[3 0

0 −2

],

(ข)(λ2 − 4λ+ 4 = 0, λ = 2, v =

[−4

3

])ไมสามารถแปลงเปนทแยงมมได,

(ค)(λ2 − 4λ− 32 = 0, λ = −4, v1 =

[−5

2

], λ = 8, v2 =

[1

2

])/P =

[−5 1

2 2

]/D =

[−4 0

0 8

],

(ง)(λ2 − 6λ+ 9 = 0, λ = 3, v =

[−2

1

])ไมสามารถแปลงเปนทแยงมมได,

ขอ (จ) ถง (ฉ) ถาสามารถแปลงเปนทแยงมมไดใหเขยน P และD ดวยตนเอง*

(จ)(λ3 − 4λ2 − λ+ 4 = 0, λ = 4, v1 =

120

, λ = −1, v2 =

1

−3

0

, λ = 1, v3 =

−1

1

−6

),(ฉ)((λ− 2)(λ− 1)(λ+ 1) = 0, λ = 2, v1 =

−3

1

3

, λ = −1, v2 =

010

, λ = 1, v3 =

0

−1

1

),(ช)((λ− 2)(λ− 3)2 = 0, λ = 3, v =

010

, λ = 2, v =

100

)ไมสามารถแปลงเปนทแยงมมได,(ซ)(λ3 − 4λ2 + 5λ− 2 = 0, λ = 2, v1 =

−1

1

2

, λ = 1, v2 =

−1

0

1

, v3 =

010

),(ฌ)(λ3 − 12λ2 + 47λ− 60 = 0, λ = 3, v1 =

023

, λ = 5, v2 =

110

, λ = 4, v3 =

122

),(ญ)(λ3 + 4λ2 + 5λ+ 2 = 0, λ = −1, v1 =

210

, v2 =

201

, λ = −2, v3 =

−3

1

−3

),

(ฎ)((λ− 4)(λ− 3)2(λ− 1) = 0, λ = 3, v =

7

1

0

0

, λ = 4, v =

1

0

0

0

, λ = 1, v =

11

5

4

1

) ไมสามารถแปลงเปนทแยงมมได,

(ฏ)((λ− 3)2(λ− 2)2 = 0, λ = 3, v1 =

1

0

0

1

, v2 =

0

1

0

0

, λ = 2, v3 =

0

0

0

1

, v4 =

0

0

1

0

),


(ฐ)((λ− 3)2(λ− 1)2λ = 0, λ = 1, v1 =

0

0

0

1

1

, λ = 3, v2 =

0

0

0

0

1

, λ = 0, v3 =

0

0

3

−6

−13

) ไมสามารถแปลงเปนทแยงมมได;

5.(ก)B = {[1

1

],

[2

1

]}, D =

[1 0

0 3

], (ข)B = {

[1

1

],

[1

3

]}, D =

[1 0

0 3

], (ค)B = {

[1

1

],

[−2

1

]}, D =

[2 0

0 5

],

(ง)λ = 2, 2, v =

[1

1

]ไมมฐานหลกททำให[T ]B เปนเมทรกซทแยงมม; 6.(ก)h = 6, (ข)h = 6

คำตอบแบบฝกหด 3.3 1.(ก)y = C1e5t[1

−4

]+ C2e0t

[1

1

], (ข)y = C1e(1+

√2)t

[1

−2 +√2

]+ C2e(1−

√2)t

[1

−2−√2

],

(ค)y = C1e4t

2

−3

−3

+ C2e−2t

0

1

−1

+ C3et

100

, (ง)y = C1e2t

001

+ C2e4t

627

+ C3e−5t

0

−7

1

;

2.(ก)(y = C1et

100

+ C2e−2t

2

0

−3

+ C3e−t

−5

−2

2

, C1 = −1, C2 = −1, C3 = 0),

(ข)(y = C1e−2t

010

+ C2et

100

+ C3et

013

, C1 = 2, C2 = 2, C3 = 5)

บทท 4เรขาคณตเชงเสนและฐานหลกเชงตงฉาก

4.1 ผลคณภายในและเซตเชงตงฉากให u และ v เปนเวกเตอรใน Rn เราเรยก uT v วาผลคณภายใน (inner product) หรอ ผลคณจด (dot product)ของเวกเตอร u และ v เขยนแทนดวย u · v นนคอ

u · v = uT v =[u1 u2 . . . un

]v1v2...vn

= u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn ∈ R

เราสามารถแสดงไดโดยงายวา

ทฤษฎบท 4.1.1 สำหรบเวกเตอร u, v และ w ใน Rn และจำนวนจรง c เราไดวา1. u · 0n = 0 2. u · v = v · u3. (u+ v) · w = u · w + v · w 4. (cu) · v = c(u · v) = u · (cv)5. u · u ≥ 0 และ u · u = 0 กตอเมอ u = 0

ความยาว (length) หรอนอรม (norm) ของเวกเตอร v = (v1, v2, . . . , vn) เขยนแทนดวย ∥v∥ กำหนดโดย

∥v∥ =√v · v =

√v21 + v22 + · · ·+ v2n

ดงนนv · v = ∥v∥2 และ ∥cv∥ = |c|∥v∥ สำหรบทก ๆ จำนวนจรง c

ถา x และ y เปนเวกเตอรใน Rn เราเรยก ∥x− y∥ วาระยะทาง (distance) ระหวางเวกเตอร x และ y สงเกตวาถา v = 0n แลวเวกเตอร v

∥v∥เปนเวกเตอรทมความยาวหนงหนวยในทศทางเดยวกบเวกเตอร v

ตวอยาง 4.1.1 ให v = (1, 0,−2, 2) ∈ R4 จงหาเวกเตอรหนงหนวยในทศทางเดยวกบเวกเตอร v และเวกเตอรสามหนวยในทศทางตรงขามกบเวกเตอร v

91

92 บทท 4 เรขาคณตเชงเสนและฐานหลกเชงตงฉาก

วธทำ เพราะวา ∥v∥ =√12 + 02 + (−2)2 + 22 =

√9 = 3

ดงนนเวกเตอรหนงหนวยในทศทางเดยวกบเวกเตอร v คอ 1

3

1

0

−2

2

=

13

0

−23

23

และเวกเตอร 3 หนวยในทศทางตรงขามกบเวกเตอร v คอ −3

3

1

0

−2

2

=

−1

0

2

−2

�

เรากลาววาเวกเตอร u และ v ใน Rn ตงฉากกน (orthogonal or perpendicular) กตอเมอ u · v = 0 และเรยกเซตของเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนย S = {u1, u2, . . . , up} ใน Rn วาเซตเชงตงฉาก (orthogonal set) ถาเวกเตอรทตางกนแตละคในเซต S ตงฉากกน นนคอ ui · uj = 0 สำหรบทก i = j เมอ i, j ∈ {1, 2, . . . , p}

ตวอยาง 4.1.2 เซต S =

1

−2

1

,

012

,

−5

−2

1

เปนเซตเชงตงฉากใน R3

สมบตทสำคญของเซตเชงตงฉากคอ

ทฤษฎบท 4.1.2 ถา S = {u1, u2, . . . , up} เปนเซตเชงตงฉากของเวกเตอรใน Rn ทไมใชเวกเตอรศนยแลว S

เปนเซตอสระเชงเสน ดงนน S เปนฐานหลกสำหรบปรภมยอย H = Span {u1, u2, . . . , up}

บทพสจน ให c1, c2, . . . , cp เปนจำนวนจรงใด ๆ ซงทำให c1u1 + c2u2 + · · ·+ cpup = 0

จะแสดงวา c1 = c2 = · · · = cp = 0

ให i ∈ {1, 2, . . . , p}เพราะวา uj · ui = 0 ทก j = i ดงนน

(c1u1 + c2u2 + · · ·+ cpup) · ui = 0 · uic1u1 · ui + · · ·+ ci−1ui−1 · ui + ciui · ui + ci+1ui+1 · ui + · · ·+ cpup · ui = 0

ci∥ui∥2 = 0

เนองจาก ui = 0 ดงนน ∥ui∥2 = 0 ทำใหไดวา ci = 0

{u1, u2, . . . , up} เปนเซตอสระเชงเสน �เราเรยกฐานหลก B สำหรบปรภมยอย H ของ Rn วาฐานหลกเชงตงฉาก (orthogonal basis) ถา B เปนเซตเชง

ตงฉาก สงเกตวา ฐานหลกมาตรฐานสำหรบ Rn เปนฐานหลกเชงตงฉาก

ตวอยาง 4.1.3 เซต S ในตวอยาง 4.1.2 เปนฐานหลกเชงตงฉากสำหรบ R3

ให {u1, u2, . . . , up} เปนฐานหลกเชงตงฉากสำหรบปรภมยอย H ของ Rn และ y ∈ H ดงนน จะมc1, c2, . . . , cp เปนจำนวนจรงซง

y = c1u1 + c2u2 + · · ·+ cpup

เราอาจหาแตละ ci โดยการหาผลคณภายใน y · u และใชสมมตฐานทวา uj · ui = 0 ทก j = i คลายในบทพสจนของทฤษฎบท 4.1.2 ทำใหเราได

y · ui = ciui · ui

4.1 ผลคณภายในและเซตเชงตงฉาก 93

เพราะฉะนนci =

y · uiui · ui

=y · ui∥ui∥2

สำหรบทก i ∈ {1, 2, . . . , p}

ซงสรปเปนทฤษฎบทไดเปน

ทฤษฎบท 4.1.3 ให {u1, u2, . . . , up} เปนฐานหลกเชงตงฉากสำหรบปรภมยอยH ของ Rn และ y ∈ H จะได

y =y · u1u1 · u1

u1 +y · u2u2 · u2

u2 + · · ·+ y · upup · up

up

=y · u1∥u1∥2

u1 +y · u2∥u2∥2

u2 + · · ·+ y · up∥up∥2

up

ตวอยาง 4.1.4 เนองจาก S =

u1 =

1

−2

1

, u2 =

012

, u3 =

−5

−2

1

เปนฐานหลกเชงตงฉากฐานหนง

สำหรบ R3 ดงนน สำหรบ y =

3

−1

1

เราไดวา

y =y · u1u1 · u1

u1 +y · u2u2 · u2

u2 +y · u3u3 · u3

u3

=3(1) + (−1)(−2) + 1(1)

12 + (−2)2 + 12u1 +

3(0) + (−1)1 + 1(2)

02 + 12 + 22u2 +

3(−5) + (−1)(−2) + 1(1)

(−5)2 + (−2)2 + 12u3

= u1 +15 u2 −

25 u3

เราเรยกเซตเชงตงฉากของเวกเตอรหนงหนวยวาเซตเชงตงฉากปรกต (orthonormal set) และกลาววาฐานหลกเชงตงฉาก B สำหรบปรภมยอย H ของ Rn เปนฐานหลกเชงตงฉากปรกต (orthonormal basis) ถา B เปนเซตเชงตงฉากปรกต

ตวอยาง 4.1.5 จากตวอยาง 4.1.2 เราไดวา

S′ =

1√6

1

−2

1

,1√5

012

,1√30

−5

−2

1

เปนฐานหลกเชงตงฉากปรกตของ R3

เราสงเกตวา

ทฤษฎบท 4.1.4 เซตของหลกของm× n เมทรกซ U เปนเซตเชงตงฉากปรกต กตอเมอ UTU = In

เนองจาก Ux · Uy = (Ux)TUy = xTUTUy = xT y = x · y จงไดบทแทรกตอไปน


บทแทรก 4.1.5 ให U เปนm× n เมทรกซซงเซตของหลกเปนเซตเชงตงฉากปรกต จะไดวา1. Ux · Uy = x · y2. ∥Ux∥ = ∥x∥3. Ux · Uy = 0 กตอเมอ x · y = 0

ถาเซตของหลกของเมทรกซจตรส U เปนเซตเชงตงฉาก [เชงตงฉากปรกต] เราเรยกเมทรกซ U วา เมทรกซเชงตงฉาก (orthogonal matrix) [เมทรกซเชงตงฉากปรกต (orthonormal matrix)] ซงโดยทฤษฎบท 4.1.4 เราไดวาU เปนเมทรกซเชงตงฉากปรกต กตอเมอ U หาเมทรกซผกผนไดและ U−1 = UT

ตวอยาง 4.1.6 สงเกตวา U =

1/√6 0 −5/

√30

−2/√6 1/

√5 −2/

√30

1/√6 2/

√5 1/

√30

เปนเมทรกซเชงตงฉากปรกต

ดงนนเราไดวา U−1 = UT =

1/√6 −2/

√6 1/

√6

0 1/√5 2/

√5

−5/√30 −2/

√30 1/

√30


1. ให u =

[−1

2

]และ v =

[3

2

]จงหา u · v, v · u, ∥u∥, ∥v∥ และเวกเตอรหนงหนวยในทศทางเดยวและทศทางตรงขามกบเวกเตอร 2u+ v

2. ให u =

−6

2

−3

และ x =

−1

0

−1

จงหาเวกเตอร 3 หนวยในทศทางเดยวกบเวกเตอร u และระยะหางระหวาง u และ x

3. กำหนดให S =

2

4

−1

,

102

,

8

−5

−4

และ x =

510

(ก) จงแสดงวาเซต S เปนเซตเชงตงฉากใน R3

(ข) จงแสดงวาเซต S เปนฐานหลกเชงตงฉากของ R3

(ค) โดยใชทฤษฎบท 4.1.2 จงเขยน x ในรปผลรวมเชงเสนของเวกเตอรในเซต S

(ง) จงหาเมทรกซเชงตงฉากปรกต U ซงมหลกเปนเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอรในเซต S พรอมทงหา U−1

4. กำหนดให S =

−3

3

0

,

−2

−2

1

,

114

และ x =

5

−3

1

(ก) จงแสดงวาเซต S เปนเซตเชงตงฉากใน R3

(ข) จงแสดงวาเซต S เปนฐานหลกเชงตงฉากของ R3

(ค) โดยใชทฤษฎบท 4.1.2 จงเขยน x ในรปผลรวมเชงเสนของเวกเตอรในเซต S

(ง) จงหาเมทรกซเชงตงฉากปรกต U ซงมหลกเปนเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอรในเซต S พรอมทงหา U−1

5. สำหรบเวกเตอร u และ v ใน Rn จงแสดงวา(ก) ∥u+ v∥2 + ∥u− v∥2 = 2∥u∥2 + 2∥v∥2(ข) 4u · v = ∥u+ v∥2 − ∥u− v∥2

(ค) u ตงฉากกบ v กตอเมอ ∥u+ v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2

6. จงพสจนวา ถา U เปนเมทรกซเชงตงฉากปรกต แลว detU = ±1

4.2 การฉายเชงตงฉาก และ กระบวนการกราม-ชมดต 95

4.2 การฉายเชงตงฉาก และ กระบวนการกราม-ชมดตให z เปนเวกเตอรในRn และH เปนปรภมยอยของRn เรากลาววา z ตงฉาก (orthogonal) กบปรภมยอยH ถา z ตงฉากกบทก ๆ เวกเตอรใน H เราเรยกเซตของเวกเตอรซงตงฉากกบ H ทงหมดวาสวนเตมเตมเชงตงฉาก (orthogonalcomplement) ของ H เขยนแทนดวยH⊥ (อานวา “H perp”) นนคอ

H⊥ = {z ∈ Rn : z · a = 0 สำหรบทก ๆ a ∈ H}

สงเกตวา H ∩H⊥ = {0} และ

ทฤษฎบท 4.2.1 ให H เปนปรภมยอยของ Rn จะไดวา1. H⊥ เปนปรภมยอยของ Rn

2. ถา H = Span {u1, u2, . . . , up} แลว z ∈ H⊥ กตอเมอ z · u1 = z · u2 = · · · = z · up = 0

บทพสจน 1. เพราะวา 0 · a = 0 สำหรบทก ๆ a ∈ H ดงนน 0 ∈ H⊥

ให x, y ∈ H⊥ และ c เปนจำนวนจรงใด ๆ และ ให a เปนเวกเตอรใด ๆ ใน H

ดงนน x · a = 0 และ y · a = 0

ทำใหไดวา (x+ y) · a = x · a+ y · a = 0 และ (cx) · a = c(x · a) = c(0) = 0

เพราะฉะนน x+ y ∈ H⊥ และ cx ∈ H⊥

เราจงสรปไดวา H⊥ เปนปรภมยอยของ Rn

2. สมมตวา x ∈ H⊥ ดงนน z · u = 0 สำหรบทก ๆ u ∈ H

เพราะวา {u1, . . . , up} ⊆ H ทำใหไดวา z · u1 = z · u2 = · · · = z · up = 0

ในทางกลบกน สมมตวา z · u1 = z · u2 = · · · = z · up = 0 และให u ∈ H

เพราะวา H = Span {u1, u2, . . . , up}ดงนน u = c1u1 + c2u2 + · · ·+ cpup เมอ c1, c2, . . . , cp ∈ Rทำใหไดวา

z · u = z · (c1u1 + c2u2 + · · ·+ cpup)

= z · (c1u1) + z · (c2u2) + · · ·+ z · (cpup)= c1(z · u1) + c2(z · u2) + · · ·+ cp(z · up) = 0

เพราะฉะนน u อยใน H⊥ �

จากทฤษฎบทขางตนเรายงไดอกวา

ขอสงเกต ถา H = Span {u1, u2, . . . , up} แลว

H⊥ = {z ∈ Rn : u1 · z = u2 · z = · · · = up · z = 0}= {z ∈ Rn : uT1 z = uT2 z = · · · = uTp z = 0}

= NulAT เมอ A =[u1 u2 . . . up

]


ตวอยาง 4.2.1 ให H = Span

1

−2

1

จงหาฐานหลกสำหรบ H⊥


H⊥ =

[x1, x2, x3

]:

x1x2x3

·

1

−2

1

= 0

=

x1x2x3

: x1 − 2x2 + x3 = 0

ดงนน

H⊥ =

x1x2x3

: x1 = 2x2 − x3

=

2x2 − x3

x2x3

: x2, x3 ∈ R

=

x2

210

+ x3

−1

0

1

: x2, x3 ∈ R

= Span

210

,

−1

0

1

เพราะฉะนน ฐานหลกฐานหนงสำหรบ H⊥ คอ

210

,

−1

0

1

�

ตวอยาง 4.2.2 ให H = Span

110

,

011

จงหาฐานหลกสำหรบH⊥

วธทำ จากขอสงเกตหลงทฤษฎบท 4.2.1 เราไดวา

H⊥ = NulAT เมอ A =

1 0

1 1

0 1

ดงนน เราจงลดรป AT ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

AT =

[1 1 0

0 1 1

]∼

[1 0 −1

0 1 1

]

ซงสมนยกบสมการเอกพนธ

x1 − x3 = 0

x2 + x3 = 0นนคอ x1 = x3

x2 = −x3โดยท x3 ∈ R


ทำใหไดวา x =

x1x2x3

=

x3−x3x3

= x3

1

−1

1

เมอ x3 ∈ R

ดงนน ฐานหลกฐานหนงสำหรบ H⊥ = NulAT คอ

1

−1

1

�

ให u เปนเวกเตอรใน Rn ทไมใชเวกเตอรศนย และH = Span {u} สำหรบแตละเวกเตอร y ใน Rn เราสนใจทจะแยก y ออกเปนผลบวกของเวกเตอรในH และเวกเตอรในH⊥ กลาวคอ

y = y + z

โดยท y = αu สำหรบบาง α ∈ R และ z⊥u เราคำนวณ α โดยเรมจากการสงเกตวา z = y − y = y − αu ตงฉากกบ u ดงนน (y − αu) · u = 0 ทำให

α =y · uu · u

และ y =y · uu · u

u

ในกรณทวไปเราม

ทฤษฎบท 4.2.2 [การแยกเชงตงฉาก (Orthogonal Decomposition)]ให {u1, u2, . . . , up} เปนเซตเชงตงฉากของเวกเตอรใน Rn ทไมใชเวกเตอรศนยและH = Span {u1, u2, . . . , up} จะไดวาสำหรบแตละเวกเตอร y ∈ Rn จะมเวกเตอร

y =y · u1u1 · u1

u1 +y · u2u2 · u2

u2 + · · ·+ y · upup · up

up ∈ H

และเวกเตอร z = y − y ∈ H⊥ ซงทำใหy = y + z

เราเรยกเวกเตอร y วาการฉายเชงตงฉากของเวกเตอร y บน H (orthogonal projection of y onto H) เขยนแทนดวย projH y และเรยกเวกเตอร z วาสวนเตมเตม (complement) ของเวกเตอร y ซงตงฉากกบH

ตวอยาง 4.2.3 กำหนดให u1 =

101

, u2 =

−1

4

1

, u3 =

2

1

−2

และ x =

8

−4

−3

เราไดวา {u1, u2, u3} เปนฐานหลกเชงตงฉากของ R3 จงเขยนเวกเตอร x ในรปของผลรวมของสองเวกเตอร y และ z

โดยท y ∈ Span {u1, u2} และ z ∈ Span {u3}


วธทำ เนองจาก {u1, u2, u3} เปนฐานหลกเชงตงฉากของ R3 โดยทฤษฎบท 4.1.3 เราไดวา

x =x · u1u1 · u1

u1 +x · u2u2 · u2

u2 +x · u3u3 · u3

u3 =5

2u1 −

3

2u2 + 2u3

ดงนน เราม x = y + z โดยท y = 52 u1 −

32 u2 ∈ Span {u1, u2} และ z = 2u3 ∈ Span {u3}

และเรายงไดอกดวยวา y = projH x ∈ H เมอ H = Span {u1, u2} และ z = x − y ∈ Span {u3} = H⊥

�

ตวอยาง 4.2.4 ให u1 =

−1

2

1

, u2 =

1

1

−1

และ y =

2

−1

3

จะไดวา {u1, u2} เปนฐานหลกเชงตงฉาก

สำหรบปรภมยอย H = Span {u1, u2} จงแยกเวกเตอร y เปนผลบวกของเวกเตอรในH และ H⊥

วธทำ เนองจาก {u1, u2} เปนเซตเชงตงฉาก โดยทฤษฎบท 4.2.2 เราไดวา y = y + z โดยท

y = projH y =y · u1u1 · u1

u1 +y · u2u2 · u2

u2 = −1

6u1 −

2

3u2 =

−12

−112

และ z = y − y =

2

−1

3

−

−12

−112

=

52

052

�

จากทฤษฎบท 4.2.2 เราเหนวาฐานหลกเชงตงฉากมบทบาทสำคญในการแยกเชงตงฉาก เราจะปดทายหวขอนดวยการแสดงวาเราสามารถสรางฐานหลกเชงตงฉากสำหรบปรภมยอยของ Rn ไดเสมอโดยกอนอนเราจะพจารณาการสรางฐานหลกเชงตงฉากจากตวอยางตอไปน

ตวอยาง 4.2.5 ให H = Span {x1, x2} โดยท x1 =

120

และ x2 =

1

2

−3

จงสรางฐานหลกเชงตงฉากสำหรบH

วธทำ เราตองการเซตของเวกเตอร {v1, v2} ซง v1 · v2 = 0 และ H = Span {v1, v2}

ถาให v1 = x1 และ v2 เปนสวนเตมเตมเชงตงฉากของ x2 บน Span {x1} นนคอ

v2 = x2 − x2 = x2 −x2 · x1x1 · x1

x1 =

1

2

−3

− 5

5

120

=

0

0

−3


จะไดวา v2⊥v1 และ Span {v1, v2} = Span{x1, x2 − x2·x1

x1·x1x1

}= Span {x1, x2} = H


120

,

0

0

−3

เปนฐานหลกเชงตงฉากฐานหนงสำหรบ H �

ตวอยาง 4.2.6 ให x1 =

−1

2

1

0

, x2 =

0

1

1

1

และ x3 =

1

0

0

1

จะไดวา {x1, x2, x3} เปนเซตอสระเชงเสน ซง

ทำใหเปนฐานหลกสำหรบปรภมยอยH = Span {x1, x2, x3} ของR4 จงสรางฐานหลกเชงตงฉากและฐานหลกเชงตงฉากปรกตสำหรบ H

วธทำ ในการสรางฐานหลกเชงตงฉากสำหรบ H เราจะเรมจาก

1. ให v1 = x1 และ v2 เปนสวนเตมเตมเชงตงฉากของ x2 บน Span {x1} นนคอ

v2 = x2 − projSpan {x1}x2 = x2 −x2 · x1x1 · x1

x1 =

0

1

1

1

− 3

6

−1

2

1

0

=

12

012

1

ทงนเราอาจเลอกเวกเตอร v′2 = 2v2 =

1

0

1

2

ซงเปนพหคณของ v2 เพอความสะดวกในการคำนวณตอไป ซงใน

ทำนองเดยวกบตวอยาง 4.2.5 จะไดวา v′2 ตงฉากกบ v1 และ Span {v1, v′2} = Span {x1, x2}เพราะฉะนน {v1, v′2} เปนฐานหลกเชงตงฉากฐานหนงสำหรบ Span {x1, x2}

2. ให v3 เปนสวนเตมเตมเชงตงฉากของ x3 บน Span {v1, v′2} นนคอ

v3 = x3 − projSpan {v1,v′2}x3 = x3 −(x3 · v1v1 · v1

v1 +x3 · v′2v′2 · v′2

v′2

)

=

1

0

0

1

−

−1

6

−1

2

1

0

+3

6

1

0

1

2

=

1313

−13

0

โดยเราอาจเลอกเวกเตอร v′3 = 3v3 =

1

1

−1

0

ซงเราไดวา v′3 ตงฉากกบ v1 และ v′2 และ

Span {v1, v′2, v′3} = Span {x1, x2, x3}


−1

2

1

0

,

1

0

1

2

,

1

1

−1

0

เปนฐานหลกเชงตงฉากฐานหนงสำหรบH

และหากเราทำใหเวกเตอรในฐานหลกนเปนเวกเตอรหนงหนวยจะไดวา

100 บทท 4 เรขาคณตเชงเสนและฐานหลกเชงตงฉาก1√6

−1

2

1

0

, 1√6

1

0

1

2

, 1√3

1

1

−1

0

เปนฐานหลกเชงตงฉากปรกตฐานหนงสำหรบ H �

ในกรณทวไป ถาเราม {x1, x2, . . . , xp} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบปรภมยอย H จะไดขนตอนในการหาฐานหลกเชงตงฉากสำหรบH เปน1. ให v1 = x1 และ v2 เปนสวนเตมเตมเชงตงฉากของ x2 บนปรภมยอย Span {v1}2. ให v3 เปนสวนเตมเตมเชงตงฉากของ x3 บนปรภมยอย Span {v1, v2} และกำหนดเชนนไปเรอยๆ จะไดวา

vi = สวนเตมเตมเชงตงฉากของ xi บนปรภมยอย Span {v1, v2, . . . , vi−1}= xi − projSpan {v1,v2,...,vi−1}xi

= xi −(xi · v1v1 · v1

v1 + · · ·+ xi · vi−1

vi−1 · vi−1vi−1

)สำหรบทก i ∈ {2, 3, . . . , p}

และเซตของเวกเตอร {v1, v2, . . . , vp} ทไดจะเปนฐานหลกเชงตงฉากฐานหนงสำหรบH

เราเรยกกระบวนการสรางฐานหลกเชงตงฉากสำหรบปรภมยอยH ของ Rn วากระบวนการกราม-ชมดต (Gram-Schmidt process) ซงกลาวโดยสรปไดเปน

ทฤษฎบท 4.2.3 [กระบวนการกราม-ชมดต (The Gram-Schmidt Process)]ให {x1, x2, . . . , xp} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบปรภมยอย H ของ Rn กำหนด

v1 = x1

v2 = x2 −x2 · v1v1 · v1

v1

v3 = x3 −x3 · v1v1 · v1

v1 −x3 · v2v2 · v2

v2

...

vp = xp −xp · v1v1 · v1

v1 −xp · v2v2 · v2

v2 − · · · − xp · vp−1

vp−1 · vp−1vp−1

จะไดวา {v1, v2, . . . , vp} เปนฐานหลกเชงตงฉากฐานหนงสำหรบH

เราจงไดดวยวา

บทแทรก 4.2.4 ถา B เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบปรภมยอย H แลวเราสามารถสรางฐานหลกเชงตงฉากปรกตสำหรบ H จากฐานหลก B ไดเสมอ

ตวอยาง 4.2.7 จงสรางฐานหลกเชงตงฉากปรกตสำหรบ

H = Span

012

,

−1

0

1

,

−1

1

3


วธทำ เราจะตรวจสอบกอนวาเซตของเวกเตอร

012

,

−1

0

1

,

−1

1

3

เปนฐานหลกของ H หรอไม

โดยเขยนเปนเมทรกซและลดรปจนไดรปแบบขนบนไดดงน

A =

0 −1 −1

1 0 1

2 1 3

∼

1 0 1

0 1 1

0 0 0

จงไดโดยทฤษฎบท 2.2.4 วาฐานหลกฐานหนงสำหรบ H = ColA คอ

012

,

−1

0

1

ให x1 =

012

และ x2 =

−1

0

1

ซงเราไดโดยกระบวนการกราม-ชมดตวา ถา

v1 = x1 และ v2 = x2 −x2 · v1v1 · v1

v1 =

−1

0

1

− 2

5

012

=

−1

−25

15

จะได {v1, v2} เปนฐานหลกเชงตงฉากสำหรบH โดยเราอาจเลอก v′2 =

−5

−2

1

แทน v2

ดงนน

012

,

−5

−2

1

เปนฐานหลกเชงตงฉากฐานหนงสำหรบH


1√5

012

,1√30

−5

−2

1

จงเปนฐานหลกเชงตงฉากปรกตฐานหนงสำหรบH �

หากทราบวาหลกของ m × n เมทรกซ A =[x1 x2 . . . xn

]เปนอสระเชงเสนเราอาจใชกระบวนการ

กราม-ชมดทหาฐานหลกเชงตงฉากปรกต {v1, v2, . . . , vn} ฐานหนงของ ColA เพราะวา vi ตงฉากกบSpan {x1, . . . , xi−1} ทก i ∈ {2, . . . , n} ดงนน ui · xj = 0 ทก j < i

ถาเราให Q =[u1 u2 . . . un

]จะไดวา Q เปนเมทรกซเชงตงฉากปรกต และ

R = QTA =

uT1uT2...uTn

[x1 x2 . . . xn

]=

uT1 x1 uT1 x2 · · · uT1 xn−1 uT1 xn0 uT2 x2 · · · uT2 xn−1 uT2 xn...

......

...0 0 · · · uTn−1xn−1 uTn xn0 0 · · · 0 uTn xn

จะเปนเมทรกซสามเหลยมบนซง

QR = Q(QTA) = (QQT )A = A

เรยกวาการแยกตวประกอบ QR (QR Factorization) ของ A ซงมประโยชนในการประมาณคาเฉพาะของเมทรกซจตรส A


ทฤษฎบท 4.2.5 ให A เปนเมทรกซมต m × n ซงหลกของ A เปนอสระเชงเสน จะไดวา A สามารถแยกไดเปนA = QR โดยทQ เปนเมทรกซมตm× n ซงเซตของหลกของQ เปนฐานหลกเชงตงฉากปรกตของ ColA และ Rเปนเมทรกซสามเหลยมบนไมเอกฐานมต n× n ซงทกสมาชกบนเสนทแยงมมหลกมคาเปนบวก

ตวอยาง 4.2.8 จงหาการแยกตวประกอบ QR ของเมทรกซ A =

−1 0 1

2 1 0

1 1 0

0 1 1

วธทำ จากตวอยาง 4.2.6 เราไดวา

1√6

−1

2

1

0

, 1√6

1

0

1

2

, 1√3

1

1

−1

0

เปนฐานหลกเชงตงฉากปรกต

ฐานหนงสำหรบ H = ColA เราจงได A = QR เมอ

Q =

− 1√

6− 1√

6− 1√

32√6

0 1√3

1√6

1√6

1√3

0 2√6

0

และ R = QTA =

6√6

3√6

− 1√6

0 3√6

3√6

0 0 1√3

เปนการแยกตวประกอบ QR ของ A �


1. จงหาฐานหลกสำหรบ H⊥ เมอ

(ก) H = Span

1

2

−3

(ข) H = Span

−1

0

0

2

,

0

1

2

−1

2. กำหนดให u1 =

0

1

−4

−1

, u2 =

3

5

1

1

, u3 =

1

0

1

−4

, u4 =

5

−3

−1

1

และ x =

10

−8

2

0

เราไดวา {u1, u2, u3, u4} เปนฐานหลกเชงตงฉากของ R4 จงเขยนเวกเตอร x ในรปของผลรวมของสองเวกเตอร y และ zโดยท y ∈ Span {u1, u2, u3} และ z ∈ Span {u4}

3. กำหนดให u1 =

1

2

1

1

, u2 =

−2

1

−1

1

, u3 =

1

1

−2

−1

, u4 =

−1

1

1

−2

และ x =

4

5

−3

3

เราไดวา {u1, u2, u3, u4} เปนฐานหลกเชงตงฉากของ R4 จงเขยนเวกเตอร x ในรปของผลรวมของสองเวกเตอร y และ zโดยท y ∈ Span {u1} และ z ∈ Span {u2, u3, u4}

4. จงแสดงวา {u1, u2} เปนเซตเชงตงฉากและหาการฉายเชงตงฉากของเวกเตอร y บนปรภมยอย Span {u1, u2}

(ก) u1 =

110

, u2 =

−1

1

0

, y =

1

−4

3

(ข) u1 =

3

−1

2

, u2 =

1

−1

−2

, y =

−1

2

6

4.3 ปญหากำลงสองนอยสด (เพมเตม) 103

5. กำหนดให H เปนปรภมยอยทแผทวโดยเซตเชงตงฉากของเวกเตอร u’sจงแยกเวกเตอร y เปนผลบวกของเวกเตอรในH และ H⊥

(ก) u1 =

340

, u2 =

−4

3

0

, y =

6

3

−2

(ข) u1 =

1

3

−2

, u2 =

514

, y =

135

(ค) u1 =

1

1

0

1

, u2 =

−1

3

1

−2

, u3 =

−1

0

1

1

, y =

4

3

3

1

(ง) u1 =

1

1

0

−1

, u2 =

1

0

1

1

, u3 =

0

−1

1

−1

, y =

3

4

5

6

6. ให y =

481

, u1 =

2/31/3

2/3

, u2 =

−2/3

2/3

1/3

, H = Span {u1, u2} และ U =[u1 u2

]จงหา UTU , UUT , projH y และ (UUT )y

7. จงใชกระบวนการกราม-ชมดตสรางฐานหลกเชงตงฉากของปรภมยอยทแผทวโดยเวกเตอรในแตละขอตอไปน

(ก) x1 =

1

−1

0

, x2 =

0

1

−1

(ข) x1 =

3

0

−1

, x2 =

8

5

−6

(ค) x1 =

2

−5

1

, x2 =

4

−1

2

(ง) x1 =

1

−4

0

1

, x2 =

7

−7

0

1

(จ) x1 =

3

−1

2

−1

, x2 =

−5

9

−9

3

(ฉ) x1 =

1

1

1

1

, x2 =

1

1

1

−1

8. จงหาฐานหลก และ ใชกระบวนการกราม-ชมดตสรางฐานหลกเชงตงฉากปรกตของ ColA เมอกำหนด

(ก) A =

1 0 1

1 1 0

1 0 1

(ข) A =

−1 6 6

1 −2 6

1 −4 −3

3 −8 3

(ค) A =

1 1 1 0

1 −1 1 1

1 0 1 1

0 1 0 1

9. จงหาการแยกตวประกอบ QR ของเมทรกซ A ตอไปน

(ก) A =

[1 −1

2 3

](ข) A =

1 2

0 1

1 4

(ค) A =

1 1

−2 1

2 1

(ง) A =

1 0 0

1 1 0

1 1 1

(จ) A =

1 0 2

0 1 1

1 2 0

(ฉ) A =

1 0 1

−1 1 1

1 0 1

1 1 1

10. ให H เปนปรภมยอยของ Rn จงแสดงวา

(ก) H ∩H⊥ = {0} (ข) (H⊥)⊥ = H

11. ให {u1, u2, . . . , up} เปนฐานหลกเชงตงฉากของปรภมยอยH ของ Rn จงแสดงวาฟงกชน T : Rn → H ซงกำหนดโดยT (x) = projH(x) สำหรบทก ๆ x ∈ Rn เปนการแปลงเชงเสน

12. ให {u1, u2, . . . , up} เปนฐานหลกเชงตงฉากปรกตของปรภมยอย H ของ Rn และ y เปนเวกเตอรใน Rn จงพสจนวา(ก) projH y = (y · u1)u1 + (y · u2)u2 + · · ·+ (y · up)up

(ข) ถา U =[u1 u2 . . . up

] แลว projH y = (UUT )y

4.3 ปญหากำลงสองนอยสด (เพมเตม)

ให H เปนปรภมยอยของ Rn และ y ∈ Rn

สงเกตวาถา y ∈ H แลว projH y = y ในกรณท y /∈ H เราจะไดวา ∥y− projH y∥ เปนระยะทางทสนสดจาก y

ไปยง H จาก


ทฤษฎบท 4.3.1 [ทฤษฎบทการประมาณทดสด (The Best Approximation Theorem)]ให H เปนปรภมยอยของ Rn และ y เปนเวกเตอรใด ๆ ใน Rn จะไดวา y = projH y เปนจดบนปรภมยอย H ซงใกล y มากสดในแง

∥y − y∥ < ∥y − v∥

สำหรบทก ๆ เวกเตอร v ใน H r {y}

โดยทฤษฎบทขางตนเราอาจเรยก projH y วาการประมาณทดสดของ y โดยเวกเตอรใน H (the best appro-ximation to y by elements of H) และเราเรยก ∥y−projH y∥ วาระยะทาง (distance) จาก y ไปยงปรภมยอยH

ตวอยาง 4.3.1 จงหาการประมาณทดสดของ y =

123

โดยเวกเตอรในปรภมยอย

H = Span {u1, u2} เมอ u1 =

2

5

−1

และ u2 =

2

−1

−1

วธทำ เพราะวา u1 · u2 = 0 ดงนน {u1, u2} เปนฐานหลกเชงตงฉากสำหรบ H

เราจงไดโดยทฤษฎบท 4.3.1 วา

y = projH y =y · u1u1 · u1

u1 +y · u2u2 · u2

u2 =9

30

2

5

−1

+−3

6

2

−1

−1

=

−25

215

เปนการประมาณทดสดของ y โดยเวกเตอรในปรภมยอย H �

เมอระบบเชงเสน Ax = b ไมมผลเฉลย นนคอ b ไมอยใน ColA โดยทฤษฎบท 4.3.1 เราอาจใชตวประมาณทดสดb จากการฉายเชงตงฉากของเวกเตอร b บน ColA แลวหาผลเฉลย x ของระบบเชงเสน Ax = b ซงเปนจดบน ColA

ทอยใกล b มากสด ดงรป

ดงนน เราสรปไดวา

บทแทรก 4.3.2 ถา A เปนเมทรกซมต m × n และ b เปนเวกเตอรใน Rm เราไดวา ระบบเชงเสน Ax = b เปนระบบเชงเสนตองกน เมอ b = projColAb และผลเฉลย x ของระบบเชงเสนนสอดคลอง

∥b−Ax∥ ≤ ∥b−Ax∥

สำหรบทก ๆ x ∈ Rn


เราเรยกผลเฉลยของระบบเชงเสน Ax = b วาผลเฉลยกำลงสองนอยสด (least-squares solution) ของระบบเชงเสน Ax = b ซงเมอหลกของเมทรกซ A ตงฉากกน เราสามารถหาผลเฉลยกำลงสองนอยสดไดโดยงาย เชน

ตวอยาง 4.3.2 จงหาผลเฉลยกำลงสองนอยสดของระบบเชงเสน Ax = b เมอ

A =

1 −6

1 −2

1 1

1 7

และ b =

−1

2

1

6

วธทำ สงเกตวาหลกของเมทรกซ A ตงฉากกน ดงนนถา u1 =

1

1

1

1

และ u2 =

−6

−2

1

7


b = projColAb =b · u1u1 · u1

u1 +b · u2u2 · u2

u2 =8

4

1

1

1

1

+45

90

−6

−2

1

7

= A

[212

]

จงไดโดยบทแทรก 4.3.2 วา x =

[212

]เปนผลเฉลยกำลงสองนอยสดของ Ax = b �

ในกรณทวไป ให A เปนเมทรกซมต m × n, b เปนเวกเตอรใน Rm และ b = projColAb ถา x สอดคลองระบบเชงเสน Ax = b โดยทฤษฎบทการแยกเชงตงฉาก เราไดวา b− b = b− Ax ∈ (ColA)⊥ ดงนน b− Ax ตงฉากกบทก ๆ หลกของเมทรกซ A นนคอ ถา A =

[v1 v2 . . . vn

]เมอ vj ∈ Rm แลว vj · (b − Ax) = 0 สำหรบทก

j = 1, 2, . . . , n ทำให

AT (b−Ax) =

vT1vT2...vTn

(b−Ax) =

vT1 (b−Ax)

vT2 (b−Ax)...

vTn (b−Ax)

=

v1 · (b−Ax)

v2 · (b−Ax)...

vn · (b−Ax)

= 0n

เพราะฉะนนATAx = AT b

นนคอ

ทฤษฎบท 4.3.3 เซตผลเฉลยกำลงสองนอยสดของระบบเชงเสน Ax = b เปนเซตเดยวกบเซตผลเฉลยของสมการเมทรกซ ATAx = AT b ซงเปนระบบเชงเสนตองกน

เราเรยกสมการ ATAx = AT b วาสมการปรกต (normal equations) สำหรบระบบเชงเสน Ax = b ซงเปนเครองมอทสำคญในการหาผลเฉลยกำลงสองนอยสดของระบบเชงเสน Ax = b



A =

−1 2

2 −3

−1 3

และ b =

412

วธทำ สรางสมการปรกตโดยคำนวณ

ATA =

[−1 2 −1

2 −3 3

]−1 2

2 −3

−1 3

=

[6 −11

−11 22

]

และ

AT b =

[−1 2 −1

2 −3 3

]412

=

[−4

11

]

ทำใหไดสมการปรกต ATAx = AT b เปน[6 −11

−11 22

][x1x2

]=

[−4

11

]

ดงนน ผลเฉลยกำลงสองนอยสด x =

[x1x2

]=

1

11

[22 11

11 6

][−4

11

]=

[3

2

]�


A =

1 1 0

1 1 0

1 0 1

1 0 1

และ b =

1

3

8

2

วธทำ สรางสมการปรกตโดยคำนวณ

ATA =

1 1 1 1

1 1 0 0

0 0 1 1

1 1 0

1 1 0

1 0 1

1 0 1

=

4 2 2

2 2 0

2 0 2

และ

AT b =

1 1 1 1

1 1 0 0

0 0 1 1

1

3

8

2

=

14410


ทำใหไดสมการปรกต ATAx = AT b เปน 4 2 2

2 2 0

2 0 2

x1x2x3

=

14410

ซงเราหาผลเฉลยโดยลดรปเมทรกซแตงเตมจนไดเมทรกซในรปแบบขนไดลดรปดงน 4 2 2 14

2 2 0 4

2 0 2 10

∼

1 0 1 5

0 1 −1 −3

0 0 0 0

นนคอ x1 + x3 = 5

x2 − x3 = −3


x =

x1x2x3

=

5− x3−3 + x3

x3

=

5

−3

0

+ x3

−1

1

1

เมอ x3 ∈ R

เปนผลเฉลยกำลงสองนอยสดของระบบเชงเสน Ax = b �จากผลเฉลยกำลงสองนอยสด x จะไดวา Ax เปนตวประมาณทดสดของ bเรยกระยะทางจาก b ไปยงAx ซงเทากบ ∥b−Ax∥ วาคาคลาดเคลอนกำลงสองนอยสด (least-squares error)

ของการประมาณน

ตวอยาง 4.3.5 จากตวอยาง 4.3.3 เราม

b−Ax =

412

−

−1 2

2 −3

−1 3

[32

]=

412

−

103

=

3

1

−1

ทำใหไดวาคาคลาดเคลอนกำลงสองนอยสดของการประมาณคอ ∥b−Ax∥ =

√11

บอยครงในการเกบรวบรวมขอมลทำใหเกดจด

(a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn)

ซงเมอนำมากราฟ เราจะเหนวาความสมพนธของจดตาง ๆ ดงกลาวกระจายใกลเคยงกบเสนตรง ดงนนเราจงสนใจทจะหา β0 และ β1 ซงทำใหเสนตรง y = β0 + β1x อยใกลจดตาง ๆ มากสดเทาทจะเปนได เราเรยกเสนตรงนวาเสนกำลงสองนอยสด (least-squares line)


ถาจดขอมลอยบนเสนตรงเดยวกน เราไดวา β0 และ β1 สอดคลองระบบเชงเสน

β0 + β1a1 = b1

β0 + β1a2 = b2

...β0 + β1an = bn

ซงเราเขยนเปนสมการเมทรกซไดเปน 1 a11 a2...

...1 an

[β0β1

]=

b1b2...bn

หรอ

Aβ = b

แตจดตาง ๆ ไมจำเปนตองอยในแนวเสนตรงเดยวกน ดงนนระบบเชงเสน Aβ = b ไมมผลเฉลยและเราจะใชผลเฉลยกำลงสองนอยสดแกปญหาน

ตวอยาง 4.3.6 จงหาเสนกำลงสองนอยสดของจดขอมล

(0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 2)

วธทำ นำจดขอมลทกำหนดใหมาสรางเมทรกซ A และเวกเตอร b ไดเปน

A =

1 0

1 1

1 2

1 3

และ b =

1

1

2

2

และหาผลเฉลยกำลงสองนอยสดของระบบเชงเสน Aβ = b โดยสรางสมการปรกตจาก

ATA =

[1 1 1 1

0 1 2 3

]1 0

1 1

1 2

1 3

=

[4 6

6 14

]และ AT b =

[1 1 1 1

0 1 2 3

]1

1

2

2

=

[6

11

]

ซงทำใหไดสมการปรกต ATAβ = AT b เปน [4 6

6 14

][β0β1

]=

[6

11

]

ดงนน ผลเฉลยกำลงสองนอยสด β =

[β0β1

]=

1

20

[14 −6

−6 4

][6

11

]=

[0.9

0.4

]เพราะฉะนน เสนกำลงสองนอยสดของจดขอมลคอ y = β0 + β1x = 0.9 + 0.4x �

4.4 การแปลงเปนทแยงมมของเมทรกซสมมาตร 109


1. จงหาการประมาณทดสดของ y โดยเวกเตอรใน H = Span {u1, u2} เมอ

(ก) u1 =

3

1

−1

1

, u2 =

1

−1

1

−1

, y =

3

1

5

1

(ข) u1 =

1

−2

−1

2

, u2 =

−4

1

0

3

, y =

3

−1

1

13

2. จงหาระยะทางจาก y =

5

−9

5

ไปยงปรภมยอย H = Span

−3

−5

1

,

−3

2

1

3. จงหาผลเฉลยกำลงสองนอยสดของระบบเชงเสน Ax = b เมอ A เปนเมทรกซเชงตงฉากในแตละขอตอไปน

(ก) A =

1 5

3 1

−2 4

และ b =

4

−2

−3

(ข) A =

1 3

−2 0

3 −1

และ b =

2

−1

4

(ค) A =

1 1 0

1 0 −1

0 1 1

−1 1 −1

และ b =

2

5

6

6

(ง) A =

4 0 1

1 −5 1

6 1 0

1 −1 −5

และ b =

9

0

0

0

4. จงหาผลเฉลยกำลงสองนอยสดของระบบเชงเสน Ax = b พรอมทงหาคาคลาดเคลอนกำลงสองนอยสดของการประมาณ

ในแตละขอตอไปน

(ก) A =

2 1

−2 0

2 3

และ b =

−5

8

1

(ข) A =

1 −2

2 −1

0 1

และ b =

3

−1

5

(ค) A =

1 1 1

1 0 1

1 1 0

0 1 1

และ b =

0

1

−1

−2

(ง) A =

1 1 0

1 1 0

1 1 0

1 0 1

1 0 1

1 0 1

และ b =

7

2

3

6

5

4

5. จงหาเสนกำลงสองนอยสดของจดขอมลตอไปน

(ก) (1, 0), (2, 1), (4, 2), (5, 3) (ข) (−3, 8), (−1, 5), (1, 3), (3, 0)

(ค) (1, 1), (2, 4), (3, 6), (4, 9) (ง) (0, 0), (1, 1), (2, 3), (3, 8)

4.4 การแปลงเปนทแยงมมของเมทรกซสมมาตรเราเรยกเมทรกซ A วาเมทรกซสมมาตร (symmetric matrix) กตอเมอ AT = A

ตวอยาง 4.4.1 (ก)

[1 3

3 −2

]และ

0 1 2

1 3 −1

2 −1 2

เปนเมทรกซสมมาตร

(ข)

[2 −1

1 −2

]และ

3 −1 0

1 1 2

0 −2 2

ไมเปนเมทรกซสมมาตร

ตวอยาง 4.4.2 จงแปลงเมทรกซ A =

2 3 3

3 −1 0

3 0 −1

เปนทแยงมม


วธทำ คำนวณสมการลกษณะเฉพาะของ A ไดเปน

det(A− λI3) = (λ+ 1)(λ+ 4)(5− λ) = 0

ดงนนคาเฉพาะของ A คอ λ = −1,−4, 5

ตอมา เราจะหาปรภมเฉพาะซงสมนยกบคาเฉพาะแตละคาดงนλ = −1 ดำเนนการแถวลดรป A+ I3 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

A+ I3 =

3 3 3

3 0 0

3 0 0

∼

1 0 0

0 1 1

0 0 0

ซงสมนยกบ x1 = 0

x2 + x3 = 0

ทำใหไดวา x1 = 0 และ x2 = −x3


x1x2x3

=

0

−x3x3

= x3

0

−1

1

ดงนน A−1 = Nul (A+ I3) = Span

0

−1

1


0

−1

1

λ = −4 ดำเนนการแถวลดรป A+ 4I3 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

A+ 4I3 =

6 3 3

3 3 0

3 0 3

∼

1 0 1

0 1 −1

0 0 0

ซงสมนยกบ x1 + x3 = 0

x2 − x3 = 0

ทำใหไดวา x1 = −x3 และ x2 = x3


x1x2x3

=

−x3x3x3

= x3

−1

1

1


−1

1

1


−1

1

1

λ = 5 ดำเนนการแถวลดรป A− 5I3 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

A− 5I3 =

−3 3 3

3 −6 0

3 0 −6

∼

1 0 −2

0 1 −1

0 0 0

ซงสมนยกบ x1 − 2x3 = 0

x2 − x3 = 0

ทำใหไดวา x1 = 2x3 และ x2 = x3


x1x2x3

=

2x3x3x3

= x3

211

ดงนน A5 = Nul (A+ 5I3) = Span

211


211


โดยทฤษฎบท 3.2.5 เราสรปไดวา A สามารถแปลงเปนทแยงมมได

และเราม A = PDP−1 โดยท D =

−1 0 0

0 −4 0

0 0 5

และ P =

0 −1 2

−1 1 1

1 1 1

�

จากตวอยาง 4.4.2 สงเกตวาเมทรกซ P ทสรางจากเวกเตอรเฉพาะทสมนยกบคาเฉพาะซงแตกตางกนแตละคาเปนเมทรกซเชงตงฉาก เราสรปกรณทวไปไดดงน

ทฤษฎบท 4.4.1 ถา A เปนเมทรกซสมมาตรแลวปรภมเฉพาะสองปรภมซงสมนยกบคาเฉพาะทแตกตางกนจะตงฉากกน

เรากลาววา เมทรกซจตรส A สามารถแปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากได (orthogonally diagonalizable) ถาเรามเมทรกซเชงตงฉากปรกต P (เมทรกซเชงตงฉาก P ซง P−1 = P T ) และเมทรกซทแยงมม D ซง A = PDP−1 =

PDP T


2 3 3

3 −1 0

3 0 −1

จากตวอยาง 4.4.2 เราสงเกตวาเราอาจเลอกเมทรกซ

P =

0 −1/√3 2/

√6

−1/√2 1/

√3 1/

√6

1/√2 1/

√3 1/

√6

ซงเปนเมทรกซเชงตงฉากปรกต ทำใหไดวา P−1 = P T และ A = P

−1 0 0

0 −4 0

0 0 5

P T

ดงนน A สามารถแปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากได

สงเกตวา ถา A สามารถแปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากได เรามเมทรกซเชงตงฉากปรกต P และเมทรกซทแยงมม D

ซง A = PDP−1 = PDP T ดงนน

AT = (PDP T )T = (P T )TDTP T = PDP T = A

นนคอ A เปนเมทรกซสมมาตร ยงกวานน เราม

ทฤษฎบท 4.4.2 ให A เปนเมทรกซจตรส เราไดวา A สามารถแปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากไดกตอเมอ A เปนเมทรกซสมมาตร

ในการแปลงเมทรกซสมมาตร A เปนทแยงมมเชงตงฉากนน เราเรมจากหาฐานหลกสำหรบแตละปรภมเฉพาะของ A และหาฐานหลกเชงตงฉากปรกตสำหรบปรภมเฉพาะของ A จากฐานหลกนน ซงบางครงตองอาศยกระบวนการกราม-ชมทตทไดศกษาไวแลว และนำฐานหลกเชงตงฉากปรกตเหลานนมาสรางเมทรกซเชงตงฉากปรกต P ททำใหA = PDP T เมอ D เปนเมทรกซทแยงมมทสมาชกทแยงมมคอคาเฉพาะของเมทรกซ A ทสมนยตามลำดบกบเวกเตอรเฉพาะหนงหนวยในเมทรกซ P เชน


ตวอยาง 4.4.4 จงแปลงเมทรกซสมมาตร A =

7 −16 −8

−16 7 8

−8 8 −5

ซงมสมการลกษณะเฉพาะเปน (27− λ)(λ+ 9)2 = 0 เปนทแยงมมเชงตงฉาก

วธทำ คาเฉพาะของ A คอ λ = 27,−9,−9

ตอมา เราจะหาปรภมเฉพาะซงสมนยกบคาเฉพาะแตละคาดงนλ = 27 ดำเนนการแถวลดรป A− 27I3 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

A− 27I3 =

−20 −16 −8

−16 −20 8

−8 8 −32

∼

1 0 2

0 1 −2

0 0 0

ซงสมนยกบ x1 + 2x3 = 0

x2 − 2x3 = 0

ทำใหไดวา x1 = −2x3 และ x2 = 2x3 เพราะฉะนน x =

x1x2x3

=

−2x32x3x3

= x3

−2

2

1

ดงนน A27 = Nul (A+ 27I3) = Span

−2

2

1

และมฐานหลกเชงตงฉากปรกตฐานหนงเปน

−2

32313

λ = −9 ดำเนนการแถวลดรป A+ 9I3 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

A+ 9I3 =

16 −16 −8

−16 16 8

−8 8 4

∼

1 −1 −12

0 0 0

0 0 0

ซงสมนยกบ x1 − x2 − 1

2x3 = 0 ทำใหไดวา x1 = x2 +12x3


x1x2x3

=

x2 + 12x3

x2x3

= x2

110

+ x3

12

0

1


110

,

12

0

1

= Span

110

,

102


x1 =

110

, x2 =

102

ซงไมเปนฐานหลกเชงตงฉาก

เราจงใชกระบวนการกราม-ชมดตหาฐานหลกเชงตงฉากของ A−9 ดงน

ให v1 = x1 และ v2 = x2 −x2 · x1x1 · x1

x1 =

102

− 12

110

=

12

−12

2

โดยเราอาจเลอก v′2 =

1

−1

4

แทน v2

ดงนน

1√21√2

0

,

1√18

− 1√18

4√18

เปนฐานหลกเชงตงฉากปรกตฐานหนงของ A−9

ดงนน A สามารถแปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากไดและเราม A = PDP T


โดยท D =

27 0 0

0 −9 0

0 0 −9

และ P =

−23

1√2

1√18

23

1√2

− 1√18

13 0 4√

18

�

เราเรยกเซตของคาเฉพาะทงหมดของเมทรกซจตรส A วาสเปกตรม (spectrum) ของเมทรกซ A โดยในกรณทA เปนเมทรกซสมมาตร เราได

ทฤษฎบท 4.4.3 [ทฤษฎบทเชงสเปกตรมสำหรบเมทรกซสมมาตร (The Spectral Theorem forSymmetric Matrices)] เมทรกซสมมาตร A มสมบตดงตอไปน

1. คาเฉพาะทกตวของ A เปนจำนวนจรง

2. มตของปรภมเฉพาะซงสมนยกบคาเฉพาะ λ มคาเทากบจำนวนการซำกนของราก λ ในสมการลกษณะเฉพาะ

3. ปรภมเฉพาะสองปรภมซงสมนยกบคาเฉพาะทตางกนจะตงฉากกน

4. A สามารถแปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากได

ให A เปนเมทรกซสมมาตรมต n × n ดงนน A สามารถแปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากได ทำใหมเมทรกซเชงตงฉากปรกต P ซงทำให A = PDP T โดยทหลกของเมทรกซ P คอเวกเตอรเฉพาะหนงหนวย u1, u2, . . . , un ทสมนยกบคาเฉพาะ λ1, λ2, . . . , λn (ซำได) ซงเปนสมาชกทแยงมมของเมทรกซทแยงมม D และ

A = PDP T =[u1 u2 . . . un

]λ1 0 . . . 0

0 λ2 . . . 0...

... . . . ...0 0 . . . λn

uT1uT2...uTn

=[λ1u1 λ2u2 . . . λnun

]uT1uT2...uTn

นนคอ เราสามารถเขยน A ไดในรป

A = λ1u1uT1 + λ2u2u

T2 + · · ·+ λnunu

Tn

เรยกวาการแยกเชงสเปกตรม (spectral decomposition) ของเมทรกซ A โดยแตละพจนในการแยกนจะขนกบ คาเฉพาะหรอสเปกตรม และเมทรกซจตรสมต n × n ซงมแรงกเปน 1 (สงเกตวา Col (uiuTi ) = Span {ui} สำหรบทกi = 1, 2, . . . , n)

ตวอยาง 4.4.5 เมทรกซสมมาตร A ซง

A =

[7 2

2 4

]=

[2/

√5 −1/

√5

1/√5 2/

√5

][8 0

0 3

][2/

√5 1/

√5

−1/√5 2/

√5

]


มการแยกเชงสเปกตรมเปน

A = 8

[2/

√5

1/√5

] [2/

√5 1/

√5]+ 3

[−1/

√5

2/√5

] [−1/

√5 2/

√5]

= 8

[4/5 2/5

2/5 1/5

]+ 3

[1/5 −2/5

−2/5 4/5

]


1. จงแปลงเมทรกซตอไปนเปนทแยงมมเชงตงฉาก(ก) A =

[8 −2

−2 5

](ข) A =

[1 −2

−2 1

](ค) A =

[9 −12

−12 16

](ง) A =

[3 −1.5

−1.5 7

]

(จ) A =

2 4 −4

4 −2 0

−4 0 −2

(ฉ) A =

0 1 1

1 0 1

1 1 0

(ช) A =

2 1 1

1 2 −1

1 −1 2

(ซ) A =

−2 0 −36

0 −3 0

−36 0 −23

(ฌ) A =

1 1 0

1 1 0

0 0 0

(ญ) A =

2 −1 −1

−1 2 −1

−1 −1 2

(ฎ) A =

2 0 0 0

0 1 0 1

0 0 2 0

0 1 0 1

; λ = 0, 2 (ฏ) A =

2 0 1 0

0 2 0 1

1 0 2 0

0 1 0 2

; λ = 1, 3

2. จงหาการแยกเชงสเปกตรมของเมทรกซสมมาตร A ในขอ 1. (ก)–(ง)

3. ให A =

3 1 1

1 3 1

1 1 3

และ v =

−1

1

0

จงแสดงวา 5 เปนคาเฉพาะของ A และ v เปนเวกเตอรเฉพาะของ A และจงแปลง A เปนทแยงมมเชงตงฉาก

4. ให A =

5 −4 −2

−4 5 2

−2 2 2

, v1 =

−2

2

1

และ v2 =

110

จงแสดงวา v1 และ v2 เปนเวกเตอรเฉพาะของ A และจงแปลง A เปนทแยงมมเชงตงฉาก

5. ให A =

[a b

b a

]โดยท b = 0 จงแปลง A เปนทแยงมมเชงตงฉาก

6. จงแสดงวา สำหรบเมทรกซ A ใด ๆ เราไดวา AAT และ ATA เปนเมทรกซสมมาตร7. ให A เปนเมทรกซสมมาตรไมเอกฐาน จงแสดงวา A−1 สามารถแปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากได8. ให A เปนเมทรกซสมมาตรมต n× n จงแสดงวา (Ax) · y = x · (Ay) สำหรบทก ๆ เวกเตอร x, y ∈ Rn

4.5 รปแบบกำลงสอง

ตวอยาง 4.5.1 ให x =

[x1x2

]จงหา xTAx สำหรบเมทรกซ A ตอไปน

(ก) A =

[2 0

0 −3

]เราไดวา xTAx =

[x1 x2

] [2 0

0 −3

][x1x2

]= 2x21 − 3x22

4.5 รปแบบกำลงสอง 115

(ข) A =

[3 −2

−2 1

]เราไดวา xTAx =

[x1 x2

] [ 3 −2

−2 1

][x1x2

]= 3x21 − 4x1x2 + x22

ให A เปนเมทรกซสมมาตร เราเรยกฟงกชน Q : Rn → R ซงกำหนดโดย

Q(x) = xTAx = x · (Ax) = (Ax) · x

สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ Rn วารปแบบกำลงสอง (quadratic form) และเราเรยกเมทรกซสมมาตร A วา เมทรกซของรปแบบกำลงสอง Q (matrix of the quadratic form Q)

ขอสงเกต รปแบบกำลงสอง Q ม Q(0) = 0 แตไมเปนการแปลงเชงเสน

ตวอยาง 4.5.2 ให Q(x) = 3x21 − 5x22 + x23 − 2x1x2 + x2x3 สำหรบทก x ∈ R3

จงแสดงวา Q เปนรปแบบกำลงสอง พรอมทงหาเมทรกซของรปแบบกำลงสอง Q

วธทำ ให A =

a d e

d b f

e f c

เปนเมทรกซสมมาตรซง Q(x) = xTAx

ดงนน

[x1 x2 x3

]a d e

d b f

e f c

x1x2x3

= Q(x)

ax21 + bx22 + cx23 + 2dx1x2 + 2ex1x3 + 2fx2x3 = 3x21 − 5x22 + x23 − 2x1x2 + x2x3

ทำใหไดวา a = 3, b = −5, c = 1, d = −1, e = 0 และ f = 12

เพราะฉะนน A =

3 −1 0

−1 −5 12

0 12 1

�

ขอสงเกต เราไดวารปแบบกำลงสองบน R2 อยในรปแบบ

Q(x) =[x1 x2

] [a c

c b

][x1x2

]= ax21 + bx22 + 2cx1x2

และรปแบบกำลงสองบน R3 อยในรปแบบ

Q(x) =[x1 x2 x3

]a d e

d b f

e f c

x1x2x3

= ax21 + bx22 + cx23 + 2dx1x2 + 2ex1x3 + 2fx2x3

เราเรยกพจน cxixj เมอ i = j ในรปแบบกำลงสอง Q วาพจนผลคณไขว (cross-product term)ให x แทนเวกเตอรตวแปรใน Rn เราเรยกสมการ

x = P y หรอ y = P−1x


เมอ P เปนเมทรกซไมเอกฐานและ y แทนเวกเตอรตวแปรตวใหมในRn วาการเปลยนตวแปร (change of variables)

ตอไปใหA เปนเมทรกซสมมาตรและแปลงA เปนทแยงมมเชงตงฉาก โดยเมทรกซเชงตงฉากปรกต P และเมทรกซทแยงมม D นนคอ P TAP = D ดงนน สำหรบรปแบบกำลงสอง xTAx ในเวกเตอรตวแปร x เราสามารถเปลยนตวแปรใหมโดยใชเมทรกซเชงตงฉากปรกต P ไดเปน x = P y ซงทำให

xTAx = (P y)TA(P y) = yT (P TAP )y = yTDy

ไมมพจนผลคณไขวในตวแปร y ดงนน

ทฤษฎบท 4.5.1 [ทฤษฎบทแกนมขสำคญ (The Principal Axis Theorem)]ใหA เปนเมทรกซสมมาตร เราไดวามการเปลยนตวแปร x = P y ซงแปลงรปแบบกำลงสอง xTAx ใหอยในรปแบบyTDy ซงไมมพจนผลคณไขว

ตวอยาง 4.5.3 ให Q(x1, x2) = 3x21 + 6x22 − 4x1x2 เปนรปแบบกำลงสองจงเปลยนตวแปร x = P y ซงทำให Q ไมมพจนผลคณไขวพรอมทงรางกราฟของความสมพนธ 3x21 + 6x22 − 4x1x2 = 14 อยางคราว ๆ

วธทำ หาเมทรกซของรปแบบกำลงสองไดเปน A =

[3 −2

−2 6

]คำนวณคาเฉพาะของ A จากสมการลกษณะเฉพาะของ A

det(A− λI2) =

∣∣∣∣∣3− λ −2

−2 6− λ

∣∣∣∣∣ = λ2 − 9λ+ 14 = (λ− 2)(λ− 7) = 0

ดงนน λ = 2, 7


A− 2I2 =

[1 −2

−2 4

]∼

[1 −2

0 0

]ซงสมนยกบ x1 − 2x2 = 0


[x1x2

]=

[2x2x2

]= x2

[2

1

]

ดงนน Nul (A− 2I2) = Span

{[2

1


{[2

1

]}λ = 7 ดำเนนการแถวลดรป A− 7I2 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

A− 7I2 =

[−4 −2

−2 −1

]∼

[1 1

2

0 0

]ซงสมนยกบ x1 +

1

2x2 = 0

ทำใหไดวา x2 = −2x1 เพราะฉะนน x =

[x1x2

]=

[x1

−2x1

]= x1

[1

−2

]



{[1

−2


{[1

−2

]}เนองจาก A เปนเมทรกซสมมาตร โดยทฤษฎบท 4.4.3 จะไดวา A แปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากได นนคอเราม A =

PDP T โดยท

D =

[2 0

0 7

]และ P =

[2√5

1√5

1√5

−2√5

]เปนเมทรกซเชงตงฉากปรกต

เพราะฉะนนถาเราแทนคา x = P y จะไดวา

Q(x1, x2) = xTAx = (P y)TA(P y) = yT (P TAP )y = yTDy

นนคอ เราเปลยนตวแปรใหความสมพนธ 3x21 + 6x22 − 4x1x2 = 14 ไมมพจนผลคณไขวเปน

2y21 + 7y22 = 14

ซงใหกราฟเปนวงรสมพทธกบแกนพกด y1 และ y2 ดงรป �

K3 K2 K1 0 1 2 3

K2

K1

1

2

ตวอยาง 4.5.4 จงเปลยนตวแปร x = P y ซงทำใหความสมพนธ

x21 + 4x22 + 4x1x2 + 4√5x1 + 3

√5x2 = 0

ไมมพจนผลคณไขว พรอมทงรางกราฟของความสมพนธนอยางคราว ๆ

วธทำ กอนอนเราพจารณารปแบบกำลงสอง Q(x1, x2) = x21 + 4x22 + 4x1x2 ซงมเมทรกซเปน A =

[1 2

2 4

]ดงนนเราจงแปลงเมทรกซสมมาตร A เปนทแยงมมเชงตงฉากโดยคำนวณคาเฉพาะของ A จากสมการลกษณะเฉพาะของ A

det(A− λI2) =

∣∣∣∣∣1− λ 2

2 4− λ

∣∣∣∣∣ = λ2 − 5λ = λ(λ− 5) = 0

ดงนน λ = 0, 5


A− 0I2 =

[1 2

2 4

]∼

[1 2

0 0

]ซงสมนยกบ x1 + 2x2 = 0



[x1x2

]=

[−2x2x2

]= x2

[−2

1

]


{[−2

1


{[−2

1

]}λ = 5 ดำเนนการแถวลดรป A− 5I2 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

A− 5I2 =

[−4 2

2 −1

]∼

[1 −1

2

0 0

]ซงสมนยกบ x1 −

1

2x2 = 0


[x1x2

]=

[x12x1

]= x1

[1

2

]


{[1

2


{[1

2

]}เพราะฉะนน เราม A = PDP T โดยท

D =

[0 0

0 5

]และ P =

[− 2√

51√5

1√5

2√5

]เปนเมทรกซเชงตงฉากปรกต



และเราสามารถเปลยนตวแปรใหความสมพนธทกำหนดใหไมมพจนผลคณไขวเปน

x21 + 4x22 + 4x1x2+4√5x1 + 3

√5x2 = xT

[1 2

2 4

]x+

[4√5 3

√5]x

= yT

[0 0

0 5

]y +

[4√5 3

√5] [− 2√

51√5

1√5

2√5

]y

= 5y22 − 5y1 + 10y2

นนคอ 5y22 − 5y1 + 10y2 = 0 ซงใหกราฟเปนพาราโบลาสมพทธกบแกนพกด y1 และ y2 ดงรป �

K12 K10 K8 K6 K4 K2 0 2

K2

K1

1

ตวอยาง 4.5.5 จงเปลยนตวแปร x = P y ซงทำใหความสมพนธ

2x21 + 2x22 + 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3 + 24x1 + 12x2 + 12x3 − 12 = 0


ไมมพจนผลคณไขววธทำ พจารณารปแบบกำลงสองQ(x1, x2, x3) = 2x21+2x22+2x23+2x1x2+2x1x3− 2x2x3 ซงมเมทรกซ

เปน A =

2 1 1

1 2 −1

1 −1 2

ดงนนเราจงแปลงเมทรกซสมมาตร A เปนทแยงมมเชงตงฉากโดยคำนวณคาเฉพาะของ A

จากสมการลกษณะเฉพาะของ A

det(A− λI3) =

∣∣∣∣∣∣∣2− λ 1 1

1 2− λ −1

1 −1 2− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = (2− λ)3 − 3(2− λ)− 2 = −λ(λ− 3)2 = 0

ดงนน λ = 0, 3


A− 0I3 =

2 1 1

1 2 −1

1 −1 2

∼

1 0 1

0 1 −1

0 0 0

ซงสมนยกบ x1 = −x3x2 = x3


x1x2x3

=

−x3x3x3

= x3

−1

1

1


−1

1

1


−1

1

1

λ = 3 ดำเนนการแถวลดรป A− 3I3 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

A− 3I3 =

−1 1 1

1 −1 −1

1 −1 −1

∼

1 −1 −1

0 0 0

0 0 0

ซงสมนยกบ x1 = x2 + x3


x1x2x3

=

x2 + x3x2x3

= x2

110

+ x3

101


110

,

101


x1 =

110

, x2 =

101

แตฐานหลกนไมเปนฐานหลกเชงตงฉากจงใชกระบวนการ

กราม-ชมดตเพอหาฐานหลกเชงตงฉากสำหรบ Nul (A− 3I2) ดงน

v1 = x1 และ v2 = x2 − x2 =

101

− 1

2

110

=

12

−12

1

ซงอาจเลอก v′2 =

1

−1

2


ดงนน

110

,

1

−1

2

เปนฐานหลกเชงตงฉากสำหรบ Nul (A− 3I2)

เพราะฉะนน เราม A = PDP T โดยท

D =

0 0 0

0 3 0

0 0 3

และ P =

−1√3

1√2

1√6

1√3

1√2

− 1√6

1√3

0 2√6

เปนเมทรกซเชงตงฉากปรกต



และเราสามารถเปลยนตวแปรใหความสมพนธทกำหนดใหไมมพจนผลคณไขวเปน

2x21 + 2x22 + 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3 + 24x1 + 12x2 + 12x3 − 12

= xT

2 1 1

1 2 −1

1 −1 2

x+[24 12 12

]x−

[12]

= yT

0 0 0

0 3 0

0 0 3

y +[24 12 12

]−1√3

1√2

1√6

1√3

1√2

− 1√6

1√3

0 2√6

y −[12]

= 3y22 + 3y23 +36√2y2 +

36√6y3 − 12

นนคอ y22 + y23 + 6√2y2 + 2

√6y3 − 4 = 0 �

เราเรยกรปแบบกำลงสอง Q วา(ก) เปนบวกแนนอน (positive definite) [เปนบวกกงแนนอน (positive semidefinite)] ถา Q(x) > 0 สำหรบทกๆ x = 0 [Q(x) ≥ 0 สำหรบทก ๆ x](ข) เปนลบแนนอน (negative definite) [เปนลบกงแนนอน (negative semidefinite)] ถาQ(x) < 0 สำหรบทก ๆx = 0 [Q(x) ≤ 0 สำหรบทก ๆ x](ค) ไมแนนอน (indefinite) ถา Q(x) มคาไดทงบวกและลบ

ซงเราสามารถตรวจสอบไดจากคาเฉพาะของเมทรกซของรปแบบกำลงสอง ดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 4.5.2 ให A เปนเมทรกซสมมาตรไมเอกฐาน เราไดวารปแบบกำลงสอง xTAx

(ก) เปนบวกแนนอน กตอเมอ ทก ๆ คาเฉพาะของ A มคาเปนบวก(ข) เปนลบแนนอน กตอเมอ ทก ๆ คาเฉพาะของ A มคาเปนลบ(ค) ไมแนนอน กตอเมอ A มคาเฉพาะเปนบวกและเปนลบ

ตวอยาง 4.5.6 จงพจารณาวารปแบบกำลงสอง Q ตอไปนเปนบวกแนนอน เปนลบแนนอน หรอไมแนนอน(ก) Q(x1, x2) = 3x21 + 6x22 − 4x1x2 (ข) Q(x1, x2, x3) = x21 + 3x22 + x23 + 2x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3

วธทำ (ก) เมทรกซสำหรบ Q คอ A =

[3 −2

−2 3

]ซงโดยตวอยาง 4.5.3 A มคาเฉพาะ λ = 2, 7 > 0 ดงนน Q เปนบวกแนนอน

4.6 การแยกคาเอกฐาน (เพมเตม) 121

(ข) เมทรกซสำหรบ Q คอ A =

1 1 3

1 3 1

3 1 1

เพราะฉะนน สมการลกษณะเฉพาะของ A คอ

det(A− λI3) =

∣∣∣∣∣∣∣1− λ 1 3

1 3− λ 1

3 1 1− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = −(λ+ 2)(λ− 2)(λ− 5) = 0

ทำใหไดวา A มคาเฉพาะ λ = −2, 2, 5 ดงนน Q ไมแนนอน �


1. จงหาคาของ xTAx สำหรบเมทรกซสมมาตร A ตอไปน

(ก)[5 0.5

0.5 −1

](ข)

4 3 0

3 2 1

0 1 1

2. จงแสดงวา Q เปนรปแบบกำลงสอง พรอมทงหาเมทรกซของรปแบบกำลงสอง Q

(ก) Q(x1, x2) = −5x21 − 2x2

2 + 4x1x2 (ข) Q(x1, x2) = 3x21 + 3x2

2 − 4x1x2

(ค) Q(x1, x2) = 9x21 + 3x2

2 − 8x1x2 (ง) Q(x1, x2) = x1x2

(จ) Q(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + x23 − 2x2x3

(ฉ) Q(x1, x2, x3) = 9x21 + 7x2

2 + 11x23 − 8x1x2 + 8x1x3

3. จงพจารณาวารปแบบกำลงสอง Q ในขอ 2. เปนบวกแนนอน เปนลบแนนอน หรอไมแนนอน และจงเปลยนตวแปร x =

P y ซงทำให Q ไมมพจนผลคณไขว

4. ให Q(x1, x2) = 3x21 + 3x2

2 + 2x1x2 เปนรปแบบกำลงสอง จงเปลยนตวแปร x = P y ซงทำให Q ไมมพจนผลคณไขวพรอมทงรางกราฟของความสมพนธ 3x2

1 + 3x22 + 2x1x2 = 1 อยางคราวๆ

5. จงหาคาของ k ทงหมดททำใหรปแบบกำลงสองตอไปนเปนบวกแนนอน(ก) Q(x1, x2) = x2

1 + kx22 − 4x1x2

(ข) Q(x1, x2, x3) = 5x21 + 2x2

2 + kx23 + 4x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3

(ค) Q(x1, x2, x3) = 3x21 + x2

2 + 2x23 + 2x1x3 + 2kx2x3

6. โดยอาศยการคำนวณในแบบฝกหด 4.4 ขอ 1. (ก)–(ฉ) จงเปลยนตวแปร x = P y ซงทำใหความสมพนธตอไปน ไมมพจนผลคณไขว พรอมทงรางกราฟของความสมพนธในขอ (ก)–(ง) อยางคราวๆ(ก) 8x2

1 + 5x22 − 4x1x2 + 2

√5x1 + 4

√5x2 + 4 = 0

(ข) x21 + x2

2 − 4x1x2 + 2√2x1 + 6

√2x2 − 10 = 0

(ค) 9x21 + 16x2

2 − 24x1x2 + 25x1 + 50x2 − 12 = 0

(ง) 3x21 + 7x2

2 − 3x1x2 + 2√10x1 + 2 = 0

(จ) 2x21 − 2x2

2 − 2x23 + 8x1x2 − 8x1x3 − 72 = 0

(ฉ) 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 16

4.6 การแยกคาเอกฐาน (เพมเตม)

ให A เปน m × n เมทรกซ จะไดวา ATA เปนเมทรกซสมมาตรมต n และสามารถแปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากไดให {v1, . . . , vn} เปนฐานหลกเชงตงฉากปรกตฐานหนงของ Rn ทประกอบดวยเวกเตอรเฉพาะของ ATA และ ใหλ1, . . . , λn เปนคาเฉพาะทสมนยกบแตละเวกเตอรเฉพาะของ ATA สงผลให สำหรบแตละ i ∈ {1, 2, . . . , n} เรา


ไดวา

∥Avi∥2 = (Avi)TAvi = vTi A

TAvi

= vTi (λivi) เพราะวา vi เปนเวกเตอรเฉพาะของ ATA

= λi เพราะวา vi เปนเวกเตอรหนงหนวย

คาเฉพาะของ ATA เปนจำนวนจรงทมคามากกวาหรอเทากบ 0 และ √λi เปนความยาวของเวกเตอร Avi สำหรบทก

i ∈ {1, 2, . . . , n}สงเกตวาเราอาจเรยงอนดบคาเฉพาะของ ATA ไดเปน

λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn ≥ 0

เราเรยก√λ1 ≥

√λ2 · · · ≥

√λn ≥ 0 วาคาเอกฐาน (singular values) ของ A และกำหนดให σi =

√λi สำหรบ

ทก i ∈ {1, 2, . . . , n}ตอไปสมมตวา A มคาเอกฐานทตางจาก 0 อย r ตว นนคอ λ1 ≥ · · · ≥ λr > 0 เพราะวาเวกเตอร vi และ λj vj

ตงฉากกนทก i = j จะไดวา(Avi)

T (Avj) = vTi ATAvj = vTi (λj vj) = 0

ดงนน B = {Av1, . . . , Avr} เปนเซตเชงตงฉาก สงผลใหเซตนเปนเซตอสระเชงเสน ซงเราจะแสดงไดวา B เปนฐานหลกของ ColA โดยให y เปนเวกเตอรใด ๆ ใน ColA ดงนน จะม x ใน Rn ท y = Ax เพราะวา {v1, . . . , vn} เปนฐานหลกสำหรบ Rn ทำให ม c1, . . . , cn ใน R ซง

x = c1v1 + · · ·+ cnvn


y = Ax = c1Av1 + · · ·+ crAvr + cr+1Avr+1 + · · ·+ cnAvn

= c1Av1 + · · ·+ crAvr + 0 + · · ·+ 0

นนคอ y อยใน SpanB ทำใหไดวา {Av1, . . . , Avr} เปนฐานหลกเชงตงฉากสำหรบ ColA และ rankA =

dimColA = r

เราสรปจากการพสจนขางตนเปนทฤษฎบทไดดงน

ทฤษฎบท 4.6.1 ให A เปน m × n เมทรกซ และ {v1, . . . , vn} เปนฐานหลกเชงตงฉากปรกตฐานหนงของ Rn

ทประกอบดวยเวกเตอรเฉพาะของ ATA ซงเรยงอนดบคาเฉพาะทสมนยกบแตละเวกเตอรเปน λ1 ≥ · · · ≥ λn

สมมตวาA มคาเอกฐานทตางจาก 0 อย r ตว จะไดวา {Av1, . . . , Avr} เปนฐานหลกเชงตงฉากสำหรบColA และrankA = r


[1 1 0

0 1 1

]จงหาคาเอกฐานของ A

วธทำ เนองจาก ATA =

1 0

1 1

0 1

[1 1 0

0 1 1

]=

1 1 0

1 2 1

0 1 1


ดงนน

det(ATA− λI3) =

∣∣∣∣∣∣∣1− λ 1 0

1 2− λ 1

0 1 1− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = (1− λ)2(2− λ)− 2(1− λ)

ทำใหไดสมการลกษณะเฉพาะของ ATA คอ (1− λ)((1− λ)(2− λ)− 2) = (1− λ)(λ− 3)λ = 0

จงไดวาคาเฉพาะของ ATA คอ λ = 3, 1, 0 เพราะฉะนน คาเอกฐานของ A คอ σ =√3, 1, 0 ตามลำดบ �

ให A เปน m × n เมทรกซ การแยกคาเอกฐานของ A (singular value decomposition of A, SVD) คอการเขยน A เปนผลคณในรปแบบ A = UΣV T โดยท U มมตm×m และ V มมต n× n เปนเมทรกซเชงตงฉากปรกต(UTU = Im และ V TV = In) และ Σ เปนเมทรกซมตm× n ในรปแบบ

Σ =

[D

]

ซงD เปนเมทรกซทแยงมมมต r× r เมอ r เปนจำนวนเตมบวกทมคาไมเกนm และ n ทสมาชกทแยงมมทกตวของDไมเทากบ 0 และตำแหนงอน ๆ ใน Σ มคาเปน 0 (สงเกตวา r = rankA เพราะวา U และ V เปนเมทรกซไมเอกฐาน)

สมมตวาเรามการแยกคาเอกฐานของเมทรกซ A เปน

A = UΣV T

จะไดวา AT = V ΣTUT และ

ATA = (V ΣTUT )(UΣV T ) = V ΣTΣV T เพราะวา UTU = Im

และ เมทรกซ ATA เปนเมทรกซสมมาตรมต n×n ดงนน เราหาเมทรกซ V ไดจากการแปลงเมทรกซ ATA เปนทแยงมมเชงตงฉาก ซงหลกของ V จะเปนเวกเตอรเฉพาะทสมนยกบคาเฉพาะตาง ๆ ของ ATA ทเรยงลำดบจากมากไปหานอย (เวกเตอรเฉพาะทสมนยกบคาเฉพาะ 0 จะอยในบรรดาหลกทางขวามอสดของเมทรกซ V ) และD จะเปนเมทรกซทมสมาชกทแยงมมจากมมบนซายไปยงมมลางขวาเปนคาเอกฐานตาง ๆ ทเปนบวกของ A ทเรยงลำดบจากมากไปนอยและหา U ไดจากความสมพนธ

AV = (UΣV T )V = UΣ เพราะวา V TV = In

เพราะฉะนน เราสามารถหาการแยกคาเอกฐานของเมทรกซ A มตใด ๆ ไดเสมอจากการแปลงเปนทแยงมมเชงตงฉากของ ATA ซงเปนเมทรกซสมมาตร และสรปเปนทฤษฎบทไดดงน

ทฤษฎบท 4.6.2 สำหรบเมทรกซ A ทมมตm× n และมแรงคเทากบ r จะมเมทรกซ Σ มตm× n ในรปแบบ

Σ =

[D

]

ซงD เปนเมทรกซทแยงมมมต r×r ทมสมาชกทแยงมมจากมมบนซายไปยงมมลางขวาเปนคาเอกฐาน σ1 ≥ σ2 ≥· · · ≥ σr > 0 ของ A และตำแหนงอน ๆ ในเมทรกซ Σ มคาเปน 0 และ มเมทรกซเชงตงฉากปรกต U มต m×m

และเมทรกซเชงตงฉากปรกต V มต n × n ซงทำให A = UΣV T ยงกวานน หลกของเมทรกซ V จะเปนเวกเตอรเฉพาะทสมนยกบคาเฉพาะตาง ๆ ของATA ทเรยงลำดบจากมากไปหานอย และเมทรกซ U หาไดจากความสมพนธAV = UΣ


หมายเหต ให A เปนm× n เมทรกซ ซงการแยกเอกฐานของ A ม

U =[u1 u2 . . . um

]m×m

, D =

σ1

σ2. . .

σr

และ V =[v1 v2 . . . vn

]n×n

เมอ r = rankA ≤ min{m,n} และ σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr > 0

เนองจาก r ≤ m และ AV = UΣ ทำใหเราม Avj = σj uj สำหรบทก j ∈ {1, 2, . . . , r} จงได

uj =1

σjAvj สำหรบทก j ∈ {1, 2, . . . , r}

เพราะวาAAT = (UΣV T )(UΣV T )T = UΣΣTUT ดงนนหลกของU จะเปนเวกเตอรเฉพาะทสมนยกบคาเฉพาะตาง ๆ ของ AAT ในกรณท r < m เราจงหาเวกเตอร ur+1, . . . , um ไดจากการหาฐานหลกเชงตงฉากปรกตสำหรบNulAAT ซงคอเวกเตอรเฉพาะทสมนยกบคาเฉพาะ 0 และฐานหลกนจะมจำนวนสมาชกเทากบ

nullityAAT = m− rankAAT = m− rankATA = m− rankA = m− r

โดยทฤษฎบท 4.6.1

ตวอยาง 4.6.2 จงหาการแยกคาเอกฐานของเมทรกซ A =

[1 1 0

0 1 1

]

วธทำ จากตวอยาง 4.6.1 เราได คาเฉพาะของ ATA เปน λ = 3, 1, 0 และ คาเอกฐานของ A เปน σ =√3, 1, 0

จงไดโดยทฤษฎบท 4.6.2 วา Σ =

[√3 0 0

0 1 0

]

ตอไป เราจะหาเมทรกซ V โดยการหาเวกเตอรเฉพาะของ ATA =

1 1 0

1 2 1

0 1 1

ทสมนยกบแตละคาเฉพาะดงน

λ = 3 ดำเนนการแถวลดรป ATA− 3I3 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

ATA− 3I3 =

−2 1 0

1 −1 1

0 1 −2

∼

1 0 −1

0 1 −2

0 0 0


x2 − 2x3 = 0

ทำใหไดวา x1 = x3 และ x2 = 2x3 เพราะฉะนน x =

x1x2x3

=

x32x3x3

= x3

121

ดงนน Nul (ATA− 3I3) = Span

121


1√6

121


λ = 1 ดำเนนการแถวลดรป ATA− I3 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

ATA− I3 =

0 1 0

1 1 1

0 1 0

∼

1 0 1

0 1 0

0 0 0

ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 + x3 = 0

x2 = 0

ทำใหไดวา x1 = −x3 และ x2 = 0 เพราะฉะนน x =

x1x2x3

=

−x30

x3

= x3

−1

0

1

ดงนน Nul (ATA− I3) = Span

−1

0

1


1√2

−1

0

1

λ = 0 ดำเนนการแถวลดรป ATA− 0I3 = ATA ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

ATA =

1 1 0

1 2 1

0 1 1

∼

1 0 −1

0 1 1

0 0 0


x2 + x3 = 0

ทำใหไดวา x1 = x3 และ x2 = −x3 เพราะฉะนน x =

x1x2x3

=

x3−x3x3

= x3

1

−1

1


1

−1

1


1√3

1

−1

1

จงสรปไดวา V =

1√6

− 1√2

1√3

2√6

0 − 1√3

1√6

1√2

1√3

เพราะวา

AV =

[1 1 0

0 1 1

]1√6

− 1√2

1√3

2√6

0 − 1√3

1√6

1√2

1√3

=

[3√6

− 1√2

03√6

1√2

0

]

จงไดวา u1 = 1√3

[3√63√6

]และ u2 =

[− 1√

21√2

]เพราะฉะนน U =

[1√2

− 1√2

1√2

1√2

]ทำใหเราไดการแยกเอกฐานของเมทรกซ A คอ

A =

[1√2

− 1√2

1√2

1√2

][√3 0 0

0 1 0

]1√6

− 1√2

1√3

2√6

0 − 1√3

1√6

1√2

1√3

T

=

[1√2

− 1√2

1√2

1√2

][√3 0 0

0 1 0

]1√6

2√6

1√6

− 1√2

0 1√2

1√3

− 1√3

1√3

=

√3

[1√21√2

] [1√6

2√6

1√6

]+

[− 1√

21√2

] [− 1√

20 1√

2

]ตามตองการ �


ตวอยาง 4.6.3 จงหาการแยกคาเอกฐานของเมทรกซ A =

1 0

2 −1

0 1

วธทำ เพราะวา ATA =

[1 2 0

0 −1 1

]1 0

2 −1

0 1

=

[5 −2

−2 2

]

ดงนนdet(ATA− λI2) =

∣∣∣∣∣5− λ −2

−2 2− λ

∣∣∣∣∣ = (5− λ)(2− λ)− 4 = λ2 − 7λ+ 6

ทำใหสมการลกษณะเฉพาะของ ATA คอ λ2 − 7λ+ 6 = (λ− 1)(λ− 6) = 0

และไดคาเฉพาะของ ATA คอ λ = 6, 1 เพราะฉะนน คาเอกฐานของ A คอ σ =√6, 1

จงไดโดยทฤษฎบท 4.6.2 วา Σ =

√6 0

0 1

0 0

ตอไป เราจะหาเมทรกซ V โดยการหาเวกเตอรเฉพาะของ ATA ทสมนยกบแตละคาเฉพาะดงนλ = 6 ดำเนนการแถวลดรป ATA− 6I2 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

ATA− 6I2 =

[−1 −2

−2 −4

]∼

[1 2

0 0

]ซงสมนยกบระบบเชงเสน x1 + 2x2 = 0


[x1x2

]=

[−2x2x2

]= x2

[−2

1

]


{[−2

1

]}และมฐานหลกเชงตงฉากปรกตฐานหนงเปน

{1√5

[−2

1

]}λ = 1 ดำเนนการแถวลดรป ATA− I2 ใหมรปแบบขนบนไดลดรปไดเปน

ATA− I2 =

[4 −2

−2 1

]∼

[−2 1

0 0

]ซงสมนยกบระบบเชงเสน − 2x1 + x2 = 0


[x1x2

]=

[x12x1

]= x1

[1

2

]

ดงนน Nul (ATA− I2) = Span

{[1

2

]}และมฐานหลกเชงตงฉากปรกตฐานหนงเปน

{1√5

[1

2

]}

จงสรปไดวา V =1√5

[−2 1

1 2

]

เพราะวา AV =1√5

−2 1

−5 0

1 2

ดงนน u1 =1√30

−2

−5

1

และ u2 = 1√5

102

เราจะหา u3 ไดโดยการหาฐานหลกเชงตงฉากปรกตของ Nul (AAT )

เพราะวา AAT =

1 2 0

2 5 −1

0 −1 1

∼

1 0 2

0 1 −1

0 0 0

สมนยกบระบบเชงเสน x1 + 2x3 = 0

x2 − x3 = 0


ทำใหไดวา x1 = −2x3 และ x2 = x3 เพราะฉะนน x =

x1x2x3

=

−2x3x3x3

= x3

−2

1

1

ดงนน Nul (AAT ) = Span

−2

1

1


1√6

−2

1

1

เพราะฉะนน u3 =1√6

−2

1

1

และ U =

−2√30

1√5

−2√6

−5√30

0 1√6

1√30

2√5

1√6

ทำใหเราไดการแยกเอกฐานของเมทรกซ A คอ

A =

−2√30

1√5

−2√6

−5√30

0 1√6

1√30

2√5

1√6

√6 0

0 1

0 0

[−2√5

1√5

1√5

2√5

]T=

−2√30

1√5

−2√6

−5√30

0 1√6

1√30

2√5

1√6

√6 0

0 1

0 0

[−2√5

1√5

1√5

2√5

]

=√6

−2√30

−5√301√30

[−2√5

1√5

]+

1√5

02√5

[− 1√5

0 2√5

]


บทประยกตของการแยกคาเอกฐาน

ให A เปนm× n เมทรกซ สมมตวา การแยกเอกฐานของ A นนม

U =[u1 u2 . . . um

]m×m

, D =

σ1

σ2. . .

σr

และ V =[v1 v2 . . . vn

]n×n

เมอ r = rankA ≤ min{m,n} และ σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr > 0 จะไดวา

A = UΣV T = σ1u1vT1 + σ2u2v

T2 + · · ·+ σrurv

Tr

โดยท uivTi เปน m × n เมทรกซทมแรงกเทากบ 1 สำหรบทก i ∈ {1, 2, . . . , r} สงเกตวาในกรณท m และ n มคามาก ๆ นนคอ A มมตใหญ เชน หากเรามภาพขนาด 512 × 512 จดภาพ (pixel) โดยแตละจดภาพแทนขอมลสดวยตวเลข เราอาจแปลงภาพนเปนเมทรกซ A มต 512 × 512 ทมสมาชกแตละตำแหนงเปนตวเลขขอมลส ซงเราตองเกบขอมลถง (512)2 คา แตถาเราหาการแยกเอกฐานของเมทรกซ A กอน เราจะไดการประมาณคาของเมทรกซ A ในรปแบบ σ1u1v

T1 + σ2u2v

T2 + · · · + σkukv

Tk เมอ k ≤ rankA ≤ 512 โดยเราอาจเลอก k = 128 และเกบขอมล

u1, . . . , u128, v1, . . . , v128 ซงเทากบเราเกบขอมลเพยง 128+ (256)(512) คา จงทำใหมประสทธภาพและประหยดทจดเกบกวาหลายเทา แตคณภาพของภาพอาจลดลงไปบาง เราเรยกการประมาณเมทรกซ A เชนนวา การประมาณคาแรงก k ของ A (rank k approximation of A)


การแยกคาเอกฐานยงนำไปสการลดมต (dimension reduction) ของขอมล เชน สมมตวาเราเกบขอมลคะแนนจากการสอบ 9 วชาสามญของนกเรยน 10000 คน ซงอาจแทนขอมลในรปของเมทรกซ B มต 9× 10000

B =[v1 v2 . . . v10000

]ซงขอมลจากนกเรยนแตละคนจะเปนเวกเตอรแนวตงทมขนาด 9 × 1 จงไมสามารถลงจดดการกระจายของคะแนนของนกเรยนไดเหมอนในหวขอ 4.3 ให m แทนเวกเตอรแนวตงทมขนาด 9 × 1 โดยมสมาชกเปนคาเฉลยของวชาท 1 ถง 9ตามลำดบ ดงนน ถา

C =[v1 − m v2 − m . . . v10000 − m

]จะได

CCT =1

10000− 1[cov(Xi, Xj)]9×9

เปนเมทรกซซงมสมาชกในตำแหนงท (i, j) เปนความแปรปรวนรวมเกยวของวชาท i และ รายวชาท j (ซงในทนเราแทนดวยตวแปรสมXi และXj ตามลำดบ) และสมาชกทแยงมมจากมมบนซายไปยงมมลางขวาจะเปนความแปรปรวนของรายวชาท 1 ถง 9 ตามลำดบ ซงการแยกเอกฐานของ C จะออกมาในรปแบบ

C = σ1u1vT1 + σ2u2v

T2 + · · ·+ σ9u9v

T9

โดยท σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σ9 ≥ 0 ทำใหเราอาจลดมตของขอมลไปสนใจบนสวนประกอบ u ทม σ สง กลาวคอมคาความแปรปรวนสงเพยง 2-3 คา เรยกวา สวนประกอบมขสำคญ (principal component, PC) และฉายเวกเตอรในแตละหลกของ C ไปบน PC ตาง ๆ ทเลอกมา โดยหาการฉายเชงตงฉากบน Span {u1, u2, u3} นนเอง ทำใหเราไดจดขอมลในสามมตตามแกนพกดในทศทางของเวกเตอร u1, u2, u3 ซงสามารถลงจดและดแนวโนมของขอมลได เราเรยกการวเคราะหขอมลแบบนวา การวเคราะหสวนประกอบมขสำคญ (principal component analysis, PCA)



1. จงหาการแยกคาเอกฐานของเมทรกซตอไปน

(ก)[3 2 2

2 3 −2

](ข)

1 −1

−2 2

2 −2

(ค)[5 5

−1 7

]

2. สมมตวา A มมต 200× 500 ถาเราประมาณคาแรงก 100 ของ A เราตองจดเกบขอมลทงหมดกคา3. สมมตวา A เปนเมทรกซสมมาตรมต 2 × 2 ทมเวกเตอรเฉพาะเปน u1 และ u2 สมนยกบคาเฉพาะ 3 และ −2 ตามลำดบ

จงหาการแยกคาเอกฐานของ A (ตอบในรปเมทรกซตด u1 และ u2)

4. สมมตวา A มการแยกคาเอกฐานเปน

A =

.40 −.78 .47

.37 −.33 −.87

−.84 −.52 −.16

7.10 0 0

0 3.10 0

0 0 0

.30 −.51 −.81

.76 .64 −.12

.58 −.58 .58

(ก) จงหา rankA(ข) จงหาฐานหลกของ ColA และฐานหลกของ NulA


คำตอบแบบฝกหด 4.1 1.(u · v = v · u = 1, ∥u∥ =√5, ∥v∥ =

√13)/ 2u+ v =

[1

6

]/เวกเตอรหนงหนวยคอ ± 1√

37

[1

6

];

2.เวกเตอร 3 หนวยทศทางเดยวกบ u คอ− 18

767

− 97

/∥u− x∥ =√33;

3.x = 23u1 + u2 + 1

3u3/U =

2√21

1√5

8√105

4√21

0 − 5√105

− 1√21

2√5

− 4√105

/U−1 = UT ;

4.x = − 43u1 − 1

3u2 + 1

3u3/U =

−3√18

− 23

1√18

3√18

− 23

1√18

0 13

4√18

/U−1 = UT

คำตอบแบบฝกหด 4.2 1.(ก)H⊥ = Span

−2

1

0

,

301

, (ข)H⊥ = Span

0

−2

1

0

,

2

1

0

1

;

2.x =

0

−2

4

−2

+

10

−6

−2

2

= y + z; 3.x =

2

4

2

2

+

2

1

−5

1

= y + z; 4.(ก)y = − 32u1 − 5

2u2, (ข)y = 7

14u1 − 15

6u2;

5.(ก)y =

630

/z =

002

, (ข)y =

514

/z =

−4

2

1

, (ค)y =

34155815252815

/z =

2615

− 1315

135

− 1315

, (ง)y =

5

2

3

6

/z =

−2

2

2

0

;

6.UTU =

[1 0

0 1

]/UUT =

89

− 29

29

− 29

59

49

29

49

59

/ projH y = (UUT )y =

245

;

7.(ก)

1

−1

0

,

1

1

−2

, (ข)

3

0

−1

,

−1

5

−3

, (ค)

2

−5

1

,

633

,

(ง)

1

−4

0

1

,

5

1

0

−1

, (จ)

3

−1

2

−1

,

4

6

−3

0

, (ฉ)

1

1

1

1

,

1

1

1

−3

;

8.(ก)ฐานหลกคอ111

,

010

/ ฐานหลกเชงตงฉากคอ111

,

−1

2

−1

,

(ข)ฐานหลกคอ

−1

1

1

3

,

6

−2

−4

−8

,

6

6

−3

3

/ฐานหลกเชงตงฉากคอ

−1

1

1

3

,

3

1

−1

1

,

−1

3

−1

−1

,

(ค)ฐานหลก คอ

1

1

1

0

,

1

−1

0

1

,

0

1

1

1

/ฐานหลกเชงตงฉากคอ

1

1

1

0

,

1

−1

0

1

,

−2

1

1

3

;

9.(ก)Q = 15

[ √5 −2

√5

2√5

√5

]/R =

[√5

√5

0√5

], (ข)Q =

1√2

− 1√3

0 1√3

1√2

1√3

/R =

[√2 3

√2

0√3

],

(ค)Q =

13

8√234

− 23

11√234

23

7√234

/R =

[3 1

3

0√

263

], (ง)Q =

1√3

− 2√6

01√3

1√6

− 1√2

1√3

1√6

1√2

/R =

√3 2√

31√3

0 2√6

1√6

0 0 1√2

,

(จ)Q =

1√2

− 1√3

1√6

0 1√3

2√6

1√2

1√3

− 1√6

/R =

√2

√2

√2

0√3 − 1√

3

0 0 4√6

, (ฉ)Q =

12

0 12

− 12

1√2

12

12

0 12

12

1√2

− 12

/R =

2 0 1

0√2

√2

0 0 1


คำตอบแบบฝกหด 4.3 1.(ก)y = 12u1 + 3

2u2, (ข)y = 3u1 + u2; 2. 2

√10;

3.(ก)x =

[ 2717

], (ข)x =

[ 8715

], (ค)x =

13143

− 53

, (ง)x =

23013

;

4.(ก)x =

[−4

3

], (ข)x =

[1

1

], (ค)x =

87

− 137

17

, (ง)x =

5

−1

0

+ x3

−1

1

1

;

5.(ก)β =

[−0.6

0.7

], (ข)β =

[4

−1.3

], (ค)β =

[− 3

2135

], (ง)β =

[−0.9

2.6

]

คำตอบแบบฝกหด 4.4 1.(ก)λ = 4, 9/

[1√5

− 2√5

2√5

1√5

], (ข)λ = −1, 3/

[1√2

− 1√2

1√2

1√2

], (ค)λ = 0, 25/

[ 45

− 35

35

45

],

(ง)λ = 52, 15

2/

[3√10

− 1√10

1√10

3√10

], (จ)λ = −6,−2, 6/

1√3

0 2√6

− 1√3

1√2

1√6

1√3

1√2

− 1√6

, (ฉ)λ = 2,−1,−1/

1√3

0 2√6

1√3

1√2

− 1√6

1√3

− 1√2

− 1√6

,

(ช)λ = 3, 3, 0/

1√6

1√2

− 1√3

2√6

0 1√3

− 1√6

1√2

1√3

, (ซ)λ = −3,−50, 25/

0 35

− 45

1 0 0

0 45

35

, (ฌ)λ = 0, 0, 2/

−1√2

0 1√2

1√2

0 1√2

0 1 0

,

(ญ)λ = 0, 3, 3/

1√3

− 1√2

− 1√6

1√3

1√2

− 1√6

1√3

0 2√6

, (ฎ)

0 1 0 0

− 1√2

0 1√2

0

0 0 0 11√2

0 1√2

0

, (ฏ)

− 1√

20 1√

20

0 − 1√2

0 1√2

1√2

0 1√2

0

0 1√2

0 1√2

;

2.(ก)

[1√5

− 2√5

2√5

1√5

][4 0

0 9

][ 1√5

2√5

− 2√5

1√5

], (ข)

[1√2

− 1√2

1√2

1√2

][−1 0

0 3

][ 1√2

1√2

− 1√2

1√2

],

(ค)[ 45

− 35

35

45

][0 0

0 25

][ 45

35

− 35

45

], (ง)

[3√10

− 1√10

1√10

3√10

][ 52

0

0 152

][ 3√10

1√10

− 1√10

3√10

];

3.P =

1√3

− 1√2

− 1√6

1√3

1√2

− 1√6

1√3

0 2√6

/D =

5 0 0

0 2 0

0 0 2

;

4.P =

−23

1√2

1√18

23

1√2

− 1√18

13

0 4√18

/D =

10 0 0

0 1 0

0 0 1

; 5.P =

[1√2

1√2

− 1√2

1√2

]/λ = a± b

คำตอบแบบฝกหด 4.5 1.(ก)5x21 − x2

2 + x1x2, (ข)4x21 + 2x2

2 + x23 + 6x1x2 + 2x2x3;

2.(ก)[−5 2

2 −2

], (ข)

[3 −2

−2 3

], (ค)

[9 −4

−4 3

], (ง)

[0 1

212

0

], (จ)

1 0 0

0 1 −1

0 −1 1

, (ฉ)

9 −4 4

−4 7 0

4 0 11

;

3.(ก)ลบแนนอนλ = −1,−6/P =

[1√5

− 2√5

2√5

1√5

]/− y21 − 6y22 ,

(ข)บวกแนนอนλ = 1, 5/P =

[1√2

− 1√2

1√2

1√2

]/y21 + 5y22 ,

(ค)บวกแนนอนλ = 11, 1/P =

[− 2√

51√5

1√5

2√5

]/11y21 + y22 ,

(ง)ไมแนนอนλ = 12,− 1

2/P =

[1√2

− 1√2

1√2

1√2

]/ 12y21 − 1

2y22 ,

(จ)บวกกงแนนอนλ = 0, 1, 2/P =

0 1 01√2

0 − 1√2

1√2

0 1√2

/y22 + 2y23 ,

(ฉ)บวกแนนอนλ = 3, 9, 15/P =

− 23

13

− 23

− 23

− 23

13

13

− 23

− 23

/3y21 + 9y22 + 15y23 ;


4.λ = 2, 4/P =

[1√2

1√2

− 1√2

1√2

]/2y21 + 4y22 = 1,

K0.6 K0.4 K0.2 0 0.2 0.4 0.6

K0.6

K0.4

K0.2

0.2

0.4

0.6

5.(ก)k > 4,(ข)k > 2,(ค)k2 ≤ 1;

6.

(ก)

K1.2 K1.0 K0.8 K0.6 K0.4 K0.2 0.0

K2.0

K1.8

K1.6

K1.4

K1.2

K1.0

K0.8

K0.6

K0.4

(ข)

K10 K5 0 5 10 15

K15

K10

K5

5

10

15

(ค)

K8 K7 K6 K5 K4 K3 K2 K1 0 1

K6

K5

K4

K3

K2

K1

1

(ง)

K2.0 K1.5 K1.0 K0.5 0

K0.8

K0.6

K0.4

K0.2

0.2

0.4

คำตอบแบบฝกหด 4.6 1. (ก) U =

[1√2

1√2

1√2

− 1√2

],Σ =

[5 0 0

0 3 0

], V =

1√2

1√18

− 23

1√2

− 1√18

23

0 4√18

13

,

(ข) U =

13

2√5

− 245

− 23

1√5

4√45

23

0 5√45

,Σ =

3√2 0

0 0

0 0

, V =

[1√2

− 1√2

1√2

1√2

],

(ค) U =

[1√2

1√2

1√2

− 1√2

],Σ =

[4√5 0

0 2√5

], V =

[1√10

− 3√10

3√10

1√10

];

2. 100 + (100)(200) + (100)(500); 3. U =[u1 u2

],Σ =

[3 0

0 2

], V = UT ;

4.(ก) rankA = 2 (ข) ฐานหลกสำหรบ ColA คอ .40

.37

−.84

,

−.78

−.33

−.52

และ ฐานหลกสำหรบ NulA คอ .58

−.58

.58

บทท 5

แนวคดเชงนามธรรมของพชคณตเชงเสน

5.1 ปรภมเวกเตอรและปรภมยอย

5.1.1 ปรภมเวกเตอร

ให (F,+,×) เปนฟลด เราเรยกสมาชกของ F วาสเกลาร (scalar) และ ให V เปนเซตพรอมการดำเนนการ การบวก(addition) ⊕ เราเรยกสมาชกของ V วาเวกเตอร (vector) กำหนด⊙ เรยกวาการคณโดยสเกลาร (scalar multipli-cation) บน V เราเรยก (V,⊕,⊙) วาปรภมเวกเตอร (vector space) เหนอฟลด F ถา

1. V ภายใตการดำเนนการการบวก ⊕ สอดคลองสมบต:

(⊕1) u⊕ v ∈ V สำหรบทก ๆ u, v ∈ V

(⊕2) (u⊕ v)⊕ w = u⊕ (v ⊕ w) สำหรบทก ๆ u, v, w ∈ V

(⊕3) ม 0V ∈ V ททำให u⊕ 0 = u = 0⊕ u สำหรบทก ๆ u ∈ V

เรยก 0V วาเวกเตอรศนย (zero vector)(⊕4) u⊕ v = v ⊕ u สำหรบทก ๆ u, v ∈ V

(⊕5) สำหรบแตละ u ∈ V ม u′ ∈ V ททำให u⊕ u′ = 0 = u′ ⊕ u

เรยก u′ วาลบของเวกเตอร u (negative of u)

2. การคณโดยสเกลาร ⊙ สอดคลองสมบต:

(⊙1) c⊙ v ∈ V สำหรบทก ๆ c ∈ F และ u ∈ F

(⊙2) (c1 + c2)⊙ v = (c1 ⊙ v)⊕ (c2 ⊙ v) สำหรบทก ๆ c1, c2 ∈ F และ v ∈ V

(⊙3) (c1 × c2)⊙ v = c1 ⊙ (c2 ⊙ v) สำหรบทก ๆ c1, c2 ∈ F และ v ∈ V

(⊙4) c⊙ (v1 ⊕ v2) = (c⊙ v1)⊕ (c⊙ v2) สำหรบทก ๆ c ∈ F และ v1, v2 ∈ V

(⊙5) 1⊙ v = v สำหรบทก ๆ v ∈ V

133

134 บทท 5 แนวคดเชงนามธรรมของพชคณตเชงเสน

ทฤษฎบท 5.1.1 ให (V,⊕,⊙) เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F จะไดวา1. (การตดออก (cancellation)) ∀u, v, w ∈ V, u⊕ w = v ⊕ w ⇒ u = v

2. สำหรบทก ๆ เวกเตอร u, v ∈ V จะมเวกเตอร x ∈ V เพยงเวกเตอรเดยวทสอดคลอง x⊕ u = v

ดงนน เวกเตอรศนย 0V และ ลบของเวกเตอร u จะมเพยงเวกเตอรเดยว เขยนแทนดวย −u

บทพสจน เราจะแสดงการตดออกกอน และนำไปใชในการพสจนสวนทเหลอ

1. ให u, v และ w เปนเวกเตอรใด ๆ ใน V ซง u⊕ w = v ⊕ w

โดย (⊕5) จะมเวกเตอร w′ ใน V ซง w ⊕ w′ = 0Vจาก (u⊕ w)⊕ w′ = (v ⊕ w)⊕ w′ ซงจดรปโดย (⊕2) ไดเปน u⊕ (w ⊕ w′) = v ⊕ (w ⊕ w′)

เพราะฉะนน u⊕ 0V = v ⊕ 0V และเราสรปจาก (⊕3) ไดวา u = v ตามตองการ2. ให u และ v เปนเวกเตอรใด ๆ ใน V

โดย (⊕5) จะมเวกเตอร u′ ใน V ซง u′ ⊕ u = 0Vเลอก x = v ⊕ u′ ดงนน โดย (⊕1) x อยใน V

และโดย (⊕2) และ (⊕3) ไดวา x⊕ u = (v ⊕ u′)⊕ u = v ⊕ (u′ ⊕ u) = v ⊕ 0V = v

ตอไปจะแสดงวาม x เพยงเวกเตอรเดยว สมมตวา ม x′ อกเวกเตอรหนงใน V ซง x′ ⊕ u = v

ดงนน x⊕ u = x′ ⊕ u จงสรปไดจากการตดออกวา x = x′

สำหรบการมเพยงตวเดยวของ 0V และ u′ เราไดจากสมการ x⊕ u = u และ x⊕ u = 0V ตามลำดบ �

ทฤษฎบท 5.1.2 ให (V,⊕,⊙) เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F , u เปนเวกเตอรใน V และ c เปนสเกลารในฟลด F จะไดวา1. 0⊙ u = 0V 2. (−1)⊙ u = −u 3. c⊙ 0V = 0V4. (−c)⊙ u = −(c⊙ u) = c⊙ (−u) 5. ถา c⊙ u = 0V แลว c = 0 หรอ u = 0

บทพสจน ให u เปนเวกเตอรใด ๆ ใน V และ c เปนสเกลารใด ๆ ในฟลด F

1. จาก (+3) ไดวา 0 + 0 = 0 ดงนน (0 + 0)⊙ u = 0⊙ u

จงจดรปโดย (⊙2) และ (⊕3) ไดเปน (0⊙ u)⊕ (0⊙ u) = 0V ⊕ (0⊙ u)

เพราะฉะนน โดยการตดออก จะได 0⊙ u = 0V

2. เราจะแสดงวา (−1) · u เปนลบของเวกเตอร uและจะสรปจากการททราบแลววาลบของเวกเตอร u มเพยงเวกเตอรเดยววา (−1)⊙ u = −u

โดย (⊕5) และ (⊙2) จะได u⊕ ((−1)⊙ u) = (1⊙ u)⊕ ((−1)⊙ u) = (1+ (−1))⊙ u = 0⊙ u = 0V

3. จาก (⊕3) ไดวา 0V ⊕ 0V = 0V ดงนน c⊙ (0V ⊕ 0V ) = c⊙ 0Vจงจดรปโดย (⊙4) และ (⊕3) ไดเปน (c⊙ 0V )⊕ (c⊙ 0V ) = 0V ⊕ (c⊙ 0V )

เพราะฉะนน โดยการตดออก จะได c⊙ 0V = 0V

4. ใหทำเปนแบบฝกหด โดยแสดงวา (c⊙ u)⊕ ((−c)⊙ u) = 0V และ (c⊙ u)⊕ (c⊙ (−u)) = 0V

5. สมมตวา c⊙ u = 0V และ c = 0 เราจะแสดงวา u = 0

โดย (×5) จะม a ∈ F ซง a× c = 1

เราจดรป a⊙ (c⊙ u) = a⊙ 0V โดย (⊙3) และขอ 1. ไดเปน (a× c)⊙ u = 0

เพราะฉะนน u = 0

5.1 ปรภมเวกเตอรและปรภมยอย 135

จากขอ 2. เรายงไดดวยวาหากตองการ ‘ลบของเวกเตอร u’ เราเพยงแคนำ −1 ไป ⊙ กบเวกเตอร u �

หากไมสบสนระหวางการบวกบน F และ บน V เรานยมเขยนแทน ⊕ บน V ดวย + และ เรานยมเขยนแทน c⊙ v

ดวย cv

ในหวขอ 1.2 เราไดนยามเมทรกซบน R ซงจากการนยามดงกลาว เราสามารถนยามเมทรกซเหนอฟลด F พรอมทงการบวกและการคณโดยสเกลารไดโดยแทนท R ดวย F

ใหm และ n เปนจำนวนเตมบวก เราเขยนแทนเซตของเมทรกซบน F มตm× n ทงหมดดวยMm,n(F ) และใหMn(F ) = Mn,n(F ) ซงเราเรยกสมาชกในเซตนวาเมทรกซจตรสมต n และเราเขยนแทนเซตของเวกเตอรหลกบน F

มต m × 1 ทงหมดดวย Fm ยงกวานน ทฤษฎบทเกยวกบเมทรกซเหนอฟลดของจำนวนจรงทเราไดศกษาไปในบทท 1และ 2 ยงคงเปนจรงเมอแทนทฟลดของจำนวนจรง R ดวยฟลด F ใด ๆ

ตวอยาง 5.1.1 [ตวอยางของปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F ]

1. ให m และ n เปนจำนวนเตมบวก เราไดวา Mm,n(F ) ภายใตการบวก และ การคณโดยสเกลารทนยามขางตนเปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F ดงนนMn(F ) และ Fm เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F ดวย

2. ให FN แทนเซตของลำดบของสมาชกใน F ทงหมด นนคอ

FN = {(an) : an ∈ F สำหรบทก ๆ จำนวนนบ n}

กำหนดการบวกและการคณดวยสมาชกของ F โดยสำหรบลำดบ (an) และ (bn) ใน FN และ c ∈ F เราให

(an) + (bn) := (cn) และ c (an) := (dn)

โดยทcn = an + bn และ dn = c an สำหรบทก ๆ n ∈ N

จะไดวา FN เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F เรยกวาปรภมลำดบ (sequence space)

3. ให S เปนเซตใด ๆ ซงไมใชเซตวาง และ ให FS แทนเซตของฟงกชนทงหมดจากเซต S ไปยงฟลด F นนคอ

FS = {f | f : S → F}

กำหนดการบวกและการคณดวยสมาชกของ F โดยสำหรบฟงกชน f และ g ใน FS และ c ∈ F เราให

(f + g)(x) = f(x) + g(x) และ (c f)(x) = cf(x) สำหรบทก ๆ x ∈ S

จะไดวา FS เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F เรยกวาปรภมฟงกชน (function space)

4. ให n เปนจำนวนเตมบวกหรอศนยและ Fn[x] แทนเซตของพหนาม (polynomial) ดกรไมเกน n ทมสมประสทธอยในฟลด F และมตวไมกำหนด (indeterminate) เปน x นนคอ

Fn[x] = {a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n : ai ∈ F สำหรบทก ๆ i ∈ {0, 1, 2, . . . , n}}

กำหนดการบวกและการคณดวยสมาชกของ F โดยสำหรบพหนาม p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n

และ q(x) = b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bnx

n ใน Fn[x] และ c ∈ F เราให

p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2 + · · ·+ (an + bn)x

n

และ c(p(x)) = (ca0) + (ca1)x+ (ca2)x2 + · · ·+ (can)x

n


จะไดวา Fn[x] เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F สงเกตวา เราม Fn−1[x] ⊂ Fn[x] ทก ๆ จำนวนเตมบวก n

5. ให F [x] แทนเซตของพหนามทงหมดทมสมประสทธอยในฟลด F และมตวไมกำหนดเปน x นนคอ

F [x] = {a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n : n ≥ 0

และ ai ∈ F สำหรบทก ๆ i ∈ {0, 1, 2, . . . , n}}

จะไดวา F [x] =∪n≥0

Fn[x] และ ใชการบวกและการคณดวยสมาชกของ F บน Fn[x] เราไดวา F [x] เปนปรภม

เวกเตอรเหนอฟลด F เรยกวาปรภมพหนาม (polynomial space) เหนอฟลด F6. พจารณาเซตของจำนวนเชงซอน C = {a+ bi : a, b ∈ R และ i2 = −1} ภายใตการดำเนนการบวก และ คณ

ดวยจำนวนจรงทกำหนดโดย

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i และ e(a+ bi) = ea+ ebi สำหรบทก ๆ a, b, c, d, e ∈ R

จะไดวา C เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลดของจำนวนจรง R

ตวอยาง 5.1.2 ให V = R2 จงพจารณาวาการกำหนดการบวกและการคณดวยจำนวนจรงบน V ดงตอไปนทำให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลดของจำนวนจรงหรอไม เพราะเหตใด(ก) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2y2) และ c(x1, x2) = (cx1, x2)

สำหรบทก ๆ เวกเตอร (x1, x2), (y1, y2) ∈ V และ c ∈ R(ข) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) และ c(x1, x2) = (cx2, cx1)

สำหรบทก ๆ เวกเตอร (x1, x2), (y1, y2) ∈ V และ c ∈ R

ลองทำ 5.1.1 ให V = R2 กำหนดการบวกและการคณดวยจำนวนจรงบน V โดย

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2)

c(x1, x2) = (cx1,x2

c) ถา c = 0 และ 0(x1, x2) = (0, 0)

สำหรบทก ๆ เวกเตอร (x1, x2), (y1, y2) ∈ V และ c ∈ Rจงพจารณาวา V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด R หรอไม เพราะเหตใด

5.1.2 ปรภมยอยให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และW เปนเซตยอยของ V เรากลาววาW เปน ปรภมยอย (subspace) ของ VกตอเมอW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F ภายใตการบวกและการคณโดยสเกลารเดยวกบ V

ทฤษฎบท 5.1.3 ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และW เปนเซตยอยของ V เราไดวาW เปนปรภมยอยของ V กตอเมอก. 0V ∈ W และ ข. v + w ∈ W สำหรบทก ๆ v, w ∈ W และ ค. cv ∈ W สำหรบทก ๆ v ∈ W และ c ∈ F

บทพสจน สมมตวาW เปนปรภมยอยของ VดงนนW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F ภายใตการบวกและการคณโดยสเกลารเดยวกบ V

ทำใหได ก., ข. และ ค. โดย (⊕3), (⊕1) และ (⊙1) ตามลำดบในทางกลบกน สมมตวา ก., ข. และ ค. เปนจรง เราจะแสดงวาW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F ภายใตการบวกและ


การคณโดยสเกลารเดยวกบ V นนคอ เราตองแสดงวา (⊕1) – (⊕5) และ (⊙1) – (⊙5) เปนจรงสงเกตกอนวาสมมตฐาน ข. และ ค. ทำให (⊕1) และ (⊙1) เปนจรง ตามลำดบเนองจากW เปนเซตยอยของ V ดงนน (⊕2), (⊕4) และ (⊙2) – (⊙5) เปนจรง และ โดย ก. จะได (⊕3) เปนจรงทายสดเราจะแสดงวา (⊕5) เปนจรง โดยให v เปนเวกเตอรใด ๆ ในW

เนองจาก −1 อยใน F เราจงไดโดย ค. วา (−1)v อยในW

โดยทฤษฎบท 5.1.2 (−1)v = −v เพราะฉะนน −v อยในW �

หมายเหต โดยทฤษฎบทขางตน จะไดวาในการแสดงวาเซตยอยW เปนปรภมยอยของ V นน เราจะแสดงวาเวกเตอรศนยของ V อยใน W และแสดงวาการบวกเวกเตอรและการคณโดยสเกลารบน W มสมบตปด นนคอ เราตรวจสอบเพยงสมบต (⊕3), (⊕1) และ (⊙1) บนW เทานน

ลองทำ 5.1.2 ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และW เปนเซตยอยของ V จงแสดงวาW เปนปรภมยอยของ V กตอเมอ 0V ∈ W และ v + cw ∈ W สำหรบทก ๆ v, w ∈ W และ c ∈ F

ตวอยาง 5.1.3 1. สำหรบปรภมเวกเตอร V ใด ๆ เหนอฟลด F เราไดวา {0V } และ V เปนปรภมยอยของ Vเรยกวาปรภมยอยชด (trivial subspace)

2. ให n จำนวนเตมบวกหรอศนย เราไดโดยบทนยามวา Fn[x] เปนปรภมยอยของ F [x]

3. ให α ∈ F และ Vα = {(x1, x2) : x1 = αx2} จะไดวา Vα เปนปรภมยอยของ F 2

บทพสจน เราจะแสดงวา Vα เปนปรภมยอยของ F 2 โดยทฤษฎบท 5.1.3

สงเกตวา 0 = α0 ดงนน เวกเตอร (0, 0) อยใน Vα

ให (x1, x2) และ (y1, y2) เปนเวกเตอรใด ๆ ใน Vα และ c เปนสเกลารใด ๆ ใน F

ดงนน x1 = αx2 และ y1 = αy2สงผลให x1 + x2 = αy1 + αy2 = α(y1 + y2) และ cx1 = c(αx2) = (cα)x2 = (αc)x2 = α(cx2)

เพราะฉะนน (x1 + x2, y1 + y2) และ (cx1, cx2) อยในW

จงสรปไดวา (x1, x2) + (y1, y2) และ c(x1, x2) อยในW ตามตองการ �

4. W =

{[a b

c d

]: a, b, c, d ∈ R และ a+ d = b+ c

}เปนปรภมยอยของM2(R) เหนอฟลด R

บทพสจน สงเกตวา 0 + 0 = 0 + 0 ดงนน[0 0

0 0

]อยในW

ให[a1 b1c1 d1

]และ

[a2 b2c2 d2

]เปนเมทรกซใด ๆ ในW และ r เปนจำนวนจรงใด ๆ

ดงนน a1 + d1 = b1 + c1 และ a2 + d2 = b2 + c2สงผลให (a1 + d1) + (a2 + d2) = (b1 + c1) + (b2 + c2) และ r(a1 + d1) = r(b1 + c1)

ซงจดรปไดเปน (a1 + a2) + (d1 + d2) = (b1 + b2) + (c1 + c2) และ ra1 + rd1 = rb1 + rc1 ตามลำดบเพราะฉะนน

[a1 + a2 b1 + b2c1 + c2 d1 + d2

]และ

[ra1 rb1rc1 rd1

]อยในW

จงสรปไดวา[a1 b1c1 d1

]+

[a2 b2c2 d2

]และ r

[a1 b1c1 d1

]อยในW ตามตองการ �

5. W = {(x1, x2) ∈ R2 : x1x2 = 0} ไมเปนปรภมยอยของ R2 เพราะวา เวกเตอร (1, 0) และ (0, 1) อยในW

แตเวกเตอร (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ไมอยในW


6. W = {f : R → R | f(x) ≥ 0 สำหรบทก ๆ x ∈ R} ไมเปนปรภมยอยของ RR

เพราะวา f(x) = x2 เปนฟงกชนทอยในW แตฟงกชน (−f)(x) = −(f(x)) = −x2 ไมอยในW

ลองทำ 5.1.3 1. ใหW1 =

{[a b

c d

]∈ M2(R) : a+ b = c+ d

}และ

W2 =

{[a b

c d

]∈ M2(R) : ad− bc = 0

}จงพจารณาวาW1 และW2 เปนปรภมยอยของM2(R) หรอไม เพราะเหตใด

2. ใหW = {A ∈ Mn(F ) : A เปนเมทรกซสมมาตร}จงพจารณาวาW เปนปรภมยอยของMn(F ) หรอไม เพราะเหตใด

3. ใหW1 = {p(x) ∈ F [x] : p(1) = 0} และW2 = {p(x) ∈ F [x] : p(0) = 1} จะไดวาจงแสดงวาW1 เปนปรภมยอยของ F [x] แตW2 ไมเปนปรภมยอยของ F [x]

4. ใหW1 = {p(x) ∈ R[x] : x+ 2 หาร p(x) ลงตว} และW2 = {p(x) ∈ R[x] : สมการ p(x) = 0 มรากซำกนสองราก}จงพจารณาวาW1 และW2 เปนปรภมยอยของ R[x] หรอไม เพราะเหตใด

ลองทำ 5.1.4 (ใชแคลคลส) 1. ให C0(−∞,∞) = {f ∈ RR : f เปนฟงกชนตอเนองบน (−∞,∞)}จงแสดงวา C0(−∞,∞) เปนปรภมยอยของ RR

2. ใหW = {f : R → R | f ′′ = f} จงแสดงวาW เปนปรภมยอยของ RR

3. ให ℓ∞(R) = {(an) ∈ RN : (an) เปนลำดบลเขา} จงแสดงวา ℓ∞(R) เปนปรภมยอยของ RN

4. ให C1(−∞,∞) แทนเซตของฟงกชนคาจรงซงอนพนธมความตอเนองบน (−∞,∞)

จงแสดงวา C1(−∞,∞) เปนปรภมยอยของ C0(−∞,∞)

5. ให S =

{(an) ∈ RN :

∞∑n=1

an = 0

}จงแสดงวา S เปนปรภมยอยของ RN

ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F สำหรบเวกเตอร v1, v2, . . . , vp ใน V และสเกลาร c1, c2, . . . , cp ใน F เราเรยกเวกเตอร

y = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp

วาการรวมเชงเสน (linear combination) v1, v2, . . . , vp ดวยนำหนก (weight) c1, c2, . . . , cpให S เปนเซตยอยของ V ทไมใชเซตวาง เราเรยกเซตของการรวมเชงเสนทงหมดของเวกเตอรในเซต S วาเซตยอย

ของ V ทแผทวโดย S (subset of V spanned by S) เขยนแทนดวย Span S นนคอ

Span S := {c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp ∈ V : c1, c2, . . . , cp ∈ F, v1, v2, . . . , vp ∈ S}

เพอความสะดวก เรากำหนด Span ∅ = {0}สงเกตวา 0 ∈ Span S, S ⊆ Span S, Span {0} = {0} และเราไดสมบตคลายคลงกบทฤษฎบท 2.2.1 วา

ทฤษฎบท 5.1.4 ให S เปนเซตยอยของปรภมเวกเตอร V เหนอฟลด F จะไดวา Span S เปนปรภมยอยของ Vเรยกวาปรภมยอยของ V ทแผทวโดย S (subspace of V spanned by S)

ถา Span S = V เรากลาววา S แผทว (span) V และถาม S เปนเซตจำกดซง Span S = V เรากลาววา V มมตจำกด (finite dimensional)


ตวอยาง 5.1.4 จงพจารณาวาพหนามตอไปนอยในปรภมยอย

W = Span {x3 − 2x2 − 5x− 3, 3x3 − 5x2 − 4x− 9}

ของ R[x] หรอไม เพราะเหตใด(ก) 2x3 − 2x2 + 12x− 6 (ข) 3x3 − 2x2 + 7x+ 8

ตวอยาง 5.1.5 จงแสดงวา(ก) Span {x2 + 3x− 2, 2x2 + 5x− 3,−x2 − 4x+ 4} = R2[x]

(ข) Span

{[1 1

1 0

],

[1 1

0 1

],

[0 1

1 1

],

[1 0

1 1

]}= M2(R)

ลองทำ 5.1.5 1. ใหW = Span {1 + x, 2 + x2} เปนปรภมยอยของ R2[x]

จงพจารณาวา 1 และ 1− x+ x2 อยในW หรอไม เพราะเหตใด2. จงแสดงวา Span {1− x, 1 + x, x2} = R2[x]

3. ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F จงแสดงวา(ก) ถา S1 ⊆ S2 แลว Span S1 ⊆ Span S2 (ข) V = Span V

เราเรยกเซตยอย S ของ V วาอสระเชงเสน (linearly independent) กตอเมอ สำหรบทก ๆ เวกเตอรv1, v2, . . . , vp ใน S และสเกลาร c1, c2, . . . , cp ในฟลด F ถา

c1v1 + c2v2 + · · ·+ cpvp = 0V

แลว c1 = c2 = · · · = cp = 0 ดงนนเซตยอย S ของ V ไมอสระเชงเสน (linearly dependent) กตอเมอ มเวกเตอรv1, v2, . . . , vp ในS และสเกลาร c1, c2, . . . , cp ในฟลดF ทไมเปนศนยพรอมกนซงทำให c1v1+c2v2+· · ·+cpvp =

0V

ตวอยาง 5.1.6 จงพจารณาวาเซตตอไปนเปนเซตอสระเชงเสน หรอไม เพราะเหตใด(ก) {x2 + 3x− 2, 2x2 + 5x− 3,−x2 − 4x+ 4} ใน R2[x]

(ข) {ex, sinx} ใน RR

(ค) {1, sin2 x, cos 2x} ใน RR

(ง){[

1 1

1 0

],

[1 1

0 1

],

[0 1

1 1

],

[1 0

1 1

]}ในM2(R)

ลองทำ 5.1.6 1. ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และ v, w ∈ V

จงแสดงวา ถา {v, w} เปนเซตอสระเชงเสนแลว {v − w, v + w} เปนเซตอสระเชงเสน2. ให a, b ∈ R จงพสจนวา {eax, ebx} เปนเซตอสระเชงเสน กตอเมอ a = b

3. ให F เปนฟลด และ S = {(a, b), (c, d)} เปนเซตของเวกเตอรใน F 2

จงแสดงวา S เปนเซตอสระเชงเสน กตอเมอ ad− bc = 0

4. (ก) ถา 0V ∈ S แลว จงแสดงวา S ไมเปนเซตอสระเชงเสน(ข) จงแสดงวา {u} เปนเซตอสระเชงเสน กตอเมอ u = 0V

5.1.3 ฐานหลกและมตฐานหลก (basis) สำหรบปรภมยอยW ของปรภมเวกเตอร V เหนอฟลด F คอเซตยอย B ของW ซงเปนอสระเชงเสนและแผทวW นนคอ B ⊆ W เปนอสระเชงเสนและ Span B = W


ขอสงเกต เนองจาก Span ∅ = {0} และ ∅ เปนเซตอสระเชงเสน ดงนน ∅ เปนฐานหลกสำหรบ {0}

บทตง 5.1.5 ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และ S เปนเซตยอยของ V

1. ถา u, v1, . . . , vn เปนเวกเตอรทแตกตางกนใน S ซงมสเกลาร c1, . . . , cn ใน F ททำใหu = c1v1 + · · ·+ cnvn แลว Span S = Span (S r {u})

2. ถา S เปนเซตอสระเชงเสน และ u /∈ Span S แลว S ∪ {u} เปนเซตอสระเชงเสน

บทพสจน 1. เพราะวา S r {u} ⊆ S ดงนน Span (S r {u}) ⊆ Span S

ในทางกลบกน เราให x เปนเวกเตอรใด ๆ ใน Span S

ดงนน จะมเวกเตอร w1, w2, . . . , wm ทแตกตางกนใน S และสเกลาร d1, d2, . . . , dm ใน F ซง

x = d1w1 + d2w2 + · · ·+ dmwm

หากเวกเตอร w1, . . . , wm ทกเวกเตอรตางจาก u เรากสรปไดทนทวา x อยใน Span (S r {u})เพราะฉะนน เราจะสมมตวาม i ทเวกเตอร wi = u โดยไมเสยนยเราอาจให i = 1 และเขยน

x = d1u+ d2w2 + · · ·+ dmwm

เพราะวา u = c1v1 + · · ·+ cnvn ดงนน

x = d1(c1v1 + · · ·+ cnvn) + d2w2 + · · ·+ dmwm

= d1c1v1 + · · ·+ d1cnvn + d2w2 + · · ·+ dmwm

และ v1, . . . , vn, w2, . . . , wm เปนเวกเตอรทตางจาก u จงสรปในกรณนไดวา x ∈ Span (S r {u}) เชนกน2. ในการพสจนวา S ∪ {u} เปนเซตอสระเชงเสน เราจะใชบทนยามโดยเรมจากให v1, . . . , vn เปนเวกเตอรใด ๆ

ใน S และสมมตวามสเกลาร c, c1, . . . , cn ใน F ซง

cu+ c1v1 + · · ·+ cnvn = 0V

และจะแสดงวา c = c1 = · · · = cn = 0

โดยอาศยการพสจนโดยขอขดแยง เราจะสมมตกอนวา c = 0 ดงนน −c = 0 และ (−c)−1 ∈ F ทำใหเราม

u = (−c)−1(c1v1 + · · ·+ cnvn) = (−c)−1c1v1 + · · ·+ (−c)−1cnvn

สงผลให u อยใน Span S ซงเปนขอขดแยง เราจงสรปไดวา c = 0 และ ดงนน

c1v1 + · · ·+ cnvn = 0V

เพราะวา S เปนเซตอสระเชงเสน เพราะฉะนน c1 = · · · = cn = 0 ตามตองการ �

ในการสรางฐานหลกสำหรบปรภมเวกเตอร V เหนอฟลด F เราอาจใชบทตง 5.1.5 ได 2 กรณดงน

1. ในกรณท V มมตจำกด สมมตวามเซตยอย S = {v1, . . . , vm} ของ V ทแผทว Vถา S เปนเซตอสระเชงเสน จะได S เปนฐานหลกสำหรบ V


หาก S ไมเปนเซตอสระเชงเสน จะม vi (เราอาจสลบอนดบของเวกเตอรใน S และสมมตวา i = m) ซง

vm = c1v1 + . . . cm−1vm−1

และไดจากบทตง 5.1.5 1. วา Span S = Span (S r {vm}) และถา S r {vm} เปนเซตอสระเชงเสน เรากจะสรปไดวา S r {vm} เปนฐานหลกสำหรบ V หาก S r {vm} ไมเปนเซตอสระเชงเสน เรากทำการลดทอนจำนวนเวกเตอรใน S เชนนซำไปเรอย ๆ จนไดเซตยอย B ของ S ทเปนฐานหลกสำหรบ V ตามตองการ

2. ในกรณทวไปนน เราจะพจารณาเซต L = {L ⊆ V : L เปนเซตอสระเชงเสน} ซงเซตนมสมาชกอยางนอยหนงเซตคอ ∅ เรากำหนดอนดบบางสวนบน L โดย ⊆ และเราจะแสดงวาโซทก ๆ โซใน L มขอบเขตบนทอยใน L

ให C เปนโซใด ๆ ใน L นนคอ C เปนเซตยอยของ L ซงทก C,D ใน C จะไดวา C ⊆ D หรอ D ⊆ C

เราจะแสดงวา∪C =∪{C : C ∈ C } เปนขอบเขตบนของ C ทอยใน L

สงเกตวา C ⊆∪

C สำหรบทกเซตยอย C ใน C เพราะฉะนน ∪C เปนขอบเขตบนของ C

ให v1, . . . , vn เปนเวกเตอรใด ๆ ใน∪

C และ c1, . . . , cn เปนสเกลารใด ๆ ใน F ซง c1v1+ · · ·+cnvn = 0V

ดงนนมเซตอสระเชงเสน L1, . . . , Ln ใน C ซง vi อยใน Li สำหรบทก ๆ i ∈ {1, . . . , n}เพราะวา C เปนโซ เราจงอาจเรยงอนดบ L1, . . . , Ln เปน L1 ⊆ . . . ⊆ Ln

สงผลให v1, . . . , vn เปนเวกเตอรใน Ln ซงเปนเซตอสระเชงเสน เพราะฉะนน c1 = · · · = cn = 0

เราจงสรปไดวา∪C เปนเซตอสระเชงเสน นนคอ ∪C อยใน L

จากบทตงซอรนทกลาววา “หากเซตอนดบบางสวน P มสมบตวาโซทกโซใน P มขอบเขตบนนอยสดใน P จะไดวา P มสมาชกทใหญสด” ทำใหเราสรปจากการพสจนขางตนไดวา มเซต B ใน L ซงใหญสดเทยบกบอนดบ ⊆นนคอ มเซตยอย B ของ V ซงเปนเซตอสระเชงเสนทใหญสด

เราจะแสดงวา B แผทว V โดยอาศยการพสจนโดยขอขดแยง ให u เปนเวกเตอรใน V ซงไมอยใน Span Bจงไดโดยบทตง 5.1.5 2. วา B ∪ {u} เปนเซตอสระเชงเสน ซงขดแยงกบ B เปนเซตอสระเชงเสนทใหญสดเพราะฉะนน B แผทว Vเพราะวา B เปนเซตอสระเชงเสนซงแผทว V จงสรปไดวา B เปนฐานหลกสำหรบ V ตามตองการ

ทฤษฎบท 5.1.6 ทก ๆ ปรภมเวกเตอรเหนอฟลดจะมฐานหลกอยางนอยหนงฐานเสมอ

ขอสงเกต จากการสรางฐานหลกสำหรบปรภมเวกเตอรทกลาวมาขางตนนน เราอาจกลาวไดวาฐานหลกสำหรบปรภมเวกเตอรคอเซตยอยของ V ทใหญสดซงอสระเชงเสน และหากปรภมเวกเตอรมมตจำกด เราแสดงการมจรงของฐานหลกไดโดยไมตองอาศยบทตงซอรน

ทฤษฎบท 5.1.7 ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และ A เปนเซตยอยของ V ทอสระเชงเสนจะไดวามฐานหลก B สำหรบ V ซง A ⊆ Bนนคอ เราสามารถขยายเซตยอยใด ๆ ของ V ซงเปนเซตอสระเชงเสนใหเปนฐานหลกสำหรบ V ไดเสมอ

บทพสจน ให A = {L ⊆ V : A ⊆ L และ L เปนเซตอสระเชงเสน} ซงเซตนมสมาชกอยางนอยหนงเซตคอ A

และ เรากำหนดอนดบบางสวนบน L โดย ⊆ และแสดงตามการพสจนทฤษฎบท 5.1.6 �


บทตง 5.1.8 ถา n > m แลวระบบเชงเสนเอกพนธในตวแปร x1, x2, . . . , xn เหนอฟลด F

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0...

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

(5.1.1)

มผลเฉลยไมชด

บทพสจน เพราะวา n > m ดงนนระบบเชงเสนนมตวแปรเสรอยางนอยหนงตวสงผลใหระบบเชงเสนนมผลเฉลยไมชดตามตองการ �

บทตง 5.1.9 ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด Fให G เปนเซตยอยของ V ทแผทว V และ L เปนเซตยอยของ V ทอสระเชงเสนถา G = {v1, . . . , vm} และ L = {w1, . . . , wn} จะไดวา n ≤ m

บทพสจน เพราะวา G แผทว V ดงนน แตละ wj ใน L จะม a1j , . . . , amj ใน F ซง

wj = a1j v1 + · · ·+ amj vm ทก j ∈ {1, . . . , n}

สมมตวา n > m จงไดโดยบทตง 5.1.8 วาม (c1, . . . , cn) ใน Fn ซงไมเทากบ 0n ทเปนผลเฉลยของ (5.1.1)ทำใหไดวา

c1w1 + · · ·+ cnwn =n∑

j=1

cjwj =n∑

j=1

cj(a1j v1 + · · ·+ amj vm)

=

n∑j=1

cj

m∑i=1

aij vi

=

m∑i=1

n∑j=1

(aijcj)vi =

m∑i=1

0vi = 0V

และสงผลให L เปนเซตซงไมอสระเชงเสน ซงเปนขอขดแยง เพราะฉะนน n ≤ m �

ทฤษฎบท 5.1.10 ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F ซงมมตจำกด จะไดวาฐานหลกสองฐานใด ๆ สำหรบ V

มจำนวนเวกเตอรเทากน

บทพสจน ให B = {v1, . . . , vm} และ B′ = {w1, . . . , wn} เปนฐานหลกสำหรบ V

ดงนน B และ B′ เปนเซตอสระเชงเสน และ แผทว Vจงไดโดยบทตง 5.1.9 วา n ≤ m และm ≤ n เพราะฉะนนm = n �

ปรภมเวกเตอร V ทมมตจำกด อาจมฐานหลกทแตกตางกนมากกวาหนงฐาน แตจากทฤษฎบท 5.1.10 จะไดวาฐานหลกทกฐานหลกสำหรบปรภมเวกเตอร V ซงมมตจำกดจะมจำนวนเวกเตอรเทากน และ เรยกจำนวนเวกเตอรของฐานหลกสำหรบ V วามต (dimension) ของ V เขยนแทนดวย dimV


ตวอยาง 5.1.7 1. เพราะวา ∅ เปนฐานหลกสำหรบปรภมยอย {0V } เพราะฉะนน dim{0V } = |∅| = 0

2. สำหรบแตละ i = 1, 2, . . . ,m และ n = 1, 2, . . . , n ให Eij แทน m × n เมทรกซซงสมาชกทอยในแถวทi และหลกท j มคาเปน 1 และสมาชกตวอนๆ มคาเปน 0 จะไดวา B = {Eij : i = 1, 2, . . . ,m และ j =

1, 2, . . . , n} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ Mm,n(F ) เรยกวาฐานหลกมาตรฐาน (standard basis) สำหรบMm,n(F ) เพราะฉะนน dimMm,n(F ) = mn

ในกรณท n = 1 ให ei = Ei1 สำหรบทก ๆ i = 1, 2, . . . ,m ดงนน {e1, e2, . . . , em} เปนฐานหลกมาตรฐานสำหรบ Fm

3. {1, x, x2, . . . , xn} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ Fn[x] เรยกวาฐานหลกมาตรฐานสำหรบ Fn[x] เพราะฉะนน dimFn[x] = n+ 1

4. {1, x, x2, . . . , xn, . . . } เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ F [x] เรยกวาฐานหลกมาตรฐานสำหรบ F [x] เพราะฉะนน F [x] ไมมมตจำกด

5.

{[1 1

1 0

],

[1 1

0 1

],

[0 1

1 1

],

[1 0

1 1

]}เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบM2(R)

6. จาก C = {a+ bi : a, b ∈ R}เราอาจพจารณา C เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลดของจำนวนจรง R ซงมฐานหลกฐานหนงเปน {1, i}

ตวอยาง 5.1.8 จงแสดงวาW =

{[a+ b b

a− 2c 0

]: a, b, c ∈ R

}เปนปรภมยอยของM2(R)

พรอมทงหาฐานหลกและมตของW

ลองทำ 5.1.7 1. จงแสดงวา {2, 1 + x, x3, x4 + x2 + 2, 3x4 + x} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ R4[x]

2. จงพจารณาวาเซตตอไปนเปนฐานหลกสำหรบM2(R) หรอไม เพราะเหตใด(ก){[

1 0

0 1

],

[1 0

1 0

],

[0 1

1 0

],

[0 1

0 1

]}(ข){[

1 0

0 1

],

[0 1

1 0

],

[1 0

1 0

],

[1 1

0 0

]}

ทฤษฎบท 5.1.11 ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F ทมมตจำกดถาW เปนปรภมยอยของ V ซงW = V แลว dimW < dimV

บทพสจน ให B เปนฐานหลกสำหรบW โดยทฤษฎบท 5.1.7 เราสามารถขยาย B ใหเปนฐานหลก C สำหรบ V

ดงนน dimW ≤ dimV โดยอาศยการพสจนโดยแยงสลบทเราสมมตวา dimW = dimV และจะแสดงวาW = V

เพราะวา dimW = dimV ดงนน |B| = |C| ทำใหไดวา B = C สงผลใหW = Span B = Span C = V �

ให A และ B เปนเซตยอยใด ๆ ทไมใชเซตวางของปรภมเวกเตอร V เหนอฟลด Fเรานยาม

A+B = {a+ b : a ∈ A และ b ∈ B}

ทฤษฎบท 5.1.12 ให W1 และ W2 เปนปรภมยอยของปรภมเวกเตอร V เหนอฟลด F เราไดวา W1 +W2 และW1 ∩W2 เปนปรภมยอยของ V และW1 ×W2 เปนปรภมยอยของ V × V


ตวอยาง 5.1.9 กำหนดให

W1 = {(x1 − x2, x1, x2) : x1, x2 ∈ R} และW2 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x2 = x3}

เปนปรภมยอยของ R3 จงหาฐานหลกและมตของW1 +W2 และW1 ∩W2

ทฤษฎบท 5.1.13 ถาW1 และW2 เปนปรภมยอยทมมตจำกดของปรภมเวกเตอร V เหนอฟลด F แลวW1 +W2 เปนปรภมยอยของ V ทมมตจำกด และ

dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 − dim(W1 ∩W2)

บทพสจน (บทพสจนคราว ๆ) สมมตวาW1 และW2 มมตจำกดโดยการขยายฐานหลก B ของW1 ∩W2 ไปเปนฐานหลก B1 สำหรบW1 และไปเปนฐานหลก B2 ของW2

เราจะแสดงไดวา B1 ∪ B2 จะเปนฐานหลกฐานหนงของW1 +W2 และ B1 ∩ B2 = Bเพราะวา |B1 ∪ B2| = |B1|+ |B2| − |B1 ∩ B2| จงไดสตรสำหรบมตของW1 +W2 ตามตองการ �

ลองทำ 5.1.8 กำหนดให

W1 =

{[a b

c d

]∈ M2(R) : a− b = c− d

}และ W2 =

{[a− b b+ c

a b− c

]∈ M2(R) : a, b, c ∈ R

}(ก) จงแสดงวาW1 และW2 เปนปรภมยอยของM2(R)(ข) จงหาฐานหลกและมตของW1 และW2

(ค) จงหาฐานหลกและมตของW1 +W2 และW1 ∩W2

5.2 การแปลงเชงเสนให V และW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F เราเรยกฟงกชน T : V → W วาการแปลงเชงเสน (linear transfor-mation) ถาสำหรบทก ๆ เวกเตอร u, v ∈ V และ สเกลาร c ∈ F เราไดวา

T (u+ v) = T (u) + T (v) และ T (cu) = c T (u)

ขอสงเกต 1. T เปนการแปลงเชงเสนจาก V ไปW กตอเมอ สำหรบทก ๆ เวกเตอร u, v ∈ V และสเกลาร c, d ∈ F จะไดวา T (cu+ dv) = cT (u) + dT (v)

2. ถา T : V → W เปนการแปลงเชงเสน แลว

T (0V ) = 0W และ T (−v) = −T (v) สำหรบทก ๆ เวกเตอร v ∈ V

ตวอยาง 5.2.1 1. ให T : Fn → Fn−1 กำหนดโดย

T (x1, x2, . . . , xn) = (x2, x3, . . . , xn)

จะไดวา T เปนการแปลงเชงเสน

5.2 การแปลงเชงเสน 145

2. ให n เปนจำนวนเตมบวก และ T : Fn−1[x] → Fn กำหนดโดย

T (a0 + a1x+ · · ·+ an−1xn−1) = (a0, a1, . . . , an−1)

สำหรบทก ๆ ai ∈ F จะไดวา T เปนการแปลงเชงเสน

3. ให T : F [x] → F กำหนดโดย T (p(x)) = p(1) สำหรบทก ๆ พหนาม p(x) ∈ F [x]


4. ให T : Mm,n(F ) → Mn,m(F ) กำหนดโดย T (A) = AT สำหรบทก ๆm× n เมทรกซ Aจะไดวา T เปนการแปลงเชงเสน

5. ให T : ℓ∞(R) → R กำหนดโดย T ((an)) = limn→∞

an


6. ให C1(−∞,∞) แทนเซตของฟงกชนคาจรงซงอนพนธมความตอเนองบน (−∞,∞)

กำหนด D : C1(−∞,∞) → RR โดย D(f) = f ′ สำหรบทก ๆ ฟงกชน f ∈ C1(−∞,∞)

จะไดวา D เปนการแปลงเชงเสน

7. ให T : M2(R) → R กำหนดโดย T (A) = detA สำหรบทก ๆ 2× 2 เมทรกซ Aจะไดวา T ไมเปนการแปลงเชงเสน

8. ให T : Rn → R กำหนดโดย T (x) = ∥x∥ สำหรบทก ๆ x ∈ Rn

จะไดวา T ไมเปนการแปลงเชงเสน

ลองทำ 5.2.1 1. ฟงกชนทกำหนดใหตอไปนเปนการแปลงเชงเสนจากM2(R) ไปยง R หรอไม เพราะเหตใด(ก) T

([a b

c d

])= a+ c− 2d (ข) T

([a b

c d

])= a2 + c2

2. ฟงกชนทกำหนดใหตอไปนเปนการแปลงเชงเสนบน F2[x] หรอไม เพราะเหตใด(ก) T (a0 + a1x+ a2x

2) = a0 + a1(x+ 1) + a2(x+ 1)2

(ข) T (a0 + a1x+ a2x2) = (a0 + 1) + (a1 + 1)x+ (a2 + 1)x2

3. ฟงกชนทกำหนดใหตอไปนเปนการแปลงเชงเสนบน C0(−∞,∞) หรอไม เพราะเหตใด(ก) T (f(x)) = 1 + f(x) (ข) T (f(x)) = f(f(x)) (ค) T (f(x)) = f(x− 1)

4. สำหรบเมทรกซจตรส A = [aij ]n×n เหนอฟลด F เราเรยกผลบวกของสมาชกทแยงมม a11 + a22 + · · ·+ ann วารอย(trace) ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย trA จงแสดงวา ฟงกชน T : Mn(F ) → F กำหนดโดย T (A) = trA เปนการแปลงเชงเสน

5. ให {u1, u2, . . . , up} เปนฐานหลกเชงตงฉากของปรภมยอยH ของ Rn จงแสดงวาฟงกชน T : Rn → H ซงกำหนดโดยT (x) = projH(x) สำหรบทก ๆ x ∈ Rn เปนการแปลงเชงเสน

ทฤษฎบท 5.2.1 ให V และ W เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และ B = {v1, v2, . . . , vn} เปนฐานหลกสำหรบ V จะไดวา สำหรบฟงกชน t ใด ๆ จาก B ไปยง W จะมการแปลงเชงเสน T : V → W เพยงการแปลงเชงเสนเดยว ซง T (vi) = t(vi) สำหรบทก ๆ i = 1, 2, . . . , n

ดงนน ในการนยามการแปลงเชงเสน T จาก V ไปยงW จงเพยงพอทจะกำหนดคาของ T บนทก ๆ เวกเตอรในฐานหลกสำหรบ V เทานน

ตวอยาง 5.2.2 จงหาสตรของการแปลงเชงเสน T ซงสอดคลองเงอนไขทกำหนดให


1. T : R3 → R4[x] โดยท T (1, 0, 0) = 1 + x, T (1, 1, 1) = 2 + x3 และT (0, 1, 0) = x4 + 3x+ 1

2. T : C → R3[x] โดยท T (2) = 4x3 และ T (1 + i) = 1 + x

3. T : R2[x] → C โดยท T (1) = 2i, T (1 + x) = 1 + i และ T (1− x2) = 2− i

ตวอยาง 5.2.3 ให T : R2[x] → R[x] เปนการแปลงเชงเสนซง T (x+ 1) = x, T (x− 1) = 1 และT (x2) = −x2 จงหา T (2 + 3x− x2)

ลองทำ 5.2.2 1. จงหาสตรของการแปลงเชงเสน T ซงสอดคลองเงอนไขทกำหนดให(ก) T : C → R2[x] โดยท T (1− i) = 2x2 และ T (1 + i) = 1 + x

(ข) T : R2[x] → R2 โดยท T (1) = (2, 1), T (1− x) = (0, 1) และ T (x+ x2) = (1, 0)

2. ให T : R1[x] → R3 เปนการแปลงเชงเสนซง T (2− x) = (1,−1, 1) และ T (1 + x) = (0, 1, 0)

จงหา T (−1 + 2x)

3. ให {v, w} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ R2 และ T : R2 → R2 ซง T (v + w) = v และ T (2v − w) = 2v

จงหา T (v) และ T (w)

ทฤษฎบท 5.2.2 ให V และ W เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และ L(V,W ) แทนเซตของการแปลงเชงเสนทงหมดจาก V ไปW นนคอ

L(V,W ) = {T |T : V → W เปนการแปลงเชงเสน}

เรากำหนดการบวกและการคณดวยสมาชกของ F โดยสำหรบการแปลงเชงเสน S และ T ใน L(V,W ) และ c ∈ F

เราให(S + T )(v) = S(v) + T (v) และ (c S)(v) = cS(v) สำหรบทก ๆ v ∈ V

จะไดวา L(V,W ) เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F เรยกวาปรภมเชงเสน (linear space)

ให V และW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และ T เปนการแปลงเชงเสนจาก V ไปยงWเคอรเนล (kernel) ของการแปลงเชงเสน T เขยนแทนดวย kerT คอเซต

{kerT = v ∈ V : T (v) = 0W }

และ เรนจ (range) ของ T คอเซต

rangeT = {w ∈ W : ม v ∈ V ซง T (v) = w} = {T (v) ∈ W : v ∈ V }

ซงเราไดวา

ทฤษฎบท 5.2.3 ให V และW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และ ให T เปนการแปลงเชงเสน จาก V ไปยงWเราไดวา kerT เปนปรภมยอยของ V และ rangeT เปนปรภมยอยของW

บทพสจน ใหทำเปนแบบฝกหด �


ให T เปนฟงกชนจากเซต V ไปเซตW เรากลาววา T เปน ฟงกชนทวถง (onto) W กตอเมอ rangeT = W และเรากลาววา T มสมบตหนงตอหนง (one-to-one) หรอเขยนสน ๆ เปน “T 1-1” กตอเมอ สำหรบแตละเวกเตอร x และy ใน V ถา T (x) = T (y) แลว x = y

ให V และ W เปนปรภมเวกเตอรมตจำกดเหนอฟลด F และ T เปนการแปลงเชงเสนจาก V ไปยง W เราเรยกมตของเคอรนลของ T วาศนยภาพ (nullity) ของ T เขยนแทนดวย nullity T และ เรยกมตของเรนจของ T วาแรงก(rank) ของ T เขยนแทนดวย rankT

ดงนนเราจงไดจากทฤษฎบท 5.2.3 และทฤษฎบท 5.1.11 วา

บทแทรก 5.2.4 ให V และW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F โดยทW มมตจำกด และให T เปนการแปลงเชงเสนจาก V ไปยงW จะไดวา T มสมบตทวถง กตอเมอ rankT = dimW

ตวอยาง 5.2.4 จงหาเคอรเนลและเรนจของการแปลงเชงเสนในตวอยาง 5.2.1

ตวอยาง 5.2.5 ให T : R2[x] → R3 เปนการแปลงเชงเสน ซงกำหนดโดย

T (a+ bx+ cx2) = (a+ b, b+ c, 0)

จงหาฐานหลกสำหรบเคอรเนลของ T และฐานหลกสำหรบเรนจของ T พรอมทงบอก nullity T และ rankTลองทำ 5.2.3 สำหรบฟงกชน T ในแตละขอตอไปน

1. T : R2[x] → C กำหนดโดย T (a+ bx+ cx2) = (a+ b) + (a+ c)i

2. T : R3 → R3[x] กำหนดโดย T (a, b, c) = ax3 + (b− c)

3. T : C → R4 กำหนดโดย T (a+ bi) = (a, b, a+ b, a− b)

(ก) จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน(ข) จงหาฐานหลกสำหรบเคอรเนลของ T และฐานหลกสำหรบเรนจของ T พรอมทงบอก nullity T และ rankT(ค) จงพจารณาวา T มสมบตหนงตอหนง หรอ มสมบตทวถง หรอไม เพราะเหตใด

ให V และW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และ T เปนการแปลงเชงเสนจาก V ไปยงW เราไดวาสำหรบเวกเตอร v ใน V และ x ใน kerT จะได

T (v + x) = T (v) + T (x) = T (v) + 0W = T (v)

นนคอT ({v}+ kerT ) = {T (v)} สำหรบทก ๆ เวกเตอร v ใน V

เพราะวา 0V อยใน kerT ดงนน | kerT | ≥ 1 และ (| kerT | = 1 กตอเมอ kerT = {0V }) ทำใหเราไดวา

ทฤษฎบท 5.2.5 ให V และW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด Fถา T เปนการแปลงเชงเสนจาก V ไปยงW แลว T มสมบตหนงตอหนง กตอเมอ kerT = {0V }

สงเกตตอวา หาก V มมตจำกด และ kerT มฐานหลกฐานหนงเปน B = {x1, . . . , xk} เราอาจขยาย B ไปเปนฐานหลก C = {x1, . . . , xk, v1, . . . , vℓ} สำหรบ V

เนองจาก

rangeT = {T (v) : v ∈ V }= {T (c1x1 + · · ·+ ckxk + d1v1 + · · ·+ dℓvℓ) : c1, . . . , ck, d1, . . . , dℓ ∈ F}= {c1T (x1) + · · ·+ ckT (xk) + d1T (v1) + · · ·+ dℓT (vℓ) : c1, . . . , ck, d1, . . . , dℓ ∈ F}


และเวกเตอร x1, . . . , xk อยใน kerT ดงนน

rangeT = {d1T (v1) + · · ·+ dℓT (vℓ) : d1, . . . , dℓ ∈ F} = Span {T (v1), . . . , T (vℓ)}

เราจะแสดงวา {T (v1), . . . , T (vℓ)} เปนเซตอสระเชงเสน โดยให d1, . . . , dℓ เปนสเกลารใด ๆ ใน F ซง

d1T (v1) + · · ·+ dℓT (vℓ) = 0W

ดงนนT (d1v1 + · · ·+ dℓvℓ) = 0W

สงผลให d1v1 + · · ·+ dℓvℓ อยใน kerT

เนองจาก {x1, . . . , xk} แผทว kerT จงม b1, . . . , bk เปนสเกลารใน F ซงทำให

d1v1 + · · ·+ dℓvℓ = b1x1 + · · ·+ bkvk

และจดรปไดเปนd1v1 + · · ·+ dℓvℓ − b1x1 − · · · − bkvk = 0V

เพราะวา C เปนเซตอสระเชงเสน จงไดวา d1 = · · · = dℓ = b1 = · · · = bk = 0

เพราะฉะนน {T (v1), . . . , T (vℓ)} จะเปนฐานหลกสำหรบ rangeT ทำใหเราสรปไดวา

dimV = k + ℓ = dimkerT + dim rangeT = nullity T + rankT

ทฤษฎบท 5.2.6 ให V และW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และให T เปนการแปลงเชงเสนจาก V ไปยงWถา V มมตจำกด แลวจะไดวา dimV = nullity T + rankT

ให V และW เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F เรากลาววา V สมสณฐานกบ (isomorphic to) W ถามการแปลงเชงเสน T : V → W ซงมสมบตหนงตอหนงและทวถง เขยนแทนดวย V ∼= W

ลองทำ 5.2.4 จงแสดงวาฟงกชน T ตอไปนเปนการแปลงเชงเสนซงมสมบตหนงตอหนงและทวถง(ก) T : R2 → C กำหนดโดย T (x, y) = x− iy

(ข) T : M2(R) → R3[x] กำหนดโดย T

([a b

c d

])= (a+ c) + (b+ d)x+ cx2 + dx3

ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และ B = {b1, b2, . . . , bn} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ V

นนคอ เซต B แผทว V และ B เปนเซตอสระเชงเสน ทำใหสำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ V จะม c1, c2, . . . , cn ∈ F

เพยงชดเดยวท x = c1b1 + c2b2 + · · ·+ cnbn เราเรยกเวกเตอร

[x]B =

c1c2...cn

∈ Fn

วาเวกเตอรพกดของ x สมพทธกบฐานหลก B (coordinate vector of x relative to B) และเรยก c1, c2, . . . , cn

วาพกดท i ของ x สมพทธกบฐานหลก B (ith-coordinates of x relative to B)


สรางฟงกชน T : V → Fn โดย

T : x = [x]B สำหรบทก ๆ x ใน V

เราแสดงไดโดยตรงวา T เปนการแปลงเชงเสนทมสมบตหนงตอหนงและทวถง เพราะฉะนน V จงสมสณฐานกบ Fn

บทแทรก 5.2.7 ให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F ซงมมต n เราไดวาV ∼= Fn ดงนน ทก ๆ ปรภมเวกเตอรซงมมตเทากนจะสมสณฐานกน

จากบทแทรก 5.2.7 ทำใหไดวาในการศกษาปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F ซงมมตจำกด เราเพยงพอทจะศกษาปรภมยคลดเหนอฟลด F โดยอาศยเมทรกซ ซงไดกลาวไวแลวในทก ๆ บทกอนหนาน

ตวอยาง 5.2.6 จงแสดงวา B = {2 − x, 1 − x, x2} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบ R2[x] และหาเวกเตอรพกดของ 3x2 + 2x− 5 สมพทธกบฐานหลก B

ลองทำ 5.2.5 จงแสดงวา B = {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 2i)} เปนฐานหลกฐานหนงสำหรบC4 และหาเวกเตอรพกดของ (2,−16, 3,−i) สมพทธกบฐานหลก B

ให V และ W เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด F และ ให B = {v1, v2, . . . , vn} เปนฐานหลกสำหรบ V และC = {w1, w2, . . . , wm} เปนฐานหลกสำหรบW กำหนด T : V → W เปนการแปลงเชงเสน

เราเรยก m × n เมทรกซซงมหลกท j เปนเวกเตอรพกด [T (vj)]C สมพทธกบฐานหลก C สำหรบทก ๆ j =

1, 2, . . . , n วาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B และ C (matrix for T relative to the bases B andC) เขยนแทนดวย [T ]CB นนคอ

[T ]CB =[[T (v1)]C [T (v2)]C . . . [T (vn)]C

]สงเกตวา สำหรบแตละ เวกเตอร x ∈ V เราไดวา x = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn ดงนน T (x) = c1T (v1) +

c2T (v2) + · · ·+ cnT (vn) เพราะฉะนน [T (x)]C = c1[T (v1)]C + c2[T (v2)]C + · · ·+ cn[T (vn)]C นนคอ

[T (x)]C = [T ]CB[x]B

สำหรบทก ๆ เวกเตอร x ∈ V ในกรณท T : V → V เปนการแปลงเชงเสน และ B = C เราเขยนแทน [T ]CB ดวย [T ]Bและเรยกวาเมทรกซสำหรบ T สมพทธกบฐานหลก B (matrix for T relative to the basis B)

ทฤษฎบท 5.2.8 ให V และ W เปนปรภมเวกเตอรซงมมตจำกดเหนอฟลด F , B เปนฐานหลกสำหรบ V และC เปนฐานหลกสำหรบW โดยท |B| = n และ |C| = m กำหนด φ : L(V,W ) → Mm,n(F ) โดย

φ : T 7→ [T ]CB

สำหรบทก ๆ การแปลงเชงเสน T ∈ L(V,W ) จะไดวา φ เปนการแปลงเชงเสนซงมสมบตหนงตอหนงและทวถง ดงนน L(V,W ) ∼= Mm,n(F ) นนคอ เราสามารถแทนทก ๆ การแปลงเชงเสนจาก V ไปยง W ดวยเมทรกซเหนอฟลด F มตm× n

ตวอยาง 5.2.7 ให T : C → R2[x] กำหนดโดย

T (a+ bi) = a+ (a− b)x+ bx2 สำหรบทก ๆ a, b ∈ R


และให B = {1, i} เปนฐานหลกสำหรบ C และ C = {1, x, x2} เปนฐานหลกสำหรบ R2[x]

จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสนและจงหา [T ]CB

ตวอยาง 5.2.8 ให T : R2[x] → R2[x] กำหนดโดย

T (p(x)) = p(x+ 1) สำหรบทก ๆ p(x) ∈ R2[x]

และให B = {1, x, x2} และ B′ = {2, 1 + x,−2x2} เปนฐานหลกสำหรบ R2[x]

จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสนและจงหา [T ]B, [T ]B′ และ [T ]B′B

ลองทำ 5.2.6 1. ให T : R2 → C กำหนดโดย T (x1, x2) = x2 − x1i สำหรบทก ๆ (x1, x2) ∈ R2 และใหB = {(1, 0), (0, 1)} เปนฐานหลกสำหรบ R2 และ C = {1, i} เปนฐานหลกสำหรบ C จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสนและจงหา [T ]CB

2. ให T : R1[x] → R3[x] กำหนดโดย T (p(x)) = x2p(x) สำหรบทก ๆ p(x) ∈ R1[x], B = {1 + x, x} เปนฐานหลกสำหรบ R1[x] และ C = {1 + x, x, x2 − 1, x3} เปนฐานหลกสำหรบ R3[x] จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสนและจงหา [T ]CB

3. ให B = {sin t, cos t} และ B′ = {sin t + cos t, sin t − cos t} เปนฐานหลกสำหรบ H = Span B = Span B′ ซงปรภมยอยของ C1(−∞,∞) และ D : H → H กำหนดโดย D(f) = f ′ สำหรบทก ๆ f ∈ H จงหา [D]B, [D]B′

และ [D]B′

B

5.3 ปรภมผลคณภายในให V เปนปรภมเวกเตอรเหนอฟลด R เรากลาววา V เปนปรภมผลคณภายใน (inner product space)ถาม ⟨·, ·⟩ เปนฟงกชนจาก V × V ไปยง R เรยกวาผลคณภายใน (inner product) สำหรบ V ซงสอดคลอง

IN1 ⟨u, u⟩ ≥ 0 สำหรบทก ๆ u ∈ V และ ⟨u, u⟩ = 0 กตอเมอ u = 0

IN2 ⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩ สำหรบทก ๆ v, w ∈ V

IN3 ⟨u+ v, w⟩ = ⟨u, w⟩+ ⟨v, w⟩ สำหรบทก ๆ u, v, w ∈ V

IN4 ⟨cv, w⟩ = c⟨v, w⟩ สำหรบทก ๆ v, w ∈ V และ c ∈ F

ตวอยาง 5.3.1 [ตวอยางของปรภมผลคณภายใน]

1. ให V = Rn สำหรบจำนวนจรงบวก a1, a2, . . . , an และสำหรบเวกเตอร u = (u1, u2, . . . , un) และ v =

(v1, v2, . . . , vn) ใน Rn เรากำหนด

⟨u, v⟩ =n∑

i=1

aiuivi

จะไดวา ⟨·, ·⟩ เปนผลคณภายในสำหรบ Rn

2. ให V = C0[a, b] เปนเซตของฟงกชนคาจรงทตอเนองบน [a, b] ทงหมด ซงเซตนเปนปรภมยอยของ RR และสำหรบฟงกชนตอเนอง f และ g ใน C0[a, b] เรากำหนด

⟨f, g⟩ =∫ b

af(x)g(x) dx

5.3 ปรภมผลคณภายใน 151

จะไดวา ⟨·, ·⟩ เปนผลคณภายในสำหรบ C0[a, b]

ตวอยาง 5.3.2 จงพจารณาวาการกำหนดตอไปนเปนผลคณภายในบน R3 หรอไมเพราะเหตใด(ก) ⟨(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)⟩ = x1y1 − x2y2 + 2x3y3(ข) ⟨(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)⟩ = x1y1 − x1y3 − x3y1 + x2y2 + 2x3y3

ลองทำ 5.3.1 จงพจารณาวาการกำหนด

⟨p(x), q(x)⟩ = p(1)q(1)

สำหรบทก ๆ p(x), q(x) ∈ R[x] เปนผลคณภายในบน R[x] หรอไม เพราะเหตใด

เรามสมบตเบองตนของผลคณภายในซงสามารถพสจนไดโดยตรงจากบทนยามดงน

ทฤษฎบท 5.3.1 ให V เปนปรภมผลคณภายในเหนอฟลด R สำหรบเวกเตอร u, v, w ใน V และ c ∈ Rจะไดวา

⟨u, 0V ⟩ = 0 และ ⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩+ ⟨u, w⟩ และ ⟨v, cw⟩ = c⟨v, w⟩

ขอสงเกต สำหรบเวกเตอร u, v, w, y ใน V และสเกลาร a, b, c, d ใน R เราไดจากผลขางตนดวยวา

⟨au+ bv, cw + dy⟩ = ac⟨u, w⟩+ ad⟨u, y⟩+ bc⟨v, w⟩+ bd⟨v, y⟩

ให V เปนปรภมผลคณภายในเหนอฟลด Rเรากำหนด ความยาว (length) หรอ นอรม (norm) ของเวกเตอร v เขยนแทนดวย ∥v∥ โดย

∥v∥ =√

⟨v, v⟩

และเราเรยกเวกเตอรทมนอรมเทากบ 1 วาเวกเตอรหนงหนวย (unit vector)

ตวอยาง 5.3.3 ให x = (2, 1, 1) และ y = (−1, 0, 1) โดยการใชผลคณภายในกำหนดโดย

⟨(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)⟩ = x1y1 + x2y2 + 2x3y3 สำหรบทก ๆ (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) ∈ R3

จงหา ⟨x, y⟩, ∥x∥, ∥y∥ และ ∥x+ y∥

ลองทำ 5.3.2 ให f(x) = sinx และ g(x) = cosx โดยการใชผลคณภายในบน C0[0, π]

จงหา ⟨f, g⟩, ∥f∥, ∥g∥ และเวกเตอรหนงหนวยในทศทางเดยวกบ (f + g)

ทฤษฎบท 5.3.2 ให V เปนปรภมผลคณภายในเหนอฟลด R สำหรบแตละเวกเตอร u และ v ใน V และ c ∈ Rจะไดวา1. ∥u∥ ≥ 0 และ ∥u∥ = 0 กตอเมอ u = 0

2. ∥cu∥ = |c|∥u∥3. |⟨u, v⟩| ≤ ∥u∥∥v∥ เรยกวาอสมการโคช-ชวารซ (Cauchy-Schwarz inequality)4. ∥u+ v∥ ≤ ∥u∥+ ∥v∥ เรยกวาอสมการองรปสามเหลยม (triangle inequality)


บทพสจน 1. ไดโดยตรงจากบทนยาม2. เปนผลมาจาก ∥cu∥2 = ⟨cu, cu⟩ = c2⟨u, u⟩ = c2∥u∥2

3. ถา u = 0V จะไดทนทวาอสมการเปนจรง สมมตวา u = 0V และพจารณา

0 ≤⟨v − ⟨u, v⟩

∥u∥2u, v − ⟨u, v⟩

∥u∥2u

⟩= ⟨v, v⟩ −

⟨v,

⟨u, v⟩∥u∥2

u

⟩−⟨⟨u, v⟩∥u∥2

u, v

⟩+

⟨⟨u, v⟩∥u∥2

u,⟨u, v⟩∥u∥2

u

⟩= ∥v∥2−⟨u, v⟩

∥u∥2⟨v, u⟩ − ⟨u, v⟩

∥u∥2⟨u, v⟩+ (⟨u, v⟩)2

∥u∥4∥u∥2

เพราะวา ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ เราจงจดรปอสมการขางบนไดเปน

0 ≤ ∥v∥2−2(⟨u, v⟩)2

∥u∥2+

(⟨u, v⟩)2

∥u∥2= ∥v∥2 − (⟨u, v⟩)2

∥u∥2

จงไดวา (⟨u, v⟩)2 ≤ ∥u∥2∥v∥2 และดงนน |⟨u, v⟩| ≤ ∥u∥∥v∥4. พจารณา

∥u+ v∥2 = ⟨u+ v, u+ v⟩ = ⟨u, u⟩+ ⟨u, v⟩+ ⟨v, u⟩+ ⟨v, v⟩

เพราะวา ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ จงไดวา

∥u+ v∥2 = ∥u∥2 + 2⟨u, v⟩+ ∥v∥2

แตจากโดยอสมการโคช-ชวารช เราม ⟨u, v⟩ ≤ ∥u∥∥v∥ สงผลให

∥u+ v∥2 ≤ ∥u∥2 + 2∥u∥∥v∥+ ∥v∥2 = (∥u∥+ ∥v∥)2

เพราะฉะนน ∥u+ v∥ ≤ ∥u∥+ ∥v∥ ตามตองการ �

ให V เปนปรภมผลคณภายในเหนอฟลด F เรากลาววาเวกเตอร u ตงฉากกบเวกเตอร v กตอเมอ ⟨u, v⟩ = 0 และเราเรยกเซตของเวกเตอร S = {u1, u2, . . . , up} ใน Rn วาเซตเชงตงฉาก (orthogonal set) ถาเวกเตอรทแตกตางกนแตละคใน S ตงฉากกน นนคอ ⟨ui, uj⟩ = 0 สำหรบทก i = j เมอ i, j ∈ {1, 2, . . . , p} และเราเรยกเซตเชงตงฉากของเวกเตอรหนงหนวยวาเซตเชงตงฉากปรกต (orthonormal set)

ทฤษฎบท 5.3.3 ให V เปนปรภมผลคณภายในเหนอฟลด R และ S เปนเซตยอยของ V ซงประกอบดวยเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยและ S เปนเซตเชงตงฉาก จะไดวา S เปนเซตอสระเชงเสน

ในทำนองเดยวกบทไดศกษาไวแลวในหวขอ 4.2 เราอาจสรางฐานหลกเชงตงฉากสำหรบปรภมยอยของปรภมผลคณภายในจากกระบวนการกราม-ชมดต (ทฤษฎบท 4.2.3) ซงเขยนในรปแบบของผลคณภายในไดเปน

ทฤษฎบท 5.3.4 [กระบวนการกราม-ชมดต (The Gram-Schmidt Process)] ให V เปนปรภมผลคณภายในเหนอฟลด R และ S = {x1, x2, . . . , xp} เปนเซตยอยซงเปนอสระเชงเสนของ V กำหนด

v1 = x1 และ vk = xk −k−1∑i=1

⟨xk, vi⟩⟨vi, vi⟩

vi

อยางเวยนเกดสำหรบ k = 2, . . . , p จะไดวา S′ = {v1, v2, . . . , vp} เปนเซตเชงตงฉากทประกอบดวยเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยและ Span S = Span S′

5.3 ปรภมผลคณภายใน 153

บทแทรก 5.3.5 ให V เปนปรภมผลคณภายในเหนอฟลด R ทมมตจำกด จะไดวา V มฐานหลกเชงตงฉากปรกต

ตวอยาง 5.3.4 กำหนดผลคณภายในบน R3 โดย

⟨u, v⟩ = u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3 สำหรบทก ๆ u = (u1, u2, u3) และ v = (v1, v2, v3) ใน R3

จงใชกระบวนการกราม-ชมดตสรางฐานหลกเชงตงฉากปรกตสำหรบH = Span {(1, 1, 1), (1, 1, 0)}

ตวอยาง 5.3.5 ใหW = Span {1− x, 1 + x,√x} เปนปรภมยอยของ C0[0, 1]

จงใชกระบวนการกราม-ชมดตสรางฐานหลกเชงตงฉากปรกตสำหรบW โดยใชผลคณภายในจากตวอยาง 5.3.1

ลองทำ 5.3.3 จงแสดงวาการกำหนด

⟨u, v⟩ = u1v1 − 2u1v2 − 2u2v1 + 5u2v2 + u2v3 + u3v2 + 4u3v3

สำหรบทก ๆ u = (u1, u2, u3) และ v = (v1, v2, v3) ใน R3 เปนผลคณภายในบน R3 และจงใชกระบวนการกราม-ชมดตสรางฐานหลกเชงตงฉากปรกตจากฐานหลกมาตรฐานสำหรบ R3

ลองทำ 5.3.4 จงแสดงวาการกำหนด

⟨f, g⟩ =∫ π

0

sinxf(x)g(x) dx

สำหรบทก ๆ f, g ∈ C0[0, π] เปนผลคณภายในบน C0[0, π] และจงใชกระบวนการกราม-ชมดตสรางฐานหลกเชงตงฉากปรกตสำหรบปรภมยอยW = Span {sinx, 1, cos 3x}

บรรณานกรม

1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra, 8th ed, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2000.

2. Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel, Lawrence E. Spence, Linear Algebra, 4th edn, Prentice Hall,New York, 2002.

3. David C. Lay, Linear Algebra and its Applications, 3rd edn, Addison Wesley Longman, 2006.

4. W. Keith Nicholson, Linear Algebra with Applications, 7th edn, Mc-Graw Hill, 2013.

5. Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, 4th edn, Brooks Cole, 2006.

155

ดรรชน

กระบวนการกราม-ชมดต, 100, 152การกระจายโคแฟกเตอร, 55การฉายเชงตงฉาก, 97การดำเนนการแถว, 5การประมาณคาแรงก k ของเมทรกซ, 127การประมาณทดสด, 104การปรบมาตรา, 5การรวมเชงเสน, 16, 138การลดมตของขอมล, 128การวเคราะหสวนประกอบมขสำคญ, 128การสบเปลยน, 5การหดตว, 35การเปลยนขนาด, 35การเปลยนตวแปร, 116การแทนท, 5การแปลงเชงเสน, 34, 144การแปลงเชงเสนหาตวผกผนได, 52การแปลงเมทรกซ, 33การแยกคาเอกฐาน, 123การแยกตวประกอบ QR, 101การแยกเชงสเปกตรม, 113คลาย, 76ความยาว หรอ นอรม, 91, 151เคอรเนล, 146โคแฟกเตอร, 55คาคลาดเคลอนกำลงสองนอยสด, 107คาเฉพาะ, 71คาเอกฐาน, 122เซตผลเฉลย, 4เซตเชงตงฉาก, 92, 152เซตเชงตงฉากปรกต, 93, 152ฐานหลก, 44, 139ฐานหลกมาตรฐาน, 44, 143

ฐานหลกเชงตงฉาก, 92ฐานหลกเชงตงฉากปรกต, 93ดเทอรมแนนต, 54ดเทอรมแนนต 2× 2, 501 ตวนำ, 8ตวแปรพนฐาน, 11ตวแปรเสร, 11ตงฉากกน, 92ตำแหนงตวหลก, 9ทวถง, 40, 147บวกแนนอน, บวกกงแนนอน, 120ปรภมผลคณภายใน, 150ปรภมพหนาม, 136ปรภมฟงกชน, 135ปรภมยคลด, 16ปรภมยอย, 42, 136ปรภมยอยชด, 137ปรภมยอยทแผทวโดยเวกเตอร, 43, 138ปรภมลำดบ, 135ปรภมสศนย, 44ปรภมหลก, 43ปรภมเฉพาะ, 72ปรภมเชงเสน, 146ปรภมเวกเตอร, 133แปลงเปนทแยงมมของการแปลงเชงเสน, 80แปลงเปนทแยงมมของเมทรกซ, 77แปลงเปนทแยงมมเชงตงฉาก, 111ผลคณของ A และ x, 19ผลคณของจำนวนจรงกบเมทรกซ, 3ผลคณของเมทรกซ, 21ผลคณภายใน, 150ผลคณภายใน หรอ ผลคณจด, 91ผลบวกของเมทรกซ, 3

156

ดรรชน 157

ผลเฉลย, 4ผลเฉลยกำลงสองนอยสด, 105ผลเฉลยชด, 25ผลเฉลยทวไป, 11ผลเฉลยเฉพาะ, 28ผลเฉลยในรปแบบเวกเตอรองตวแปรเสรม, 27ผลเฉลยไมชด, 25แผทว, 17พจนคงตว, 4พจนผลคณไขว, 115พหนามลกษณะเฉพาะ, 72ฟลด, 1มต, 45, 142มตของเมทรกซ, 2มตจำกด, 138เมทรกซ, 2เมทรกซการเปลยนพกด, 68เมทรกซของรปแบบกำลงสอง, 115เมทรกซจตรส, 2เมทรกซทแยงมม, 3เมทรกซผกผน, 49เมทรกซผกพน, 58เมทรกซมาตรฐาน, 39เมทรกซมลฐาน, 51เมทรกซรปสามเหลยม, 56เมทรกซศนย, 3เมทรกซสมมาตร, 109เมทรกซสลบเปลยน, 23เมทรกซสมประสทธ, 5เมทรกซสำหรบการแปลงเชงเสน, 66, 149เมทรกซเชงตงฉาก, 94เมทรกซเชงตงฉากปรกต, 94เมทรกซเอกฐาน, 49เมทรกซเอกลกษณ, 19เมทรกซแตงเตม, 5เมทรกซไมเอกฐาน, 49ไมแนนอน, 120รอย, 83ระนาบซงแผทวโดยเวกเตอร, 19ระบบเชงเสน, 4ระบบเชงเสนตองกน, 5ระบบเชงเสนเอกพนธ, 25ระบบเชงเสนไมตองกน, 5ระยะทาง, 91ระยะทางไปยงปรภมยอย, 104รปแบบกำลงสอง, 115

รปแบบขนบนได, 8รปแบบขนบนไดลดรป, 8เรนจ, 146แรงก, 45, 147ลบของเวกเตอร, 133ลบแนนอน, ลบกงแนนอน, 120เวกเตอร, 133เวกเตอรพกด, 65, 148เวกเตอรเฉพาะ, 71เวกเตอรศนย, 16, 133เวกเตอรหนงหนวย, 151เวกเตอรหลก, 3เวกเตอรแถว, 3ศนยภาพ, 45, 147เสนกำลงสองนอยสด, 107เสนทแยงมมหลก, 3เซตยอยทแผทวโดยเวกเตอร, 17สเปกตรมของเมทรกซ, 113สมการปรกต, 105สมการลกษณะเฉพาะ, 72สมการเชงเสน, 3สมการเมทรกซ, 20สมการเวกเตอร, 17สมมลกน, 4สมมลแถว, 5สมสณฐาน, 148สมาชกทแยงมม, 3สมาชกนำ, 8สมประสทธ, 4สเกลาร, 133สวนเตมเตมของเวกเตอร, 97สวนเตมเตมเชงตงฉาก, 95สวนประกอบมขสำคญ, 128หนงตอหนง, 40, 147หลกของเมทรกซอสระเชงเสน, 29หลกของเมทรกซแผทว, 20หลกตวหลก, 9อสมการองรปสามเหลยม, 151อสมการโคช-ชวารซ, 151อสระเชงเสน, 29, 139

พีชคณิตเชิงเส น๑ linear algebra...

Documents