ใบความรท 1.1.4

คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.4 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน1.1.4 คาเฉลยเรขาคณต (geometric mean ) “G.M.”

- ขอมลทไมแจกแจงความถ (ungrouped data)

สตร เปนจำานวนบวก

ตวอยางท 1 จากขอมล 2,4,8,16,32 จงหา G.M.วธทำา จากสตร

ถา หาคายากจะใช log เขาชวยจะไดสตรเปน

เชนจากขอมล 3,5,6,6,7,10,12 จงหา G.M.

วธทำา จาก

คาเฉลยเรขาคณต มประโยชนอยางยงในการหาคากลางหรอคาเฉลยของขอมลทอยในรปของรอยละ อตราสวน ดชน หรออตราการเปลยนแปลง ขอจำากด ของการหาคาเฉลยเรขาคณตคอคาทจะนำามาหาคาเฉลยเรขาคณตแตละคาตองมคามากกวาศนย คาเฉลยเรขาคณตจะนอยกวาหรอเทากบคาเฉลยเลขคณตเสมอ

ตวอยางท 2 นาย ก ไดรบเงนเดอนเพมขนรอยละ 5 ในปท 1 และได รบเงนเดอนเพมขนรอยละ 15 ในปท 2 อยากทราบวาใน 2 ปน นาย ก

ไดรบเงนเดอนเพมขนเฉลยรอยละเทาใดวธทำา ถาใชคาเฉลยเลขคณตคำานวณจะได คอเฉลยแลว

เพมขนรอยละ 10 แตจรงๆแลวรอยละโดยเฉลยของเงนเดอนทเพมขนคอ รอยละ

9.886 ไมใชรอยละ 10 ซงคานไดจากคาเฉลยเรขาคณตของ 1.05 กบ1.15 เนองจาก

ถามเงนเดอน 100 บาท เงนเดอนเพมรอยละ 5 คอไดเงน 105 บาท หรอ 1.05 ตอเงน 1 บาท และ

เงนเดอนเพมรอยละ 15 คอ 115 บาทหรอ 1.15 ตอเงน 1 บาท นนคอ คาเฉลยเรขาคณตตอเงน 1 บาท

เทากบ หรอรอยละ 9.886ตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใชคาเฉลยเรขาคณตทำาได

โดยสมมตวา เงนเดอนในปท 1 กอนทจะขนเงนเดอนรอยละ 5 ของ นาย ก คอ 30,000 บาท ปท 1 ไดรบเงนเดอนเพมขนรอยละ 5

หรอคดเปนเงน 30,000(0.5) = 1,500 บาท ปท 2 ไดรบเงนเดอนเพม ขนรอยละ 15 ของเงนเดอนในปแรกหรอคดเปนเงน 31,500 (0.15)

= 4,725 บาท รวมเงนเดอนเพมขนสองป 6,225 บาท เทากบการใชคาเฉลยเรขาคณตแทนในการคำานวณรอยละทเพมขนในแตละปดงนปท 1 ไดรบเงนเดอนเพมขน รอยละ 9.886 หรอคดเปนเงน 30,000(0.09886)= 2,965.8 บาท

ปท 2 ไดรบเงนเดอนเพมขน รอยละ 9.886 ของเงนเดอนในปแรก หรอคดเปนเงน 32965.8(0.09886)= 3,259 บาทรวมเงนเดอนเพมขนสองป (2,965.8 + 3259) = 6,224.8 บาท ซงเปนคาใกลเคยงหรอเทากนหากมการปดเศษ

-ขอมลทแจกแจงความถแลว ( grouped data )สตร

ตวอยางท 3 จากตารางแจกแจงความถตอไปนเปนขอมลเกยวกบอายของคนกลมหนงมจำานวน54 คน จงหา G.M.

แทนคาจากสตร

อาย(ป)

จำานวนคน

10-14

3 12 1.0792

3.2376

15-19

7 17 1.2304

8.6128

20-24

16 22 1.3424

21.4784

25-29

12 27 1.4314

17.1768

30-34

9 32 1.5051

13.5459

หมายเหต เสมอ กตอเมอ ทกคาของขอมลเทากนหมด

ใบความรท 1.1.5คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.5 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน1.1.5 คาเฉลยฮารโมนก (harmonic mean ) “H.M”

-ขอมลทไมแจกแจงความถ (ungrouped data )สตร

ตวอยางท 1 จากขอมลตอไปน 2,7,3,8,14 จงหา H.M.วธทำา จากสตร

คาเฉลยฮารโมนก นยมใชสำาหรบการหาอตราเฉลยหรอใช สำาหรบเฉลยขอมล เชน ระยะทาง ตอชวโมง งานตอหนวยเวลา

เปนตนตวอยางท 2 นาย ก ทำางานหนงหนวยแลวเสรจในเวลา 4 นาท นาย

ข นาย ค นาย ง และ นาย จ ทำางานหนวยเดยวกนนเสรจในเวลา 5 ,6 ,10 , และ 12 นาท

ตามลำาดบ ตองการหาคาเฉลยของอตราการทำางานของคนทงหาคน น

พจารณา นาย ก ทำางาน 1 หนวย ใชเวลา 4 นาท ดงนนใน 1 นาท นาย ก ทำางาน

ได หนวย นาย ข ทำางาน 1 หนวย ใชเวลา 5 นาท ดงนนใน 1 นาท นาย ข ทำางาน

ได หนวย นาย ค ทำางาน 1 หนวย ใชเวลา 6 นาท ดงนนใน 1 นาท นาย ค ทำางาน

ได หนวย นาย ง ทำางาน 1 หนวย ใชเวลา 10 นาท ดงนนใน 1 นาท นาย ง

ทำางานได หนวย นาย จ ทำางาน 1 หนวย ใชเวลา 12 นาท ดงนนใน 1 นาท นาย จ

ทำางานได หนวย นนคอ ใน 1 นาท ทงหาคนทำางานรวมกนได หนวย

เฉลยแลวไดงาน หนวยตอนาท

นนคอ งาน หนวย ใชเวลา 1 นาท

ดงนน งาน 1 หนวยใชเวลา นาท

หรอมคาเทากบ = 6.25 นาท ซงคอคาเฉลย

ฮารโมนกนนเอง

ตวอบางท 3 สมมตวาแบงระยะทาง 40 กโลเมตรเปนสระยะเทาๆกน โดยระยะทาง 10 กโลเมตรแรกใชอตราเรวในการขบรถ 100 กโลเมตรตอชวโมง ระยะทาง 10 กโลเมตรตอๆไปใชอตราเรว 110 , 90 , และ 120 กโลเมตรตอชวโมงตามลำาดบ ตองการหาอตราเรวเฉลยในการขบรถสำาหรบระยะทาง 40 กโลเมตรนพจารณา

เนองจากอตราเรวคอ ระยะทาง/ เวลา ดงนนตองหาเวลารวมทใชในการขบรถในระยะทาง 40 กโลเมตรกอน

ขบรถ 10 กโลเมตรแรก ใชเวลาเทากบ 10/100 ชวโมง ขบรถ 10 กโลเมตรทสอง ใชเวลาเทากบ 10/110 ชวโมง ขบรถ 10 กโลเมตรทสาม ใชเวลาเทากบ 10/90 ชวโมง ขบรถ 10 กโลเมตรสดทาย ใชเวลาเทากบ 10/120 ชวโมง

รวมเวลาทใชทงสน ชวโมง ดงนนอตราเรวเฉลยในระยะทาง 40 กโลเมตร คอ

ซงกคอคาเฉลยฮารโมนกนน

เองมคาเทากบ 103.80 กโลเมตร/ชวโมงตวอยางท 4 นาย ก ขบรถในชวโมงแรกใชอตราเรว 80 กม./ชม.

จากนนในชวโมงทสองไดเพมอตราเรวเปน 100 กม./ชม. อตราเรว เฉลยในการขบรถในชวงระยะทางทวงไดสองชวโมง คอ

กม./ชม. หรอคอคาเฉลยเลขคณตนนเอง เนองจากระยะ ทางทวงไดทงหมดคอ 80+100 กโลเมตร และเวลาทงสนคอ 2

ชวโมงแตถากำาหนดวา ในระยะทางครงแรกของการเดนทางขบรถดวย

อตราเรว 80 กม./ชม. สวนระยะทางครงหลงใชอตราเรว 100 กม./ชม. อตราเรวเฉลยของการขบรถในชวงทวงไดคอ

กม./ชม. หรอคอคาเฉลยฮารโมนก

เนองจากถาสมมตวาระยะทางทวงไดในครงแรกคอ d กโลเมตรเวลาทใชในครงแรกคอ ชม.

สวนระยะทางทวงไดครงหลงคอ d กโลเมตร เชนกน และเวลาทใชในครงหลงคอ ชม.

ตวอยางท 5 ชายคนหนงขบรถจากบานไปททำางานดวยอตราเรวเฉลย 30 กม./ชม.และขบรถจากททำางานไปบานดวยอตราเรวเฉลย 60 กม./ชม. จงหาอตราเรวเฉลยของการขบรถไปและกลบ(คากลางในการหาอตราเรวเฉลยทเหมาะสมคอคาเฉลยฮารโมนก)วธทำา จากสตร

อตราเรวเฉลย

ตวอยางท 6 นาย ก. นาย ข. และนาย ค. ขบรถดวยความเรว 60 กม./ชม. , 40 กม./ชม.และ 80 กม./ชม.ตามลำาดบ จงหา

ก. ถาทงสามคนขบรถเปนระยะทาง 200 กม.เทากนจงหาอตราเรวเฉลย

วธทำา จากสตร

ข. ถาทงสามคนขบรถในเวลา 3 ชวโมงเทากน จงหาอตราเรวเฉลย

วธทำา

หมายเหต จากตวอยางท 6 1. ถาโจทยกำาหนดใหระยะทางคงทควรหาคาเฉลยดวย H.M.2. ถาโจทยกำาหนดใหเวลาคงทควรหาคาเฉลยดวย

ตวอยางท 7 ชายคนหนงขบรถจกรยานยนตจากบานนาย ก. ไปบานนาย ข. ระยะทาง 20 กม.ดวยอตราเรวเฉลย 40 กม./ชม. ขบจากบานนาย ข. ไปบานนาย ค. ระยะทาง 30 กม.ดวยอตราเรว-เฉลย 50 กม./ชม. และขบจากบานนาย ค. ไปบานนาย ง. ระยะทาง 18 กม.ดวยอตราเรวเฉลย36 กม./ชม. จงหาอตราเรวโดยเฉลยในการขบรถจกรยานยนตจากบานนาย ก. ไปบานนาย ง.วธทำา อตราเรวเฉลย

-

- ขอมลแจกแจงความถแลว(grouped data )

ตวอยางท 8 จากตารางแจกแจงความถตอไปนจงหา H.M.

วธทำา จากสตร

หมายเหต จากตวอยางท 7 กำาหนดขอมลในรปอตราเรวของการเคลอนทแตระยะทางไมเทากนและเวลาไมเทากน เราหาโดยใชคาเฉ

อนตรภาคชน

ความถ

10-14 315-19 720-24 1625-29 1230-34 935-39 540-44 2

N =

ใบความรท 1.1.6คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.6 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน1.1.6 คากงกลางพสย (mid-range )

เปนคากลางของขอมลซงมวธการหาอยางคราวๆ ดงนนจงเปนคากลางทไมละเอยดนกเพราะเปนคาในขอมลเพยงสองคาเทานนคอคาสงสด( ) กบคาตำาสด ( )

-ขอมลทไมแจกแจงความถ (ungrouped data )

เชน จากขอมล 84,91,72,68,87,78,65

-ขอมลทแจกแจงความถ (grouped data )

อนตรภาคชน

ความถ

5 - 9 7

10 - 14 615 - 19 920 - 24 3

คากงกลางพสย

ขอสงเกตเกยวกบคากลางชนดตางๆ1. ในการคำานวณ ใชขอมลทกๆคาแต Med และ ใชตำาแหนง

ของขอมลบางคาเทานน2.ถามขอมลบางคาสงหรอตำาเกนไป จะเปนคากลางทไมเหมาะสม

ควรใช มธยฐาน3. ขอมลชนดอนตรภาคชนเปดหา ไมได แต Med และ สามารถ

หาคาได4. ขอมลทมขนาดอนตรภาคชนไมเทากนอาจทำาให หรอ คลาด

เคลอนไปจากทควรจะเปนแตจะไมกระทบตอการหา Med5. Med และ หาจากกราฟไดแต หาจากกราฟไมได6.ในกรณทขอมลเปนขอมลเชงคณภาพจะหาไดเฉพาะ เทานน

หา และ Med ไมได7.ในสถตชนสง มทใชมาก สวน Med และ แทบจะไมใชเลยใน

สถตชนสง8.

ใบความรท 1.2คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.2 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน

1.2 การวดตำาแหนงทของขอมลโดยทวๆไปเมอเรากลาวถงตำาแหนงหรอลำาดบทของขอมลชดหนง เชน เมอมประกาศผลการสอบของนกเรยนชนประถมศกษาผปกครองมกจะถามนกเรยนวาสอบไดทเทาไร ถาเดกนกเรยนตอบวาสอบไดท 15 ถามขอมลเพยงแคนกไมทราบวาไดตำาแหนงทดหรอไมด เพอขจดปญหาในการทจะตองรจำานวนนกเรยนในหองนเราจะมาใชวธจดตำาแหนงของขอมลซงไดแกคาสถตของขอมลทเรยงลำาดบจากนอยไปหามากโดยเปนคาทแสดงตามตำาแหนงของขอมลซงแบงเปน 3 ชนดคอ

1.2.1 ควอไทล (Quartiles )

นอย มาก

เปนการแบงขอมลทเรยงลำาดบจากนอยไปหามากออกเปน 4 สวนเทาๆกน โดยมจดแบง 3 จด

-ควอไทลท 1 เปนคาทมจำานวนคาในขอมลซงนอยกวาคานอยประมาณ ของจำานวนขอมลทงหมด(หรอ 25 % ของจำานวนคาทงหมดในขอมล)

-ควอไทลท 2 เปนคาทมจำานวนคาในขอมลซงนอยกวาคานอยประมาณ ของจำานวนขอมลทงหมดซงกคอมธยฐานนนเอง (หรอ 50 % ของจำานวนคาทงหมดในขอมล) -ควอไทลท 3 เปนคาทมจำานวนคาในขอมลซงนอยกวาคานอยประมาณ ของจำานวนขอมลทงหมด(หรอ 75 % ของจำานวนคาทงหมดในขอมล) 1.2.2 เดไซล ( Deciles )เปนการแบงขอมลทเรยงลำาดบจากนอยไปหามากออกเปน 10 สวนเทาๆกนมจดแบง 9 จดคอ

เดไซลท k เปนคาทมจำานวนคาในขอมลซงนอยกวาคานประมาณของจำานวนขอมลทงหมด

1.3.1 เปอรเซนตไทล (Percentiles )

1.2.3 เปอรเซนตไทล (Percentiles ) เปนการแบงขอมลทเรยงลำาดบจากนอยไปหามากออกเปน 100 สวนเทาๆกนมจดแบง 99 จดคอ

นอยมาก

เปอรเซนตไทลท k เปนคาทมจำานวนคาในขอมลซงนอยกวาคานอยประมาณ ของจำานวนคาทงหมดในขอมล

-การหาควอไทล,เดไซลและเปอรเซนไทลของขอมลทไมแจกแจงความถ ถา N เปนจำานวนขอมล หาตำาแหนง ไดจากสตร

ตวอยางท 1 ผลการทดสอบเกยวกบระดบสตปญญาของนกเรยนชนประถมศกษาปท 4 กลมหนง ปรากฎคะแนนดงน 98,111,108,100,96,103,115,99,103,101,114,90,122,113,95,104,116,100,99,101,89,107,113,102 จงหา วธทำา N= 24 เรยงลำาดบขอมลจากนอยไปหามาก 89,90,95,96,98,99,99,100,100,101,101,102,103,103,104,107,108,111,113,113,114,115,116,122-หาตำาแหนง แสดงวาอยระหวางตำาแหนงท 6 กบ 7

ตำาแหนงตางกน (7-6)=1 คะแนนตางกน 99-99=0

นอย มาก

ตำาแหนงตางกน (6.25-6)=0.25 คะแนนตางกน คะแนน ณ ตำาแหนง คอ 99+0 = 99 คะแนน

-หาตำาแหนง เพราะฉะนนคะแนน ณ

ตำาแหนง 113 คะแนน

-หาตำาแหนง แสดงวาอยระหวางตำาแหนงท 12 กบ 13

ตำาแหนงตางกน(13-12) = 1 คะแนนตางกน (103-102) = 1

ตำาแหนงตางกน(12.50-12) = 0.50 คะแนนตางกน เพราะฉะนนคะแนน ณ ตำาแหนง

ตวอยางท 2 จากขอมลตอไปน 222,202,218,230,208,218,206,222,231,239 จงหา

วธทำา

--ในทำานองเดยวกนในตวอยางท 2 ถาถามวา คะแนน 211 คะแนนอยในตำาแหนงเปอรเซนตไทลทเทาไร. เราตองหาวาคะแนน 211 อยในตำาแหนงทเทาไรของขอมลวธทำา คะแนน ตางกน (218-208) = 10 ตำาแหนงตางกน (4-3) = 1 คะแนนตางกน (211-208) = 3 ตำาแหนงตางกน

แสดงวาคะแนน 211 อยในตำาแหนงท 3+0.3 = 3.3จาก

แสดงวาคะแนน 211 คะแนนอยในตำาแหนง

หรออาจจะหาอกวธหนงคอ คะแนน ตางกน (218-208) = 10 ตำาแหนงตางกน (4-3) = 1 คะแนนตางกน (218-211) = 7 ตำาแหนงตางกน แสดงวาคะแนน 211 อยในตำาแหนงท 4-0.7 = 3.3

-การหาควอไทล,เดไซลและเปอรเซนตไทลของขอมลทแจกแจงความถแลว ให N คอจำานวนขอมล ตำาแหนงของ สตร

L คอขอบลางของอนตรภาคชนชนท ตกอย

I คอขนาดของอนตรภาคชนท ตกอยcuf คอความถสะสมของอนตรภาคชน

ทตำากวาชนท ตกอยคอความถของอนตรภาคชน

ท ตกอยขอสงเกต เหมอนกบสตรการหามธยฐานผดกนทการหาตำาแหนงเทานน

ตวอยางท 3 ตารางแจกแจงความถตอไปนเปนคะแนนสอบวชาสถตของนกเรยน 120 คน

จงหา ก. วธทำา หาตำาแหนง จากสตร

แทนคา

คะแนน

จำานวนนกเรยน

cuf

30-39

1 1

40-49

4 5

50-59

10 15

60-69

22 37

-หาตำาแหนง

จากสตร

แทนคา

-หาตำาแหนง

จากสตร

แทนคา

ข. จงหาคะแนนตำาสดของกลมนกเรยนทไดคะแนนสงสด ซงนกเรยนกลมนคดเปน 20% ของนกเรยนทงชนวธทำา กลมเกงมจำานวนนกเรยนอยเทากบ คนดงนนนกเรยนทไดคะแนนตำาสดของกลมนอยในตำาแหนงท 120-23=97ความถสะสมตางกน (112-82)=30 คะแนนตางกน (89.5-79.5)= 10ความถสะสมตางกน (97-82)=15 คะแนนตางกนนนคอคะแนนตำาสดของกลมทไดคะแนนสงสดคอ 79.5+5 = 84.5 คะแนน

ค. จงหาคะแนนสงสดของกลมนกเรยนทไดคะแนนตำาสดซงนกเรยนกลมนคดเปน 15% ของจำานวนนกเรยนทงชนวธทำา กลมทไดคะแนนตำาสดเทากบ คนดงนนนกเรยนทไดคะแนนสงสดในกลมนอยในตำาแหนงท 18ความถสะสมตางกน(37-15) = 22 คะแนนตางกน (69.5-59.5) = 10ความถสะสมตางกน(18-15)= 3 คะแนนตางกนนนคอคะแนนสงสดของกลมทไดคะแนนตำาสดคอ 59.5+1.36 = 60.86 คะแนนง. นกเรยนคนหนงสอบได 75 คะแนน เขาไดคะแนนเปนเปอรเซนไทลทเทาใด.วธทำา จากสตร

แสดงวา คะแนน 75 คะแนน ตรงกบ

ตวอยางท 4 หลอดไฟฟาผลตโดยโรงงานแหงหนงจำานวน 37 หลอด พบวาอายการใชงานของหลอดไฟฟาเปนดงตารางแจกแจงความถตอไปน

จงหา ของอายการใช

งานของ หลอดไฟฟา

ทงหมดโดยใช กราฟ

วธทำาความถสะสม

อายการใชงาน(ชม.) 239.5 259.5 279.5 299.5 319.5 339.5 1. สรางโคงความถสะสม 2. หาตำาแหนง

3. จากตำาแหนงทหาไดเขยนบนแกนตงแลวลากสนขนานกบแกนนอนพบโคงความถสะสมทตำาแหนงใดแลวลากเสนขนานกบแกนตงไปพบแกนนอนซงจะเปนคาโดย

อายการใชงาน(ชม.)

จำานวนหลอดไฟฟา

ความถสะสม

240-259 4 4260-279 8 12280-299 13 25300-319 9 34320-339 3 37

N=37

40

30

20

10

โคงความถ

11.1

18.5

28.12

ประมาณของ ชวโมง ชวโมง ชวโมง