เอกสารแนะแนวทางที่ 1 - pm.ac.th · web viewฟ งก ช...

ใบความรท 2.1.1คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 2.1.1 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ2. แคลคลสเบองตน

2.1 ลมตของฟงกชน2.1.1 ลมตท a ของฟงกชน y = f (x)จากหนวยการเรยนรท 1 เราเรยนลมตของลำาดบมาแลว ซง

ลำาดบนนมโดเมนเปนเซตของ

จำานวนเตมบวก เชน ซงหา ในหนวยนจะ

กลาวถงลมตของฟงกชน โดยทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจำานวนจรงโดยท x

เขาใกลจำานวนจรงจำานวนใดจำานวนหนงพจารณา เมอ x เขาใกลจำานวนจรงใดๆ เชน x เขาใกล 0 จะพจารณา 2 กรณคอ

1. ถา x เขาใกล 0 ทางดานซายมอคอ x < 0 จะเขยนแทนดวย

x < 0

2. ถา x เขาใกล 0 ทางดานขวามอคอ x > 0 จะเขยนแทนดวย

x > 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

สรป เมอ x เขาใกลจำานวนจรง a ใดๆจะเขาใกล 2 กรณคอเขาใกลทางซาย และเขาใกลทางขวา

x x พจารณา ฟงกชน y = f (x) = 2x

-จากตารางจะเหนวา เมอ คาของ f (x) = 2x จะมคาเพมขนเรอยๆเขาใกล 4 เราเรยก 4 วาลมตซายของฟงกชน f ( x ) = 2x เมอ x เขาใกล 2 ทางดานซาย

เขยนแทนดวย

ทำานองเดยวกน เมอ คาของ f (x) = 2x จะมคาลดลงเรอยๆเขาใกล 4 เราเรยก 4 วาลมตขวาของฟงกชน f ( x ) = 2x เมอ x เขาใกล 2 ทางดานขวา

เขยนแทนดวย

นยาม ฟงกชน y = f (x) ใดๆทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจำานวนจรง

ถา แลว กลาวไดวาฟงกชน y = f (x) มล

มตเทากบ L ท a หรอ

มลมตท a เทากบ L เขยนแทนดวย ถา

แสดงวา

x

F(x) =2x

00.51.51.91.99

013

3.83.98

x

F(x) =2x

32.32.22.01

2.001

64.64.4

4.024.00

2

ฟงกชน y = f (x) ไมมลมตท a- จากฟงกชน y = f(x) = 2x จะเหนวา

แสดงวาฟงกชน y = 2xมลมตท 2 เทากบ 4 เขยนแทนดวย

y = 2x

ตวอยางท 1 กำาหนด

จงหา และ

พจารณาวาฟงกชน y = f(x) มลมตท 1 หรอไม

วธทำา พจารณาจากตารางและกราฟดงน

5 4 3

1 2 3 4 5 6 7

Y

X -2 -1

x+ 1 เมอ x < 1

f(x) =

x – 2 เมอ x > 1

Y

X

21

X f(X) = X+1

0.50.70.9

0.99..1

1.51.71.9

1.99..2

X f(X) = X-2

1.51.31.21.1

.

.1.00

1

-0.5-0.7-0.8-0.9

.

.-0.999

-1

-1 0 1 2

จากตารางและกราฟจะเหนวา

และ

จะเหนวา

แสดงวาฟงกชน ไมมลมตท 1ขอสงเกต จากฟงกชน ใดๆทโจทยกำาหนดฟงกชน อาจจะมลมตท a แตอาจจะไมมลมตทจดอน หรออาจจะไมมลมตท a แตอาจจะมลมตทจดอนได เชน จากตวอยางท 1 จะเหนวาฟงกชน ไมมลมตท 1 แตมลมตท 2 เพราะ

ตวอยางท 2 จงพจารณาวา มลมตท 0 หรอไม x เมอ x > 0วธทำา เนองจาก

-x เมอ x < 0

1 เมอ x > 0จะได f (x) =

-1 เมอ x < 0

Y

x > 0

X x < 0

3 2 1 -

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

จะเหนวา และ แสดงวาฟงกชน ไมม

ลมตท 0นกเรยนคดวาฟงกชน มลมตท 3 หรอไมถาม มคาเทาใด…………………………….ตวอยางท 3 จากกราฟของฟงกชน f (x) =

จงพจารณาวาฟงกชนมลมตท 2 หรอไมวธทำา ดจากกราฟจะเหนวา

และ

เพราะฉะนน

แสดงวาฟงกชน ไมมลมตท 2

ตวอยางท 4 กำาหนด จงหา , ,

,

a เมอ a > 0วธทำา ทบทวนสมบตของคาสมบรณ ของ a 0 เมอ a = 0

-a เมอ a < 0 จะได f ( x ) =

Y

X

-1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6 5 4 3

-2 0 2

ทบทวนการแกอสมการ -2< x<2

+ - +

พจารณาจากกราฟ Y

X

จากกราฟจะได , , , แสดงวาฟงกชน y = f (x) มลมตท 2 เขยนแทนดวย

และฟงกชน y = f (x) มลมตท -2 เขยนแทนดวย

ขอสงเกต มฟงกชนบางฟงกชนไมสามารถหา f(x) ท a ได เชน

จะเหนวา f (3) หาคาไมได แต และ

จะได Y

-1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6 5 4 3

-1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6 5 4 3

X

แสดงวาฟงกชน มลมตท 3 เทากบ 6 แตหา f (3) ไมได

ใบความรท 2.1.2คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 2.1.2 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ2.1.2 ทฤษฎลมต

การหาฟงกชน y = f(x) มลมตท a หรอไมทกลาวมาแลวในเอกสารแนะแนวทางท 2.1.1ซงม 2 วธคอ สรางตารางและดจากกราฟของฟงกชนซงไมสะดวกและเสยเวลา มอกวธหนงทหาไดสะดวกและรวดเรวคอใชทฤษฎลมตเขาชวยทฤษฎลมต เมอ a , L , M เปนจำานวนจรงใดๆ ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปน

สบเซตของจำานวนจรง โดยท และ แลว

1. เมอ c เปนคาคงตว เชน

2. เชน

3 เชน

4. เชน

5. = เชน

6. เชน

7. เชน

8. เชน

9.

เชน

10.

เชน

11. เชนกำาหนด

12.

เชน

13. เชน

14. ถามฟงกชนตรโกณมตรวมอยในลมตใหนำาเอามาไวขางหนาลมตได

เชน

15. เชน

-หลกการหา ใหงายและสะดวกรวดเรวยงขน

1. โดยการแทนคานำา x = a แทนลงใน f (x) ถาปรากฎวาคาของ f ( a) เปน

จำานวนจรง แสดงวา f (a) คอลมต

ของฟงกชน เชน จะได

2. ถานำา x = a แทนลงใน f (x) แลวปรากฎวาคาของ f (a) อยในรปหาคาไมได ใหพจารณาลกษณะของ f(x) ดงน

1.1 ถา f (x) สามารถแยกตวประกอบได ใหแยกตวประกอบและพยายามขจดตวประกอบ

ททำาใหสวนเปน 0 ออก หลงจากนนกนำาคา x = a แทนลงไปในสวนทเหลอ กจะไดลมตของ f(x)เชน

ถาแทนคา x = 2 ลงใน f (x) จะทำาใหสวนเปน 0 ซงหาคาไมได ตองแยกตวประกอบจดรปดงน

1.2 ถาแยกตวประกอบของ f(x) แลวไมสามารถขจดสวนทเปน 0 ใหหมดไปไดแสดงวา

ฟงกชน y = f (x) ไมมลมตท a เชน จงหา

แสดงวาฟงกชน y = f(x) ไมมลมตท 1

2.3 ถา f(x) อยในรปเครองหมายกรณฑ ใหใชสงยคคณทงเศษและสวนแลวตดตวประกอบทมสวนเปน 0 ออก แลวแทนคา x = a ถาคาทไดเปนจำานวนจรงคาดงคอลมตท aเชน กำาหนด จงหา

กำาหนด จงหา

xflim1x xflim

2x

แสดงวาฟงกชน y = f(x) ไมมลมตท 2

ใหนกเรยนชวยกนหา

ใบความรท 2.2.1คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาเอกสารแนะแนวทางท 2.2.1 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ2.2.1 ความตอเนองของฟงกชนพจารณา ฟงกชน f ( x) = 2x + 1 Yจากกราฟ หา f(1) = 2(1) +1 = 3หา

Y = 2x+1

X

พจารณา ฟงกชน Y

-1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6 5 4 3

-1 -3 -2 -1 0

1 2 3 4 5

6 5 4 3

จากกราฟหาคา g (2) ไมไดเพราะสวนเปน 0

จากกราฟ f (x) = 2x+1 จะเหนวากราฟจะเปนเสนตรงทตอเนองไมขาดตอน f(1) = 3

จะเหนวา f(1) =

จากกราฟ จะเหนวากราฟจะขาดตอนท x = 2 หา g(2) ไมไดแตหา ซง จะเรยกฟงกชน f ( x) = 2x + 1 วาเปนฟงกชนตอเนองท x = 1และฟงกชน วาเปนฟงกชนไมตอเนองท x = 2นยาม ให a เปนจำานวนจรงใดๆฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = a กตอเมอ ฟงกชน f มสมบตดงน 1. 2. 3.

ตวอยางท 1 กำาหนด จงพจารณาวาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท x = -1 หรอไมวธทำา Y

X

x+1 เมอ x

- x – 1

เมอ x < -1-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6 5 4 3

X

หาคา f(-1) = 0 และ จะเหนวา f(-1) = แสดงวาฟงกชน Y = f(x)ตอเนองท x = -1ตวอยางท 2 จงพจารณาวาฟงกชน f(x) = เปนฟงกชนตอเนองท x = 1 หรอไมวธทำา f (1) หาคาไมไดแสดงวาฟงกชน y = f(x) ไมตอเนองท x = 1ตวอยางท 3 จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองท x = 2 หรอไมกำาหนด Y 4 , x = 2วธทำา หา f(x) = 4หา

จะเหนวา

แสดงวาฟงกชน f (x) ไมตอเนองท x = 2

-ใหนกเรยนพจารณาจากกราฟของฟงกชนตอไปนวามความตอเนองท x = a หรอไม

1. y 2. y x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6 5 4 3

X

0 a 0 a x

……………………. ………………………….

3. 4. y

y

b 0 a x 0 a x

……………………… ………………………….

นกเรยนคดวาการดจากกราฟมขอสงเกตอยางไรทจะทำาใหเราทราบวาฟงกชนมความตอเนองท x = a หรอไม …………………………………………………………………………………

ใบความรท 2.2.2

คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาเอกสารแนะแนวทางท 2.2.2 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ

ความตอเนองของฟงกชนบนชวง1. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ( a , b ) กตอเมอ

ฟงกชน f ตอเนองทกๆจดในชวง(a,b)หมายความวา ถาเราแทนคา x ทอยในชวง (a , b) ลงใน f (x) แลวหาคาไดทกคาของ xแตถามบางคาของ x ทอยในชวง (a , b) ทำาให f(x) หาคาไมได แสดงวา ฟงกชน f ไมตอเนองบนชวง (a , b)2. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง กตอเมอ

2.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ( a , b)2.2

3. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง กตอเมอ3.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ( a,b)3.2

4. ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง กตอเมอ4.1 ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง ( a,b)4.2

ทฤษฎบท ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนอง ท x = a แลวจะไดวา1. เปนฟงกชนตอเนองท x = a2. เปนฟงกชนตอเนองท x = a3. เปนฟงกชนตอเนองท x = a4. เปนฟงกชนตอเนองท x = a เมอ g(a) 0

ตวอยางท 1 กำาหนด จงพจารณาวา f (x) ตอเนองบนชวง (-2 , 5) และ หรอไมวธทำา 1. แทนคา x ทกตวบนชวง (-2 , 5) ลงใน f (x) สามารถหาคาไดทงหมด แสดงวา f (x)ตอเนองบนชวง (-2 , 5) 2. หา f(-2) = -1 และ

หา f(5) = 69 และ จาก (1) และ (2) แสดงวา

f(x) ตอเนองบนชวง ตวอยางท 2 กำาหนด จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองบนชวง (-2 , 5)และ หรอไมวธทำา จะเหนวา ถา ซงอยบนชวง (-2 , 5 ) หาคาไมได แสดงวาฟงกชน fไมตอเนองบนชวง (-2 , 5 )และ แตถาเปนชวง (2 , 5 )และ

นกเรยนคดวาฟงกชน f จะตอเนองหรอไมเพราะเหตใด…………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………….ตวอยางท 3 กำาหนด

1 เมอ x = 0จงพจารณาวาฟงกชน y = f (x) ตอเนองบนชวง หรอไม

f ( x ) =

วธทำา พจารณาบนชวง (-1 , 1) จะได f(0) = 1 และ

จะเหนวา f(0)แสดงวาฟงกชน y = f(x) ไมตอเนองท x = 0 และไมตอเนองบนชวง (-1 , 1 ) เพราะฉะนนฟงกชน y = f(x) ไมตอเนองบนชวง

ขอสงเกต 1. ฟงกชนพหนามจะมความตอเนองในเซตของจำานวนจรง

เชนจะมความตอเนองทกจดในเซตของจำานวนจรง

2. ฟงกชนตรรกยะมความตอเนองทกจดทหาคาของฟงกชนได ยกเวนจดททำาใหสวนเปน 0เชน จะตอเนองทกจดยกเวนจดท x = 3

ใบความรท 2.3.1คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาเอกสารแนะแนวทางท 2.3.1 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ

1.1 อนพนธของฟงกชน 2.3.1 ความเรวเฉลยและความเรวขณะเวลาใดๆ

ในปจจบนเราจะพบการเปลยนแปลงอยตลอดเวลา เชน การเพมพลเมองของแตละประเทศซง

เปนความสมพนธระหวางจำานวนพลเมองกบเวลา การปลอยวตถลงจากทสงบนทกระยะทางทวตถเคลอนทไดขณะเวลาตางๆเพอศกษาวาหลงจากทปลอยวตถไปแลว 3 วนาท วตถเคลอนทไปดวยความเรวเทาใด ซงปญหาเหลานเราสามารถใชความรเรอง อนพนธของฟงกชน เขาชวยในการแกปญหาได

- พจารณาการเคลอนทของลกบอลทปลอยจากทสงลงสพนดนตองการศกษาวาเมอปลอยวตถไปแลวในวนาทท 3 วตถเคลอนทดวยความเรวเทาใด ซงจะตองอาศยความเรวเฉลยในชวงเวลาตางๆเขามาชวยความเรวเฉลย หมายถงอตราสวนของระยะหางของวตถจากตำาแหนงเดม(คดทศทาง)ตอเวลาทงหมดทวตถใชในการเคลอนทจากตำาแหนงเดมไปหาตำาแหนงใหม(คาทออกมาเปนบวกหรอลบเปนการบอกทศทางของการเคลอนทของวตถ) ให t แทนเวลาทวตถใชในการเคลอนทมหนวยเปนวนาท s แทนระยะทางทวตถเคลอนทเมอเวลาผานไป t วนาท มหนวยเปนเมตรจะไดความสมพนธคอ s = f (t) ซงเปนสมการการเคลอนทของวตถ

ความเรวเฉลยชวง เมตร/วนาท

-พจารณาการปลอยลกบอลจากทสงลงสพนดนดวยสมการการเคลอนท ตองการหาความเรวขณะวนาทท 3

พจารณาการหาความเรวเฉลยในชวงเวลาตางๆกนดงตารางตอไปน

ชวงเวลา(วนาท

)

ความเรวเฉลย(เมตร/วนาท)

0-11-22-33-44-5

จากตารางจะเหนวาความเรวเฉลยจะเพมขนเรอยๆ ถาให v ( t ) แทนความเรวขณะเวลา t ใดๆ จะเหนวาความเรวเฉลยชวง

ถาใหชวงเวลาทหาความเรวเฉลยตางกนนอยมาก คอใหเทากบ h เมอ h แต t =

3 - t = 3 +

ความเรวเฉลยชวง t = 3-h ถง t = 3

= 30 - 5h เมตร/วนาท

ความเรวเฉลยชวง t = 3 ถง t = 3+h

= 30 + 5h เมตร/วนาท

t = 2t

- ถาให h = 0.3,0.1,0.01,0.001,…………….. จะไดผลดงตารางตอไปน

h ความเรวเฉลยชวง t=3-h ถง t = 3

(30-5h)m/s

ความเรวเฉลยชวง t=3 ถง t = 3+h

(30+5h)m/s0.3 28.5 31.50.1 29.5 30.5

0.01 29.95 30.050.001

.

.

.

29.995...

30.005...

จากตารางจะเหนวา เมอ h เขาใกล 0 ความเรวเฉลยกอนถงวนาทท 3 และหลงวนาทท 3 คาจะเขาใกล 30 เพราะฉะนนความเรวขณะวนาทท 3 (v(3)) จะมคาเทากบ 30 เมตร/วนาท

- นกเรยนจะเหนวา เมอ h < 0 ความเรวเฉลยชวง t = 3-h ถง t = 3 เมอ กอน

วนาทท 3 ( 3-h จะเปน 3+ h ) คอ

- และเมอ h > 0 ความเรวเฉลยชวง t = 3 ถง t = 3+h (หลงวนาทท 3 )คอ

นนคอความเรวขณะวนาทท 3 เทากบ เมอ h เขาใกล 0เขยนแทนดวย


2.3.2 อตราการเปลยนแปลงเฉลยและอตราการเปลยนแปลงขณะใดๆนยาม ถา y = f (x) เปนฟงกชนใดๆเมอคาของ x เปลยนเปน x + h โดยท คาของ y เปลยนจาก f (x) เปน f ( x + h ) แลว- อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x+ h คอ

และอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆคอ

- ถาเปนสมการการเคลอนท s = f(t) ความเรวเฉลยคอ

และความเรวขณะเวลา t ใดๆ คอ

ตวอยางท 1 ถาอนภาคชนหนงเคลอนทไดระยะทาง เมตร โดยใชเวลา t วนาท1. จงหาความเรวขณะเวลา t ใดๆ 2. จงหาความเรวขณะ t = 1วธทำา 1. ความเรวขณะเวลา t ใด คอ v (t)

= 3- 2t เมตร / วนาท2. ความเรวขณะเวลา t = 1 จากขอ (1) ความเรวขณะเวลา t ใดๆ คอ 3 –2t เมตร / วนาท เพราะฉะนนความเรวขณะ t = 1 คอv(1) = 3 – 2(1) = 1 เมตร / วนาท

ตวอยางท 2 ให จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x เมอ1. x เปลยนจาก 2 ไปเปน 2.2 2. x เปลยนจาก 2 ไปเปน 2.1 3. x เปลยนจาก 2 ไปเปน 2.014. อตราการเปลยนแปลงขณะ x = 2วธทำา อตราการเปลยนแปลงเฉลยคอ

1. เมอ x เปลยนจาก 2 เปน 2.2(x = 2 , h = 0.2 ) แทนคาลงใน 4x+ 2h จะได

V (t)

= 4 (2) + 2(0.2)= 8 + 0.4 = 8.4

2. x เปลยนจาก 2 เปน 2.1………………………………………..………………………………………..………………………………………..………………………………………..

3. x เปลยนจาก 2 ไปเปน 2.01………………………………………..………………………………………..………………………………………..………………………………………..

4. อตราการเปลยนแปลงขณะ x ใดๆ คอ

เมอ x = 2 จะได 4(2) = 8ตวอยางท 3 ความยาวของรปสเหลยมจตรสเปลยนจาก 10 ซม. เปน 12 ซม. จงคำานวณหา1. อตราการเปลยนแปลงเฉลยของพนทรปสเหลยมจตรสเทยบกบ

ความยาวของดาน2. อตราการเปลยนแปลงของพนทรปสเหลยมจตรสเทยบกบความ

ยาวของดานขณะทดานยาว 10 ซม.วธทำา 1. สตรการหาพนทรปสเหลยมจตรสคอ ให y คอพนทรปสเหลยมจตรส x คอดานของรปสเหลยมจตรสจะได y =

อตราการเปลยนแปลงเฉลยของพนทเทยบกบดานคอ

ตร.ซม./ซม. 2. หาอตราการเปลยนแปลง

ของพนทรปสเหลยมจตรสเทยบกบดานขณะทดานยาว10 ซม.คอ

ตร.ซม./ซม.

เอกสารแนะแนวทางท 2.3.2


2.4 การหาอนพนธของฟงกชน

เปลยนจาก 10 ซม. ไปเปน 12 ซม.(x = 10 , h = 2 )เพราะฉะนนอตราการเปลยนแปลงเฉลยของพนทเทยบกบดานเทากบ 2x + h = 2(10) + 2 = 22

พจารณา อตราการเปลยนแปลงเฉลยชวง x = 9.9 ถง x = 10

พจารณา อตราการเปลยนแปลงเฉลยชวง x =10 ถง x =10.1

จะเหนวาตางเขาใกล 20 แสดงวาอตราการเปลยนแปลงของพนทขณะ x =10 มคาเทากบ 20 ตร.ซม./ซม.

2.4.1 การหาอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยามนยาม ถา y = f (x) เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซต

ของจำานวนจรงและ หาคาได เรยกคาลมตทไดวา

อนพนธของฟงกชน “ f ท x”เขยนแทนดวย ทงหมดนคออตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ- ถาเปนสมการการเคลอนทของวตถ s = f(t) อนพนธของ

ฟงกชนคอ

เขยนแทนดวย จากสมการการเคลอนท ถา v (t) คอความเรวขณะเวลา t ใดๆจะได ตวอยางท 1 จงหาอนพนธของฟงกชน วธทำา

ตวอยางท 2 กำาหนด จงหาวธทำา

ตวอยางท 3 จงหา v(t) ขณะ t = 3 ของฟงกชน วธทำา

ตวอยางท 4 จงหาอนพนธของฟงกชน ท x = 1วธทำา

V (t)

= 2(1) – 2 = 0

จากตวอยางท 4 เราอาจจะทำาอกวธหนงโดยการกระจาย กอนแลวจงหาลมตดงน

= 2(1) – 2 = 0

ใบความรท 2.4.2คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาเอกสารแนะแนวทางท 2.4.2.ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ

2.4.2 การหาอนพนธของฟงกชนโดยใชสตร

ในบทเรยนทแลวเราเคยหาอนพนธของฟงกชนโดยใชบทนยามมาแลว ซงจะเหนวาไมสะดวกและเสยเวลามาก เพอใหการหาอนพนธสะดวกและรวดเรวขนจะใชสตรการหาอนพนธดงน1. ถา y = c เมอ c เปนคาคงตวแลว เชน y = 3

2. ถา y = x แลว

3. ถา y = xn เมอ แลว เชน จะได

จะได , จะได

4. ถา แลว

5. ถา y = cf(x) เมอ c เปนคาคงตวแลว

6. ถา แลว

7. ถา แลว

เชน จะได

ตวอยางท 1 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน.א.ב.גวธทำา .א จดรปใหมจะได

ข. จดรปใหมจะได

ค

ตวอยางท 2 จงหาอนพนธของฟงกชน ท x = -1วธทำา

หมายเหต ในกรณทโจทยใหหาอนพนธท x เทากบคาใดคาหนงนกเรยนไมตองคณแตละวงเลบเขาดวยกนเปนการเสยเวลา ใหแทนคา x ทโจทยกำาหนดใหลงไปเลยตวอยางท 3 กำาหนด วธทำา จาก

- ถา - ถา

เพราะฉะนน ตวอยางท 4 กำาหนดวธทำา จาก

- ถา - ถา

เพราะฉะนน

ใบความรท 2.5คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 2.5 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ

2.5 ความชนของเสนโคง และสมการเสนสมผสเสนโคง ณ จดทกำาหนดให - พจารณาสมการเสนตรง y = mx+c

จะเหนวาอนพนธของฟงกชนทมกราฟเปนเสนตรงจะเปนคาของความชนของเสนตรงนนเอง(m) - จากทนกเรยนเคยศกษามาแลวในการหาความชนของเสนตรงหา

ไดจาก

เชน สมการเสนตรง y = 3x + 2 ผานจด (1,5) และ (3,11)จะมความชนเทากบ หรอดจากรปของสมการ y = mx + c ความชนคอ m เพราะฉะนน y = 3x+2 จะได m = 3(เสนตรงทขนานกบแกน x ความชนเปน 0,เสนตรงทขนานกบแกน y ไมมความชน, เสนตรงทขนานกนจะมความชนเทากน,เสนตรงทตงฉากกนผลคณของความชนทงสองเสนจะเทากบ –1)ความหมายของเสนสมผสเสนโคง

- ถาเปนวงกลม เสนสมผสวงกลมทตงฉาก

กบรศม

- ถาเปนเสนโคงอนๆ เสนสมผสเสนโคงทจด P จะเปนเสนตรงทผานจด P และอยใน

ตำาแหนงใกลเคยงกบเสนตรงทลากผานจด P และจดอกจดหนงบนเสนโคงซงเกอบทบจด P

การหาความชนของเสนโคง Y

y+k Q(x+h,y+k)

y P(x,y)

0 x x+h X - ถาให y = f(x) เปนสมการเสนโคงทมจด P (x , y) และ จด Q (x+h ,y+k) อยบนเสนโคงโดยท เรยกเสนตรง PQ วาเสนตดกราฟ

Y

y+k Q(x+h,y+k)

Q1

Q2 y P(x,y)

R S

0 x x+h X

จากรป เสนโคง ตองการหาความชนของเสนสมผสเสนโคง RS ทจด ซงการจะหาความชนของเสนตรงจะตองรจดผาน 2 จด แตเสนสมผสเสนโคง RS รจดผานเพยงจดเดยวคอจด เพราะฉะนนจะหาความชนของเสนตดกราฟ PQ แทน จากความรเดมในเรองเรขาคณตวเคราะหความชนของเสน PQ หาไดจาก

เนองจาก และ จะได ถาเราเลอนจด Q มาท Q1,Q2,……….ไปเรอยๆคาของ กจะเคลอนเขาหา เรอยๆ ซงถา จด กบ เกอบจะทบกนพอดทำาใหเสน PQ และเสน RS เกอบจะทบกนสนทซงถอวาความชนของเสน PQ และ เสน RS เปนความชนเสนเดยวกนเพราะ

เพราะฉะนนความชนของเสนสมผสเสนโคง RS ทจด เทากบ

ซงกคอคาของอนพนธของฟงกชน นนเองนยาม ความชนของเสนสมผสเสนโคง และความชนของเสนโคง ณ จด P (x,y) ใด ๆ บนเสนโคง y = f (x) มคาเทากบ ตวอยางท 1 ให เปนสมการเสนโคง จงหา1. ความชนของเสนโคง ณ จด (2 , 1) (2,1)วธทำา ความชนของเสนโคง ณ จดใดๆเทากบ

ความชนของเสนโคง ณ จด (2,1) เทากบ 2(2)-2 = 2 m = 22. สมการของเสนสมผสเสนโคง ณ จด (2,1)วธทำา จากสมการเสนตรง และจากขอ(1) ผานจด (2,1)มความชนเทากบ 2เพราะฉะนนสมการเสนสมผสเสนโคง ณ จด (2,1) คอ

ตวอยางท 2 ให เปนสมการเสนโคงซงมจด P(2,4) เปนจดทอยบนเสนโคงจงหา สมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสเสนโคงทจด P (2,4)วธทำา ความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด P (2,4)คอ

เพราะฉะนนความชนของเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสเสนโคงทจด P (2,4)คอ ( เสนตรงทตงฉากกน ผลคณของความชนของเสนทงสองจะเทากบ -1 ) เพราะฉะนนสมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสเสนโคงทจด P(2,4) คอ

จะได m = 4

(2,4)ตวอยางท 3 ถาเสนตรง y = ax ขนานกบเสนสมผสเสนโคง

ทจด (1,11)จงหาคา aวธทำา ความชนของเสนสมผสเสนโคง ทจด (1,11)คอ

,จะได เสนตรงทขนานกนจะมความชนเทากนเพราะฉะนนเสนตรง y = ax จะมความชนเทากบ 6 จะได a = 6 ( y = mx+c , m = a , c = 0 )

(1,11) y = ax

ตวอยางท 4 เสนตรงเสนหนงมความชนเทากบ 3 และสมผสเสนโคง ทจด (a,b)จงหาคาของ a และ b

(a ,b) m = 3

วธทำา ความชนของเสนสมผสเสนโคง ทจด (a,b)คอ จะได ซง –1 + 2a =3 จะได a = 2

หาคาของ b โดยการแทนคา a = x = 2 ลงในสมการ จะได y = b = 2จะไดคาของ a = 2 และ b = 2ตวอยางท 5 จงหาจดบนเสนโคง ทเสนสมผสเสนโคงทจดนนขนานกบแกน xวธทำา y

(x,y)m = 0

x

ใบความรท 2.6คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาเอกสารแนะแนวทางท 2.6 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ

2.6 อนพนธของฟงกชนคอมโพสทนยาม ถา เปนคอมโพสทฟงกชนแลว อนพนธของฟงกชนคอมโพสทเขยนแทนดวย สตรนเรยกวา กฎลกโซ หรอ“ ”อาจจะเขยนไดอกลกษณะหนงคอ ถา

ตวอยางท 1 กำาหนด จงหา

ใหนกเรยนชวย

วธทำา จาก

ตวอยางท 2 กำาหนด จงหา วธทำา จาก

ตวอยางท 3 กำาหนด จงหา วธทำา จดรป เปน

ตวอยางท 4 กำาหนด จงหา วธทำา



2.7 อนพนธอนดบสงนยาม ให f เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธได และ เปนอนพนธของฟงกชน f

ท x ซงสามารถหาอนพนธไดแลว จะเรยกอนพนธของอนพนธของฟงกชน f ท x หรออนพนธของฟงกชน ท x วา อนพนธอนดบ 2 ของฟงกชน f ท x และเขยนแทนอนพนธฟงกชน ท xดวย ให


หมายเหต ถาเปนสมการเคลอนทของวตถ s = f(t) ความเรวขณะเวลา t ใดๆคอ มหนวย

เปนระยะทาง/เวลา ความเรงขณะเวลา t ใดๆ คอ มหนวยเปนระยะทาง/(เวลา)2

ตวอยางท 2 โยนวตถขนไปในอากาศ วตถเคลอนทไดระยะทาง เมตร

ในเวลา t วนาท จงหา1. ความเรวเฉลยในชวงวนาทท 2 ถง วนาทท 3

วธทำา ความเรวเฉลยชวง t = 2 ถง t = 3 วนาทคอ

2. ระยะทางทวตถเคลอนทไดหลงจากโยนวตถขนไปแลว 5 วนาทวธทำา แทนคา t = 5 ลงในสมการการเคลอนทจะไดs = 128(5) – 16(25) = 640 – 400

= 240 เมตร3. ความเรวในการเคลอนของวตถขณะวนาทท 4 วธทำา จาก

4. ความเรงของวตถขณะเวลา t ใดๆ และขณะ t = 2 วนาทวธทำา เนองจาก

จากขอ (3) , v(t) = 128-32t เพราะฉะนน เมตร/(วนาท)2

จะได ความเรงขณะวนาทท 2 คอ a (2) = -32 เมตร/(วนาท)2


2.8 การประยกตอนพนธ 2.8.1 คาสงสดสมพทธและคาตำาสดสมพทธของ

ฟงกชน- ทบทวนฟงกชนเพม , ฟงกชนลด

Y

y = f (x)

X

0

- ถา x1 < x2 และ f (x1) < f (x2)แลว ฟงกชน f จะเปนฟงกชนเพม

Y y = f (x)

X X0

- ถา x1 < x2 และ f (x1) > f (x2)แลว ฟงกชน f จะเปนฟงกชนลด

y

x เพม ลด เพม

( สรป ถา x เพม y เพม จะเปนฟงกชนเพม และ ถา x เพม y ลด จะเปนฟงกชนลด)

จากรปกราฟจะเหนวา ชวง x1 ถง x2 และชวง x3 ถง x4 เปนฟงกชนเพมและชวง x2 ถง x3 เปนฟงกชนลด

- พจารณา ความชนของเสนสมผสเสนโคงของฟงกชน

จากกราฟทงสองรปจะเหนวา

x1 x2 x3 x4

Y y = f (x)

X X

0

Y

y = f(x)

X0

- ถาวดมมในทศทวนเขมนาฬกา ถาเสนสมผสเสนโคงทำามมแหลมกบแกน x จะมความชนเปนบวกและจะเปนฟงกชนเพม- พจารณา ความชนของเสนสมผสเสนโคงของฟงกชน

จากกราฟทงสองรปจะเหนวา

- ถาวดมมในทศทวนเขมนาฬกา ถาเสนสมผสเสนโคงทำามมปานกบแกน x จะมความชนเปนลบและจะเปนฟงกชนลดทฤษฎบท เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง S ใดๆ1. ถา สำาหรบทกคาของ x ในชวง S แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง S

2. ถา สำาหรบทกคาของ x ในชวง S แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง S

นยาม ฟงกชน f มคาสงสดสมพทธท x = c ถามชวง โดยท f(c) >f(x)

สำาหรบทก x ในชวง ( a,b) ท ฟงกชน f มคาตำาสดสมพทธท x = c ถามชวง

โดยท f(c) < f(x)

Y y = f (x)

X X

0

Y

y = f(x)

X0

Y y = f (x)

X X

0

Y

y = f(x)

X0

สำาหรบทก x ในชวง ( a,b) ท พจารณา กราฟของฟงกชน y = f(x)

y

x

ในทำานองเดยวกน

y

x- จากกราฟทงสองลกษณะสรปไดดงน 1. ถาฟงกชน f ท x = c ททำาให เรยกคา c วา คา

วกฤต และจด (c ,f(c) )คอจด วกฤต2. y

x

3. y

x

+

0 a c b

จากกราฟจะเหนวาชวง ( a,c) เปนฟงกชนเพมและชวง (c,b) เปนฟงกชนลด

0 a c b

จากกราฟจะเหนวาชวง ( a,c) เปนฟงกชนลดและชวง (c,b) เปนฟงกชนเพม

0 a c b

-

ถาคา x < c ทำาให และ x>c ทำาใหแลว คาวกฤต c ทำาใหเกดคาสงสด

0 a c b

0 a c b

-

+ถาคา x < c ทำาให และ x>c ทำาใหแลว คาวกฤต c ทำาใหเกดคาตำาสด

4. y

x

ตวอยางท 1 กำาหนด จงหาคาสงสดสมพทธหรอตำาสดสมพทธ(ถาม)วธทำา จาก หาคาวกฤตโดยให

แสดงวาคาวกฤตคอ x = 0 จดวกฤตคอจด (0,1) (แทนคา x = 0 ในสมการ จะได f(0) = 1 )วธตรวจสอบจดวกฤตวาจะใหคาสงสดสมพทธหรอตำาสดสมพทธ เลอกจดทนอยกวาและมากกวาคาวกฤตเลกนอยในขอนคาวกฤตคอ 0

สรป การหาคาสงสดสมพทธหรอคาตำาสดสมพทธของฟงกชน y = f(x)1. หา 2. หาคา x ททำาให = 0

0 a c b

+

ถา คาวกฤต c ไมทำาใหเกดในกรณท (2)และ(3) แสดงวาทจดวกฤต c ไมมคาสงสดสมพทธและคาตำาสดสมพทธ

เครองหมายเปลยนจาก เปน – + ใหคาตำาสดสมพทธคอ f(0) = 1

0

-

+

+

3. คา x ทไดจากขอ(2) เปนคาวกฤตททำาใหเกดจดวกฤต (x,f(x)) ซงเปนจดททำาใหเกด 3 กรณคอ 3.1 คาสงสดสมพทธ 3.2 คาตำาสดสมพทธ 3.3 ไมเกดคาสงสดสมพทธและตำาสดสมพทธ

4. ทำาการตรวจสอบวาเกดกรณใด4.1 ถา แลวเปลยนเปน จะใหคาสงสดสมพทธ4.2 ถา แลวเปลยนเปน จะใหคาตำาสดสมพทธ4.3 ถาไมเกดทงสองกรณขางตนคอไมมการเปลยนแปลง

เลย จะไมเกดคาสงสดสมพทธและตำาสดสมพทธตวอยางท 2 จากฟงกชนทกำาหนดใหตอไปน จงหาคาสงสดสมพทธหรอตำาสดสมพทธ(ถาม)

1.

จดวกฤตคอ ( -1,4 )ตรวจสอบ จดวกฤต (-1 , 4 )

วธทำา

เครองหมายเปลยนจาก + เปน - ใหคาสงสด

-1

-

+

2.

จดวกฤตคอ (0,0)ตรวจสอบ จดวกฤต (0,0)

3. วธทำา

จดวกฤตม 2 จดคอ (1,-14) กบ (-2,13)

ตรวจสอบ จดวกฤต (1,-14)

วธทำา

เครองหมายไมเปลยนแปลงแสดงวาจด

0

+

+

- +

เครองหมายเปลยนจาก - เปน + ใหคาตำาสด

1

y

0 x + +

ตรวจสอบ จดวกฤต (-2,13)

วธตรวจสอบคาวกฤตอกวธหนงโดยใชทฤษฎบททฤษฎบท กำาหนด f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง S ใดๆ และ c เปนคาวกฤตของ f ซง 1.ถา แลว f (c) เปนคาตำาสดสมพทธ2. ถา แลว f (c) เปนคาสงสดสมพทธ3. ถา แลว f (c) บอกไมไดวาเปนคาสงสดสมพทธหรอตำาสดสมพทธ ตองใชวธการตรวจสอบโดยวธเดม

+ -

เครองหมายเปลยนจาก + เปน - ใหคาสงสด

-2

y(-2,13)

x

(1,-14)

ตวอยางท 3 กำาหนด วธทำา

จดวกฤตม 2 จดคอ (1,-4) กบ (3,-8)ตรวจสอบ จดวกฤต (1,-4)

แสดงวาจดวกฤต (1,-4) ใหคาสงสดสมพทธคอ f(1) = -4ตรวจสอบ จดวกฤต (3,-8)

แสดงวาจดวกฤต (3,-8) ใหคาตำาสดสมพทธคอ f(3) = -8

ตวอยางท 4 กำาหนด จงหาคาสงสดสมพทธหรอตำาสดสมพทธ (ถาม)วธทำา

จดวกฤตคอจด (0,0)ตรวจสอบ จดวกฤต (0,0)

บอกไมไดวาจดวกฤต (0,0) ใหคาสงสดสมพทธหรอตำาสดสมพทธ ตองตรวจสอบโดยวธเดม

ตวอยางท 5 กำาหนด จงหาคาสงสดสมพทธหรอตำาสดสมพทธ(ถาม)วธทำา (ใหนกเรยนทำาเอง)


2.8.2 คาสงสดสมบรณและคาตำาสดสมบรณของฟงกชน

นยาม ฟงกชน f มคาสงสดสมบรณท x = c ถา f(c) > f(x) สำาหรบทกคาของ x ในโดเมนของ f

- +เครองหมายเปลยนจาก - เปน + ใหคาตำาสดสมพทธคอ f(0) = 0

0

ท และฟงกชน f มคาตำาสดสมบรณท x = c ถา f(c) < f(x) สำาหรบทกคาของ x ในโดเมนของ f ท หลกการพจารณาคาสงสดสมบรณและคาตำาสดสมบรณบนชวง [a,b]1. พจารณาคาสงสดสมพทธ , คาตำาสดสมพทธ f (a) ,f(b) ถาคาใดสงสดคอคาสงสดสมบรณและคาใดตำาสดคอคาตำาสดสมบรณ2. คาสงสดสมบรณอาจจะเปนคาสงสดสมพทธดวยกได และคาตำาสดสมบรณอาจจะเปนคาตำาสดสมพทธดวยกได3. คาสงสดสมบรณและคาตำาสดสมบรณจะตองมเสมอ4. คา f(a) และ f(b) จะเปนไดเฉพาะคาสงสดสมบรณหรอคาตำาสดสมบรณพจารณาจากกราฟ

จากรปท (1) f(c1) และ f(c3) เปนคาสงสดสมพทธ และ f(c3)เปนคาสงสดสมบรณดวยคา f(c2) และ f(c4)เปนคาตำาสดสมพทธและ f(a)เปนคาตำาสดสมบรณดวย

จากรปท (2) f(a) เปนคาสงสดสมบรณคา f(c2) และ f(c4)เปนคาสงสดสมพทธ

y y = f (x)

x (1)

0 a c1 c2 c3 c4 b

y y = f (x)

x (2)

0 a c1 c2 c3 c4 b

คา f(b) เปนคาตำาสดสมบรณ คา f(c1) และ f(c3) เปนคาตำาสดสมพทธ

พจารณาชวง ( a , b ) อาจจะมคาสงสดสมบรณหรอคาตำาสดสมบรณ หรออาจจะไมมทงสองคา

หมายเหต ในการประยกตอนพนธสวนมากจะใชคาสงสดสมพทธและตำาสดสมพทธเทานน

y y = f (x)

x (3)

0 a b

จากรปท (3) f(a) เปนคาสงสดสมบรณ f(b) เปนคาตำาสดสมบรณ

y y = f (x)

x (4)

0 a c1 c2 c3 c4 b

จากรปท (4) f(c2)และ f(c4) เปนคาสงสดสมพทธไมมคาสงสดสมบรณคา f(c1)และ f(c3) เปนคาตำาสดสมพทธ

y y = f (x)

x (5)

0 a c1 c2 c3 b

จากรปท (5) f(c2) เปนคาสงสดสมพทธไมมคาสงสดสมบรณคา f(c1)และ f(c3) เปนคาตำา

ในการหาคาสงสดสมบรณและคาตำาสดสมบรณไมจำาเปนตองตรวจสอบคาวกฤตวาจะใหคาสงสดหรอตำาสด เพยงแตเราหาคาของ f(a) ,f(b) และ f(c) วาคาใดมากทสดและคาใดนอยทสด

ตวอยางท 1 จงหาคาสงสดสมบรณและตำาสดสมบรณของฟงกชนทกำาหนดใหตอไปน1. บนชวง [ -4 , 2 ]วธทำา

จากการแทนคาจะไดคาสงสดสมบรณคอ f(-2) = 11และคาตำาสดสมบรณคอ f(-4) = - 17


2.8.3 โจทยปญหาเกยวกบคาสงสดหรอคาตำาสดตวอยางท 1 โยนลกบอลขนไปในอากาศ ความสมพนธระหวางทลกบอลอยหางจากพนดน s เมตรหลงจากโยนลกบอลขนไป t วนาท เปนไปตามสมการ จงหาระยะทางทลกบอลขนไปไดสงสดวธทำา หาคาวกฤต

แสดงวาเมอเวลาผานไป 3 วนาท ลกบอลอยทจดสงสด

เปนระยะทางเทากบ

ตวอยางท 2 กระดาษแขงรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 10 ซม. ตองการตดมมทงสออกเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ x ซม. แลวพบตามรอยเสนประเพอเชอมทำากลองฝาเปดดงรปx ควรจะมคาเทาไรกลองจงจะมปรมาตรมากทสด และมปรมาตรมากทสดเทาไร.

วธทำา ให f(x) แทนปรมาตรของกลองจะได f(x)

หาคาวกฤต จะได (3x-5)(x-5) = 0 ไดคา , 5คา x = 5 ใชไมได จะได x = ซม. จงจะทำาใหกลองมปรมาตรสงสดเทากบ

ตวอยางท 3 พอคาคนหนงทราบวาถาเขาตงราคาสนคาอยางหนงชนละ 20 บาท ในหนงสปดาหเขาจะขายสนคาได 1,000 ชน ถาเขาลดราคาลงชนละ 1 บาท เขาจะขายสนคาไดเพมอก 100 ชนเปน 1,100 ชน ถาเขาลดราคาลงชนละ 2 บาท เขาจะขายสนคาไดเพมอก 200 ชน เปน 1,200 ชนถาเปนเชนนเรอยๆไป เขาควรจะตงราคาสนคาเทาไรจงจะมเงนจากการขายมากทสด.วธทำา ถาลดราคาลง x บาท จะตองตงราคาสนคาเทากบ 20 – x บาท,ปรมาณสนคาทเขาขายไดเทากบ 1,000 + 100x ชน ให f(x) แทนเงนทไดจากการขายสนคา

x 10-2x x

จะได f (x) = (ราคา)(ปรมาณ)

จะไดคา x = 5จะตองลดราคาสนคาลง 5 บาท คอตองตงราคา 20-5 = 15 บาท จงจะไดเงนจากการขายมากทสดเทากบ 15 (1,500) = 22,500 บาท.

หมายเหต ถาโจทยถามหาคาใดมากทสดหรอคาใดนอยทสดใหสรางสมการทตรงจดนน และไมตองตรวจสอบคาวกฤตเพราะโจทยจะบอกวาอะไรมากทสดหรออะไรนอยทสด


2.9 ปรพนธของฟงกชน - ความหมายของปรพนธของฟงกชน

-พจารณา สรปวา ถากำาหนด y = f (x) มาให เราสามารถหาอนพนธ คอ ได

ในบทนเราจะศกษาการกระทำาทยอนกลบ กบการหาอนพนธซงเราเรยกวา ปรพนธ“ ”คอการหา y = f(x) เมอกำาหนด มาให เชนกำาหนด = 2x จงหา f(x) ทดลองหา f(x) หลายๆรปแบบ

นยาม ฟงกชน F เปนปรพนธหนงของ f เมอ สำาหรบทกคาของ x

ทอยในโดเมนของ f- การหาปรพนธของฟงกชนทกำาหนดให

ตวอยางท 1 จงหาฟงกชน F เมอกำาหนด วธทำา ลองให จะได ซงไดสงทกำาหนดให นนคอ ตวอยางท 2 จงหาปรพนธของ f เมอ f (x) = xวธทำา กำาหนดให f(x) = x จะหา F ทลองให จะได , ลองให จะได ดงนน เปนปรพนธของ f(x) = x


2.10.1 ปรพนธไมจำากดเขตของฟงกชน นยาม เมอ f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบ

เซตของจำานวนจรงและ

สำาหรบทกคาของ x ทอยในโดเมนของ f ปรพนธไมจำากดเขตของ ฟงกชน f เขยนแทนดวย โดยท เมอ c คอคาคงตว เรยกกระบวนการหา

วา การอนทเกรต“ ” คอเครองหมายอนทกรล , f (x) คอตวถกอนทเกรต และdx คอการอนทเกรตเทยบกบตวแปร x

สตรการอนทเกรต1. เมอ k , c เปนคาคงตว เชน

2. เมอ c เปนคาคงตว และ เชน

หมายเหต ไมสามารถหาปรพนธได 3. เมอ k เปนคาคงตว เชน

4. เชน

หมายเหต (c1+c2 = C ) , การอนทเกรตไมมสตรอนทเกรตการคณและการหาร

-ในการคำานวณหาปรพนธไมจำากดเขตโจทยอาจจะกำาหนดอยในรปตางๆ เชน

1. ถา จงหา y = f (x)วธทำา

2. ถา จงหา f(x) ถา f (0) = -3วธทำา


2.10.2 โจทยปญหาเกยวกบความเรว ความเรง ระยะทางและความชนของเสนโคงโดยใชปรพนธไมจำากดเขต

ตวอยางท1 จงหาสมการของเสนโคงทผานจด (3,0) และมความชนของเสนโคงทจด (x,y)ใดๆเปน 2xวธทำา

สมการของเสนโคงคอ

ตวอยางท 2 ความชนของเสนโคง ณ จด ( x,y) ใดๆ เปน ถาเสนโคงผานจด ( 0 , 2 ) จงหาสมการของเสนโคงวธทำา

ตวอยางท 3 ในขณะเวลา t ใดๆวตถเคลอนทดวยความเรงเทากบ –3t เมตร/(วนาท)2 ขณะทเรมตนจบเวลาวตถเคลอนทดวยความเรว 1 เมตร/ วนาท และไดระยะทาง 3 เมตร จงหา

ก. ความเรวขณะเวลา t ใดๆวธทำา เนองจาก a = -3t

ข. สมการการเคลอนทของวตถวธทำา จากขอ (ก)

ตวอยางท 4 ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคง ณ จด (x,y) ใดๆเปน 6x2 จงหา สมการของเสนโคงทผานจด (0,2) และ (-1,3)วธทำา อตราการเปลยนแปลงของความชนคอ

ผานจด (0,2) จะได 2 = c2

ผานจด (-1,3) จะได

ตวอยางท 5

ปลอยวตถใหตกลงในทสงโดยกฎของนวตน แรงททำาใหวตถเคลอนท F = ma เมอ m = มวล a = ความเรง แตแรงททำาใหวตถเคลอนทคอนำาหนกของวตถซงเปนแรงดงดดของโลก w = mgเมอ g คอความเรงทโลกดงดดวตถเมอใชหนวยของระยะทางเปนเมตร หนวยของเวลาเปนวนาทg = 9.8 เมตร/(วนาท)2 จากสตร ma = mg จงหา s ในรปของ t กำาหนดใหวา เมอ t = 0 จะได s = 0และ v = 0วธทำา


2.11 ปรพนธจำากดเขตของฟงกชน

เนองจาก ma = mg จะได a = g

0 = 0+c จะได c = 0

ให y = f (x) เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a,b] ปรพนธจำากดเขตของฟงกชน f บนชวง [a,b] เขยนแทนดวย

- การหาปรพนธจำากดเขตตองอาศยทฤษฎหลกมลของปรพนธแคลคลส คอเมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a,b] ถา F เปนฟงกชนบนชวง [a,b] โดยท แลว

วธหาปรพนธจำากดเขต1. หา F (x) ซงเปนปรพนธของ f (x)2. หา F(b) – F(a) ตวอยางท 1 จงหา

วธทำา

หมายเหต ถาเปนปรพนธจำากดเขตเราไมตองบวกคา c เพราะคาของ c จะตดกนหมดไปเอง

ตวอยางท 2 จงหา

วธทำา

ตวอยางท 3 จงหา

วธทำา

ใหนกเรยนพจารณา

นกเรยนจะเหนวา


2.12 พนททปดลอมดวยเสนโคง2.12.1 พนททปดลอมดวยเสนโคงของฟงกชนตงแต a ถง b

นยาม เมอ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a,b] และ A เปนพนทปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก

Y f(x) = x2-9

X

x = a ถง x = b(1). ถา สำาหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a,b] แลว A

เปนพนทเหนอแกน x และ

(2). ถา สำาหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a,b] แลว A เปนพนทใตแกน x และ

ตวอยางท 1 จงหาพนทปดลอมดวยเสนโคง จาก x = -2 ถง x = 1วธทำา แทนคา x ในชวง [ -2 , 1 ] ทำาให แสดงวา A อยใตแกน xหาจดทกราฟตดแกน x จะได x2- 9 = 0 ซง แสดงวากราฟตดแกน x ทจด (-3,0)และ(3,0)

A

ตวอยางท 2 จงหาพนทปดลอมดวยกราฟ y = 9 – x2 กบแกน xวธทำา โจทยไมไดกำาหนดชวงมาให เราตองหาจดทกราฟตดกบแกน x จะได 0 = 9 – x2 จะได และ พนทอยเหนอแกน x

ตวอยางท 3 จงหาพนทปดลอมดวยกราฟ y = x2 – 2x กบแกน x เมอ x = 1 ถง x = 2วธทำา หาจดตดทกราฟตดแกน x จะได x2- 2x = 0 จดตดคอ (0,0)กบ (2,0)และ พนทอยใตแกน x y

A

x

A f (x) = x2- 2x

ตวอยางท 4 จงหาพนทปดลอมดวยกราฟ y = x3 – 4x กบแกน x และเสนตรง x = -1 และ x = 3วธทำา หาจดทกราฟตดแกน x จะได x3 – 4x = 0 แกสมการจะได x (x-2)(x+2) = 0 จะไดจดทกราฟตดแกน x จด (0,0)(2,0)(-

2,0)

ใบความรท 2.12.2

X

Y Y = x3 – 4x

คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาเอกสารแนะแนวทางท 2.12.2 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ

2.12.2 พนทปดลอมดวยเสนโคงระหวางกราฟ ถา f และ g เปนฟงกชนตอเนอง และ f g บน

ชวงปด [ a , b] แลวพนทปดลอมระหวางกราฟ y = f(x) และ y = g (x) ตงแต x = a ถง x = b สามารถหาพนทไดดงน

ตวอยางท 1 จงหาพนทระหวางกราฟ และ ตงแต x = -2 ถง x = 1

วธทำา เขยนกราฟแตละฟงกชนลงบนระบบแกนมมฉาก โดยหาจดทกราฟแตละฟงกชนตดแกน xและแกน y- เปนกราฟเสนตรง ตดแกน y ทจด (0,3)

เปนกราฟเสนโคง ตดแกน y ทจด (0,1) และตดแกน x ทจด (1,0)กบ (-1,0)

A =

ตวอยางท 2 จงหาพนทระหวางกราฟ วธทำาโจทยไมไดระบชวงมาใหตองหาจดทกราฟทงสองตดกนแลวเขยนกราฟบนระบบแกนมมฉากหาจดทกราฟทงสองตดกน จะได 5-x2 = 2 –2x ,x2-2x-3 =

0 , (x+1)(x-3) = 0 , x = -1 , 3

จดตดของกราฟทงสองคอ จด ( -1 , 4) กบจด (3 , -4) หรอ

ตวอยางท 3 จงหาพนทระหวางกราฟ วธทำา หาจดตดของกราฟทงสอง แลวเขยนลงในระบบแกนมมฉากจะได x3 = x, x3 – x = 0 ,x(x2 –1)= 0, x(x-1)(x+1)

= 0 จะได x = 0, 1,-1 จดตดของกราฟทงคอจด (0 ,0 ), (1,1),(-1 , -1)

หรอ(ใหนกเรยนทำาเอง)


2.12.3 โจทยปญหาเกยวกบพนทปดลอมดวยเสนโคงตวอยางท 1 จงหาพนทของรปสามเหลยมทมดานทงสามอยบนเสนตรงทมสมการดงตอไปน x – y + 6 = 0 , 2x – y –2 = 0 , 3x –y + 4 = 0วธทำา หาจดตดของกราฟทงสามเสน แลวเขยนลงบนระบบแกนมมฉากให f (x) คอ y = x + 6 , g(x) คอ y = 2x – 2 , h(x) = 3x + 4

หาจดตดของกราฟทงสามเสน โดยจบสมการแตละชดใหเทากน 3 ชด ดงนชดท 1 f(x) กบ g(x) จะได x + 6 = 2x – 2 จากการแกสมการ จะได x = 8 , y = 14 จดตดคอ(8,14)ชดท 2 f(x) กบ h(x) จะได x + 6 = 3x + 4 จากการแกสมการ จะได x = 1, y = 7 จดตดคอ(1,7)ชดท 3 g(x) กบ h(x) จะได 2x – 2 = 3x + 4 จากการแกสมการ จะได x = -6 , y = - 14 จดตดคอ(-6,-14)

y h(x) = 3x+4

f(x)=x+6 g(x) = 2x-2

x

ตวอยางท 2 จงหาพนทระหวาง f(x) = sin x และ g (x) = cos x จาก x = 0 ถง x = (กำาหนดให F(x) = - cos x , G(x) = sin x เปนปรพนธของ f และ g ตามลำาดบ )วธทำา ( ใหนกเรยนชวยกนทำา)

y

y = cos x

x x

y = sin x

0

เอกสารแนะแนวทางที่ 1 - pm.ac.th · web viewฟ งก ช...

Documents