ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ·...
TRANSCRIPT
โดย ครูศราวุธ เสาเกลียวโรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
Menu„ ประพจน์
„ การเชื่อมประพจน์
„ การหาค่าความจริงของประพจน์
„ การสร้างตารางค่าความจริง
„ รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
„ สัจนริันดร ์ (Tautology)
„ การอ้างเหตุผล
„ ประโยคเปิด (open sentence)
„ ตัวบ่งปริมาณ (quantifier)
„ ค่าความจริงของประโยคที่มีตวับ่ง
ปริมาณตัวเดียว
„ สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัว
บ่งปริมาณ
„ ค่าความจริงของประโยคที่มีตวับ่ง
ปริมาณสองตัว
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
1. ประพจน์ (Propositions or Statements)
บทนิยาม ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเท็จ
เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
เชน่ โลกเป็นดาวเคราะห์ (จริง)
สงขลาเป็นเมืองหลวงของไทย (เท็จ)
12 + 3 = 15 (จริง)
0 เป็นจ านวนนับ (เท็จ)
ในตรรกศาสตร์การเป็น จริง หรือ เท็จ ของแต่ละประพจน์ เรียกว่า ค่าความจริง
(truth value)ของประพจน์
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
การเชื่อมประพจน์
„ การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ และ “
„ การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ หรือ “
„ การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ ถ้า แล้ว “
„ การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ ก็ต่อเมื่อ “
„ นิเสธของประพจน์
Menu2
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
2. การเชือ่มประพจน์
(1) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ และ”
ถ้า p และ q เป็นประพจน์ p และ q เขียนแทนด้วย p q
ตารางค่าความจริงของ p q เขยีนได้ดังนี้
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F F
ตวัอย่าง
p : 2 เป็นจ านวนคู่ (T)
q : 2 มากกว่า 3 (F)
p q : 2 เป็นจ านวนคู่ และ 2 มากกว่า 3 (F)
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
(2) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ”
ถ้า p และ q เป็นประพจน์ p หรือ q เขียนแทนด้วย p q
ตารางค่าความจริงของ p q เขียนได้ดังนี้
p q p q
T T T
T F T
F T T
F F F
ตวัอย่าง p : 2 เป็นจ านวนคี่ (F) , q : 2 มากกว่า 3 (F)
p q : 2 เป็นจ านวนคี่ หรือ 2 มากกว่า 3 (F)
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
(3) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...”
ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ถ้า p แล้ว q เขียนแทนด้วย p q
ตารางค่าความจริงของ p q เขียนได้ดังนี้
p q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
ตวัอยา่ง p : 2 เป็นจ านวนคี่ (F) , q : 2 มากกว่า 3 (F)
p q : ถ้า 2 เป็นจ านวนคี่ แล้ว 2 มากกว่า 3 (T)
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
(4) การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ”
ถ้า p และ q เป็นประพจน์ p ก็ต่อเมื่อ q เขียนแทนด้วย p q
ตารางค่าความจริงของ p q เขียนได้ดังนี้
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T
ตวัอยา่ง p : 2 เป็นจ านวนคี่ (F) , q : 2 มากกว่า 3 (F)
p q : 2 เป็นจ านวนคี่ ก็ต่อเมื่อ 2 มากกว่า 3 (T)
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
(5) นิเสธของประพจน์
นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนด้วย p
ตารางค่าความจริงของ p เขยีนได้ดังนี้
p p
T F
F T
ตวัอยา่ง p : 0 เป็นจ านวนเต็ม (T) , p : 0 ไม่เป็นจ านวนเต็ม (F)
q : 2 มากกว่า 3 (F) , q : 2 ไม่มากกว่า 3 (T)
~
~
~
~
~
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
3. การหาค่าความจรงิของประพจน์
การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม อาจท าได้รวดเร็วขึ้น โดยใช้แผนภาพดังนี้
ตวัอยา่ง ก าหนดให้ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ pqp )~(
วิธีท า pqp )~(
T F T
T
T
T
ดังนั้น ประพจน์ มีค่าความจริงเป็น จริง *pqp )~(
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
ตวัอยา่ง ก าหนดให้ p , r เป็นจริง และ q , s เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ
)(~]~)[( sqrqp
วิธที า )(~]~)[( sqrqp
T F T F F
F F T
F T
F
ดังนั้น ประพจน์ มีค่าความจริงเป็น เท็จ* )(~]~)[( sqrqp
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
4. การสรา้งตารางคา่ความจรงิ
ประพจน์ที่มีตัวเชื่อม เช่น เมื่อ p , q และ r เป็นประพจนย์่อย
ที่ยังไม่ก าหนดค่าความจริง จะเรียก p , q และ r ว่า ตวัแปรแทนประพจน์ และ
เรียกประพจน์ ว่า รปูแบบของประพจน์
rqp )~(
ดังนัน้ ในการพิจารณาค่าความจริงจึงต้องพิจารณาทุกกรณี โดยสร้างเป็นตาราง ดังนี้
ตวัอยา่ง จงสร้างตารางค่าความจริงของ
rqp )~(
pqp )~(
qp ~ pqp )~( วิธที า p q ~q
T T F F T
T F T T T
F T F F T
F F T F T ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
5. รปูแบบของประพจนท์ี่สมมูลกัน
ถ้ารูปแบบของประพจน์สองรูปแบบมีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณีแล้ว สามารถน ามาใช้แทน
กันได้ และเรียกรูปแบบของประพจน์ดังกล่าวว่า รปูแบบของประพจน์ที่สมมูลกนั
เชน่ กับ เขียนแทนด้วยqp qpqp ~qp~
p q ~p qp qp~
T T F T T
T F F F F
F T T T T
F F T T T
ซึ่งแสดงด้วยตารางได้ดังนี้
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
รปูแบบของประพจน์ที่สมมูลกนัที่ส าคญัมีดงันี้
pqqp ~~.1
qpqp ~.2
qpqp ~~)(~.3
qpqp ~~)(~.4
qpqp ~)(~.5
)(~)~()(~.6 qpqpqp
)()()(.7 rpqprqp
)()()(.8 rpqprqp
)()().(9 rpqprqp
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
6. สจันริันดร ์ (Tautology)
บทนิยาม รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกว่า สัจนิรนัดร์
การพิจารณาว่าประพจน์ใดเป็นสัจนิรันดร ์ท าได้ 2 วิธี คือ
1. การพจิารณาจากตารางคา่ความจริง
ตัวอยา่ง จงแสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์qqp ~)(
p q ~q qp qqp ~)(
T T F T T
T F T F T
F T F T T
F F T T Tตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
2. การพจิารณาโดยวธิีหาขอ้ขดัแยง้
ซึ่งวิธนีี้จะสมมุติให้รูปแบบของประพจน์ที่ก าหนดให้เป็นเท็จ แล้วจึงหาค่าความจริงของ
ประพจนย์่อย หากมีข้อขัดแย้งกับที่สมมุติใว้ แสดงว่า รปูแบบของประพจนน์ั้น
เป็นสัจนิรันดร์
ตวัอยา่ง จงแสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์pqpq ~)]([~
วธิที า pqpq ~)]([~
F
T F
T T T
F T T
จะเห็นได้ว่าค่าความจริงของ q เกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้น แสดงว่าประพจน์ เป็นสัจนิรันดร์*pqpq ~)]([~
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
7. การอ้างเหตผุล
การอา้งเหตผุล คือการอ้างว่า เมื่อมีข้อความ P1 , P2 , P3 ,…,Pn ชุดหนึ่ง
แล้วสามารถสรุปได้ข้อความ C
การอ้างเหตุผลประกอบด้วยสองส่วนคือ เหตุหรือส่ิงที่ก าหนดให้ ได้แก่ ข้อความ P1 , P2 , P3 ,…,Pn และ ผลหรือข้อสรุป ได้แก่ ข้อความ C
การอ้างเหตุผลอาจจะสมเหตุสมผลหรือไม่สมเหตุสมผลก็ได้
ถ้า เป็นสัจนริัดร ์ จะกล่าวว่า การอ้างเหตุผลนี้CPPPP n )...( 321
สมเหตุสมผล (valid) ถ้า ไมเ่ป็นสัจนิรันดร์ ก็กล่าวได้
ว่าการอ้างเหตุผลนี้ ไม่สมเหตุสมผล (invalid)
ดังนั้น ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล จึงใช้วิธีเดียวกับการตรวจสอบสัจนิรันดร์
CPPPP n )...( 321
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
ตวัอยา่ง จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. ถ้าฝนตกแล้วถนนลื่น
2. ฝนไมต่ก
ผล ถนนไม่ลื่น
วธิีท า ให้ p แทน ฝนตก และ q แทน ถนนลื่น
qp
จะได้ qpqp ~]~)[(
p~
q~
ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดรห์รือไม่qpqp ~]~)[(
F
T F ( T )
T T ( F)
F T จากแผนภาพ รูปแบบของประพจน์ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ดงันั้น การอ้างเหตุผล ไม่สมเหตุสมผล
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
8. ประโยคเปดิ (open sentence)บทนิยาม ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และ
เมื่อแทนค่า ตัวแปรดว้ยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์
เช่น เขาเป็นนักร้อง เมื่อแทนเขาด้วย ภราดร จะได้ประโยคเป็นเท็จ
2x + 1 = 15 เมื่อแทน x ด้วย 7 จะได้ประโยคเป็นจริง
ประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร เขียนแทนด้วย P(x) , Q(x) , R(x) , … และ
การเชื่อมประโยคเปิด ดว้ยตัวเชื่อมท าได้เช่นเดียวกับประพจน์
ตวัอย่าง 1. )3()512( xx
2.)(~)](~)([ xPxQxP
)33(92 xxx
3.
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
9. ตัวบง่ปริมาณ (quantifier)
สัญลักษณ์ แทนส าหรับ x ทุกตัวx
x สัญลักษณ์ แทนส าหรับ x บางตัว
ตวัอยา่ง 1) ส าหรับ x ทุกตัว x+2 = 2+x เขียนแทนด้วย
[x+2 = 2+x]x
2) มีจ านวนเต็มบางจ านวนน้อยกว่า 1 เขียนแทนด้วย
]1[ xIxx
3) ส าหรับจ านวนจริง x และ y ทุกตัว x+3y = y+3x เขียนแทนด้วย
[x+3y = y+3x]yx
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
ประโยค มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชิกทุกตัว
ของ U แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจริงทั้งหมด
)]([ xPx
ประโยค มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อย
หน่ึงตัวของ U แล้วได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ
)]([ xPx
ประโยค มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อย
หน่ึงตัวของ U แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจริง
)]([ xPx
ประโยค มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทน x ใน P(x) ด้วยสมาชิกทุกตัว
ของ U แล้วได้ประพจน์ที่เป็นเท็จทั้งหมด
)]([ xPx
10. คา่ความจรงิของประโยคทีม่ีตวับง่ปริมาณตวัเดยีว
บทนิยาม
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
ตวัอยา่ง จงพิจารณาว่าประโยคต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ.
1) NUxx ],32[
2) IUxxx ],22[
3) }4,3,2,1,0{],42[ 2 Uxxx
4) }6,5,4,3{],4[]2[ 2 Uxxxx
5) }2,1,0,1,2{],0[][ UxxIxx
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
11. สมมูลและนิเสธของประโยคทีม่ีตวับง่ปริมาณ
รปูแบบที่ 1 )]([~ xPx สมมูลกับ
)]([~ xPx
)]([~ xPx
หรือ นิเสธของ คือ)]([ xPx
รปูแบบที่ 2 )]([~ xPx สมมูลกับ )]([~ xPx
หรือ นิเสธของ คอื)]([ xPx )]([~ xPx
ตวัอยา่ง จงหานิเสธของข้อความต่อไปนี้
1) ]33[ xxx นิเสธคือ ]33[ xxx
2) ]01[ 2 xx นิเสธคือ ]01[ 2 xx
3) จ านวนคี่ทุกจ านวนเป็นจ านวนเต็ม นิเสธคือ จ านวนคี่บางจ านวนไม่ใช่จ านวนเต็ม
4) )]0()0[( 2 xxx นิเสธคือ )]0()0[( 2 xxx
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
12. คา่ความจริงของประโยคทีม่ีตวับง่ปริมาณสองตวั
บทนิยาม
ประโยค )],([ yxPyx มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x และ y ด้วย
สมาชิกทุกตัวใน U แล้วท าให้ P(x,y) เป็นจริงเสมอ
ประโยค )],([ yxPyx มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทน x และ y ดว้ย
สมาชิกบางตัวใน U แล้วท าให้ P(x,y) เป็นเท็จ
ตวัอยา่ง จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้
1) NUxyyxyx ],[
2) }3,2,1,0{],0[ Uyxyx
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
บทนิยาม
ประโยค )],([ yxPyx มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x และ y ดว้ยสมาชิกบางตัว
ใน U แล้วท าให้ P(x,y) เป็นจริง
ประโยค )],([ yxPyx มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทน x และ y ด้วยสมาชิกทุกตัว
ใน U แล้วท าให้ P(x,y) เป็นเท็จเสมอ
ตวัอยา่ง จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้
1)
2)
NUyxyx ],0[
}3,2,1,0{],2[ Uyyxyx
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
บทนิยาม
ประโยค )],([ yxPyx มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x ด้วยสมาชิกทุกตัว
ใน U แล้วท าให้ เป็นจริง)],([ yaPy
ประโยค )],([ yxPyx มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ แทน x ด้วยสมาชิกบางตัว
ใน U แล้วท าให้ เป็นเท็จ)],([ yaPy
ตัวอยา่ง จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้
1) }2,1,0,1,2{],2[ Uyxyx
2) IUyxyx ],2[
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
บทนยิาม
ประโยค )],([ yxPyx มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทน x ด้วยสมาชิกบางตัว
ใน U แล้วท าให้ เป็นจริง)],([ yaPy
ประโยค )],([ yxPyx มคี่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ แทน x ด้วยสมาชิกทุกตัว
ใน U แล้วท าให้ เป็นเท็จ)],([ yaPy
ตวัอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้
1) }2,1,0,1,2{],2[ Uyxyx
2) IUxyxyx ],2[
ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น โดย ครูศราวุธ เสาเกลียว โรงเรียนพลับพลาชัยพิทยาคม
สวัสดี