1

Forord. Det isoperimetriske problem går i al sin enkelhed ud på at finde den lukkede kurve i planen, blandt en mængde af kurver alle med samme omkreds, som afgrænser det størst mulige areal. Løsningen til det isoperimetriske problem har været kendt i mange år - helt tilbage til de gamle grækere. Ja, faktisk endnu længere tilbage hvis man skal tro den græske mytologi. I tiden omkring den trojanske krig, ca. 1200 før Jesu fødsel, rejste Dido til Libyen i en søgen efter et nyt sted at bosætte sig ud mod middelhavskysten. Da hun ville købe noget land af de lokale stammer tilbød de, at hun kunne få så meget land som kunne afgrænses af en oksehud. Nu troede de, at de ville få et billigt grin, men Dido viste sig at være smartere end dem. Hun skar oksehuden i strimler og bandt dem sammen til ét langt stykke skind. Herefter placerede hun skindet i en halvcirkel ud for kysten, hvorved hun fik et stort stykke land afgrænset.

Ja, faktisk fik hun, som vi nu ved, det maksimale ud af opgaven, og det var da også en stor skuffelse for de lokale stammer, som måtte give hende den jord de havde lovet hende. Dido grundlagde byen Kartago og en blomstrende ny civilisation, men det er en anden historie. Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. - Historien om forsøget på at løse det isoperimetriske problem, er også historien om, hvordan variationsregningen har udviklet sig siden dens spæde start i tiden omkring Jesu fødsel, Fermats princip om mindst tid fra 1662 og den dybere analyse af problemet op gennem de sidste to århundreder. Det isoperimetriske problem og variationsregningen har en lang og kompliceret historie, men på en måde har de begge været med til at forny hinanden. Variationsregningens fødsel, foregik et eller andet sted i arbejdet med at finde løsninger til diverse optimeringsproblemer – herunder det isoperimetriske problem.

2

Samtidig har udviklingen af variationsregningen medført en større forståelse for kompleksiteten af sådanne ”geometriske” problemer. De to begreber er så tæt knyttede at man i arbejdet med det ene ikke kan undgå at støde ind i aspekter af det andet. De problemer arbejdet med at bevise, at løsningen til det isoperimetriske problem er en cirkel og andre problemer af samme type, førte med sig gav anledning til at datidens matematikere fik øjnene op for, at der lå mere skjult i problemstillingerne end man lige kunne overskue ved første øjekast. Den sande dybde i disse problemer, blev da også først indset og behandlet i 1800-tallet, så det er ikke mange år siden, vi blev klar over at der lå noget ”dyb” matematik skjult i forsøget på at finde løsninger til disse problemer. Selvom den variationsregning vi kender i dag, på dette punkt er forholdsvis ung, så eksisterer der allerede et rigt udvalg af litteratur, hvoraf meget er skrevet på at niveau, som ikke egner sig til brug i gymnasiet. Denne rapport er tænkt som et inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever, eller til læseren, som i forvejen kender problemstillingen og godt kunne tænke sig at se en anden tilgang til problemet. De første 4 kapitler af rapporten behandler begrebet ”parametriserede kurver”, herunder et bevis for løsningen til det isoperimetriske problem. Vi skal bl.a. også se, hvordan man kan beregne længden af en graf eller kurve, og opdage en ny metode til beregning af arealet af et område i planen. Kapitel 5 handler om optimering af funktioner af 1 eller 2 variable. Her vil vi også se på en metode, som er opkaldt efter Lagrange. Lagrange fandt en metode til i visse tilfælde at finde ekstremer for funktioner af 2 variable, men også her er der vigtige overvejelser at tage med, såsom – vil et optimeringsproblem altid have en løsning? Kapitel 6 handler om, hvordan Weierstrass i slutningen af 1800-tallet behandlede ”det isoperimetriske problem”, defineret i en bredere forstand. Vi ser også her, at der er en forbindelse mellem Lagranges metode og det isoperimetriske problem idet man også her kan opstille et sæt af ”Lagrangianske” ligninger, som en løsning skal opfylde – hvis der altså eksisterer en løsning. Endelig er kapitel 7 en redegørelse for, hvordan dette materiale måske kan være med til at skærpe læserens matematiske kompetencer på områder, som ikke tilgodeses i så høj grad i den daglige undervisning. Jeg vil også her kort beskrive, hvordan udarbejdelsen af dette materiale har været med til at ændre mine egne kompetencer. Der er ingen specielle forudsætninger, udover en sund interesse for matematik, for at kunne læse dette materiale. Læseren som på forhånd har en grundlæggende viden om lukkede og begrænsede mængder – både på den reelle akse og i planen og som har stiftet bekendtskab med funktioner af to variable og begreberne grænseværdi og kontinuitet vil dog have en lille fordel. Jeg anbefaler også at læseren forsøger sig med nogle af de opgaver, som rapporten indeholder. Dette er kun en anbefaling, til den som vil have det fulde udbytte at rapporten, men det er absolut ikke et krav for at læse den. Reference systemet virker på den måde at et tal i teksten 1 refererer til en fodnote på samme side, som fortæller på hvilke sider i bogen [??], man kan læse om emnet. Betegnelsen [??] refererer til en bog i litteraturlisten.

3

Indholdsfortegnelse. Forord.......................................................................................................................................................... 1 Indholdsfortegnelse..................................................................................................................................... 3 Kapitel 1. Introduktion................................................................................................................................ 4

1.1. Hvad er en kurve? ............................................................................................................................ 6 1.2. Hvordan beskrives en kurve?........................................................................................................... 7 1.3. En hjælpesætning om bestemmelse af arealer. .............................................................................. 14 1.4. En smule om parameteren t............................................................................................................ 20 1.5. Opgaver til Kapitel 1...................................................................................................................... 24

Kapitel 2. Hovedsætning........................................................................................................................... 25 2.1. Hjælpesætninger til hovedsætning................................................................................................. 25 2.2. Det isoperimetriske problem.......................................................................................................... 29 2.3. Opgaver til Kapitel 2...................................................................................................................... 37

Kapitel 3. Parametriserede Kurver............................................................................................................ 38 3.1. Mere om parametriserede kurver. .................................................................................................. 38 3.2. Grænseværdi og kontinuitet........................................................................................................... 41 3.3. Tangenter og differentiation. ......................................................................................................... 47 3.4. Parametriserede kurver og buelængde. .......................................................................................... 50

3.4.1. Længden af grafen for en funktion. ........................................................................................ 50 3.4.2. Længden af en kurve............................................................................................................... 59 3.4.3. Reparametrisering. .................................................................................................................. 64

3.5. Opgaver til Kapitel 3...................................................................................................................... 71 Kapitel 4. Greens Sætning. ....................................................................................................................... 72

4.1. Gennemgang af Greens sætning. ................................................................................................... 72 4.2. En anvendelse af Greens sætning. ................................................................................................. 77 4.3. Opgaver til Kapitel 4...................................................................................................................... 80

Kapitel 5. Optimering. .............................................................................................................................. 81 5.1. Introduktion.................................................................................................................................... 81 5.2. Funktioner af én variabel. .............................................................................................................. 82

5.2.1. Eksistens af maksima og minima............................................................................................ 82 5.3. Funktioner af to variable................................................................................................................ 87

5.3.1. Kontinuitet og grænseværdier................................................................................................. 87 5.3.2. Partielle afledede, gradienter og niveaukurver. ...................................................................... 90 5.3.3. Eksistens af ekstrema. ............................................................................................................. 97 5.3.4. Lagrange’s metode................................................................................................................ 101

5.4. Hvordan gik det med Ølproducenten? ......................................................................................... 109 5.5. Opgaver til Kapitel 5.................................................................................................................... 110

Kapitel 6. En anden måde at beskue det isoperimetriske problem på. ................................................... 111 Kapitel 7. Pædagogiske overvejelser. ..................................................................................................... 114

7.1. Kort redegørelse for matematiske kompetencer. ......................................................................... 114 7.2. Kompetencer i denne rapport....................................................................................................... 116 7.3. Hvordan mine kompetencer har ændret sig. ................................................................................ 119

Litteraturliste........................................................................................................................................... 125 Anvendelse af litteratur:...................................................................................................................... 126

Summary in English................................................................................................................................ 128

4

Kapitel 1. Introduktion. I variationsregningens barndom, ja faktisk helt op til 1800 tallet troede man fejlagtigt at alle problemer, som gik ud på at finde en maksimumsværdi eller en minimumsværdi altid ville have en løsning. Vi kan hurtigt give et par eksempler, som viser at dette ikke er sandt. Eksempel 1. Lad os betragte mængden af positive hele tal, og lad os et øjeblik antage at der findes et største helt tal N blandt disse. Hvis 1N > , så må vi have at 2N N> , men det er en modstrid mod at N var det største tal. Hvis 1N = er det oplagt at det ikke er det største tal. Hvad gik der galt her? Jo, vi antog at der eksisterer et største helt, positivt tal, men det er forkert. Eksempel 2. Lad P og Q betegne to vektorer i planen med fodpunkter i (1,1)p = og (5,1)q = , og som ikke er parallelle. Så lyder problemet: Find den korteste kurve mellem de to punkter p og q, som har de to vektorer P og Q som tangentvektorer.

Figur 1.01. Illustration af problemet i eksempel 2. Vi kan gøre kurverne mellem de to punkter kortere og kortere, ved at gøre det stykke der krummer i enderne mindre og mindre, men vi kan aldrig finde én kurve med mindst længde. Den korteste kurve mellem de to punkter er den rette linie, men den opfylder jo ikke betingelserne om at have P og Q som tangentvektorer. (Problemet har kun en løsning, hvis P og Q er parallelle). Vi kan altså nemt konstruere eksempler på maksimerings-/minimeringsproblemer, som ingen løsning har.

5

Før Weierstrass i 1800 tallet fandt ud af, at man i nogle problemer var nødt til at se på nødvendige betingelser for, at en løsning kunne eksistere og tilsvarende i nogle tilfælde kunne finde betingelser, som sikrede at et problem ville have en løsning, de såkaldte tilstrækkelige betingelser, troede man altså at alle problemer havde en løsning. Dette førte til en del misforståelser og direkte forkerte beviser for en række påstande, heriblandt, beviset for løsningen til det isoperimetriske problem. Løsningen til det isoperimetriske problem, har som sagt været kendt i mange år, og der er da også en hel del forskellige matematikere, som har forsøgt at give et bevis for, at den maksimale kurve er en cirkel. I disse beviser har man ofte antaget, at en løsning til problemet skulle eksistere, men vi har jo netop set, at man godt kan konstruere problemer, som ingen løsning har. Antagelsen om at en løsning eksisterer, førte ofte til at beviset blev ukorrekt og utilstrækkeligt. For at få et korrekt bevis, skal man både vise at en løsning eksisterer, og at den er givet ved en cirkel. Overvejelserne om en løsning faktisk eksisterer til dette og andre problemer, førte i 1800-tallet også til, at man begyndte at skelne mellem maksimumsbegrebet og grænseværdibegrebet Lad os tage endnu et eksempel for at illustrere, at disse to begreber ikke er ens. Eksempel 3. Lad os se på funktionen 2( )f x x= . Hvis vi lader f være defineret på intervallet [0;2] , så antager f sin maksimumsværdi i 2x = , nemlig

(2) 4f = . Hvis vi i stedet definerer f på intervallet [0;2) , så antager f ikke længere værdien 4, da 2x = ikke længere tilhører funktionens definitionsmængde. Vi kan derimod se, at jo nærmere x kommer på 2, desto nærmere kommer ( )f x på 4. Vi kan faktisk få

( )f x så tæt på 4 som vi har lyst til, ved at lade x komme tilstrækkeligt tæt på 2. Derfor vil vi sige at f har grænseværdien 4 når x går mod 2, men ( )f x bliver dog aldrig lig 4. Man kan altså ikke altid være sikker på, at en funktion antager sit maksimum. På samme måde kan man ikke altid være sikker på, at løsningen til et variationsproblem eksisterer, også selvom den kan beskrives som en grænseværdi. Vi vil i dette materiale forsøge at give et bevis, som faktisk viser eksistensen af løsningen til det isoperimetriske problem ved at konstruere en kurve, som maksimerer arealet. - Har du allerede nu lyst til at vide mere om variationsregningens historie, så se 1 eller kapitel 6 i dette materiale.

1 [HG] Hele denne bog er en gennemgang af variationsregningens historie fra ca. 1600 til 1900.

6

Figur 1.1 Eksempler på kurver.

Figur 1.2. Eksempler på lukkede kurver.

1.1. Hvad er en kurve? Forestil dig vi har en snor af længde l, som ligger på et bord. Med fingrene kan man nu forme snoren, og den kan bringes til at illustrere stort set en hvilken som helst figur. Det er kun ’artistens’ evner, der sætter grænser. Hvis vi lægger figurerne ind i et koordinatsystem, så kan de opfattes som kurver i en plan. Dette er vist på figur 1.1. Opgave 1.1.1: Argumenter ud fra eksemplerne i figuren for, at man i mange tilfælde ikke vil være i stand til at beskrive disse kurver som grafen for en funktion. Hvis vi nu forestiller os, at vi kan lime snorens ender sammen uden at ændre dens længde, så har vi dannet det vi senere vil kalde en lukket kurve i planen. Som du kan se på figur 1.2, så kan vi også danne alle mulige lukkede kurver med den limede snor. Du kan se, at de lukkede kurver afgrænser et område i planen, og selv om alle kurverne har samme længde, så afgrænser de ikke det samme areal. Faktisk afgrænser kurverne to områder – et man kan kalde det indre, som vi normalt opfatter som det areal kurven afgrænser, og det ydre, som er alt udenfor kurven. Det at lukkede kurver afgrænser et område med endeligt areal er faktisk en ret indviklet ting at få på plads rent matematisk, men vi vil her stole på vores intuition, som fortæller os, det er rigtigt! Opgave 1.1.2: Prøv f.eks. at sammenligne en cirkel med

omkreds l, et kvadrat med sidelængde 4l og en ligebenet

trekant med sidelængde 3l .

a) Hvilken afgrænser det største/mindste areal? b) Kan du finde en lukket kurve, med omkreds l, som afgrænser et større areal end kvadratet? Hvis Ja – hvilken?

7

Figur 1.3. Kurver, som ikke kan beskrives som graf for en funktion.

Figur 1.4. Grafer for funktionerne

2( )f x x= og ( ) 2g x x= .

1.2. Hvordan beskrives en kurve? De kurver i planen, du nok har været vant til at arbejde med indtil videre, har for det meste været kurver, som har været grafen for en funktion. Disse funktioner opfylder specielt, at der kun er én y-værdi til hver x-værdi. Det lægger naturligvis en begrænsning på, hvilke figurer, der kan opnås som graferne for disse funktioner. Men der findes jo mange andre kurver, f.eks. de to skitseret på figur 1.3. Det er klart, at kurverne ikke kan være grafer for funktioner, fordi disse funktioner i så fald ville give mere end en y-værdi til de fleste x-værdier og dermed ikke længere ville være funktioner i almindelig forstand. Alligevel er vi ofte interesserede i at arbejde med kurver, som dem i figur 1.3. bl.a. fordi de er gode til at beskrive hvordan partikler bevæger sig i et magnetfelt, til at angive trykforskelle på meteorologernes vejrkort (isobarer), til at bestemme, hvordan man kommer den korteste vej fra et sted til et andet i kuperet terræn og til mange andre ting. Hvordan får vi nu disse kurver beskrevet matematisk, når vi ikke kan beskrive dem som grafer for en funktion? Svaret er at vi på en måde skal betragte dem som grafer for 2 funktioner. Lad os starte med nogle eksempler. Eksempel 1.2.1. Lad de to differentiable funktioner f og g være givet ved:

2( ) , ( ) 2 ,f x x g x x x= = ∈ (Figur 1.4.)

I stedet for at betegne variablen med x, så kunne vi lige så godt betegne den med s eller t eller noget helt tredje. Dette navneskift er ikke helt nyt for os, fordi vi i fysik for eksempel er vant til regne med kraft eller tryk som funktion af tid, og i den forbindelse betegner variablen med t. Hvis vi skifter variabelnavn til t har vi altså:

2( ) , ( ) 2 ,f t t g t t t= = ∈

8

Figur 1.5. Position til tiden t.

Figur 1.6. Partiklens position til mange forskellige tider.

Figur 1.7. Den kurve partiklen gennemløber.

Figur 1.8. Retningsvektorer til 3t = og 5t = .

Vi forestiller os nu en partikel, som bevæger sig i planen, således at dens x og y koordinater til ethvert tidspunkt er givet ved de to funktioner f og g. Det vil sige at til tiden t befinder partiklen sig i punktet med koordinater ( ),x y givet ved:

( )( )

x f ty g t== (figur 1.5.)

Da vi tillader negative t værdier kan vi fortolke det sådan, at når t er mindre end 0 ser vi på, hvor partiklen befandt sig for t sekunder siden, når t er lig nul ser vi på dens nuværende position og når t er større end nul forudsiger vi, hvor den vil befinde sig om t sekunder. I tabel 1.2.2. har vi udregnet partiklens koordinater til forskellige tidspunkter.

t -5 -3 -1 1 3 4 5 ( )x f t= 25 9 1 1 9 16 25 ( )y g t= -10 -6 -2 2 5 8 10

Tabel 1.2.2. Koordinater til forskellige tidspunkter. På figur 1.6. ses disse samt flere andre positioner markeret. Hvis vi udregner partiklens position til alle tider får vi den kurve, som ses på figur 1.7. I stedet for at betragte partiklens x og y koordinater som givet ved to funktioner, kan vi opfatte x og y som funktioner givet ved følgende:

(1.2.1) 2( ) ( )

( ) ( ) 2x t f t ty t g t t

= == =

Hvis vi betegner retningsvektoren, som angiver det punkt partiklen befinder sig i til tiden t med ( )r t så har vi altså at

( )r t er givet ved: ( )( )2

( ) ( ), ( )

, 2

r t x t y t

t t

=

=(figur 1.8.)

Kurver, som den i figur 1.7. vil vi betegne med C (for Curve). De to ligninger i (1.2.1), som beskriver punkterne på kurven vil vi kalde kurvens parametriske ligninger - eller parameterfremstillingen af kurven.

9

Figur 1.9. Enhedscirklen.

Figur 1.10. Enhedscirklen.

Lad os nu se på et eksempel, hvor vi på forhånd kender kurven, men ikke kurvens parameterfremstilling. Eksempel 1.2.3. Den kurve vi ser på er enhedscirklen (figur 1.9.). Det er klart, at enhedscirklen ikke kan beskrives som grafen for en funktion, så lad os undersøge om den kan beskrives vha. et sæt af parametriske ligninger! Det vi leder efter er to funktioner af den samme variabel t og som til enhver t-værdi angiver en position på enhedscirklen. Alle punkter på enhedscirklen er kendetegnet ved (eller defineret til) at være de punkter i planen, som har afstand 1 til Origo. Vi kender ”idiotformlen”, som siger:

2 2cos( ) sin( ) 1t t+ = Eller med andre ord, at vektoren med koordinater ( )cos( ),sin( )t t har længde én for alle værdier af t. Dvs. at punkterne med koordinater:

cos( )sin( )

x ty t==

ligger på enhedscirklen. Lader vi parameteren t betegne buelængde, så ved vi, at hvis t løber i intervallet mellem 0 og 2π så kan vi ramme alle punkter på enhedscirklen (figur 1.10.). Dvs. at de parametriske ligninger:

( ) cos( )( ) sin( )

x t ty t t

==

, [0, 2 ]t π∈

Beskriver hele enhedscirklen. Da både ( )x t og ( )y t kan differentieres uendeligt mange gange vil vi kalde ( )( ), ( )x t y t en differentiabel parametriseret kurve. Bm. En differentiabel parametriseret kurve består altså af et sæt af uendeligt ofte differentiable funktioner, og ikke af en figur. Vi vil her betegne stedvektoren, hvis koordinater er givet ved et sæt af parametriske ligninger med r, således at:

( )( ) ( ), ( ) , , [ , ]r t x t y t t I I a b= ∈ =

10

Figur 1.11. Sporet af kurven i eksempel 1.2.4.

og kalde r en differentiabel parametriseret kurve. I kaldes kurvens parameter interval. Den figur, som fremkommer ved at skitsere punkterne bestemt ved de parametriske ligninger kaldes ofte sporet af den parametriserede kurve. Lader vi r betegne en parametriseret kurve defineret på intervallet I, vil vi betegne dette med:

( )spor r =mængden af punkter i planen, som kan rammes af r eller formelt

{ }2( ) ( , ) , ( ) ( , )spor r c d t I r t c d= ∈ ∃ ∈ = . Eksempel 1.2.4. Lader vi r betegne den parametriserede kurve givet ved: ( ) cos( ), ( ) sin( ), [0;2 ]x t t y t t t π= = ∈ , så kan vi ved at vælge passende t-værdier ramme alle punkter på enhedscirklen og ikke andre. Herved har vi bestemt sporet af r: { }2( ) ( , ) , ( ) ( , )spor r c d t I r t c d enhedscirklen= ∈ ∃ ∈ = = . Endvidere kan vi se at startpunkt og slutpunkt for kurven er ens, idet:

(0) cos(0) 1 cos(2 ) (2 )(0) sin(0) 0 sin(2 ) (2 )

x xy y

π ππ π

= = = == = = =

eller skrevet på en anden måde:

(0) (2 )r r π= . Hvis vi med (́ )r t betegner den vektor, som har koordinater givet ved:

( )( )

(́ ) (́ ), (́ )

sin( ),cos( )

r t x t y t

t t

=

= −

så kan vi yderligere se, at:

(́0) (́2 )r r π= . Hvis vi med ´́ ( )r t betegner den vektor, som har koordinater givet ved:

11

Figur 1.12. Sporet af kurven i eksempel 1.2.5.i.

( )( )

´́ ( ) ´́ ( ), ´ (́ )

cos( ), sin( )

r t x t y t

t t

=

= − −

så ser vi også, at:

´́ (0) ´́ (2 )r r π= . Fortsætter vi dette, så kan vi se at alle de afledede af r stemmer overens i definitionsintervallets endepunkter:

( ) ( )(0) (2 )n nr r π= hvor vi med ( )nr betegner den n´te afledte af r. I et sådant tilfælde, hvor kurven har samme start- og slutpunkt, og alle de afledte stemmer overens i intervalendepunkterne a og b kalder vi kurven lukket. I de tilfælde, hvor kurven har samme start- og slutpunkt, men en af de afledte ikke stemmer overens i intervalendepunkterne vil vi kalde kurven semilukket. Hvis en kurve r opfylder at ( )´( ) 0,0r t ≠ for alle værdier af t vil vi kalde r en regulær kurve. Hvilken praktisk betydning dette har for kurven vil vi komme nærmere ind på i afsnit 3.3. Indtil videre ser vi det bare som en definition. Eksempel 1.2.5. Eksempler på kurver med forskellige egenskaber: i) Lad r være givet ved:

( )3 2( ) 4 , 4 , [ 2;2]r t t t t t= − − ∈ − (figur 1.12)

Det ses let at ( )( 2) 0,0 (2)r r− = = , vi ved altså at r er semilukket. Udregner vi den afledte af r, så får vi at ( )2(́ ) 3 4,2r t t t= − . Evaluerer vi nu ´r i intervalendepunkterne så får vi:

( )´( 2) 8, 4r − = − og ( )(́2) 8, 4r = . Vi kan altså se at ´( 2) (́2)r r− ≠ og dermed at r ikke er lukket.

Bm. Det at en kurve er semilukket garanterer altså at kurven har samme start- og slutpunkt, men ikke at den møder sig selv uden knæk. Er en kurve derimod lukket, så kan vi være sikre på at der ikke er nogen knæk på kurven i det fælles start- og slutpunkt.

12

Figur 1.13. Sporet af kurven i eksempel 1.2.5.ii.

Figur 1.14. En ikke simpel kurve.

ii) Lad nu r være givet ved: ( )3 2( ) , , [ 1;1]r t t t t= ∈ − (figur 1.13)

Da ( )(́0) 0,0r = er r ikke regulær Opgave 1.2.6. Betragt de parametriske ligninger:

( ) cos(2 )( ) sin(2 )

x t ty t t

==

, [0,2 ]t π∈

a) Er ( )( ) cos(2 ),sin(2 )r t t t= en differentiabel

parametriseret kurve? b) Er r lukket? c) Regulær? d) Skitser sporet for r.

En kurve r som ikke skærer sig selv i andre punkter end eventuelt endepunkterne kaldes simpel. Eller sagt med andre ord, en kurve r er simpel hvis der gælder: 1 2( ) ( )r t r t≠ for alle 1 2, [ , )t t a b∈ , 1 2t t≠ . Bemærk at intervallet er åbent i højre endepunkt. Eksempel 1.2.7. Betragt den differentiable parametriserede kurve r givet ved:

( )3 2( ) 4 , 4 , [ 3,3]r t t t t t= − − ∈ − . Vi kan se at (2) ( 2) (0,0)r r= − = (figur 1.14), men -2 og 2 er ikke intervalendepunkter, altså er kurven ikke simpel. Opgave 1.2.8. Hvorfor er kurven i eksempel 1.2.3. simpel, mens kurven i opgave 1.2.6. ikke er det? Fremover vil jeg blot kalde en differentiabel parametriseret kurve for en kurve - da de fleste kurver vi skal stifte bekendtskab med vil være differentiable - og ikke andet med mindre der er noget specielt at bemærke. Opgave 1.2.9. Betragt kurven givet ved:

( )( ) cos(3 ),sin(3 ) , [0; ], 0r t t t t b b= ∈ >

a) Findes der værdier af b, som gør at r bliver lukket? b) Hvis Ja, så find alle disse værdier. c) Findes der værdier af b, så r bliver simpel? d) Findes en værdi af b, så r både er simpel og lukket? e) Hvis Ja, er r så regulær for denne b-værdi?

13

Figur 1.15. Orientering af lukkede og simple kurver.

Hvis r er en lukket og simpel kurve, så kan vi tillægge den en orientering, som i praksis blot vil sige at vælge en bestemt vej at gå rundt langs kurven. Når vi går rundt langs kurven i den retning, som angives af voksende t-værdier og det indre af kurven er til venstre vil vi kalde kurven positivt orienteret - Ellers vil vi kalde den negativt orienteret (se figur 1.15). Kan vi nu være sikre på at en lukket, simpel kurve ikke skifter orientering på et eller andet tidspunkt? Svaret er nej! Dette vil vi komme ind på i afsnit 3.3. Jeg vil dog bemærke her, at hvis vi kræver, at kurven skal være regulær, så kan vi være sikre på at den ikke skifter orientering. I den følgende definition vil jeg opremse nogle af de nye begreber, som er blevet indført i dette kapitel. Definition 1.2.10. Lad ( )x t og ( )y t være to kontinuerte funktioner defineret på det samme interval [ ; ]I a b= .

i) Hvis x og y er uendeligt ofte differentiable, så vil vi kalde ( )( ) ( ), ( ) ,r t x t y t t I= ∈ en differentiabel, kontinuert kurve og I kaldes parameter intervallet.

ii) Spor(r)=de punkter i planen, som kan rammes af r.

iii) Hvis r opfylder at:

( ) ( )

( ) ( ), (́ ) (́ ),´ (́ ) ´́ ( )...... ( ) ( )...n n

r a r b r a r br a r b r a r b

= =

= =,

så kaldes r lukket. iv) Hvis ( )(́ ) 0,0r t ≠ for all t i I, så kaldes r regulær. v) r er simpel hvis der gælder: 1 2( ) ( )r t r t≠ for alle

1 2, [ , )t t a b∈ , 1 2t t≠ . vi) Hvis r er en lukket og simpel kurve, så kan vi

definere en orientering på r jf. figur 1.15. De nye begreber, som vi har introduceret her vil blive nærmere behandlet i kapitel 3, så indtil videre må du nøjes med denne korte introduktion.

14

Fig. 1.16. Område afgrænset af en positivt orienteret, lukket og simpel kurve.

Figur 1.17. Inddeling i integrerbare områder.

Figur 1.18. Udsnit af område I og II.

Figur 1.19. Område I

1.3. En hjælpesætning om bestemmelse af arealer. Målet med dette afsnit er at illustrere en metode til at beregne arealer af områder i planen, som ikke nødvendigvis kan beskrives som området mellem to grafer, men som kan beskrives som det område der afgrænses af en positivt orienteret lukket og simpel kurve. Et område af en sådan type ses på figur 1.16. For at vise den nye metode inddeler vi området i mindre dele, som vist på figur 1.17. På figur 1.18. har vi fremhævet område I og II, som vi vil beregne arealet af. Vi vil nu først forsøge at beregne arealet af område I. Område I: Vi vil antage at den del af den sorte omkreds, som hører til område I kan beskrives som grafen for en kontinuert funktion 1f , som er defineret på intervallet 0 1[ , ]x x (figur 1.19). Område I kan dermed beskrives som området afgrænset af 2 kontinuerte funktioner – nemlig den kontinuerte funktion 1f og den funktion, som konstant er 0y på hele intervallet

0 1[ , ]x x . Vi ved godt, hvordan arealet af et sådant område i første kvadrant skal beregnes; nemlig som integralet af differensen mellem de to funktioner. Lad os betegne dette areal med 1A . Så gælder altså at:

1 1

0 0

1

0

0

1

1 1 0

1 0 1 0

1 0 1 0

( )

( ) ( )

( ) ( )

x x

x x

x

x

x

x

A f x dx y dx

f x dx y x x

f x dx y x x

= −

= − −

= − − −

∫ ∫

∫

∫

hvor vi i sidste lighed har benyttet at vi ved at ombytte integrationsgrænserne får skiftet fortegn på integralet:

( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫

Det var arealet af område I. Det næste areal vi vil finde er arealet af område II.

15

Figur 1.20. Område II.

Område II: Vi vil antage at den linie, som afgrænser område II nedad kan beskrives som grafen for en kontinuert funktion 2f , som også er defineret på intervallet 0 1[ , ]x x (figur 1.20). Opgave 1.3.1. Overvej at arealet 2A af område II kan beregnes ved følgende formel:

1

0

2 0 1 0 2( ) ( )x

x

A y x x f x dx= − − ∫

Lægger vi 1A og 2A sammen, så får vi altså arealet af det samlede område, der dækkes af område I og II:

(1.3.1)

0

1

1

0

0 1

1 0

1 2 1 0 1 0

0 1 0 2

1 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x

x

x

x

x x

x x

A A f x dx y x x

y x x f x dx

f x dx f x dx

+ = − − −

+ − −

= − −

∫

∫

∫ ∫

Opgave 1.3.2. Betragt kurven givet ved:

( )( ) (1 ) ,0 , [0,1], ,r t t c td t c d= − + ∈ ∈ a) Gør rede for grafen for funktionen ( )x t givet ved

( ) (1 ) , [0,1], ,x t t c td t c d= − + ∈ ∈ er den rette linie mellem punkterne (0, )c og (1, )d . b) Gør rede for at r er en parametrisering af det rette liniestykke mellem punkterne (0, ) og (0, )c d , som starter i (0, )c og slutter i (0, )d . Jeg indfører nu fire nye funktioner:

1 1 0

2 0

3 0 1

4 1

( ) (1 ) , [0,1]( ) , [1, 2]( ) (3 ) ( 2) , [2,3]( ) , [3, 4]

x t t x tx tx t x tx t t x t x tx t x t

= − + ∈= ∈= − + − ∈= ∈

og definerer ( )x t til at være givet ved:

16

(1.3.2)

1

2

3

4

( ), [0,1]( ), [1, 2]

( )( ), [2,3]( ), [3, 4]

x t tx t t

x tx t tx t t

∈⎧⎪ ∈⎪= ⎨ ∈⎪⎪ ∈⎩

Substituerer vi nu i formel (1.3.1), så får vi:

(1.3.3)

( ) ( )

0 1

1 0

1 2 1 2

1 3

1 20 2

( ) ( )

( ) (́ ) ( ( ) (́ )

x x

x x

A A f x dx f x dx

f x t x t dt f x t x t dt

+ = − −

= − −

∫ ∫

∫ ∫

Vi definerer nu endnu en funktion ( )y t givet ved:

(1.3.4)

( )

( )

1

1 3

2

4 2

( ) , [0,1](2 ) ( 1) , [1, 2]

( )( ) , [2,3]

(4 ) ( 3) , [3, 4]

f x t tt y t y t

y tf x t t

t y t y t

∈⎧⎪ − + − ∈⎪= ⎨

∈⎪⎪ − + − ∈⎩

Benytter vi dette i formel (1.3.3), så får vi:

(1.3.5) ( ) ( )

1 3

1 2 1 20 21 3

0 2

( ) (́ ) ( ( ) (́ )

( ) (́ ) ( ) (́ )

A A f x t x t dt f x t x t dt

y t x t dt y t x t dt

+ = − −

= − −

∫ ∫

∫ ∫

Ser vi nærmere på funktionen ( )x t så kan vi se at (́ )x t er nul på de to åbne intervaller (1,2) og (3,4) . Derfor har vi følgende lighed:

2 4

1 3

0 ( ) (́ ) ( ) (́ )y t x t dt y t x t dt= =∫ ∫

Dette vil vi benytte til at lave en smart omskrivning af ligning (1.3.5):

17

1 3

1 20 21 3

0 21 3

0 22 4

1 3

( ) (́ ) ( ) (́ )

( ) ´( ) ( ) (́ ) 0 0

( ) ´( ) ( ) (́ )

( ) (́ ) ( ) ´( )

( ) (́ ) (

A A y t x t dt y t x t dt

y t x t dt y t x t dt

y t x t dt y t x t dt

y t x t dt y t x t dt

y t x t dt y

+ = − −

= − − − −

= − −

− −

= − +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫1 3

0 2

2 4

1 3

4

0

) (́ )

( ) (́ ) ( ) (́ )

( ) ´( )

t x t dt

y t x t dt y t x t dt

y t x t dt

⎛⎜⎝

⎞+ + ⎟

⎠

= −

∫ ∫

∫ ∫

∫ Ser vi nærmere efter, så kan vi se at ( )( ), ( ) , [0, 4]x t y t t∈ er en parametrisering af omkredsen af figuren på figur 1.18. Dvs. vi har altså fundet en positivt orienteret parametrisering af omkredsen af figuren, således at arealet kan beregnes som:

(1.3.6) 4

0

( ) (́ )A y t x t dt= −∫

Vi har altså fundet en ny måde at udregne arealer i planen på. Der gælder faktisk, at ethvert område, som er begrænset af en simpel, lukket og positivt orienteret kurve kan inddeles i et endeligt antal områder, som svarer til det område vi lige har beskrevet. Benytter man formel (1.3.6) på hvert af disse områder kan man vise følgende: Sætning 1.3.3. Lad ( )( ) ( ), ( ) , [ , ]r t x t y t t a b= ∈ være en positivt orienteret, lukket og simpel kurve. Så gælder at arealet begrænset af r er givet ved:

( ) (́ )b

a

A y t x t dt= −∫

Lad os se på et eksempel.

18

Figur 1.21. Orientering af r.

Eksempel 1.3.4. Lad r være givet ved:

( )( ) 3cos(2 ),3sin(2 ) , [0; ]r t t t t π= ∈ Vi kan for det første se, at r er en differentiabel, parametriseret kurve idet både ( ) 3cos(2 )x t t= og

( ) 3sin(2 )y t t= er uendeligt ofte differentiable funktioner. Det er lidt sværere at se at r faktisk også er lukket, da man jo i princippet skal kontrollere at alle de afledede stemmer overens i endepunkterne, men her er det heldigvis nok at kontrollere de første 4 afledte (se opgave 1.5.7) og det viser sig at r faktisk er lukket, men dette vil jeg ikke vise her. Er r simpel? Ifølge definition 1.2.11, så skal vi kontrollere at r opfylder at: 1 2( ) ( )r t r t≠ for alle 1 2 1 2, [0; ), t t t tπ∈ ≠ . Lad os antage at 1 2( ) ( )r t r t= . Dvs. at 1 2( ) ( )x t x t= og

1 2( ) ( )y t y t= eller med andre ord:

1 2

1 2

3cos(2 ) 3cos(2 )3sin(2 ) 3sin(2 )

t tt t

==

For at dette kan lade sig gøre, så skal der være et helt multiplum af 2π mellem 12t og 22t eller skrevet på en anden måde: Der skal eksistere et helt tal p således at:

1 2

1 2

2 2 2t t p

t t p

π

π

− =

− =

men dette kan ikke lade sig gøre indenfor intervallet [0; )π , så r er altså simpel. På figur 1.21 kan du se at r er positivt orienteret. Dermed opfylder r alle betingelser for at vi kan anvende sætning 1.3.4. til at udregne arealet, som indelukkes af r.

( )

0

2

00

( ) (́ ) 3sin(2 )( 6)sin(2 )

sin(4 ) 18 sin(2 ) 182 8

sin(4 ) 0 sin(0) 18 92 8 2 8

b

a

A y t x t dt t t dt

t tt dt

π

ππ

π π π

= − = − −

⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

∫

Vi kan hurtigt verificere dette resultat, idet vi genkender figuren på figur 1.21 som en cirkel med radius 3.

19

og for en sådan ved vi at arealet er givet ved:

2

2 3 9A rπ

π π

=

= =

Den formel vi her bruger til at beregne arealet, kan faktisk vises ved at anvende sætning 1.3.3 (opgave 1.5.5). Vi skal i beviset for det isoperimetriske problem anvende en lidt anden udgave af sætning 1.3.4 som lyder: Sætning 1.3.5. 2 Lad ( )( ) ( ), ( ) , [ , ]r t x t y t t a b= ∈ være en positivt orienteret, lukket og simpel kurve. Så gælder at arealet begrænset af r er givet ved:

( )

( ) (́ ) ( ) ´( )

1 ( ) (́ ) ( ) (́ )2

b b

a a

b

a

A y t x t dt x t y t dt

x t y t y t x t dt

= − =

= −

∫ ∫

∫

Beviset for denne sætning vil vi føre i kapitel 4.2. Bm: Sætning 1.3.5. gælder faktisk også selvom vi ikke kræver at kurven skal være positivt orienteret overalt. Dette vil vi også komme nærmere ind på i afsnit 4.2.

2 Se [RA] s. 491-493 eller [JS] s. 452-453 for alternative udledninger af denne sætning.

20

Figur 1.22. Sporet af r.

Figur 1.23. Ændring af parameter.

Figur 1.24. Sporet af r .

1.4. En smule om parameteren t. I starten af kapitel 1 opfattede vi parameteren t, som tid. I eksempel 1.2.3. lod vi den betegne buelængde i en enhedscirkel. Parameteren kan altså betegne forskellige ting. Det vi skal se nu, er at vi givet en kurve kan ændre på parameteren således at kurven stadig har det samme spor, men altså med en anden parameter. Eksempel 1.4.1. Lad os se på kurven givet ved:

( )( ) cos( ),sin( ) , [0, 2 ]r t t t t π= ∈ Vi ved at sporet af denne kurve er enhedscirklen (figur 1.22). Jeg har desuden skitseret retningsvektorer til punkterne givet ved fire forskellige t-værdier. Betragt nu funktionen h givet ved:

2( ) , [0, 2 ]h s s s π= ∈ Vi ved at h er kontinuert, derfor rammer h alle værdier i intervallet [0, 2 ]π , dvs. ( ) [0;2 ]Vm h π= . Yderligere kan vi se at h er voksende og har endepunktsværdierne:

( )(0) 0

2 2

h

h π π

=

=

På figur 1.23 har jeg skitseret forløbet af 2y x= i forhold til y x= . Nu vil vi se på kurven, som opnås ved at sammensætte r og h:

( ) ( )( ) ( ) ( ( )), ( ( )) , [0, 2 ]r s r h s x h s y h s s π= = ∈ For det første, så kan vi se at r er en kurveparametrisering, og at den har samme spor som r. Vi kan også se at de to kurver har samme start- og slutpunkt og faktisk også har den samme orientering. Ser vi derimod på de retningsvektorer, som er angivet på figur 1.24, så kan vi se at billedet er et helt andet. De fire t-værdier er som på figur 1.22 valgt, ved at tage definitionsintervallets højre endepunkt og gange dette med 1/8, 3/8, 5/8 og 7/8.

21

Figur 1.25. Hastighed langs r.

Forløbet af kurven er altså ændret ved at skifte parameter. Dette kan også ses ud fra figur 1.23: Begge kurver har samme start- og slutværdi, men de løber to forskellige veje. Det vi har introduceret her er det vi vil kalde at re-parametrisere en kurve. For parametriserede kurver, har vi defineret en afledt ved:

( )(́ ) (́ ), (́ )r t x t y t= Denne vektor kalder vi kurvens hastighedsvektor. Vi kan se på længden af hastighedsvektoren:

( ) ( )2 2(́ ) ´( ) (́ )r t x t y t= + Denne værdi vil vi kalde kurvens fart. Denne værdi fortæller noget om, hvor meget fart en partikel, som bevæger sig langs kurven har på, når den befinder sig i punktet ( )r t ! Regner vi på de to forskellige parametriseringer i eksempel 1.4.1, så får vi følgende resultater:

( )( )

(́ ) cos (́ ),sin (́ )

sin( ),cos( )

r t t t

t t

=

= −

og dermed at længden af denne vektor er givet ved:

( )

2 2

2 2

2 2

(́ ) (́ ) (́ )

sin( ) cos( )

cos( ) sin( )

1 1

r t x t y t

t t

t t

= +

= − +

= +

= =

Dvs. hvis man følger denne parametrisering rundt i enhedscirklen, så bevæger man sig med konstant fart lig 1 (figur 1.25). Det er lidt anderledes med r . Hastighedsvektoren (́ )r s er givet ved:

22

Figur 1.26. Hastighed langs r .

( )( )( )

( )

2 2

2 2

(́ ) (́ ( )), (́ ( ))

sin( ( )) (́ ), cos( ( )) (́ )

sin( )2 ,cos( )2

2 sin( ),cos( )

r s x h s y h s

h s h s h s h s

s s s s

s s s

=

= −

= −

= −

og farten:

( ) ( )( )( ) ( )

2 22 2 2

2 22 2

(́ ) (2 ) sin( ) cos( )

2 cos( ) sin( )

2

r s s s s

s s s

s

= − +

= +

=

da 0s ≥ . Dvs. hvis man bevæger sig rundt i enhedscirklen efter denne parametrisering så ændres hastigheden. Jo større s bliver, og dermed jo længere rundt i enhedscirklen vi kommer, desto større fart får vi på (figur 1.26)! En kurveparametrisering som den første i eksempel 1.4.1., hvor farten er konstant 1 vil vi kalde en naturlig kurveparametrisering. I eksempel 1.4.1. lagde vi op til at man kan ændre en kurves parameter, men bevare sporet. Det vil vi gerne formalisere gennem følgende definition: Definition 1.4.2. Lad ( )( ) ( ), ( ) , [ , ]r t x t y t t I a b= ∈ = være en differentiabel parametriseret kurve. Lad h være en kontinuert, strengt voksende og differentiabel funktion :h J I→ , hvor [ , ]J c d= således at:

( )( )

h c ah d b

==

Ser vi nu på kurven ( ) ( ( )), r s r h s s J= ∈ , som har samme spor som r, så kalder vi h en re-parametrisering af kurven r. I beviset for det isoperimetriske problem skal vi benytte følgende sætning, som vi vil komme nærmere ind på i afsnit 3.4.3. Sætning 1.4.3. 3 Lad r være en regulær, lukket og simpel differentiabel parametriseret kurve. Så gælder at der altid eksisterer en re-parametrisering af r således at vi opnår en naturlig kurveparametrisering, som er positivt orienteret. 3 Se [DC] s. 21-22 Remark 2, for en gennemgang af dette.

23

Du har nu mange af de grundlæggende redskaber og begreber, som er nødvendige for at kunne forstå både sætningen, men også beviset, for løsningen til det isoperimetriske problem, men hvis du gerne vil lære mere om parametriserede kurver inden du går i krig med dette anbefaler jeg at du forsøger at løse opgaverne på næste side, bruger lidt tid på at læse kapitel 3 og derefter går til kapitel 2.

24

1.5. Opgaver til Kapitel 1. Opgave 1.5.1. Bestem sporet for kurven givet ved: ( )( ) 5, (1 )3 7 , [0;1]r t t t t= − + ∈ Opgave 1.5.2. Find mindst to forskellige kurver, således at ( )spor r =enhedscirklen, og således at r er negativt orienteret. Opgave 1.5.3. Se på kurven r givet ved: ( )2 3( ) , , [0; ]r t at bt ct t d= − ∈ , hvor , , ,a b c d ∈ . Afgør, om der findes værdier af de fire konstanter således at r bliver semilukket. Hvis Ja, findes der så værdier af disse konstanter så r bliver lukket? Opgave 1.5.4. Lad r være givet ved: ( )( ) cos( ),sin( ) , [0 ;2 ]r t t t t a aπ= ∈ + − , hvor 0a > er et positivt reelt tal. Findes der værdier af a således at r bliver simpel? Hvis Ja, hvilke? Opgave 1.5.5. Benyt sætning 1.3.4. til at vise at der for en cirkel med radius R gælder at:

2Areal Rπ= Hint: Bestem en kurve r, hvis spor er en cirkel med radius R og som opfylder betingelserne i sætning 1.3.4. Opgave 1.5.6. Lad r være givet ved: ( )( ) ,5 ( ) , r t t g t t= ∈ , hvor g er en differentiabel funktion.

a) Bestem g så r er en naturlig kurveparametrisering. b) Hvad er sporet for r med denne værdi af g?

Opgave 1.5.7. Bevis at kurven i eksempel 1.3.4 er lukket. Hint: Det er nok at kontrollere de første 4 afledte. Sandt/falsk quiz – udsagnene nedenfor skal besvares med sandt eller falsk, og med en begrundelse af dit svar. Udsagn 1.5.8. De to parametriske ligninger 17( ) sin( ), ( ) tx t t y t t e= = fremstiller en differentiabel, parametriseret kurve. Udsagn 1.5.9. En lukket kurve er altid regulær. Udsagn 1.5.10. En kurves hastighed og fart er det samme. Udsagn 1.5.11. Funktionen 3( ) , [ 2;2]f x x x x= − ∈ − kunne godt være en re-parametrisering af en kurve.

25

Figur 2.1. Cirkel med omkreds l, areal A og radius r.

Kapitel 2. Hovedsætning. I dette kapitel vil vi give os i kast med selve beviset for løsningen til det isoperimetriske problem. Hvis du læst kapitel 1 burde du være i stand til at følge argumenterne i beviset. I afsnit 2.1. er 5 lemmaer, som anvendes i beviset. Du kan springe beviset for lemmaerne over i første gennemlæsning, da de ikke er væsentlige i denne sammenhæng.

2.1. Hjælpesætninger til hovedsætning. Lemma 2.1.1: Lad a og b være to positive tal , 0a b > . Så gælder følgende:

(2.1.1) 1 ( )2

a b a b+ ≥

og der gælder lighed hvis og kun hvis a=b. Bevis: Da , 0a b > gælder også at , 0a b > . Det er også klart at

( )20a b− ≥

Derved får vi at:

(2.1.2)

( )2 2 0

2

1 ( )2

a b a b a b

a b a b

a b a b

− = + − ≥

+ ≥

+ ≥

Dermed har vi vist formel (2.1.1). Hvis a=b er det let at se at der bliver lighed i (2.1.1). Hvis vi antager at der er lighed i (2.1.1) er der nødt til at være lighed overalt i (2.1.2) dvs.

( )20a b− =

som kun kan lade sig gøre hvis a=b da både a og b var antaget at være positive. Lemma 2.1.2: Lad C være en cirkel med radius r, omkreds l og areal A (figur 2.1). Så gælder:

26

Figur 2.2. Figur til lemma 2.1.3.

2 4l Aπ=

Bevis: Vi ved at 2A rπ= og at 2l rπ= . Bruger vi dette fås:

2 2 2

22 2

22

2

2 4

4

4

4

l r l rl r

l r A

l A

π π

π

ππ

π

= ⇒ =

⇒ =

⇒ = =

⇒ =

Lemma 2.1.3: Lad f være en kontinuert funktion defineret på et lukket interval [ ; ]I a b= . Antag at ( ) 0 , for alle f t t I≥ ∈ . Så gælder at:

(2.1.3) ( ) 0b

a

f t dt ≥∫

Bevis: Antag at ( ) 0f t = for alle t I∈ . Det vil med andre ord sige at f er den konstante funktion med funktionsværdi 0 på hele intervallet fra a til b. Funktionen f opfylder derfor uligheden:

0 ( ) 0, f t t I≤ ≤ ∀ ∈ Udtrykket ( ) 0b a− ⋅ er derfor både en oversum og en undersum til integralet af f fra a til b. Dette integrale må altså opfylde uligheden:

( ) 0 ( ) ( ) 0b

a

b a f t dt b a− ⋅ ≤ ≤ − ⋅∫

og er derfor nødt til at være nul. Udsagnet i lemmaet er derfor sandt hvis f er nulfunktionen. Antag nu at der findes en t-værdi 0t så 0( ) 0f t > . Da f er kontinuert, så kan vi antage at der findes et positivt tal c, således at f opfylder uligheden:

00

( )( ) ( )2

f tf t f t− <

når t ligger i intervallet 0 0( ; )t c t c− + (se evt. afsnit 3.2). På figur 2.2 ses hvad dette betyder for grafen for f.

27

Figur 2.3. Definition af h i lemma 2.1.4.

Vi ved altså at på hele intervallet 0 0( ; )t c t c− + , der er f nødt til at opfylde uligheden:

0( )( )2

f tf t >

Vi kan nu opskrive en undersum til integralet for f fra a til b.

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

00 0 0

0

0

0

( )( ) 02

0

( ) (2 )2

( )

b

a

f tf t dt t c a t c t c

b t c

f t c

c f t

≥ − − + + − −

+ − +

=

= ⋅

∫

men vi ved jo at både 0( )f t og c er skarpt større end nul, vi har derfor vist at:

0( ) ( ) 0b

a

f t dt c f t≥ ⋅ >∫

som var det vi ville vise. Lemma 2.1.4: Lad f, g være to kontinuerte funktioner defineret på det samme interval [ ; ]I a b= . Antag at ( ) ( ) , for alle f t g t t I≥ ∈ . Så gælder at:

(2.1.4) ( ) ( )b b

a a

f t dt g t dt≥∫ ∫

Bevis: Da ( ) ( )f t g t≥ følger det at:

( ) ( ) ( ) 0, h t f t g t t I= − ≥ ∀ ∈ (figur 2.3).

Da både f og g var antaget at være kontinuerte er differensen af dem, og dermed h det også. Vi har altså en kontinuert funktion h, defineret på et interval I, som opfylder: ( ) 0, h t t I≥ ∀ ∈ . Vi kan nu benytte lemma 2.1.3 til at sige at:

28

( ) 0

( ) ( ) 0

( ) ( )

b

a

b

a

b b

a a

h t dt

f t g t dt

f t dt g t dt

≥

− ≥

≥

∫

∫

∫ ∫

Dermed er lemmaet bevist. Lemma 2.1.5: Lad f være kontinuert på intervallet [ ; ]I a b= . Antag at ( ) 0 , for alle f t t I≥ ∈ . Så gælder at:

(2.1.5) ( ) 0 ( ) 0, b

a

f t dt f t t I= ⇔ = ∀ ∈∫

Bevis: Vi vil bevise de to implikationer i (2.1.5) hver for sig. ”⇐”: Denne implikation viste vi allerede i beviset for lemma 2.1.3.

”⇒ ”: Antag nu at ( ) 0b

a

f t dt =∫ og ( ) 0f t ≥ for alle værdier

af t. Vi vil bevise at f er nødt til at være identisk nul vha. et modstridsbevis. Antag derfor at der eksisterer en t-værdi 0 [ ; ]t a b∈ således at

( )0 0f t > . I beviset for lemma 2.1.3 viste vi, at hvis der findes bare én sådan t-værdi, så bliver integralet af f fra a til b skarpt større end nul – men det er jo en modstrid til vores antagelse om at integralet skulle være nul. Altså er ( )f t nødt til at være nul i alle t-værdier.

Det var de fem små lemmaer, som skal bruges i beviset for løsningen til det isoperimetriske problem. Du er nu klar til at kaste dig over selve hovedsætningen.

29

Figur 2.4. Betegnelser i bevis for hovedsætning.

2.2. Det isoperimetriske problem. Vi vil her bevise sætningen om løsningen til det isoperimetriske problem i alle detaljer. Hvis du har forstået de foregående afsnit skulle du være godt rustet til at forstå beviset for sætningen. Sætning 2.2.1. 4 Lad C være en simpel, lukket og regulær plan kurve med længde l og lad A være arealet afgrænset af C. Så gælder: (2.2.1) 2 4 0l Aπ− ≥ og der gælder lighed hvis, og kun hvis C er en cirkel. Det sætningen med andre ord siger er, at det areal A, som kan begrænses af lukkede kurver med fast omkreds l, er begrænset af et fast tal:

2

4lAπ

≤

og at der gælder lighed hvis og kun hvis C er en cirkel. Bevis: Lad L og L´ være to parallelle linier, som ikke møder C og flyt dem mød hinanden til de første gang møder C. Således opnås to parallelle linier L og L´ så kurven C er helt indeholdt i striben mellem disse. Betragt også en cirkel C , som har både L og L´ som tangent og som ikke møder C. Lad O være centrum i C og tag et koordinatsystem, med begyndelse i O og x-aksen vinkelret på L og L´. Lad afstanden mellem L og L´ være 2R. Dermed bliver radius i C lig R. Som vi har set i sætning 1.4.3. så kan C re-parametriseres så den får en naturlig kurveparametrisering, og så den er positivt orienteret. Denne parametrisering vil vi betegne med:

( )( ) ( ), ( ) , [0; ]r s x s y s s l= ∈ Lad C være parametriseret ved ( )( ) ( ), ( ) , [0; ]r s x s y s s l= ∈ hvor x og y er givet ved: 4 Se [DC] for en alternativ gennemgang af denne sætning.

30

( )

( )

220

220

( ) ( )

( ) , 0( )

( ) ,

x s x s

R x s s sy s

R x s s s l

=

⎧ − ≤ ≤⎪= ⎨⎪− − ≤ ≤⎩

Hvis vi regner efter, så kan vi se at:

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x s y s x s R x s R+ = + − =

og dermed at punkterne ( ( ), ( ))x s y s ligger på en cirkel med radius R. Idet ( ) ( )x s x s= er vi endvidere sikre på at komme hele vejen rundt i cirklen. Det er dog vigtigt at bemærke at parametriseringen af C ikke nødvendigvis er 1-1 – eller sagt på en anden måde: Hvis vi følger parametriseringen rundt i cirklen er det ikke sikkert vi kører samme vej hele tiden, men nogle gange kører den anden vej for så at skifte igen. Den pointe vi vil have frem her er, at startpunkt er lig slutpunkt og at vi kun kører én gang rundt i cirklen. Vi ved fra sætning 1.3.5. og bemærkningen umiddelbart efter, hvordan vi skal beregne arealerne afgrænset af C(=A) og C (= A ):

0

( ) (́ )l

A x s y s ds= ∫

2

0 0

( ) (́ ) ( ) ´( )l l

R A y s x s ds y s x s dsπ = = − = −∫ ∫

Bm: Fremover skriver jeg ikke at funktionerne afhænger af variablen s - det er underforstået. Dermed har vi at:

(2.2.2) ( )2

0 0 0

´ ´ ´ ´l l l

A R xy ds yx ds xy yx dsπ+ = − = −∫ ∫ ∫

Idet der gælder at:

(2.2.3) ( ) ( )( )2 2 2 2 2( ´ ´) ´ ´ ( ´) ( )́xy yx xy yx x y x y− ≤ − ≤ + +

31

så kan vi bruge lemma 2.1.4. til at vise, at der gælder:

(2.2.4) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

0 0

2 22 2

0

´ ´ ´ ´

´ ´

l l

l

xy yx ds xy yx ds

x y x y ds

− ≤ −

≤ + +

∫ ∫

∫

Da C er givet ved en naturlig kurveparametrisering gælder at:

( ) ( )2 2´( ) ´ ´ 1r t x y= + =

og for parametriseringen af C gælder at:

2 2 2x y R+ =

da C jo er en cirkel med radius R. Indsætter vi disse to identiteter i det sidste integrale i (2.2.4), så får vi følgende:

(2.2.5) ( ) ( ) ( )( )2 22 2

0 0

´ ´l l

x y x y ds Rds Rl+ + = =∫ ∫

og dermed altså idet vi sammensætter resultaterne fra (2.2.2), (2.2.4) og (2.2.5) at: (2.2.6) 2A R Rlπ+ ≤ Bruger vi nu lemma 2.1.1 på de to positive tal A og 2Rπ , og anvender uligheden i (2.2.6), så ser vi at:

(2.2.7)

( )2 2

2 2 2

2 2 2

2

1 12 2

14

4

4 0

A R A R lR

A R l R

AR l R

l A

π π

π

π

π

≤ + ≤

≤

≤

− ≥

Dette viser altså formel (2.2.1).

32

Det vi mangler at vise nu er at: (2.2.8) 2 4 er en cirkell A Cπ= ⇔ " ":⇐ Antag at C er en cirkel. Da C har både L og L´ som tangenter er den nødt til at have radius r og er dermed en cirkel svarende til C . Lemma 2.1.2 viser at der generelt gælder for cirkler at:

2 4 ( )omkreds arealπ= benytter vi dette, så har vi altså at:

2 4l Aπ= og vi har dermed vist den ene implikation i (2.2.8). " ":⇒ Antag nu at 2 4l Aπ= . Af dette følger at:

(2.2.9)

2

2 2 2

2

4

4

1 , , , 02

l A

l R AR

A R lR da A R l

π

π

π

=

=

= >

Dermed har vi lighed overalt i (2.2.7) og lemma 2.1.1 fortæller os så at de to positive tal A og 2Rπ er nødt til at være ens. Indsættes dette i sidste ligning i (2.2.9) fås:

2 1 2

2

R lR

lR

π

π

=

=

Af dette ses at R = radius i C kun afhænger af omkredsen af C og altså ikke af retningen af L og L´. Lighed i (2.2.7) betyder yderligere at der må være lighed i (2.2.6) og dermed at der må gælde lighed i ligning (2.2.4).

33

Det følger af (2.2.3) at:

( )( )( )

2 2 2 2

2

( ) ( ) ( ) (́ ) (́ )

( ) (́ ) ( ) (́ ) 0, [0; ]

f s x s y s x s y s

x s y s y s x s s l

= + +

− − ≥ ∀ ∈

og dermed at f er en positiv funktion. Bruger vi nu lemma 2.1.3 ser vi altså at:

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 2

0 0

( ) ´ ´ ´ ´

0

l l

f s ds x y x y xy yx ds⎛ ⎞= + + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

≥

∫ ∫

Men lighed i (2.2.4) medfører at:

0

( ) 0l

f s ds =∫

og da f er en positiv funktion på hele integrationsintervallet har vi fra lemma 2.1.5 at f=0, hvoraf følger at:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2 22 2

2 2 22 2

2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

´ ´ ´ ´ 0

´ ´ ´ ´

´ ´ ´ ´

´ ´ ´ ´ ´ ´ 2 ´ ´ 0

´ ´ 2 ´ ´ 0

´ ´ 0

´ ´ 0 ´ ´

´ ´

x y x y xy yx

x y x y xy yx

x y x y xy yx

xx xy yx yy xy yx xx y y

xx yy xx y y

xx yy

xx yy xx yy

x yy x

+ + − − =

+ + = −

+ + = −

+ + + − − + =

+ + =

+ =

+ = ⇔ = −

= −

34

Dvs. ( , )x y er proportional til ( ,́ )́y x− med en eller anden ukendt proportionalitetsfaktor g, som kan være en konstant, eller en funktion af s, det ved vi endnu ikke: (2.2.10) ́, ´x gy y gx= =− Vi så i (2.2.3) at der gælder:

( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2 ´ ´ ´ ´x y x y R xy yx+ + = ≥ −

og dermed at f givet ved:

( )( ) ( ) (́ ) ( ) (́ )f s R x s y s y s x s= − −

er en positiv funktion. Fra lighedstegnet i (2.2.4) ved vi desuden at:

( )( )0 0

( ) ( ) (́ ) ( ) (́ ) 0l l

f s ds R x s y s y s x s ds= − − =∫ ∫

Da f var positiv bruger vi igen lemma 2.1.5 som fortæller os at f=0, dvs.

´ ´ 0R xy yx− + = Indsætter vi nu værdierne for x og y fra ligning (2.2.10), så får vi at:

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2

2 2

´ ´ 0

´ ´ 0

0,

R g y g x

R g y x

R g da C har en naturlig kurveparametrisering

R g

− − =

− + =

− =

=

dvs. at g er en konstant og at: (2.2.11) ,́ ´x Ry y Rx= = −

35

Figur 2.5. Skift af koordinater.

Vi har tidligere set at R er uafhængig af hvilken retning L og L´ har, vi kan derfor tillade os at bytte om på koordinatakserne som vist på figur 2.5. Gennemfører vi alle de ovenstående beregninger, blot hvor vi har byttet om på x og y, så får vi følgende ligning, som er en pendant til (2.2.11): (2.2.12) ´y Rx= − Ud fra ligningerne (2.2.11) og (2.2.12) ses det at:

( ) ( )( )2 22 2 2 2´ ´x y R y x R+ = + − =

idet C var givet ved en naturlig kurveparametrisering. Hermed har vi vist at r beskriver en cirkel med radius R, hvilket færdiggør beviset. Beviset kan godt virke lidt uoverskueligt ved første gennemlæsning, men prøv at læs det igen og prøv at finde en struktur i beviset. Først beviser vi at simple, lukkede og regulære plane kurver med længde l er nødt til at opfylde uligheden i (2.2.1) – dette er hovedindholdet i (2.2.7). Herefter beviser vi at der kun kan gælde lighedstegn i uligheden hvis C er en cirkel, og omvendt at der gælder lighedstegn, hvis C er en cirkel. Har vi nu bevist sætningen om det isoperimetriske problem? I praksis er svaret ja, der er dog nogle små detaljer i beviset, som vi har sprunget let og elegant hen over. Bemærkninger: - på side 28 har vi defineret kurven r på intervallet [0; ]l , hvor l er kurvens længde, men hvordan kan vi være sikre på at det kan lade sig gøre; jo det har noget at gøre med at r er givet ved en naturlig kurveparametrisering, idet parameteren i sådanne tilfælde faktisk måler hvor lang kurven er. Dette vil vi komme nærmere ind på i afsnit 3.4.

36

- i lemma 2.1.3 har vi kun gennemført beviset, hvis 0t ligger i det åbne interval fra a til b. Hvad nu hvis 0t a= eller

0t b= . Lemmaet er selvfølgelig stadig korrekt, men der skal ændres små ting i beviset. Dette vil jeg overlade til læseren af gennemføre (opgave 2.3.1). - på side 28 påstod vi at parameteren kan vælges, således at værdien s = 0 korresponderer med et vilkårligt punkt på sporet for r. Dette er også et af de emner, som vi vil komme nærmere ind på i afsnit 3.4. Lader vi som at disse ’småfejl’ er på plads, så har vi nu bevist sætningen til bunds. Det smukke ved netop dette bevis er, at der indbygget i beviset er en konstruktion af den kurve, som giver lighedstegn i uligheden – altså cirklen. Mange af de første forsøg på at bevise sætningen tog ikke højde for at dette kunne være et problem. Disse overvejelser vil vi komme nærmere ind på i kapitel 6.

37

2.3. Opgaver til Kapitel 2. Opgave 2.3.1. Reparer beviset for lemma 2.1.3 jf. bemærkningen på side 30. Opgave 2.3.2. Gennemfør udregningerne med x og y byttet om overbevis dig om at (2.2.12) er korrekt. Opgave 2.3.3. Antag i lemma 2.1.3 at ( ) 0, f t t I> ∀ ∈ , altså at f er skarpt større end nul. Gælder der så tilsvarende for integralet af f at:

( ) 0b

a

f t dt >∫

Opgave 2.3.4. På side 25 argumenterer vi for at ligheden ( ) ( )x s x s= er nok til at sikre at parametriseringen af C fører os hele vejen rundt i cirklen – hvorfor er det sandt? Opgave 2.3.5. Bevis at ulighederne i (2.2.3) er rigtige. Opgave 2.3.6. Bevis at uligheden i (2.2.6) er sand. Sandt/falsk quiz. Udsagn 2.3.7. Uligheden i lemma 2.1.1. er også sand hvis det ene af de to tal a og b er nul. Udsagn 2.3.8. Der gælder lighed i (2.1.4) hvis og kun hvis f g= .

38

Figur 3.1. Hjul, der ruller.

Figur 3.2. Retningsvektorer.

2 4 6 8 10 12

0.5

1

1.5

2

Figur 3.3. Cycloiden ved 2 gennemløb

Kapitel 3. Parametriserede Kurver. Vi skal i dette kapitel undersøge nogle flere af egenskaberne ved parametriserede kurver, bl.a. hvordan man kan beregne længden af en kurve.

3.1. Mere om parametriserede kurver. For at få begrebet ’en kurve’ lidt længere ind under huden, så vil vi gennemgå nogle flere eksempler på forskellige kurver. Eksempel 3.1.1. Forestil dig at vi har et hjul med radius a, som ruller med jævn fart hen af x-aksen. På hjulet har vi markeret et punkt p (figur 3.1). Nu kunne vi godt tænke os at finde en parametrisering af den kurve, punktet p beskriver når hjulet ruller to omgange. Vi vil kalde den vinkel, der svarer til det buestykke hjulet har rullet t, og antager, at til t=0 befinder p sig i punktet (0,0). Følger vi først centrum for hjulet, så ser vi for det første at det har konstant y-værdi lig a. x-værdien svarer derimod til det buestykke hjulet har rullet, dvs. a t⋅ . Vi har altså at:

( ),centrumr at a= er retningsvektor for hjulets centrum. Ser vi nu på punktet p’s bevægelse i forhold til hjulets centrum (figur 3.2.), så er det klart (overbevis dig selv om at dette er rigtigt), at en retningsvektor for p i forhold til centrum er:

( ), sin( ), cos( )p centrumr a t a t= − − Adderer vi nu disse vektorer, så får vi den vektor, som angiver p’s position, når hjulet har rullet det der svarer til en vinkel på t:

( )( sin( )), (1 cos( ))pr a t t a t= − − Lader vi hjulet rulle to omgange beskriver p kurven på figur 3.3. Denne kurve kaldes en cycloide.

39

Figur 3.4. Figur til opgave 3.1.2.

Opgave 3.1.2. Forestil dig nu at vi stadig har hjulet med radius a, der ruller, men at punktet p befinder sig på et hjul med radius b, som følger det første hjul (figur 3.4).

1) Vis at vektoren, som angiver p’s position nu er givet ved: ( )sin( ), cos( )pr at b t a b t= − − , hvor t som i 3.1.1 angiver vinklen.

2) Skitser den kurve p beskriver når hjulet drejer 2 omgange for a=1 og b=½.

3) Skitser kurven for a=1 og b=2. Den kurve, som opstår kan faktisk godt findes, som grafen for en funktion, med det er betydeligt nemmere at beskrive den ved hjælp af koordinatfunktioner som ovenfor fordi denne funktion er svær at beregne:

1 2( ) cos 2a yx f y a ay ya

− −⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∓

Prøv selv for sjov at isolere y i denne ligning. Lad os nu skrive den formelle definition af, hvad en kurve i planen egentlig er givet som: Definition 3.1.3: En parametriseret kurve i planen C består af et ordnet par af differentiable funktioner (f,g) begge defineret på det samme interval I. Ligningerne: ( ) ( ), ( ) ( ),x t f t y t g t t I= = ∈ kaldes kurven C’s parametriske ligninger og variablen t kaldes parameteren for kurven. Eksempel 3.1.4: Cykloiden i eksempel 3.1.1 er en parametriseret kurve givet ved

( ) [ ]( sin( )), (1 cos( )) , 0, 4a t t a t t π− − ∈ Cykloidens parametriske ligninger er:

( ) ( sin( ))( ) (1 cos( ))

x t a t ty t a t

= −= −

.

For at lette notationen, har vi også betegnelsen r, for retningsvektoren til et punkt givet ved en kurveparametrisering 2:r I → givet ved: (3.2.1) ( ) ( ( ), ( ))r t x t y t=

40

Ligning (3.2.1) vil vi kalde kurvens parameterfremstilling. Eksempel 3.1.5. Hvis ( )1 2, 4p = og ( )2 1, 1p = − er to vektorer i planen, så giver

( )1 2( ) 2, 4 (1, 1),r t p tp t t= + = + − ∈

parameterfremstillingen for en ret linie i planen. Den delmængde af planen som en parametriseret kurve r beskriver, har vi også tidligere betegnet med sporet af r eller spor(r). Dvs. ( )spor r =mængden af de punkter, som r gennemløber eller sagt på en lidt finere måde:

( ){ }2( ) , | , ( ), ( )spor r a b t I a x t b y t= ∈ ∃ ∈ = = I de tilfælde, hvor t er defineret på et interval [a;b] kalder vi r(a) for kurvens startpunkt og r(b) kurvens slutpunkt. Nogen gange har vi en parametriseret kurve, hvor r(a)=r(b) dvs. startpunktet er det samme som slutpunktet – det er det som svarer til at vi i kapitel 1 limede enderne på vores snor sammen. I disse tilfælde kalder vi kurven en semi-lukket parametriseret kurve. Opgave 3.1.6. Lad 1r og 2r være de to parametriseringer givet ved nedenstående ligninger.

( )( )

1

2

( ) cos( ),sin( )

( ) cos(2 ),sin(2 )

r t t t

r t t t

=

= [0; ], 0t b b∈ >

1) Skitser kurverne for b=1 og b=10. 2) Find et b så lille som muligt, så de to kurver har det

samme spor. 3) Bestem alle værdier af b således at begge kurver er

semi-lukkede. 4) Find alle værdier af b, for hvilke de to kurver har

samme spor.

41

Figur 3.7.

Figur 3.8.

3.2. Grænseværdi og kontinuitet. I studiet af kurver har vi brug for nogle redskaber til at undersøge, hvordan funktioner opfører sig i nærheden af et givet punkt. Denne teori er også meget brugt i almindelig funktionsanalyse og differentialregning så lad os bruge lidt tid til at stifte bekendtskab med de grundlæggende begreber indenfor dette område. Lad os undersøge, hvordan funktionen f givet ved:

2( )f x x= opfører sig for værdier af x, som ligger tæt ved a=2. x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1

( )f x 3.61 3.9601 3.996 4.004 4.0401 4.41

Tabel 3.6. Opførsel af f nær x=2. Af tabellen og grafen ses at jo nærmere x kommer på 2 (fra begge sider, dog uden at være lig 2), jo nærmere kommer f(x) på 4. Det ser faktisk ud til at vi kan få f(x) til at ligge så tæt på 4 som vi har lyst til bare vi sørger for at x er tæt nok på 2. Vi vil sige at: grænseværdien for f(x) er 4 når x går mod 2 og skrive det på denne måde:

2lim ( ) 4x

f x→

=

Lim(limes) er latin og betyder grænseværdi. Ser vi i stedet på funktionen g givet ved:

1( ) , 0g x xx

= ≠

og vil undersøge, hvordan funktionen opfører sig når x går mod 0 er billedet et lidt andet. For det første er g slet ikke defineret i 0, men i vores analyse er vi også kun interesserede i g’s opførsel for x-værdier nær 0, men ikke lig nul. For det andet ser det ud til at g’s grænseværdi afhænger af fra hvilken side x nærmer sig nul. Når vi nærmer os fra venstre går g(x) mod −∞ og når vi nærmer os fra højre går g(x) mod +∞ (figur 3.8).

42

Figur 3.9.

Figur 3.10.

Definition 3.2.1: En funktion f siges at være defineret i en omegn af x a= , hvis f er defineret i et interval, som indeholder a, men f behøver ikke være defineret i a. Sagt på en anden måde: f er defineret i en omegn af x a= , hvis der eksisterer et tal 0c > således at f er defineret på intervallet ( ),a c a c− + men ikke nødvendigvis i a (figur 3.9).

Funktionen 1( ) , 0g x xx

= ≠ er defineret i en omegn af a=0

men ikke i 0. Definition 3.2.2: 5 Vi vil sige at f(x) går mod K for x gående mod a, hvis f er defineret i en omegn af a og hvis vi kan få f(x) så tæt på K som vi har lyst til ved at lade x komme tættere og tættere på a. Dvs. givet et vilkårligt lille tal d>0 så findes et andet lille tal c>0 således at når x tilhører ( )( ) ( )a c a c− ∪ + så er

forskellen mellem f(x) og K mindre end d: ( )f x K d− < . Dette vil vi skrive som:

lim ( )x a

f x K→

=

Det definitionen siger, er altså at for at vi kan tale om at f(x) går mod et tal, så skal vi sikre os at vi kan komme så tæt på dette tal som vi måtte have lyst til. Tallet d angiver hvor tæt på K vi har lyst til at komme, og tallet c angiver at indenfor intervallet ( ; )a c a c− + , der er vi sikre på at afstanden mellem f(x) og K er mindre end d (figur 3.10). Eksempel 3.2.3: Lad os forsøge at bruge definitionen til at vise at grænseværdien af ( ) 4f x x= er lig 4a når x går mod a, som den jo gerne skulle være. Lad d>0 være et vilkårligt tal. For at vise at ( )f x går mod 4a når x går mod a, så skal vi finde et tal c>0, således at

( ) 4f x a d− < når 0 x a c< − < . Kravet er altså at 4 4x a− skal være skarpt mindre end d. Lad os se, hvad vi kan gøre ved den ulighed:

5 Se [TL] s. 180-187 og 198-205 for en gennemgang af grænseværdi og kontinuitet.

43

Figur 3.11.

4 4

4( )

4

4

x a d

x a d

x a d

dx a

− <

− <

− <

− <

Vi har hermed vist at når x a− er mindre end 4d så er vores

krav opfyldt. Lader vi c være lig 4d , så har vi altså vist at f

går mod 4a når x går mod a. Lad os se på funktionen h givet ved:

1, 0( ) 0, 0

1, 0

xh x x

x

− <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩ , (figur 3.11)

Den er defineret i en omegn af a=0, men har ikke en grænseværdi i a=0 fordi h går mod forskellige værdier når x går mod 0 fra højre og venstre. Ofte er de funktioner vi undersøger kun defineret på et interval eller også (som vi har set) er der et eller flere punkter, hvor funktionen ikke er defineret. I disse tilfælde kan det ofte være gavnligt at undersøge grænseværdierne fra højre og venstre hver for sig. Definition 3.2.4: Hvis der eksisterer et 0c > således at f er defineret på intervallet (a,a+c) og går mod K når x går mod a fra højre siger vi at f har grænseværdien K fra højre når x går mod a og skriver:

lim ( )x a

f x K+→

=

Hvis der eksisterer et 0c > således at f er defineret på intervallet (a-c,a) og går mod K når x går mod a fra venstre siger vi at f har grænseværdien K fra venstre når x går mod a og skriver:

lim ( )x a

f x K−→

=

44

Figur 3.12.

Figur 3.13.

Eksempel 3.2.5: Lad f være givet ved: 3( ) 3, ( 2;3]f x x x x= − + ∈ −

På figur 3.12 ses grafen for f. Undersøger vi endepunkterne x=-2 og x=3, så kan vi se at:

2lim ( ) 3

xf x

+→−= − og

3lim ( ) 27x

f x−→

= , selvom f ikke er defineret

i x=-2. Som lovet i overskriften, så skal dette afsnit også omhandle begrebet kontinuitet. Grunden til at vi først har set lidt nærmere på hvad der forstås ved grænseværdier, er at disse to ting faktisk er nært knyttede. Kontinuitet kan forstås rent intuitivt, som det at grafen for en funktion ikke har nogen pludselige spring eller huller (vi kan tegne hele grafen uden at løfte blyanten fra papiret). Ofte kan det dog være svært blot ud fra en graf at se om den er sammenhængende eller ej. På figur 3.13 har vi grafen for en funktion, som tilsyneladende er kontinuert, men zoomer vi ind, så kan vi se at der faktisk er et hul i grafen. Altså ville en konklusion om af funktionen var kontinuert være forkert i dette tilfælde. Vi har altså behov for et stærkere værktøj til at afgøre om en funktion er kontinuert end blot at se om grafen er sammenhængende og det er her at grænseværdierne kommer i spil. Inden vi kan se sammenhængen, skal vi dog se hvad vi formelt vil forstå ved at en funktion er kontinuert. Definition 3.2.6. Lad f være en funktion med definitionsmængde fD . Vi vil kalde f kontinuert i et punkt 0 fx D∈ hvis følgende er opfyldt: Givet et vilkårligt d>0 så skal der eksistere et c>0 således at

0( ) ( )f x f x d− < for alle x i 0 0( , ) fx c x c D− + ∩ . Vi vil kalde f kontinuert, hvis den er kontinuert i alle punkter i definitionsmængden for f.

45

Figur 3.14.

Betydningen af c og d er her, at lige meget hvor lille d bliver valgt, så skal vi kunne finde et c således at grafen for f over intervallet 0 0( , )x c x c− + ligger klemt inde mellem to vandrette linier med højde 0( )f x d− og 0( )f x d+ (figur 3.14). Som du kan se, så minder denne definition meget om definitionen af grænseværdi. Forskellen er at vi nu kræver at funktionen skal være defineret i det punkt vi undersøger, det var ikke nødvendigt for at tale om grænseværdien i et punkt. Sammenhængen mellem kontinuitet og grænseværdibegrebet er følgende: Observation 3.27. En funktion defineret på intervallet [ ; ]a b er kontinuert i et indre punkt 0 ( ; )x a b∈ hvis og kun hvis

00lim ( ) ( )

x xf x f x

→= . Yderligere gælder at f er kontinuert i

det venstre endepunkt a hvis og kun hvis lim ( ) ( )x a

f x f a+→

=

og den er kontinuert i det højre endepunkt hvis og kun hvis lim ( ) ( )x b

f x f b−→

= .

Ikke nok med at denne observation giver os sammenhængen mellem kontinuitet og grænseværdi, den giver os også et redskab til i visse tilfælde at bestemme grænseværdi i et punkt eller bestemme om en givet funktion er kontinuert i et punkt. Eksempel 3.2.8. Lad f være givet ved:

( )( )( ) tan cos4

xef x xπ−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Lad os finde grænseværdien:

( )( )0

lim tan cos4

x

x

exπ−

→

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

hvis den eksisterer. Det ligner næsten en håbløs opgave, men ser vi efter, så kan vi se at f er kontinuert, da den er sammensat af kontinuerte funktioner, og så gælder der ifølge vores observation at

0lim ( ) (0)x

f x f→

= , det vil sige at:

46

( )( ) ( )( )0

0lim tan cos tan cos 0

4 4

1 tan 14

tan 14

x

x

e exπ π

π

π

− −

→

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Du ved nu nok om kontinuitet og grænseværdier til det formål vi skal bruge her, men har du lyst til at læse mere er [TL] en virkelig god bog, som bl.a. beskæftiger sig med dette emne.

47

Figur 3.15. Tangent.

3.3. Tangenter og differentiation. Hvis vi har en almindelig differentiabel funktion f givet ved

31( ) ,3

f x x x= ∈

så ved vi fra vores ’børnelærdom’ at

2

0

( ) ( )´( ) limh

f a h f af a ah→

+ −= =

angiver hældningen for tangenten til grafen for f i punktet (a,f(a)) (figur 3.15). Vi kunne også godt tænke os, at vi var i stand til at finde tangenter til parametriserede kurver. Men hvordan skal vi definere den afledte til parameterfremstillingen r, når r er en vektorfunktion, og har denne afledte overhovedet noget med tangenten at gøre? Jo, det er såmænd ikke så svært, at svare på. Lad os starte med den afledte! Vi starter med en eller anden parameterfremstilling af en parametriseret kurve:

( ) ( ( ), ( ))r t x t y t= og definerer:

0

( ) ( )'( ) limh

r t h r tr th→

+ −=

hvis denne grænseværdi eksisterer. For bedre at kunne beregne '( )r t i praksis uden at skulle bruge denne besværlige definition, så har vi følgende resultat: Sætning 3.3.1. Hvis ( ) ( ( ), ( ))r t x t y t= er en kurveparametrisering, så gælder, at:

'( ) ( '( ), '( ))r t x t y t= Bemærk først og fremmest at dette kan lade sig gøre, fordi både x(t) og y(t) er antaget at være differentiable (Def. 3.1.3.), og at r dermed bliver differentiabel.

48

Figur 3.15.

Bevis for 3.3.1.

'( )r t ( ) ( )limh o

r t h r th→

+ −=

0

( ( ), ( )) ( ( ), ( ))limh

x t h y t h x t y th→

+ + −=

0

0

0

( ( ) ( ), ( ) ( ))lim

( ) ( ) ( ) ( )lim( , )

( ) ( ) ( ) ( )(lim , lim )

( '( ), '( ))

h

h

h h o

x t h x t y t h y th

x t h x t y t h y th h

x t h x t y t h y th h

x t y t

→

→

→ →

+ − + −=

+ − + −=

+ − + −=

=

Det sætningen siger er altså, hvordan vi kan beregne den afledte, men også at den afledte igen er en vektorfunktion, som til en t værdi giver vektoren:

( '( ), '( ))x t y t Det er jo meget godt, men det var tangenten vi var ude efter, så hvilken sammenhæng har r’(t) mon med tangenten? På figur 3.15 ses en parametriseret kurve med to stedvektorer

( )r t og ( )r t h+ , dvs. stedvektorerne til et tidspunkt t og lidt senere. Desuden ses vektoren ( ) ( )r t h r t+ − , som er en sekant til kurven.

Hvis h er større end nul, så har vektoren 1 ( ( ) ( ))r t h r th

+ −

samme retning som vektoren ( ) ( )r t h r t+ − . Lader vi nu h gå mod nul, så ser vi at sekanten nærmer sig mere og mere til en vektor, som ligger på tangentlinien. Derfor kalder vi '( )r t for tangentvektoren til den parametriserede kurve givet ved r i punktet ( ( ), ( ))P x t y t= . Lad os se på nogle eksempler. Eksempel 3.3.2. Lad r være givet ved:

3 1( ) , 2 , [1;3]r t t t t tt

⎛ ⎞= − − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Beregner vi den afledte, så får vi: 2

2

1(́ ) 3 1, 2r t tt

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

49

Figur 3.16.

Figur 3.17. Ændring i tangentvektor.

Dvs. en tangentvektor for r hørende til t-værdien 2 er givet

ved: 9(́2) 11,4

r ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(figur 3.16).

Vektoren (́ )r t , hvis den eksisterer og er forskellig fra nul, er en vektor som peger langs kurven i retningen, som kurven bevæger sig i for voksende t-værdier. Vi har tidligere nævnt at en regulær kurve ikke kan skifte orientering – lad os nu se om vi kan overbevise os om at det er rigtigt. Vi har antaget at kurverne vi kigger på er differentiable, dette medfører bl.a. at (́ )x t og (́ )y t altid er kontinuerte funktioner. Hvis vi pludselig skulle begynde at bevæge os den anden vej langs kurven, stadig for voksende t-værdier, så ville

(́ )r t altså være nødt til at pege i modsat retning, men da både (́ )x t og (́ )y t er kontinuerte, så kan (́ )r t kun ændre sig

kontinuert. På figur 3.17 har vi afsat tangentvektorerne til en givet kurve vinkelret ned på en t-akse. Hvis (́ )r t skal gå fra at pege i en retning og så ændres kontinuert til at pege i den anden retning langs kurven, så ser det altså ud som om den på et eller andet tidspunkt er nødt til at være nul. Men hvis vi kræver at kurven skal være regulær, altså at

(́ ) 0r t ≠ for alle værdier af t, så kan det jo aldrig lade sig gøre – altså kan en regulær kurve aldrig skifte orientering. Beviset for dette ligger lidt uden for det vi skal bruge her, men det kører på at vise at hvis (́ )r t skal skifte retning, så er den nødt til på et eller andet tidspunkt at være nul – og det er her at kontinuiteten af (́ )x t og (́ )y t spiller en væsentlig rolle. Det gør den fordi, man kan vise at: Hvis en kontinuert funktion f defineret på et lukket, begrænset interval [ ; ]a b opfylder at ( ) 0f a > og ( ) 0f b < så eksisterer der et

( ; )c a b∈ således at ( ) 0f c = .

50

Figur 3.18. Hvad er længden af den røde wire?

Figur 3.19. Approksimation til grafen for f.

Figur 3.20. En lidt bedre approksimation til grafen for f.

3.4. Parametriserede kurver og buelængde.

3.4.1. Længden af grafen for en funktion. I dette afsnit vil vi med f betegne en kontinuert funktion defineret på et lukket endeligt interval [a;b] således at f er differentiabel og f´ er kontinuert. Hvis vi betragter den kurve, som fremkommer ved at tegne grafen for f, så kunne vi godt tænke os at vide, hvor lang denne kurve er. Hvis man f.eks. gerne vil vide, hvor lang den stålwire der holder en hængebro oppe skal være, så er det nødvendigt at kunne beregne dette. Lad os betegne den kurve vi interesserer os for med bogstavet C (for Curve) og betegne længden af grafen med

CL . Hvis vi ser på figur 3.19, så kan vi se, at længden af den rette linie fra (a,f(a)) til (b,f(b)) er en dårlig approksimation til kurven. Vi kan finde længden L af den rette linie, ved forskriften:

( ) ( )2 2( ) ( )L f b f a b a= − + − Den approksimation til kurvens længde vi har fundet er ikke særlig tilfredsstillende, og man kunne sagtens konstruere eksempler, hvor den ville være endnu dårligere end her; så med ordene fra en tidligere dansk statsminister:

”kan vi ikke gøre det lidt bedre?” Hvis vi indskyder et punkt c mellem a og b, således at a<c<b kan vi ud fra figur 3.20 se at vi kan finde længden af denne tilnærmelse som længden af de to liniestykker:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )L f b f c b c f c f a c a= − + − + − + − Dette er helt klart en bedre approksimation til kurvens længde end den første. Det giver os ideen til at opdele intervallet [ ],a b i endnu flere mindre delintervaller, så vi får:

0 1 2 1............... n na x x x x x b+= < < < < < =

51

Figur 3.21. En god approksimation til grafen for f.

Vi betegner punkterne 0 1( ),............., ( )nf x f x + med

0 1,.......... nP P + , og liniestykket mellem 1 og i iP P+ med 1iL + . Vi kan se at ”polygonen”(mangekanten) med hjørner i

0 1,.......... nP P + er en bedre approksimation til kurven C end de foregående approksimationer (figur 3.21). Jo mindre intervallerne på x-aksen bliver, jo bedre en approksimation har vi til kurven. En måde at gøre intervallerne mindre på er ved at inddele i endnu flere små intervaller – eller hvad der svarer til at øge n. Vi kan beregne længden af liniestykkerne iL ,

1, 2,.........., 1i n= + :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 21 1 0 1 0

2 22 2 1 2 1

2 21 1 1

( ) ( )

( ) ( )

.

.

.

( ) ( )n n n n n

L x x f x f x

L x x f x f x

L x x f x f x+ + +

= − + −

= − + −

= − + −

Bruger vi dette til at beregne den samlede længde L af liniestykkerne, så får vi:

(3.5.1)

( ) ( )

1 2 1

10

2 21 1

0

..................

( ) ( )

n

n

ii

n

i i i ii

L L L L

L

x x f x f x

+

+=

+ +=

= + + +

=

= − + −

∑

∑

Da f var antaget både at være kontinuert og differentiabel, så kan vi bruge middelværdisætningen (se evt. afsnit 5.2.1), som fortæller os at der må eksistere et punkt ix i intervallet

1( , )i ix x + for alle 1,......, 1i n= + således at:

52

(3.5.2)

1 0 0 1 0

2 1 1 2 1

1 1

( ) ( ) (́ )( )( ) ( ) ´( )( )

.

.( ) ( ) (́ )( )n n n n n

f x f x f x x xf x f x f x x x

f x f x f x x x+ +

− = −− = −

− = −

Indsætter vi dette i (3.5.1), så får vi:

(3.5.3)

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 21 1

0

2 221 1

0

21 1

0

21

0

( ) ( )

(́ )

1 (́ ) ,

1 (́ ) ,

n

i i i ii

n

i i i i ii

n

i i i i ii

n

i i i i ii

L x x f x f x

x x f x x x

f x x x da x x

f x x hvor x x x

+ +=

+ +=

+ +=

+=

= − + −

= − + −

= + − >

= + = −

∑

∑

∑

∑

Gør vi nu inddelingen af intervallet fra a til b endnu finere, altså øger n bliver polygonen en bedre og bedre tilnærmelse til grafen. Ser vi nærmere på sidste sum i (3.5.3), så kan vi se at det er en tilnærmelse til arealet mellem x-aksen og funktionen h givet ved 2( ) 1 ´( )h x f x= + . Da f´ er kontinuert er h det også. Fra analysens fundamentalsætning ved vi så at h er integrabel. Endvidere ved vi, at hvis vi øger n, altså gør inddelingen af intervallet fra a til b finere, så vil summen nærme sig til integralet af h:

2

2

0

( ) 1 ´( )

lim 1 (́ )

b b

a a

n

i in i

h x dx f x dx

f x x→∞

=

= +

= +

∫ ∫

∑

Det leder os til følgende definition:

53

Figur 3.21. Graf for funktionen i eksempel 3.4.2.

Figur 3.22. Til eksempel 3.4.3.

Definition 3.4.1 : Lad f være en kontinuert differentiabel funktion defineret på intervallet [ ];a b . Så gælder:

(3.5.4) ( )21 (́ )b

fa

L f x dx= + < ∞∫

hvor fL betegner længden af grafen for f. Bemærk at vi også har angivet at længden vil være endelig. Vi har nu set hvordan metoden til beregning af længden af grafer kan udledes – lad os nu se på nogle eksempler. Eksempel 3.4.2. Lad funktionen f være givet ved:

( ) , [ ; ], f x x x a b b a= ∈ > Anvender vi simpel trigonometri på den trekant, som naturligt opstår (se figur 3.21), så kan vi udregne længden af grafen for f til:

( )2fL b a= − Lad os se om vi får det samme resultat ved at bruge formel (3.5.4):

( )

( )

( )

2

2

1 (́ )

1 1

2

2

b

fab

a

b

a

L f x dx

dx

dx

b a

= +

= +

=

= −

∫

∫

∫

Vi får altså det samme resultat, som vi også helt skulle. Lad os se på endnu et ”nemt” eksempel. Eksempel 3.4.3. Lad f være givet ved:

32( ) 10, [1;3]f x x x= + ∈ , (figur 3.22)

Differentierer vi f og indsætter i formel (3.5.4), så får vi:

54

Figur 3.23. Grafen for funktionen i eksempel 3.4.4.

23 12

1

3

1

312

9 14

fL x dx

xdx

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= +

∫

∫

Substituerer vi nu 9 91 , 4 4

u x du dx= + = , så får vi i stedet 214

134

213 42

134

3 32 2

49

4 2 9 3

8 21 13 27 4 4

fL udu

u

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

Som det ses kan udregningerne blive svære og i mange tilfælde vil integralet være umuligt at beregne uden anvendelse af en numerisk metode, eller et kraftigt regneprogram. Det næste eksempel er lidt mere drilagtigt! Eksempel 3.4.4. Lad f være givet ved:

1sin , (0;1]( )

0, 0

x xf x x

x

⎧ ⎛ ⎞ ∈⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪ =⎩ (figur 3.23)

Man kan vise at f er kontinuert (opgave 3.5.1), men vi kan ikke finde længden af denne kurve direkte ved indsættelse i formel (3.5.4) da f ikke er differentiabel i 0, så lad os forsøge med en anden metode. Vi laver en inddeling af intervallet fra 0 til 1 ved værdierne:

2 , 1,........,kx k Nkπ

= =

55

Figur 3.24. Inddeling af x-aksen.

Figur 3.25. Polygonal tilnærmelse til

grafen for f i eksempel 3.4.4.

Herved opnår vi at f har nogle bestemte værdier:

0, ( )

, k

k ligef x

x k ulige⎧

= ⎨±⎩

Dette giver en inddeling, som vist på figur 3.24. Når k er lige, så har grafen for f altså et skæringspunkt med x-aksen. Når k er ulige, så får vi en x-værdi som ligger mellem sådanne to på hinanden følgende skæringspunkter. Hvis vi beregner f-værdierne i disse punkter og forbinder punkterne ( ), ( ) , 1,......,i k kP x f x k N= = får vi en polygon som vist på figur 3.25. Da den rette linie mellem to punkter giver den korteste afstand mellem punkterne, er det klart at længden af denne polygon er mindre end længden af grafen for f. Endvidere ses det at jo større vi gør N, desto nærmere kommer vi på værdien x=0. Dvs. jo større N bliver jo bedre en tilnærmelse er polygonen, men længden af den vil altid være mindre end længden af grafen for f. Vi kan altså opstille uligheden:

(3.5.5) ( ) ( )1

2 21 1

1( ) ( )

N

f i i i ii

L x x f x f x−

+ +=

≥ − + −∑

I den følgende udregning vil i betegne den numeriske værdi af tallet indenfor stregerne!

56

Prøv at følge alle overvejelserne i udregningen nøje (opgave 3.5.6).

( ) ( )

( ) ( )

( )

12 2

1 111

21

1

1

11

1 1

1

( ) ( )

( ) ( ) , *

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) , (**)

2 2 1

N

f k k k kkN

k kk

N

k kk

k k k kk ulige k lige

k kk ulige k lige

k ulige k lig

L x x f x f x

f x f x

f x f x

f x f x f x f x

f x f x

k kπ π

−

+ +=

−

+=

−

+=

+ +

+

≥ − + −

≥ −

= −

= − + −

= +

= ++

∑

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

( ) ( )

( )

1

1

1

1

1

1

2 2 , (***)1 1

2 1

2 1 1

2 1 1 , (****)

e

k ulige k lige

N

k

N

k

N

k

k k

k

k

k

π π

π

π

π

−

=

−

=

−

=

≥ ++ +

=+

=+

⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

Dvs. at længden af grafen for f opfylder følgende ulighed, lige meget hvor stor vi vælger N:

1

1

2 1 2N

fk

Lkπ π

−

=

⎛ ⎞≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠∑

For at finde ud af mere om længden af grafen for f er vi altså nødt til at overveje, hvordan summen på højre side af uligheden opfører sig når N går mod uendelig. Det vil vi gøre på en smart måde. Vi vil vurdere summens størrelse i forhold til en funktion vi kender på forhånd – nemlig den naturlige logaritmefunktion. Inden vi kommer så vidt er der dog lige nogle overvejelser! Vi kan skrive summen på en lidt anden måde:

1 1

1 1

1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ..... 1 12 3 2 1

N N

k kk k N N

− −

= =

⎛ ⎞= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ − −⎝ ⎠∑ ∑

57

Figur 3.26. Oversum af integralet af g.

Ser vi på det sidste udtryk, så kan det fortolkes som summen af arealerne af 1N − rektangler, hvor den ene sidelængde er konstant 1, mens længden af den anden side varierer. Skitserer vi disse som på figur 3.26 sammen med grafen for

funktionen 1( )g xx

= , så kan vi se at summen er en oversum

for integralet 1

1

1N

dxx

−

∫ .

Dermed gælder altså:

( ) ( ) ( )11

1 1

1 1 ln 1 ln 1 ln 1NN

k

dx N Nk x

−−

=

≥ = − − = −∑ ∫

Nu mangler vi altså at bestemme opførslen af den naturlige logaritme, når N går mod uendelig.

Differentierer vi ln( )x får vi 1x

, som altid er positiv, når x>0,

vi ved derfor at ln( )x er en voksende funktion. Det er i mellemtiden ikke nok til at vise, hvordan ln( )x opfører sig når x bliver stor, men vi har nok en ide om at ln( )x går mod uendelig når x går mod uendelig. Standardmetoden til at vise at en voksende funktion h går mod uendelig er at vi givet et stort tal K, lige meget hvilket, altid kan finde en x-værdi Kx således at:

( ) , Kh x K x x≥ ∀ ≥ Lad nu 0K være et vilkårligt stort tal. Ideen er nu at vi skal finde en Kx -værdi, så ovenstående bliver opfyldt. Vi vil altså kræve at:

ln( )x K≥

men det er jo det samme som at kræve følgende:

ln( )

x K

K

e e

x e

≥

≥

58

Lader vi nu Kx være lig Ke har vi altså fundet en x-værdi så uligheden bliver opfyldt. Dette viser at:

( )lim ln( )x

x→∞

= ∞

og dermed at:

1

1

1limN

N k k

−

→∞=

⎛ ⎞ = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠∑

og dermed endelig at:

fL = ∞ . Hvad gik der galt – i definition 3.4.1 har vi jo antydet at længden vil være et endeligt tal. Det er også sandt hvis funktionen vi taler om er kontinuert differentiabel overalt, men det er funktionen i eksempel 3.4.4 ikke. Den er nemlig overhovedet ikke differentiabel i 0x = (opgave 3.5.1). Vi kan altså komme ud for kurver, som ikke opfører sig så pænt som vi kunne ønske, men i langt de fleste tilfælde vil kurverne have endelig længde. Hvis nu kurven ikke er givet som grafen for en funktion, men som sporet af en parametriseret kurve, bliver billedet lidt anderledes. Det vil vi undersøge nærmere i næste afsnit.

59

Figur 3.27. Polygonal tilnærmelse til sporet for en kurve r.

3.4.2. Længden af en kurve. I forrige afsnit så vi hvordan vi i visse tilfælde kan beregne længden af grafen for en funktion. Det samme kan, som vi nu skal se, gøres for kurver. Udledningen og gennemgangen er en forholdsvis simpel udvidelse af det foregående. Lad ( ) [ ]( ) ( ), ( ) , ,r t x t y t t a b= ∈ være en differentiabel parametriseret kurve, som har samme orientering på hele intervallet. Ligesom før deler vi intervallet fra a til b op i delintervaller på følgende måde:

0 1 2 1................ n na t t t t t b+= < < < < < = . Til hver af disse t-værdier svarer et punkt ( )ir t . Vektoren mellem to på hinanden følgende punkter vil vi kalde iL dvs.

1 1 0

2 2 1

1 1

( ) ( )

( ) ( )..

( ) ( )n n n

L r t r t

L r t r t

L r t r t+ +

= −

= −

= −

Da r var antaget at have samme orientering på hele intervallet, så peger disse vektorer alle i samme retning langs kurven. Som før er polygonen givet ved 1 1,......., nL L + en tilnærmelse til sporet for r. Vi kan beregne længden af denne polygon L ved følgende formel:

(3.5.6)

( ) ( )

1 2 1

10

10

2 21 1

0

..............

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

n

n

ii

n

i ii

n

i i i ii

L L L L

L

r t r t

x t x t y t y t

+

+=

+=

+ +=

= + + +

=

= −

= − + −

∑

∑

∑

Vi havde antaget at r var differentiabel - dermed ved vi at både x(t) og y(t) er kontinuerte og differentiable.

60

Det giver os mulighed for at bruge middelværdisætningen til at sige at:

( )

( )

1 1 1

1 1 1

, , så ( ) ( ) (́ )( )og

, , så ( ) ( ) (́ )( )

i i i i i i i i

i i i i i i i i

t t t x t x t x t t t

t t t x t x t x t t t

+ + +

+ + +

∃ ∈ − = −

∃ ∈ − = −

Benytter vi nu dette, så kan vi omskrive det sidste summetegn i (3.5.6):

( ) ( )

( )

2 21 1

0

2 2 2 21 1

0

2 21 1

0

2 21

0

( ) ( ) ( ) ( )

(́ ) ( ) (́ ) ( )

(́ ) (́ ) , da

(́ ) (́ ) , hvor

n

i i i ii

n

i i i i i ii

n

i i i i i ii

n

i i i i i ii

L x t x t y t y t

x t t t y t t t

x t y t t t t t

x t y t t t t t

+ +=

+ +=

+ +=

+=

= − + −

= − + −

= + − >

= + = −

∑

∑

∑

∑

Ligesom før, så kan vi se at den sidste sum er en tilnærmelse til et integrale, og det leder os til følgende definition: Definition 3.4.5: 6Lad r være en differentiabel parametriseret kurve defineret på intervallet [ ; ]I a b= . Antag at r har samme orientering overalt. Så er kurvens længde s givet ved

(3.5.7) 2 2(́ ) (́ )b

as x t y t dt= +∫

Bemærk, at i det tilfælde hvor kurvens x-parameter er givet ved ( )x t t= , svarer til at sporet af kurven blot er grafen for en funktion givet ved ( ) ( )f t y t= og at integralet svarer til integralet i definition 3.4.1. Lad os se på nogle eksempler. Eksempel 3.4.6. Lad r være givet ved:

( )( ) cos( ), sin( ) , [0;2]t tr t e t e t t= ∈ På figur 3.28 ses sporet af r.

6 Se [JS] s. 464-468.

61

Figur 3.28. Sporet af kurven i eksempel 3.4.6.

Vi genkender både ( )x t og ( )y t , som differentiable funktioner, men for at benytte formel (3.5.7) er vi nødt til at kontrollere at r har samme orientering overalt. Derfor beregner vi (́ )r t :

( )( )

( ) ( )( )

(́ ) (́ ), (́ )

cos( ) sin( ), sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) , sin( ) cos( )

t t t t

t t

r t x t y t

e t e t e t e t

e t t e t t

=

= − +

= − +

Dermed får vi:

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 22 2

2 2 2 2

(́ ) (́ ) (́ )

cos( ) sin( ) sin( ) cos( )

cos ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( )

1 1

2

t t

t

t

t

r t x t y t

e t t e t t

e t t t t

e

e

= +

= − + +

= + + +

= +

=

og dermed at (́ ) 0r t ≠ på hele intervallet og som vi har set betyder dette at r må have samme orientering overalt. Vi kan altså godt benytte formel (3.5.7) til at beregne længden af r:

( )

2 2

0 0

2 2

0 0

2

0

2

(́ ) (́ ) (́ )

2 2

2

2 1

t t

t

s x t y t dt r t dt

e dt e dt

e

e

= + =

= =

=

= −

∫ ∫

∫ ∫

Eksempel 3.4.4 (fortsat): Lad r være givet ved:

1, sin , (0;1]( )

0, 0

t t tr t t

t

⎧⎛ ⎞⎛ ⎞ ∈⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎝ ⎠⎪ =⎩

62

Vi kan se at sporet af denne kurve og grafen for funktionen i eksempel 3.4.4 er ens – derfor er længden af denne kurve også uendelig. - Hvad sker der mon, hvis en del af kurven gennemløbes mere end en gang? – eller hvis kurven skifter orientering flere gange undervejs. Lad os se på nogle eksempler, der illustrerer disse problemer: Eksempel 3.4.7. Lad r være givet ved:

( )( ) cos( ), sin( ) , [0;4 ]r t t t t π= ∈ Sporet af denne kurve er enhedscirklen, men den gennemløbes 2 gange af kurven, så vi ved på forhånd at kurven har længde 4π . Lad os se hvad der sker hvis vi forsøger at anvende formel (3.5.7) til at beregne kurvens længde:

( )

[ ]

42 2

0

42 2

0

44

00

(́ ) (́ )

sin( ) cos ( )

1

4

t

t

s x t y t dt

t t dt

dt t

π

π

ππ

π

=

=

= +

= − +

= =

=

∫

∫

∫

Denne værdi svarer jo overens med det forventede, og formlen til beregning af kurvelængde gælder lige meget, hvor mange gange vi kører rundt i enhedscirklen. Bm: Den længde vi beregner er ikke længden af sporet, men længden af selve kurven. De eneste krav vi stillede til r var jo også at kurven skulle være differentiabel og have samme orientering overalt. Hvad sker der mon, hvis vi vil beregne længden af en kurve, som ikke har samme orientering overalt?!?

63

Figur 3.29. Grafen for g i eksempel 3.4.8.

Figur 3.30. Skitsering af forløbet af kurven i eksempel 3.4.8.

Eksempel 3.4.8. Lad r være givet ved:

( ) ( )( )3 3( ) cos , sin , [ 2;2]r t t t t t t= − − ∈ −

For at få et overblik over hvordan denne kurve opfører sig indfører vi funktionen g givet ved 3( )g t t t= − . Som du kan se på figur 3.29, så er denne funktion voksende for derefter at aftage og så vokse igen. Det betyder at kurven r starter med at køre mod uret rundt i enhedscirklen, for så at vende om og køre med uret og så endelig vende igen og køre mod uret, indtil den stopper. På figur 3.30 har vi skitseret, hvordan kurven skifter orientering, men husk at den rigtige kurve forløber på enhedscirklen. Lad os forsøge at bruge formel (3.5.7) til at beregne længden af kurven:

( )( )( ) ( )( )( )

( )

( )

2 2 23 2 3 2

22

22

22

2

2

sin 3 1 cos 3 1

3 1

3 1

s t t t t t t dt

t dt

t dt

−

−

−

= − − − + − −

= −

= −

∫

∫

∫

For at beregne dette integral, så skal vi til at bestemme, hvor

23 1t − er positiv, og hvor den er negativ, og derefter opdele integralet i mindre dele. Regner vi efter, så får vi:

1 1(2) ( 2) 2 23 3

s g g g g−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Det kan altså godt give nogle problemer at beregne længden af en kurve, hvis den skifter orientering undervejs, derfor vil vi her nøjes med at se på det tilfælde, hvor kurverne har samme orientering overalt. Men kan man mon sige noget generelt om, hvordan længden af en kurve afhænger af om vi re-parametriserer den? Dette vil vi undersøge nærmere i næste afsnit.

64

3.4.3. Reparametrisering. Hvilken betydning har det mon, hvilken parameter en kurve har ? Når vi regner kurvelængde ud, er det så ikke lige meget, hvilken parameter t vi bruger? Lad os se på nogle eksempler med parametriserede kurver som har forskellige parametre! Eksempel 3.4.9: Lad os se på kurven r givet ved:

( ) [ ]( ) cos( ),sin( ) , 0;2r t t t t π= ∈

Vi ved at denne kurve gennemløber enhedscirklen præcis en gang, imod uret. Lad os forsøge at beregne kurvens længde vha. (3.5.7).

( )

[ ]

2 2

2 2 2

02 2 2

02 2

00

(́ ) (́ )

sin( ) cos( )

sin( ) cos( )

1 2 0

2

b

as x t y t dt

t t dt

t t dt

dt t

π

π

π π π

π

= +

= − +

= +

= = = −

=

∫

∫∫∫

Det viste vi selvfølgelig godt i forvejen. Hvad nu, hvis vi i stedet ser på kurven:

( ) [ ]( ) cos(2 ),sin(2 ) , 0;r t t t t π= ∈ Denne kurve har samme spor, nemlig enhedscirklen. Har den mon også samme længde?

( ) ( )

2 2

2 2

0

2 2

0

00

(́ ) (́ )

sin(2 )2 cos(2 )2

2 sin(2 ) cos(2 )

2 2 2 0

2

b

as x t y t dt

t t dt

t t dt

dt t

π

π

π π π

π

= +

= − +

= +

= = = −⎡ ⎤⎣ ⎦=

∫

∫∫∫

som du kan se fik vi samme resultat.

65

Hvad nu, hvis vi i stedet forestiller os, at parameteren er givet ved en strengt voksende, kontinuert differentiabel funktion ?!? Antag at:

( ) [ ]( ) cos( ( )),sin( ( )) , ;r t h t h t t a b= ∈ hvor h er en strengt voksende, kontinuert funktion med kontinuert afledt. Vi antager yderligere at h opfylder:

( ) 0( ) 2

h ah b π

==

og

Dette sikrer os at r gennemløber hele enhedscirklen, med positiv orientering. Lad os beregne længden af kurven nu:

( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )[ ]

22

2 2

2 2

(́ ) (́ )

sin ( ) (́ ) cos ( ) (́ )

´( ) sin ( ) cos ( )

´( ) ( ) ( ) ( )

2

b

a

b

a

b

ab

t b

t aa

s x t y t dt

h t h t h t h t dt

h t h t h t dt

h t dt h t h b h a

π

=

=

= +

= − +

= +

= = = −

=

∫

∫

∫

∫

Bm: Ovenstående udregning gælder kun fordi vi ved at h er strengt voksende og dermed at (́ ) 0h t > overalt. Som du kan se, så får vi stadig samme resultat. Funktionen h kaldes en reparametrisering af kurven. Helt præcist vil vi sige: Definition 3.4.10: Lad ( ) [ ]( ) ( ), ( ) , ;r t x t y t t a b= ∈ være en parametriseret kurve. Lad h være en strengt voksende funktion defineret på intervallet [ ];c d med kontinuert afledt og således at:

( )( )

h c ah d b

==

og

Ser vi nu på kurven ( ) [ ]( ) ( ( )), ( ( )) , ;r t x h t y h t t c d= ∈ vil vi kalde h en reparametrisering af r.

66

Eksemplet ovenfor kunne godt give os den tanke at kurvelængden er uafhængig af, hvilken parametrisering vi bruger. Lad os se om vi kan bevise den påstand. Lad derfor r være en differentiabel kurve givet ved:

( )( ) ( ), ( ) , [ ; ]r t x t y t t a b= ∈ . Lad yderligere h være en strengt voksende, kontinuert differentiabel funktion defineret på intervallet [ ; ]c d , som opfylder at ( )h c a= og ( )h d b= . Lad os nu forsøge at beregne længden af den sammensatte kurve: ( )( ) ( ) , [ ; ]r t r h t t c d= ∈ :

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2

( )2 2

( )

2 2

(́ ( )) ´( ) (́ ( )) ´( )

´( ) ´( ( )) ´( ( ))

(́ ) (́ ) , ( )

´( ) (́ )

d

rc

d

c

h d

h c

b

a

r

s x h t h t y h t h t dt

h t x h t y h t dt

x q y q dq hvor q h t

x q y q dq

s

= +

= +

= + =

= +

=

∫

∫

∫

∫

Dvs. længden faktisk er bevaret. Der er dog en lille fælde her!!! Ovenstående udregning gælder som den står kun, fordi vi har antaget at h er strengt voksende og dermed at (́ ) 0h t > . Det lykkes os ovenfor at vise følgende: Proposition 3.4.11. Lad r være en differentiabel kurve. Lad endvidere h være en reparametrisering af r. Så gælder at de to kurver r og r h har samme længde.

67

Der findes en bestemt reparametrisering, som gør det nemt at finde længden af en kurve! Lad ( ) [ ]( ) ( ), ( ) , ;r t x t y t t a b= ∈ være en differentiabel

parametriseret kurve med kontinuert afledt så (́ ) 0r t ≠ . Dette sikrer os at r ikke skifter orientering! Hvis vi bruger (3.5.7), så kan vi beregne længden af den del af kurven, som gennemløbes når parameteren løber mellem

0 [ ; ]t a b∈ og 0t t≥ . Denne længde vil vi betegne ( )s t :

0

( ) ´( )t

t

s t r t dt= ∫

Da r var antaget både at være kontinuert differentiabel og at opfylde uligheden (́ ) 0, r t t I≠ ∀ ∈ , så ved vi at ( )s t er en differentiabel funktion og at:

(́ ) 0ds r tdt

= >

Funktionen ( )s t er altså en strengt voksende og kontinuert differentiabel funktion, som måler længden af kurven fra et punkt 0( )r t til punktet ( )r t . Hvis parameteren t allerede i forvejen måler buelængden fra et eller andet punkt, så gælder:

1 (́ )ds r tdt

= =

dvs. hastighedsvektoren har konstant længde én og dermed at kurven har en naturlig kurveparametrisering. Omvendt gælder at hvis (́ ) 1, r t t I= ∀ ∈ , så får vi:

0

0( )t

t

s t dt t t= = −∫

dvs. t er buelængden målt fra et eller andet punkt. Sammenfatter vi dette kan vi altså se følgende:

68

Figur 3.31. Sporet for kurven i eksempel 3.4.14 med parameteren t.

Proposition 3.4.12. Lad r være en differentiabel kurve. Så gælder: r har en naturlig kurveparametrisering hvis og kun hvis parameteren t er buelængden målt fra et eller andet punkt. Eksempel 3.4.13. Lad r være givet ved:

( )( ) cos( ), sin( ) , [0; )r t t t t= ∈ ∞ Beregner vi nu buelængden idet vi opfatter s, som en funktion af t, så får vi:

0

( ) 1 0t

s t dt t t= = − =∫

Vi kan altså se at parameteren t allerede er buelængde. Dvs. når parameteren har værdien 0t , så er længden af kurven tilsvarende 0t . Som oftest vil parameteren t ikke umiddelbart måle buelængde, men i nogle tilfælde kan vi lave en smart reparametrisering så kurven får en naturlig kurveparametrisering. Eksempel 3.4.14. Lad r være givet ved:

( )( ) 3 10, 4 3 , [0;10]r t t t t= + − ∈ beregner vi nu buelængden af r, så får vi:

2 20

0 0

( ) 3 4 5 5 5t t

t t

ts t dt dt t t=

== + = = =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

Dvs. t ikke måler buelængden - der er et skalarmultiplum til forskel. Flytter vi nu 5-tallet i ligningen over på den anden side, så kan vi opfatte t, som en funktion af s:

1( ) , [ (0); (10)] [0;50]5

t t s s s s s= = ∈ =

Substituerer vi dette ind i forskriften for r, så får vi:

69

1 1( ) 3 10,4 3 , [0;50]5 5

3 4 10, 35 5

r s s s s

s s

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

Hvis vi misbruger notationen lidt og kalder parameteren for t igen så får vi:

3 4( ) 10, 3 , [0;50]5 5

r t t t t⎛ ⎞= + − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

Beregner vi nu normen af den afledte, så får vi:

2 23 4´( )5 5

9 16 25 25 25 25

1

r t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + =

=

Vi har altså givet r en naturlig kurveparametrisering, og alligevel bevaret kurvens udseende – kurvens spor. Mere generelt gælder at hvis bare kurven er regulær, så kan funktionen ( )s t inverteres, med en invers funktion ( )t t s= . Substitueres denne nye t-værdi ind i forskriften for r, så opnår man en ny kurve:

( )( ) ( ) , [ ( ); ( )]r t r t s t s a s b= ∈ som har samme spor som den oprindelige kurve, men som nu har en naturlig kurveparametrisering. Da parameteren nu måler kurvelængde, så kan vi også umiddelbart se at ( ) 0s a = og at kurvens samlede længde er givet ved ( )s b , altså at det højre endepunkt i definitionsintervallet er lig kurvelængden. Vi har tidligere nævnt, at hvis bare kurven r er regulær, lukket og simpel, så kan vi altid reparametrisere den så den får en naturlig kurveparametrisering og bliver positivt orienteret. Lad os nu se om det virkelig kan passe. Da funktionen ( )s t er strengt voksende, så vil den inverse funktion ( )t s også være det.

70

Figur 3.32.

Hvis vi erstatter den oprindelige parameter med ( )t s ændrer vi derfor ikke på den retning kurven bevæger sig. Da r er regulær og simpel, så er den nødt til enten at være positivt- eller negativt orienteret overalt. Hvis kurven i forvejen er positivt orienteret, så ændres dette altså ikke af at reparametrisere den, så den får en naturlig kurveparametrisering. Hvis kurven r defineret på intervallet [ ; ]a b er negativt orienteret vil den derfor stadig være negativt parametriseret når vi har reparametriseret den. Men ser vi derimod på kurven ( )r t− defineret på intervallet [ ; ]b a− − , så vil denne kurve bevæge sig i modsat retning af den oprindelige kurve, og have samme spor. Vi kan derfor altid reparametrisere en regulær, lukket og simpel kurve, så den bliver positivt orienteret og så den har en naturlig kurveparametrisering.

71

3.5. Opgaver til Kapitel 3. Opgave 3.5.1. a) Vis at funktionen f givet ved:

1sin , (0;1]( )

0, 0

x xf x x

x

⎧ ⎛ ⎞ ∈⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪ =⎩

er kontinuert. b) Vis at f ikke er differentiabel i x=0. Opgave 3.5.2. Lad de to parametriserede kurver 1r og 2r være givet ved:

( )

( )1

1 1

2

( ) ( ), ( ) , [ ; ]

( ) ( ), ( ) , [ , ]n n n n

r t x t y t t a b

r t x t y t t a b

= ∈

= ∈

hvor 0n > er et helt tal og både a og b er større end nul. a) Er længden af disse to kurver den samme? b) Er længden den samme, hvis 1n = − ?

Opgave 3.5.3.

a) Vis vha. sætning 1.3.6 at arealet af en cirkel med radius r er givet ved 2A rπ= . b) Vis vha. af formel (3.5.7) at omkredsen af en cirkel med radius r er givet ved 2O rπ= .

Hint. Benyt at sporet for kurven givet ved de parametriske ligninger ( ) cos( ), ( ) sin( ), [0;2 ] x t a t y t a t t π= ⋅ = ⋅ ∈ er en cirkel med radius a.

Opgave 3.5.4. Lad r være en kurve, som opfylder ( )r t k= , for alle værdier af t, og hvor k er en konstant. Hvis at der gælder at (́ ) ( ) 0r t r t• = , hvor • betegner prikproduktet mellem to vektorer. Hvilken geometrisk betydning har dette?

Hint. Benyt identiteten ( )( ) ( ) (́ ) ( ) ( ) (́ )d f t g t f t g t f t g tdt

• = • + • .

Opgave 3.5.5. Bevis at observation 3.2.7 er korrekt. Opgave 3.5.6. Vis at (*), (**), (***) og (****) i eksempel 3.4.4 er rigtige. Opgave 3.5.7. Lad r være givet ved: ( )( ) 6 3, 3 , [2;8]r t t t t= − ∈ .

Reparametriser r, så den får en naturlig kurveparametrisering. Sandt/falsk. Udsagn 3.5.8. Lad r være en kurve givet ved en naturlig kurveparametrisering. Er det sandt at ´́ ( ) (́ ) 0r t r t• = ?

72

Figur 4.1. En glat kurve, sammensat af 4 differentiable parametriseringer.

Kapitel 4. Greens Sætning.

4.1. Gennemgang af Greens sætning. Vi vil i det følgende kalde en kurve C stykkevis glat, hvis den kan beskrives ved et endeligt antal differentiable og regulære parametriseringer 1 2, ,............., nr r r , defineret på intervaller, 1 1 1 2 2 2[ , ], [ , ],........, [ , ]n n nI a b I a b I a b= = = , og som har fælles endepunkter, dvs.:

1 1 2 2

2 2 3 3

1 1

( ) ( )( ) ( )

.

.

.( ) ( )n n n n

r b r ar b r a

r b r a− −

==

=

Vi vil yderligere kalde C lukket, hvis:

1 1( ) ( )n nr a r b= og simpel, hvis kurven C ikke skærer sig selv i andre punkter end de ovenstående. Greens sætning 4.1.1. 7 Lad C være en positivt orienteret, stykkevis glat, simpel, lukket kurve i planen, og lad R være regionen afgrænset af C. Hvis f og g er to funktioner af to variable med kontinuerte partielle afledede i et åbent område, som indeholder R så gælder:

(4.1.1) C R

g ffdx gdy dAx y

⎛ ⎞∂ ∂+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫∫

Greens sætning er en todimensional pendant til et korollar af analysens fundamentalsætning. Dette korollar siger, at hvis f er en kontinuert reel funktion defineret på intervallet [ , ]a b og F er en stamfunktion til f, så gælder:

( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a= −∫

7 Se [RW] s. 510-520 for en grundig gennemgang af Greens sætning.

73

Figur 4.2. Skift af orientering.

Sagt på en anden måde: Integralet over et interval af den afledte til en funktion F, er givet ved funktionen F’s værdier i intervallets endepunkter, eller på randen af intervallet. I ligning (4.1.1) ser vi også at der på højresiden er et integral af nogle afledte over et område i planen, og at der på venstresiden indgår de oprindelige funktioner f og g og deres værdi på randen af området. Symbolet

C∫ er en variation af det integrationstegn vi

allerede kender, og betyder at den/de funktioner, som skal integreres, skal integreres langs en glat kurve C 8. Hvis kurven er givet ved to parametriske ligninger ( )x t og

( )y t på intervallet [ ; ]I a b= og den funktion som skal integreres langs kurven er ( , )f x y , så kan vi udregne kurveintegralet på følgende måde:

( )( )( , ) ( ), ( ) (́ )b

C a

f x y dxdy f x t y t r t dt=∫ ∫

Vi har skal her anvende kurveintegralet i en form, hvor vi kun integrerer den ene variabel og i dette tilfælde kan vi beregne kurveintegralet vha. følgende formler:

( )( )

( )( )

( , ) ( ), ( ) (́ )

( , ) ( ), ( ) ´( )

b

C a

b

C a

f x y dx f x t y t x t dt

f x y dy f x t y t y t dt

=

=

∫ ∫

∫ ∫

Udover dette så skal vi vide, hvad der sker med værdien af disse integraler, hvis kurven C skifter orientering. Lad derfor C være en positivt orienteret kurve. Lad –C betegne den kurve, som har samme spor som C, men med modsat orientering (figur 4.2), så gælder følgende:

( , ) ( , )

( , ) ( , )C C

C C

f x y dx f x y dx

f x y dy f x y dy−

−

= −

= −

∫ ∫

∫ ∫

dvs. at skifte orientering er det samme som at skifte fortegn på kurveintegralet.

8 Se [JS] s. 924-934 for en gennemgang af kurveintegralet.

74

Figur 4.3. Den simple region R.

Vi vil her nøjes med at vise Greens sætning i det tilfælde, hvor R er en simpel region i planen. Vi vil kalde et område R i planen simpelt, hvis der gælder følgende: - Der eksisterer kontinuerte funktioner 1 2 3 4, , og h h h h og reelle tal , , ,a b c d således at vi kan beskrive R på følgende måder:

{ }{ }

1 2

3 4

( , ) , ( ) ( )

( , ) , ( ) ( )

R x y a x b h x y h x

R x y c y d h y x h y

= ≤ ≤ ≤ ≤

= ≤ ≤ ≤ ≤

Dvs. at R både i x-aksens og i y-aksens retning kan opfattes som området mellem to kontinuerte funktioner. Bevis i det tilfælde, hvor R er en simpel region: Da additionsreglerne gælder for integraler, kan vi omskrive (4.1.1) til:

C C R R

g ffdx gdy dA dAx y∂ ∂

+ = −∂ ∂∫ ∫ ∫∫ ∫∫

Så for at vise (4.1.1) er det nok at vise:

(4.1.2) C R

ffdx dAy∂

= −∂∫ ∫∫

og

(4.1.3) C R

ggdy dAx∂

=∂∫ ∫∫

Da R er simpel, kan vi beskrive den ved:

{ }1 2( , ) , ( ) ( )R x y a x b h x y h x= ≤ ≤ ≤ ≤ hvor 1h og 2h er to kontinuerte funktioner. Vi kan nu beregne højresiden i (4.1.2):

(4.1.4)

( ) ( )

2

1

( )

( )

2 1

( , )

, ( ) , ( )

h xb

R a h x

b

a

f fdA x y dy dxy y

f x h x f x h x dx

⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫

∫

75

hvor det sidste lighedstegn følger af analysens fundamentalsætning. Nu beregner vi kurveintegralet på venstre side i (4.1.2) idet vi deler C op i fire kurver 1 2 3 4, , og C C C C som vist på figur 4.3. På 1C bruger vi x som parameter og kan derfor beskrive 1C ved de parametriske ligninger:

1, ( ), x x y h x a x b= = ≤ ≤

Dermed kan vi beregne kurveintegralet langs 1C :

(4.1.5) ( )1

1( , ) , ( )b

C a

f x y dx f x h x dx=∫ ∫

Det ses at 3C går fra højre mod venstre, men 3C− går fra venstre mod højre, og vi kan derfor beskrive 3C− med de parametriske ligninger:

2, ( ), x x y h h a x b= = ≤ ≤ Nu kan kurveintegralet langs 3C beregnes:

(4.1.6) ( )3 3

2( , ) ( , ) , ( )b

C C a

f x y dx f x y dx f x h x dx−

= − = −∫ ∫ ∫

Langs både 2C og 4C (som begge kan være et enkelt punkt, hvis 1h og 2h møder hinanden i endepunktet) er x konstant. Derfor er kurveintegralet langs både 2C og 4C mht. x nul: (4.1.7)

2 4

( , ) ( , ) 0C C

f x y dx f x y dx= =∫ ∫

Bruger vi nu resultaterne fra (4.1.5), (4.1.6) og (4.1.7), så kan vi beregne kurveintegralet langs C:

76

( ) ( )

( ) ( )

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2

2 1

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

, ( ) , ( )

, ( ) , ( )

C C C C C

C C C C

C C C C

b b

a a

a

f x y dx f x y dx

f x y dx f x y dx f x y dx f x y dx

f x y dx f x y dx f x y dx f x y dx

f x h x dx f x h x dx

f x h x f x h x dx

+ + +

−

=

= + + +

= + − +

= −

= − −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫b

∫

Dette viser ligning (4.1.2). Da R er et simpelt område, kan vi også beskrive R ved:

(4.1.8) { }3 4( , ) , ( ) ( )R x y c y d h y x h y= ≤ ≤ ≤ ≤ Ligheden i (4.1.3) kan nu vises på samme måde som ligheden i (4.1.2) vha. (4.1.8) (se opgave 4.3.1). Vi har hermed vist Greens sætning i det tilfælde, hvor kurven C beskriver en simpel region.

77

4.2. En anvendelse af Greens sætning. Lad en simpel, lukket og regulær plan kurve være givet ved

( )( ) ( ), ( ) , [ , ]r t x t y t t a b= ∈ . Antag at r er positivt orienteret og lad C og R betegne henholdsvis sporet og det indre af kurven. Lad ( , ), ( , )f f x y g g x y= = være reelle funktioner med kontinuerte partielle afledede , , ,x y x yf f g g på et åbent område, som dækker R og C. Så gælder ifølge Greens sætning:

(4.2.1)

( )

( ) ( )( ) ( ), ( ) (́ ) ( ), ( ) ´( )

x yR C

b

a

g f dxdy fdx gdy

f x t y t x t g x t y t y t dt

− = +

= +

∫∫ ∫

∫

Lad nu ( , )g x y x= og ( , )f x y y= − . Så får vi at:

1yffy∂

= = −∂

og 1xggx∂

= =∂

og dermed at der for venstresiden i (4.2.1) gælder: (4.2.2) ( ) (1 ( 1)) 2 1 2 ( )x yR R R

g f dxdy dxdy dxdy A R− = − − = =∫∫ ∫∫ ∫∫

hvor A(R) betegner arealet af R. I integralet på højresiden i (4.2.1) skal de to funktioner f og g begrænses til C. Dvs.

( , ) (( ( ), ( )) ( )f x y f x t y t y t= = − og

( , ) ( ( ), ( )) ( )g x y g x t y t x t= = Indsættes dette i højresiden fås:

78

( ) ( )( )

( )

( )

( ), ( ) (́ ) ( ), ( ) (́ )

( ) (́ ) ( ) (́ )

´ ´

b

ab

ab

a

f x t y t x t g x t y t y t dt

y t x t x t y t dt

xy yx dt

+

= − +

= −

∫

∫

∫

Benytter vi (4.2.2) betyder dette altså:

(4.2.3) 1 1 1( ) ( ´ )́ ´ ´2 2 2

b b b

a a aA R xy yx dt xy dt yx dt= − = −∫ ∫ ∫

Lad os regne lidt på det første udtryk på højresiden i (4.2.3):

´ ( )´ ´ , da ( )´ ´ ´

[ ( ) ( ) ( ) ( )] ´ , analysens fundamentalsætning

´ , d

b b b

a a ab

a

b

a

xy dt xy dt x ydt xy x y xy

x b y b x a y a x ydt

x ydt

= − = +

= − −

= −

∫ ∫ ∫∫

∫ a kurven er lukket

Indsættes dette i (4.2.3), får vi følgende:

1 1( ) ´ ´2 21 1 ´ ´2 2

´

b b

a a

b b

a a

b

a

A R xy dt yx dt

xy dt xy dt

xy dt

= −

= +

=

∫ ∫

∫ ∫

∫

og helt tilsvarende at:

(4.2.4) ( ) ´b

aA R yx dt= −∫

Sammenfatter vi det vi nu har udregnet gælder der altså for denne type kurve at:

(4.2.5) 1( ) ´ ´ ( ´ )́2

b b b

a a aA R xy dt yx dt xy yx dt= = − = −∫ ∫ ∫

Det vil sige, vi ved hjælp af Greens sætning har fundet en metode til at beregne arealet af det område en simpel, lukket, regulær og positivt orienteret kurve afgrænser i planen.

79

I beviset for løsningen til det isoperimetriske problem beregner vi også arealet af kurven C , selvom vi ikke kan være sikker på at den er positivt orienteret overalt. Formel (4.2.5) til beregning af det afgrænsede areal gælder dog alligevel i dette tilfælde. Argumentet for dette hænger på at der gælder at

( , ) ( , )C C

f x y dx f x y dx−

= −∫ ∫ og ( , ) ( , )C C

f x y dy f x y dy−

= −∫ ∫ ,

hvor C og -C betegner den samme kurve men modsat orienteret.

80

4.3. Opgaver til Kapitel 4. Opgave 4.3.1. Benyt i beviset for Greens sætning (4.1.8) til at vise at ligning (4.1.3) er korrekt. Opgave 4.3.2. Bevis formel (4.2.4)

81

Figur 5.1. En ”øldåse”.

Kapitel 5. Optimering. Da det isoperimetriske problem hører til den type matematik man generelt kalder optimering, vil vi her bruge lidt tid på at snakke generelt om optimering af funktioner af én eller to variable. Vi vil her komme ind på emner som: Bestemmelse af globale/lokale maksima og minima, betingelse for at et punkt kan være et ekstremumspunkt og Lagrange’s metode til bestemmelse af ekstremumspunkter.

5.1. Introduktion. For at illustrere, hvad indholdet af dette kapitel eventuelt kunne anvendes til, vil jeg nu simulere en samtale mellem to personer: Dialog: -Rolleliste: ØL: En gerrig ølproducent og MAT: En matematiker med begrænset viden om optimering. ØL: Åh, jeg kunne godt tænke mig at få mere profit ud af min ølproduktion, jeg tror jeg kan spare lidt på produktionen af øldåser. MAT: Det lyder da fint, hvad havde du tænkt dig? ØL: Jo, dåserne skal beholde den form de har nu, men jeg vil ikke bruge mere end 500g aluminium pr. dåse, og så kunne jeg godt tænke mig at finde ud af, hvor stor dåsen skal være for at kunne indeholde så meget øl, som muligt. MAT: Lad mig se – rumfanget af en dåse er givet ved….. nej det er for svært, det kan jeg ikke hjælpe dig med. Lad os se, hvordan det går matematikeren efter dette kapitel. - Det isoperimetriske problem, som vi behandlede i kapitel 2, kan opfattes som et optimeringsproblem. Problemet kan formuleres på denne måde: Givet alle lukkede kurver i planen med omkreds l, bestem den, som afgrænser det største areal. Hvis vi omformulerer det, kan vi nemmere se at det faktisk er et optimeringsproblem.

82

Lad lℵ være mængden, som består af alle lukkede kurver i planen af længde l. Lad f være den funktion, som givet en kurve r i lℵ bestemmer arealet af det område, som r afgrænser. Problemet er altså nu at optimere funktionen f – eller med andre ord – at finde en kurve 0r i lℵ , således at:

0( ) ( ), lf r f r r≥ ∀ ∈ℵ .

5.2. Funktioner af én variabel. Problemet med at optimere, altså finde minima og maksima for en funktion af én variabel er almindelig kendt. Jeg vil derfor blot kort skitsere løsningsmodellen til problemet.

5.2.1. Eksistens af maksima og minima. Vi ved godt, at de x-værdier, som kan give anledning til et maksimum eller minimumspunkt for en differentiabel funktion af én variabel, defineret på et interval, er de værdier, hvor den afledte af funktionen er nul, eller i intervallets endepunkter. Før vi begynder analysen, så skal vi lige være enige om, hvad vi snakker om, derfor vil Jeg nu definere hvad, der menes med lokale/globale minima og maksima: Definition 5.2.1. Globale ekstremer: Lad f være en funktion defineret på et interval I. Et punkt 0x I∈ kaldes et globalt maksimumspunkt, hvis der gælder:

0( ) ( ), f x f x x I≥ ∀ ∈ Værdien 0( )f x kaldes et globalt maksimum for f. Tilsvarende kaldes et punkt 0x I∈ et globalt minimumspunkt, hvis der gælder:

0( ) ( ), f x f x x I≤ ∀ ∈ Værdien 0( )f x kaldes i dette tilfælde et globalt minimum for f. Tilsvarende kan vi gøre i det lokale tilfælde:

83

Figur 5.2. Eksempler på ekstrema.

Figur 5.3. Grafen for funktionen

3 2( ) 3 , ( 1;3,5]f x x x I= − = −

Definition 5.2.2. Lokale ekstremer: Lad f være en funktion defineret på et interval I. Et punkt 0x I∈ kaldes et lokalt maksimumspunkt, hvis der gælder:

0 0 00 således at ( ) ( ), ( , )c f x f x x I x c x c∃ > ≥ ∀ ∈ ∩ − + Værdien 0( )f x kaldes et lokalt maksimum for f. Tilsvarende kaldes et punkt 0x I∈ et lokalt minimumspunkt, hvis der gælder:

0 0 00 således at ( ) ( ), ( , )c f x f x x I x c x c∃ > ≤ ∀ ∈ ∩ − + Værdien 0( )f x kaldes i dette tilfælde et lokalt minimum for f. Betingelsen for at være et lokalt ekstrema er altså at der skal findes et område af funktionens definitionsinterval om punktet, hvori alle funktionsværdier enten er mindre eller større end i punktet selv. På figur 5.2 er der en række eksempler på lokale/globale ekstrema. Men kan vi være sikre på at en funktion overhovedet har maksimum- og minimumspunkter! Funktionen 3 2( ) 3f x x x= − på figur 5.3 er defineret på det halvåbne interval ( 1;3,5]I = − . Det ses hurtigt at , 3,5maks globaltx = er et globalt maksimumspunkt, med tilsvarende globalt maksimum

,( ) (3,5) 6,125maksimum globaltf x f= = .

Den afledte af f er givet ved 2(́ ) 3 6 (3 6)f x x x x x= − = − . Den er lig nul, når 0x = og 2x = . Vi kan hurtigt se at 0x = er et lokalt maksimumspunkt og at 2x = er et lokalt minimumspunkt. Men er 2x = ikke også et globalt minimumspunkt? Hvis vi et øjeblik lader som om 1x = − ligger i f’s definitionsmængde og evaluerer f i dette punkt, så får vi

( 1) 4 (2)f f− = − = . Men da 1x = − ikke ligger i definitionsmængden for f, så er 2x = også et globalt minimumspunkt.

84

Figur 5.4. Grafen for funktionen

2( ) , (1;3)g x x I= =

Funktionen 2( )g x x= på figur 5.4 er defineret på det åbne interval (1;3)I = . Det er klart at vi skal lede i enderne af definitionsintervallet for at finde ekstremumspunkter. Men da definitionsintervallet er åbent i begge ender, er det er også klart at ligegyldigt, hvilken 0x -værdi vi vælger, så kan vi altid finde en anden x-værdi, hvor funktionsværdien er henholdsvis større eller mindre end

0( )g x . Derfor har g ingen ekstrema, hverken lokale eller globale. Vi vil sige at g ikke antager sit maksimum eller minimum på sin definitionsmængde. Vi kan altså finde eksempler, hvor der ikke eksisterer nogen ekstrema overhovedet og hvis funktionen ikke er differentiabel, så kan vi heller ikke benytte den gængse metode med at sætte (́ ) 0f x = . Heldigvis så kan vi finde betingelser, som hvis de er opfyldt sikrer at en funktion altid vil antage sit maksimum og sit minimum: Sætning 5.2.3. Lad f være en kontinuert funktion defineret på et interval I. Hvis I er lukket og begrænset, så vil f både have maksimums- og minimumspunkt(er). Sætningen giver altså nogle tilstrækkelige betingelser, som sikrer at vi altid kan finde ekstremumspunkter, hvis de er opfyldt. De er dog ikke nødvendige idet funktioner defineret på f.eks. åbne intervaller sagtens kan have ekstremumspunkter. En anden sætning, som vi har brugt flere gange i de forrige afsnit er den såkaldte middelværdisætning. Men inden vi beviser den, skal vi lige have en hjælpesætning, som skal bruges i beviset. Rolles sætning 5.2.4: Antag at f er kontinuert på intervallet [ ; ]a b og er differentiabel i hele det åbne interval ( ; )a b . Hvis ( ) ( )f a f b= så findes et punkt ( ; )c a b∈ således at

(́ ) 0f c = .

85

Figur 5.5. Figur til Rolles sætning.

Figur 5.6. Figur til middelværdisætningen.

Den geometriske fortolkning af Rolles sætning er altså, at hvis f har samme funktionsværdi i to forskellige punkter, så må der være et punkt c mellem disse, hvor grafen for f skifter fra at være voksende til at være aftagende. Det lyder også meget rimeligt – ”What goes up, must go down”. Middelværdisætningen lyder som følger. Middelværdisætningen 5.2.5: Antag at f er kontinuert på intervallet [ ; ]a b og er differentiabel i hele det åbne interval ( ; )a b . Så findes der et punkt ( ; )c a b∈ således at

( ) ( ) (́ )( )f b f a f c b a− = − . Vi kan se at Rolles sætning er et specialtilfælde af middelværdisætningen, nemlig når ( ) ( )f a f b= . Hældningen af sekanten, som går gennem ( ), ( )a f a og

( ), ( )b f b er givet ved: ( ) ( )f b f a

b a−−

Den geometriske fortolkning af middelværdisætningen er derfor at der findes et punkt c mellem a og b, så tangenten til grafen for f i punktet ( ), ( )c f c , har samme hældning som sekanten. Bevis for middelværdisætningen: Den rette linie, som går gennem ( ), ( )a f a og ( ), ( )b f b har ligningen:

( ) ( ) ( ) ( )f b f ay x a f ab a−

= − +−

Den lodrette afstand h mellem sekanten og grafen for f er derfor givet ved:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f b f ah x f x x a f ab a−

= − − −−

86

Da vi kan se at ( ) ( ) 0h a h b= = , og at h er kontinuert da f er det og differentiabel på intervallet ( ; )a b , igen fordi f er det, så opfylder h betingelserne i Rolles sætning. Vi kan altså konkludere at der findes et ( ; )c a b∈ således at (́ ) 0h c = , eller med andre ord:

( ) ( )(́ ) (́ ) 0

( ) ( ) (́ )( )

f b f ah c f cb a

f b f a f c b a

−= − =

−⇓

− = −

I næste afsnit skal vi se, hvordan nogle af de ting, vi har gennemgået i dette afsnit kan udvides til at gælde for funktioner af 2 variable 9.

9 Se [TL] s. 193-197 for en gennemgang af ekstremumsbestemmelse af funktioner af en variabel.

87

Figur 5.7.

5.3. Funktioner af to variable. Inden for mange forskellige områder er det nyttigt at kunne beregne maksimums- og minimumværdier af en funktion af mere end én variabel. Lad mig nævne nogle eksempler: - Hvis man skal finde den optimale form af en dåseøl. - Hvis man vil minimere omkostningerne ved at opsende en rumraket. - Hvis man vil finde den kurve i planen med omkreds l, som afgrænser det største areal. og jeg kunne nævne mange flere eksempler. I dette afsnit vil vi se nærmere på funktioner af to variable.

5.3.1. Kontinuitet og grænseværdier. For funktioner at én variabel var det nemt at tale om grænseværdier for en funktion når variablen x går mod et tal 0x – der er kun to muligheder. Variablen kan enten gå mod 0x fra højre eller fra venstre. Når vi taler om punkter i planen, så er det noget mere inviklet – her er der uendeligt mange muligheder for at nærme sig et givet punkt ( ),a b (figur 5.7). Dette gør det også betydeligt sværere at tale om grænseværdier for en givet funktion, idet vi skal tage højde for at vi kan gå mod et punkt på så mange forskellige måder. Definition 5.3.1. Vi vil sige at ( , )f x y går mod k, når ( , )x y går mod ( , )a b , hvis vi kan få værdien af f så tæt på k som vi har lyst til, ved at lade ( , )x y komme tilstrækkeligt tæt på ( , )a b , men ikke lig ( , )a b . Dette vil vi skrive:

( , ) ( , )lim ( , )

x y a bf x y k

→=

I definitionen taler vi om, at vi skal kunne lade ( , )x y komme tilstrækkeligt tæt på ( , )a b , dvs. vi kræver kun at afstanden skal være tilstrækkeligt lille, men ikke at ( , )x y skal ligge i en bestemt retning i forhold til ( , )a b .

88

Figur 5.8. Grænseværdi fra forskellige retninger.

Dvs. at hvis grænseværdien skal eksistere, så skal den være uafhængig af, hvordan vi nærmer os ( , )a b når bare vi kommer tilstrækkeligt tæt på. Det vil også sige at hvis vi får to forskellige grænseværdier når vi går mod ( , )a b fra to forskellige retninger, så er der ikke en entydig grænseværdi, og den eksisterer derfor ikke. Eksempel 5.3.2. Lad f være givet ved:

( )2 2( , ) xyf x y

x y=

+.

Lad os undersøge om

( , ) (0,0)lim ( , )

x yf x y

→ eksisterer.

Hvis vi nærmer os (0,0) langs x-aksen, altså sætter y lig 0, så ser vi at:

2

0( ,0) 0f xx

= =

Derfor har vi:

( , ) 0 ( , ) (0,0) f x y når x y langs x aksen→ → − Hvis vi nærmer os langs y-aksen, altså sætter x lig 0, så får vi tilsvarende:

( , ) 0 ( , ) (0,0) f x y når x y langs y aksen→ → − Men selvom vi nu har vist, at der er den samme grænseværdi når vi nærmer os fra to forskellige retninger, så er det ikke nok – det skal gælde fra alle retninger. Lad os prøve at bevæge os langs kurven givet ved x y= . Så bliver f til:

2 2

2 2 2

1( , ) ( , ) , 0( ) 2 2

x xf x y f x x for xx x x

= = = = ≠+

Derfor får vi: 1( , ) ( , ) (0,0) 2

f x y når x y langs kurven x y→ → =

Da vi nu har fået to forskellige grænseværdier, kan vi konkludere at grænseværdien

( , ) (0,0)lim ( , )

x yf x y

→ ikke

eksisterer.

89

Det er altså nødvendigt at kontrollere alle mulige kurver for at finde ud af om en grænseværdi eksisterer. - Ligesom i tilfældet med funktioner af én variabel vil vi bruge grænseværdibegrebet til at definere kontinuitet af en funktion af to variable. Definition 5.3.3. En funktion af to variable ( , )f x y kaldes kontinuert i ( , )a b , hvis der gælder:

( , ) ( , )lim ( , ) ( , )

x y a bf x y f a b

→=

Hvis f er kontinuert i alle punkter i et område R, så vil vi kalde f kontinuert på R. Fortolkningen af denne definition er igen som i tilfældet med funktioner af én variabel, af hvis ( , )x y kommer tilstrækkeligt tæt på et punkt ( , )a b , så kan vi sikre at

( , )f x y ligger så tæt på ( , )f a b som vi har lyst til. Dette betyder ligesom for funktioner af én variabel at grafen for f ikke pludselig kan springe i værdi. Ligesom polynomier af én variabel er kontinuerte, så gælder der også at alle polynomier af to variabler er kontinuerte. Eksempel 5.3.4. Bestem grænseværdien

( )2 3 3

( , ) (1,1)lim 2 17

x yx y x y

→− + ,

hvis den eksisterer. Funktionen 2 3 3( , ) 2 17f x y x y x y= − + er kontinuert, da den er en sammensætning af polynomier – vi kan derfor finde grænseværdien ved direkte at indsætte punktet (1,1) :

( )2 3 3 2 3 3

( , ) (1,1)lim 2 17 1 1 2 17(1 ) 1 2 17 16

x yx y x y

→− + = − + = − + =

I næste afsnit skal vi se nærmere på nogle af egenskaberne ved funktioner af to variable bl.a. differentiabilitet af disse.

90

.

Figur 5.9. Figur til eksempel 5.3.4.

5.3.2. Partielle afledede, gradienter og niveaukurver. I dette afsnit vil vi se nærmere på nogle af de begreber, som er vigtige at forstå for at kunne gå dybere i analysen af funktioner af to variable. Partielle afledede: De partielle afledede af en funktion af to variable er i virkeligheden blot en udvidelse af differentiationsbegrebet for funktioner af én variabel som vi skal se om et øjeblik. Lad os starte med et eksempel for at illustrere idéen, der ligger bag. Eksempel 5.3.4. Lad f være givet ved

( )2 2( , ) , , [ 1;1] [ 1;1]f x y x y x y= + ∈ − × − Notationen ( ), [ 1;1] [ 1;1]x y ∈ − × − betyder bare at vi tillader x-koordinaten at antage værdier i intervallet [ 1;1]− og tilsvarende med y-værdien. På figur 5.9, har vi skitseret grafen for f. Hvis vi nu lader y være konstant, så kan vi opfatte f som en funktion, som kun afhænger af x:

( , konstant) ( )f x y g x= = Vi kan nu differentiere f med hensyn til x, i det vi husker at vi opfatter y som en almindelig konstant.

Denne afledede vil vi betegne med fx∂∂

eller bare xf .

( , ) ( , ) 2xff x y x y xx∂

= =∂

Hvis vi tilsvarende holder x konstant, kan vi differentiere f mht. y:

( , ) ( , ) 2yff x y x y yy∂

= =∂

Men hvad kan vi bruge disse partielle aflede til? Jo, de fortæller os noget om hvor hurtigt grafen for f vokser/aftager når vi går ud af grafen parallelt med en af koordinatakserne.

91

Figur 5.10. 0.4x = − .

Figur 5.11. 0.5y = .

Figur 5.12. Figur til eksempel 5.3.5.

Bevæger vi os parallelt med y-aksen, altså holder x fast, så fortæller yf os noget om hvordan grafen for f opfører sig parallelt med y-aksen. Hvis vi tilsvarende holder y fast, så fortæller xf os noget om hvordan grafen for f opfører sig parallelt med x-aksen Hvis vi skærer en skive ud af figur 5.9 parallelt med en af koordinatakserne, så kan vi se hvordan dette virker i praksis. På figur 5.10, har vi givet x værdien -0.4 og undersøgt, hvordan grafen for f opfører sig, når vi varierer y. Indsættes 0.4x = − i funktionsudtrykket for f så får vi følgende:

2 2 2( 0.4, ) ( 0.4) 0.16 ( )f y y y g y− = − + = + = Vi kan altså se at grafen for f skal opføre sig som en parabel, og det er præcist, hvad vi kan se på figur 5.10. Funktionen yf fortæller os så, hvad hældningen er langs denne parabel, nemlig ( , ) 2yf x y y= , hvilket er præcist det vi ville forvente. På figur 5.11 har vi sat y til 0.5 og igen undersøgt, hvordan grafen for f vil opføre sig for varierende x-værdier. Igen får vi en parabel, som nu er givet ved:

2( ,0.5) 0.25 ( )f x x g x= + = Nu er det funktionen xf , som fortæller os hvad hældningen af grafen for g er, nemlig ( , ) 2xf x y x= , som igen er det vi ville forvente langs en parabel. Lad os se på endnu et eksempel. Eksempel 5.3.5. Lad denne gang funktionen g være givet ved:

( )2( , ) 2 sin( ), , [0;2] [1;4]g x y xy xy x y= − ∈ × Lad os gentage analysen fra eksempel 5.3.4. Først holder vi y fast og beregner xg :

92

Figur 5.13. 1x = .

Figur 5.14. 3y = .

2( , ) ( , ) 2 cos( )xgg x y x y y y xyx∂

= = −∂

Vi kan se at den afledte mht. x ikke længere kun afhænger af y men af begge variable. Tilsvarende kan vi holde x fast og beregne yg :

( , ) ( , ) 4 cos( )ygg x y x y xy x xyy∂

= = −∂

Denne afledede afhænger også af begge variable. Lad os se hvad der sker hvis vi giver de to variable en fast værdi. Lad x være lig 1 – så får vi kurven på figur 5.13 givet som grafen for (1, )g y med hældning givet ved:

(1, ) 4 cos( )yg y y y= − Giver vi y værdien 3 får vi kurven på figur 5.14 givet som grafen for ( ,3)g x med hældning givet ved:

( ,3) 18 3cos(3 )xg x x= − . Mere specifikt kan vi se, at i punktet ( )1,3 vil grafen for g have hældningen (1,3) 18 3cos(3)xg = − i x-aksens retning og hældningen (1,3) 12 cos(3)yg = − i y-aksens retning. Definition 5.3.6. Lad f være en funktion af to variable x

og y. De to afledede xffx∂

=∂

og yffy∂

=∂

(hvis de

eksisterer) vil vi kalde de partielle aflede af f. Lad endvidere ( ),a b være et punkt i definitionsmængden for f, hvor de afledte eksisterer og er kontinuerte. Så fortæller værdien ( , )xf a b os hvad hældningen af grafen for f i punktet ( , )f a b vil være i x-aksens retning – tilsvarende fortæller værdien ( , )yf a b os hvad hældningen af grafen for f i y-aksens retning er.

93

Kan vi altid være sikre på at de afledede eksisterer (og er kontinuerte)? Nej, det kan vi faktisk ikke, men husk på at de partielle afledede jo findes ved at holde den ene variabel fast og differentiere mht. den anden - så at finde de partielle afledede svarer bare til at differentiere en funktion af én variabel, og blandt disse kender vi rigtig mange, som er differentiable. Definition 5.3.7. Lad f være en funktion af to variable. Hvis både xf og yf eksisterer i en omegn af punktet

( ),a b og er kontinuerte i dette punkt, så vil vi kalde f

differentiabel i ( ),a b . Hvis f er differentiabel i alle punkter i definitionsmængden, vil vi blot kalde f differentiabel. Niveaukurver: Lad f være en funktion af to variable x og y. Lad endvidere k ∈ være et vilkårligt reelt tal. En niveaukurve defineres til at være de punkter ( ),x y i definitionsmængden for f, som opfylder ligheden:

( , )f x y k= Der er flere muligheder for løsningsmængder til en sådan lighed. Løsningsmængden kan være tom, bestå af ét enkelt punkt, bestå af flere punkter, beskrive en kurve eller et åbent område i planen, eller måske endda være kombinationer af disse. Det er f.eks. klart, at hvis k ikke ligger i værdimængden for f, så er løsningsmængden tom. Lad os nu se på et eksempel: Eksempel 5.3.8. Lad f være givet ved:

( )2 2( , ) , , [ 1;1] [ 1;1]f x y x y x y= + ∈ − × − Det er nemt at se at værdimængden for f er givet ved:

( ) [0;2]Vm f =

94

Figur 5.15. Forskellige niveaukurver.

Hvis vi vil løse en lighed af typen ( , )f x y k= ved vi altså at løsningsmængden er tom hvis k ikke ligger i intervallet [0;2] . Lad os undersøge, hvad der sker, hvis k faktisk ligger i dette interval:

0k = : Da 2 2( , ) 0f x y x y k= + = = og både 2x og 2y er positive, så har ligheden kun en løsning, nemlig ( , ) (0,0)x y = (figur 5.15).

12

k = : Vi ved at ligningen 2

2 2 1 12 2

x y ⎛ ⎞+ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

beskriver en cirkel med radius 12

, som vi

kan se er helt indeholdt i definitionsmængden for f. løsningsmængden er derfor hele denne cirkel (figur 5.15).

32

k = : Ligningen 2

2 2 3 32 2

x y⎛ ⎞

+ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

beskriver

en cirkel med radius 32

.

Da denne ikke er helt indeholdt i definitionsmængden for f, så er løsningsmængden til ligheden kun den del af cirklen, som ligger i definitionsmængden (figur 5.15).

2k = : Samme analyse som ovenfor viser at løsningen til ligningen 2 2 2x y+ = er en cirkel med radius 2 . Løsningen til vores ulighed er derfor i dette tilfælde de fire punkter ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 , 1,1 , 1, 1 og 1,1− − − − (figur 5.15). Som du kan se, så kan niveaukurven hørende til en givet k-værdi bestå af forskellige dele.

95

Figur 5.16. Grafen for

2 2( , )f x y x y= −

Figur 5.17. Niveaukurver for f.

Figur 5.18. Sammenhæng mellem niveaukurver og grafen for f.

Eksempel 5.3.9. Lad f være givet ved:

2 2( , )f x y x y= − Grafen for f er vist på figur 5.16. Hvis k er lig 0 så skal vi altså løse ligheden:

( )( )2 2 0x y x y x y− = + − =

Dette kan kun lade sig gøre, hvis x y= eller x y= − - niveaukurverne hørende til denne k-værdi er altså to rette linier. Hvis k er forskellig fra 0 så er niveaukurverne hyperbler, som har disse linier som asymptoter. Du kan se nogle af niveaukurverne for f på figur 5.17. Men hvad er egentlig sammenhængen mellem niveaukurverne for en funktion og grafen for samme funktion? Jo, på figur 5.18 kan du se både niveaukurverne og de dele af grafen for f, som hører til disse niveaukurver. At løse ligningen ( , )f x y k= , hvor k er en konstant svarer til at vi kun interesserer os for den del af definitionsmængden for f, som har funktionsværdi k. Niveaukurven svarende til denne k-værdi er så projektionen af denne del af grafen på xy-planen. Hvis vi kender mange niveaukurver og den k-værdi, som hører til kan vi derfor udlede noget om, hvordan selve grafen for funktionen ser ud. Gradienter: Lad f være en funktion af to variable x og y. Hvis de to afledte ( , )xf x y og ( , )yf x y eksisterer i

punktet ( )0 0,x y , så kan vi se på vektoren

( )0 0 0 0( , ), ( , )x yf x y f x y , som vi vil kalde gradientvektoren

til f i punktet 0 0( , )x y og betegne med:

( )0 0 0 0 0 0 0 0( , ) grad ( , ) ( , ), ( , )x yf x y f x y f x y f x y∇ = =

96

Figur 5.19. Gradientvektorer for

2 2( , )f x y x y= +

Figur 5.20. Gradientvektorer og niveaukurver for f.

Figur 5.21. Gradientvektor i ( )2,1 og den tilsvarende niveaukurve.

Eksempel 5.3.10. Lad f være givet ved:

2 2( , )f x y x y= + Da 2x er en differentiabel funktion eksisterer både xf og

yf , og vi kan derfor finde gradientvektoren i alle punkter:

( )( )

( , ) ( , ), ( , )

2 , 2x yf x y f x y f x y

x y

∇ =

=

På figur 5.19, har vi afsat gradientvektorerne i forskellige punkter med fodpunkt i det pågældende punkt. Som du ser, peger de alle sammen væk fra origo og bliver længere desto længere væk fra origo vi kommer. Hvis vi også skitserer nogle af f’s niveaukurver (figur 5.20), så ser det ud til at gradientvektorerne er normalvektorer til disse. Lad os se på punktet ( ) ( )0 0, 2,1x y = . I dette punkt har f funktionsværdien 5. Niveaukurven, som går gennem dette punkt, svarer derfor til en k-værdi på 5. Gradientvektoren til f i dette punkt, kan vi også beregne:

( )(2,1) 4, 2f∇ = Indsætter vi disse i et koordinatsystem, ser det ud som på figur 5.21. Igen kan vi se at gradientvektoren er en normalvektor til niveaukurven. Dette er ikke nogen tilfældighed, og der gælder faktisk følgende: Sætning 5.3.11. Hvis ( , )f x y er differentiabel i punktet ( ),a b og ( , ) 0f a b∇ ≠ , så gælder at ( , )f a b∇ er en normalvektor til niveaukurven for f, som går gennem punktet ( ),a b . 10 I afsnit 5.3.4 skal vi se, hvordan denne sætning danner grundlaget for en metode til at beregne min/maks-punkter for en funktion af to variable.

10 Se [RA] s. 679 for et bevis.

97

Figur 5.22.

Figur 5.23.

5.3.3. Eksistens af ekstrema. Vi har set at kontinuerte funktioner af én variabel altid har maksimums- og minimumspunkter på lukkede og begrænsede intervaller. Gad vide om noget lignende gør sig gældende for funktioner af to variable!?! Inden vi undersøger dette, vil vi dog se nærmere på, hvad vi egentlig vil mene med at en funktion af to variable har et ekstremumspunkt. Definition 5.3.12. Vi vil sige at en funktion f af to variable defineret på et område 2O ⊆ har et globalt maksimum i punktet 0 0( , )x y O∈ , hvis der gælder:

0 0( , ) ( , ), ( , )f x y f x y x y O≤ ∀ ∈ Tilsvarende vil vi sige at en funktion af to variable f defineret på et område 2O ⊆ har et globalt minimum i punktet 0 0( , )x y O∈ , hvis der gælder:

0 0( , ) ( , ), ( , )f x y f x y x y O≥ ∀ ∈ Betingelsen som en funktion af to variable skal opfylde for at have et globalt maksimum eller et globalt minimum er altså at der ikke må eksistere nogen punkter i funktionens definitionsmængde, hvor funktionsværdien er større hhv. mindre. Betingelsen for at have et lokalt minimums-/maksimumspunkt er i tilfældet med funktioner at to variable lidt mere indviklet. For at kunne definere disse ting er vi nødt til først at indføre noget notation. Vi vil gerne være i stand til at kunne tale om et lille åbent område i planen, som indeholder et givet punkt. Lad

( ),P x y= være et punkt i planen og 0ρ > være et positivt tal. Med betegnelsen ( )B Pρ vil vi betegne cirklen med centrum i P og med radius ρ (figur 5.23).

98

Figur 5.24. Figur til definition 5.3.13.

Definition 5.3.13. Lad f være en funktion af to variable defineret på et område 2O ⊆ . Lad ( )0 0 0,P x y O= ∈ være et punkt i definitionsmængden for f. Vi vil kalde 0P et lokalt maksimumspunkt hvis der eksisterer et 0ρ > således at f opfylder:

0 0 0( , ) ( , ), ( , ) ( )f x y f x y x y O B Pρ≤ ∀ ∈ ∩ Tilsvarende vil vi kalde 0P et lokalt minimumspunkt hvis der eksisterer et 0ρ > således at f opfylder:

0 0 0( , ) ( , ), ( , ) ( )f x y f x y x y O B Pρ≥ ∀ ∈ ∩ . Kravet til punktet 0P er altså at der skal være et område, som indeholder 0P , således at alle funktionsværdier i dette område er enten mindre eller større end

0 0 0( ) ( , )f P f x y= (figur 5.24). Det spørgsmål vi lovede at vende tilbage til er spørgsmålet, om vi altid kan være sikre på at en funktion af to variable har et globalt maksimum/minimum. Svaret er: NEJ, vi kan ikke altid være sikre, men der findes heldigvis en sætning, som giver nogle tilstrækkelige betingelser for at et ekstremumspunkt eksisterer. Sætning 5.3.14. Hvis f er kontinuert på et lukket og begrænset område D i planen, så har f både et globalt maksimum og et globalt minimum. Dvs. der findes punkter 0 0( , )x y R∈ og 1 1( , )x y D∈ således at 0 0( , )f x y er et globalt maksimum og 1 1( , )f x y er et globalt minimum. Denne sætning fortæller os altså at under de rette omstændigheder, så har en funktion af to variable altid ekstremumspunkter. Men hvordan skal vi bære os ad med at finde disse ekstremer, hvis de eksisterer? I tilfældet med differentiable funktioner af én variabel skulle vi finde de x-værdier, hvor (́ ) 0f x = og lede blandt disse punkter og intervalendepunkterne.

99

Figur 5.25. Definitionsområdet i eksempel 5.3.15.

Figur 5.26. Graf for funktionen i eksempel 5.3.15.

Noget tilsvarende gør sig gældende for funktioner af to variable. Lad f være en kontinuert funktion på et lukket og begrænset område R. Metode: - Bestem de punkter hvor ( , ) ( , ) 0x yf x y f x y= = - Evaluer f i disse punkter. - Find f’s ekstremer på randen af R. - Den største af de fundne værdier er f’s maksimum og den mindste er f’s minimum. Eksempel 5.3.15. Lad f være givet ved:

2( , ) , ( , )f x y x y x y R= + ∈ hvor R er området afgrænset af de to koordinatakser og linien med ligning 1y x= − + . På figur 5.25 ses området R, mens figur 5.26 viser grafen for f fra to forskellige vinkler. Da f er sammensat af polynomier ved vi den er kontinuert, desuden er det klart at R er lukket og begrænset. Først finder vi punkter, hvor de partielle afledte af f er nul:

( , ) 2 0 0( , ) 1 0

x

y

f x y x xf x y

= = ⇔ == ≠

Da yf altid er forskellig fra nul, så har f ingen af disse punkter. Nu mangler vi at lede på randen af R. I: Her er y lig nul, så vi kan reducere f til:

2( ,0) , [0;1]f x x x= ∈ Da 2x er voksende kan vi hurtigt se at vi her har maksimum i 1x = og minimum i 0x = og at:

(0,0) 0f = og (1,0) 1f = .

100

II: Her er x lig nul, så vi får:

(0, ) , [0;1]f y y y= ∈ Igen ser vi at vi har maksimum i 1y = og minimum i

0y = og at: (0,0) 0f = og (0,1) 1f = .

III: Her er 1y x= − + . Indsætter vi dette i f, så får vi:

2( ) ( , 1) 1, [0;1]g x f x x x x x= − + = − + ∈ Vi skal altså finde ekstremer for g på intervallet [0;1] . I endepunkterne får vi:

(0) 1, (1) 1g g= = og hvis vi sætter ´g lig nul:

1(́ ) 2 1 0 2

g x x x= − = ⇔ =

Evaluerer vi g i 12

x = , så får vi:

21 1 1 1 2 31 12 2 2 4 4 4

g ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sammenligner vi nu de fundne funktionsværdier, så kan vi se at f har globale maksimumspunkter i (1,0) og (0,1) med maksimumsværdi (1,0) (0,1) 1f f= = . Desuden kan vi se at f har et globalt minimumspunkt i (0,0) med minimumsværdi (0,0) 0f = . Det kan altså være betydeligt mere besværligt at finde ekstremumspunkter og værdier for en funktion af to variable, især hvis randen af området R er svær at beskrive ved simple ligninger. I nogle tilfælde kan denne metode være helt umulig at anvende, f.eks. hvis funktionen, som i dette tilfælde, ingen punkter har, hvor de afledte er nul, og hvis man ikke er i stand til at finde ekstremer på randen af området. I et sådant tilfælde kan man altså blive nødt til at ty til andre metoder. En sådan vil vi beskrive i næste afsnit.

101

Figur 5.27. Figur til eksempel 5.3.16.

5.3.4. Lagrange’s metode. Det vi skal undersøge nu er, hvordan man kan maksimere eller minimere en givet funktion, under den antagelse at de tilladte variabel-værdier skal opfylde endnu en betingelse. Eksempel 5.3.16. Lad funktionen f være givet ved:

( ) 2( , ) , ,f x y x y x y= + ∈ Lad endvidere O være det område i planen, som er givet ved: 2 2 1x y+ = . Dvs.:

{ }2 2 2( , ) 1O x y x y= ∈ + =

Vi vil nu forsøge at finde maksimums- og minimumspunkter for f, men med den betingelse at de tilladte koordinatværdier ( ),x y skal tilhøre O. Dette vil vi også kalde at optimere funktionen f over området O. Vi genkender O som en enhedscirkel i xy-planen. Vi ved også fra teorien om planer i rummet at

( ),z f x y x y= = + giver ligningen for en plan med

normalvektor ( )1,1, 1n = − og som indeholder punktet

( )0,0,0 (figur 5.27). Tillader vi kun at de to variable x og y må ligge i O, svarer det til at finde de(t) punkt(er) på den grønne ellipse på figur 5.27 med størst hhv. mindst z-værdi. Hvordan skal vi nu bære os ad med det? Ser vi efter på figur 5.27, ser det ud til at f antager sit

maksimum over O i punktet 2 2,2 2maksP

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

og

tilsvarende at f antager sit minimum over O i punktet

min2 2,

2 2P

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, men kan vi nu også være helt sikre

på at det er i disse punkter at f antager sine ekstremal -værdier over O ? – og er vi overhovedet sikre på at der findes punkter i O som maksimerer/minimerer f ?

102

Lad os forsøge at regne analytisk på opgaven. Vi skal altså maksimere z x y= + givet at x og y skal opfylde ligheden 2 2 1x y+ = . Vi kan isolere x i den sidste ulighed og indsætte det i ligningen for z:

2 2

2 2

2

1

1

1 , 1

x y

x y

x y y

+ =

= −

= ± − ≠ ±

og 2( , ) 1 , ] 1;1[f x y z x y y y y= = + = ± − + ∈ −

Nu afhænger f kun af y – derfor kan vi indføre to ny funktioner f+ og f− givet ved 2( ) 1f y y y+ = + − + og

2( ) 1f y y y− = − − + begge defineret på intervallet ] 1;1[− . At optimere f over O er nu ækvivalent til at optimere f± på det åbne interval ] 1;1[− og kontrollere hvad der sker i værdierne 1y = ± . Jeg vil først se på funktionen f+ : Differentierer vi denne funktion og sætter lig nul, får vi:

( )

2

2

2

2 2

2

2´( ) 1 02 1

2 2 1

1 , 0

1 , 0

1 , 02

yf yy

y y

y y y

y y y

y y

+

−= + =

−

= −

= − ⇒ ≥

= − ≥

= ≥

1 2 22

y = =

103

Vi kan udføre en lignende udregning for funktionen f− :

( )

2

2

2 2

2

2(́ ) 1 02 1

1 , 0

1 , 0

1 , 02

1 2 22

yf yy

y y y

y y y

y y

y

− = + =−

− = − ⇒ ≤

= − ≤

= ≤

− −= =

Indsættes disse to y-værdier i ligheden 2 2 1x y+ = , kan vi finde de tilsvarende x-værdier. Dette giver to punkter i O:

1 22 2 2 2, , ,

2 2 2 2P P

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vi skal også huske de to y-værdier 1± . De giver også to punkter i O:

( ) ( )3 40,1 , 0, 1P P= = − For at finde ud af hvilke af disse punkter, der er maksimums-/minimumspunkter indsættes de i f:

( ) ( )( ) ( )

1 2

3 4

2, 2

1, 1

f P f P

f P f P

= = −

= = −

Heraf ses det at 1P er et maksimumspunkt med

maksimumsværdien 2 , mens 2P er et minimumspunkt

med minimumsværdien 2− .

104

Figur 5.28.

Som du kan se skulle der en længere udregning til før vi havde resultatet – og i nogle tilfælde kan man måske slet ikke isolere den ene variabel og substituere sig frem til en løsning – hvad gør man så? Heldigvis er svaret: Der findes andre metoder til at løse sådanne problemer, som måske kan hjælpe os når metoden med at isolere en variabel og substituere kommer til kort. En af disse metoder vil vi undersøge nærmere. Inden jeg beskriver metoden, skal vi lige være helt enige om hvad vi vil forstå ved at maksimeringsproblem med sidebetingelse. Definition 5.3.17. Lad f og g være to funktioner af to variable x og y. Antag at både f og g har kontinuerte partielle afledede. Vi ønsker at maksimere/minimere ( ),f x y under betingelsen at x og y skal opfylde betingelsen ( ),g x y k= , hvor k er en konstant.

Dette kaldes et maksimeringsproblem med én sidebetingelse. Dvs. at vi ønsker at optimere f, men vi lægger et bånd på hvilke x- og y-værdier der tillades som løsninger, nemlig det bånd, at de tilladte x- og y-værdier skal ligge på niveaukurven for g hørende til værdien k. Hvis vi tager eksemplet i 5.3.16, så svarer det til at vi ønsker at optimere funktionen ( ),f x y x y= + langs

niveaukurven for g givet ved: ( ) 2 2, 1g x y x y= + = . Lad os se på, hvordan vi geometrisk kan arbejde os frem til en løsning af et sådant problem. Lad den blå kurve på figur 5.28 være niveaukurven for en funktion g hørende til en givet k-værdi. De røde kurver er niveaukurver for funktionen f, som vi ønsker at optimere. Disse kurver har forskriften ( , )f x y c= , hvor c er en konstant. At maksimere ( , )f x y givet ( , )g x y k= svarer altså til at finde den største værdi af c, så niveaukurven givet ved

( , )f x y c= skærer niveaukurven ( , )g x y k= .

105

Figur 5.29.

På figuren ser det ud til at dette sker netop når disse kurver rører hinanden i ét punkt ( )0 0,x y , dvs. når de har fælles tangentlinie. Men hvis de har fælles tangentlinie, så må kurverne have parallelle normalvektorer i punktet ( )0 0,x y (figur 5.29). Men vi har jo set at gradientvektoren til en differentiabel funktion af to variable i et punkt er normalvektor til niveaukurven, som går gennem dette punkt – derfor må der gælde at der findes en konstant λ∈ således at:

( ) ( )0 0 0 0, ,f x y g x yλ∇ = ∇ Tallet λ kaldes en Lagrange Multiplikator. Den procedure, som vi beskrev ovenfor giver anledning til følgende metode til at finde ekstremumspunkter for en funktion af to variable: Lagrange’s metode: 11 Lad f og g være to differentiable funktioner af to variable. Antag at f begrænset til niveaukurven givet ved

( , ) 0g x y k− = har et lokalt maksimum eller minimum i punktet ( )0 0,x y . Antag yderligere at ( )0 0,x y ikke er et endepunkt for niveaukurven og at 0 0( , ) 0g x y∇ ≠ , så findes en konstant λ således at:

( , ) ( , )f x y g x yλ∇ = ∇ De ligninger som skal opfyldes er altså ligningerne:

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , )

x x

y y

f x y g x yf x y g x y

g x y k

λλ

=

=

=

Metoden garanterer altså ikke at der findes et lokalt ekstrema, men giver en metode til at finde en løsning, som man ved eksisterer. For at finde ud af om et ekstrema eksisterer, er man altså nødt til at bruge andre metoder. Metoden tager heller ikke højde for de punkter, som kan være endepunkter for niveaukurven for g og heller ikke 11 Se [RA] s. 721-723 for et bevis for denne metode.

106

hvad, der sker hvis gradienten af g er nul i punktet – disse punkter kræver altså også deres egen undersøgelse. Det er meget vigtigt at understrege at metoden ikke kan finde de lokale ekstremer for os, men blot kan være en metode til at verificere om et givet punkt kan være et ekstrema eller ej. Lad os forsøge at løse problemet i eksempel 5.3.16 vha. denne metode. Eksempel 5.3.16 fortsat: Vi skal altså løse ligningssystemet:

( )( )

2 2

1 2

1 2

1

x

y

x y

λ

λ

=

=

+ =

Af første og anden ligning fås:

12

x yλ

= =

Indsættes dette i den tredje ligning, kan vi beregne λ :

( )

2 2

2

22

2

2

2

1 1 12 2

1 2 12

1 2 12

2 12

1 12

1 2

1

λ λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

=

= ±2

107

Figur 5.30. Grafen givet ved 3 2y x= .

Indsættes disse to værdier i ligning 1 og 2 igen, så får vi to x-værdier og to y-værdier:

2 2, 2 2

x y= ± = ±

som igen giver anledning til fire punkter, som er de samme som vi beregnede før – bare på en mere besværlig måde. Vi skal også huske at kontrollere punkter, som Lagranges metode ikke tager højde for. Lad os derfor beregne gradienten af 2 2( , )g x y x y= + :

( )( , ) 2 , 2g x y x y∇ = som kun kan være lig (0,0) i punktet (0,0) , men her er funktionsværdien af f lig nul, så dette punkt er ikke et globalt ekstrema for f. Vi skulle også se på endepunkterne for niveaukurven for g, men i dette tilfælde er niveaukurven en cirkel – altså ingen endepunkter. Eksempel 5.3.18. Lad ( , )f x y y= og lad niveaukurven være givet ved 3 2( , ) 0g x y y x= − = . Det er klart, at f har et minimum i punktet (0,0) langs denne niveaukurve. Lad os prøve at bruge Lagranges metode. Vi skal altså løse ligningssystemet:

( )( )2

3 2

0 2

1 3

0

x

y

y x

λ

λ

= −

=

− =

Som det kan ses så vil 0y = ikke være en løsning til den anden ligning. Faktisk, så kan man vise at ligningssystemet slet ingen løsninger har. Vi kunne altså ikke bruge Lagranges metode – hvad gik galt?

108

Jo, vi ’glemte’ at kontrollere om gradienten af g er nul, eller om punktet er en endepunkt på niveaukurven. Det er klart at (0,0) ikke er et endepunkt, men at

(0,0) 0g∇ = . Lagrange’s metode har altså både fordele og ulemper. Den kan anvendes, hvor vi ikke kan finde ekstremer på almindelig vis, men man skal huske at det har en pris. Der er ekstra betingelser, som skal være opfyldt og i nogle tilfælde giver metoden slet ikke noget resultat.

109

Figur 5.31. En ”øldåse”.

5.4. Hvordan gik det med Ølproducenten? Dialog: ØL: En gerrig ølproducent og MAT: En matematiker med viden om optimering fra denne tekst: ØL: Åh, jeg kunne nu stadig godt tænke mig at få mere profit ud af min ølproduktion, jeg tror jeg kan spare lidt på produktionen af øldåser. MAT: Det lyder da fint, hvad havde du tænkt dig? ØL: Jo, dåserne skal beholde den form de har nu, men jeg vil ikke bruge mere end 500g aluminium pr. dåse, og så kunne jeg godt tænke mig at finde ud af, hvor stor dåsen skal være for at kunne indeholde så meget øl, som muligt. MAT: Lad mig se – rumfanget af en dåse med radius r og højde h er givet ved:

2( , )V V r h r hπ= = og hvis aluminium har massefylden 3 [ / ]g mmρ og aluminiumspladen er 1mm tyk, så er dåsens vægt givet ved:

( )2( , ) 2 2 1g r h r rh mmρ π π= + ⋅ Ok, så skal vi altså optimere funktionen ( , )V r h givet at

( , ) 500g r h = . Lad mig nu se, jo det kan jeg godt regne ud for dig.

110

5.5. Opgaver til Kapitel 5. Opgave 5.5.1. Vis at ligningssystemet i eksempel 5.3.18 ingen løsninger har. Opgave 5.5.2. Find alle ekstremer (både globale og lokale) for funktionen 3 2( ) 1f x x x= − + Opgave 5.5.3. Vis at grænseværdien:

2 2

2 2( , ) (0,0lim

x y

x yx y→

−+

ikke eksisterer. Opgave 5.5.4. Find grænseværdien:

2

( , ) 1,4lim x y

x ye +

→

hvis den eksisterer. Opgave 5.5.5. Skitser niveaukurverne givet ved:

2( , ) 1g x y x y= + = og 2( , ) 2g x y x y= + = Opgave 5.5.6. Bestem maksimum og minimum for funktionen h givet ved:

2( , ) 3 , ( , ) [ 1;1] [ 1;1]h x y xy x x y= + ∈ − × − .

Opgave 5.5.7. Løs ølproducentens problem for 310 gmm

ρ = .

Sandt/falsk: Udsagn 5.5.8 . To forskellige niveaukurver hørende til den samme funktion kan aldrig skære hinanden. Udsagn 5.5.9. Enhver kontinuert funktion defineret på et interval har lokale minima og maksima. Udsagn 5.5.10. Hvis

( , ) (2,1)lim ( , ) 6

x yf x y

→= så gælder at (2,1) 6f = .

Udsagn 5.5.11. Vi kan altid anvende Lagranges metode til at bestemme ekstremer for en funktion af 2 variable langs niveaukurven givet ved:

2 3( , ) 0g x y x y= + =

111

Kapitel 6. En anden måde at beskue det isoperimetriske problem på. I vores gennemgang af det isoperimetriske problem, der har vi egentlig ikke anskuet det direkte som et maksimeringsproblem. I beviset for løsningen til problemet viste vi, at de omtalte kurver var nødt til at opfylde en given ulighed, og vi viste at der kun kunne være lighed hvis kurven var en cirkel. Eksistensen af løsningen viste vi ved faktisk at konstruere en sådan løsning. Vi kan også stille problemet op, som et generelt maksimeringsproblem.

Problemet med at optimere et integrale 0 ( , , ,́ )́b

a

F x y x y dt∫ givet at et andet integrale

1( , , ,́ )́b

a

F x y x y dt∫ skal have en konstant værdi er det klassiske problem vi forsøger at løse.

Den mængde vi forsøger at optimere over, består af kurver, som opfylder nogle passende betingelser, f.eks. at de skal være regulære, lukkede, simple osv. Det integrale, som skal holdes konstant kaldes den isoperimetriske betingelse. I vores tilfælde er funktionen 0F givet ved:

0 ( , , ,́ )́ ´F x y x y xy= eller 0 1( , , ,́ )́ ( ´ ´)2

F x y x y xy yx= −

og integralet er det integrale, som beregner det areal, som afgrænses af en given kurve r, altså:

( )1( ) ´ ´ ´2

b b

a a

A r xy dt xy yx dt= = −∫ ∫

I den isoperimetriske betingelse er funktionen 1F givet ved:

( ) ( )2 21( , , ,́ ´) ´ ´F x y x y x y= + og den isoperimetriske betingelse lyder derfor:

( ) ( )2 2´ ´b

a

l x y dt= +∫

hvor l er en konstant. Vi kan altså beskrive det isoperimetriske problem som maksimeringsproblemet givet på følgende måde: Find blandt en passende mængde af kurver den kurve, som maksimerer integralet

( )0 1´ ´ ´2

b b

a a

I xy dt xy yx dt= = −∫ ∫

givet at værdien af integralet

( ) ( )2 21 ´ ´b

a

I x y dt= +∫

skal holdes konstant.

112

Hvis en sådan kurve altså eksisterer! Vi har tidligere set eksempler på maksimeringsproblemer, som ingen løsninger havde, og vi kan da heller ikke umiddelbart være sikker på, at dette problem har en løsningskurve. Weierstrass arbejdede meget med problemer af denne type, og var i ca. 1880 i stand til at komme med nogle nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at en løsning skulle eksistere. En af de nødvendige betingelser minder en del om betingelsen i Lagranges metode til bestemmelse af ekstremer for en funktion af to variable givet en sidebetingelse. Lad funktionen F være givet ved 0 1F F Fλ= − , hvor λ er en konstant. Weierstrass konkluderer så 12 : Hvis der eksisterer en kurve, som maksimerer integralet 0I mens integralet 1I har en foreskrevet værdi, så må der eksistere en konstant λ således at koordinaterne til et vilkårligt punkt på kurven opfylder differentialligningerne:

0´

F d Fx dt x

∂ ∂⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

og

0´

F d Fy dt y

⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Betingelsen ovenfor er altså en nødvendig betingelse for, at en given kurve kan være en løsning. Den siger ikke, at en sådan kurve faktisk er en løsning! - Vi ved at ( )( ) cos( ),sin( ) , [0;2 ]r t t t t π= ∈ er en parametrisering af enhedscirklen, så lad os se hvordan betingelsen for at være en løsning kan anvendes i praksis: Lad os først beregne F og de partielle afledte af F:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2

´ ´ ´

,́ 0

´ ´, ´ ´´ ´ ´ ´

F xy x y

F Fyx yF x F yxx yx y x y

λ

λ λ

= − +

∂ ∂= =

∂ ∂∂ ∂

= − = −∂ ∂+ +

12 Se [HG] s. 219-236 for en gennemgang af Weierstrass’ nødvendige og tilstrækkelige betingelser.

113

Betingelsen, som skal opfyldes er altså at der skal eksistere en konstant λ således at ligningerne

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

´ ´ 0´ ´

´ 0´ ´

d xydt x y

d yxdt x y

λ

λ

⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟− − =⎜ ⎟+⎝ ⎠

Skal være opfyldt for alle værdier af t. Hvis vi indsætter de passende funktioner for kurven r, så får vi de to betingelser omskrevet til:

2 2

2 2

sin( ) cos( ) 0sin ( ) cos ( )

cos( )cos( ) 0sin ( ) cos ( )

d ttdt t t

d ttdt t t

λ

λ

⎛ ⎞−⎜ ⎟+ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟− − =⎜ ⎟+⎝ ⎠

Regner vi videre, så får vi:

( )

( )

cos( ) sin( ) 0

cos( ) cos( ) 0

dt tdt

d t tdt

λ

λ

+ − =

− − =

og endelig at:

cos( ) cos( ) 0sin( ) sin( ) 0

t tt t

λλ

− =− =

Vi skal altså kunne finde en værdi af λ så disse ligninger bliver opfyldt for alle [0;2 ]t π∈ . Det er oplagt at ligningerne altid er opfyldte, hvis vi sætter λ lig 1. Vi har altså vist at kurven r opfylder betingelsen for at kunne være en løsning til det isoperimetriske problem, men det betyder stadig ikke at den nødvendigvis er en løsning, blot at den er en kandidat til at være en løsning. Weierstrass arbejdede også en del med tilstrækkelige betingelser, og som det tidligere er blevet nævnt, så fik problemet med at bestemme nødvendige og/eller tilstrækkelige betingelser for, at et problem har en løsning, en større og større rolle, hvor man førhen i større grad havde været interesserede i at beregne en løsning på en eller anden ofte ganske snu måde. Det isoperimetriske problem som vi har beskrevet det i denne rapport, kan altså betragtes som et specialtilfælde i en langt rigere teori, som beskæftiger sig med optimeringsproblemer langs kurver.

114

Kapitel 7. Pædagogiske overvejelser. Det er klart at der i arbejdet med materiale som dette indgår en del pædagogiske overvejelser om, hvordan man bærer sig ad med at skrive brugbart undervisningsmateriale. Det er klart, at man ikke kan behandle emner, som ikke allerede er behandlet i utallige lærebøger og skrifter. Mit udgangspunkt har været at forsøge at give denne præsentationen mit eget præg og skrive det på en måde, som jeg selv ville have fundet interessant, da jeg gik i gymnasiet. Jeg vil i dette kapitel kort give en beskrivelse af de kompetencer, som jeg har taget udgangspunkt i, og som er hentet fra [KM]. Derefter vil jeg undersøge, hvordan læserens kompetencer kunne udvikle sig ved at læse dette materiale, for til sidst at beskrive, hvordan mine egne kompetencer har, om ikke ændret sig, så skiftet fokus til en anden gruppe af kompetencer.

7.1. Kort redegørelse for matematiske kompetencer. Jeg tager i det følgende udgangspunkt i de betegnelser, som anvendes i [KM]. Kompetencerne bliver her stillet op i to hovedkategorier, som dog ikke er helt disjunkte.

Figur 7.1. Oversigt over matematiske kompetencer.

Grunden til at kompetencerne er opdelt i to kategorier er, som ”Kompetencer og matematiklæring” antyder, at det giver fornuft at snakke om to overordnede kategorier indenfor matematiklæring. For det første at vide, hvilke spørgsmål og svar, der almindeligvis opstår i forbindelse med de forskellige matematikdiscipliner – altså at kunne spørge og svare i, med, om matematik.

115

For det andet at kunne benytte de tekniske hjælpemidler såsom lommeregner, PC og diverse software, og at kunne finde rundt i alle matematikkens forskellige symboler og fremstillingsmetoder – altså at kunne omgås matematikkens sprog og redskaber. Som det antydes på figuren, er der selvfølgelig bånd mellem de to kategorier. Jeg vil her give en kort introduktion til de otte kompetencer, og ellers henvise den interesserede læser til [KM]. Tankegangskompetence: At være klar over, og være i stand til at formulere de spørgsmål, som typisk dukker op i matematik, herunder at kunne skelne mellem nødvendige og tilstrækkelige betingelser og at kunne skelne mellem definitioner, sætninger, enkelttilfælde mv. Problembehandlingskompetence: Kort sagt dækker denne kompetence over evnen til at kunne opstille og løse matematiske problemer, hvor vi med matematisk problem mener et problem, som kræver matematiske færdigheder for at kunne løses. Modelleringskompetence: At være i stand til at kunne analysere foreliggende eller foreslåede modeller, og at kunne opstille en model til behandling af et problem uden for matematikken selv. Ræsonnementskompetence: At være i stand til at følge og bedømme et matematisk ræsonnement, at kunne afdække de bærende ideer i et bevis og selv at kunne udtænke ræsonnementer. Repræsentationskompetence: At kunne forstå forskellige typer af præsentationer, og selv være i stand til at benytte disse. At kunne forstå forbindelserne mellem forskellige præsentationer af samme sagsforhold og at kunne udvælge den præsentation, som passer bedst til beskrivelse af et bestemt aspekt. Hjælpemiddelkompetence: At vide, hvilke hjælpemidler man har til rådighed som matematiker og være i stand til at benytte disse. Endvidere at forstå, hvilke begrænsninger disse hjælpemidler har i forhold til forskellige situationer. Kommunikationskompetence: At være i stand til at forstå og sætte sig ind i matematikholdige skrifter, udsagn mv., og selv at være i stand til at udtrykke sig forståeligt og klart på forskellige niveauer overfor modtagere af forskellig matematisk baggrund. Symbol- og formalismekompetence: At kunne afkode symbol- og formelsprog og være i stand til at oversætte dette til naturligt sprog, og selv at kunne benytte dette sprog. At kunne forstå de gængse spilleregler, hvad angår at vælge de korrekte symboler og formelsprog. Ud over kompetencerne taler man også om dækningsgrad inden for de forskellige områder. Dækningsgrad er dog ikke noget, der kan bedømmes på en skala, eller gives en fast værdi. Man kan f.eks. have en stor dækningsgrad indenfor problembehandlingskompetencen i gymnasiet, hvis man er god til at løse opgaver, mens en universitetsstuderende nok vil sige at den pågældende person kun har en begrænset dækningsgrad. Når jeg i det følgende taler om dækningsgrader, så vil det derfor oftest være i forbindelse med sammenligning af flere kompetencer, på samme niveau. Som sagt var dette kun en kort beskrivelse af de otte kompetencer, og ordlyden i beskrivelserne af disse er for størstedelens vedkommende hentet direkte fra [KM] 13.

13 Se [KM] s. 43-65 for en større gennemgang af de otte kompetencer, bl.a. med en omfattende eksemplificering.

116

7.2. Kompetencer i denne rapport. Denne rapport er ikke en lærebog i matematik, og forsøger efter min opfattelse heller ikke at være det. Den skal derimod opfattes som et supplement til den almindelige undervisning og som et forslag til et emne, som kunne behandles i en 3G opgave i matematik. Det at den ikke er en lærebog, medfører også at der ikke er et krav om at den skal dække så mange kompetencer som muligt. Derimod vil den kunne anvendes til at styrke elevernes evner indenfor enkelte kompetencer og måske introducere dem for nye elementer af allerede kendte kompetencer og få øjnene op for, at der er et utroligt stort felt af matematik, som ikke hverken kan beskrives eller forstås direkte ud fra den kendte gymnasiematematik. Jeg vil i det følgende beskrive i hvor stor, eller lille, grad de forskellige kompetencer tilgodeses i denne rapport. Tankegangskompetence – til en vis grad: De fleste matematiske emner, som behandles i gymnasiet er af typen: Hvis jeg skal regne det her ud, hvordan gør jeg så det, eller, hvordan ville den her funktion se ud, hvis jeg tegner den på dobbeltlogaritmisk papir. Eller sagt på en anden måde: Den er designet til at give de studerende de nødvendige værktøjer til at kunne udføre de mest grundlæggende beregninger indenfor økonomi og funktionsanalyse. Det er selvfølgelig en lidt grov karakteristik, men undervisningen i gymnasiet er selvfølgelig præget af at skulle dække et stort område og at man er nødt til at gå forholdsvis langsomt frem. Denne rapport kan forhåbentlig være med til at ændre den måde læseren tænker matematik, forstået på den måde at man bliver klar over, at der er mange andre spørgsmål, som kan være interessante i matematisk sammenhæng. Eksempler: - I opgave 1.2.9 stilles bl.a. opgaver af typen: Findes der …? – hvis ja, hvad sker der så? - De forskellige sandt/falsk spørgsmål, f.eks.: Er det sandt eller falsk at en lukket kurve altid vil være regulær. - Er det sandt at enhver kontinuert funktion defineret på et interval, har både minimum- og maksimumværdier Problembehandlingskompetence – i nogen grad: Denne kompetence kommer selvfølgelig mest til udtryk gennem de opgaver, som jeg stiller undervejs – men den dækker også over evnen til at kunne forstå, at det overhovedet skulle være et problem at antage, at det isoperimetriske problem, i den udgave jeg undersøger her, har en løsning. I en del af de opgaver jeg stiller, forsøger jeg at formulere opgaven på en sådan måde, at læseren selv skal opstille de kriterier, en eventuel løsning af opgaven skal opfylde, altså selv skal være i stand til at afgøre om et resultat er en løsning eller ej. Eksempler: - Find grænseværdien 2

( , ) (1,4)lim x y

x ye +

→ hvis den eksisterer.

- Løs ølproducentens problem.

117

- Lad r være en kurve, som opfylder (́ )r t k= for alle t-værdier. Vis at (́ ) ( ) 0r t r t =i . Hvilken geometrisk betydning har dette. Modelleringskompetence – i mindre grad: Jeg arbejder ikke ret meget med denne kompetence, selvom der selvfølgelig er enkelte eksempler, som kan ses som modelprocesser. Eksempler: - Hvordan beskrives en kurve? Opbygning af modellen fra bunden af med simple eksempler på kurver op til nogle af de egenskaber, som de modellerede kurver kan opfylde. - Opbygning af en model til beskrivelse af ølproducentens problem og til løsning af samme. Ræsonnementskompetence – til en vis grad: En del af denne kompetence dækkes af de opgaver, som stilles undervejs. En større del gennem de forskellige typer af beviser, som anvendes. Der er for eksempel stor forskel på selve beviset for det isoperimetriske problem, og de hjælpelemmaer, som bevises umiddelbart forinden. Jeg forsøger også flere steder at argumentere for et givet udsagn eller en sætning ved en geometrisk, eller logisk overvejelse, som i mange tilfælde kan forklare et udsagn bedre end et stringent bevis. Eksempler: - De forskellige sandt/falsk quizzer, kan være med til at kontrollere om læseren har forstået et bestemt emne og er i stand til at gennemskue om der er yderligere implikationer eller mangler i det gennemgåede materiale. Disse quizzer kan også være med til at kontrollere om læseren er i stand til selv at udtænke ræsonnementer. - De forskellige måder at bevise/anskueliggøre et matematisk resultat kan være med til, at læseren bliver bedre til at gennemskue om et argument/bevis holder, eller om man skyder genvej. Repræsentationskompetence – i mindre grad: Her er det f.eks. den kendsgerning, at flere forskellige parametriseringer kan være præsentationer af den samme mængde, som kan være med til at udbygge læserens evne til at forstå forskellige præsentationer af samme objekt. Her skal også nævnes evnen til at forstå, at det man kender så godt som grafen for en funktion, ligeså godt kan beskrives som sporet af en parametriseret kurve. Eksempler: - De forskellige illustrationer, f.eks. de forskellige illustrationer af hvad en niveaukurve egentlig er. - De forskellige måder at betragte begrebet kontinuitet af funktioner af én variabel – både den stringente version ved hjælp af grænseværdibegrebet og den intuitive, ved at se om grafen kan tegnes uden at løfte blyanten – som figur 3.13 illustrerer så er den ene version i nogle tilfælde ikke tilstrækkelig. - En kurve som et objekt i planen, eller som et sæt af ligninger.

118

Hjælpemiddelkompetence – til skitsering af kurver: Denne kompetence har jeg ikke brugt ret meget, bl.a. fordi de fleste gymnasieelever efterhånden har en bred viden om IT og matematiske hjælpeprogrammer. Desuden har de fleste elever en lommeregner, som er i stand til at skitsere parametriserede kurver, så i dette materiale har jeg nedprioriteret anvendelsen af grafregnere og sligt udstyr. Kommunikationskompetence- i større grad: Indenfor denne kompetence, er det nok noget af en udfordring for en (forholdsvis matematisk naiv) gymnasieelev at læse denne rapport. For det første er sproget anderledes, end det de er vandt til. For det andet er der eksempler på matematik på forskellige niveauer, som kræver mere eller mindre omstillingsevne fra læserens side. Hvis rapporten skal anvendes i forbindelse med en 3G-opgave, kræves der også af læseren at denne er i stand til at kunne formidle indholdet i rapporten til en ny læser, nemlig elevens lærer. Eksempler: - Her spiller sandt/falsk quizzerne igen en rolle, idet læseren skal være i stand til at argumentere for sit svar, og gerne i det sprog som opgaven benytter. - Generelt at kunne løse opgaverne og være i stand til at beskrive løsningerne på en forsvarlig måde og i et naturligt sprog. Symbol- og formalismekompetence – i nogen grad: Der anvendes i dette materiale en hel del symbolik og notation som de fleste gymnasieelever ikke kender på forhånd. Her er det igen mit håb at arbejdet med eksempler og opgaver kan være med til at gøre denne notation tilgængelig og anvendelig. Eksempler: - At kunne afkode at udtrykket { }( , ) , ( ) ( , )x y t r t x y∃ = repræsenterer en mængde i planen. - At kunne fortolke meningen med c og d i definitionerne af grænseværdi og kontinuitet.

119

7.3. Hvordan mine kompetencer har ændret sig. Ikke nok med at jeg håber, og tror, at min rapport kan være med til at ændre en gymnasieelevs matematiske kompetencer – arbejdet med den har også ændret mine egne kompetencer. Måske er det ikke så meget det, at den har ændret mine kompetencer - jeg tror det vil være mere passende at sige, at den har skiftet vægten fra én gruppe af kompetencer til en anden. I løbet af vores studietid får vi opbygget forholdsvis store evner indenfor visse kompetencer, mens andre måske enten bliver holdt i baggrunden med vilje, eller simpelthen ikke prioriteres særlig højt. På nedenstående figur har jeg forsøgt at skitsere hvilke kompetencer studiet tilgodeser, og hvilke kompetencer arbejdet med mit speciale har fremhævet.

Figur 7.2. Et skift i fokus på kompetencer.

Ud af de seks kompetencer, som ses til venstre, er der især fire, som bliver dyrket på det matematiske studie. Disse fire er: Tankegangs-, Problembehandlings-, Ræsonnements- og Symbol- og formalismekompetencen. Disse kompetencer kan igen deles op i kompetencer som erhverves under bacheloruddannelsen og kompetencer, som erhverves under kandidatoverbygningen.

120

Figur 7.3. Fordeling af dækningsgrader af de fire overordnede kompetencer på matematik

studiet. Som det ses af figuren, mener jeg at Tankegangskompetencen bliver tilgodeset lige meget på de to dele, om end det på bachelor mere gælder om at kunne genkende og skelne mellem betingelser definitioner osv., mens det på overbygningen mere gælder om selv at kunne formulere disse ting. Problembehandlingskompetencen bliver dyrket som en disciplin på bachelor, specielt i forbindelse med teoretiske øvelser. Mange af de nye studerende, og måske også nogle lidt ældre, har ofte den opfattelse, at studiet er en øvelse i beherskelse af problembehandlingskompetencen, således at man kan få en god karakter i den eksamen, som ofte er baseret på denne kompetence. Kun en mindre del af overbygningen beskæftiger sig med denne kompetence – det er der måske to grunde til: Da de fleste på dette tidspunkt har så stor dækningsgrad på dette område er det ikke længere nødvendigt; kompetencen skifter mere i retning af ræsonnementskompetencen. Ræsonnementskompetencen bliver i mindre grad ’dyrket’ på bachelor, hvor der som vist bliver fokuseret mere på problembehandlings- og symbol- og formalismekompetencerne, mens den bliver dyrket på overbygningen. Den store forskel ligger nok i, at man på første del mere gør brug af udenadslære, igen i en eksamenskontekst, mens man på anden del lægger større vægt på at kunne bedømme et bevis’ kvalitet, og selv kunne udtænke lignende ræsonnementer. Vurderingen af, hvordan dækningsgraderne skal fordeles på de to dele af uddannelsen, kan der nok blive en del debat om, da der selvfølgelig ikke er to studerende, som har de samme erfaringer fra uddannelsen, og jeg vil derfor indskyde, at figur 7.3 kun repræsenterer min egen opfattelse og ikke er resultat af nogen form for meningsmåling.

121

På figur 7.2. var der på venstre side yderligere to kompetencer skrevet med kursiv. Det drejede sig om Modelleringskompetencen og Repræsentationskompetencen. Grunden til at disse var med kursiv, er at man for det første kan diskutere om de er en del af uddannelsen, og hvis de er, så er det måske mere ubevidst end bevidst. Modelleringskompetencen er naturligvis en del af bl.a. statistik, datalogi og fysik, men de fleste studerende er ikke klar over det på det tidspunkt undervisningen foregår, og bliver måske heller ikke gjort opmærksomme på det fra deres lærers side, og bliver måske aldrig klar over det. Under vores studie stifter vi på denne måde bekendtskab med mange modeller, men bliver for det meste ikke spurgt om vi kan verificere deres gyldighed, men kun bedt om at kunne anvende dem i praktiske udregninger. Jeg kan nævne eksemplet med Newtons Love. Nogle vil mene at Newtons anden lov F ma= er definitionen på, hvad kraft er, mens andre mener den er en model, som beskriver virkeligheden, og endda ikke engang altid gælder. Denne diskussion bliver man ikke gjort bekendt med i fysikundervisningen, men bruger det nærmest som et aksiom, som begrebet ”kræfter” skal opfylde. Derfor mener jeg altså at modelleringskompetencen kun optræder som en skjult kompetence. Repræsentationskompetencen optræder også kun i mindre grad. De fleste studerende på matematik stifter selvfølgelig bekendtskab med kompetencen når de skal skrive bachelorprojekt og speciale, og i den forbindelse skal udvælge den rigtige litteratur og den bedste præsentation af et bestemt emne. Endelig skal det bemærkes at kommunikationskompetencen for nogle studerendes vedkommende også kan optræde på en figur som figur 7.2. De fleste burde stifte bekendtskab med den til de teoretiske øvelser, men mange instruktorer er meget overbærende når det gælder præsentation af matematik i afleveringer og på tavlen – det handler jo om at udvikle matematiske færdigheder (problembehandlingskompetencen) og ikke om at have en god orden! Der er selvfølgelig en vis dækningsgrad involveret når man har haft et instruktorjob, men igen vil jeg her bemærke, at undervisningen ofte bliver holdt i den specielle matematikjargon, som de fleste hurtigt udvikler på universitetet, og ikke indeholder særlige kommunikationsevner overhovedet, men derimod ofte har en tendens til at indskrænke ens ordforråd og måde at udtrykke sig på. Til højre på figur 7.2 ses de kompetencer jeg mener jeg har opbygget under arbejdet med mit speciale. Det drejer sig om: Repræsentations-, Symbol- og formalisme- og Kommunikationskompetencen. Skal jeg angive dækningsgraderne af disse ser det således ud:

122

Figur 7.4. Kompetencer under specialeskrivning.

Repræsentationskompetencen har spillet en vigtig rolle i udarbejdelsen af mit speciale. Det er utrolig vigtigt at vælge: Det bevis, den figur, de eksempler og opgaver, formulering og sammenhæng, som beskriver matematikken bedst. Her har det hele tiden været en overvejelse, hvordan gymnasieelever på 3G niveau er i stand til at forstå matematik. Jeg har her brugt min egen erfaring som gymnasieelev, til bl.a. at sige at man hele tiden skal sørge for, at der er noget, der kan pirre nysgerrigheden, ellers mister læseren hurtigt koncentrationen og lysten til at læse videre. Jeg har også haft store overvejelser om, hvordan man præsenterer det samlede speciale bedst muligt. Herunder indgår bl.a. overvejelser om, i hvilken rækkefølge de enkelte kapitler skulle komme – skal man starte med at skitsere midlerne, præsentere målet og derefter gå til en dybere analyse, eller skal man køre det hele igennem fra en ende af og slutte med det endelige mål – i dette tilfælde det isoperimetriske problem. Jeg valgte den første fremgangsmåde, bl.a. ud fra den betragtning at jeg ellers ville miste læserens opmærksomhed, hvis han/hun først skulle igennem 50 siders teori inden vi kunne bevise sætningen. Så repræsentationskompetencen har spillet en ikke uvæsentlig rolle i min specialeproces, og derfor mener jeg, at jeg har opnået en vis dækningsgrad indenfor dette område. Symbol- og formalismekompetencen har også spillet en væsentlig rolle. Hvilke symboler og formeludtryk man kan tillade sig at bruge, afhænger selvfølgelig først og fremmest af, hvem modtageren er.

123

I dette tilfælde, hvor modtageren er en gymnasieelev, har jeg forsøgt at lægge mig op af den notation man i forvejen benytter på gymnasiet, og ellers anvende en naturlig udvælgelse af de nye symboler, det har været nødvendigt at indføre. Eksempler: Betegne parametriserede kurver med r i stedet for α som almindeligvis anvendes på universitetet for plane kurver. Bogstavet r kender gymnasieeleverne fra fysikundervisningen, hvor den betegner stedvektorfunktionen for en partikelbevægelse. Reservere tegnet ´ til at betegne den afledte af en funktion af én variabel. På universitet kalder vi funktioner alt mellem himmel og jord. Løber vi tør for egnede bogstaver er vi klar med diverse alternativer: ,́ , , , , , ,i

if f f f f f f f′ osv. og det fremgår oftest af sammenhængen, hvilken betydning man tillægger de enkelte tegn. For gymnasieelever kan man ikke altid være sikker på, at de forstår hvad man mener, hvis man indfører ny notation. Hvis der pludselig står if mener man så den i’te afledte af f, f ophævet i i’te potens eller noget helt tredje. Derfor er det vigtigt at man ligger tæt på den notation de kender og er konsistent med sit valg af notation gennem hele rapporten. Jeg har givet denne kompetence en mindre dækningsgrad på figur 7.4 fordi jeg ikke har opfundet ny notation, men kun har benyttet notation, jeg på et eller andet tidspunkt selv har brugt, men den er dog med, fordi der har ligget en del overvejelser til grund for det endelige valg af notation. Kommunikationskompetencen er den kompetence, som nok har udviklet sig mest under dette forløb. Da jeg startede på specialet forestillede jeg mig, at det kunne jeg nok klare på et par måneder. Matematikken, som indgår, er jo ikke så svær, og jeg har jo haft det hele i kurset Geometri. Men jeg tog fejl gjorde jeg. For det første fandt jeg hurtigt ud af, at hvis man vil forklare andre noget matematik, så er man nødt til selv at have utroligt godt styr på det. For det andet at det er svært at skrive matematik til gymnasieelever, når man er vandt til matematik på universitetsniveau. De ting man regner med at alle nok kender lidt til eller sagtens kan forstå med et enkelt argument, virker pludselig uoverskuelige. Der er en dominoeffekt når man først går i gang med at skrive. Pludselig skal man bruge en sætning om integraler eller grænseværdier, som man for det første ikke kan være sikker på læseren kender på forhånd, og for det andet ofte kan have svært ved at forklare/bevise med den viden læseren har. Derfor kan man være nødt til at gennemgå noget ny teori, som måske kræver nogle andre forudsætninger for at kunne forstås, så man kan blive nødt til at gennemgå noget ny teori ……………… osv. Derfor foregår der en naturlig udvælgelse, når man skal finde ud af, hvad der er relevant og hvad man f.eks. kan klare med en reference til den nysgerrige læser. Det er klart at jo lavere niveau læseren er på, jo flere ting skal der indgå for at de kan forstå det man skriver. Noget som måske ikke er så klart, men som jeg efterhånden er blevet mere og mere overbevist om er sandt, er at på jo lavere niveau man skal skrive gode matematiktekster/lærebøger, jo højere niveau skal man selv være på. F.eks. virker det naturlige talsystem jo umiddelbart meget simpelt, men skal man undervise elever i, hvad det egentlig er for noget, kræver det nok at man har et stort kendskab til emnet.

124

Kommunikationskompetencen har den største dækningsgrad på figuren, fordi det har været en utrolig stor udfordring, at kommunikere den viden jeg har på en forsvarlig måde. Grunden til at det har været så svært for mig at komme ind på livet af det med at skrive for gymnasieelever, er nok også at de kompetencer, som er mest nødvendige ikke bliver prioriteret så højt på det almindelige studie. Det synes jeg egentlig er lidt ærgerligt. For det første fordi det kan give de studerende et mere bredt syn på matematik, men også fordi man ellers kan have en nok så fin Cand.scient. uddannelse og vide en masse om Lie-algebraer, men ikke være i stand til at kommunikere denne viden til andre mennesker, som for de flestes vedkommende vil befinde sig på et andet niveau end én selv. Jeg tror det har været meget sundt for mig at have denne udfordring, og opdage at man først forstår noget til bunds, når man er i stand til at forklare andre det. Jeg tror også det ville være meget sundt for de fleste andre at prøve – enten i form af et instruktorjob, gennem et speciale eller noget helt tredje. Vælger man at skrive et teoretisk speciale, stiller sagen sig noget anderledes. For det første er det matematik på et helt andet niveau, så der bliver stillet betydelige krav til ens egne Ræsonnements-, Problembehandlings- og Tankegangskompetencer. I forhold til figur 7.3, så kan dette ses som en overbygning til anden del; en tredie del om man vil. Man bevæger sig på denne måde mere i en specialiseret retning som teoretisk matematiker, mens man ved at skrive et didaktisk speciale tilgodeser de mere ’bløde’ dele af matematikken. Et teoretisk speciale skrives primært for to læseres skyld, og måske en lille kreds af interesserede teoretikere, mens et didaktisk speciale selvfølgelig stadig skrives til to læsere, men har en meget større målgruppe. Det tvinger forfatteren til at forsøge at forestille sig, hvordan mange forskellige mennesker vil have det med det han har skrevet. De to forskellige specialer har derfor både gode og dårlige sider, rent kompetencemæssigt; men jeg mener, at det didaktiske speciale har flere menneskelige værdier og kan være med til at flytte et menneske i en, mener jeg, god retning. Det er helt klart et ’must’ for de studerende, som har tænkt sig at undervise på det ene eller andet niveau, at skrive et didaktisk speciale.

125

Litteraturliste. Her følger en litteraturliste, med en kort beskrivelse af hvert værk. [TL]: Lindstrøm, Tom: Kalkulus Bind I, 2. udgave. Universitetsforlaget, Oslo 1996. En fantastisk bog, som beskæftiger sig med mange forskellige ting. Bl.a. kan nævnes: Tal, kontinuerte funktioner, følger og rækker. En utrolig velskrevet bog, skrevet i et letforståeligt sprog – dog på norsk. - [HG]: Goldstine, Herman H.: A history of the calculus of variations from the 17th through the 19th century. Forlaget Springer, New York 1980. Bogen tager fat på mange af de klassiske geometriske problemer og forklarer, hvordan de klassiske matematikere behandlede problemerne. Man kan bl.a. læse om, hvordan Fermat, Newton, Euler og Weierstrass forsøgte at løse disse problemer. En god bog, hvis man er historisk interesseret, men niveauet i bogen gør nok, at den ikke vil være tilgængelig for de fleste gymnasieelever. - [RW]: Williamson, Richard E. – Crowell, Richard H. – Trotter, Hale F.: Calculus of Vector Functions. 3. udgave. Prentice Hall, New Jersey 1972. En grundig behandling af vektorfunktioner og deres egenskaber. En god bog, hvis man søger en solid viden om emnet. - [DC]: Do Carmo, Manfredo P.: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, New Jersey 1976 Som en lærebog i kurver og flader, er denne bog fortrinlig. Den behandler mange af de aspekter ved kurver, som også indgår i dette materiale. Sværhedsgraden i bogen er stigende, men det første kapitel om kurver, kan forstås af den ivrige læser på 3G-niveau. -

126

[JS]: Stewart, James: Calculus Concepts and Contexts. Brooks/Cole, 1998. Anvendes som lærebog på universitetets grundlæggende matematikkurser I emner som: Funktioner af 1 eller flere variable, differentiation og integration af funktioner af flere variable. En udmærket bog til den læser, som gerne vil have ”all-round” viden uden at gå så meget i dybden med hvert emne. - [RA]: Adams, Robert A.: Calculus a complete course. 3. udgave. Addison Wesley, 1995. I stil med James Stewarts lærebog. De to bøger har mange ligheder, så det vil være op til den enkelte læser at finde en favorit, da de to bøger stort set beskæftiger sig med de samme emner. - [VH]: Hansen, Vagn L.: Temaer fra Geometrien. Vagn Lundsgaard Hansen og Matematiklærerforeningen 1992. Tryk: P.J. Schmidt, Vojens. En fremragende lille bog, som handler om matematik, samtidig med at den fortæller en god historie. Den kan klart anbefales til eleven/læreren, som gerne vil se kendte aspekter fra geometrien fra en ny vinkel. - [KM]: Kompetencer og matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. 1. udgave, 1. oplag. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18 – 2002. Rapporten forsøger at give en metode til at bedømme undervisningens kvaliteter og elevers evner på forskellige niveauer. Dette mener jeg også er lykkedes, og jeg vil anbefale alle med interesse for matematik at læse i den.

Anvendelse af litteratur: Det er klart at jeg ikke har kunnet skrive noget i denne rapport, som ikke allerede står beskrevet mange andre steder. Definitionerne af kurver og kontinuitet, Greens sætning og bestemmelse af ekstremer for funktioner af én eller to variable er nogle af de emner, som er behandlet i utallige lærebøger og i andre værker.

127

Hvorfor så ikke læse dem, når nu dette materiale åbenbart bare er mere i samme skuffe? Jo, for det første, så er dette materiale ikke lig nogen af de bøger, som f.eks. står i litteraturlisten. Der er godt nok hentet en del materiale og ideer fra disse værker, men det bliver præsenteret på en anden måde – på min måde. For det andet så er målgruppen til disse bøger ofte studerende på videregående uddannelser, eller andre med en større viden om matematik end den gennemsnitlige gymnasieelev. Emnerne i dette materiale er altså hentet i bøger som henvender som til en forholdsvis snæver målgruppe, men det er forsøgt skrevet i et sprog, så det er tilgængeligt for en større skare af matematikinteresserede. Det er oplagt, at hvis målgruppen var første- eller andetårsstuderende på en videregående uddannelse, så ville man foretrække at bruge de almindelige lærebøger om kurver og optimering frem for denne rapport, men målgruppen er i dette tilfælde gymnasieelever, eller andre interesserede på samme niveau, som forhåbentlig ville få mere ud af at læse dette materiale end en avanceret lærebog.

128

Summary in English. This material is meant as an attempt to write relatively advanced mathematical material for students in the Danish high school. The main subjects are: The solution of the Isoperimetric problem, and finding extreme values of functions of one or two variables. Even though the solution of the isoperimetric problem is known to be the circle, and it is intuitively clear that this is so, it is not an easy fact to prove. In optimizing the area of the curves in question, we need various mathematical tools to calculate, or evaluate, the area, arc length and other properties of parametric curves in the plane. The first part of this paper is a treatment of these problems. First off, we describe what a parametric curve is and how to describe it as a mathematical object given by an ordered pair of differentiable functions defined on the same interval:

( )( ), ( ) , x t y t t I∈ Secondly, we state some of the properties frequently possessed by such curves. In doing so, we also determine the formulae used to calculate the area enclosed by a closed curve and to calculate the arc length of a curve. A topic that keeps on appearing is the reparametrization of regular curves. We will determine whether a regular curve can be parametrized by arc length or not, as this is a question of the greatest importance in proving the theorem about the solution to the isoperimetric problem. The second part of this paper deals with the problem of finding extreme values of functions of one or two variables. We start with a description of how to find extreme values of functions of one variable. We also brush the problem of determining whether such a function will have extreme values or not. This, of course, makes it necessary to state and prove the extreme value theorem. As the problem of maximizing the area of a curve is one of two variables, it is obvious that a similar treatment is needed of functions of two variables. Again we brush the subject of determining whether an extreme value exists or not and state the extreme value theorem for functions of two variables. Another topic that has interest in this aspect is the method of Lagrange multipliers. We will see how this method can be justified through geometrical considerations. Finally we see how Weierstrass linked these two subjects, and was able to state necessary and sufficient conditions as to the existence of a solution to the isoperimetric problem. The third, and final part of this paper, is my assessment of how this material might contribute to the general mathematical qualifications of a student in the Danish high school. It is also an assessment of how working with this project has changed my own qualifications in order to accommodate for the fact that you are more in the role of the teacher than the student when you write material such as this.