חשמל אנליטי תרגיל 1

1 תרגיל אנליטי חשמל

אייל רגב

1 שאלה 1

1 סעיף 1.1

מוליך בתוך ממוקמת אשר סגורה גאוסית מעטפת מעיין נדמייןהאינטגרלי: גאוס חוק

z

s

da ~E · ~n =1

ε0

ˆV

d3x ρ(x) (1)

שמאל צד ,(1) על נסתכל אם ולפיכך המוליך בתוך ~E = 0 מתקיים מוליכים עבור בנוסףעל שימוקם עודף מטען הגאוסית. המעטפת בתוך מטענים ייתכנו שלא ומכאן לאפס שווה

מתאפס. לא החשמלי השדה שם שרק מכיוון השפה, על לשבת חייב יהיה המוליך גבי

2 סעיף 1.2

למוליך. מחוץ מטען ישנו כאשר מוליכה קליפה בעל חלול מוליך נדמייןההגדרה לפי אז המוליך, החלק בתוך כולה נמצאת ששפתה גאוסית מעטפת נצייר אם עתהשמאל צד כלומר ,0 יהיה שלנו הגאוסית המעטפת דרך השטף ולכן בתוכו ~E = 0 מוליך של

המוליך. של הפנימית השפה על מטענים להתקיים יכולים לא ולכן לאפס שווה ב(1)מעטפת באותה נשתמש אם עתה המוליכה. הקליפה בתוך מטען מתואר השני, במקרההתנאי על לשמור כדי ולפיכך בפנים, מטען יש כי לאפס שווה אינו השטף כי נווכח גאוסיתיגיעו אילו שליליים מטענים −q מטען תקבל הפנימית הקליפה במוליך, אפס חשמלי שדה שליהיה לא ולפיכך קודם) סעיף (לפי מוליך בתוך מטענים אין הרי כי החיצונית, מהשפה כמובן

החלולה. הקליפה בתוך ממטען כתוצאה החיצונית השפה על shielding

3 סעיף 1.3

יכול שלא מכאן המוליך. של החיצונית שפתו על רק להימצא יכולים מטענים ,1 סעיף לפיישבר אחרת האינסוף, לכיוון המוליך לשפת נורמלי מלבד אחר בכיוון חשמלי שדה להתקיים

המוליך. בתוך אפס חשמלי שדה של הכללמחוצה העליון וחלקה המוליך בתוך התחתון שחלקה כך מונחת אשר גאוס תיבת נדמיין אםלשפה משיקי בכיוון חשמלי שדה שאין משום העליונה, השפה דרך רק חשמלי שטף נקבל לו,

:(1) לפי מכאן לאפס. שווה החשמלי השדה המוליך ˆובתוךtop

~E · d~a =q

ε0

1

יהיה העליונה הפאה דרך החשמלי השדה אינפיניטיסמלי לגודל התיבה את נקטין אם עתהולקבל: האינטגרל מן להוציאו שנוכל כך אחיד

EA =q

ε0

E =1

ε0

q

A≡ σ

ε0

העליונה הפאה שטח חלקי המטען כלומר המשטחית הצפיפות להיות σ את הגדרנו כאשרהאינפיניטיסימלי.

על עניתי SIב־ הועברו שההרצאות מפני אולם ,cgs של ביחידות נשאלה השאלה *אמנםהאופן. באותו כן גם השאלות

2 שאלה 2

מוליכה ספירהמכוון הוא למוליך מחוץ ובנוסף לאפס שווה מוליך בתוך השדה כי ,1 בשאלה ראינו כבר

: rב רק תלוי השדה ולפיכך המוליך, לשפת נורמלי בכיווןˆs

E(~r)r2sinθdϕdθ = 4πr2E(~r) =

Q

ε0=⇒ E(~r>a) =

1

4πε0

Q

r2

:1 איור

~E ∝ r−2r

:ρ אחידה נפחית מטען צפיפותr בכיוון שאינם חשמליים שדות ייתכנו לא כי להבין נוכל הבעיה של הספרית מהסימטריה

אחידה. צפיפות נקבל ולא תשבר לסיבובים הסימטריה שאז מכיוון

2

מכיוון המוליך, עם הקודם למקרה זה מקרה בין הבדל אין לכדור שמחוץ השדה עבורהמעטפת בתוך שמצוי במטען רק תלוי האינטגרלי גאוס חוק והרי מטען אותו בעלי ששניהם

הגאוסית.הספירה: שבתוך השדה עבור

ρ =Q

V=

3Q

4πa3

4πr2E(r<a) =1

ε0

ˆV

3Q

4πa3r2sinθdrdϕdθ =

Qr3

ε0a3=⇒ ~E(r<a) =

1

4πε0

Qr

a3r

:2 איור

~E ∝ rr

: (n > −3) rnכאשר לפי שמשתנה רדיאלית מטען צפיפותרק תלויה המטענים שהתפלגות מכיוון כאן גם נשמרת קודמים מסעיפים הספרית הסימטריה

ולפיכך: ברדיוס,

ρ(~r) = brn

Q = 4πb

ˆ a

0

rn+2dr =4πb

n+ 3an+3 =⇒ b =

(n+ 3)Q

4πan+3

4πr2E(r<a) =1

4πε0

(n+ 3)Q

an+3

ˆV

rn+2sinθdrdϕdθ =⇒ ~E(r<a) =1

4πε0

Q

an+3rn+1r

~E(n=2) = kQ

a5r3

3

:3 איור

~E ∝ r3r

:4 איור

~E ∝ r−1r

4

לספירה: מחוץ השדה עבור

~E(r>a) =1

4πε0

Q

r2r

3 שאלה 3

Φ = qe−αr

r(1 +

αr

2)

cgsב הוא פה שניתן שהפוטנציאל סבור אני יחידות לפי אולם פואסון, במשוואת נשתמשהשאלה: את לפתור אמשיך וכך

∇2Φ = −4πρ

כי לב ונשים ספריות, בקוארדינטות הלפלסיאן את נרשום ולכן rב רק תלוי הפוטנציאל:r = 0 עבור מתבדר אינו זה פוטנציאל

1

r2∂

∂r(r2

∂

∂r[qe−αr

r(1 +

αr

2)]) = −4πρ

1

r2∂

∂r(qr2[

1

r

∂

∂r(e−αr) + e−αr

∂

∂r(1

r) +

∂

∂r(αe−αr

2r)]) = −4πρ

1

r2∂

∂r(qr2[−α

re−αr − α2

2e−αr + e−αr

∂

∂r(1

r)]) = −4πρ

q

r2∂

∂r[−αe−αr(r +

αr2

2)] +

q

r2∂

∂r[e−αrr2

∂

∂r(1

r)] = −4πρ

qe−αr

r2[α2(r +

αr2

2) +−α(1 + αr)] +

qe−αr

r2α− qe−αr · ∇2(

1

r) = −4πρ

qe−αr[α3

2−∇2(

1

r)] = −4πρ

ולכן: ∇2( 1r ) = 4πδ(~r) כי ראינו בתרגול

ρ(r) = −qα3

8πe−αr + qδ(r)

ל־1, שווה הוא r = 0 שעבור מכיוון נעלם דלתא הפונקציית עם בביטוי האקספוננט כאשרמתאפסת. דלתא הפונקציית אחר r ולכל

את השני הביטוי ואילו המימן, אטום במרכז הפרוטון את מציין דלתא הפונקציית עם הביטויאותו. שסובבים האלקטרונים צפיפות

5

4 שאלה 4

.d ע"י מהשני אחד מרוחקים אשר Q,-Q מטען בעלי מוליכים לוחות שני נתוניםנורמלי המוליך שפת על החשמלי השדה כי 1 בשאלה כבר ראינו מוליכים שהלוחות מכיווןשדה כאל הלוחות בין לשדה להתייחס נוכל ביניהם הזעיר המרחק ועקב המוליך, למישור

.zב זה כיוון ונסמן בלבד המישורים לשני נורמלית נע אשר אחידהאינטגרלי: גאוס חוק לפי לפיכך

ˆs

E(z)dxdy = AE =Q

ε0=⇒ ~E(z) =

Q

Aε0

∂ϕ

∂z= − Q

Aε0=⇒ ϕ1 − ϕ2 ≡ V =

Qd

Aε0

C =Q

V=Aε0d

6