第 2 章 波 动 §1 平面简谐波的描述 § 2 波的能量 §3 惠更斯原理 §4 ...
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第 2 章 波 动§1 平面简谐波的描述§2 波的能量§3 惠更斯原理§4 波的叠加§5 驻波§6 群速度§7 多普勒效应
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§1 平面简谐波的描述一、波的产生二、波面 波射线三、平面 S.H.W. 的传播四、平面 S.H.W. 的表达式五、平面 S.H.W. 的复数表示法六、波动方程
3
一、波的产生1. 机械波产生的条件 振源 弹性介质
A
真空2. 电磁波 只需振源 可在真空中传播3. 物质波 物质的固有性质
振源 A 振动通过弹性力传播开去
机械波的传播
4
二、 波面 波射线1.横波 纵波横波:各振动方向与波传播方向垂直纵波:各振动方向与波传播方向一致
x横波
纵波u
5
水表面的波既非横波又非纵波
波速
6
x
波形图: 某时刻 各点振动的位移 ( 广义:任一物理量 )
与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线 u某时刻
思考:上述波形图表示的波一定是横波吗?
7
2. 波面波射线:波传播的方向射线 波面:某时刻 同一波源向外 传播的波到达的各空间点连成的面
波阵面波面
8
在各向同性介质中点源:波面是球面 所以称为球面波线源:波面是柱面 所以称为柱面波面源:波面是平面 所以称为平面波
球面波 柱面波 平面波
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能量
在各向同性介质中
球面波 柱面波 平面波1) 波面与波射线的关系:波射线垂直波面2) 波射线是波的能量传播方向3) 平面波是最理想的波(一维问题 能量不发散)
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三、平面 S H W 的传播 平面 : 波面是平面 (一维、能量不损失 ) S H W : 各点均作简谐振动 以绳上横波为例 说明波的传播特征
xu
1310741
无外界干扰 各质点均处在自己的平衡位置处
111310741
第 1 个质点受一干扰 准备离开自己的平衡位置向正方向振动
1310741
0t
4Tt 第 4 个质点准备……
4
00
>
振动状态 2π
1
12
1310741
1310741
第 7 个质点准备……2Tt
43Tt 第 10 个质点准备……
4
1
7
10
2π
13
第 13 个质点准备……Tt
1
4
7
10
132π
当第 1 个质点振动 1 个周期后 它的最初的振动相位传到第13 个质点 从相位来看 第1 个质点领先第 13 点 π2
14
结论
2. 波长 波的周期 频率 波速uT
1. 波是振动状态的传播 不是质点的流动 各点均在自己的平衡位置附近作振动
15
波长:波线上相位差为 2 的相邻两点间的距离波的周期:一个完整的波通过某点所需的时间波的频率:单位时间内通过某点完整波的数目波速:振动状态传播的速度
131
Tu /
某点波长 波速与频率之间的关系:
16
3. 波射线上各点振动相位 (振动状态 )的关系1) 同时看波线上各点 沿传播方向 各点相位依次落后
1
4
7
10
13
xπ2相差是
•相距一个波长两点相位差是 2
如第 13 点和第 1 点或说振动时间差 1个周期则相位差为2
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x任意两质元间距为P Q
u1310741
x
•相距一个波长两点相位差是 2
xΔπ2Δ
•相距 x 的任意两点的相位差
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2) 从两质元振动的重复性看
π2Δ
Tt
x
t 时刻 第 13 质元的振动是第 1 质元在 t –T 时刻的振动 第 1 点和第 13 点之间 间距 :振动时间差:
相位差 :
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间距为任意 x 的两点的关系:在波线下方 Q 点 t 时刻的振动是前方 P 点在
uxt
Txt
时的振动
即π2Δ Tt
x
则
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一般关系:若已知波传播 P 点的振动形式可用函数 f(t) 表示Q 点与 P 点相距为 l 则 Q 点的振动函数是 f (t- l /u)
周期性的体现 普遍的结论
P Qu
x
同样若 Q 点的振动形式是函数 f(t)
Q 点与 P 点相距为 l 则 P 点的振动函数是 f (t+l /u)
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四、 平面 S. H .W . 的余弦表达式已知:波沿着 x 轴的正方向传播 波源 a 的振动形式为 0cos tAa
求:波的表达式
xu
o a0l
P
解:任意一点 P 坐标为x
x
22
解:任意一点 P 坐标为x
xu
o a0l
Px解法一 相位关系P 点相位落后波源 a 的振动相位
atA Pπ2cos 0
00
π2cos lxtA
aPπ2
所以就在 a 点振动表达式的基础上改变相位因子就得到了 P 的振动表达式
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x
u
o a0l
Px
解法二 运动的重复关系
0cos u
aPtA
00
π2cos lxtA
00cos lx
utA
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讨论
xtA
π2cos1.
向 x 轴负向传播
xtA
π2cos
2. 角波数(简称波数 ) 波数:单位长度内含的波长数目(波长倒数)角波数: 2 长度内含的波长数目(简称波数)
π2
k
向 x 轴正向传播
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平面谐波一般表达: kxtA cos
3. 波的表达式的物理意义负(正)号代表向 x 正(负)向传播的谐波•当坐标 x 确定 表达式变成 ξ - t 关系 表达了 x 点的振动如图: ξ
T
to
x 点的振动曲线
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• 当时刻 t 确定表达式变成 ξ-x 关系 表达了 t 时刻空间各点位移分布--波形图ξ
λxo
t 时刻的波形曲线
(空间周期)
•当坐标 x 确定 表达式变成 ξ - t 关系 表达了 x 点的振动
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4. 波速 相速
0 xkt dd
ktxu
dd 相位传播速度(相速)
const.)( kxt
波是振动状态的传播 考察某振动状态即令将其全微分 有关系式由速度的定义得出重要关系
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五、平面 S.H.W. 的复数表示法 kxtiAe kxtiAkxtA sincos
kxti
e
kxti
AeR
AekxtA
)(cos 取实部
kxtiAe tiikxeAe
经典波:波函数表示实在物理量 只有取实部才有意义 但可以使计算方便量子:波函数本身一般就是复数
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六、波动方程•无色散介质 一维波动方程
2
2
22
2 1tux
综量是 utx 的函数 utxf
•解的形式:
kxtA cos当然包括 平面简谐波
介质中的波速
30
•细棒中纵波
•弦上横波
2
2
2
2
tYx
2
2
2
2
tTx
T
x
SF
Y
F xS
Yu
Tu
结论:波速与介质 波的类型(横波 纵波)有关 无色散介质中与频率无关
杨氏模量:单位形变时单位面积受的力
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