mechanical wavesmechanical waves 機械波web.cjcu.edu.tw/~ykchen/physics/handout/mechanical...

Mechanical WavesMechanical Waves機械波機械波

機械波形成的條件機械波形成的條件

造成擾動的來源• 造成擾動的來源• 被擾動的介質被擾動的介質• 介質粒子互相影響的力學作用

wave speed（波速）方向或波進行方向

disturbation（擾動）

•source（來源）：手的上下動作•medium（介質）：彈簧

（擾動）

（）•mechanism（力學作用）：彈簧（如同繩索）的張力•disturbance ：彈簧各點上下位移

•source：手的左右動作•medium：彈簧•mechanism：彈簧的彈力di b 彈簧各點左右位移•transverse wave （橫波）：擾動與波

進行方向垂直

•disturbance：彈簧各點左右位移•longitudinal wave（縱波）：擾動與波進行方向相同

縱波與橫波同時存在縱波與橫波同時存在

擾動速度與波速擾動速度與波速

disturbance speed（擾動速度）

wave speed（波速）

無擾動位置

波的函數形式波的函數形式

必然是 f(x – vt)必然是 f(x vt)

位置時間位置時間

任何常數（波速）v > 0 向右

當 x – vt = 0（x = vt）時f(x – vt) = f(0)

必然是 f(x + vt)

任何常數（波速）

波不一定是週期波也未必是正弦波

任何常數（波速）v > 0 向左

3 0 /

t = 1.0st = 0s t = 2.0s

1.5

2

2.5

(cm

) 1.5

2

2.5

y(cm

) 1.5

2

2.5

y(cm

)

v = 3.0 cm/s v = 3.0 cm/s v = 3.0 cm/s

0

0.5

1

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

y

x (cm)

0

0.5

1

-4 -2 0 2 4 6 8

y

x (cm)

0

0.5

1

-2 0 2 4 6 8 10

y

x (cm)x (cm) x (cm) x (cm)

x – vt = 3.0 – (3.0)(1.0) = 0f(x – vt) = f(0) = 2.0 cm x – vt = 6.0 – (3.0)(2.0) = 0

x – vt = 0 – (3.0)(0) = 0f(0) = 2.0 cm f(x vt) f(0) 2.0 cm ( )( )

f(x – vt) = f(0) = 2.0 cm

02( )( ) 10.3

0.20.3),( 2 +−=−==

txtxftxyy

t = 0.0

-4 -2 0 2 4 6 8 10

t = 0.5

-4 -2 0 2 4 6 8 10

t = 1.0

-4 -2 0 2 4 6 8 10

t = 1.5

-4 -2 0 2 4 6 8 10

t = 2.0

-4 -2 0 2 4 6 8 10

t = 2.5

-4 -2 0 2 4 6 8 10

t = 3.0

-4 -2 0 2 4 6 8 10

週期波以正弦波為代表週期波—以正弦波為代表

wavelength （波長） = λ

在某一特定時間

g

位置

period = T

在某一特定位置

時間

period = T

時間

任何週期波可以拆解為正弦波的組合—Fournier Transform

Travelling Wave （行波）Travelling Wave （行波）特定位置的 disturbance

t = 0phase

0 5 10 15 20


t = 1phase

0 5 10 15 20


t = 2phase

0 5 10 15 20


t = 3phase

0 5 10 15 20


t = 4phase

0 5 10 15 20


t = 5phase

0 5 10 15 20


t = 6phase

0 5 10 15 20


t = 7phase

0 5 10 15 20


t = 8phase

0 5 10 15 20

Travelling Wave （行波）Travelling Wave （行波）

⎤⎡ ⎞⎛⎤⎡ ⎞⎛⎤⎡ t2

正弦波（sinusoidal wave） phase

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

TtxAtvxAvtxAy

λπ

λλπ

λπ 2sin2sin2sin

T = λ/v => Tv = λ

用 cos 也可以

v = fλ

f = 1/T用單位去記憶T ：s v = fλT ：sf：1/sλ：mv：m/sv：m/s

用列車比喻用列車比喻

λ：每節車廂長度v：列車速度T：每節列車通過時間

v = λ/T

繩索擺動的波速繩索擺動的波速

LTTv/

==繩索 tension（張力）

Ｔ

Lm /μ 不是溫度、週期

μ = m/L ：繩索 linear density （線性密度，每單位長度質量）

繩索 mass 繩索長度繩索 mass 繩索長度

波的反射波的反射

fl i （反射）後reflection（反射）後phase 改變 π（180。）

reflection（反射）後phase 不變

不同的介質不同的介質

細繩粗繩細繩粗繩

粗繩細繩

音波音波

壓縮

舒張正常氣壓

壓縮

disturbance 型式：空氣壓力或密度

週期性音波週期性音波

音波速度與溫度及介質相關

2h

介質：水2x

ASROC（反潛火箭）ASROC（反潛火箭）

Knox 級=> 濟陽級淮陽艦> 濟陽級淮陽艦

Doppler Effect—接收者（O）接近或遠離

相對速度

vvvfvvvf OOrel +=+==′

λλv：音速vO：接收者速度（接近為正）

相對速度

接收者聽到的 frequency音源（O）所發出的 frequency

改變波通過接收者的 frequency

λ = v/f

波長 λ沒變

OS OS

Doppler Effect—音源（S）接近或遠離

接收者聽到的 frequency

fvv

vfvfv

vfv

vTv

vvfSSSS −

=−

=−

=−

=′

=′///λλλ SSSS

vS：音源速，接近為正

波長伸張與壓縮伸張或壓縮的波長原波長

T = 1/f λ = v/f vs < v波長伸張與壓縮音速不會隨音源速度改變

OS OS

λ' = λ - Tvs

音源（S）與接收者（O）均移動音源（S）與接收者（O）均移動

vv +接收者聽到的 frequency 音源（O）所發出的 frequency

fvvvvf

S

O

−+

=′vs < v 音源速 < 音速

v：音速vO：接收者速度（接近為正）O （）vS：音源速度（接近為正）

Doppler 效應的應用Doppler 效應的應用

Doppler 超音波（Ultrasonic）超過人耳所能聽到的 frequency（20,000 Hz）q y（ , ）

Doppler RadarDoppler Radar

超音速超音速

vst

vt無法聽到聲音聽到聲音

vs < v次音速

vs > v超音速（Supersonic）

次音速穿音速超音速

聲音強度（sound intensity）聲音強度（sound intensity）音波能量（ / ）

API =sound intensity（W/m2）

音波能量（W = J/s）不是壓力

A與聲音大小相關

與音波能量所分布的面積（m2），與音波傳遞方向垂直

開放空間中的點音源開放空間中的點音源

聲音能量均勻分布於此圓球面上

聲音能量來源

r

球表面積 A= 4πr2

r

PPI

音源的音波能量 = 分布於球面上的總能量

24 rAI

π==

r 愈大（距離愈遠），I 愈小（聲音愈小）距離倍強度變

人耳可感覺到的聲音強度：I = 10-12 ~ 10 W/m2

距離 10 倍，強度變 1/100I 10 ~ 10 W/m

在非開放空間中在非開放空間中

關係較複雜

Intensity Level 與 DecibelIntensity Level 與 Decibel水平分貝

0

log10II

=βintensity level（dB）0

decibel（分貝）

10-12 W/m2

典型的聲音強度所對應的 intensity level（dB 數）

聲音範例強度 2 0 db 不是沒聲音範例強度 I (W/m2) β (dB)恰好可以聽得到 10-12 0樹葉沙沙聲 10-11 10

10 倍 +10

0 db 不是沒有聲音

樹葉沙沙聲 10 10悄悄話 10-10 201 m 外正常對話 10-6 60

10 倍104 倍102 倍

+10

+40

市內交通 10-4 80沒有消音器的車輛 10-2 100

102 倍102 倍

102 倍

+20

+20

+20搖滾現場演奏 1 120耳朵發痛30 m 外起飛的噴射機

10 130

10 倍10 倍

+20

+10

所以分貝值也可以 < 0

log （以 10 為底對數）的基本特性

log 1 = 0

log 10 = 1

log (xy) = log x + log y

log x = log(x)：x 必須 > 0

乘法變加法 log (x/y) = log x - log y 除法變減法

log (xy) = log (xxxx…) = logx + logx + … = ylogx

l ly 個 x y 個 log(x)

l (10 ) l 10 log 100 = 2，log 1000 = 3，…log (10x) = xlog10 = x

10logxlog x 與 10x 互為反函數（inverse function）：f(f-1(x)) = x

f(x) = logx; f-1(x) = 10x

f( ) 10x f 1( ) l10logx = x f(x) = 10x; f-1(x) = logx

log (1/y) = log 1 - log y = -logy0

log 在早期數學的運用log 在早期數學的運用2.344.56 = ？

對數表

x log x1.01 0.004321 02 0 0086

對數表

log(2.344.56) = 4.56log(2.34) 1.02 0.0086

1.03 0.01284……

2.34 0.36922

g( )= (4.56)(0.36922)= 1.684 = 1 + 0.684

……

4.83 0.68395…

= log(10) + logy

log y = 0.684 => y = 100.684 = ？

甚麼數的對數值為 0.684 或 1.684？

…9.98 0.999139.99 0.99957

10 1

y = 4.83

log(2.344.56) = log(10) + log(4.83) = log(48.3)=> 2 344 46 = 48 3

等號兩端取 10 次方：10logy = y = 100.684

=> 2.344.46 = 48.3Calculator：2.344.56 = 48.2641

次方運算乘法運算次方運算乘法運算

乘除運算間減運算

一等比數列取 log 後成為等差數列一等比數列取 log 後成為等差數列

a0a1 = a0 r

log(a0)log(a1) = log(a0r) = log(a0) + log(r)1 0

….an+1 = anr

log(a1) log(a0r) log(a0) log(r)….log(an+1) = log(anr) = log(an) + log(r)

公差公差

噪音計噪音計

以 dB 為單位

例題例題

教室外數上一隻小鳥叫在教室中聽到的• 教室外數上一隻小鳥叫，在教室中聽到的60dB 的聲音，若樹上有 10 隻小鳥同時叫，在教室中所聽到的鳥叫聲有多少 dB？

• 錯誤的做法：(60dB)(10) = 600 dB!!!（比 30• 錯誤的做法：(60dB)(10) = 600 dB!!!（比 30 m 外起飛的噴射機 130db 還大？）

• sound level(dB) 不能相加，但 sound intensity(W/m2) 可以相加intensity(W/m ) 可以相加

1I

一隻小鳥所發出的 sound level：

60log100

11 == I

Iβ

10 隻小鳥所發出的 sound level：

10 隻小鳥所發出的 intensity = 1 隻小鳥 sound intensity 的 10 倍

10 隻小鳥所發出的 sound level：

11010

10log10log10 II ==β

I10 = 10I1

0010 log10log10 IIβ

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+= 10loglog10 1I

I

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+ 10loglog100I

log 10 = 1

dB70106010log100

1 =+=+=II

β = 60β1 = 60即使不知道 I0 = 10-12 W/m2 也可作答

另一種做法：步驟較多，但較簡單另一種做法：步驟較多，但較簡單

60l10 1Iβ 60log100

11 == I

Iβ

6log 1 =IIg

0I

61 10I等號兩邊取 10 次方，10log(I1/I0) = I1/I0

I = 106I 倘若知道 I0 = 10-12 W/m2，可得 I1 = 10-6 W/m26

0

1 10=I

I1 = 10 I0 0 1但在此並無用處

I = 10I = (10)(106I ) = 107II10 = 10I1 = (10)(106I0) = 107I0

dB70)7)(10(10log1010log10log10 707

1010 ===== I

IIIβ

00 II

Sound Intensity 到 dB 的運算Sound Intensity 到 dB 的運算

I

0

log10II

=β

I1β1音源強度的加減乘除

I2β2β2

93 年度數學乙基測題目93 年度數學乙基測題目

已知• 已知 β =10log(I/I0)，I0 = 10-12 W/m2

• 一蚊子振動翅膀所測得的聲音強度是 10-12一蚊子振動翅膀所測得的聲音強度是 10W/m2 ，其所產生的噪音分貝數 = ？某車行駛所發出的聲音強度為 10 4 W/ 2

10log(10-12/10-12) = 10log1 = 0 dB

• 某車行駛所發出的聲音強度為 10-4 W/m2，噪音分貝數 = ？10log(10-4/10-12) = 10log10-4-(-12) =10log108 = (10)(8)=80 dB

• 棒球比賽場中，一隻汽笛獨鳴，所測得的噪音分貝數是 70 dB，100 隻汽笛同時響，

g( ) g g ( )( )

噪音分貝數是 70 dB，100 隻汽笛同時響，噪音分貝數 = ？ I100 = 100I1β= 10log(I100/I0) = 10log(100I1/I0)

10(l 100 l (I /I ) 20 10l (I /I ) 90 dB有可能是嗎？70

=10(log100 + log(I1/I0) = 20 + 10log(I1/I0) = 90 dB有可能是 7000 dB 嗎？

兩台機器，分貝會如何增加？兩台機器，分貝會如何增加？

• I2 = 2I1• β1 = 10log(I1/I0)β1 10log(I1/I0)• β2 = 10log(I2/I0) = 10log(2I2/I0) =

10l ( / ) 10l 2 β (10)(0 301) βlog 2 = 0.301

10log(I1/I0) + 10log2 = β1 + (10)(0.301) = β1+ 3 分貝數增 3

• 四台機器（兩台的兩倍）會使分貝數增 6（增加 3 兩次）增加 3 兩次）

94 年數學甲指考題目94 年數學甲指考題目

芮氏地震級數每增加一級地震振幅約增• 芮氏地震級數每增加一級，地震振幅約增為原來的 10 倍，能量強度約為原來的 32 倍。

• 兩次地震，能量約相差 100 000 倍，地震震• 兩次地震，能量約相差 100,000 倍，地震震幅強度約相差幾倍？（最靠近 10、100、

或）1000 或 10000）32n = 100,000 = 105 n：震度增加量能量增加倍數：

⎟⎞

⎜⎛

l2 EM能量芮氏震度

nlog(32) = log(105) = 5

log(32) = log(25) = 5 log2 = (5)(0.301) = 1.5

等號兩端取 log ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

log3 E

M

25,000 J

1.5n = 5 => n = 3.33 10n = 103.33振幅增加倍數：E/E0 = 32M = 1

其他題目其他題目

在開放空間中距離加倍所聽到的分貝• 在開放空間中，距離加倍，所聽到的分貝數會如何變化？距離加倍，強度變成 1/4（兩次 1/2），分貝數

降強度降一次分貝數減一個

• 在 30 m 外噴射機起飛的分貝數是 130 dB，那麼在 3 0km 外所聽到的分貝數 = ？

降 6（強度降一次 1/2，分貝數減一個 3）

那麼在 3.0km 外所聽到的分貝數 = ？距離增加 3000/30 = 100 倍，強度變成 1/1002 = 10-4 倍，所以分貝數降低 40（強度每 1/10，分貝數減 10），於是分貝數變成 130 – 40 = 90dB

Sound level 與 frequency 的關係Sound level 與 frequency 的關係20d 1000 的響度 0d 100 的響度20dB 1000Hz 的響度 = 50dB 100Hz 的響度

99%

嚴重聽力損失界限

沿同一曲線的人可聽到沿同一曲線，響度（loudness）相同

1% 的人可聽到 50%

Fletcher-Munson curves最容易聽到的 frequency

以 1000Hz（s-1）為基準以 1000Hz（s ）為基準

其他的分等方式視星等其他的分等方式—視星等

一等星六等星一等星六等星

星等增加 5亮度

M = 6M = 1

亮度 1/100

星等每增減一等，亮度以相同比例變化根據給定條件，星等增 5（一等到六等），亮度變化 1/100EM = E1r5E /E 1/100 5

IM：M 等星的亮度（燭光/m2）；r：每增加一等，亮度變化比例

E6/E1 = 1/100 = r5所以每增一等，亮度的變化比例為：r = (1/100)1/5 = 1/2.51

於是：MMME ⎞⎛⎞⎛⎤⎡ ⎞⎛ 111

5/5/1

(1/100)1/5

M

EE

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

51.21

1001

1001

1

等號兩邊取 log：

MMEE MM 4.0

1001log

51001loglog

5/

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

-2

E 10051001 ⎠⎝⎠⎝

log5.2log1 EEM MM −=−=亮度

11

log5.2log4.0 EE

M星等 1 等星亮度

各星體視星等各星體視星等星體視星等

牛郎星 0.77織女星 0.03天狼星 -1.45太陽 -26.7滿月 12 8滿月 -12.8金星（最亮） -4.6北極星 2哈伯望遠鏡可視最暗天體 30

其他的分等方式鍵盤與音階頻率其他的分等方式—鍵盤與音階頻率

每八度音頻率 f 加倍每八度音，頻率 f 加倍但每八度有 12 個半音階，每半音階頻率比值相同於是每半音階頻率比值為 21/12 = 1 059於是每半音階頻率比值為 2 = 1.059

這個數字自乘 12 次後，結果為 2

中央 C 的左方一個A 的頻率為 440 Hz若定義此音所對應的鍵盤號碼為 K = 0每增一個半音階（黑白鍵都算）所對應的鍵盤編號 K 也增加 1每增一個半音階（黑白鍵都算）所對應的鍵盤編號 K 也增加 1於是：

f等號兩邊取 log

f = 2K/12f012/

0

2Kff= 2log

122loglog 12/

0

Kff K ==

12 ff

00

log40log2log

12ff

ffK ==

mechanical wavesmechanical waves 機械波web.cjcu.edu.tw/~ykchen/physics/handout/mechanical...

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