第十章 网络图论及网络方程
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1
第十章 网络图论及网络方程
网络分析主要问题:
1 )选择独立变量2 )列写网络方程3 )网络方程求解
—— 拓扑学理论
—— 矩阵代数方程
—— 计算机应用
2
10-1 基本定义和概念一、网络拓扑图 1 、支路
(Branch) :每个元件代表一条支路,用线段表示。
2 、节点 (Node) :每一条支路的端点。
3 、图( Graph) :支路与节点的集合。
连 通 图 非连通图
有 向 图 无 向 图
平 面 图 非平面图
孤立节点 自 环
子 图 母 图
3
4 、标准支路
二、树、回路、割集 1 、树( Tree): 连通图 G 的一个子图,满足: 1 )连通图
kU
kI
+ -
树支:构成树的所有支路 树支数 n-1 n: 节点数 连支:不属于树的支路(树余) 连支数 b-(n-1) b:支路数
2 )含有 G 全部节点
3 )无回路
4
2 、回路( Loop)
基本回路:单连支回路,连支方向为回路方向。
回路是连通图 G 的一个子图,满足:
1 )连通图
2 )每个节点仅关联两条支路
3 )移去任一支路,则无闭合路径
3 、割集( Cut)割集是连通图 G 的一些支路的集合,满足:
1 )移去该支路集合,则图恰好分成两部分;
2 )少移一条支路,则图连通。基本割集:单树支割集,树支方向为割集方向。
5
10-2 关联矩阵
一、节点关联矩阵 A
④
①
②
③1 、增广关联矩阵Aa
行:代表节点序号
列:代表支路序号矩阵元素取值 :
0
1
1
ija
—— 同向关联:支路 j 与节点 i 关联 ,支路 j方向离开节点 i。—— 反向关联:支路 j 与节点 i 关联 ,支路 j方向指向节点 i。—— 无关联:支路 j 与节点 i 没有关联。
2、降阶关联矩阵 A
011010
110100
000111
101001
][ aA
6
二、回路关联矩阵 B
3
1 2 1 、回路关联矩阵 B
行:代表回路序号
列:代表支路序号
矩阵元素取值 :
0
1
1
ijb —— 反向关联:支路 j 与回路 i 关联 ,支路 j方向与回路 i 方向相反。—— 无关联:支路 j 与回路 i 没有关联。
2、基本回路关联矩阵 Bf
—— 同向关联:支路 j 与回路 i 关联 ,支路 j方向与回路 i 方向一致。
7
三、割集关联矩阵 C
1 、割集关联矩阵 C
行:代表割集序号
列:代表支路序号
矩阵元素取值 :
0
1
1
ijc —— 反向关联:支路 j 与割集 i 关联 ,支路 j方向与割集 i 方向相反。—— 无关联:支路 j 与割集 i 没有关联。
2 、基本割集关联矩阵 Cf
—— 同向关联:支路 j 与割集 i 关联 ,支路 j方向与割集 i 方向一致。
8
对于一个有向图,选一棵树,支路编号先树支后连支。则有:
或
lt AAA
lt BBB
lt CCC
1tB
lC1
Ttl BC
Tlt CB
Ttl BC
ltTt AAB 1
lt AA 1
故有:
110100
001110
011001
][A
100110
010111
001011
][ fB
110100
111010
011001
][ fC
四、 A、Bf、Cf 关系
9
习题: 10-7 求 Bf、 Cf
][ fB
树支: 1 、 2 、 3 、 5、 9
1110876495321
1 –1 –1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 -1 0 0 0 1 0 0 0
-1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 -1 0 0 0 0 1 0
0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 0 1
1tB
lf CC 1][ T
tl BC
][ fC
1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 -1 -1 0 -1 1
0 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1 1 -1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -1
10
10-3 节点法一、标准支路伏安关系
二、矩阵形式支路伏安关系 :
或
skskkkkk UIZIZU
skskkkkk IUYUYI
ssbbbb UIZIZU ss
IUYUYI bbbb或
其中: 支路阻抗矩阵:bZ 支路导纳矩阵:bY
列向量分别为支路电流、电压、
bb UI
压源列向量分别为支路电流源、电、
ss UI
11
110100
000111
101001
][A
u1 = un2 – un1
u2 = un2
u3 = un2 – un3
u4 = un1
u5 = un3
u6 = un3 – un1
三、支路电压与节点电压关系 :
其中:
四、支路电流关系:
nnn
IUY
0IA b
nT
b UAU
(矩阵形式的KCL)
五、 节点电压方程
(矩阵形式的 KVL)(bx1) (nx1)(bxn)
(bx1)(nxb)
(nx1) (nx1)(nxn)
-i1 + i4 –i6 = 0
i1 + i2+ i3 = 0
-i3 + i5 + i6 = 0
(节点导纳矩阵)
(节点电流源列向量)
)( ssbb
IUYUYI bb
Tbn AAYY
ssn
UAYIAI b
12
六、节点法基本步骤:
1 、画出拓扑图,选参考点,其余节点编号;2 、支路编号,规定支路方向;3 、写出矩阵: ;、、、
ssb UIYA
4 、求: Tbn AAYY
5 、解:
sbsn UAYIAI
nnn IUY
6 、求:
nT
b UAU
ssbbbb IUYUYI
13
10010
00111
01001
][A
例: 利用节点法求图示电路各支路电流、支路电压和各支路消耗功率。
① ② ③
1 2
34 5
解:
0
1
0
0
0
]U[ s
1
0
0
0
0
]I[ s
10000
02000
00300
00010
00001
]Y[ b
Tbn AAYY
sbsn UAYIAI
nnn IUY
210
151
013
1
0
2
14
七、含互感电路分析例:利用节点法求图示电路各支路电压。
① ②
1 2 3 4
sUIRU 111
3222 IMjILjU
2333 IMjILjU
44
4
1I
CjU
]U[I]Z[]U[ sbbb
4
3
2
1
b
Cj
1000
0LjMj0
0MjLj0
000R
]Z[
1bb Z]Y[
4
2
3
1
b
Cj000
0/L/M0
0/M/L0
000R/1
]Y[
Tbn AAYY
sbsn UAYIAI
nnn IUY
)MLL(j 232 其中
15
八、含受控电流源电路分析
2 、利用节点法求图示电路各支路电流。
① ② ③
1
2
3
4
5
1 、含有受控源的标准支路
ssbbbb IUYUYI
54
4
3
2
1
b
R/1C2j000
0Cj000
00Lj
100
000R/10
0005R/1
]Y[
]UAYIA[U]AAY[ sbsnT
b
16
含受控电流源一般处理方法:
2 、考虑受控源修正 [Yb]o为 [Yb]:
1 、暂不考虑受控源建立 [Yb]o;
54
4
3
2
1
b
R/1C2j000
0Cj000
00Lj
100
000R/10
0005R/1
]Y[
5
4
3
2
1
ob
R/10000
0Cj000
00Lj
100
000R/10
0000R/1
]Y[
1) 控制量用支路电压表示;
2 )参考标准支路规定进行修正: 受控源所在行、控制量所在列:填写控制系数
17
九、改进节点法(恒压源处理)
2 、整理、化简方程、求解
① ②
③1
2
34
5
1 、设恒压源电流,列写电路方程
6
I6
I4
18
10-4 基本回路法
一、标准支路伏安关系
二、矩阵形式支路伏安关系 :
skskkkkk UIZIZU
ssbbbb UIZIZU
其中: 支路阻抗矩阵:bZ
三、支路电压关系 :
0UB bf
(矩阵形式的 KVL)
u4 - u2 + u1 = 0
u5 - u2+ u3 = 0
u6 - u1 + u3 = 0
100101
010110
001011
]B[ f
19
四、支路电流与基本回路电流关系:
其中:(回路阻抗矩阵)
Tfbfl BZBZ
slll UIZ
]IZBUB[I]BZB[ sbfsflT
fbf
lT
fb IBI
(回路电压源列向量)
(矩阵形式的KCL)五、 基本回路电流方程
i1 =iL1 - iL3
i2 = -iL1 - iL3
i3 = iL2 + iL3
i4 = iL1
i5 = iL2
i6 = iL3
100101
010110
001011
]B[ f
0UB bf
ssbbbb UIZIZU
lT
fb IBI
sbfsfsl IZBUBU
20
六、基本回路法基本步骤:
1 、画出拓扑图,选一棵树;2 、支路编号 ( 先树支后连支或反之 ) ,规定支路方向;3 、写出矩阵:
;、、、
ssbf UIZB
4 、求:5 、解:
6 、求:
Tfbfl BZBZ
sbfsfsl IZBUBU
slll UIZ
lT
fb IBI ssbbbb UIZIZU
21
例: 利用基本回路法求图示电路各支路电流、支路电压和各支路消耗功率。
1 2
34 5
解:
10110
01101]B[ f
10000
02/1000
003/100
00010
00001
]Z[ b
0
1
0
0
0
]U[ s
1
0
0
0
0
]I[ s
Tfbfl BZBZ
3/123/1
3/12/13/11
sbfsfsl IZBUBU
1
1
slll UIZ
25/13
25/16]I[ l
lT
fb IBI
22
10-5 基本割集法一、标准支路伏安关系
二、矩阵形式支路伏安关系 :
其中:
三、支路电流关系 :
skskkkkk IUYUYI
ssbbbb IUYUYI
支路导纳矩阵:bY
0IC bf
(矩阵形式的KCL)
110100
011010
101001
]C[ f
i1 - i4 + i6 = 0
i2 + i4 + i5 = 0
i3 - i5 - i6 = 0
23
四、支路电压与基本割集电压关系:
其中:(割集导纳矩阵)
Tfbft CYCY
sttt IUY
sbfsfst UYCICI
tT
fb UCU
(割集电流源列向量)
五、 基本割集电压方程
(矩阵形式的 KVL)
110100
011010
101001
]C[ f
u1 = uC1
u2 = uC2
u3 = uC3
u4 = uC2 – uC1
u5 = uC2 – uC3
u6 = uC1 – uC3
ssbbbb IUYUYI
0IC bf
tT
fb UCU
]UYCIC[U]CYC[ sbfsftT
fbf
24
六、基本割集法基本步骤:
1 、画出拓扑图,选一棵树;2 、支路编号 ( 先树支后连支或反之 ) ,规定支路方向;3 、写出矩阵:
;、、、
ssbf UIYC4 、求:
5 、解:
6 、求:
Tfbft CYCY sbfsfst UYCICI
sttt IUY
tT
fb UCU ssbbbb IUYUYI
25
例: 利用基本割集法求图示电路各支路电流、支路电压和各支路消耗功率。
1 2
34 5
解:
11100
10010
01001
]C[ f
10000
02000
00300
00010
00001
]Y[ b
0
1
0
0
0
]U[ s
1
0
0
0
0
]I[ s
Tfbft CYCY
612
120
203
sbfsfst UYCICI
1
1
2
sttt IUY
1
13
16
25
1U t
26
几种分析方法小结:
节点电位法 基本回路法 基本割集法基本变量
关联矩阵
支路伏安关系
矩阵形式 KVL
矩阵形式 KCL
网络方程
其中相关矩阵:
0IC bf
0IA b
0UB bf
ss
IUYUYI bbbb ss
IUYUYI bbbb
ssbbbb UIZIZU
nb
UAU T
lfb
IBI T
tfb
UCU T
n
U l
I t
U
sttt IUY
nnn IUY
T
fbft CYCY
sbfsfst UYCICI
Tbn AAYY
sbsn UAYIAI
slll UIZ
T
fbfl BZBZ
sbfsfsl IZBUBU
][A ][ fB ][ fC
27
10-6 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
一、特勒根定理 :
1 、定理一: 设网络有 n 个节点、 b 条支路。支路电压为 u1 、 u2 …… 、 ub;
支路电流为 i1 、 i2 …… 、 ib。
则有:
定理证明 意义 : 功率守恒定理
02211 bbiuiuiu
0:1
k
b
kkiu或 0iuT
28
2 、定理 二 :
设网络 N 有 n 个节点、 b 条支路 :
定理证明 意义 : 似功率守恒
0ˆˆˆ 2211 bbiuiuiu
bb iiiuuu 、、支路电流、、支路电压 2121 :;:
bb iiiuuu
、、支路电流、、支路电压 2121 :;ˆˆˆ:
设网络 Ñ 有 n 个节点、 b 条支路 :
且网络 N 与网络 Ñ 拓扑图完全相同,则
02211
bb iuiuiu
29
二、应用1 、复功率守恒定理的证明 0
1
b
k
kS
证明 :
0IU *kk
正弦激励下两个网络 N和 Ñ 具有相同的拓扑结构:
;UUU: b21
、、支路电压
;III: b21
、、支路电流
网络 N : b 条支路 : 网络 Ñ : b 条支路 :;UUU: *
b*
2*
1
、、支路电压
;III: *b
*2
*1
、、支路电流
(各网络中支路电流与支路电压方向关联)由特勒根定理,有
0IU k*
k
0S *k 0)jQP( kk
0Pk 0Qk (无物理意义)
30
2 、互易定理证明
证明: ooss IUIU
则在数值上若在数值上 ,
注: P 为无任何电源的网络。
İ1 İ2
*1U
*2U
1U
2U
由于两个网络 N和 Ñ 具有相同的拓扑结构,由特勒根定理,有
代入上式,有
0)IU(IUIU *kk
*22
*11
0)IU(IUIU k*
k2*
21*
1
kkk IZU
又因*
kk*
k IZU
0)IIZ(IUIU *kkk
*22
*11
0)IIZ(IUIU k*
kk2*
21*
1
2*
21*
1*
22*
11 IUIUIUIU
二式相减,有
osso IU)I(U
(得证)
İ1* İ2
*
31
3 、举例例 1 、图示网络中, 5 电阻消耗功率为 125W ,求 Is2 。
1u
2u
1u
2u
解: 由特勒根定理,有
0)iiR(iuiu kkk2211
0)iiR(iuiu kkk2211
二式相减,有
2211 iuiu
2211 iuiu
u1 = 10V, u2 =5V
i1 = -2A, i2 = 0
11 i5u
A5
R
Pi1
A20iI 22s
32
例 2 、 图示网络中,已知:R2=2: U1 =4V,I1=2A, U2
=2V;
R2=1: U1 =6V,I1=3.6A,
求U2 =?解: 由特勒根定理,有
0)IIR(IU)I(U kkk2211
0)IIR(IU)I(U kkk2211
2211 IU)I(U
2211 IU)I(U
U1 = 4V, U2 =2V
I1 = 2A, I2 = 1A
V6U1
A6.3I2
22 I1U
A4.2I2
V4.2U2
二式相减,有
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