rmutphysics · rmutphysics

สรุปฟงกชันคลื่นรปูไซน

( ) ( ), siny x t A kx tω= −

การกระจัดของตัวกลาง

อําพนตําแหนง เวลา

เลขคลืน่ -> λ ความถี่เชิงมุม -> f

kx tω− เรียกวาเฟสของคลื่นเครื่องหมาย – แสดงคลื่นเคลื่อนที่ไปทางทิศ +x

การรวมกันของคลื่น (Superposition of Waves)

เมื่อคลื่น 2 ขบวนเคลื่อนที่เขาซอนทับกัน จะเกิดการรวมกันของคลื่น ดังสมการ

( ) ( ) ( )1 2, , ,y x t y x t y x t= +

การแทรกสอดของคลื่น

( )1 siny A kx tω= − ( )2 siny A kx tω φ= − +

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2, , ,

sin sin

y x t y x t y x t

A kx t A kx tω ω φ

= +

= − + − +

sin sin 2sin cos2 2

α β α βα β + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

เราจะพิจารณาการรวมกันของคลื่นสองขบวนที่เคลื่อนที่ไปทางทิศเดียวกัน มีอําพน และความถี่เทากัน แตมีเฟสตางกันเปนคาคงที่เทากบั φ

ผลรวมที่ไดจากคลื่นทั้งสองขบวนคือ

อาศัยสูตรตรีโกณมิติสมัยมัธยม

เราจะไดวา( ) 2 cos s

2, in

2y x t kx tA φωφ⎡ ⎤⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

อําพนของคลื่นลัพธจะเห็นวาอําพนของคลื่นลัพธจะมีคาขึ้นอยูกับความตางเฟส

คลื่นสองขบวนจะเสริมกันมากที่สุดเมื่อ cos 1 0, , 2 ,2 2φ φ π π⎛ ⎞ = ± → =⎜ ⎟⎝ ⎠

…

คลื่นสองขบวนจะหักลางกนัมากที่สุดเมื่อ 3 5cos 0 , , ,2 2 2 2 2φ φ π π π⎛ ⎞ = → =⎜ ⎟⎝ ⎠

…

0,2 ,4 ,φ π π= …

,3 ,5 ,φ π π π= …

คลื่นสถิต (Standing Waves)พิจารณาคลื่น 2 ขบวนซึ่งมี อําพน เลขคลื่นเชิงมุม ความถี่เชิงมุม และอัตราเร็วเฟสเทากัน แตมีทศิทางตรงขามกัน

( ) ( )1 , sin ,y x t A kx tω= − ( ) ( )2 , siny x t A kx tω= +

วิ่งมารวมกันจะเกิดการรวมกันโดย คลื่นลัพธที่ไดจะเขยีนเปนสมการไดเปน

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2, , ,

2 sin cos

y x t y x t y x t

A kx tω

= +

=

ใชสูตรตรีโกณมิติสมัยมัธยม sin sin 2sin cos2 2

α β α βα β + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

คลื่นนิ่งบนเสนเชือก

ฮารมอนิกที่ 1

ฮารมอนิกที่ 2

1 11

12 88

vL fλλ

= = = =

( ) ( ) ( ), 2 sin cosy x t A kx tω=

1, 4, 1A L v= = =

2 22

144

vL fλλ

= = = =

( ) ( )sin siny A kx t A kx tω ω= − + +

ตัวอยาง

คลื่นสถิตในเสนเชือกมีสมการของการกระจัดในหนวยเมตรเปน

( )txtxy ππ 40cos3

sin50.0),( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

จงหาก) อําพนข) อัตราเร็วเฟสของคลื่นค) ระยะหางระหวางจุดบัพ 2 บพัง) อัตราเร็วของอนุภาคตัวกลางทีต่ําแหนง 1.5 เซนติเมตร ณ เวลา 9/8 วินาที

ตัวอยาง

คลื่นสถิตในเสนเชือกมีสมการของการกระจัดในหนวยเมตรเปน

( )txtxy ππ 40cos3

sin50.0),( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ก) อําพน

ข) อัตราเร็วเฟสของคลื่น

( ) [ ] ( ), 2 sin cosy x t A kx tω=

0.25A =

2 63

k π π λλ

= = → =

2 40 20f fπ π= → =20 6 120v f λ= = × =

6 32λλ = → =

ตัวอยาง

คลื่นสถิตในเสนเชือกมีสมการของการกระจัดในหนวยเมตรเปน

( )txtxy ππ 40cos3

sin50.0),( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ค) ระยะหางระหวางจุดบัพ 2 บพั

( )1 2y 2 sin

3yA x A xπ+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

sin 0 0, 0,33 3

x x xπ π π⎛ ⎞ = → = → =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 0 3x∆ = − =

1 loop1)

2) 1-loop

ตัวอยาง

คลื่นสถิตในเสนเชือกมีสมการของการกระจัดในหนวยเมตรเปน

( )txtxy ππ 40cos3

sin50.0),( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ง) อัตราเร็วของอนุภาคตัวกลางทีต่ําแหนง 1.5 เซนติเมตร ณ เวลา 9/8 วินาที

( ) ( )( )

( ) ( )

0.50sin cos 40 0.50sin cos 403 3

0.50 40 sin sin 40 20 sin sin 403 3

yyv x t x tt t t

x t x t

π ππ π

π ππ π π π

∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − × = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 29 91.5 10 , 20 sin 1.5 10 sin 40 08 3 8yv x t ππ π− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = = − × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

โมดูเลชัน

ถามีคลื่นสองคลื่นเคลื่อนที่ไปในทิศเดียวกัน การรวมกันของคลื่นคูนี้เรียกวาปรากฏการณโมดูเลชัน (Modulation) เพื่อความสะดวกเราจะพิจารณาในกรณีที่คลื่นทั้งสองมีอําพนเทากัน

( )1 1 1siny A k x tω= − ( )2 2 2siny A k x tω= −

ผลรวมของทั้งสองคลื่นคือ

( ) ( )1 2 1 1 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

sin sin

2 cos sin2 2 2 2

y y y A k x t A k x t

k k k kA x t x t

ω ω

ω ω ω ω

= + = + + +

⎡ − − ⎤ ⎡ + + ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )mod av av, siny t x A k x tω= −

เราอาจเขียนผลรวมของคลื่นทั้งสองไดเปน

โดยที่( )mod mod mod2 cosA A k x tω= − เปนอําพนโมดูเลต

และ( )mod 2 1

12

k k k= −

( )mod 2 112

ω ω ω= −

( )av 2 112

k k k= +

( )av 2 112

ω ω ω= +

ωmod เรียกวาความถี่เชิงมุมโมดูเลตωav เรียกวาความถี่เชิงมุมเฉลี่ย

ความเร็วกลุม

จะเห็นวาผลของการโมดูเลชันจะไดคลื่นที่มีอําพนไมคงที่ และอําพนนั้นจะเคลื่อนที่แบบไซน (Sinusoidal traveling wave)

( ) ( )mod av av, siny t x A k x tω= −

( )mod mod mod2 cosA A k x tω= −

ซึ่งจะเคลื่อนที่ดวยความเร็ว2 1

2 1g

dvk k dkω ω ω−

= =−

ซึ่งเรียกวาความเร็วกลุม หรือ group velocity ดู Animation

บีสต (Beast)

บีสต

การที่คลื่นสองขบวนมคีวามถีต่างกันเล็กนอย เราจะพบปรากฏการณบีสต คืออําพนของคลืน่ลัพธมคีาเพิ่มขึ้น-ลดลง สลับกันไป ดวยความถี่เทากับความถีบ่ีสตคือ

ความถี่บีสต = f1 – f2

นกรองเพลงไมเหมือนคนเราผิวปากนะ

นกรองเพลงโดยอาศัยอวัยวะที่เรียกวา Syrinx ซึ่งแตละขางของทอเสียงนี้จะทําหนาที่สรางคลื่นนิ่ง ทําใหเกิดเปนฮารมอนิกตางๆ

บีสตจากนกแพนกวิน

โดยทั่วไปนกจะสามารถใช Syrinx ทําใหเกิดเสียงไดเพียงขางเดียว แตในนกแพนกวินชนิดหนึ่งคือ Emperor Penguin มันสามารถใชทอทั้งสองไดพรอมกันสมมุติวาแตละทอ (ทอ A และ B) มีความถี่ของฮารมอนิกที่ 1 เปน และ

จงหาความถี่บีสตระหวางความถี่ฮารมอนิกที่ 1 ของทั้งสองทอ และระหวาง ความถี่ฮารมอนิกที่ 2 ของทั้งสองทอ

432HzAf =

371HzBf =

บีสตจากนกแพนกวิน (ตอ)ความถี่บีสตระหวางฮารมอนิกที่ 1

beat1 1 1

432 371 61HzA Bf f f= −

= − =

เนื่องจาก Syrinx ของแพนกวิน มีลักษณะเปนทอปลายเปดสองปลาย ความถี่ของฮารมอนิกที่สองจะเปนสองเทาของฮารมอนิกที่หนึ่ง

2 1 2 12 , 2A A B Bf f f f= =

( )beat2 1 1 beat12 2 2122 Hz

A Bf f f f= − =

=

แพนกวินสามารถสรางบีสตที่มีความถี่สูงๆเชนนี้ได ซึ่งทําใหมันสามารถแยกเสียงของแพนกวินแตละตัวได

คลื่นที่ไมไดเปนรูปไซน และ คุณภาพเสียง

คลื่นที่เกิดขึ้นในธรรมชาติเชนเสียงจากเครื่องดนตรีมักจะเปน superposition ของฮารมอนิกตางๆ เสียงจากเครื่องดนตรีตางชนิดกม็ักจะมีการผสมของฮารมอนิกที่แตกตางกันไป เราเรียกวามีคุณภาพเสียงที่ตางกัน

คุณภาพเสียงของสอมเสียง

สอมเสียงที่ใชสําหรับเทียบเสียงมีเพียงความถี่เดียว ซึ่งจะเปนคลื่นไซน ถาเขียนกราฟระหวางฮารมอนิกตางๆ เทียบกบัความเขมเสียง ก็จะไดดังรูปดานซาย

คุณภาพเสียงของฟรุต

คุณภาพเสียงของฟรุต เมื่อเลนตัวโนตเดียวกนักับสอมเสียง พบวาฮารมอนิกที่ 2 มีความเขมสูงสุด สวน ฮารมอนิกที่ 4 มีคาใกลเคียงกับ ฮารมอนิกที่ 1

คุณภาพเสียงของคาริเนต

ฮารมอนิกที่ 5 มีความเขมสูงสุด สวนฮารมอนิกที่ 1 กบัฮารมอนิกที่ 4 มีความเขมรองลงมา

การวิเคราะหคลื่นทีไ่มไดเปนรูปไซน

ถาคลืน่ที่พิจารณามีลักษณะเปนคาบ โดยอาศัยทฤษฎีของฟูเรีย เราสามารถเขียนคลื่นดังกลาวในรูปของผลรวมของคลื่นรูปไซน และ โคไซนได ซึ่งเรียกวา Fourier series

1 1 2 2

( ) ( sin 2 ƒ cos 2 ƒ )

sin 2 sin 2

n n n nn

y t A t B t

A f A f

π π

π π

= +

= + +

∑

โดยที่แตละคลื่นรูปไซนมีความถี่เปนจํานวนเทาของความถี่มาตรฐาน f1

1 11 , ; 2,3,nf f n f nT

= = = …

ตัวอยาง: Square wave

( )1 3sin 2 sin 2 3y A f A fπ π= +

( )( )

1 3

5

sin 2 sin 2 3

sin 2 5

y A f A f

A f

π π

π

= +

+

( )( ) ( )

1 3

5 7

sin 2 sin 2 3

sin 2 5 sin 2 7

y A f A f

A f A f

π π

π π

= +

+ + +

ปรากฏการณดอปเปลอร (Doppler effect)เมื่อตนกําเนิดคลื่นและผูสังเกตเคลื่อนที่สัมพัทธกัน ผูสังเกตจะไดรับคลื่นที่มีความถี่ตางไปจากเคลื่อนที่ไดรับเมื่อทั้งตนกําเนิดและผูสังเกตหยุดนิ่ง

เชนในรูป แหงกําเนิด S หยุดนิ่งแตผูสังเกตเคลื่อนที่เขาหาดวยอัตราเร็ว vD ถาให v เปนอัตราเร็วเสียงในอากาศ เราจะไดวาความถี่ที่ผูสังเกตไดยิน ( f’ ) คือ

Dv vf fv+⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠เมื่อ f คือความถี่ของเสียงที่ปลอยออกมาจากแหลงกําเนิด

ในกรณีที่ผูสังเกตเคลื่อนที่ออกจากแหลงกําเนิดเสียงจะไดวา

Dv vf fv−⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

ดูรายละเอียดในหนังสือฟสิกส 1 !!!

ในทํานองเดียวกันถาผูสังเกตอยูนิ่ง แตแหลงกําเนิดเคลื่อนที่เขาหาดวยอัตราเร็ว vS ความถี่ที่ผูสังเกตไดยินคือ

s

vf fv v

⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

ถาแหลงกําเนิดเคลื่อนที่ออกจากผูสังเกต เขาจะไดยินเสียงที่มีความถี่เทากบั

S

vf fv v

⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

ในกรณีที่ทั้งแหลงกําเนิดและผูสังเกตตางก็เคลื่อนที่ ผูสังเกตจะไดยินความถี่คือ

D

S

v vf fv v

⎛ ⎞±′ = ⎜ ⎟⎝ ⎠∓

เมื่อเครื่องหมาย (+ เศษ - สวน) แสดงวาแหลงกําเนิดและผูสังเกตเคลื่อนที่เขาหากัน แตถาเครื่องหมายกลับกันแสดงวาทั้งคูเคลื่อนที่ออกจากกัน

ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในหนังสือฟสิกส 1 !!!

ทดสอบความเขาใจแผนภาพแสดงทิศทางการเคลื่อนที่ของแหงกําเนิดเสียงและเครื่องรับใน 6 สถานการณ สถานการณใดที่ผูรับไดยินเสียงที่มีความถี่สูงกวา ต่ํากวา และ เทากันกับ ความถี่ที่แหลงกําเนิดปลอย

แหลงกําเนิด เครื่องรับก) vD=0ข) vD=0ค)ง)จ)ฉ)

D

S

v vf fv v

⎛ ⎞±′ = ⎜ ⎟⎝ ⎠∓

คลื่นกระแทก

ดูรายละเอียดในหนังสือฟสิกส 1 บทที่ 8 !!!

1sinS

vv M

θ = = และ เรียกวา เลขมัค (Mach number)SvMv

=

คลืน่กระแทกจากเครื่องบิน FA-18 ของกองทัพเรือสหรัฐ

หนังสืออิเล็กทรอนิกส

ฟสิกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสิกส 1 (ความรอน)

ฟสิกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวิทยาฟสิกส เอกสารคําสอนฟสิกส 1ฟสิกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสิกสดวยภาษา c ฟสิกสพิศวง สอนฟสิกสผานทางอินเตอรเน็ต

ทดสอบออนไลน วีดีโอการเรียนการสอน หนาแรกในอดีต แผนใสการเรียนการสอน

เอกสารการสอน PDF กิจกรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร

แบบฝกหัดออนไลน สุดยอดสิ่งประดิษฐ

การทดลองเสมือน

บทความพิเศษ ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานุกรมฟสิกส ลับสมองกับปญหาฟสิกส

ธรรมชาติมหัศจรรย สูตรพื้นฐานฟสิกส

การทดลองมหัศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหัดกลาง

แบบฝกหัดโลหะวิทยา แบบทดสอบ

ความรูรอบตัวท่ัวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดีปริศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คําศัพทประจําสัปดาห ความรูรอบตัว

การประดิษฐแของโลก ผูไดรับโนเบลสาขาฟสิกส

นักวิทยาศาสตรเทศ นักวิทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพิศวง การทํางานของอุปกรณทางฟสิกส

การทํางานของอุปกรณตางๆ

การเรียนการสอนฟสิกส 1 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. การวัด 2. เวกเตอร3. การเคลื่อนท่ีแบบหนึ่งมิต ิ 4. การเคลื่อนท่ีบนระนาบ5. กฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน 6. การประยุกตกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตัน7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตัม9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง11. การเคลื่อนท่ีแบบคาบ 12. ความยืดหยุน13. กลศาสตรของไหล 14. ปริมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอท่ีหน่ึงและสองของเทอรโมไดนามิก 16. คุณสมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร

17. คลื่น 18.การสั่น และคลื่นเสียง การเรียนการสอนฟสิกส 2 ผานทางอินเตอรเน็ต

1. ไฟฟาสถิต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตัวเก็บประจุและการตอตัวตานทาน 5. ศักยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหล็ก 8.การเหนี่ยวนํา9. ไฟฟากระแสสลับ 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเหล็กไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเห็น13. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตัม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นิวเคลียร

การเรียนการสอนฟสิกสท่ัวไป ผานทางอินเตอรเน็ต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง

5. ของไหลกับความรอน 6.ไฟฟาสถิตกับกระแสไฟฟา 7. แมเหล็กไฟฟา 8. คลื่นแมเหล็กไฟฟากับแสง9. ทฤษฎีสัมพัทธภาพ อะตอม และนิวเคลียร

ฟสิกสราชมงคล