05_interpolacao
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Interpolao
Prof. Wellington Passos de Paulawpassos@ufsj.edu.br
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Programa
1. Introduo2. Mtodos de Interpolao
a) Linearb) Quadrticac) Lagranged) Newtone) Gregory-Newton
3. Interpolao Inversa4. Estudo do Erro5. Grau do Polinmio Interpolador6. Funes Splines
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Interpolao
Introduo
Prof. Wellington Passos de Paulawpassos@ufsj.edu.br
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Introduo
Muitas funes so conhecidas apenas em um conjunto finito e discreto de pontos de um intervalo [a,b]
Exemplo: A tabela abaixo informa o nmero de carros que passam por um determinado pedgio em um determinado dia
A partir dos dados acima, suponhamos que se queira calcular o nmero de carros que passariam pelo pedgio s 11:30
Horrio 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00QuantidadeCarros (x1000) 2,69 1,64 1,09 1,04 1,49 2,44
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Introduo
A interpolao tem o objetivo de ajudar na resoluo deste tipo de problema
Interpolar uma funo y = f(x), em um conjunto discreto de pontos, pertencentes a um intervalo [a, b], consiste em substitu-la, ou aproxim-la, por uma outra funo, y = g(x), escolhida dentro de uma classe de funes definida a priori e que satisfaa algumas propriedades. A funo y = g(x) , ento, usada no lugar da funo y = f(x)
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Introduo
A necessidade de se efetuar esta substituio surge em vrias situaes, como por exemplo: Quando y = f(x) no conhecida na sua forma analtica,
nas apenas em um conjunto discreto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n
Quando y = f(x) conhecida na sua forma analtica, mas operaes como a diferenciao e a integrao so difceis (ou impossveis) de realizar, ou seja, a funo difcil de ser tratada. Logo, podemos procurar uma outra funo que seja uma
aproximao y = f(x) e cujo manuseio seja bem mais simples
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Introduo
Teoricamente, a funo interpoladora, y = g(x), pode ser de tipos variados, tais como: polinomiais trigonomtricas exponenciais logartmicas
Porm, para consideraremos apenas o estudo das funes polinomiais
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Conceito Formal de Interpolao Numrica
Consideremos (n+1) pontos distintos: x0, x1, ..., xn, chamados ns da interpolao, e os valores de f(x)nesses pontos: f(x0), f(x1), ..., f(xn)
Uma forma de interpolao de f(x) consiste em se obter uma determinada funo g(x) tal que:
)()(
)()()()()()(
22
11
00
nn xfxg
xfxgxfxgxfxg
-
Conceito Formal de Interpolao Numrica
Graficamente, para n=5 temos (6 pontos), temos:
Nos ns da interpolao as funes f(x) e g(x)assumem os mesmos valores!
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Interpolao Polinomial
Dados os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), portanto (n+1) pontos, queremos aproximar f(x) por um polinmio pn(x) de grau menor ou igual a n, tal que:
f(xk) = pn(xk) k = 0,1, 2 , . , n
Representaremos pn(x) por:
Portanto, obter pn(x) significa obter os coeficientes a0,a1, ..., an
nnn xaxaxaaxp ...)( 2210
-
Interpolao Polinomial
Surgem ento as seguintes perguntas: Existe sempre um polinmio que satisfaa as condies
anteriores? Caso exista, ele nico?
Teorema:Existe um nico polinmio pn(x) de grau n, tal que pn(xk) = f(xk), k = 0,1, 2 , . , n desde que xk xj, j k
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Demonstrando o Teorema:Seja
Da condio , montamos o seguinte sistema linear:
com n+1 equaes e n+1 incgnitas a0, a1, ..., an
Interpolao Polinomial
nkxfxp kkn ...,,2,1,0),()(
)(...
)(...
)(...
2210
11212110
00202010
nnnnnn
nn
nn
xfxaxaxaa
xfxaxaxaaxfxaxaxaa
nnn xaxaxaaxp ...)( 2210
-
Interpolao Polinomial
Demonstrando o Teorema:Da notao Matricial temos: v x a = f
onde V uma matriz de Vardermonde e, portanto, desde que x0, x1, x2, , xn sejam pontos distintos, temos det(v) 0. Logo, o sistema linear admite soluo nica. A matriz coluna a a matriz das incgnitas e a matriz coluna f a matriz das constantes f(xi) = yi
)(
)()(
,
1
11
1
0
1
0
2
1211
0200
nnnnnn
n
n
xf
xfxf
fe
a
aa
a
xxx
xxxxxx
v
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Interpolao Polinomial
Existem vrias formas de se obter o polinmio pn(x) Linear Quadrtica Lagrange Newton Gregory-Newton, etc
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Interpolao
Interpolao Linear
Prof. Wellington Passos de Paulawpassos@ufsj.edu.br
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Interpolao Linear
Dados dois pontos distintos de uma funo y = f(x) :(x0, y0) e (x1, y1), deseja-se calcular o valor de para um determinado valor de x entre x0 e x1, utilizando-se a interpolao polinomial
O polinmio interpolador uma unidade menor que o nmero de pontos conhecidos
Assim, nesse caso, o polinmio interpolador ter grau 1, ou seja:
p1(x) = a0 + a1x
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Interpolao Linear
Para determinar este polinmio, os coeficientes a0 e a1devem ser calculados de forma que se tenha:
p1(x0) = f(x0) = y0 e p1(x1) = f(x1) = y1
Ou seja, basta resolver o sistema linear abaixo:
onde a1 e a0 so as incgnitas
Reescrevendo o sistema na forma matricial, temos:
1110
0010
yxaayxaa
1
0
1
0
1
0
11
yy
aa
xx
-
Transformando em um sistema triangular equivalente (utilizando a Eliminao de Gauss), temos:
A soluo do sistema dada por:
0101
00
01
yyxxyx
Interpolao Linear
11
00
11
yxyx
01011
0010
yyxxayxaa
010001
011 xayaexx
yya
-
Interpolao Linear
Logo, o polinmio interpolador pode ser escrito da seguinte forma:
ou, de forma mais apropriada:
xaaxp 101 )(
)()( 001
0101 xxxx
yyyxp
)( 010 xxay xaxay 1010 )(
-
Interpolao Linear
O determinante da matriz A diferente de zero, sempre que x0 x1, logo para pontos distintos o sistema tem soluo nica
O polinmio interpolador p1(x) = a1x+ a0 tem como imagem geomtrica uma reta, portanto a funo f(x)est sendo aproximada por uma reta que passa pelos pontos conhecidos (x0, y0) e (x1, y1)
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Interpolao Linear
O grfico abaixo, mostra geometricamente, os dois pontos (x0, y0) e (x1, y1), e a reta que passa por eles.
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Interpolao Linear
Exemplo: Seja a funo y = p1(x) definida pelos pontos da tabela abaixo, determinar o valor de p1(15):
Soluo:Aplicando a frmula temos:
Logo:
i 0 1x 10 20y = f(x) 250 432
)()( 001
0101 xxxx
yyyxp
)10(1020250432250)(1
xxp
34168152,18)15(1 p682,18 x
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Interpolao
Interpolao Quadrtica
Prof. Wellington Passos de Paulawpassos@ufsj.edu.br
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Interpolao Quadrtica
Se conhecermos trs pontos distintos de uma funo, ento o polinmio interpolador ser:
p2(x) = a2x2 + a1x + a0
O polinmio p2(x) conhecido como funo quadrtica cuja imagem geomtrica uma parbola
Portanto, a funo f(x) aproximada por uma parbola que passa pelos trs pontos conhecidos (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2)
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Interpolao Quadrtica
Para determinar os valores de a0, a1 e a2 necessrio resolver o sistema:
onde a1, a0 e a2 so as incgnitas e os pontos (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2) so conhecidos.
2222210
1212110
0202010
yxaxaayxaxaayxaxaa
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Interpolao Quadrtica
Reescrevendo o sistema na forma matricial, temos:
O sistema acima admite soluo nica, pois det(X) = (x2 x0) (x2 x1)(x1 x0) 0. Logo, pelos trs pontos ordenados passa um nico polinmio interpolador de 2 grau
2
1
0
2
1
0
222
211
200
111
yyy
aaa
xxxxxx
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Interpolao Quadrtica
Para encontrar os coeficientes ai, basta resolver o sistema de equaes ( Eliminao de Gauss, Decomposio LU, Mtodo de Gauss-Jacobi, Mtodo de Gauss-Siedel, etc )
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Interpolao Quadrtica
Exemplo: Seja a funo y = p2(x) definida pelos pontos da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):
Soluo:Montando o sistema linear:
i 0 1 2x 0,1 0,6 0,8y = f(x) 1,221 3,320 4,953
953,48,08,0
320,36,06,0
221,11,01,0
2210
2210
2210
aaaaaaaaa
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Interpolao Quadrtica
Exemplo: Seja a funo y = p2(x) definida pelos pontos da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):
Soluo:Montando o sistema linear:
953,4320,3221,1
8,08,016,06,011,01,01
2
1
0
2
2
2
aaa
i 0 1 2x 0,1 0,6 0,8y = f(x) 1,221 3,320 4,953
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Interpolao Quadrtica
Exemplo: Seja a funo y = p2(x) definida pelos pontos da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):
Soluo:Aplicando a Eliminao de Gauss ao sistema, chegaremos ao seguinte sistema triangular superior:
567,01,0733,363,07,0221,101,01,0
567,01,000733,363,07,00221,101,01,01
2
21
210
aaaaaa
i 0 1 2x 0,1 0,6 0,8y = f(x) 1,221 3,320 4,953
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Interpolao Quadrtica
Exemplo: Seja a funo y = p2(x) definida pelos pontos da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):
Soluo:Resolvendo o sistema triangular superior, encontramos: a2 = 5,667; a1 = 0,231; a0 = 1,141
Logo o polinmio ter a seguinte forma:
22 667,5231,0141,1)( xxxp
i 0 1 2x 0,1 0,6 0,8y = f(x) 1,221 3,320 4,953
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Interpolao Quadrtica
Exemplo: Seja a funo y = p2(x) definida pelos pontos da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):
Soluo:Calculando o valor de p2(0,2)
22 2,0667,52,0231,0141,1)2,0( p
414,1)2,0(2 p
i 0 1 2x 0,1 0,6 0,8y = f(x) 1,221 3,320 4,953
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Interpolao Linear/Quadrtica
Exerccio: Dados os pontos abaixo, encontre:
a) O polinmio interpolador de ordem 2 (Parbola) que ajusta os pontos acima, utilizando o mtodo de Gauss para triangularizar o sistema de equaesResposta: p2(x) = -0,5775 + 0,7567x 0,0214x2
b) O polinmio de ordem 1 ( reta ) que ajusta os pontos x0 e x2Resposta: p1(x) =0,7059 + 0,2647x
i 0 1 2x 3 9 20y = f(x) 1,5 4,5 6,0
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Interpolao
Interpolao de Lagrange
Prof. Wellington Passos de Paulawpassos@ufsj.edu.br
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Interpolao de Lagrange
As interpolaes vistas anteriormente so casos particulares da interpolao de Lagrange. Vamos estudar agora o polinmio interpolador de grau menor ou igual a n, sendo dados n + 1 pontos distintos
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Interpolao de Lagrange
Sejam x0, x1, x2, ..., xn, ( n + 1 ) pontos distintos e yi = f(xi), i = 0, 1, ..., n
Seja pn(x) o polinmio de grau n que interpola f em x0, ..., xn.
Podemos representar pn(x) na forma:
onde os polinmios Lk(x) so de grau n.
)(...)()()( 1100 xLyxLyxLyxp nnn
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Interpolao de Lagrange
Para cada i, queremos que a condio pn(xi) = yi seja satisfeita, ou seja:
A forma mais simples de se satisfazer esta condio impor:
ikseikse
xL ik 10
)(
iinniiin yxLyxLyxLyxp )(...)()()( 1100
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Interpolao de Lagrange
E para isso, definimos Lk(x) por:
como o numerador de Lk(x) um produto de n fatores da forma: (x - xi), i = 0, 1, 2, ..., n, i k, ento Lk(x) um polinmio de grau n e, assim, pn(x) um polinmio de grau menor ou igual a n
Note que, na frmula acima, ecomo pr-definido anteriormente
))...()()...()(())...()()...()(()(
1110
1110
nkkkkkkk
nkkk xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxL
1)( kk xLkise0)( ik xL
-
Interpolao de Lagrange
Assim, para x = xi, i = 0, , n temos:
Ento a interpolao de Lagrange para o polinmio interpolador :
Fazendo a substituio de Lk(x) na frmula, temos:
n
kiiiiikkin yxLyxLyxp
0)()()(
n
k
n
kjj jk
jkkkn xx
xxxLondexLyxp
0 ,0 )()(
)(),()(
n
k
n
kjj jk
jkn xx
xxyxp
0 ,0 )()(
)(
-
Interpolao de Lagrange
Exemplo: Considere a tabela de dados abaixo:
Soluo:Pela forma de Lagrange, temos que:
onde:
i 0 1 2x -1 0 2y = f(x) 4 1 -1
)()()()( 2211002 xLyxLyxLyxp
))(())(()(2010
210 xxxx
xxxxxL
322 xx
)21)(01()2)(0(
xx
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Interpolao de Lagrange
Exemplo: Considere a tabela de dados abaixo:
Soluo:Pela forma de Lagrange, temos que:
i 0 1 2x -1 0 2y = f(x) 4 1 -1
))(())(()(2101
201 xxxx
xxxxxL
))(())(()(1202
102 xxxx
xxxxxL
222
xx
)20)(10()2)(1(
xx
6
2 xx )02)(12()0)(1(
xx
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Interpolao de Lagrange
Exemplo: Considere a tabela de dados abaixo:
Soluo:Voltando na forma de Lagrange, temos:
Chegamos ento a:
i 0 1 2x -1 0 2y = f(x) 4 1 -1
6)1(
221
324)(
222
2xxxxxxxp
)()()()( 2211002 xLyxLyxLyxp
22 3
2371)( xxxp
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Interpolao de Lagrange
Exerccio: Considere a tabela de dados abaixo:
Escreva o polinmio de Lagrange de ordem 2 para esse conjunto de pontos. Calcule p2(2,5).
Resposta:
i 0 1 2x 1,1 2,2 3,5y = f(x) 10 29 90
43,185,36,42
1 xxL
12,342,23,32
2 xxL
64,27,77,52
0 xxL
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Interpolao de Lagrange
Exerccio: Considere a tabela de dados abaixo:
Escreva o polinmio de Lagrange de ordem 2 para esse conjunto de pontos. Calcule p2(2,5).
Resposta: p2(x) = 20,897 23,497x + 12,354x2
p2(2,5) = 39,37
i 0 1 2x 1,1 2,2 3,5y = f(x) 10 29 90
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Interpolao
Interpolao de Newton
Prof. Wellington Passos de Paulawpassos@ufsj.edu.br
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Interpolao de Newton
Um polinmio pn(x) com grau n baseado em n + 1 pontos
Um novo ponto observado. Como atualizar pn(x)passando a pn+1(x)?
No queremos recalcular todos os valores...
possvel fazer isto?
Sim: Interpolao de Newton
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Interpolao de Newton
A forma de Newton para o polinnio pn(x), que interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , a seguinte:
No Mtodo da Interpolao de Newton, os valores de dkso dados por Diferenas Divididas de ordem k.
110
102010
....... .......)(
nn
n
xxxxxxdxxxxdxxddxp
-
Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn. O operador Diferenas Divididas dado:
Dizemos que f[x0, x1, x2, ..., xk] a diferena divididade ordem k da funo f(x) sobre os k + 1 pontos
Interpolao de Newton Dif. Divididas
)(][ 00 xfxf
01
01
01
0110
)()(][][],[
xxxfxf
xxxfxfxxf
02
1021210
],[],[],,[xx
xxfxxfxxxf
0
121021210
],....,,,[],...,,[],...,,,[
xxxxxxfxxxfxxxxf
n
nnn
-
Interpolao de Newton Dif. Divididas
Conhecidos os valores que f(x) assume nos pontos distintos x0, x1, x2, ..., xn, podemos construir a seguinte tabela das Diferenas Divididas:
)(][ 00 xfxf
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem nx0
x1
x2
..... ...... ...... .........
xn
],[ 10 xxf
],[ 21 xxf],,[ 210 xxxf
][ 0xf
][ 1xf
][ 2xf],[ 32 xxf
],[ 1 nn xxf
],,[ 321 xxxf
],..,,[ 10 nxxxf
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Interpolao de Newton Dif. Divididas
Montando a tabela das Diferenas Divididas para n = 4: Passo 1 : calcule f[x0, x1]
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3x0 f [x0]
f [x0, x1]x1 f [x1]
x2 f [x2]
x3 f [x3]
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Interpolao de Newton Dif. Divididas
Montando a tabela das Diferenas Divididas para n = 4: Passo 2 : calcule f[x1, x2]
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3x0 f [x0]
f [x0, x1]x1 f [x1]
f [x1, x2]x2 f [x2]
x3 f [x3]
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Interpolao de Newton Dif. Divididas
Montando a tabela das Diferenas Divididas para n = 4: Passo 3 : calcule f[x2, x3]
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3x0 f [x0]
f [x0, x1]x1 f [x1]
f [x1, x2]x2 f [x2]
f [x2, x3]
x3 f [x3]
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Interpolao de Newton Dif. Divididas
Montando a tabela das Diferenas Divididas para n = 4: Passo 4 : calcule f[x0, x1, x2]
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3x0 f [x0]
f [x0, x1]x1 f [x1] f [x0, x1 ,x2]
f [x1, x2]x2 f [x2]
f [x2, x3]
x3 f [x3]
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Interpolao de Newton Dif. Divididas
Montando a tabela das Diferenas Divididas para n = 4: Passo 5 : calcule f[x1, x2, x3]
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3x0 f [x0]
f [x0, x1]x1 f [x1] f [x0, x1 ,x2]
f [x1, x2]x2 f [x2] f [x1, x2 ,x3]
f [x2, x3]
x3 f [x3]
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Interpolao de Newton Dif. Divididas
Montando a tabela das Diferenas Divididas para n = 4: Passo 6 : calcule f[x0, x1, x2, x3]
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3x0 f [x0]
f [x0, x1]x1 f [x1] f [x0, x1 ,x2]
f [x1, x2] f [x0, x1 ,x2, x3]
x2 f [x2] f [x1, x2 ,x3]f [x2, x3]
x3 f [x3]
-
Interpolao de Newton Dif. Divididas
Propriedades das Diferenas Divididas: Satisfazem a propriedade de ser simtrica aos
argumentos: Exemplo:
],[][][][][],[ 0110
10
01
0110 xxfxx
xfxfxx
xfxfxxf
].......,,[],,[],,[ 021201210 xxxfxxxfxxxf
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Interpolao de Newton Dif. Divididas
Propriedades das Diferenas Divididas: Cada coeficiente dn do Polinmio Interpolador de
Newton corresponde ao operador de grau n de Diferenas Divididas:
nn dxxxxf
dxxxfdxxf
dxf
],...,,,[
],,[],[
][
210
2210
110
00
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Interpolao de Newton
Logo a forma de Newton para o polinmio de ordem n que interpola f(x) dada por:
))....()(](,..,,,[... ...))(](,,[)](,[][)(
110210
102100100
nn
n
xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxp
110
102010
....... .......)(
nn
n
xxxxxxdxxxxdxxddxp
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Interpolao de Newton
Exemplo: Usando a forma de Newton, calcule o polinmio p4(x) que interpola f(x) nos pontos abaixo:
Tabela das Diferenas Divididas:
x -1 0 1 2 3f(x) 1 1 0 -1 -2
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Interpolao de Newton
Exemplo: Usando a forma de Newton, calcule o polinmio p4(x) que interpola f(x) nos pontos abaixo:
A forma de Newton que interpola estes pontos dada por:
x -1 0 1 2 3f(x) 1 1 0 -1 -2
)2)(1)(0)(1(241
)1)(0)(1(61
)0)(1(21)1(01)(4
xxxx
xxx
xxxxp
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Interpolao de Newton
Exemplo: Usando a forma de Newton, calcule o polinmio p4(x) que interpola f(x) nos pontos abaixo:
A forma de Newton que interpola estes pontos dada por:
x -1 0 1 2 3f(x) 1 1 0 -1 -2
)2)(1)(1(241
)1)(1(61
)1(211)(4
xxxx
xxx
xxxp
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Interpolao de Newton
Lagrange e Newton acham o mesmo polinmio, apenas expressam e calculam de forma diferente
O clculo de Newton estvel numericamente (como Lagrange) mas computacionalmente mais eficiente que Lagrange (menos operaes)
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Interpolao de Newton
Exerccio: Usando a forma de Newton, calcule o polinmio p2(x) que interpola f(x) nos pontos abaixo:
Resposta:
i 0 1 2x -1 0 2y = f(x) 4 1 -1
22 3
2371)( xxxp
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Interpolao
Interpolao de Gregory-Newton
Prof. Wellington Passos de Paulawpassos@ufsj.edu.br
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Interpolao de Gregory-Newton
Muitas vezes so encontrados problemas de interpolao cuja tabela de pontos conhecidos tem valores que so igualmente espaados, ou seja:
Assim xi+1 xi = h, para todo i, sendo h uma constante
O mtodo de Gregory-Newton um caso especial do mtodo de Newton
hxxxxxxxx nn 1231201 ...
hxx ii 1 hixxi *0
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Interpolao de Gregory-Newton
O mtodo de Gregory-Newton utiliza o conceito das Diferenas Ordinrias ou Finitas
)()()(1 xfhxfxf )()(0 xfxf
)()()( 112 xfhxfxf
)()()( 11 xfhxfxf nnn
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Interpolao de Gregory-Newton
Diferenas Ordinrias ou Finitasx Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem nx0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)
1 f (x1)x2 f (x2) 2 f (x1)... ... ... ... ... n f (x0)
xn-2 f (xn-2)1 f (xn-2)
xn-1 f (xn-1) 2 f (xn-2)1 f (xn-1)
xn f (xn)
-
Interpolao de Gregory-Newton
Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 1: calcule 1 f (x0)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1)
x2 f (x2)
x3 f (x3)
x4 f (x4)
-
Interpolao de Gregory-Newton
Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 2: calcule 1 f (x1)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1)
1 f (x1)x2 f (x2)
x3 f (x3)
x4 f (x4)
-
Interpolao de Gregory-Newton
Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 3: calcule 1 f (x2)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1)
1 f (x1)x2 f (x2)
1 f (x2)
x3 f (x3)
x4 f (x4)
-
Interpolao de Gregory-Newton
Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 4: calcule 1 f (x3)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1)
1 f (x1)x2 f (x2)
1 f (x2)
x3 f (x3)1 f (x3)
x4 f (x4)
-
Interpolao de Gregory-Newton
Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 5: calcule 2 f (x0)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)
1 f (x1)x2 f (x2)
1 f (x2)
x3 f (x3)1 f (x3)
x4 f (x4)
-
Interpolao de Gregory-Newton
Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 6: calcule 2 f (x1)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)
1 f (x1)x2 f (x2) 2 f (x1)
1 f (x2)
x3 f (x3)1 f (x3)
x4 f (x4)
-
Interpolao de Gregory-Newton
Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 7: calcule 2 f (x2)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)
1 f (x1)x2 f (x2) 2 f (x1)
1 f (x2)
x3 f (x3) 2 f (x2)1 f (x3)
x4 f (x4)
-
Interpolao de Gregory-Newton
Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 8: calcule 3 f (x0)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)
1 f (x1) 3 f (x0)x2 f (x2) 2 f (x1)
1 f (x2)
x3 f (x3) 2 f (x2)1 f (x3)
x4 f (x4)
-
Interpolao de Gregory-Newton
Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 9: calcule 3 f (x1)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)
1 f (x1) 3 f (x0)x2 f (x2) 2 f (x1)
1 f (x2) 3 f (x1)
x3 f (x3) 2 f (x2)1 f (x3)
x4 f (x4)
-
Interpolao de Gregory-Newton
Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 10: calcule 4 f (x0)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)
1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)
1 f (x1) 3 f (x0)x2 f (x2) 2 f (x1) 4 f (x0)
1 f (x2) 3 f (x1)
x3 f (x3) 2 f (x2)1 f (x3)
x4 f (x4)
-
Interpolao de Gregory-Newton
A partir da tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas, precisamos calcular os valores dk para substitu-los na forma do polinmio de Newton. O Teorema abaixo no mostra como calcul-los:
Teorema: Se xj = x0 + j * h, para j = 0, 1, 2, , n, ento:
nn
n hnxfxxxxf
!)(...,,,, 0210
-
Interpolao de Gregory-Newton
Prova ( A partir das Diferenas Dividas Mtodo de Newton mostramos que, quando os pontos esto equidistantes h fixo a frmula das Diferenas Divididas se iguala formula dada pelo Teorema ) :
por induo, podemos mostrar que esta regra vlida para valores maiores que 2
)( 00 xfxf
02
1021210
],[],[,,xx
xxfxxfxxxf
01
01
01
0110
)()(][][,xx
xfxfxx
xfxfxxfhxf
hxfhxf )()()( 000
20
201
2)(
2
)()(
hxf
hhxf
hxf
-
Interpolao de Gregory-Newton
Partindo da frmula original do Mtodo de Newton, que :
podemos derivar a frmula do Mtodo de Gregory-Newton, que utiliza as Diferenas Ordinrias:
))....()(](,..,,,[ ...))(](,,[)](,[][)(
110210
102100100
nn
n
xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxp
))....()((!
)(
...))((2
)()()()()(
1100
1020
2
00
0
nn
n
n
xxxxxxhnxf
xxxxhxfxx
hxfxfxp
-
Interpolao de Gregory-Newton
Exemplo: Construir a tabela de diferenas ordinrias para a funo f(x) tabelada abaixo e calcular p4(0,5)pela frmula de Gregory-Newton:
Soluo:
x -1 0 1 2 3f(x) 2 1 2 5 10
-
Exemplo: Construir a tabela de diferenas ordinrias para a funo f(x) tabelada abaixo e calcular p4(0,5)pela frmula de Gregory-Newton:
Soluo:A forma de Gregory-Newton que interpola estes pontos dada por:
Interpolao de Gregory-Newton
x -1 0 1 2 3f(x) 2 1 2 5 10
))()()((!4
)())()((!3
)(
))((!2
)()(!1
)()()(
321040
4
21030
3
1020
2
010
04
xxxxxxxxhxfxxxxxx
hxf
xxxxhxfxx
hxfxfxp
-
Exemplo: Construir a tabela de diferenas ordinrias para a funo f(x) tabelada abaixo e calcular p4(0,5)pela frmula de Gregory-Newton:
Soluo:
Interpolao de Gregory-Newton
x -1 0 1 2 3f(x) 2 1 2 5 10
)2)(1)()(1(124
0)1)()(1(16
0
))(1(12
2)1(1112)(4
xxxxxxx
xxxxp
1)( 24 xxp
-
Exemplo: Construir a tabela de diferenas ordinrias para a funo f(x) tabelada abaixo e calcular p4(0,5)pela frmula de Gregory-Newton:
Soluo:
Interpolao de Gregory-Newton
x -1 0 1 2 3f(x) 2 1 2 5 10
25,1125,01)5,0( 24 xp
-
Exerccio: Construir a tabela de diferenas ordinrias para a funo f(x) tabelada abaixo e calcular p2(115)pela frmula de Gregory-Newton:
Resposta:
Interpolao de Gregory-Newton
i 0 1 2x 110 120 130
f(x) 2,041 2,079 2,114
22 000015,000725,0425,1)( xxxp 060,2)115(2 p
-
Interpolao
Interpolao Inversa
Prof. Wellington Passos de Paulawpassos@ufsj.edu.br
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Interpolao Inversa
Seja f(x) uma funo tabelada em n+1 pontos distintos x0, x1, ..., xn
Dado y* (f(x0), f(xn)), o problema da interpolao inversa consiste em encontrar x* tal que f(x*) = y*
Este o problema da interpolao inversa!
-
Interpolao Inversa
H dois modos de se resolver este problema: Obter pn(x) que interpola f(x) em x0, x1, ..., xn e em
seguida encontrar x* tal que pn(x*) = y* Problema: No temos como calcular o erro pois este
baseado na diferena entre f(x) e pn(x), e aqui queremos medir o erro cometido sobre x e no f(x)
Se f(x) for inversvel no intervalo que contm y, fazer a interpolao de f-1(x) Isso somente ser possvel se f(x) for contnua e
monotonicamente crescente ou decrescente nesse intervalo
-
Interpolao Inversa
Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que f(x*) = 2.
Soluo:
Como 2 (1,82 , 2,01), usaremos interpolao linear sobre x0 = 0,6 e x1 = 0,7. Calculando o polinmio p1(x) atravs do mtodo de Lagrange, temos:
x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0y = f(x) 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72
)()()( 11001 xLyxLyxp
)()()(
10
10 xx
xxxL
1,07,0
x
)7,06,0()7,0(
x
-
Interpolao Inversa
Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que f(x*) = 2.
Soluo:
x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0y = f(x) 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72
)()()( 11001 xLyxLyxp
)()()(
01
01 xx
xxxL
1,06,0 x
)6,07,0()6,0(
x
1,06,001,2
1,07,082,1)(1
xxxp 68,09,1 x
-
Interpolao Inversa
Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que f(x*) = 2.
Soluo:
Utilizando o polinmio p1(x) encontrado para calcularmos p1(x*) = 2
Neste caso, no possvel fazer nenhuma estimativa sobre o erro cometido!
x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0y = f(x) 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72
2*)(1 xp 268,0*9,1 x 6947368,0* x
-
Interpolao Inversa
Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que ex* = 1,3165.
Soluo:
Vamos fazer a interpolao quadrtica em f-1(x), utilizando o mtodo de Newton.
x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5y = ex 1 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487
-
Interpolao Inversa
Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que ex* = 1,3165.Soluo:
Tabela de diferenas divididas:
-
Interpolao Inversa
Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que ex* = 1,3165.Soluo:
O polinmio ento dado por:
Pode-se verificar, na calculadora, que e0,27487 = 1,31659
Agora possvel estimar o erro, como veremos a seguir...
))(](,,[
)](,[)()(
102101
0101
01
2
yyyyyyyfyyyyfyfxp
)3499,1)(2214,1)(2718,0()2214,1)(7782,0(2,0)(2
yyyxp
27487,0)3165,1(2 p
-
Interpolao
Estudo do Erro
Prof. Wellington Passos de Paulawpassos@ufsj.edu.br
-
Estudo do Erro na Interpolao
Ao se aproximar uma funo f(x) por um polinmio interpolador pn(x), de grau n, comete-se um erro En (x)tal que seu valor estimado :
onde a derivada de ordem (n + 1) da funo interpolada e
)!1()())...()(()()()(
)1(
10
nfxxxxxxxpxfxE x
n
nnn
),( 0 nx xx)()1( x
nf
-
Estudo do Erro na Interpolao
Interpolao linear de f1(x) e f2(x)
x
f(x)
x0 x1
f1(x0)= f2(x0)=p1(x0)f1(x)
p1(x)
f2(x)f1(x1)= f2(x1)=p1(x1)
-
Estudo do Erro na Interpolao
Interpolao linear de f1(x) e f2(x) O mesmo polinmio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1
O erro E11(x)=f1(x) - p1(x) > E12(x)= f2(x) - p1(x) para todo x de (x0 , x1)
Neste caso, o erro depende da concavidade da curva, ou seja, de f1(x) e f2(x)
-
Estudo do Erro na Interpolao
Exemplo: Considere a funo e a tabela dada abaixo. Obtenha p1(0,7) por interpolao linear e calcule o erro cometido:
Soluo:Pela frmula de Newton temos:
1)( xexf x
x 0 0,5 1 1,5 2,0y = f(x) 0 1,1487 2,7183 4,9811 8,3890
],[)()()( 10001 xxfxxxfxp
-
Estudo do Erro na Interpolao
Exemplo: Considere a funo e a tabela dada abaixo. Obtenha p1(0,7) por interpolao linear e calcule o erro cometido:
Soluo:Como x = 0,7, logo x0 = 0,5 e x1 = 1, temos:
1)( xexf x
x 0 0,5 1 1,5 2,0y = f(x) 0 1,1487 2,7183 4,9811 8,3890
5,011487,17183,2)5,0(1487,1)(1 xxp
1392,3)5,0(1487,1)(1 xxp7765,11392,3)5,07,0(1487,1)7,0(1 p
-
Estudo do Erro na Interpolao
Exemplo: Considere a funo e a tabela dada abaixo. Obtenha p1(0,7) por interpolao linear e calcule o erro cometido:
Soluo:O clculo do erro ento ser:
1)( xexf x
x 0 0,5 1 1,5 2,0y = f(x) 0 1,1487 2,7183 4,9811 8,3890
)7,0()7,0()7,0( 11 pfE 7765,17137,1 0628,00628,00628,0)7,0(1 E
-
Estudo do Erro na Interpolao
A frmula do erro tem uso limitado na prtica pois raras so as situaes em que conhecemos . Alm disso, o ponto nunca conhecido
Assim o que se usa normalmente uma formula para a estimativa do erro, que dada pela expresso abaixo:
onde
)()1( xf n
x
!1)).....()(()()()( 110 nMxxxxxxxpxfxE nnnn
.1max)!1(1 nordemdivididasdiferenas
nMn
-
Estudo do Erro na Interpolao
Exemplo: Sejam os valores de f(x) informados na tabela abaixo:
a) Utilize a frmula de Newton para obter f(0,47) usando um polinmio de grau 2
b) Encontre uma estimativa para o erro
x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72y = f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37
-
Estudo do Erro na Interpolao
a) Gerando a tabela de Diferenas Divididas:
-
Estudo do Erro na Interpolao
a) Escolhendo
Substituindo:
6,0,52,0,4,0 210 xxx))(](,,[)](,[)()( 1021001002 xxxxxxxfxxxxfxfxp
)52,0)(4,0)(0415,1()4,0)(1667,0(27,0)(2 xxxxp
)47,0(2780,0)47,0(2 fp
-
Estudo do Erro na Interpolao
b) Tabela de Diferenas Divididas:
-
Estudo do Erro na Interpolao
b)
como
Logo
|2492,18||)6,047,0)(52,047,0)(4,047,0(||)47,0(| 2 E3
2 10303,8|)47,0(|E
009,0278,0)47,0(2 p
!12))()(()( 122102 MxxxxxxxE
.1max)!1(1 nordemdivididasdiferenas
nMn
-
Voltando ao Erro na Interpolao Inversa
Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que ex* = 1,3165.Tabela de diferenas divididas:
27487,0)3165,1(2 p
-
Voltando ao Erro na Interpolao Inversa
Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que ex* = 1,3165.O Erro ento dado por:
Logo,
|1994,0||)4918,13165,1()3499,13165,1()2214,13165,1(||)3165,1(|
E
4101,1|)3165,1(| E00011,027487,0 x
-
Interpolao
Grau do Polinmio Interpolador
Prof. Wellington Passos de Paulawpassos@ufsj.edu.br
-
Grau do Polinmio Interpolador
Para a escolha do grau do polinmio interpolador:1) Construa a tabela de diferenas divididas2) Examine as diferenas na vizinhana do ponto de
interesse
Se as diferenas de ordem k forem praticamente constantes, ou se as diferenas de ordem k+1 variarem em torno de zero, o polinmio de grau k ser o que melhor aproximar a funo na regio considerada
-
Grau do Polinmio Interpolador
Exemplo: Dada com os valores tabelados:
Um polinmio de grau 1 uma boa aproximao para no intervalo dado.
Vamos provar?
xxf )(x 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05y = f(x) 1 1,005 1,01 1,0149 1,0198 1,0247
xxf )(
-
Grau do Polinmio Interpolador
a) Tabela de diferenas divididas (Mtodo de Newton):
-
Convergncia
Sejam o intervalo [a,b] coberto pelos pontos a = x0, x1, ..., xn= b, o valor da funo f nesses pontos e p0(x) o polinmio interpolador de f(x)
Uma questo importante: Vale sempre a pena utilizar o polinmio interpolador de
grau mximo? Em outras palavras, medida que aumenta o nmero de
pontos de interpolao, ou seja, quando , pn(x)sempre converge para f(x) nesse intervalo?
n
-
Convergncia
Teorema: Para qualquer sequncia de pontos de interpolao a = x0, x1, ..., xn = b no intervalo [a,b], existe uma funo contnua f(x) tal que pn(x) no converge para f(x) quando .
No caso em que os pontos de interpolao so igualmente espaados, essa divergncia pode ser ilustrada atravs de um caso conhecido como Fenmeno de Runge
n
-
Fenmeno de Runge
Interpolando a funo no intervalo [-1,1] sendo:
Veja abaixo f(x) com duas interpolaes polinomiais
22511)(x
xf
.,..,2,1para21 ninixi
-
Fenmeno de Runge
medida que aumenta o nmero de pontos de interpolao, |f(x) pn(x)| torna-se arbitrariamente grande nesse intervalo
Soluo: Usar funes Splines, com convergncia garantida
-
Funes Splines
Splines so hastes flexveis (de plstico ou de madeira), fixadas em certos pontos de uma mesa de desenho, para traar curvas suaves
A ideia deste mtodo interpolar a funo em grupos de poucos pontos (geralmente, dois a dois), e ao mesmo tempo impor condies para que a aproximao e suas derivadas (at certa ordem) sejam contnuas. Desse modo, sero obtidos polinmios de grau menor
Veremos as Splines Lineares, isto , formadas por polinmios de grau 1
-
Funes Splines
Definio:Seja tabelada para .
A funo denominada spline de grau p se:
a) Em cada subintervalo , para ,
um polinmio de grau p
b) contnua e tem derivadas contnuas at ordem (p 1) em
c)
)(xf nxxxx .....210
)(xsp
1ii ,xx )1(..,,2,1,0 ni)(xs p
)(xsp bx,xa n 0nixfxs iip ...,,2,1para)()(
-
Funo Spline Linear
A funo spline linear interpolante de f(x), ou seja, s1(x) nos ns x1, x2, ..., xn, pode ser escrita em cada subintervalo como:
Observaes: Note que s1(x) polinmio de grau 1 no intervalo s1(x) contnua em todo intervalo Nos pontos ns .
Logo, s1(x) a spline linear interpolante de f(x)
1ii ,xx ii
ii
ii
ii
iii xxxxx
xxxf
xxxx
xfxs ,)()()( 11
1
11
ii xx ,1)()(1 ii xfxs
-
Funo Spline Linear
Exemplo: Achar a funo spline linear que interpola f(x)
Soluo:Da definio:
0 1 2 3
1 2 5 7
1 2 3 2,5ix
)( ixf
i
01
01
01
101 )()()( xx
xxxfxxxxxfxs
2,12221212
1221)(1
xxxxxxxs
-
Funo Spline Linear
Exemplo: Achar a funo spline linear que interpola f(x)
Soluo:Da definio:
0 1 2 3
1 2 5 7
1 2 3 2,5ix
)( ixf
i
12
12
12
212 )()()( xx
xxxfxxxxxfxs
5,243163210
31
2523
2552)(2
xxxxxxxs
-
Funo Spline Linear
Exemplo: Achar a funo spline linear que interpola f(x)
Soluo:Da definio:
0 1 2 3
1 2 5 7
1 2 3 2,5ix
)( ixf
i
23
23
13
323 )()()( xx
xxxfxxxxxfxs
5,125,232121
5755,2
5773)(3 xx
xxxs
7,55,85,021)(3 xxxs
-
Funo Spline Linear
Exemplo: Achar a funo spline linear que interpola f(x)
Soluo Final:
0 1 2 3
1 2 5 7
1 2 3 2,5ix
)( ixf
i
7,55,85,021)(
5,2431)(
2,1)(
3
2
1
xxxs
xxxs
xxxs
-
Funo Spline Linear
Exemplo: Achar a funo spline linear que interpola f(x)
Soluo:Graficamente:
0 1 2 3
1 2 5 7
1 2 3 25ix
)( ixf
i
x
f(x)
1 7
s3(x)
52
s2(x)s1(x)
f(x)
-
Funo Spline Linear
Exerccio: Achar a funo spline linear que interpola f(x)
Resposta:
0 1 2 3
1 4 5 8
90 66 55 45ix
)( ixf
i
8,52151031)(
5,411011)(4,1988)(
3
2
1
xxxs
xxxsxxxs
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