05_interpolacao

Interpolao

Prof. Wellington Passos de [email protected]

Programa

1. Introduo2. Mtodos de Interpolao

a) Linearb) Quadrticac) Lagranged) Newtone) Gregory-Newton

3. Interpolao Inversa4. Estudo do Erro5. Grau do Polinmio Interpolador6. Funes Splines

Interpolao

Introduo


Introduo

Muitas funes so conhecidas apenas em um conjunto finito e discreto de pontos de um intervalo [a,b]

Exemplo: A tabela abaixo informa o nmero de carros que passam por um determinado pedgio em um determinado dia

A partir dos dados acima, suponhamos que se queira calcular o nmero de carros que passariam pelo pedgio s 11:30

Horrio 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00QuantidadeCarros (x1000) 2,69 1,64 1,09 1,04 1,49 2,44

Introduo

A interpolao tem o objetivo de ajudar na resoluo deste tipo de problema

Interpolar uma funo y = f(x), em um conjunto discreto de pontos, pertencentes a um intervalo [a, b], consiste em substitu-la, ou aproxim-la, por uma outra funo, y = g(x), escolhida dentro de uma classe de funes definida a priori e que satisfaa algumas propriedades. A funo y = g(x) , ento, usada no lugar da funo y = f(x)

Introduo

A necessidade de se efetuar esta substituio surge em vrias situaes, como por exemplo: Quando y = f(x) no conhecida na sua forma analtica,

nas apenas em um conjunto discreto de pontos (xi, yi), i = 0, 1, ..., n

Quando y = f(x) conhecida na sua forma analtica, mas operaes como a diferenciao e a integrao so difceis (ou impossveis) de realizar, ou seja, a funo difcil de ser tratada. Logo, podemos procurar uma outra funo que seja uma

aproximao y = f(x) e cujo manuseio seja bem mais simples

Introduo

Teoricamente, a funo interpoladora, y = g(x), pode ser de tipos variados, tais como: polinomiais trigonomtricas exponenciais logartmicas

Porm, para consideraremos apenas o estudo das funes polinomiais

Conceito Formal de Interpolao Numrica

Consideremos (n+1) pontos distintos: x0, x1, ..., xn, chamados ns da interpolao, e os valores de f(x)nesses pontos: f(x0), f(x1), ..., f(xn)

Uma forma de interpolao de f(x) consiste em se obter uma determinada funo g(x) tal que:

)()(

)()()()()()(

22

11

00

nn xfxg

xfxgxfxgxfxg

Conceito Formal de Interpolao Numrica

Graficamente, para n=5 temos (6 pontos), temos:

Nos ns da interpolao as funes f(x) e g(x)assumem os mesmos valores!

Interpolao Polinomial

Dados os pontos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), portanto (n+1) pontos, queremos aproximar f(x) por um polinmio pn(x) de grau menor ou igual a n, tal que:

f(xk) = pn(xk) k = 0,1, 2 , . , n

Representaremos pn(x) por:

Portanto, obter pn(x) significa obter os coeficientes a0,a1, ..., an

nnn xaxaxaaxp ...)( 2210


Surgem ento as seguintes perguntas: Existe sempre um polinmio que satisfaa as condies

anteriores? Caso exista, ele nico?

Teorema:Existe um nico polinmio pn(x) de grau n, tal que pn(xk) = f(xk), k = 0,1, 2 , . , n desde que xk xj, j k

Demonstrando o Teorema:Seja

Da condio , montamos o seguinte sistema linear:

com n+1 equaes e n+1 incgnitas a0, a1, ..., an


nkxfxp kkn ...,,2,1,0),()(

)(...

)(...

)(...

2210

11212110

00202010

nnnnnn

nn

nn

xfxaxaxaa

xfxaxaxaaxfxaxaxaa

nnn xaxaxaaxp ...)( 2210


Demonstrando o Teorema:Da notao Matricial temos: v x a = f

onde V uma matriz de Vardermonde e, portanto, desde que x0, x1, x2, , xn sejam pontos distintos, temos det(v) 0. Logo, o sistema linear admite soluo nica. A matriz coluna a a matriz das incgnitas e a matriz coluna f a matriz das constantes f(xi) = yi

)(

)()(

,

1

11

1

0

1

0

2

1211

0200

nnnnnn

n

n

xf

xfxf

fe

a

aa

a

xxx

xxxxxx

v


Existem vrias formas de se obter o polinmio pn(x) Linear Quadrtica Lagrange Newton Gregory-Newton, etc

Interpolao

Interpolao Linear


Interpolao Linear

Dados dois pontos distintos de uma funo y = f(x) :(x0, y0) e (x1, y1), deseja-se calcular o valor de para um determinado valor de x entre x0 e x1, utilizando-se a interpolao polinomial

O polinmio interpolador uma unidade menor que o nmero de pontos conhecidos

Assim, nesse caso, o polinmio interpolador ter grau 1, ou seja:

p1(x) = a0 + a1x

Interpolao Linear

Para determinar este polinmio, os coeficientes a0 e a1devem ser calculados de forma que se tenha:

p1(x0) = f(x0) = y0 e p1(x1) = f(x1) = y1

Ou seja, basta resolver o sistema linear abaixo:

onde a1 e a0 so as incgnitas

Reescrevendo o sistema na forma matricial, temos:

1110

0010

yxaayxaa

1

0

1

0

1

0

11

yy

aa

xx

Transformando em um sistema triangular equivalente (utilizando a Eliminao de Gauss), temos:

A soluo do sistema dada por:

0101

00

01

yyxxyx

Interpolao Linear

11

00

11

yxyx

01011

0010

yyxxayxaa

010001

011 xayaexx

yya

Interpolao Linear

Logo, o polinmio interpolador pode ser escrito da seguinte forma:

ou, de forma mais apropriada:

xaaxp 101 )(

)()( 001

0101 xxxx

yyyxp

)( 010 xxay xaxay 1010 )(

Interpolao Linear

O determinante da matriz A diferente de zero, sempre que x0 x1, logo para pontos distintos o sistema tem soluo nica

O polinmio interpolador p1(x) = a1x+ a0 tem como imagem geomtrica uma reta, portanto a funo f(x)est sendo aproximada por uma reta que passa pelos pontos conhecidos (x0, y0) e (x1, y1)

Interpolao Linear

O grfico abaixo, mostra geometricamente, os dois pontos (x0, y0) e (x1, y1), e a reta que passa por eles.

Interpolao Linear

Exemplo: Seja a funo y = p1(x) definida pelos pontos da tabela abaixo, determinar o valor de p1(15):

Soluo:Aplicando a frmula temos:

Logo:

i 0 1x 10 20y = f(x) 250 432

)()( 001

0101 xxxx

yyyxp

)10(1020250432250)(1

xxp

34168152,18)15(1 p682,18 x

Interpolao

Interpolao Quadrtica



Se conhecermos trs pontos distintos de uma funo, ento o polinmio interpolador ser:

p2(x) = a2x2 + a1x + a0

O polinmio p2(x) conhecido como funo quadrtica cuja imagem geomtrica uma parbola

Portanto, a funo f(x) aproximada por uma parbola que passa pelos trs pontos conhecidos (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2)


Para determinar os valores de a0, a1 e a2 necessrio resolver o sistema:

onde a1, a0 e a2 so as incgnitas e os pontos (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2) so conhecidos.

2222210

1212110

0202010

yxaxaayxaxaayxaxaa


Reescrevendo o sistema na forma matricial, temos:

O sistema acima admite soluo nica, pois det(X) = (x2 x0) (x2 x1)(x1 x0) 0. Logo, pelos trs pontos ordenados passa um nico polinmio interpolador de 2 grau

2

1

0

2

1

0

222

211

200

111

yyy

aaa

xxxxxx


Para encontrar os coeficientes ai, basta resolver o sistema de equaes ( Eliminao de Gauss, Decomposio LU, Mtodo de Gauss-Jacobi, Mtodo de Gauss-Siedel, etc )


Exemplo: Seja a funo y = p2(x) definida pelos pontos da tabela abaixo, determinar o valor de p2(0,2):

Soluo:Montando o sistema linear:

i 0 1 2x 0,1 0,6 0,8y = f(x) 1,221 3,320 4,953

953,48,08,0

320,36,06,0

221,11,01,0

2210

2210

2210

aaaaaaaaa



Soluo:Montando o sistema linear:

953,4320,3221,1

8,08,016,06,011,01,01

2

1

0

2

2

2

aaa

i 0 1 2x 0,1 0,6 0,8y = f(x) 1,221 3,320 4,953



Soluo:Aplicando a Eliminao de Gauss ao sistema, chegaremos ao seguinte sistema triangular superior:

567,01,0733,363,07,0221,101,01,0

567,01,000733,363,07,00221,101,01,01

2

21

210

aaaaaa

i 0 1 2x 0,1 0,6 0,8y = f(x) 1,221 3,320 4,953



Soluo:Resolvendo o sistema triangular superior, encontramos: a2 = 5,667; a1 = 0,231; a0 = 1,141

Logo o polinmio ter a seguinte forma:

22 667,5231,0141,1)( xxxp

i 0 1 2x 0,1 0,6 0,8y = f(x) 1,221 3,320 4,953



Soluo:Calculando o valor de p2(0,2)

22 2,0667,52,0231,0141,1)2,0( p

414,1)2,0(2 p

i 0 1 2x 0,1 0,6 0,8y = f(x) 1,221 3,320 4,953

Interpolao Linear/Quadrtica

Exerccio: Dados os pontos abaixo, encontre:

a) O polinmio interpolador de ordem 2 (Parbola) que ajusta os pontos acima, utilizando o mtodo de Gauss para triangularizar o sistema de equaesResposta: p2(x) = -0,5775 + 0,7567x 0,0214x2

b) O polinmio de ordem 1 ( reta ) que ajusta os pontos x0 e x2Resposta: p1(x) =0,7059 + 0,2647x

i 0 1 2x 3 9 20y = f(x) 1,5 4,5 6,0

Interpolao

Interpolao de Lagrange



As interpolaes vistas anteriormente so casos particulares da interpolao de Lagrange. Vamos estudar agora o polinmio interpolador de grau menor ou igual a n, sendo dados n + 1 pontos distintos


Sejam x0, x1, x2, ..., xn, ( n + 1 ) pontos distintos e yi = f(xi), i = 0, 1, ..., n

Seja pn(x) o polinmio de grau n que interpola f em x0, ..., xn.

Podemos representar pn(x) na forma:

onde os polinmios Lk(x) so de grau n.

)(...)()()( 1100 xLyxLyxLyxp nnn


Para cada i, queremos que a condio pn(xi) = yi seja satisfeita, ou seja:

A forma mais simples de se satisfazer esta condio impor:

ikseikse

xL ik 10

)(

iinniiin yxLyxLyxLyxp )(...)()()( 1100


E para isso, definimos Lk(x) por:

como o numerador de Lk(x) um produto de n fatores da forma: (x - xi), i = 0, 1, 2, ..., n, i k, ento Lk(x) um polinmio de grau n e, assim, pn(x) um polinmio de grau menor ou igual a n

Note que, na frmula acima, ecomo pr-definido anteriormente

))...()()...()(())...()()...()(()(

1110

1110

nkkkkkkk

nkkk xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxL

1)( kk xLkise0)( ik xL


Assim, para x = xi, i = 0, , n temos:

Ento a interpolao de Lagrange para o polinmio interpolador :

Fazendo a substituio de Lk(x) na frmula, temos:

n

kiiiiikkin yxLyxLyxp

0)()()(

n

k

n

kjj jk

jkkkn xx

xxxLondexLyxp

0 ,0 )()(

)(),()(

n

k

n

kjj jk

jkn xx

xxyxp

0 ,0 )()(

)(


Exemplo: Considere a tabela de dados abaixo:

Soluo:Pela forma de Lagrange, temos que:

onde:

i 0 1 2x -1 0 2y = f(x) 4 1 -1

)()()()( 2211002 xLyxLyxLyxp

))(())(()(2010

210 xxxx

xxxxxL

322 xx

)21)(01()2)(0(

xx



Soluo:Pela forma de Lagrange, temos que:

i 0 1 2x -1 0 2y = f(x) 4 1 -1

))(())(()(2101

201 xxxx

xxxxxL

))(())(()(1202

102 xxxx

xxxxxL

222

xx

)20)(10()2)(1(

xx

6

2 xx )02)(12()0)(1(

xx



Soluo:Voltando na forma de Lagrange, temos:

Chegamos ento a:

i 0 1 2x -1 0 2y = f(x) 4 1 -1

6)1(

221

324)(

222

2xxxxxxxp

)()()()( 2211002 xLyxLyxLyxp

22 3

2371)( xxxp


Exerccio: Considere a tabela de dados abaixo:

Escreva o polinmio de Lagrange de ordem 2 para esse conjunto de pontos. Calcule p2(2,5).

Resposta:

i 0 1 2x 1,1 2,2 3,5y = f(x) 10 29 90

43,185,36,42

1 xxL

12,342,23,32

2 xxL

64,27,77,52

0 xxL


Exerccio: Considere a tabela de dados abaixo:

Escreva o polinmio de Lagrange de ordem 2 para esse conjunto de pontos. Calcule p2(2,5).

Resposta: p2(x) = 20,897 23,497x + 12,354x2

p2(2,5) = 39,37

i 0 1 2x 1,1 2,2 3,5y = f(x) 10 29 90

Interpolao

Interpolao de Newton



Um polinmio pn(x) com grau n baseado em n + 1 pontos

Um novo ponto observado. Como atualizar pn(x)passando a pn+1(x)?

No queremos recalcular todos os valores...

possvel fazer isto?

Sim: Interpolao de Newton


A forma de Newton para o polinnio pn(x), que interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , a seguinte:

No Mtodo da Interpolao de Newton, os valores de dkso dados por Diferenas Divididas de ordem k.

110

102010

....... .......)(

nn

n

xxxxxxdxxxxdxxddxp

Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn. O operador Diferenas Divididas dado:

Dizemos que f[x0, x1, x2, ..., xk] a diferena divididade ordem k da funo f(x) sobre os k + 1 pontos

Interpolao de Newton Dif. Divididas

)(][ 00 xfxf

01

01

01

0110

)()(][][],[

xxxfxf

xxxfxfxxf

02

1021210

],[],[],,[xx

xxfxxfxxxf

0

121021210

],....,,,[],...,,[],...,,,[

xxxxxxfxxxfxxxxf

n

nnn


Conhecidos os valores que f(x) assume nos pontos distintos x0, x1, x2, ..., xn, podemos construir a seguinte tabela das Diferenas Divididas:

)(][ 00 xfxf

x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem nx0

x1

x2

..... ...... ...... .........

xn

],[ 10 xxf

],[ 21 xxf],,[ 210 xxxf

][ 0xf

][ 1xf

][ 2xf],[ 32 xxf

],[ 1 nn xxf

],,[ 321 xxxf

],..,,[ 10 nxxxf


Montando a tabela das Diferenas Divididas para n = 4: Passo 1 : calcule f[x0, x1]

x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3x0 f [x0]

f [x0, x1]x1 f [x1]

x2 f [x2]

x3 f [x3]




f [x0, x1]x1 f [x1]

f [x1, x2]x2 f [x2]

x3 f [x3]




f [x0, x1]x1 f [x1]

f [x1, x2]x2 f [x2]

f [x2, x3]

x3 f [x3]


Montando a tabela das Diferenas Divididas para n = 4: Passo 4 : calcule f[x0, x1, x2]


f [x0, x1]x1 f [x1] f [x0, x1 ,x2]

f [x1, x2]x2 f [x2]

f [x2, x3]

x3 f [x3]


Montando a tabela das Diferenas Divididas para n = 4: Passo 5 : calcule f[x1, x2, x3]


f [x0, x1]x1 f [x1] f [x0, x1 ,x2]

f [x1, x2]x2 f [x2] f [x1, x2 ,x3]

f [x2, x3]

x3 f [x3]


Montando a tabela das Diferenas Divididas para n = 4: Passo 6 : calcule f[x0, x1, x2, x3]


f [x0, x1]x1 f [x1] f [x0, x1 ,x2]

f [x1, x2] f [x0, x1 ,x2, x3]

x2 f [x2] f [x1, x2 ,x3]f [x2, x3]

x3 f [x3]


Propriedades das Diferenas Divididas: Satisfazem a propriedade de ser simtrica aos

argumentos: Exemplo:

],[][][][][],[ 0110

10

01

0110 xxfxx

xfxfxx

xfxfxxf

].......,,[],,[],,[ 021201210 xxxfxxxfxxxf


Propriedades das Diferenas Divididas: Cada coeficiente dn do Polinmio Interpolador de

Newton corresponde ao operador de grau n de Diferenas Divididas:

nn dxxxxf

dxxxfdxxf

dxf

],...,,,[

],,[],[

][

210

2210

110

00


Logo a forma de Newton para o polinmio de ordem n que interpola f(x) dada por:

))....()(](,..,,,[... ...))(](,,[)](,[][)(

110210

102100100

nn

n

xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxp

110

102010

....... .......)(

nn

n

xxxxxxdxxxxdxxddxp


Exemplo: Usando a forma de Newton, calcule o polinmio p4(x) que interpola f(x) nos pontos abaixo:

Tabela das Diferenas Divididas:

x -1 0 1 2 3f(x) 1 1 0 -1 -2



A forma de Newton que interpola estes pontos dada por:

x -1 0 1 2 3f(x) 1 1 0 -1 -2

)2)(1)(0)(1(241

)1)(0)(1(61

)0)(1(21)1(01)(4

xxxx

xxx

xxxxp



A forma de Newton que interpola estes pontos dada por:

x -1 0 1 2 3f(x) 1 1 0 -1 -2

)2)(1)(1(241

)1)(1(61

)1(211)(4

xxxx

xxx

xxxp


Lagrange e Newton acham o mesmo polinmio, apenas expressam e calculam de forma diferente

O clculo de Newton estvel numericamente (como Lagrange) mas computacionalmente mais eficiente que Lagrange (menos operaes)


Exerccio: Usando a forma de Newton, calcule o polinmio p2(x) que interpola f(x) nos pontos abaixo:

Resposta:

i 0 1 2x -1 0 2y = f(x) 4 1 -1

22 3

2371)( xxxp

Interpolao

Interpolao de Gregory-Newton



Muitas vezes so encontrados problemas de interpolao cuja tabela de pontos conhecidos tem valores que so igualmente espaados, ou seja:

Assim xi+1 xi = h, para todo i, sendo h uma constante

O mtodo de Gregory-Newton um caso especial do mtodo de Newton

hxxxxxxxx nn 1231201 ...

hxx ii 1 hixxi *0


O mtodo de Gregory-Newton utiliza o conceito das Diferenas Ordinrias ou Finitas

)()()(1 xfhxfxf )()(0 xfxf

)()()( 112 xfhxfxf

)()()( 11 xfhxfxf nnn


Diferenas Ordinrias ou Finitasx Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem nx0 f (x0)

1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)

1 f (x1)x2 f (x2) 2 f (x1)... ... ... ... ... n f (x0)

xn-2 f (xn-2)1 f (xn-2)

xn-1 f (xn-1) 2 f (xn-2)1 f (xn-1)

xn f (xn)


Montando a tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas para n = 4: Passo 1: calcule 1 f (x0)

x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4x0 f (x0)

1 f (x0)x1 f (x1)

x2 f (x2)

x3 f (x3)

x4 f (x4)




1 f (x0)x1 f (x1)

1 f (x1)x2 f (x2)

x3 f (x3)

x4 f (x4)




1 f (x0)x1 f (x1)

1 f (x1)x2 f (x2)

1 f (x2)

x3 f (x3)

x4 f (x4)




1 f (x0)x1 f (x1)

1 f (x1)x2 f (x2)

1 f (x2)

x3 f (x3)1 f (x3)

x4 f (x4)




1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)

1 f (x1)x2 f (x2)

1 f (x2)

x3 f (x3)1 f (x3)

x4 f (x4)




1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)

1 f (x1)x2 f (x2) 2 f (x1)

1 f (x2)

x3 f (x3)1 f (x3)

x4 f (x4)




1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)

1 f (x1)x2 f (x2) 2 f (x1)

1 f (x2)

x3 f (x3) 2 f (x2)1 f (x3)

x4 f (x4)




1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)

1 f (x1) 3 f (x0)x2 f (x2) 2 f (x1)

1 f (x2)

x3 f (x3) 2 f (x2)1 f (x3)

x4 f (x4)




1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)

1 f (x1) 3 f (x0)x2 f (x2) 2 f (x1)

1 f (x2) 3 f (x1)

x3 f (x3) 2 f (x2)1 f (x3)

x4 f (x4)




1 f (x0)x1 f (x1) 2 f (x0)

1 f (x1) 3 f (x0)x2 f (x2) 2 f (x1) 4 f (x0)

1 f (x2) 3 f (x1)

x3 f (x3) 2 f (x2)1 f (x3)

x4 f (x4)


A partir da tabela das Diferenas Ordinrias ou Finitas, precisamos calcular os valores dk para substitu-los na forma do polinmio de Newton. O Teorema abaixo no mostra como calcul-los:

Teorema: Se xj = x0 + j * h, para j = 0, 1, 2, , n, ento:

nn

n hnxfxxxxf

!)(...,,,, 0210


Prova ( A partir das Diferenas Dividas Mtodo de Newton mostramos que, quando os pontos esto equidistantes h fixo a frmula das Diferenas Divididas se iguala formula dada pelo Teorema ) :

por induo, podemos mostrar que esta regra vlida para valores maiores que 2

)( 00 xfxf

02

1021210

],[],[,,xx

xxfxxfxxxf

01

01

01

0110

)()(][][,xx

xfxfxx

xfxfxxfhxf

hxfhxf )()()( 000

20

201

2)(

2

)()(

hxf

hhxf

hxf


Partindo da frmula original do Mtodo de Newton, que :

podemos derivar a frmula do Mtodo de Gregory-Newton, que utiliza as Diferenas Ordinrias:

))....()(](,..,,,[ ...))(](,,[)](,[][)(

110210

102100100

nn

n

xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxp

))....()((!

)(

...))((2

)()()()()(

1100

1020

2

00

0

nn

n

n

xxxxxxhnxf

xxxxhxfxx

hxfxfxp


Exemplo: Construir a tabela de diferenas ordinrias para a funo f(x) tabelada abaixo e calcular p4(0,5)pela frmula de Gregory-Newton:

Soluo:

x -1 0 1 2 3f(x) 2 1 2 5 10


Soluo:A forma de Gregory-Newton que interpola estes pontos dada por:


x -1 0 1 2 3f(x) 2 1 2 5 10

))()()((!4

)())()((!3

)(

))((!2

)()(!1

)()()(

321040

4

21030

3

1020

2

010

04

xxxxxxxxhxfxxxxxx

hxf

xxxxhxfxx

hxfxfxp


Soluo:


x -1 0 1 2 3f(x) 2 1 2 5 10

)2)(1)()(1(124

0)1)()(1(16

0

))(1(12

2)1(1112)(4

xxxxxxx

xxxxp

1)( 24 xxp


Soluo:


x -1 0 1 2 3f(x) 2 1 2 5 10

25,1125,01)5,0( 24 xp

Exerccio: Construir a tabela de diferenas ordinrias para a funo f(x) tabelada abaixo e calcular p2(115)pela frmula de Gregory-Newton:

Resposta:


i 0 1 2x 110 120 130

f(x) 2,041 2,079 2,114

22 000015,000725,0425,1)( xxxp 060,2)115(2 p

Interpolao

Interpolao Inversa


Interpolao Inversa

Seja f(x) uma funo tabelada em n+1 pontos distintos x0, x1, ..., xn

Dado y* (f(x0), f(xn)), o problema da interpolao inversa consiste em encontrar x* tal que f(x*) = y*

Este o problema da interpolao inversa!

Interpolao Inversa

H dois modos de se resolver este problema: Obter pn(x) que interpola f(x) em x0, x1, ..., xn e em

seguida encontrar x* tal que pn(x*) = y* Problema: No temos como calcular o erro pois este

baseado na diferena entre f(x) e pn(x), e aqui queremos medir o erro cometido sobre x e no f(x)

Se f(x) for inversvel no intervalo que contm y, fazer a interpolao de f-1(x) Isso somente ser possvel se f(x) for contnua e

monotonicamente crescente ou decrescente nesse intervalo

Interpolao Inversa

Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que f(x*) = 2.

Soluo:

Como 2 (1,82 , 2,01), usaremos interpolao linear sobre x0 = 0,6 e x1 = 0,7. Calculando o polinmio p1(x) atravs do mtodo de Lagrange, temos:

x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0y = f(x) 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72

)()()( 11001 xLyxLyxp

)()()(

10

10 xx

xxxL

1,07,0

x

)7,06,0()7,0(

x

Interpolao Inversa


Soluo:

x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0y = f(x) 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72

)()()( 11001 xLyxLyxp

)()()(

01

01 xx

xxxL

1,06,0 x

)6,07,0()6,0(

x

1,06,001,2

1,07,082,1)(1

xxxp 68,09,1 x

Interpolao Inversa


Soluo:

Utilizando o polinmio p1(x) encontrado para calcularmos p1(x*) = 2

Neste caso, no possvel fazer nenhuma estimativa sobre o erro cometido!

x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0y = f(x) 1,65 1,82 2,01 2,23 2,46 2,72

2*)(1 xp 268,0*9,1 x 6947368,0* x

Interpolao Inversa

Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que ex* = 1,3165.

Soluo:

Vamos fazer a interpolao quadrtica em f-1(x), utilizando o mtodo de Newton.

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5y = ex 1 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487

Interpolao Inversa

Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que ex* = 1,3165.Soluo:

Tabela de diferenas divididas:

Interpolao Inversa

Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que ex* = 1,3165.Soluo:

O polinmio ento dado por:

Pode-se verificar, na calculadora, que e0,27487 = 1,31659

Agora possvel estimar o erro, como veremos a seguir...

))(](,,[

)](,[)()(

102101

0101

01

2

yyyyyyyfyyyyfyfxp

)3499,1)(2214,1)(2718,0()2214,1)(7782,0(2,0)(2

yyyxp

27487,0)3165,1(2 p

Interpolao

Estudo do Erro


Estudo do Erro na Interpolao

Ao se aproximar uma funo f(x) por um polinmio interpolador pn(x), de grau n, comete-se um erro En (x)tal que seu valor estimado :

onde a derivada de ordem (n + 1) da funo interpolada e

)!1()())...()(()()()(

)1(

10

nfxxxxxxxpxfxE x

n

nnn

),( 0 nx xx)()1( x

nf


Interpolao linear de f1(x) e f2(x)

x

f(x)

x0 x1

f1(x0)= f2(x0)=p1(x0)f1(x)

p1(x)

f2(x)f1(x1)= f2(x1)=p1(x1)


Interpolao linear de f1(x) e f2(x) O mesmo polinmio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1

O erro E11(x)=f1(x) - p1(x) > E12(x)= f2(x) - p1(x) para todo x de (x0 , x1)

Neste caso, o erro depende da concavidade da curva, ou seja, de f1(x) e f2(x)


Exemplo: Considere a funo e a tabela dada abaixo. Obtenha p1(0,7) por interpolao linear e calcule o erro cometido:

Soluo:Pela frmula de Newton temos:

1)( xexf x

x 0 0,5 1 1,5 2,0y = f(x) 0 1,1487 2,7183 4,9811 8,3890

],[)()()( 10001 xxfxxxfxp



Soluo:Como x = 0,7, logo x0 = 0,5 e x1 = 1, temos:

1)( xexf x

x 0 0,5 1 1,5 2,0y = f(x) 0 1,1487 2,7183 4,9811 8,3890

5,011487,17183,2)5,0(1487,1)(1 xxp

1392,3)5,0(1487,1)(1 xxp7765,11392,3)5,07,0(1487,1)7,0(1 p



Soluo:O clculo do erro ento ser:

1)( xexf x

x 0 0,5 1 1,5 2,0y = f(x) 0 1,1487 2,7183 4,9811 8,3890

)7,0()7,0()7,0( 11 pfE 7765,17137,1 0628,00628,00628,0)7,0(1 E


A frmula do erro tem uso limitado na prtica pois raras so as situaes em que conhecemos . Alm disso, o ponto nunca conhecido

Assim o que se usa normalmente uma formula para a estimativa do erro, que dada pela expresso abaixo:

onde

)()1( xf n

x

!1)).....()(()()()( 110 nMxxxxxxxpxfxE nnnn

.1max)!1(1 nordemdivididasdiferenas

nMn


Exemplo: Sejam os valores de f(x) informados na tabela abaixo:

a) Utilize a frmula de Newton para obter f(0,47) usando um polinmio de grau 2

b) Encontre uma estimativa para o erro

x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72y = f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37


a) Gerando a tabela de Diferenas Divididas:


a) Escolhendo

Substituindo:

6,0,52,0,4,0 210 xxx))(](,,[)](,[)()( 1021001002 xxxxxxxfxxxxfxfxp

)52,0)(4,0)(0415,1()4,0)(1667,0(27,0)(2 xxxxp

)47,0(2780,0)47,0(2 fp


b) Tabela de Diferenas Divididas:


b)

como

Logo

|2492,18||)6,047,0)(52,047,0)(4,047,0(||)47,0(| 2 E3

2 10303,8|)47,0(|E

009,0278,0)47,0(2 p

!12))()(()( 122102 MxxxxxxxE

.1max)!1(1 nordemdivididasdiferenas

nMn

Voltando ao Erro na Interpolao Inversa

Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que ex* = 1,3165.Tabela de diferenas divididas:

27487,0)3165,1(2 p

Voltando ao Erro na Interpolao Inversa

Exemplo: Seja f(x) dada na tabela abaixo. Encontre x*tal que ex* = 1,3165.O Erro ento dado por:

Logo,

|1994,0||)4918,13165,1()3499,13165,1()2214,13165,1(||)3165,1(|

E

4101,1|)3165,1(| E00011,027487,0 x

Interpolao

Grau do Polinmio Interpolador



Para a escolha do grau do polinmio interpolador:1) Construa a tabela de diferenas divididas2) Examine as diferenas na vizinhana do ponto de

interesse

Se as diferenas de ordem k forem praticamente constantes, ou se as diferenas de ordem k+1 variarem em torno de zero, o polinmio de grau k ser o que melhor aproximar a funo na regio considerada


Exemplo: Dada com os valores tabelados:

Um polinmio de grau 1 uma boa aproximao para no intervalo dado.

Vamos provar?

xxf )(x 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05y = f(x) 1 1,005 1,01 1,0149 1,0198 1,0247

xxf )(


a) Tabela de diferenas divididas (Mtodo de Newton):

Convergncia

Sejam o intervalo [a,b] coberto pelos pontos a = x0, x1, ..., xn= b, o valor da funo f nesses pontos e p0(x) o polinmio interpolador de f(x)

Uma questo importante: Vale sempre a pena utilizar o polinmio interpolador de

grau mximo? Em outras palavras, medida que aumenta o nmero de

pontos de interpolao, ou seja, quando , pn(x)sempre converge para f(x) nesse intervalo?

n

Convergncia

Teorema: Para qualquer sequncia de pontos de interpolao a = x0, x1, ..., xn = b no intervalo [a,b], existe uma funo contnua f(x) tal que pn(x) no converge para f(x) quando .

No caso em que os pontos de interpolao so igualmente espaados, essa divergncia pode ser ilustrada atravs de um caso conhecido como Fenmeno de Runge

n

Fenmeno de Runge

Interpolando a funo no intervalo [-1,1] sendo:

Veja abaixo f(x) com duas interpolaes polinomiais

22511)(x

xf

.,..,2,1para21 ninixi

Fenmeno de Runge

medida que aumenta o nmero de pontos de interpolao, |f(x) pn(x)| torna-se arbitrariamente grande nesse intervalo

Soluo: Usar funes Splines, com convergncia garantida

Funes Splines

Splines so hastes flexveis (de plstico ou de madeira), fixadas em certos pontos de uma mesa de desenho, para traar curvas suaves

A ideia deste mtodo interpolar a funo em grupos de poucos pontos (geralmente, dois a dois), e ao mesmo tempo impor condies para que a aproximao e suas derivadas (at certa ordem) sejam contnuas. Desse modo, sero obtidos polinmios de grau menor

Veremos as Splines Lineares, isto , formadas por polinmios de grau 1

Funes Splines

Definio:Seja tabelada para .

A funo denominada spline de grau p se:

a) Em cada subintervalo , para ,

um polinmio de grau p

b) contnua e tem derivadas contnuas at ordem (p 1) em

c)

)(xf nxxxx .....210

)(xsp

1ii ,xx )1(..,,2,1,0 ni)(xs p

)(xsp bx,xa n 0nixfxs iip ...,,2,1para)()(

Funo Spline Linear

A funo spline linear interpolante de f(x), ou seja, s1(x) nos ns x1, x2, ..., xn, pode ser escrita em cada subintervalo como:

Observaes: Note que s1(x) polinmio de grau 1 no intervalo s1(x) contnua em todo intervalo Nos pontos ns .

Logo, s1(x) a spline linear interpolante de f(x)

1ii ,xx ii

ii

ii

ii

iii xxxxx

xxxf

xxxx

xfxs ,)()()( 11

1

11

ii xx ,1)()(1 ii xfxs

Funo Spline Linear

Exemplo: Achar a funo spline linear que interpola f(x)

Soluo:Da definio:

0 1 2 3

1 2 5 7

1 2 3 2,5ix

)( ixf

i

01

01

01

101 )()()( xx

xxxfxxxxxfxs

2,12221212

1221)(1

xxxxxxxs

Funo Spline Linear


Soluo:Da definio:

0 1 2 3

1 2 5 7

1 2 3 2,5ix

)( ixf

i

12

12

12

212 )()()( xx

xxxfxxxxxfxs

5,243163210

31

2523

2552)(2

xxxxxxxs

Funo Spline Linear


Soluo:Da definio:

0 1 2 3

1 2 5 7

1 2 3 2,5ix

)( ixf

i

23

23

13

323 )()()( xx

xxxfxxxxxfxs

5,125,232121

5755,2

5773)(3 xx

xxxs

7,55,85,021)(3 xxxs

Funo Spline Linear


Soluo Final:

0 1 2 3

1 2 5 7

1 2 3 2,5ix

)( ixf

i

7,55,85,021)(

5,2431)(

2,1)(

3

2

1

xxxs

xxxs

xxxs

Funo Spline Linear


Soluo:Graficamente:

0 1 2 3

1 2 5 7

1 2 3 25ix

)( ixf

i

x

f(x)

1 7

s3(x)

52

s2(x)s1(x)

f(x)

Funo Spline Linear

Exerccio: Achar a funo spline linear que interpola f(x)

Resposta:

0 1 2 3

1 4 5 8

90 66 55 45ix

)( ixf

i

8,52151031)(

5,411011)(4,1988)(

3

2

1

xxxs

xxxsxxxs

05_interpolacao

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