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104 Ⅳ.확률

시행의뜻

같은조건에서몇번이고반복할수있으며그결과가우연에의해서정해지는실험이나관찰을

시행이라고한다.

예를들어동전던지기, 주사위던지기, 제비뽑기등은같은조건에서몇번이고 할

수있으며그결과는우연에의해서정해지므로 이다.(2)

(1)

(3)

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.

수학적확률과통계적확률

①어떤시행의표본공간 S가 n개의근원사건으로이루어져있고, 각근원사건이일어날가능

성이모두같은정도로기대될때, 사건A가 r개의근원사건으로이루어져있으면사건A가

일어날확률P(A)를

P(A)= =

와같이정의하고, 이것을수학적확률이라고한다.

②어떤시행을n번반복할때, 사건A가 r«번일어난다고하자. 이때, n을한없이크게함에

따라상대도수 이일정한값 p에가까워지면 p를사건A가일어날통계적확률이라고한다.

｜참고｜ 실제로는시행횟수 n을한없이크게할수없으므로시행횟수 n이충분히클때의상대

｜참고｜ 도수 을보통그사건의통계적 로본다.

③어떤사건A가일어날수학적확률이 p일때, 시행횟수를충분히크게하면사건A가일어

③나는상대도수 은수학적확률 p에가까워진다.r«n

(4)r«n

r«n

nn(A)n(S)

*

1.확률의뜻과기본성질

확률의기본성질

①임의의사건A에대하여　　 …P(A)…1

②반드시일어나는사건S에대하여　　P(S)=

③절대로일어나지않는사건Δ에대하여　　P(Δ)= (7)

(6)

(5)

⇡내용정리가부족한학생은교과서132~139쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) 반복 (2) 시행 (3) r (4) 확률 (5) 0 (6) 1 (7) 0답

2.확률의뜻과활용 105

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

1부터 100까지의 자연수가 각각 적힌 100

장의카드중에서한장을뽑을때, 3의배수가적힌카드가나올확률을구하여라.

1. 1부터 50까지의 자연수가 각각 적힌 50장의카드중에서한장을뽑을때, 7의배수가적힌카드가나올확률을구하여라.

1.

두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 두 눈의

수의곱이홀수일확률을구하여라.1교과서 134쪽

빨간색 장미꽃 4송이, 노란색 장미꽃 3송이 중에서 임의로 2송이를 뽑을

때, 빨간색장미꽃 1송이, 노란색장미꽃 1송이가나올확률을구하여라.2교과서 134쪽

[풀이]

카드 한 장을 뽑는 모든 경우의 수는 100가지이다. 또 100 이하의 자연수 중에서 3의배수가나오는경우는

3, 6, 9, y, 96, 99

의 33가지이다.

따라서구하는확률은 ;1£0£0;이다.

어느 농구 선수가 200번의 자유투를 던져서 170번성공하였다. 이선수가자유투를한번던질때, 성공할확률을구하여라.

2.

[풀이]

200번의 시행 중 성공한 횟수가 170번이므로이에대한상대도수는

;2!0&0);=;2!0&;

따라서구하는확률은 ;2!0&;이다.

[풀이]

카드 한 장을 뽑는 모든 경우의 수는 50가지이다. 또 50이하의자연수중에서 7의배수가나오는경우는

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49

의 가지이다.

따라서구하는확률은 이다.50

어느 양궁 선수가 500발의 화살을 쏘아서과녁의 10점 칸을 285발 맞혔다. 이 선수가화살을한발쏠때, 10점칸을맞힐확률을구하여라.

2.

[풀이]

500번의시행중 10점칸을맞힌횟수가 285

번이므로이에대한상대도수는

=

따라서구하는확률은 이다.

500

106 Ⅳ.확률

소설책, 수필집, 시집, 음악책, 미술책한권씩을책꽂이에일렬로꽂

을때, 다음을구하여라.

(1) 소설책이왼쪽끝에올확률

(2) 소설책, 수필집, 시집이이웃할확률

(3) 음악책과미술책이양쪽끝에올확률

3

주머니속에흰공 6개와노란공 4개가들어있다. 이주머니에서임의

로한개의공을꺼낼때, 다음을구하여라.

(1) 흰공이나올확률 (2) 노란공이나올확률

(3) 검은공이나올확률 (4) 흰공또는노란공이나올확률

1

쌀강정이 7개, 보리강정이 3개들어있는강정세트가있다. 이세트

하나에서강정 4개를꺼낼때, 쌀강정이 2개, 보리강정이 2개나올확

률을구하여라.

2

상자안에 n개의공CD를포함하여총 10개의CD가들어있다.이상자

에서CD 4개를꺼낼때, 4개가모두공CD일확률이 ;1¡4;이라고한다.

n의값을구하여라.

4

어느 야구 선수의 지난 시즌까지의 통산 타율이

0.305였다. 이 선수가 이번 시즌에 200번 타석에

설때, 칠수있는안타의개수를추측하여라.

5

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

(2)이웃하는 것을 한 묶음

으로생각한다.

타율은

를말해!

(안타수)(타석수)

2.확률의뜻과활용 107

원소의 개수가 n인 집합의

부분집합의개수는 2« 이다.

3개모두흰공이나올통계

적확률을생각한다.

집합A={1, 2, 3, 4}의부분집합중한개를택할때, 원소 2가속해

있을확률을구하여라.1

주사위한개를두번던져서처음에나오는눈의수를 a, 나중에나오

는눈의수를 b라고할때, x에대한이차방정식 x¤ +ax+b=0이중

근을가질확률을구하여라.

2

여섯개의숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6에서서로다른네개의숫자를택하

여네자리정수를만들때, 이정수가 3400보다클확률을구하여라.3

주머니속에 1부터 10까지의번호가각각적힌 10

개의 공이 들어 있다. 이 중에서 4개의 공을 꺼낼

때, 공에적힌번호의최댓값이 8이될확률을구하

여라.

4

주머니에흰공과검은공을합하여모두 10개의공이들어있다. 이주

머니에서 3개의공을동시에꺼내보고다시넣는시행을여러번반복

하였더니 6번에 1번꼴로 3개가모두흰공이었다. 이주머니속에들어

있는흰공의개수를추측하여라.

5

다양한유형에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

나온번호의

최댓값이 8이려면 1에서

7까지적힌공중에서

3개, 8이적힌공 1개를

꺼내야한단다.

� � ����

�� � �

통계적확률에서고려해야할사항

개념 넓히기

주사위를 n번던질때, 1의눈이나오는횟수가 r«이면그상대도수는다음과같다.

=

여기서 n을충분히크게하면상대도수 은어떤값{이를테면 ;6!;}에가까이가게될것이고,

이가까이가는값을통계적확률이라고한다.

이러한통계적확률의뜻에서고려해야할사항세가지를알아보자.

첫째, 시행 횟수 n을 충분히 크게 한다는 것은 무슨 뜻인가? 어느 정도의 n이면 충분히 크다고

볼수있는가? n이 100이면충분히큰것인가? 아니면 n이백만정도는되어야충분히큰것인가?

이러한의문에대한답(누구나그렇다고인정하는답)은없다. 가장그럴듯한답은‘충분히크다고

느낄만큼큰것’이다. 그러나이러한답에선뜻수긍하기는어렵다. 그러므로통계적확률을구할

때, 시행횟수 n을정하는일을신중히생각하여야한다.

둘째, 상대도수 이어떤값에가까이간다는뜻은무엇인가? 이어떤값에가까이간다고

할수있는가? 어떤수열 {a«}에서 a«이 a에가까이가느냐, 가지않느냐를수학적으로판정하는것

은그리어렵지않은일이다. 그러나상대도수 으로이루어지는수열에서는일반항을찾을수없

기때문에이수열의수렴여부를판정하는것은쉬운일이아니다.

셋째, 상대도수 이가까이가는구체적인값은무엇인가? 즉, 의극한값은무엇인가? 주

사위를던질때, 1의눈이나오는상대도수 의극한값은 ;6!;이라고많은사람들은의심없이믿

고있다. 그러나윷을던질때, 윷짝의볼록한면이나오는상대도수 에대한극한값은아무도

언급을하지않고있다. 그이유는주사위던지기에서는수학적확률을생각하기가쉽고, 윷던지기

에서는어렵기때문이다. 다시말하면통계적확률의구체적인값을구하기는매우어려운것이다.

r«15n

r«15n

r«15nr«15n

r«15n

r«15nr«15n

r«15n

r«15n

r«15n(1의눈이나오는횟수)1111111122(전체시행횟수)

108 Ⅳ.확률

프로젝트

카오스게임

주사위를던질때, 윗면에나오는눈의수를항상정확히알아맞히는사람은아무도없다. 윗면에나오는눈의

수는어떤규칙에의하여나타나는것이아니고단지우연에의한것이기때문이다. 즉, 주사위던지기에서각시행

의결과에대하여우리는‘혼돈(混沌, chaos)’의상태에있는것이다.

그러나이시행을여러번반복하면규칙성을찾을수있다.

다음과같은게임을하여보자.

1단계 정삼각형ABC를그리고, 삼각형의변위에임의의한점을찍

는다.

2단계 주사위를던져서나오는눈의수에따라다음과같이새로운점

을찍는다.

눈의수가 1또는 2일때:주어진점과점A의중점

눈의수가 3또는 4일때:주어진점과점B의중점

눈의수가 5또는 6일때:주어진점과점C의중점

3단계 새로운점에대하여위의2단계를반복한다.

다음그림은위의시행에서반복하는횟수를각각 100, 500, 1500으로하였을때의예시그림이다.

반복 횟수: 1500반복 횟수: 500반복 횟수: 100

A

B C

A

B C

A

B C

수학적개념을보다깊이있게탐구하고적용해보는문제입니다.*

1. 교실뒤에커다란종이를붙여놓고학급전체의공동작업으로위의게임을하여보자.

2. 공학도구를이용하여위의게임을하여보자.

논술/수행평가과제

2.확률의뜻과활용 109

게임예시

변 AB위에 시작점을 찍고 주사위

를던져서나온눈의수가차례로 5,

3, 6일때다음과같이점을찍는다.

A

B C

시작점

배반사건의뜻

두사건A, B에대하여A와B중어느한사건이일어나면다른사건

은일어나지않을때, 즉A;B=Δ일때, 두사건A, B는서로배

반사건이라고한다.

｜보기｜ 두사건A, B에대하여A={1, 3, 5}, B={2, 4}이면A와B

는서로 사건이다.(1)

확률의덧셈정리

①두사건A, B에대하여

P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

②두사건A, B가서로배반사건이면, 즉A;B=Δ이면P(A'B)=P(A)+P(B)

｜보기｜ 동전의앞면을H, 동전의뒷면을T로나타낼때, 동전을세번던져서앞면이한번나오는사건을A, 두번나오는사건을B라고하면

A={HTT, THT, TTH}, B={HHT, HTH, THH}

이므로 P(A)=;8#;, P(B)=;8#;이다. 이때, A;B=Δ이므로

P(A'B)=P(A)+ =4

(2)(3)

여사건의확률

어떤시행에서사건A가일어나지않는사건을A의여사건이라하고,

기호로AÇ 과같이나타낸다. 이때, 여사건AÇ 의확률은

P(AÇ )=1-P(A)

｜보기｜ 동전을세번던질때, 앞면이적어도한번나오는사건을A라

고하면AÇ 은앞면이한번도나오지않는사건이다. 이때, P(AÇ )=;8!;이므로

P(A)=1- = (5)8

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.*

2.확률의계산과활용

SA B

SA

AÇ

110 Ⅳ.확률

⇡내용정리가부족한학생은교과서140~143쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) 배반 (2) P(B) (3) 3 (4) 1 (5) ;8&;답

(4)

2.확률의뜻과활용 111

두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 3의 배수또는

4의배수가될확률을구하여라.1

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

교과서 142쪽

남학생 6명, 여학생 4명중에서청소당번 3명을뽑을때, 3명모두남학

생이거나 3명모두여학생일확률을구하여라.2교과서 142쪽

서로배반사건인A, B에대하여P(A)=0.3, P(A'B)=0.7

일때, P(B)의값을구하여라.

1. 서로배반사건인A, B에대하여P(B)=0.2, P(A'B)=0.9

일때, P(A)의값을구하여라.

1.

[풀이]

P(A'B)=P(A)+P(B)에서0.7=0.3+P(B)

∴ P(B)=0.4

5개의 제비 중에 당첨 제비가 2개 들어 있다. 이제비에서동시에 2개를뽑을때, 당첨 제비가 적어도 1개가 나올 확률을 구하여라.

2.

[풀이]

당첨 제비가 적어도 1개가 나오는 사건을 A

라고 하면 AÇ 은 당첨 제비가 1개도 나오지않을사건이므로

P(AÇ )= =;1£0;

따라서구하는확률은

P(A)=1-P(AÇ )=1-;1£0;=;1¶0;

£C™∞C™

[풀이]

P(A'B)=P(A)+P(B)에서0.9=P(A)+

∴ P(A)=

필통에 빨간색 연필 7자루와 파란색 연필3자루가 들어 있다. 필통에서 임의로 3자루의 연필을 꺼낼 때, 파란색 연필이 적어도 1자루가나올확률을구하여라.

2.

[풀이]

파란색 연필이 적어도 1자루가 나오는 사건을 A라고 하면 AÇ 은 3자루가 모두 빨간색연필일사건이므로

P(AÇ )= =

따라서구하는확률은

P(A)=1-P(AÇ )=1- =

¶C£¡ºC£

112 Ⅳ.확률

두사건A, B에대하여

P(AÇ )=0.4, P(BÇ )=0.3, P(A'B)=0.95

일때, P(A;B)의값을구하여라.

1

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수의 합과 12가 서로소일

확률을구하여라.3

30장의복권에 1등당첨복권이 1장, 2등당첨복권이 5장, 3등당첨복

권이 10장들어있다. 이복권중에서 2장을고를때, 다음을구하여라.

(1) 당첨복권이 1장도 나오지않을확률

(2) 적어도 1장은당첨복권이나올확률

2

1학년 학생 4명, 2학년 학생 5명, 3학년 학생 6명 중에서 3명의 대표

를선발할때, 선발될대표가모두같은학년일확률을구하여라.4

10개의제비중에서 3개의제비를뽑을때, 적어도 1개의당첨제비를

뽑을확률은 ;3@0(;이다. 당첨제비의개수를구하여라.

(단, 각제비가뽑힐확률은같다.)다

5

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

12와 서로소인 수는 5, 7,

11이다.

여사건의확률을

생각해봐~!

2.확률의뜻과활용 113

a>0이므로 모든 실수 x에

대하여이차부등식

ax¤ +bx+c>0이 성립할

조건은 b¤ -4ac<0이다.

두꼭짓점사이의거리는

1, '2, '3 중하나이다.

오른쪽 그림과 같이 평행한 두 직선 l, m 위에

각각 3개, 4개의 점이 있다. 이 중에서 임의로

3개의 점을 택하여 모두 선분으로 이을 때, 그

것이삼각형이될확률을구하여라.

1

집합A={1, 2, 3, 4}의부분집합중에서임의로서로다른두집합을

택할때, 한집합이다른집합의진부분집합이될확률을구하여라.2

한개의주사위를두번던져서첫번째나오는눈의수를 a, 두번째나

오는눈의수를 b라고할때, 직선 y=;aB;x의기울기가 2이하일확률을

구하여라.

3

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 a, b, c라고

할때, 모든실수 x에대하여이차부등식 ax¤ +bx+c>0이성립할확

률을구하여라.

4

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 1인 정

육면체의꼭짓점중에서임의로두점을택할때,

두점을이은선분의길이가 ;2#;보다작을확률을

구하여라.

5

다양한유형에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

l

m

1

오류피하기

한 직선 위의 세 점을 택하

면삼각형을만들수없다.

심프슨의역설

읽기 자료

어느대학의A학과와B학과에지망한수험생의자료가다음표와같다고하자.

이표에서보면 A학과의경우여학생의합격률은 40 %이고, 남학생의합격률은약 33 %이다.

또 B학과의경우여학생의합격률은 75 %이고남학생의합격률은약 71 %이다. 두학과모두여

학생의합격률이높다. 그러나두학과A, B를합쳐서보면여학생의합격률은약 56 %이고, 남학

생의합격률은 60 %로남학생의합격률이높다.

이것은우리의직관과는상충되는것으로써합격률이높은B학과의남학생수가많아서일어나는

현상이다.

이러한현상은확률분야에서‘심프슨의역설’로널리알려져있다.

50

40

90

20

30

50

약 40 %

약 75 %

약 56 %

30

70

100

10

50

60

약 33 %

약 71 %

약 60 %

구분

A학과

B학과

A, B학과

지원자수

여학생

합격자수 합격률 지원자수

남학생

합격자수 합격률

114 Ⅳ.확률

아, 이럴수가!박기자님무슨

걱정이라도있어요?

그렇죠? 그런데그렇지가않아서요.

이것참! 계산이자꾸틀리네요. A학과도여학생의합격률이높고, B학과도

여학생의합격률이높은데…….

그러면전체에서도여학생의합격률이

높겠군요.

심프슨의역설중의하나이군요. 확률에서는유명한문제이지요.

아~. 그렇구나.

원고마감시간이다가오는데큰일이군요.

수학선생님께여쭤보세요.

실생활 문제 해결하기수학적개념을실생활문제에적용해보는문제입니다.*

1단계_문제를이해하여보자.

(1) A와B가약속장소에도착하는시각을각각 11시x분, 11시 y분이라고할때, x가가질수있는값의범위와 y가

가질수있는값의범위를구하여라.

(2) A가 11시 30분에도착한다고할때, 두사람이만나려면B는언제도착하면되는가?

(3) 두사람이만나기위한x, y사이의관계식을구하여라.

A, B 두사람이 11시와 12시사이에어떤장소에서만나기로하였다. 누가먼저도착하던지 10분동안만

기다리기로하였을때, A와B가이장소에서만날확률을구하여라.

｜문제｜

3단계_ 문제를풀어보자.

(1) 2단계의(1)에서나타낸영역의넓이를구하여라.

(2) 2단계의(2)에서나타낸영역의넓이를구하여라.

(3) 두사람이만날확률을구하여라.

2단계_ 계획을세워보자.

(1) x, y가가질수있는값의범위를｜그림1｜에나타내어라.

(2) ｜그림1｜의영역안에서1단계의(3)에서구한x, y사이의

관계식을만족하는영역을｜그림2｜에나타내어라.

두사람이만날확률

O x

y

O x

y

2.확률의뜻과활용 1152.확률의뜻과활용 115

｜그림1｜ ｜그림2｜