2011-05-11 nofa 3, karlstad prof. e. nordlander1...• taget från nationellt prov i ma a • Öppet...

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander1

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander2

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander3

Känner ni igen den här frågan?

”Måste vi kunna det här?”

Men vad är egentligen svaret?

� Ja � Nej, men ni F ÅR!

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander4

Räcker det inte med att lära sig räkna med miniräknare?Eller numera kanske mobiltelefonen!

Måste man veta varför?You see, daddy: I am very good in arithmetics at school. I can do addition, subtraction, multiplication, division, anything you like, very quickly and without mistakes.The trouble is, often I don’t know which of them to use.

Källa: Curcio (1987)

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander5

Problemlösning i matematik kan jämföras med att spela schack.Det räcker inte med att lära sig pjäsernas rörelser. Den verkliga matematiken g år ut p åatt spela spelet.(David Berglund, 2005)

Detta är skillnaden mellan kunskap och kompetens!

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander6

Kan inte datorer fixa det här, i stället för att plåga sig med

matematik?

Algoritmiskt tänkande:Visa mig alla formler och hur man g ör.Då behöver jag inte förstå!

En inte alldeles ovanlig inställning blandelever oavsett niv å!

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander7

Vilka brister i matematik förekommer?

• Algebraiska brister• Korrekt terminologi• Matematiskt tänkande• Konsten att ”teckna tal”

- uppställningar- ordning och reda

• Förståelse

– algoritmisk attityd

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander8

Algebraiska brister

( )a b c ab c+ = +

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander9

Algebraiska brister

a

ab cb c

+ = +

( )a b c ab c+ = +

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander10

Algebraiska brister

a

ab cb c

+ = +

1a

ab c b c=

+ +

( )a b c ab c+ = +

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander11

Algebraiska brister

a

ab cb c

+ = +

1a

ab c b c=

+ +

( )a b c ab c+ = +

2 3 13 1 2

x xx x

x+ − + − = +=

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander12

Algebraiska brister:Var hittar man dem?

• grundskolan• gymnasiet• högskolan

– inte minst i ingenjörsutbildningen!!!

Sådana svagheter leder till allvarliga problem i studierna oavsett nivå!

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander13

Korrekt terminologi

eller snarare:

Inkorrekt terminologi

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander14

Inkorrekt terminologi

• Ekvivalent med språksvårigheter

• Kan leda till matematiska fel- Vad är detta för geometrisk figur?

1

2Kan det vara en triangel?

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander15

Antag att detta är en pizza!

I Israel kallas en pizzabitpå hebreiska för:

PIZZATRIANGEL

Vad får detta förkonsekvenser för israeliska elever?

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander16

Matematiskt tänkande

• Viktigt för matematiska framsteg! Eller hur?• Viktigt för tillämpningsämnen

- annars kan man inte anpassa sig till en ny situation

- annars har man ingen nytta avden välsignade formelsamlingen,

- annars kan man inte tillgodogöra sigtillämpningsämnena, utan fastnar imatematiska svårigheter

i motsats till algoritmiskt tänkande:Visa mig alla formler och hur man gör.

Då behöver jag inte förstå!

eller miniräknaren

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander17

Problemlösning är allt detta!

• Algebraiska färdigheter• Korrekt terminologi• Matematiskt tänkande• Konsten att ”teckna tal”

- uppställningar- ordning och reda

• Förståelse

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander18

Problemlösningskall vara som att berätta en god historia

• Prolog: Återge uppgiften ordagrant

• Ingressen: egen beskrivning av uppgiften, diskussion av vad i uppgiften som är relevant för lösningen

• Intrigen: den matematiska lösningen med alla antaganden, påståenden och uppställningar

• Spänningen: numeriska värden bearbetas enl. ovan

• Upplösningen: svaret på gåtan presenteras och tydliggörs

• Epilog: kontroll av rimlighet, om svaret återger frågeställningen, om allting beaktats som bör beaktas

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander19

Exempel

• Taget från nationellt prov i Ma A• Öppet dokument:

”Skolverket har den 2010-12-07 beslutat att provet i matematik A för vt 2010 inte ska återanvändas.”

• Del I-uppgift, d.v.s. miniräknarfri.• Del I omfattar 14 uppgifter på 90 minuter,

varav 12 endast kräver svar.• Detta är uppg. 14, som enda MVG-uppgift.

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander20

Uppg. 14

• En utredande uppgift, som anges kunna ta längre tid än övriga.

• I rutan under uppgiften står det vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen.

• Detta kan alltså eleven se:

Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att t a hänsyn till• vilka matematiska kunskaper du har visat och hur väl du har genomfört uppgiften

• hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat dina slutsatser

• hur väl du har redovisat ditt arbete.

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander21

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander22

Bedömningsanvisningar• Uppgift 14 ska aspektbedömas med stöd av en

matris.• Utgångspunkten är att eleverna ska få poäng för

lösningens förtjänster och inte poängavdrag för fel och brister.

- Enbart svar utan motiveringar ger inga poäng.

- För full poäng krävs korrekt redovisning med godtagbart svar eller slutsats.

- Redovisningen ska vara tillräckligt utförlig och uppställd på ett sådant sätt att tankegången lätt kan följas.

- Korrekt metod eller förklaring till hur uppgiften kan lösas ska ge delpoäng

även om det därefter följer en felaktighet, t.ex. räknefel.- Om eleven också slutför uppgiften korrekt ger det fler poäng.

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander23

Möjliga MVG-kvaliteter• Eleven kan visa följande MVG-kvaliteter:

Enda MVG-kvalitet som inte kan utvärderas i denna uppgift!

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander24

Uppg. 14

Kategorisering av uppg. 14:

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander25

Åter till uppg. 14

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander26

Skolverkets mönster för lösningen av uppg. 14

Är detta att berätta en god historia?

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander27

Problemformulering

Skolverkets förslag till lösning

Som en god historia

• Ingressen

• Intrigen

• Spänningen

• Upplösningen• Epilog

• Prolog

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander28

Problemformulering

Skolverkets förslag till lösning

Som en god historia

• Ingressen• Intrigen

• Spänningen

• Upplösningen

• Epilog

• Prolog

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander29

Vilka budskap vill vi förmedla?

• Läraren föregår med gott exempel• Elever tränas konsekvent i metodiken, för

att:– Se tjusningen i väl genomförd

problemlösning– Kunna överföra metodiken på

tillämpningsämnen!

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander30

Matematik är viktigt!!!

Edvard Nordlanderenr@hig.se

2011-05-11 NOFA 3, Karlstad Prof. E. Nordlander31

Använda referenser• Berglund, D. (2005). Problemlösning är nummer 1.

Stockholm : Liber, 2005.

• Curcio F. R., (1987). Teaching and learning: a problem-solving focus; an anthology. National council of teachers of mathematics.

• PRIM-gruppen, Forskningsgruppen för bedömning av kunskap och kompetens – Stockholms universitet, http://www.prim.su.se/matematik/tidigare_kurs_a.htmlvia Skolverket, http://www.skolverket.se/sb/d/2919/a/16428