30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ความสมพนธและฟงกชน (เนอหาตอนท 1) ความสมพนธ

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน

สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน มจ านวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน 2. เนอหาตอนท 1 ความสมพนธ

- แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน - ผลคณคารทเซยน - ความสมพนธ - การวาดกราฟของความสมพนธ

3. เนอหาตอนท 2 โดเมนและเรนจ - โดเมนและเรนจ - การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ - การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

4. เนอหาตอนท 3 อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน - อนเวอรสของความสมพนธ - บทนยามของฟงกชน

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนเบองตน

- ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B

- ฟงกชนทวถง - ฟงกชนหนงตอหนง

6. เนอหาตอนท 5 พชคณตของฟงกชน - พชคณตของฟงกชน - ตวอยางประเภทของฟงกชนพนฐาน

7. เนอหาตอนท 6 อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - อนเวอรสของฟงกชนละฟงกชนอนเวอรส - กราฟของฟงกชนอนเวอรส

8. เนอหาตอนท 7 ฟงกชนประกอบ - ฟงกชนประกอบ - โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ - สมบตของฟงกชนประกอบ

9. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 11. แบบฝกหด (ขนสง) 12. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธและฟงกชน 13. สอปฏสมพนธ เรอง อนเวอรสของความสมพนธและฟงกชนอนเวอรส 14. สอปฏสมพนธ เรอง โดเมนและเรนจ 15. สอปฏสมพนธ เรองพชคณตและการประกอบของฟงกชน 16. สอปฏสมพนธ เรองการเลอนแกน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ความสมพนธและฟงกชน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

เรอง ความสมพนธและฟงกชน หมวด เนอหา ตอนท 1 (1/7) หวขอยอย 1. แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน 2. ผลคณคารทเซยน 3. ความสมพนธ 4. การวาดกราฟของความสมพนธ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจภาพรวมและความเชอมโยงระหวางหวขอตางๆ ในเรองความสมพนธและฟงกชนทงหมด 2. เขาใจบทนยามของการเทากนของคอนดบและน าไปใชได 3. เขาใจบทนยามของผลคณคารทเซยนและรวธหาจ านวนสมาชกของผลคณคารทเซยนจากเซต

จ ากดทก าหนดใหสองเซต 4. สามารถเขยนผลคณคารทเซยนจากเซตสองเซตใดๆ ทก าหนดใหในรปเซตแบบบอกเงอนไข

หรอแบบแจกแจงสมาชก 5. เขาใจบทนยามของความสมพนธจากเซตทก าหนดใหสองเซตภายใตเงอนไขบางประการ 6. เขยนแสดงความสมพนธระหวางเซตสองเซตใดๆ ทก าหนดใหในรปเซตแบบบอกเงอนไข

หรอแบบแจกแจงสมาชก 7. เขาใจวธหาจ านวนความสมพนธทเปนไปไดทงหมดจากเซตจ ากดทก าหนดใหสองเซตได 8. เขาใจวธวาดกราฟของความสมพนธทก าหนดให

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. อธบายภาพรวมและความเชอมโยงระหวางหวขอตางๆ ในเรองความสมพนธและฟงกชนทงหมด 2. บอกบทนยามของการเทากนของคอนดบและสามารถน าไปใชแกปญหาได 3. บอกบทนยามของผลคณคารทเซยนและสามารถหาผลคณคารทเซยนและจ านวนสมาชกของ

ผลคณคารทเซยนจากเซตจ ากดทก าหนดใหสองเซตได

4. เขยนผลคณคารทเซยนจากเซตสองเซตใดๆ ทก าหนดใหในรปเซตแบบบอกเงอนไข หรอแบบแจกแจงสมาชกได

5. บอกบทนยามของความสมพนธและเขยนแสดงความสมพนธจากเซตทก าหนดใหสองเซตภายใตเงอนไขบางประการได

6. หาจ านวนความสมพนธทเปนไปไดทงหมดจากเซตจ ากดทก าหนดใหสองเซตได 7. อธบายขนตอนการวาดกราฟและวาดกราฟของความสมพนธทก าหนดใหได

เนอหาในสอ

เนอหาทงหมด

1. แผนภาพรวมเรอง ความสมพนธและฟงกชน และผลคณคารทเซยน

ในชวงนไดแนะน าใหเหนความเชอมโยงของหวขอยอยตางๆ ทจะอธบายทงหมดในสอเรองความสมพนธและฟงกชนแตละตอน จากนนไดใหนยามของคอนดบและการเทากนของคอนดบ

เมอรจกคอนดบแลว 1. ครควรถามค าถามเพอใหนกเรยนชวยกนคดตอ เชน เมอใด ( , ) ( , )x y y x 2. นอกจากนควรยกตวอยางคอนดบทมสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในลกษณะทหลากหลาย เชน ({ }, )a a หรอ ({ },{ , })a a b เปนตน

3. ทส าคญทสดคอควรใหนกเรยนชวยกนอภปรายความแตกตางระหวาง คอนดบ ( , )a a กบ { }a , คอนดบ ( , )a b กบ { , }a b และความแตกตางระหวาง คอนดบ ( , )a b กบ ชวง ( , )a b

4. ครควรย าอยางใจเยนวา สมาชกตวหนาของคอนดบไมจ าเปนจะตองเปนตวแปร x หรอ a เสมอไป ในขณะทสมาชกตวหลงของคอนดบไมจ าเปนจะตองเปนตวแปร y หรอ b เสมอไป ขอใหดทต าแหนงทปรากฏในคอนดบเปนส าคญ

ในชวงนไดยกตวอยางโจทยเกยวกบการเทากนของคอนดบ บทนยามของผลคณคารทเซยนระหวางเซต

สองเซต พรอมทงยกตวอยางประกอบ

เมอรจกนยามการเทากนของคอนดบสองคแลวครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตมเพอทบทวนการแกสมการ หรอระบบสมการ

ตวอยาง 1 ก าหนดให x เปนจ านวนจรงทท าให 2 2( ( 2), ) (3,(2 3) )x x x x จงหาคา x วธท า จากโจทยจะไดวา ( 2) 3x x และ 2 2(2 3)x x นนคอ 20 2 3 ( 1)( 3)x x x x และ 2 20 (2 3) ( 2 3)( 2 2) ( 3)(3 3)x x x x x x x x ท าใหไดวา 1x หรอ 3 และ 1x หรอ 3 ดงนนจ านวนจรง x ทท าใหสมการในโจทยเปนจรงคอ 1x เทานน

ตวอยาง 2 ก าหนดให x และ y เปนจ านวนจรงทท าให 1,3 (2, )x xyy

จงหาคา x และ y

วธท า จากโจทยจะไดวา 12x

y และ 3xy เหนไดชดวา 0x และ 0y ท าใหสามารถเขยน

3xy ใหอยในรป 1

y ไดและ 1 4

xx x xy

จะไดวา 3

2x และ 3

ตอมาเมอนกเรยนรจกบทนยามของผลคณคารทเซยนระหวางเซตสองเซตแลว ครควรถามค าถามน าเพอตรวจสอบความเขาใจแนวคดหลกของเรองนกบนกเรยน เชน {( , ) | }A A a a a A หรอไม หรออาจถามวา สามารถเขยน A B แบบแจกแจงสมาชกไดเสมอหรอไม เปนตน หลงจากนนครควรยกตวอยางเพอใหนกเรยนชวยกนหาผลคณคารทเซยนระหวางเซตสองเซต ตลอดจนควรเนนย าวาผลคณคารทเซยนใหผลลพธเปนเซตท าใหสามารถน าการด าเนนการตางๆ บนเซต มาด าเนนการกบผลคณคารทเซยนไดเชนกน ตวอยาง 3 ให {1, 2}A จงหา ( )A P A เมอ ( )P A คอพาวเวอรเซตของ A วธท า จากโจทยจะไดวา ( ) { , {1}, {2}, {1, 2}}P A ดงนน

( ) {(1, ), (1,{1}), (1,{2}), (1,{1, 2}), (2, ), (2,{1}), (2,{2}), (2,{1, 2})}A P A ตวอยาง 4 ให {1, 2, 3}A และ {2, 3, 4}B จงหา ( ) ( )A B B A และ ( )A A B วธท า จากโจทยจะไดวา {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)}A B และ

{(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}B A และ {1, 2, 3, 4}A B ดงนน ( ) ( ) {(1,2), (1,3), (1,4), (2,4), (3,4)}A B B A และ

( ) {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}A A B หมายเหต จากตวอยาง 4 น ครอาจใหนกเรยนชวยกนอภปรายวาจะหา [( ) ( )]n A B B A โดยไมตองเขยน ( ) ( )A B B A แบบแจกแจงสมาชกไดหรอไม อยางไร

แบบฝกหดเพมเตมเรองการเทากนของคอนดบ จงหาคา x และ y จากสมการทก าหนดใหตอไปน 1. ( , 2 ) ( 3,5)x x y y 2. ( ,2 ) (2 10, 2)y x y x 3. 2 2( , 8 12) (15 2 , )x y x y

4. 2 7(2 ,20 ) ,20 1

2x y y

5. 1 13 6 23, ,

แบบฝกหดเพมเตมเรองผลคณคารทเซยน

1. จงหา ( )A B C , ( ) ( )A B A C , ( )A B C และ ( ) ( )A B A C เมอก าหนดให {1, 2, 3}A , {2, 3, 4}B และ {3, 4, 5}C

หมายเหต จากแบบฝกหดขอ 1 นกเรยนไดขอสงเกตใดหรอไม 2. จงหา ( ( )) ( ( ) )A P A P A A เมอก าหนดให { , { }}A , ( )P A คอพาวเวอรเซตของ A และ คอเซตวาง

ในชวงนไดตงขอสงเกตเกยวกบผลคณคารทเซยนของเซตสองเซต

เมอไดเหนขอสงเกตเกยวกบผลคณคารทเซยนระหวางเซตสองเซตแลว 1. ครควรถามน าเพอใหนกเรยนชวยกนคดตอวา นอกจากเซตวางแลวจะมกรณอนอกหรอไมทท าให

A B B A 2. หากครรสกวานกเรยนไมเขาใจแผนภมตนไมแสดงการนบจ านวนสมาชกของเซตทแสดงไวในสอการ

สอน ใหลองยกตวอยางการวาดแผนภมตนไมแสดงการนบจ านวนสมาชกของเซตในกรณ - ( ) 1n A แลวเปลยนจ านวน ( )n B ไปเรอยๆ - ( ) 1n B แลวเปลยนจ านวน ( )n A ไปเรอยๆ จากนนจงเรมอธบายโดยใช {1, 2, 3}A และ { , , , }B a b c d เหมอนในตวอยางเพอให นกเรยน

เขาใจการขยายไปสกรณทวๆ ไปไดดขน

3. ครถามค าถามน าเพอใหนกเรยนคดตอวาถามเซตมากกวาสองเซต เชน A , B และ C แลวจะนยามผลคณคารทเซยนส าหรบเซตเหลานไดหรอไม และนาจะนยามอยางไร

ส าหรบปญหาชวนคดททงไวในสอนน ส าหรบ {1, 2, 3}A และ { , , , }B a b c d จะไดวา

{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}A A และ

{( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}

B B a a a b a c a d b a b b b c b d

c a c b c c c d d a d b d c d d

ในขณะทถา A หรอ B เปนเซตวางแลวจะไดวา A B พสจนไดโดยขอความแยงสลบท กลาวคอจะพสจนวา ถา A B แลว A และ B พสจน สมมตวา A B ดงนนจะม {( , ) |x A B a b a A และ }b B นนคอจะไดวาม a A และ b B ท ( , )x a b ท าใหไดวา A และ B

2. ความสมพนธ

ในชวงนไดกลาวถงบทนยามของความสมพนธ

เมอรจกบทนยามของความสมพนธแลวครยกตวอยางความสมพนธอนๆ เพมเตม ตวอยาง 5 ให r เปนความสมพนธระหวางจ านวนสองจ านวน ทจ านวนแรกมากกวาหรอเทากบจ านวนทสอง โดยจ านวนแรกเปนสมาชกของ {1, 2, 3, 4}A และจ านวนทสองเปนสมาชกของ {3, 4, 5, 6}B วธท า {(3,3), (4,3), (4,4)}r ตวอยาง 6 ให r เปนความสมพนธระหวางจ านวนสองจ านวน ทจ านวนทงสองนนรวมกนมคาไมเกนเจด โดยจ านวนแรกเปนสมาชกของ {1, 2, 3, 4}A และจ านวนทสองเปนสมาชกของ {3, 4, 5, 6}B

วธท า {(1,3), (1,4),(1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (3,3), (3,4), (4,3)}r หลงจากยกตวอยางทหลากหลายแลวครควรพยายามชใหเหนวาหาพดถงความสมพนธระหวางสงสองสงโดยทไมไดบอกกอนวาสงเหลานนมาจากไหนหรอคออะไร จะท าใหเกดความสบสนได

ในชวงนกลาวถงบทนยามของความสมพนธจากเซต A ไปเซต B และยกตวอยางของความสมพนธจากเซต A ไปเซต B

เมอทราบบทนยามของความสมพนธจากเซต A ไปเซต B แลวครควรยกตวอยางเพม โดยฝกใหนกเรยนเขยนความสมพนธในรปของเซตแบบบอกเงอนไขกอน แลวจงเขยนแบบแจกแจงสมาชกหากท าได ตวอยาง 7 ก าหนดให {1, 2, 3, 4}A และ {3, 4, 5, 6}B

1. r เปนความสมพนธจาก A ไป B ทก าลงสองของสมาชกตวหนานอยกวาสมาชกตวหลง วธท า 2{( , ) | } {(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,5), (2,6)}r x y A B x y

2. r เปนความสมพนธใน A ทรากทสองทเปนบวกของสมาชกตวหนานอยกวาสมาชกตวหลง

วธท า {( , ) | }r x y A A x y

{(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,3), (4,4)} ชวนคด ส าหรบตวอยาง 7 ขอ 2 2{( , ) | }r x y A A x y หรอไม

ตวอยาง 8 ให เปนเซตของจ านวนนบ และ เปนเซตของจ านวนจรง 1. r เปนความสมพนธใน ทสมาชกตวหนาเทากบสมาชกตวหลง

วธท า {( , ) | } {(1,1), (2,2), (3,3), ...}r x y x y 2. r เปนความสมพนธจาก ไป ทสมาชกตวหนามากกวาสมาชกตวหลง

วธท า {( , ) | }r x y x y

ตวอยาง 9 ให {1, 2}A และ ( )P A เปนพาวเวอรเซตของ A จงเขยนความสมพนธ {( , ) ( ) | }r x X A P A x X แบบแจกแจงสมาชก

วธท า {(1,{1}), (2,{2}), (1,{1, 2}), (2,{1, 2})}r ส าหรบปญหาชวนคดททงไวในสอนนเนองจาก เปนสบเซตของทกเซต และส าหรบเซต A และ B ใดๆ A B เปนเซต ดงนน A B นนคอ เปนความสมพนธจาก A ไป B ยงไปกวานนเนองจาก A B A B จงท าใหสรปตอไปไดดวยวา A B เปนความสมพนธจาก A ไป B เชนเดยวกน ชวนคด ขอความตอไปนถกหรอผด จงตอบพรอมใหเหตผลประกอบพอสงเขป

1. ถา A และ B เปนเซตจ ากดแลวความสมพนธใดๆ จาก A ไป B จะเปนเซตจ ากด 2. ถา A และ B เปนเซตอนนตแลวความสมพนธใดๆ จาก A ไป B จะเปนเซตจ ากด

แบบฝกหดเพมเตมเรองความสมพนธจาก A ไป B

จงเขยนความสมพนธทก าหนดใหตอไปนแบบบอกเงอนไข และแบบแจกแจงสมาชก (หากสามารถแจกแจงได) 1. r เปนความสมพนธจาก ไป โดยทตวหนายกก าลงสองเทากบตวหลง ( คอเซตของจ านวนเตม

ทงหมด) 2. r เปนความสมพนธจาก ( )P A ไป ( )P B โดยทตวหนาเปนสบเซตของตวหลงเมอ {1, 2}A ,

{2, 3}B และ ( )P A และ ( )P B เปนพาวเวอรเซตของ A และ B ตามล าดบ 3. r เปนความสมพนธจาก ไป โดยทตวหลงเปนพนทของวงกลมทมรศมเทากบตวหนา 4. r เปนความสมพนธจาก ไป โดยทตวหนาและตวหลงเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกน 5. r เปนความสมพนธจาก ไป โดยทตวหนาอยหางจาก 1 เทากบระยะหางระหวางตวหลงกบ 2

ในชวงนไดกลาวถงจ านวนความสมพนธจากเซต A และเซต B ทงหมดทเปนไปได เมอ A และ B เปนเซตจ ากดทงค และการเขยนแทนความสมพนธดวยแผนภาพแสดงการจบค

หลงจากนกเรยนไดเหนการเขยนแทนความสมพนธดวยแผนภาพแลว ครควรย าวาการเขยนแผนภาพแสดงการจบคแบบนไมเหมอนกบแผนภาพเวนน-ออยเลอรในเรองเซต และไมจ าเปนทสมาชกทกตวในเซตตวหนาหรอตวหลงจะตองมเสนโยงแสดงการจบค โดยครอาจใชตวอยางตางๆ ทเคยยกมาแลวขางตนมาเขยนแ ผ น ภ า พ แ ส ด ง ก า ร จ บ ค ใ ห น ก เ ร ย น ด

3. การวาดกราฟของความสมพนธ

ในชวงนอธบายถงการลงคอนดบเปนจดบนระนาบ XY และยกตวอยางกราฟของความสมพนธแบบตางๆ

เมอมาถงตอนนครควรย าวาการวาดกราฟของความสมพนธบนจ านวนจรง มาจากการรางกราฟของความสมพนธเดยวกนบนเซตของจ านวนเตมกอนแลวคอยลงจดใหแนนขนๆ จนเหนเปนเสนเสนเดยว

ในชวงนครควรทบทวนการวาดกราฟเสนตรงในรป 0Ax By C

กรณ 0A และ 0B จะไดกราฟเสนตรงทขนานกบแกน X และผานจด CB

บนแกน X

กรณ 0A และ 0B จะไดกราฟเสนตรงทขนานกบแกน Y และผานจด CA

บนแกน Y

กรณ 0A , 0B และ 0C จะไดกราฟเสนตรงทมระยะตดแกน X เปน CA และระยะตดแกน Y

เปน CB

กรณ 0A , 0B และ 0C จะไดกราฟเสนตรงทผานจดก าเนดและ ( , )B A นอกจากนควรทบทวนการวาดกราฟพาราโบลาในรป 2y Ax Bx C เมอ 0A

กรณ 0A จะไดพาราโบลาหงายโดยมจดยอดอยท 2

กรณ 0A จะไดพาราโบลาคว าโดยมจดยอดอยท 2

ส าหรบกรณทความสมพนธระหวาง x และ y อยในรป 2x Ay By C เมอ 0A ครสามารถใหแนวคดวาเปนในท านองเดยวกนกบพาราโบลาคว าหรอหงายทนกเรยนเคยรจกแตเปลยนบทบาทระหวางแกน X และ แกน Y กลาวคอ

กรณ 0A จะไดพาราโบลาตะแคงเปดทางขวาโดยมจดยอดอยท 2

กรณ 0A จะไดพาราโบลาตะแคงเปดทางซายโดยมจดยอดอยท 2

เมอไดเหนตวอยางกราฟของฟงกชนแบบตางๆ แลวครควรยกตวอยางเพมเตมใหนกเรยนดงตอไปน ตวอยาง 10 จงวาดกราฟของความสมพนธทก าหนดใหตอไปน 1. 2{( , ) | }r x y y x 2. {( , ) | | |}r x y x y 3. {( , ) | }r x y x y

1 1 2 3 4 5

3 2 1 1 2 3

4. {( , ) | 1 1}r x y y

5. {( , ) | 3 2r x y x และ 1 1}y สงเกตกอนวา {( , ) | 3 2} {( , ) | 1 1}r x y x x y y ดงนนจะไดกราฟดงรป

แบบฝกหดเพมเตมเรองการวาดกราฟของความสมพนธ

จงวาดกราฟของความสมพนธตอไปน 1. {( , ) | }r x y x y 2. 2{( , ) | 1}r x y y x 3. {( , ) | 1}r x y y x 4. {( , ) | | | 1}r x y x y

5. {( , ) | | 1 |}r x y y x

สรปสาระส าคญประจ าตอน

ส าหรบปญหาชวนคดททงไวในสอนนสามารถวาดกราฟของความสมพนธไดดงน

1. {( , ) | 10}r x y x y

2. {( , ) || | | | 10}r x y x y

ในสวนของค าอธบายเกยวกบการไดมาซงอาณาบรเวณเชนในปญหาชวนคดทงสองนขอใหนกเรยนตดตามในสอชดตอไป อยางไรกดนกเรยนนาจะคนเคยกบปญหาชวนคด 2 ในรป | | | | 10x y ทอาจารย

กฤษณะเคยสอนใหวาดกราฟแลวในสอเรองจ านวนจรง

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให 2{ | 8 20 0}S x x x , { |A x S x เปนจ านวนเฉพาะบวก} และ { |B x S x เปนจ านวนเตมค } จงหาจ านวนสมาชกของเซต A B , B A และ

( ) ( )A B B A 2. ก าหนดให { | 100}A x x , { | 9B x A หาร x ลงตว} และ { | 6C x A หาร x ลงตว} แลวจงหาจ านวนสมาชกของ ( )B C C

3. ก าหนดให {0, 1, 2, 3}A และ ( )P A เปนเพาเวอรเซตของ A ถา {( , ) ( ) | 2r x Y A P A x และ }x Y แลวจงหาจ านวนสมาชกของความสมพนธ r

4. ให 1{( 2, 1), ( 1,0), (2,1), ( 3,2), (4,3)}r และ

2{( , ) | | 1 |}r x y y x จงหา

1 2r r

5. ส าหรบ {1, 2, 3, 4}A ก าหนด {( , ) | }r a b A A a b และ {( , ) | }s a b A A b a จงหาจ านวนสมาชกของความสมพนธ ทก าหนดโดย {(( , ),( , )) | }a b c d r s a b c d

6. ให {1, 2, 3}A และ {5, 6, ..., 14}B จงหาจ านวนสมาชกของความสมพนธ {( , ) |r a b A B a หาร b แลวเหลอเศษ 3}

7. ให 1{( , ) | }r x y y x ,

2{( , ) | 1}r x y y x และ

3{( , ) | 2 1}r x y y x จงหา

ชวงบนแกน X ทท าใหกราฟของ 3r อยเหนอกราฟของ

1r และ

8. ก าหนดให 2 2 2{( , ) | }r x y x y R มกราฟเปนรปวงกลมทมจดศนยกลางอยทจดก าเนดและรศม

เปนจ านวนจรงบวก R จงวาดกราฟของความสมพนธ 2

1{( , ) | 4 }r x y y x และ

2{( , ) | 2 }r x y x y

9. จงวาดกราฟของความสมพนธ 2{( , ) | 9r x y y x และ 0}xy 10. จงวาดกราฟของความสมพนธ {( , ) || 1 | | 2 |}r x y x y

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองการเทากนของคอนดบ

1. ( , ) (1, 2)x y 2. ( , ) ( 3, 4)x y 3. ( , ) {( 5,2) ,( 5,6), (3,2), (3,6)}x y

4. 2 3 2 5 30 2 3 2 5 30 2 3 2 5 30

( , ) , , , , , ,2 10 2 10 2 10

2 3 2 5 30,

2 10 5.

2 2 2 3 2 3( , ) 1, , , , 1, , ,

3 3 3 2 3 2x y

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองผลคณคารทเซยน

1. ( ) {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,2), (3,3), (3,4),A B C (3,5)} ( ) ( ) {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,2),A B A C (3,3), (3,4), (3,5)} ( ) {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)}A B C ( ) {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)}A B C 2. ( ( )) ( ( ) ) {( ,{{ }}), ( ,{ , { }}), ({ },{{ }}), ({ },{ , { }})}A P A P A A

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองความสมพนธจาก A ไป B

1. 2{( , ) | } {( 1,1), (1,1), ( 2,4), (2,4), ( 3,9), (3, 9), ...}r x y x y 2. {( , ) ( ) ( ) | }r X Y P A P B X Y {( , ), ( ,{2}), ( ,{3}), ( ,{2, 3}), ({2},{2}), ({2},{2, 3})} 3. 2{( , ) | }r x y y x 4. {( , ) |r x y ห.ร.ม. ( , ) 1}x y 5. {( , ) || 1 | | 2 |}r x y x y

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองการวาดกราฟของความสมพนธ

1. 2. 3. 4. 5.

หมายเหต เสนกราฟของความสมพนธทกเสนในขอ 1 – 5 เปนเสนทบ

2 1 1 2

1 2 3 4

0.5 1.0 1.5 2.0

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 19 ตว 2. 96 ตว 3. 16 ตว 4. {( 2, 1), (2,1), (4,3)} 5. 16 ตว 6. 2 ตว 7. [1, ) 8. 9. 10. หมายเหต เสนกราฟของความสมพนธทกเสนในขอ 8 – 10 เปนเสนทบ

3 2 1 1 2 3

2 1 1 2

4 2 2 4

2 1 1 2 3 4

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...

Documents

ตอนที่ 101 :...

เรื่อง · 2013-11-27 ·...

ตอนที่ 3 การด า ... -...

ตอนที่ -...

32...

ตอนที่ 21 เวกเตอร์...

รายละเอียดองรายวิชาpws.npru.ac.th/suphitcha/data/files/7101401...

“ฐานบัวเข่าพรหม”...

35...

ความสัมพันธ์ onet

29...

สรุป เรื่อง...

ตอนที่ 1...

mat60-100...

ตอนที่ $ การด...

นางค าภู วงค์สอน -...

ตอนที่ 1...

เยือนถิ่นคนริมชล...

ค ำน ำ - kroobannok.com · ค31102...

ตอนที่...