-4 -2 2 4 6 -2¸šทที่ 2... · นั่นคือ 2 ภาพที่ .6 กราฟ f...
Post on 29-Oct-2019
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
บทท 2
ลมตและความตอเนอง
การศกษาวชาแคลคลส จ าเปนตองมความรเรองลมตและความตอเนอง (Limits and
Continuity of Functions) เนองจากเปนพนฐานส าคญ ในการศกษาเรองตอไป เชน เรองการหาอนพนธของฟงกชนพชคณตและฟงกชนอดศย เปนตน ดงนนจงจ าเปนตองท าความเขาใจ อยางละเอยดในเรองบทนยามของลมตและความตอเนอง และทฤษฎบททส าคญตางๆ
2.1 ความหมายของลมต ลมตทางซายและขวาของฟงกชน
ลมต (Limits) หมายถง ขดจ ากด ในทนจะยกตวอยางประกอบเพอความเขาใจมาก
ยงขน พจารณาฟงกชน 2 16
4
xf x
x
จากฟงกชนทก าหนดใหจะพบวาคาของ f x จะ
ขนอยกบคา x ในกรณท 4x จะเหนไดวาไมสามารถหาคา f x ไดทงนเพราะ 4 ไมอยใน
โดเมนของ f x เพราะ 0
40
f ไมมความหมาย
แตสงทท าไดคอ พยายามหาคาใกลเคยงทสดทจะหาคาของ f x เมอ x มคาเขาใกล 4 มากทสด 4x
-4 -2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
x
y
ภาพท 2.1 กราฟ 2 16
4
xf x
x
24
ทางแรก x เขาใกล 4 ทางซาย 4x
x
2 16
4
xf x
x
3.0000 7
3.5000 7.5
3.7000 7.7
3.9000 7.9
3.9900 7.99
3.9990 7.999
3.9999 7.9999
ตารางท 2.1 ตารางแสดงคาของฟงกชน 2 16
4
xf x
x
เมอ x เขาใกล 4 ทางซาย
ทางทสอง x เขาใกล 4 ทางขวา 4x
x
2 16
4
xf x
x
5.0000 9
4.5000 8.5
4.3000 8.3
4.1000 8.1
4.0100 8.01
4.0010 8.001
4.0001 8.0001
ตารางท 2.2 ตารางแสดงคาของฟงกชน 2 16
4
xf x
x
เมอ x เขาใกล 4 ทางขวา
แสดงวาไมวา x จะเขาใกล 4 ทางซายหรอขวากตาม f x จะมคาเขาใกล 8 เสมอ นนคอ ถา x มคาเขาใกล 4 แลว f x มคาเขาใกล 8 หรอจะกลาวอกอยางหนงวา ลมตของ
f x เทากบ 8 ขณะท 4x เขยนแทนดวย
4
lim 8x
f x
นนคอ 2
4
16lim 8
4x
x
x
ส าหรบฟงกชน y f x ใดๆ ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง 1. ลมตทางซายของ f ท a คอคาของ f x เมอ x มคาเขาใกล a ทางซาย
เขยนแทนดวย limx a
f x
2. ลมตทางขวาของ f ท a คอคาของ f x เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา
เขยนแทนดวย limx a
f x
25
ลมตของฟงกชน f x เมอ x a จะหาคาไดกตอเมอ
1. limx a
f x
หาคาได
2. limx a
f x
หาคาได
3. lim limx a x a
f x f x
หรอกลาววา
limx a
f x L
กตอเมอ lim limx a x a
f x L f x
ตวอยางท 2.1 ก าหนดให 2
9f x x จงหาคาของ f x เมอ x มคาเขาใกล 3
วธท า หาคา f x เมอ x เขาใกล 3 ทงทางซายและทางขวาดงตารางตอไปน
5 10 15 20
20
40
60
80
100
120
x
y
ภาพท 2.2 กราฟ 2
9f x x
ทางแรก x เขาใกล 3 ทางซาย 3x ทางสอง x เขาใกล 3 ทางขวา 3x
x
29f x x
x
29f x x
2 49 4 25
2.5 42.25 3.5 30.25
2.9 37.21 3.1 35.8801
2.99 36.1201 3.01 35.988
2.999 36.012 3.001 35.9988
2.9999 36.0012 3.0001 35.99988
2.99999 36.00012 3.00001 35.999988
ตารางท 2.3 ตารางแสดงคาของฟงกชน
29f x x เมอ x เขาใกล 3
3
lim 36x
f x
3
lim 36x
f x
เนองจาก 3 3
lim limx x
f x f x
ดงนน 3
lim 36x
f x
26
ตวอยางท 2.2 ก าหนดให f x เปนฟงกชนโดยท 2
1
1
xf x
x
; 1 1
; 1 1
x
x or x
จงหาคา 1
limx
f x
วธท า จาก 2
1
1
xf x
x
; 1 1
; 1 1
x
x or x
พจารณาจากรปจะเหนวา
2
1
lim 1x
x
0
1
lim 1x
x
0
ดงนน 1
limx
f x
0
ภาพท 2.3 กราฟ 2
1
1
xf x
x
; 1 1
; 1 1
x
x or x
สามารถพจารณาคา 1
limx
f x
จากตารางไดดงนคอ
x 2 1 ; 1f x x x
x 1 ; 1f x x x
-1.1 0.4582 -0.9 0.1
-1.01 0.1417 -0.99 0.01
-1.001 0.0447 -0.999 0.001
-1.0001 0.0141 -0.9999 0.0001
: : : :
-1.000..1 0 -0.999..9 0
ตารางท 2.4 ตารางแสดงคาของฟงกชน 2
1
1
xf x
x
; 1 1
; 1 1
x
x or x
เมอ x เขาใกล -1
จะไดวา 1 1
lim lim 0x x
f x f x
ดงนน 1
lim 0x
f x
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
2.5
x
y
27
ตวอยางท 2.3 ก าหนดให 7
7
xf x
x
จงหา
1limx
f x
และ 7
limx
f x
วธท า พจารณาฟงกชนจะได
77
7
xx
x
; 7 0 ; 7
; 7 0 ; 7
x x
x x
นนคอ
7
7
7
7
x
xf x
x
x
; 7
; 7
x
x
1
1f x
; 7
; 7
x
x
ภาพท 2.4 กราฟ 7
7
xf x
x
จากรปจะเหนไดวา เมอ x มคาเขาใกล 7 โดยท 7x แลว f x จะมคาเขาใกลคาคงตวสองคาคอ 1 และ -1 ในกรณนจะกลาววาฟงกชน f นไมมลมตท x ลเขาส 7
พจารณาจาก 7 7
lim 1 lim 1x x
f x f x
ดงนน 7
limx
f x
หาคาไมได
หาคา 1
limx
f x
พจารณาจาก 1 1
lim lim 1 1x x
f x
1 1
lim lim 1 1x x
f x
จะไดวา 1 1
lim limx x
f x f x
ดงนน 1
lim 1x
f x
บทนยามท 2.1 ก าหนดให f เปนฟงกชนและก าหนดให a และ L เปนคาคงททเปนจ านวนจรง
,a L R จะกลาววา ลมตของ f เมอ x เขาใกล a เทากบ L เขยนแทนดวย
limx a
f x L
กตอเมอ ส าหรบทกๆ จ านวนจรง 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงมคณสมบต
วา ถา fx D และ 0 x a แลว f x L
2 4 6 8 10 12
-1
-0.5
0.5
1
x
y
28
ในท านองเดยวกนกบการพจารณาเมอ x เขาใกล a ทางซาย x a หรอทางขวา x a
นยามของลมตทางซายและลมตทางขวามดงน
บทนยามท 2.2
ลมตทางซาย ลมตของ f เมอ x เขาใกล a ทางซาย เทากบ L เขยนแทนดวย
limx a
f x L
กตอเมอ ส าหรบทกๆ จ านวนจรง 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงมคณ
สมบตวา ถา fx D และ 0 a x แลว f x L
ลมตทางขวา ลมตของ f เมอ x เขาใกล a ทางขวา เทากบ M เขยนแทนดวย
limx a
f x M
กตอเมอ ส าหรบทกๆ จ านวนจรง 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงมคณ
สมบตวา ถา fx D และ 0 x a แลว f x M
ตวอยางท 2.4 จงแสดงวา lim 3 3x c
x c
โดยใชนยามของลมต
พสจน จะตองแสดงวา ส าหรบทกๆ 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงถา 0 x c แลว 3 3x c
ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ เลอก ให 0 x c พจารณา 3 3x c x c
<
=
นนคอ 3 3x c
จะไดวา lim 3 3x c
x c
ภาพท 2.5 กราฟ 3f x x
ตวอยางท 2.5 จงแสดงวา 2
lim 6 5 16x
x
โดยใชนยามของลมต
พสจน จะตองแสดงวา ส าหรบทกๆ 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงถา 0 2x แลว 6 5 16x
ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ เลอก 5
ให 0 2x
พจารณา 6 5 16x 5 10x = 5 1x < 5
= 55
=
นนคอ 6 5 16x ภาพท 2.6 กราฟ 6 5f x x
จะไดวา 2
lim 6 5 16x
x
-8 -6 -4 -2 2
2
4
6
8
x
y
-2 -1 1 2
-4
4
8
12
16
x
y
29
ตวอยางท 2.6 จงแสดงวา 2
2lim 2 1 1x
x x
โดยใชนยามของลมต
พสจน จะตองแสดงวา ส าหรบทกๆ 0 จะมจ านวนจรง 0 ซงถา 0 2x แลว
2 2 1 1x x
ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ เลอก เปนจ านวนจรงบวกใดๆ ทนอยกวา 1 และ 3
min 1,3
ให 0 2x
พจารณา 2 2 1 1x x = 2 2x x
= 2x x
จาก 2 1x จะไดวา
1 2 1x
1 3x ภาพท 2.7 กราฟ 2 2 1f x x x
ซงไดวา 3 3x หรอ 3x
2 2 1 1x x = 2x x
< 3
= 33
=
นนคอ เลอก จาก min 1,3
จงจะท าให 2 2 1 1x x
จะไดวา 2
2lim 2 1 1x
x x
2.2 ทฤษฎบทของลมต
การหาลมตจากหวขอทแลว มความยงยาก และใชเวลาในการหาค าตอบนาน ทฤษฎบทของลมต (Theorems on Limits) ตอไปนจะท าใหการหาค าตอบงายขน
ทฤษฎบทท 2.1 ถาฟงกชน f มลมตทจด x a แลวจะไดวา ลมตของ f มเพยงคาเดยวเทานน
ถา limx a
f x L
และ limx a
f x M
แลว L M
ทฤษฎบทท 2.2 ถาฟงกชน ,f x c c R (คาคงทใดๆ) แลว limx a
c c
(ลมตของคาคงท
เทากบคาคงทนน) เชน
2lim 5 5x
, 2
limx
-2 -1 1 2 3 4
2
4
6
8
x
y
30
ทฤษฎบทท 2.3 ถาฟงกชน f x x แลว limx a
x a
เชน 3
lim 3x
x
, 7
lim 7x
x
ทฤษฎบทท 2.4 ก าหนดใหฟงกชน f และ g มลมตท x a โดยท limx a
f x L
และ
limx a
g x M
จะไดวา , ,f
f g f gg
(เมอ 0M ) มลมตท x a และ
1. limx a
f g x
= lim limx a x a
f x g x
= L M
2. limx a
f g x
= lim limx a x a
f x g x
= L M
3. limx a
fx
g
=
lim
lim
x a
x a
f x
g x
= , 0L
MM
ทฤษฎบทท 2.5 ก าหนดใหฟงกชน if โดยท 1,2,..,i n มลมตท x a และ lim i ix a
f x L
1,2,..,i n จะไดวา
1. 1limx a
cf x
= 1limx a
c f x
= 1 ,cL c R
2. 1lim n
x af x
= 1lim
n
x af x
= 1 ,nL n Z
( Z จ านวนตรรกยะบวก)
3. 1 2lim ... nx a
f f f x
= 1 2lim lim ... lim nx a x a x a
f x f x f x
= 1 2 ... nL L L
4. 1 2lim ... nx a
f f f x
= 1 2lim lim ... lim nx a x a x a
f x f x f x
= 1 2 ... nL L L
5. 1lim ( )x a
f x
= 1lim ( )x a
f x
= 1 , , 1n L n Z n
6. 1limx a
f x
= 1L
พสจน (ทฤษฎบทท 2.1) ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ
จาก limx a
f x L
จะม 1 0 ซงถา 10 x a แลว 2
f x L
จาก limx a
f x M
จะม 2 0 ซงถา 20 x a แลว 2
f x M
31
เลอก 1 2min , ส าหรบ x ซงสอดคลองกบ 0 x a จะไดวา 2
f x L
และ
2
f x M
พจารณา L M = f x M L f x
f x M L f x
= f x M f x L
< 2 2
=
นนคอ L M ส าหรบทก 0 เนองจาก เปนตวก าหนดไมเจาะจง ดงนน L M จะได L M
พสจน (ทฤษฎบทท 2.2) ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ เพราะวา 0f x c c c
ดงนน f x c เสมอไมวาเลอก เปนจ านวนจรงบวกใดๆ
พสจน (ทฤษฎบทท 2.5.1) ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ
จาก limx a
f x L
จะม 1 0 ซงถา 10 x a แลว 2
f x L
จาก limx a
g x M
จะม 2 0 ซงถา 20 x a แลว 2
g x M
เลอก 1 2min , ส าหรบ x ซงสอดคลองกบ 0 x a พจารณา ( )f x g x L M = f x L g x M
( )f x L g x M
< 2 2
=
นนคอ ( )f x g x L M <
ดงนน lim ( )x a
f x g x L M
พสจน (ทฤษฎบทท 2.5.2) ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ
จาก limx a
f x L
จะม 1 0 ซงถา 10 x a แลว 1f x L ดงนน
1f x L
จาก limx a
g x M
จะม 2 0 ซงถา 20 x a แลว 2 1
g x ML
32
จะม 3 0 ซงถา 30 x a แลว 2 1
f x LM
เลอก 1 2 3min , , ส าหรบ x ซงสอดคลองกบ 0 x a พจารณา ( )f x g x L M f x g x f x M f x M LM
= ( )f x g x M M f x L
<
1 12 1 2 1
L ML M
= 2 2
=
นนคอ ( )f x g x L M <
ดงนน lim ( )x a
f x g x L M
พสจน (ทฤษฎบทท 2.5.3) ให เปนจ านวนจรงบวกใดๆ จาก
1
( )
f xf x
g x g x ดงนน
จะตองแสดงวา ถา lim , 0x a
g x M M
แลว 1 1lim
( )x a g x M
กอน
จาก limx a
g x M
จะม 1 0 ซงถา 10 x a แลว 2
Mg x M
ดงนน 2
Mg x จะได
1 2
Mg x
จะม 2 0 ซงถา 20 x a แลว 2
2
Mg x M
เลอก 1 2min , ส าหรบ x ซงสอดคลองกบ 0 x a เมอ 0g x
พจารณา 1 1
g x M =
g x M
M g x
2
2g x M
M
<
2
2
2
2
M
M
=
นนคอ 1 1
g x M <
ดงนน 1 1lim
( )x a g x M
33
พจารณา lim
( )x a
f x
g x
= 1
lim( )x a
f xg x
= 1
lim lim( )x a x a
f xg x
= L
M
ตวอยางท 2.7 จงหาคาลมตของฟงกชนตอไปน
วธท า 1. 7 3
2lim 2 1x
x x
= 7 3
2 2 2lim 2 lim lim 1x x x
x x
= 7 3
2 2 2lim 2 lim lim 1x x x
x x
= 7 3
2 2 2 1
= 111
2. 3
20
2 1lim
2x
x
x
=
3
0 0
2
0 0
2 lim lim 1
lim lim 2
x x
x x
x
x
=
3
0 0
2
0 0
2 lim lim1
lim lim 2
x x
x x
x
x
= 1
2
3. 2
1
lim 2 3x
x x
= 2
1 1
lim 2 lim 3x x
x x
=
2
1 1 1 1
lim lim 2 lim 3 limx x x x
x x
= 1 2 3 1
= 2
4. 3 2
5
2lim
7x
x
x
=
3 2
5
5
lim 2
lim 7
x
x
x
x
=
23
5 5
5 5
lim lim 2
lim lim 7
x x
x x
x
x
= 3 23
12
34
5. 3
3
27lim
3x
x
x
ในกรณทน า 3x ไปแทนใน
3 27
3
x
x
แลวปรากฎวาผลลพธอยในรป
0
0 จะใชทฤษฎบทผลหารของลมตไมได
3lim 3 0x
x
ตองใชวธการทางพชคณต
ในการแยกตวประกอบของ 3 27
3
x
x
และพยายามขจดตวประกอบทท าใหสวนเปน 0
ออก ถา 3x แลว
3 27
3
x
x
=
23 3 9
3
x x x
x
3
3
27lim
3x
x
x
=
2
3
3 3 9lim
3x
x x x
x
= 2
3lim 3 9x
x x
= 2
3 3 3lim 3lim lim 9x x x
x x
= 27
6. 2
1 1lim
2x
x
x
ในกรณทน า 2x ไปแทนใน 1 1
2
x
x
แลวปรากฎวาผลลพธ
อยในรป 0
0 จะจดรปโดยน าสงยค ของ 1 1x มาคณเขาทงเศษและสวน ถา
2x แลว
1 1
2
x
x
=
1 1 1 1
2 1 1
x x
x x
=
2
2 1 1
x
x x
=
1
1 1x
2
1 1lim
2x
x
x
=
2
1lim
1 1x x
=
2 2 2
1
lim lim1 lim1x x x
x
= 1
2
35
7. 2
3
25 4lim
3x
x
x
ท านองเดยวกบขอ 6 ถา 3x แลว
225 4
3
x
x
=
2 2
2
25 4 25 4
3 25 4
x x
x x
=
2
2
25 16
3 25 4
x
x x
=
2
3 3
3 25 4
x x
x x
=
2
3
25 4
x
x
2
3
25 4lim
3x
x
x
=
23
3lim
25 4x
x
x
=
3 3
2
3 3 3
lim 3 lim
lim 25 lim lim 4
x x
x x x
x
x
= 3
4
ตวอยางท 2.8 จงหาคาของ 2
11
11lim
11x
x
x
วธท า 2
11
11lim
11x
x
x
=
11
11lim
11x
x
x
=
11
11lim
11x
x
x
= 11
lim 1x
= 1
36
ตวอยางท 2.9 ก าหนดให
1
1
1
1
x
xf x
x
x
; 1
; 1
x
x
จงหาคา 1 1
lim limx x
f x f x
วธท า พจารณา 1
limx
f x
= 1
1lim
1x
x
x
= 1
1lim
1x
x
x
=
1
1lim
1x
x
x
= 1
lim 1x
x
= 0
พจารณา 1
limx
f x
= 1
1lim
1x
x
x
จาก 1x ดงนน 1 0x
จะได 1
1lim
1x
x
x
=
1
1lim
1x
x
x
=
1
1 1lim
1x
x x
x
= 1
lim 1x
x
= 2
ดงนน 1 1
lim lim 0 ( 2) 2x x
f x f x
ตวอยางท 2.10 จงหา 0
1
lim1
1x
xx
x
วธท า 0
1
lim1
1x
xx
x
=
2
0
1
lim1x
x
xx
x
= 2
0
1lim
1x
x
x
= 1
37
ตวอยางท 2.11 จงหา 2
3
9lim
12 3x
x
x
วธท า 2
3
9lim
12 3x
x
x
=
2
3
9lim
12 3x
x
x
= 2
3
9lim
12 3x
x
x
= 2
3
12 39lim
12 3 12 3x
xx
x x
=
3
3 3 12 3lim
3x
x x x
x
= 3
lim 3 12 3x
x x
= 36
ตวอยางท 2.12 จงหา 1
10
2 2lim
5 2
x
xx
วธท า ถา 0x จะได 1
2 0x
ดงนน 1
10
2 2lim
5 2
x
xx
= 2
5
ถา 0x จะได 1
2 x
ดงนน 1
10
2 2lim
5 2
x
xx
=
1
1
10
1
2 2
2lim
5 2
2
x
x
xx
x
= 1
10
2 2 1lim
5 2 1
x
xx
เนองจาก 1
0
lim 2 0x
x
จะได 1
10
2 2 1lim
5 2 1
x
xx
= 0
38
จะเหนวา 1 1
1 10 0
2 2 2 2lim lim
5 2 5 2
x x
x xx x
ดงนน 1
10
2 2lim
5 2
x
xx
หาคาไมได
ตวอยางท 2.13 ก าหนดให 1
lim 3x
f x
1
, lim 2x
g x
และ 1
lim 5x
h x
จงหา 1.
3
1lim
3x
f x g x
h x
2.
4
1
6limx
f x
g x
วธท า 1.
3
1lim
3x
f x g x
h x
=
3
1 1
1
lim lim
3 lim
x x
x
f x g x
h x
=
33 2
3 5
= 4
5
2.
4
1
6limx
f x
g x
=
4
1
1
6 lim
lim
x
x
f x
g x
=
4
6(3)
2
= 49
= 81
39
ทฤษฎบทท 2.6 0
sinlim 1
พสจน ให P เปนจดบนวงกลม รศมหนงหนวย พจารณาคา ซงมคาบวกแตนอยกวา 2
-2 -1 1 2
-1
1
2
x
y
P
O
Q
BA
ภาพท 2.8 แสดง 0
sinlim 1
สวนโคง PA รองรบมม ทจด O ลากเสนตงฉาก PB และ QA ดงรปดานบน
จากรปจะพบวา พท. OPA < พท.เซกเตอร OPA < พท. OPQ
1
2OA PB <
211
2 <
1
2AQ OA
PB < < AQ 1OA
PB
OP < <
AQ
OA 1OP OA
sin < < tan
1 < sin
<
1
cos (น า sin หารตลอด)
cos < sin
< 1 (กลบเศษเปนสวน)
จากทฤษฎบทท ส าหรบ g x f x h x ถา lim lim
x a x ag x L h x
แลว lim
x af x L
จาก 0
lim cos 1
และ 0
lim 1 1
จะไดวา 0
sinlim 1
40
ขอสงเกต 02
เปนมมทอยในจตภาคท 1
sinf
เปนฟงกชนค เมอแทน
ดวย จะไดวา 0 0 0
sin sin sinlim lim lim 1
ตวอยางท 2.14 จงหา 0
1 coslimx
x
x
โดยใช 0
sinlim 1
วธท า 0
1 coslimx
x
x
=
0
1 cos1 coslim
1 cosx
xx
x x
=
2
0
1 coslim
1 cosx
x
x x
=
2
0
sinlim
1 cosx
x
x x 2 2sin cos 1x x
= 0 0
sin sinlim lim
1 cosx x
x x
x x
= 0
11 1
= 0
ตวอยางท 2.15 จงหา 0
sin 7lim
9x
x
x
วธท า 0
sin 7lim
9x
x
x =
0
7 sin 7lim
9 7x
x
x
= 7 0
7 sin 7lim
9 7x
x
x
= 7
9
ตวอยางท 2.16 จงหา 2
0
cos h 1limh h
วธท า 2
0
cos h 1limh h
=
0
cos h 1 cos h 1limh h
=
0
1 cos h cos h 1limh h
=
0 0
1 cos hlim lim cos h 1h hh
= 0
41
ตวอยางท 2.17 จงหา 0
1 coslim
cotx
x
x
วธท า 0
1 coslim
cotx
x
x
= 0
sinlim 1 cos
cosx
xx
x
= 2
0
1 cos sinlim
cosx
x x x
x x x
= 2
0 0 0
1 cos sinlim lim lim
cosx x x
x x x
x x x
= 0
ตวอยางท 2.18 จงหา 3
30
tan 3lim
tan 5x
x
x
วธท า 3
30
tan 3lim
tan 5x
x
x
=
3
30
sin 3
cos3lim
sin 5
cos5
x
x
x
x
x
=
3 3
0
sin 3 cos5lim
cos3 sin 5x
x x
x x
=
3
0
sin3 5 3 cos5lim
3 sin5 5 cos3x
x x x x
x x x x
=
3
3 0 0 0 0
sin 3 1 3 cos5lim lim lim lim
sin 53 5 cos3
5
x x x x
x x
xx x
x
=
33
1 1 15
= 27
125
42
2.3 ลมตทเกยวของกบอนนต
อนนต (Infinity) เขยนแทนดวยสญลกษณ ใชแทนจ านวนทมคามากกวาทกจ านวนจรงใดๆ นนคอ ส าหรบทกๆจ านวนจรงบวก ,a R a
ในทางตรงกนขามลบอนนต ใชแทนจ านวนทมคานอยกวาทกจ านวนจรงใดๆ นนคอ ส าหรบทกๆจ านวนจรงลบ ,b R b
ขอก าหนดพนฐานเกยวกบอนนต
1. a เปนจ านวนจรงใดๆ a R
a a
a a
2.
แตสามารถก าหนดคาของ
3. a เปนจ านวนจรงบวกใดๆ
a a
a a
0a
a
0a
a
4. a เปนจ านวนจรงลบใดๆ
a a
a a
0a
a
0a
a
แตไมสามารถก าหนดคาของ 0 , 0 , 0 , 0 5. n เปนจ านวนเตมบวกใดๆ
n
; 2,4,6,...
; 1,3,5,...
n n
n
ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลว n ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลว n
43
2.3.1 ลมตของฟงกชนเมอ x มคาเขาใกลอนนต
พจารณา ฟงกชน 2
2
6 1
3 2
xy f x
x
ภาพท 2.9 กราฟ 2
2
6 1
3 2
xf x
x
x … -1,000 -100 0 100 1,000 …
f x 2 … 1.99999 1.99983 -1/2 1.99983 1.99999 … 2
ตารางท 2.5 ตารางแสดงคาของฟงกชน 2
2
6 1
3 2
xf x
x
เมอ x เขาใกล
จากรปและตารางแสดงใหเหนวาคาของฟงกชนมคาเขาใกล 2 ขณะท x เพมขนอยางไมมขอบเขต
x ท านองเดยวกน คาของฟงกชนมคาเขาใกล 2 ขณะท x ลดลงอยางไมมขอบเขต
x ลมตเชนนเรยกวาลมตทอนนต (Limit at Infinity) เขยนแทนดวย
lim 2x
f x
และ lim 2x
f x
พจารณา ฟงกชน 1
, 0y f x xx
ภาพท 2.10 กราฟ 1
f xx
-15 -10 -5 5 10 15
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
x
y
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
44
x … -10,000 -100 -1 1 100 10,000 …
f x 0 … -0.0001 -0.01 -1 1 0.01 0.0001 … 0
ตารางท 2.6 ตารางแสดงคาของฟงกชน 1
f xx
เมอ x เขาใกล
จากรปและตารางแสดงใหเหนวาเมอ x แลว 10
x นนคอ 1
lim 0x x
ท านองเดยวกน 1lim 0
x x
บทนยามท 2.3 ก าหนดให f เปนฟงกชนใดๆ
1. limx
f x L
กตอเมอ ส าหรบทกๆจ านวนจรง 0 จะตองมจ านวนจรง 0M
ซง ,f x L x M
2. limx
f x L
กตอเมอ ส าหรบทกๆจ านวนจรง 0 จะตองมจ านวนจรง 0M
ซง ,f x L x M
ทฤษฎบทท 2.7 ก าหนดให n Z
1lim 0
nx x
1lim 0
nx x
(ใหพสจนเปนแบบฝกหด)
ตวอยางท 2.19 จงหาคาของ
1. 4
3lim 5x x
= 4
13 lim lim 5
x xx
= 3 0 5
= 5
2. 3 7
lim6 11x
x
x
=
73
lim11
6x
xx
xx
=
1lim 3 7 lim
1lim 6 11 lim
x x
x x
x
x
45
= 3 0
6 0
= 1
2
3. 3 2
5
9 2 1lim
6x
x x
x
=
3
3
5
5
2 19
lim6
1x
xx x
xx
= 3
2
5
2 19
1lim lim
61
x x
x x
x
x
= 0
4. 24 17
lim3x
x
x
=
2
2
174
lim3x
xx
x
= 2
174
lim3
1x
xx
xx
(เนองจาก x ดงนน x x )
=
21
lim 4 17 lim
1lim 1 3 lim
x x
x x
x
x
= 2
ทฤษฎบทท 2.8
ถา 20 1 2( ) ... n
nP x a a x a x a x และ 20 1 2( ) ... m
mQ x b b x b x b x เปนฟงกชนพหนามแลว
0 ,
( )lim ,
( )
,
n
xm
n m
aP xn m
Q x b
undifined n m
(ใหพสจนเปนแบบฝกหด)
46
ตวอยางท 2.20 จงหาคาของ
1. 5
5
2 3 7lim
8 3x
x x
x
ดกรของเศษเทากบดกรของสวน n m น า 5x หารทงเศษและสวน
5
5
2 3 7lim
8 3x
x x
x
=
5
5
5
5
2 3 7
lim8 3x
x x
x
x
x
= 4 5
5
3 72
lim8
3x
x x
x
= 4 5
5
1 1lim 2 3 lim 7 lim
18 lim lim 3
x x x
x x
x x
x
= 2
3
2. 7
9
5 7lim
6x
x
x
ดกรของเศษนอยกวาดกรของสวน n m น า 9x หารทงเศษและสวน
7
9
5 7lim
6x
x
x
=
7
9
9
9
5 7
lim6x
x
x
x
x
= 9 2
5 7
lim6x
x x
= 9 2
1 15 lim 7 lim
lim 6
x x
x
x x
= 0
3.
1 2 3lim
2 3x
x x x
x x
1 2 3lim
2 3x
x x x
x x
=
3 2
2
6 11 6lim
5 6x
x x x
x x
ดกรของเศษมากกวาดกรของสวน n m น า 3x หารทงเศษและสวน
47
3 2
2
6 11 6lim
5 6x
x x x
x x
=
3 2
3
2
3
6 11 6
lim5 6x
x x x
x
x x
x
= 2 3
2 3
6 11 61
lim1 5 6x
x x x
x x x
= 2 3
2 3
1 1 1lim 1 6 lim 11 lim 6 lim
1 1 1lim 5 lim 6 lim
x x x x
x x x
x x x
x x x
=
4. 2
11 9lim
5 8x
x
x
เนองจาก , 0x x สามารถเขยน 2x x ดงนนน า x หารทงเศษและสวน
2
2
11 9
lim5 8x
x
x
x
x
=
2
911
lim8
5x
x
x
=
2
1lim 11 9 lim
1lim 5 8 lim
x x
x x
x
x
= 11
5
5. 5 5
lim5 5
x x
x xx
น า 5x หารทงเศษและสวน
5 5lim
5 5
x x
x xx
=
5 5
5lim5 5
5
x x
x
x xx
x
= 2
2
11
5lim1
15
x
x
x
48
5 5lim
5 5
x x
x xx
=
2
2
1lim 1 lim
51
lim 1 lim5
xx x
xx x
= 1
6. 2
52
4lim
2 3x
x
x
2
52
4lim
2 3x
x
x
=
2
2
5 2
2
4
lim2 3x
x
x
x
x
= 2
5
2
1lim 1 4 lim
1lim 2 3 lim
x x
x x
x
x
= 51
2
7. 2limh
h h h
น า 2h h h คณทงเศษและสวน
2limh
h h h
=
2
2
2limh
h h h
h h h
h h h
= 2 2
2limh
h h h
h h h
= 2
limh
h
h h h
= 2
lim1
1h
h
h
h hh
h
= 1
lim1
1 1h
h
= 1
2
49
2.3.2 ลมตคาอนนตทจด x a
พจารณาฟงกชน 1
y f xx
เมอ x เขาใกล 0 ทางขวา 0x คา
1
f xx
ลเขาสอนนต
และเมอ x เขาใกล 0 ทางซาย 0x คา 1
f xx
ลเขาสลบอนนต
0
1lim
x x
และ 0
1lim
x x
ท านองเดยวกนจะไดวา
0
1lim
x x
และ 0
1lim
x x
2
0
1lim
x x
และ 2
0
1lim
x x
หรอ 20
1limx x
ทฤษฎบทท 2.9 ก าหนดให n Z และ a R จะไดวา
1.
1lim
nx a x a
2.
, 2,4,6,...1lim
, 1,3,5,...nx a
n
nx a
(ใหพสจนเปนแบบฝกหด)
ตวอยางท 2.21 จงหาคาของ
1. 2
4
1lim
16x x =
4
1 1lim
4 4x x x
= 4 4
1 1lim lim
4 4x xx x
= 1
8
=
2.
81
6lim 4
1x x
=
81 1
6lim lim 4
1x xx
= 4
=
50
3. 2
6
20lim
6x x x
=
6
20lim
6x x x
= 6 6
20 1lim lim
6x xx x
= 20
6
=
4. 3
1
8lim
2lnx
x
x
เนองจาก 3
1
lim 8 7x
x
และ 1
lim 2ln 0x
x
3
1
8lim
2lnx
x
x
=
7
0
=
5. 3
0
lim lnx
x
e x
เนองจาก 3
0
lim 1x
x
e
และ 0
lim lnx
x
3
0
lim lnx
x
e x
= 1
=
2.4 ความตอเนองของฟงกชน
การพจารณาความตอเนองของฟงกชน (Continuity of Functions) ทจด x a หมายความวา กราฟของฟงกชนจะไมขาดตอน หรอมชองวางของเสนกราฟทจด x a
บทนยามท 2.4 ก าหนดให y f x เปนฟงกชนใดๆ a R จะกลาววา ฟงกชน f ตอเนองทจด x a กตอเมอ
1. f a หาคาได และ
2. limx a
f x
หาคาได และ
3. limx a
f x f a
ถาขาดคณสมบตขอใดขอหนงแลว จะกลาววา f ไมตอเนองทจด x a
51
ตวอยางท 2.26
1. 3 5f x x ตอเนองทกจด ,x a a R
เนองจาก 1) f a 3 5a หาคาได และ
2) lim 3 5x a
x
3 5a และ
3) f a limx a
f x
ภาพท 2.11 กราฟ 3 5f x x
2. 1g x x ตอเนองทกจด ,x a a R
เนองจาก 1) g a 1a หาคาได และ
2) lim 1x a
x
1a และ
3) g a limx a
g x
ภาพท 2.12 กราฟ 1g x x
3. 1
4h x
x
ไมตอเนองท 4x
เนองจาก 4h หาคาไมได
ภาพท 2.13 กราฟ 1
4h x
x
4. 2
1 ; 2
2
; 23
x
f x x
x
ไมตอเนองท 2x เนองจาก
2limx
f x
(หาคาไมได)
ภาพท 2.14 กราฟ 2
1 ; 2
2
; 23
x
f x x
x
-4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
-6 -4 -2 2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
-2 2 4 6 8 10
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
-4 -2 2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
52
5.
2 ; 416
4
4 ; 4
xx
g x x
x
ไมตอเนองท 4x
เนองจาก 1) 4g 4 หาคาได และ
2) 2
4
16lim
4x
x
x
4
4 4lim
4x
x x
x
8
แต 3) 4g 4
limx
g x
ภาพท 2.15 กราฟ
2 ; 416
4
4 ; 4
xx
g x x
x
6.
; 0
1 ; 0
xx
h x x
x
จะได 1 ; 0
1 ; 0
xh x
x
ไมตอเนองท 0x
เนองจาก
0
lim 1x
h x
และ 0
lim 1x
h x
แต 0
limx
h x
0
limx
h x
ภาพท 2.16 กราฟ
; 0
1 ; 0
xx
h x x
x
ดงนน 0
limx
h x
หาคาไมได
ตวอยางท 2.27 ก าหนดให cos , 0
0 , 0
x xf x
x
จงตรวจสอบวา f x ตอเนองท 0x
และ 2
x
หรอไม
วธท า พจารณาท 0x พจารณาท 2
x
1) 0f cos0 1 1) 2
f
0
2) 0
limx
f x
0 2)
2
limx
f x
0
3) 0f 0
limx
f x
3) 2
f
2
limx
f x
ดงนน f x ไมตอเนองท 0x ดงนน f x ตอเนองท 2
x
-4 -2 2 4 6 8
2
4
6
8
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
53
ตวอยางท 2.28 ก าหนดให
, 11
1
, 1
xx
g x x
a x
g x เปนฟงกชนตอเนองท 1x ก
ตอเมอ a มคาเทาไร
วธท า 1
limx
g x
= 1
1lim
1x
x
x
=
1
1 1lim
1x
x x
x
= 1
lim 1x
x
= 2
g x จะเปนฟงกชนตอเนองท 1x เมอ 1
lim 1 2x
g x g
ดงนน 2a
ตวอยางท 2.29 ก าหนดให
2 2 ,2 3
16 ,
x kx kx k
h x x k
x k
g x เปนฟงกชนตอเนองท
x k กตอเมอ k มคาเทาไร
วธท า limx k
h x
= 2 22 3
limx k
x kx k
x k
= 3
limx k
x k x k
x k
limx k
h x
= lim 3x k
x k
= 4k
เนองจาก h x เปนฟงกชนตอเนองท x k lim 4 16
x kh k h x k
ดงนน 4k
54
ตวอยางท 2.30 ก าหนดให
4 3 2 1,
2 1 4
11,
43 4
xx
xf x
xx
จงพจารณาวา f เปนฟงกชน
ตอเนองท 1
4x และ 1
4x หรอไม
วธท า พจารณาท 1
4x
1) 1
4f
= 1
13 4
4
= 1
2
2) 1
4
lim
x
f x
= 1
4
1lim
3 4x
x
=
1
2
1
4
lim
x
f x
= 1
4
4 3 2lim
2 1x
x
x
=
1
4
2 1 4 3 24 3 2lim
2 1 2 1 4 3 2x
x xx
x x x
=
1
4
2 14 1lim
4 1 4 3 2x
xx
x x
=
1
4
2 1lim
4 3 2x
x
x
= 1
2
ได 1
4
limx
f x
= 1
2
3) 1
4f
= 1
4
limx
f x
เพราะฉะนน f ตอเนองทจด 1
4x
พจารณาท 1
4x
1) 1
4f
= 1
13 4
4
= 1
2
55
2) 1
4
lim
x
f x
= 1
4
1lim
3 4x
x
=
1
2
1
4
lim
x
f x
= 1
4
1lim
3 4x
x
=
1
2
3) 1
4f
= 1
4
limx
f x
เพราะฉะนน f ตอเนองทจด 1
4x
ตวอยางท 2.31 ก าหนดให
2
4 2 , 4
2
1 , 4
, 4
x x a x
x
f x x
xx b
ถา f ตอเนองทจด 4x
จงหา 240af
b
วธท า ถา f ตอเนองทจด 4x จะได 4f = 4
limx
f x
= 4
limx
f x
ดงนน 4f = 4
limx
f x
1 = 2
4
limx
x b
1 = 24 b
15 = b
และ 4f = 4
limx
f x
1 =
4
4 2lim
2x
x x a
x
1 =
2
4
4 2lim
2 2x
x x a
x x
1 = 2
4
lim 2x
x a
1 = 2
4 2 a
a = 1
16
ดงนน 240af
b
= 1f = 14
56
บทนยามท 2.5 ฟงกชน f ตอเนองทางซายทจด x a ถา limx a
f x f a
ฟงกชน f ตอเนองทางขวาทจด x a ถา limx a
f x f a
ฟงกชน f ตอเนองทจด x a กตอเมอ f ตอเนองทงทางซายและทางขวาทจด x a เนองจาก lim
x af x f a
กตอเมอ lim lim
x a x a
f x f a f x
ตวอยางท 2.32
1. 2
7f x x ตอเนองทกจด ,x a a R ดงนน f จงตอเนองทงทางซายและ
ทางขวา ทจด x a
2. g x x ตอเนองทางขวาทจด 0x เนองจาก 0
lim 0 0x
x g
ไมตอเนองทงทางซายทจด 0x เนองจาก 0
limx
x
หาคาไมได
3. 24h x x
ตอเนองทางซายทจด 2x เนองจาก 24 0x จะได 2 2x
และ 2
2 2
lim lim 4 0 2x x
h x x h
แต h x ไมตอเนองทางขวาทจด 2x เนองจาก 2
2
lim 4x
x
หาคาไมได
ตอเนองทางขวาทจด 2x เนองจาก 2
2
lim 4 0 2x
x h
แต h x ไมตอเนองทางซายทจด 2x เนองจาก 2
2
lim 4x
x
หาคาไมได
ตวอยางท 2.33 ก าหนดใหกราฟของ f เปนดงรป จงพจารณาวา เมอ 1, 0,1, 2, 3x ตอเนองหรอไม
ภาพท 2.17 กราฟของ f x
-1 1 2 3
-1
1
2
3
x
y
57
วธท า พจารณาท 1x
f ไมตอเนองทางซาย เนองจาก 1
limx
f x
หาคาไมได
f ตอเนองทางขวา เนองจาก 1
1 lim 0x
f f x
หาคาไมได
พจารณาท 0x
f ตอเนองทางซาย เนองจาก 0
0 lim 1x
f f x
f ไมตอเนองทางขวา เนองจาก 0
0 limx
f f x
1 1
พจารณาท 1x
f ตอเนองทางซาย เนองจาก 1
1 lim 0x
f f x
f ตอเนองทางขวา เนองจาก 1
1 lim 0x
f f x
พจารณาท 2x
f ไมตอเนองทางซาย เนองจาก 2
2 limx
f f x
3 0
f ไมตอเนองทางขวา เนองจาก 2
2 limx
f f x
3 0 พจารณาท 3x
f ไมตอเนองทางซายและทางขวา เนองจาก 3f หาคาไมได
บทนยามท 2.6 ความตอเนองบนชวง ก าหนดให y f x เปนฟงกชน ,a b R ซง a b จะกลาววา
1. f ตอเนองบนชวง ,a b เมอ f ตอเนองททกจด ,x a b
2. f ตอเนองบนชวง ,a b เมอ f ตอเนองททกจด ,x a b และ f ตอเนองทางซายท x b
3. f ตอเนองบนชวง ,a b เมอ f ตอเนองททกจด ,x a b และ f ตอเนองทางขวาท
x a 4. f ตอเนองบนชวง ,a b เมอ f ตอเนองททกจด ,x a b และ f ตอเนองทางขวาท
x a และ f ตอเนองทางซายท x b
58
บทนยามท 2.7 ถา f ตอเนองทกจดบนโดเมนของ f แลวฟงกชน y f x เปนฟงกชนตอเนอง
ตวอยางท 2.34 จงพจารณาฟงกชนตอไปนวาตอเนองบนชวงใด พรอมทงหาจดทไมตอเนอง
1. 223 51 7f x x x f ตอเนองทกจด ,x
2. 6 21
3 2
xg x
x
g ตอเนองทกจด ยกเวนตวทท าใหสวนเปนศนย 3 2 0x
3,
2x
นนคอ 3
2x R
หรอ 3 3
, ,2 2
3. 4 22h x x h ตอเนองทกจด ,x
ตวอยางท 2.35 จงแสดงวา 2f x x เปนฟงกชนตอเนองบนชวง 2,
วธท า จาก 2x จะหาคาไดเมอ 2 0 , 2x x
2,fD ดงนนตองแสดงวา f ตอเนองบนชวง 2,
จะตองแสดงวา
1) f ตอเนองบนชวง 2,
2) f ตอเนองทางขวาทจด 2x
จะแสดงวา 1) f ตอเนองบนชวง 2, ให a เปนจดใดๆ ในชวง 2, จะเหนวา
2f a a หาคาได เพราะ 2 0a
lim lim 2 2x a x a
f x a a
หาคาได
และ lim 2x a
f x a f a
ดงนน f ตอเนองททกจด a แตเนองจาก a เปนจดใดๆบนชวง 2, เพราะฉะนน f ตอเนองบนชวง 2,
จะแสดงวา 2) f ตอเนองทางขวาทจด 2x
จะเหนวา 2 2 2 0f
2 2
lim lim 2 0x x
f x a
2
2 limx
f f x
เพราะฉะนน f ตอเนองบนชวง 2,
59
ตวอยางท 2.36 จงแสดงวา 23 9f x x เปนฟงกชนตอเนองบนชวง 3,3
วธท า จาก 23 9 x จะหาคาไดเมอ 2 29 0 , 9 0 , 3,3x x x
3,3fD ดงนนตองแสดงวา f ตอเนองบนชวง 3,3
1) จะตองแสดงวา f ตอเนองบนชวง 3,3
2) f ตอเนองทางซายทจด 3x ตอเนองทางขวาทจด 3x
จะแสดงวา 1) f ตอเนองบนชวง 3,3 ให a เปนจดใดๆ ในชวง 3,3
จะเหนวา 23 9f a x หาคาได เพราะ 3,3a
2 2lim lim 3 9 3 9x a x a
f x x a
หาคาไดและ
2lim 3 9x a
f a x f a
ดงนน f ตอเนองททกจด a แตเนองจาก a เปนจดใดๆบนชวง 3,3 เพราะฉะนน f
ตอเนองบนชวง 3,3
จะแสดงวา 2) f ตอเนองทางซายทจด 3x ตอเนองทางขวาทจด 3x
f ตอเนองทางซายทจด 3x f ตอเนองทางซายทจด 3x
จะเหนวา 23 3 9 3 0f จะเหนวา 2
3 3 9 3 0f
2 2
3
lim 3 9 3 9 3 0x
x
22
3
lim 3 9 3 9 3 0x
x
3
3 limx
f f x
3
3 limx
f f x
เพราะฉะนน f ตอเนองบนชวง 3,3
ทฤษฎบทท 2.10
ถาฟงกชน f และ g ตอเนองท x a ซงอยในโดเมนของ f และ g จะไดวาฟงกชนตอไปนจะตอเนองท x a
1. f x g x
2. f x g x
3. cf x
4.
, 0
f xg a
g x
60
พสจน จาก f และ g ตอเนองท x a จะไดวา
limx a
f x f a
และ limx a
g x g a
จากคณสมบตของลมตจะไดวา
1. limx a
f x g x
lim limx a x a
f x g x
f a g a ตอเนองท x a
2. limx a
f x g x
lim limx a x a
f x g x
f a g a ตอเนองท x a
3. limx a
cf x
limx a
c f x
cf a ตอเนองท x a
4.
limx a
f x
g x
lim
lim
x a
x a
f x
g x
, 0
f ag a
g a ตอเนองท
x a
ตวอยางท 2.37 ก าหนดให 2 4 1f x x x และ 34g x x เปนฟงกชนตอเนองทกๆคาของ x จะไดวา
1. limx a
f x g x
2 3lim 4 1 4x a
x x x
3 2lim 4 5x a
x x x
ตอเนองทกคาของ x a
2. limx a
f x g x
2 3lim 4 1 4x a
x x x
3 2lim 4 3x a
x x x
ตอเนองทกคาของ x a
3. limx a
f x g x
2 3lim 4 1 4x a
x x x
5 4 3 2lim 4 4 16 4x a
x x x x x
ตอเนองทกคาของ x a
4. 1
lim2x a
f x
21lim 4 1
2x ax x
2 1lim 2
2x ax x
ตอเนองทกคาของ x a
61
5.
limx a
f x
g x
2
3
4 1lim
4x a
x x
x
ตอเนองทกคาของ x a ยกเวน 3 4a
ทฤษฎบทท 2.11
ฟงกชนพหนาม ก าหนดให 20 1 2( ) ... n
nP x a a x a x a x และ 2
0 1 2( ) ... mmQ x b b x b x b x
1. ถา P x เปนฟงกชนพหนามและฟงกชน P เปนฟงกชนตอเนอง
2. ถา
P xf x
Q x เปนฟงกชนตรรกยะแลว ฟงกชน f ตอเนองทกจดยกเวนจด x ทท า
ให 0Q x
พสจน 1. limx a
P x
20 1 2lim ... n
nx a
a a x a x a x
20 1 2lim lim lim ... lim n
nx a x a x a x a
a a x a x a x
20 1 2 ... n
na a a a a a a P a
ดงนน P ตอเนองทกจด a
พสจน 2. เนองจาก P และ Q เปนฟงกชนพหนาม ดงนน lim
x aP x
P a และ lim
x aQ x
Q a เมอ a R
จะได limx a
f x
limx a
P x
Q x
lim
lim
x a
x a
P x
Q x
limx a
f x
P a
Q a
f a เมอ 0Q a
ดงนน f ตอเนองทกๆจดยกเวน 0Q x
62
ตวอยางท 2.38 ก าหนดให 6 4 33 5 2 9f x x x x จงพจารณาวา f ไมตอเนองทจดใดบาง วธท า จาก 6 4 33 5 2 9f x x x x เปนฟงกชนพหนาม
ดงนนฟงกชน f ตอเนองทกจด
ตวอยางท 2.39 ก าหนดให 7 4
4
9
8
x xf x
x x
จงพจารณาวา f ไมตอเนองทจดใดบาง
วธท า จาก 4 8x x 0
3 8x x 0
x 0 , 2 ดงนน f ตอเนองทกจด ยกเวน 0 , 2x
บทสรป
บทท 2 กลาวถงเรองลมต รวมไปถงบทนยามของลมตซายและลมตขวา ลมตทเกยวของกบอนนต และความตอเนองของฟงกชน การพจารณาวาฟงกชนทก าหนดใหตอเนอง ณ จดทก าหนดใหหรอไม ตองอาศยการเขาใจในเรองคณสมบตของลมตและความตอเนองใหชดเจน หรอสามารถพจารณาฟงกชนตางๆ โดยการวาดกราฟ การศกษาเรองลมตและความตอเนองเปนพนฐานในการน าไปสการศกษาในบทตอไปคอเรองการหาอนพนธของฟงกชนซงเปนการหาลมตของฟงกชนอกรปแบบหนง
แบบฝกหด
1. จงหาคาของ
1.1.ก าหนดให 2 1( ) 2
3f x x จงหา
3limx
f x
และ 3
limx
f x
1.2.ก าหนดให3
6 9( )
12 3
xf x
x x
จงหา
0limx
f x
0
limx
f x
และ 0f
1.3.ก าหนดให 2( ) 4f x x จงหา 2
limx
f x
2
limx
f x
และ 2f
แนวคด , 0
, 0
x xx
x x
2. จงหาคาลมตตอไปนโดยใชนยาม 2.1.
5lim5 7x
x
2.2. 2
2lim
3x x
2.3. 1
5lim
3x
x
x
63
3. จงหาคาลมตตอไปน
3.1. 3
5lim 3 1x
x x
3.2. 3
1lim
1x
x
x
3.3. 23
2 6lim
9x
x
x
3.4. 0
5 5lim
5 5
x x
x xx
3.5. 2
10
100lim
10x
x
x
3.6. 3
5
125lim
5x
x
x
3.7. 7
7lim
7 7x
x
x x
3.8. 29
3lim
81x
x
x
3.9. 3
0
1 1limx
x
x
4. จงหาคาลมตตอไปน
4.1. 3 2
31
5 3lim
3 2t
t t t
t t
4.2. 3
22
8lim
4x
x
x
4.3. 0
4 2limx
x
x
4.4. 20
lim9 3x
x
x x
4.5. 0
lim4 2x
x
x
5. จงหาลมตทคาอนนตของฟงกชนตอไปน 5.1. lim 5 2
xx
5.2. 2 1
lim5 3x
x
x
5.3. 2lim 3 5 8x
x x
5.4. 2 7lim x
xe
64
5.5. 2
7lim
3 8x
x
x x
5.6. 9 3
5 7
2lim
2x
x x
x x
6. จงหาลมตทคาอนนตของฟงกชนตอไปน
6.1.
2 1
3 6
2 1
3 6
8 11lim
2x
x x
x x
6.2. 1
1 3
2 2lim
2 2
x x
x xx
6.3. 5 5
lim5 5
x x
x xx
6.4. 6
3lim 3 2x
x
7. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองท a ทก าหนดใหหรอไม 7.1. 2( ) 3 5, 0f x x a
7.2. 2
3( ) , 3
9
xf x a
x
7.3. ( ) , 0f x x a
8. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจดทก าหนดใหหรอไม
8.1. 3 , 0
( ) , 03 2, 0
x xf x a
x x
8.2. 1, 3
( ) , 33 7, 3
x xf x a
x x
8.3. 2 1, 2
( ) , 21, 2
x xf x a
x
8.4. 2 3, 3
( ) , 32 3, 3
x xf x a
x x
8.5. 0, 2
( ) , 22, 2
xf x a
x x
8.6. 2
5, 3( ) , 3
9 , 3 3
x xf x a
x x
8.7. 1
( ) , 11
xf x a
x
65
8.8.
2 1, 0
( ) 11, 0
2
x x
f xx x
, 0a
8.9.
2 4, 2
( ) 2
1, 2
xx
f x x
x
, 2a
9. จงหาจดทท าใหฟงกชนไมตอเนอง เมอก าหนดฟงกชนดงแตละขอ
9.1 2
( )1
xf x
x
9.2 2
4( )
16
xf x
x
9.3 ( )3
xf x
x
9.4 5 2
( )4
xf x
x x
9.5 2
3( )
3
xf x
x x
10. จงหา k ทท าใหฟงกชนทก าหนดใหในแตละขอเปนฟงกชนไมตอเนอง
10.1 2
7 2, 1( )
, 1
x xf x
kx x
10.2 2 , 2
( )2 , 2
kx xf x
x k x
11. ก าหนด 2 , 1
( )5, 1
x xf x
Ax x
จงหาคา A ทท าให f ตอเนองท 1x
top related